Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty täsmällisillä ehdoilla, kuten matematiikassa on tapana. Lähestymme asiaa tarkastelemalla ensin epäyhtälöitä, joissa on yksi yhtälö ja kaksi muuttujaa. Tämä tarkoittaa aluksi sen asian päättämistä, kummalla puolella annettua suoraa ollaan. Sitten asia yleistetään epäyhtälöryhmiin. Ne määrittelevät alueen, jossa epäyhtälöryhmän ehdot täyttyvät. Epäyhtälöryhmien jälkeen edetään tutkimaan annetun lausekkeen arvoja tasoalueessa. Tässä vaiheessa saamme kerätyksi välineistön varsinaista optimoimista varten mikä ei muuta olekaan kuin äsken luetellun välineistön soveltamista käytännön tilanteissa. Kaikki aiemmat luvut tämä luku mukaan lukien palvelevat lähinnä yhtä tarkoitusta: rakennamme välineistön lineaarista optimointia varten. Tutkitaan suoraa y 2x = 0. Ohessa on eräs sen kuvaajan esitys. 1(6)
Se, että esimerkiksi piste (1;2) on suoralla, merkitsee sitä, että kun lausekkeeseen y 2x sijoitetaan y = 2 ja x = 1, saadaan 2 2 1 = 0. Koska yhtälö y 2x = 0 on suoran yhtälö, lausekkeen y 2x arvoksi tulee nolla aina, kun tämän suoran pisteen koordinaattien arvot sijoitetaan siihen. Jatketaan saman suoran tarkastelemista, mutta nyt sen ulkopuolelta. Tutkitaan siis lauseketta y 2x edelleen, mutta ei vaadita enää, että tarkastelupiste on tällä suoralla. Valitaan piste (2;1), joka on selvästi suoran ulkopuolinen piste. Nyt siis y 2x = 1 4 = 3. Valitaan toinen piste. Olkoon se (3;1), jolloin y 2x = 1 6 = 5. Huomionarvoista asiassa on nyt se, että nuo molemmat arvot ovat negatiivisia eli nollaa pienempiä. Ajattele nyt lauseketta y 2x niin, että sen x:n arvo säilyy ykkösenä, mutta y:n arvo pienenee aloittaen pienenemisen arvosta 2. Aluksi kun siis y = 2 lauseke on nolla, mutta muuttuu heti negatiiviseksi kun on päästy liikkeelle. Onhan nyt y 2x = y 2 < 0, kun y < 2. Huomaa, että kun y muuttuu, mutta x pysyy ykkösenä, liikutaan itse asiassa suoralla x = 1. Piirrän uuden kuvan ja liitän siihen tämän suoran mukaan. Aloitetaan y:n muuttaminen uudestaan. Aloitetaan samasta arvosta kuin äsken, mutta annetaan y:n nyt kasvaa. Ensin y 2 on taas tasan nolla, mutta muuttuu heti nollaa suuremmaksi, kun y alkaa kasvaa. 2(6)
Vaihdetaan x:n arvo ykkösestä vaikkapa 4:ksi. Nyt ollaan siis suoralla x = 4. Nyt y 2x = y + 8, joten y 2x on negatiivinen aina, kun y < 8. Vastaavasti y 2x on nyt positiivinen aina, kun y > 8. Vastaava tarkastelu voidaan toistaa millä tahansa x:n arvolla ja johtopäätös on: Kun y > 2x tai kun x < y 2, niin y 2x > 0 ja kun y < 2x tai kun x > y 2, niin y 2x < 0. Näin ollen suora y 2x = 0 jakaa tason kahteen alueeseen. Toisessa alueessa y 2x > 0 ja toisessa y 2x < 0. Epäyhtälön ratkaiseminen Edeltävän kappaleen päättelyä sovellamme nyt toistuvasti. Ratkaistaan epäyhtälö 9 x 3y < 6. Ratkaisu Tämän esimerkin päättely yleistetään myöhemmin. Siksi numeroin jokaisen vaiheen. (1) Ratkaistaan epäyhtälö y:n suhteen. Aloitetaan supistamalla y:n kertoimella eli 3:lla. Koska 3 on negatiivinen, niin merkki kääntyy: 3(6)
9x 3y < 6 : 3x + y < 2 y > 3x 2 ( 3) Suorittamalla operaatiot eri järjestyksessä on mahdollista välttää 3:lla jakaminen. Huomaa kuitenkin merkin muuttuminen, kun jaat negatiivisella luvulla. (2) Edeltävän kappaleen päättelyn perusteella (silloin tarkasteltiin suoraa y 2x = 0) tiedetään, että lausekkeen 3x y 2 arvo on nolla, kun 3 x y = 2 onhan 3 x y = 2 vain 3 x y 2 = 0 toisessa muodossa! ja että sen merkki muuttuu vain, kun ylitetään suora 3 x y = 2. Piirretään tämä suora. (3) Kohdassa (1) epäyhtälö muokattiin muotoon y > 3x 2. Päättelemällä taas kuten edellä olevassa kappaleessa suoran y 2x = 0 tapauksessa, epäyhtälö toteutuu turkoosissa alueessa eli suoran yläpuolella. (4) Tarkistetaan asia vielä yksittäisillä pisteillä. Koska 3 x y < 2, niin 3 x y 2 < 0. Testataan 3x y 2 :n arvoa suoran eri puolilla. Valitaan piste kuvan siniseltä alueelta: (2; 2). Sijoitetaan lausekkeeseen, saadaan 3 2 ( 2) 2 = 6. Saatiin siis positiivinen arvo. Valitaan piste turkoosilta alueelta: ( 2;2), sijoitetaan, jolloin lausekkeelle saadaan arvo 10, siis negatiivinen. 4(6)
Jos haluat selvitä yhden lausekkeen avulla, voit myös tarkistuksessa käyttää yhtälöä y > 3x 2. Sijoita kokeiltavan pisteen x:n arvo epäyhtälön oikean puolen lausekkeeseen ja vertaa tulosta pisteen y koordinaatin arvoon. (5) Vastaus: Suoran 3 x y 2 = 0 eli y = 3x 2 yläpuolella oleva alue. Yleistetään nyt menettely. Epäyhtälön ratkaiseminen Yhteenveto Epäyhtälö ratkaistaan y:n suhteen (1) Piirretään epäyhtälöä vastaava suora, jonka yhtälö saadaan korvaamalla erisuuruusmerkki yhtäsuuruusmerkillä (2) Piirretty suora jakaa tason kahteen alueeseen (2) (kahteen puolitasoon) Päättele y:n suhteen ratkaistun epäyhtälön perusteella, kummassa tasoalueessa epäyhtälö on voimassa (3) Tarkista ratkaisu vähintään yhden pisteen avulla molemmista tasoalueista (4). Ota huomioon epäyhtälössä mahdollisesti mukana oleva yhtäsuuruus: Esimerkki 2. Kirjoita vastaus (5) Esimerkki 1 Ratkaise epäyhtälö 4y 8x 2y 6x 6. Ratkaisu 4y 8x 2y 6x 6 4y 2y 8x 6x 6 2y 2x 6 y x 3 Huomaa, että viimeisessä vaiheessa jaettiin 2:lla, siis nollaa suuremmalla luvulla. Siksi merkki ei kääntynyt. 5(6)
Kuvassa on suoran y = x 3 kuvaaja. Epäyhtälön y x 3 nojalla ratkaisu on suoran yläpuolinen alue sekä itse suora. Tarkistetaan laskemalla lausekkeen y x + 3 = 0 arvo pisteissä (3; 3), ( ; ) ja (0;0). Niistä toinen on suoran ylä-, toinen alapuolella. Lausekkeen arvot ovat vastaavasti 3, 0 ja 3. Pisteessä ( ; ) saadaan x 3 = 3 = = y koordinaatti, koska piste ( ; ) on suoran piste. Pisteessä (0;0) saadaan lausekkeen arvoksi 3, joka puolestaan on pienempi kuin y:n arvo 0. Epäyhtälö ei siis ole tosi origossa. Vastaus: Suora y = x 3 ja sen yläpuolinen alue. 6(6)