ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 200 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia. Mitkä todennäköisyystulkinnat sopivat seuraaviin väitteisiin? (a) Todennäköisyys että kolikonheitossa saadaan lopulta klaava on. (b) Pokerikäsi 3 ässää on todennäköisempi kuin pokerikäsi 4 ässää. (c) Maija on todennäköisesti Mattia parempi tekemään päätöksiä epävarmuuden vallitessa. (a) Frekventistinen tai bayesläinen. (b) Terveen järjen perusteella mikä tahansa. (c) Mahdollisesti frekventistinen, mutta ainakin bayesläinen. 2. Mitkä todennäköisyystulkinnat sopivat seuraaviin väitteisiin? (a) Todennäköisyys että isä on poikaa pidempi on 0,39. (b) Ruotsi on todennäköisesti Suomea parempi jääkiekossa. (c) Todennäköisyys että Vaasan Sport voittaa SM-liigan vuonna 2025 on 0,08. (a) Frekventistinen ja bayesläinen. (b) Frekventistinen ja bayesläinen. (c) Bayesläinen. 3. Sadistinen miljonääri tarjoaa arpalippuja (ilmaiseksi). Arpajaisista on neljä versiota: (i) Arpalippuja on 0.000 kappaletta. Arpalipuista 9.999 on sellaisia, että sadistinen miljonääri antaa lipun haltijalle.000 euroa, mutta yksi lipuista on sellainen, että lipun haltija joutuu kokemaan tuskallisen kuoleman sadistisen miljonäärin käsissä (kidutus kestää kaksi tuntia). (ii) Sadistinen miljonääri muuttaa panoksia: arpalippuja on.000 kappaletta, joista johtaa tuskalliseen kidutuskuolemaan kuten kohdassa (i), mutta 999 arpalippua antaa haltijalleen 0.000 euroa. (iii) Sadistisen miljonäärin panokset vaan kovenee: nyt on jaossa 00 arpalippua, joista johtaa tuskalliseen kidutuskuolemaan kuten kohdassa (i), mutta 99 arpalippua antaa haltijalleen 00.000 euroa.
(iv) Nyt sadistisella miljonäärillä on tosi kovat panokset: jaossa on vain 0 arpalippua, joista johtaa tuskalliseen kidutuskuolemaan kuten kohdassa (i), mutta loput 9 arpalippua antaa haltijalleen.000.000 euroa. Antti Ahnas haluaa voittaa.000.000 euroa. Mihinkä sadistisen miljonäärin arpajaisista (i), (ii), (iii) tai (iv) kannattaa Antti Ahnaan osallistua? (Mihin arpajaisiin itse osallistuisit ja kuinka monella lipulla?) Ratkaisu riippuu oleellisesti siitä palautetaanko arpalippu arpalaariin noston jälkeen (otanta takaisinpanolla) vai ei (otanta ilman takaisinpanoa). Kysytty todennäköisyys on todennäköisyys voittaa.000.000c (ja säilyä hengissä). Otanta takaisinpanolla: Arpajaisissa (i) Antti Ahnas joutuu nostamaan.000 arpaa. Jokaisella nostolla kidustuskuoleman todennäköisyys on /0.000. Siten todennäköisyys selvitä ja voittaa.000.000c on (9.999/0.000).000 90,483% Arpajaisissa (ii) nostetaan 00 arpaa, ja kysytty todennäköisyys on (999/.000) 00 90,479%. Arpajaisissa (iii) nostetaan 0 arpaa, ja kysytty todennäköisyys on (99/00) 0 90,438%. Arpajaisissa (iv) kysytty todennäköisyys on 90%. Siten Antti Anhas valitsee arpajaiset (i), mutta huomaa toki, että arpajaisissa ei ole paljoakaan eroja hänen kannaltaan. Otanta ilman takaisinpanoa: 2 Arpajaisissa (a) nostetaan.000 arpaa ilman takaisinpanoa. Tämä tarkoittaa, että perusjoukkona on kaikki.000 arvan nostot 0.000 arvan joukosta. Näitä on ( ) 0.000 (tosi iso luku, jota emme onneksi joudu laskemaan).000 kappaletta. Mahdollisia tapoja nostaa.000 arpaa ilman, että tappoarpa nostetaan on ( ) 9.999 (tosi iso luku, jota emme onneksi joudu laskemaan).000 Tämä kohta liittyy oleellisesti binomijakaumaan. 2 Ratkaisemme tämän kohdan vaikealla, mutta systemaattisella tavalla käyttämällä hypergeometrista jakaumaa. Helpompi tapa olisi käyttää riippuvia toistokokeita. Vielä helpompi tapa olisi huomata, että arpajaiset ovat itse asiassa ekvivalentit. 2
kappaletta. Siten todennäköisyys saada.000.000c arpajaisissa (i) ilman takaisinpanoa on ( ) 9.999 / ( ) 0.000 9.999! / 0.000!.000.000 8.999!.000! 9.000!.000! 9.999! 9.000!.000! 8.999!.000! 0.000! 9.999! 8.999! 9.000! 0.000! 9.999! 0.000! 9.000! 8.999! 9.999! 0.000 9.999! 0.000 9.000 90%. 9.000 8.999! 8.999! Samalla tavalla voidaan laskea tai yllä olevasta laskusta nähdä että arpajaisissa (ii), (iii) ja (iv) kysytyt todennäköisyydet ovat myös 90%. Siten Antti Ahnas on indifferentti arpajaisten suhteen. 4. Kuinka suurena pidät edellisen tehtävän Antti Ahnaan riskiä kuolla sadistisen miljonäärin käsissä verrattuna esimerkiksi riskiin kuolla tapaturmaisesti seuraavan vuoden aikana? Tilastokseskuksen mukaan 23 vuotias mies (oletamme, että Antti Ahnas on tällainen) kuolee (tapaturmaisesti) vuoden sisällä noin todennäköisyydellä 0,4%. Jos siis hyväksyy saman riskin, niin esimerkiksi arpajaisissa (i) (otanta takaisinpanolla) :lla arvalla todennäköisyys kuolla on noin 0,0% ja 2 arvalla noin 0,20. Antti Ahnas ottaisi siis tai 2 arpaa arpaa. Jos taas Antti Ahnas tavoittelee miljoonaa, niin kuolintodennäköisyys on noin 9,52%. Tämä vastaa (tilastokeskuksen mukaan) karkeasti todennäköisyyttä kuolla (tapaturmaisesti) seuraavan 32 vuoden aikana (siis 55-vuotiaana). Sattumoisin Antti Ahnaan elinajan odote on (edelleen tilastokeskuksen mukaan) 53 vuotta. Siten hän olisi, tällä tavalla ajateltuna, vaihtamassa elämänsä 2 viimeistä vuottaan miljoonaan. 5. n avioparia osallistuu parinvaihtopippaloihin, jossa uudet parit arvotaan umpimähkään. Mikä on todennäköisyys, että vähintään yksi arvottu pari on aviopari, kun (a) n 2, (b) n 3, 3
(c) n 4, (d) n 40, (e) n 400, (f) n 400.000? Tarkastelemme yleistä tapausta, jossa on n avio- paria. Olkoon ja A k Aviopari nro k paritetaan pippaloissa, A Jokin aviopari paritetaan pippaloissa. Selvästi A A tai A 2 tai tai A n, joten P(A) P(A tai A 2 tai tai A n ). Ongelma on nyt, että tapahtumat A k eivät ole erillisiä, joten emme voi käyttää kaavaa P(A tai A 2 tai tai A n ) P(A k ). k Sen sijaan käytämme inkluusio/eksluusiokaavaa P(A tai A 2 tai tai A n ) P(A i ) P(A i ja A i2 ) + i i <i 2 + +( ) n P(A ja A 2 ja ja A n ). Seuraavaksi tulee määrätä todennäköisyydet i <i 2 <i 3 P(A i ja A i2 ja ja A ik ) P(A i ja A i2 ja A i3 ) kaikille i < i 2 < < i k ja k n. Toistoajattelulla näemme, että P(A i ja A i2 ja ja A ik ) n n n k +. Siten summattavat termit inkluusio/ekskluusiokaavan summissa ovat kaikki samoja summan sisällä. Koska k:nnessa summassa on ( ) n n! k (n k)! 4
huomaamme että inkluusio/ekskluusiokaavan k:nnen termin arvo on ( ) k n! (n k)! n n n k + ( )k. Siispä () P(A) ( ) k. k Tulos ei sinänsä tästä sievene paljoakaan, mutta huomaamme eksponenttifunktion läsnäolon: e x x k. k0 Koska eksponenttifunktion sarjaesitys suppenee nopeasti, niin P(A) ( ) k k ( ) k k ( ( ) k k0 ( ( ) k k0 ( e ) e 63,22%. ) ) Tämä tarkoittaa, että arvio kysytyille todennäköisyyksille on e 63,22% joka ikisellä n, ja tämä arvio on sitä parempi mitä suurempi n on. Tarkat arvot saadaan tietysti sarjasta (): n 2 : 50,000%, n 3 : 66,667%, n 4 : 62,500%, n 40 : 63,22%, n 400 : 63,22%, n 400.000 : 63,22%. 5