6.1 Lineaarinen optimointi

Transkriptio

1 6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit htälöön a + b + c = 0 sijoitettuna toteuttavat htälön, niin piste on suoran piste. Suoran ulkopuoliset pisteet antavat lausekkeelle a + b + c joko positiivisen tai negatiivisen arvon kuitenkin sen verran säännönmukaisesti, että kaikki samalla puolen suoraa sijaitsevat pisteet antavat lausekkeelle a + b + c samanmerkkisen arvon. Lausekkeen arvo on sitä lähempänä nollaa, mitä lähempänä piste on suoraa. Kahden muuttujan ensiasteisen epähtälön a + b + c < 0 tai a + b + c > 0 ratkaisuna on siten jokin puolitaso, jonka reunaviivana, nollaviivana on juuri suora a + b + c = 0. Kumpi puolitaso epähtälön ratkaisuna on, saadaan selville valitsemalla jokin piste jommasta kummasta puolitasosta ja sijoittamalla sen koordinaatit lausekkeeseen a + b + c. Jos tämän pisteen koordinaatit toteuttavat alkuperäisen epähtälön, niin tämän ratkaisu on se puolitaso, josta piste valittiin, muutoin luonnollisesti se puolitaso, josta pistettä ei valittu. Ratkaisun voi mös päätellä saattamalla epähtälö a + b + c < 0 muotoon > k + t, jos b < 0 tai < k + t, jos b > 0. Mikäli valitaan mielivaltainen piste suoralta = k + t, htälö toteutuu. Siis nimenomaan suoralla on täsmälleen htäsuuri kuin k + t. Jos siirrtään suoralta valitusta mielivaltaisesta pisteestä suoraan löspäin, niin -koordinaatti kasvaa -koordinaatin psessä muuttumattomana. Jos taas siirrtään valitusta pisteestä suoraan alas, -koordinaatti pienenee eikä -koordinaatti muutu. Voidaan siis sanoa, että epähtälön > k + t toteuttavat kaikki ne -tason pisteet, jotka sijaitsevat suoran = k + t läpuolella. Toisaalta epähtälön < k + t toteuttavat kaikki suoran = k + t alapuolella sijaitsevat pisteet. Jos suora = k + t nousee tai laskee hvin jrkästi, voi olla aluksi vaikeaa hahmottaa sen lä- ja alapuoli. Asian rajatapauksena voidaan vielä todeta, että -akselin suuntaisella suoralla ei ole sen paremmin läkuin alapuoltakaan. Vastaavasti ei -akselin suuntaisella suoralla ole oikeaa eikä vasenta puolta. Tällaisen kahden muuttujan ensiasteisen epähtälön, a + b + c < 0, ratkaiseminen on jossain mielessä samanlaista kuin toisen asteen epähtälön ratkaiseminen. Kun tässä on aina ns. nollaviiva piirrettävä, niin toisen asteen epähtälön tapauksessa vastaava htälö pitää AINA ratkaista. Kun nt nollaviiva on jonkinlainen ratkaisujoukon raja, niin mös toisen asteen epähtälössä vastaavan htälön

2 juuret olivat tietnlainen rajapkki varsinaisen epähtälön ratkaisuille, joko nollakohtien väli tai niiden ulkopuoli. Mihin tätä kahden muuttujan epähtälöä nt voisi sitten kättää? Yritstoiminnassa (lähes poikkeuksetta) pritään voiton maksimointiin. Tuotannossa kuitenkin tarvitaan raaka-ainetta, monesti useampaakin laatua, ja tuotetta ei valmistu määräänsä enempää, jos jonkin raaka-aineen saatavuus asettaa rajoituksia. Tuotantoa suunniteltaessa kannattaa laatia matemaattinen malli (mitäs hötä matematiikan opiskelusta olisikaan ellei tietoja voisi kättää), joka ottaa huomioon tuottajalle/ritkselle olemassa olevat rajaehdot. Tässä riittää useimmiten hakea jonkin kahden muuttujan lineaarisen lausekkeen suurin arvo jossakin monikulmiossa, joka melkein aina sijaitsee koordinaatiston I neljänneksessä. Tällaisen alueen rajat määrätvät kahden muuttujan epähtälöiden avulla. Esim. 1 Määritä lausekkeen + suurin arvo alueessa Aluksi etsitään se -tason alue, jonka edellä sanotut rajaepähtälöt kiinnittävät Piirretään rajaviivat mm-paperille. Nämä määräävät nelikulmion OABC, missä O = origo, A = (6,0), C = (0,) ja B saadaan, jos sitä tarvitaan, kahden alimman rajaviivan muodostamasta htälöparista. Lauseke + saa eri arvoja, mutta nt on haettava tämän lausekkeen suurin arvo tehtävässä annetuin, muuttujia ja rajoittavin ehdoin. Merkitään lausekkeen saamaa mielivaltaista arvoa smbolilla C, ja tällöin + = C. Tätä C htälöä esittää siten suora, jonka htälö ratkaistussa muodossa on = +.

3 Tämä on laskeva suora, joka leikkaa -akselin pisteessä (0, C/). Lauseke + saa suurimman arvonsa, kun C/ ja siis samalla itse C on suurin. Piirretään koordinaatistoon suora = ja siirretään tätä hdensuuntaisuus säilttäen mahdollisimman lös. Tässä mahdollisimman lös tarkoittaa ääritilanteessa sitä, että tällä suoralla tulee olla ainakin ksi hteinen piste nelikulmion OABC kanssa. C Havaitaan, että tämä toteutuu silloin, kun suora = + kulkee pisteen A = (6,0) kautta. Lausekkeen + suurin arvo on siis = 18 Esim. O Cofein Ab harjoittaa paitsi meriliikennettä mös virvoitusjuomateollisuutta, jonka tuotanto menee kaikki vientiin. Näillä helmeilevillä juomilla, joilla on ihmeellisen tervehdttäviä vaikutuksia, on perisuomalaiset nimet, ANTTI ja RAIMO ja niiden valmistusohje on eräs valtakunnan tarkimmin varjeltuja salaisuuksia. Se kuitenkin tiedetään, että pullolliseen Anttia tarvitaan 7 dl omenamehua ja 4 dl

4 puolukkamehua, kun taas pullolliseen Raimoa tarvitaan 6 dl puolukkamehua ja dl omenamehua. Nämä raaka-aineiksi luokiteltavat mehut tehdas ostaa välittäjältä, joka ikävä kllä pst vuorokaudessa toimittamaan vain 400 litraa omenamehua ja 100 litraa puolukkamehua. Juomat pullotetaan 1½ litran pulloihin, joita niiden valmistaja pst vuorokaudessa toimittamaan korkeintaan 4000 kpl. Merkitään vuorokaudessa valmistuvien Antti-pullojen määrää = ja Raimojuomapullojen määrää =. Viivota se -tason pisteiden (,) joukko, jonka koordinaattien osoittaman määrän O Cofein AB pst vuorokaudessa mehuja valmistamaan. a) Piirrä kuva sopivassa mittakaavassa ja huomaa, että piirtämiseen kuuluu alueen kaikkien kärkipisteiden koordinaattien määrittäminen ja alueen sekä sen reunaviivan antavien htälö-epähtälöiden näkviin kirjoittaminen. b) Kuinka monta pulloa kumpaakin juomaa tehtaan olisi edullisinta vuorokaudessa valmistaa, jotta mnnistä saatava tuotto liikevoitto olisi mahdollisimman suuri, kun Antista tehdas saa ja Raimosta 1.50 /pullo. Tiedetään lisäksi, että omenamehusta välittäjälle on maksettava 7 senttiä/litra ja puolukkamehusta 10 senttiä /litra ja pullot maksavat 6 senttiä kpl. Liikevoittovaihtoehdon htedessä tulee tietää, ettei tehdas osta pulloja eikä kumpaakaan raaka-ainetta htään enempää kuin vuorokaudessa kuluu. Muuta rahallista menoa juomien valmistukseen ei katsota kuluvan, sillä vesi otetaan tehdasalueella olevasta erittäin mineraalipitoisesta lähteestä ja kasvikunnan salaisuudet tarkoin tunteva Alpo kuhkii kaiket kesät metsissä ja niitillä keräten rohdot ja rtit talteen eikä hänen suorituskknsä aseta lärajoja juomien valmistus-määrille. Ilmeisesti pullojen valmistusmäärä vuorokaudessa on positiivinen, joten tässä sovellutuksessa liikutaan koordinaatiston I neljänneksessä.

5 pullot omenamehu puolukkamehu Suoran + = 4000 leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa, piste (0,4000) ja piste (4000,0) eivät ole rajamonikulmion kärkiä. Sen sijaan suoran = 100 leikkauspiste -akselin kanssa, (0,500) on. Monikulmion muiden kärkien määräämiseksi ratkaistava htälöparit + = = = = = 1500 = 500 ja + = = = = 4000 = 000 = 1000 Nättäisi täsmäävän seuraavalla sivulla olevan kuvan kanssa. Vielä olisi tarvetta määrätä suoran 7 + = 4000 leikkauspiste -akselin kanssa. Se ei valitettavasti 4 ole kokonaisluku; ( 48, 0 ). 7

6 Mntituloksi C, kun mdään pulloa Anttia ja pulloa Raimoa, saadaan lauseke + = C.

7 Maksimaalisen mntitulon C määrittämiseksi lauseketta muokataan: + = C = C = 4 + C = + 4 Piirretään suora = ja nostetaan se suuntansa säilttäen mahdollisimman korkealle koordinaatistossa, kuitenkin niin, että sillä on vä- hintään ksi hteinen piste rajamonikulmion kanssa. Nättäisi kulkevan tällöin pisteen (000,1000) kautta. C

8 Valmistetaan siis 000 pulloa Anttia ja 1000 pulloa Raimoa, jolloin mntitulo on ( ) = 7500 MUTTA antaako tämä suurimman liikevoiton. Mitä hötä on suurista tuloista, jos mös kulut ovat kovin suuret? Liikevoitoksi D saadaan lauseke, jonka muotoilemisessa tulee ottaa huomioon, että kun Anttia valmistetaan pulloa, niin siihen kuluu 7 dl omena- ja 4 dl puolukkamehua sekä vielä pullon hinta 6 senttiä/kpl. Raimon valmistamiseen taas kuluu dl omena ja 6 dl puolukkamehua sekä pullon hinta. Omenamehun hintahan oli 7 senttiä/litra ja puolukkamehun 10 senttiä/litra. Tuloa on edelleen se +, mutta menoakin on. Siten liikevoitto: + ( ) ( ) = D = D 1861 D = D = Piirrellään taasen koordinaatistoon suoria, joiden kulmakerroin on edellä saatu Mahtaa limpänä niistä olla suora, joka kulkee saman pisteen, siis pisteen (000,1000) kautta. Tässä pisteessä, jolloin siis valmistetaan 000 pulloa Anttia ja 1000 pulloa Raimoa, on liikevoitto ( ) = 694.