2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

Transkriptio

1 Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät ratkaisut. Kysymys voi olla esimerkiksi kustannusten tai haittojen minimoimisesta tai voiton maksimoimisesta. Tällaisen ihannearvon löytämistä kutsutaan optimoimiseksi. Kun etsitään sellaisen lausekkeen ihannearvoa, jossa esiintyy kaksi ensimmäisen asteen muuttujaa, kyseessä on nimenomaan lineaarinen optimoiminen. Tällä kurssilla tutkitaan lineaarista optimointia (englanniksi linear programming). Tavallisesti ratkaisemme tehtäviä, joissa annettujen ehtojen perusteella koordinaatistosta rajataan alue. Tehtävänä on silloin tutkia, missä, jos missään tämän alueen pisteessä, jälleen annettujen ehtojen avulla määritelty lauseke saa etsittävän arvon. Aloitetaan määrittelemällä tasoalue. Sitä varten tarvitaan epäyhtälöryhmä. Olkoon se y y x + 3. Piirretään tästä kuva. Rajataan epäyhtälöryhmän voimassaoloalue vahvalla, keltaisella viivalla. x = 0 y = x + 3 y = 0 1(11)

2 Tarkastellaan, millaisia arvoja lauseke 2x + y saa tässä alueessa. Käytetään tästä lausekkeen saamasta arvosta symbolia r. Jos tarkastellaan jotain kiinteää r:n arvoa, niin koska x:n kerroin on kaksi eli vakio, niin 2x + y = r on suoran yhtälö. Lisäksi jokainen näistä suorista on yhdensuuntainen muiden kanssa. Jokaista r:n arvoa vastaa tarkalleen yksi suora 2x + y = r ja jokaista suoran 2x + y = 0 kanssa yhdensuuntaista suoraa vastaa tarkalleen yksi r:n arvo. Näet tämän helposti ratkaisemasta y:n yhtälöstä 2x + y = r: 2x + y = r jos ja vain jos y = 2x + r. Palauta mieleesi suoran yhtälön yleinen muoto ja vertaa sitä tähän! Piirretään nyt äskeiseen kuvaan muutama suora valitsemalla r:lle arvoja. Tulos on seuraava. r = +3 r = r = 4 r = 6 r = 0 Huomaa, että lausekkeen 2x + y saama arvo kasvaa koko ajan, kun r kasvaa. Suurimmillaan se on, kun r = 3 ja pienimmillään, kun r = 6. Jokaisella r:n määrittelemällä suoralla lausekkeen arvo on tietenkin vakio eli juuri tuo r. Täten lausekkeen 2x + y arvo muuttuu vain, kun suoraa 2x + y = r siirretään vasemmalta oikealle. Huomaa myös, että nämä lausekkeen ääriarvon antavat suorat leikkaavat tarkasteltavan, epäyhtälöillä määritellyn alueen tarkalleen yhdessä pisteessä. Tulos Kaksi 1. asteen muuttujaa sisältävä lauseke, joka ei ole yhdenkään tasomonikulmion sivun suuntainen, saa tasomonikulmiossa pienimmän ja suurimman arvonsa kunkin tarkalleen yhdessä pisteessä. 2(11)

3 Sovelletaan tätä tulosta seuraavissa esimerkeissä. Huomaa tarkistaa, että osaat laskea kahden suoran leikkauspisteen koordinaatit, kun suorien yhtälöt on annettu! Suoran yleinen yhtälö voidaan esittää muodossa y = kx + c. Yhtälön c on ennestään tuttu suoran yhtälön vakiotermi. Tämä voidaan muuntaa muotoon y kx = c. Jos kulmakerroin k ei a a ole kokonaisluku, vaan esimerkiksi osamäärä, missä b 0, niin y = x + c. Tällöin b b suoran yhtälö annetaan usein muodossa by ax = bc. Tässä luku bc on siis edellä esiintyvä r. Esimerkki 3 Etsi lausekkeen 3y + x suurin ja pienin arvo kuvassa määritellyssä tason alueessa. a) b) Tällaisen tehtävän ratkaiseminen lähtee liikkeelle suorien joukon 3y + x = r tutkimisesta. Tässä kirjain r on jokin reaaliluku. Kukin r:n arvo vastaa suorajoukon yhtä suoraa. Huomautus! Luku r on siis vakio kunkin suoran tapauksessa. Tällä tavalla käytettävää lukua sanotaan parametriksi. Kirjaimen r sijasta olisi voitu käyttää mitä tahansa sellaista kirjainta, joka ei aiheuta väärinkäsityksiä. Esimerkiksi kirjaimet x ja y on jo varattu muuhun käyttöön, joten niitä ei olisi voitu käyttää. Oikeaoppisempi tapa määritellä tämä suorien joukko on { r R 3 y + x = r }. Kaikki tämän suorajoukon suorat ovat yhdensuuntaiset origon kautta kulkevan suoran 1 y = x kanssa. Tämän seikan huomaat, kun ratkaiset y:n yhtälöstä 3y + x = r. Piirretään 3 näistä suorista muutama näkyviin. a) 3(11)

4 Punaiset suorat ovat siis yllä määritellyn suorien joukon suoria. Ylimmäisestä alimmaiseen lueteltuina niitten parametrit r ovat +3, 0, 3, 6 ja 9. Esimerkiksi, jos parametrin arvo on , niin suoran yhtälö on 3y + x = 1 eli y = x b) Myös tämän kuvan punaiset suorat on valittu yllä mainittujen suorien joukon suorista. Ylimmäisestä alimmaiseen lueteltuina niitten parametrin r arvot ovat puolestaan 0, 3, 6, 12 ja 18. Heti esimerkkimme edellä esitellyn tuloksen mukaan lasketaan nyt lausekkeen arvo pisteissä (0;0), (3;0), (3; 3) ja (0; 3). Nämä ovat a) kohdan kuvion kärkipisteet. Tulokset ovat 0, 3, 6 ja 9 eli juuri nuo r:n arvot. Suurin arvo on siis 3, joka on myös tietenkin suurin parametrin r arvo, jota vastaavalla suoralla on vähintään yksi yhteinen piste kuvion kanssa. Piirroksesta, johon lisättiin suoria 3y + x = r eri r:n arvoilla, nähdään, että tällainen tulos oli odotettavissa ja senhän Tuloskin sanoi. Lausekkeen suurin arvo saatiin suurimman parametrin r suoran 3y + x = 1 ja tarkasteltavan alueen sivuamispisteessä, koska tämä suora on ylimpänä. Pienin arvo saadaan vastaavasti pienintä parametrin arvoa r = 18 vastaavan suoran ja alueen leikkauspisteessä: 3y + x = 9, kun x = 0 ja y = 3. a) kohdassa saadaan siis: 4(11)

5 Vastaus: Lausekkeen suurin arvo annetussa alueessa on 3 ja pienin arvo on 9. Vastaavalla tavalla saadaan suurin arvo b) kohdan kuviossa pisteessä (3; 2). Se on 3. Koska kuviolla ei ole alareunaa, lausekkeella 3y + x ei ole myöskään pienintä arvoa. Siis b) kohdassa saadaan: Vastaus: Suurin arvo on 3, pienin arvo ei ole olemassa. Esimerkki 4 Etsi lausekkeen y 2x 2 suurin ja pienin arvo alueessa y y + x 7 4y x 8 Kuva esittää epäyhtälöitten määrittelemää aluetta. Kuvan piirtämistä varten yhtälöt y + x = 7 ja 4y x = 8 kannattaa ratkaista ensin muotoon y = 1 x + 7 ja y = x Suorat y + x = 7 ja 4y x = 8 leikkaavat pisteessä (4;3). Nelikulmion muut kärjet ovat (0;2), (0;0) ja (7;0). Lausekkeen y 2x 2 arvot näissä pisteissä ovat vastaavasti 7, 0, 2 ja 16. Vastaus: Lausekkeen suurin arvo on 0 ja pienin arvo on 16. Huomaa, että tehtävässä ei kysytty, missä pisteissä nuo arvot saavutetaan. Siksi niitä ei myöskään vastauksessa annettu. Vastaa aina kaikkeen siihen, mitä kysytään, mutta vain siihen. Esimerkki 5 Etsi lausekkeen y 2x 2 suurin ja pienin arvo alueessa 1 x 5 y y x 2 Kirjoitetaan jälkimmäistä epäyhtälöä vastaava yhtälö muotoon y = x + 2. Kuvan piirtämistä varten tarvitaan suorien leikkauspisteet eli epäyhtälöiden määrittelemän monikulmion kärjet. Ne ovat (1;3), (5;7), (5;0), ja (1;0). Epäyhtälöryhmän ratkaisualue on jo merkitty oheiseen piirrokseen ja sen kärjetkin jo laskettiin, mutta kerrataan silti lyhyesti, miten se löytyi. 5(11)

6 Epäyhtälöstä y seuraa, että jokaisen ratkaisujoukon pisteen y koordinaatti on nolla tai suurempi. Täten kaikki ratkaisut ovat x akselin yläpuolella. Epäyhtälöistä x 1 ja x 5 seuraa, että ratkaisualueen pisteiden x koordinaatit ovat ykkösen ja viitosen välissä ja että rajat ovat mukana. Viimeisen epäyhtälön tapauksessa asia selviää kokeilemalla. Kokeillaan pistettä (3;2). Sijoitetaan koordinaatit lausekkeeseen y x. Saadaan 2 3, joka on pienempi kuin 2. Kokeillaan vielä varmuuden vuoksi pistettä, joka valitaan suoran y x = 2 yläpuolelta. Otetaan piste (2;5). Nyt lausekkeen arvoksi saadaan 5 2 eli 3, joka on suurempi kuin kaksi. Täten ratkaisualue on suoran y x = 2 alapuolella. Jokaisessa epäyhtälössä on yhtäsuuruus mukana, joten kaikki nelikulmion sivut kuuluvat ratkaisualueeseen. Tarkasteltava alue on nyt selville. Etsitään vastaukset esitettyihin kysymyksiin laskemalla lausekkeen y 2x 2 arvo nelikulmion kussakin kärkipisteessä. Ne ovat: Piste (1;3): y 2x 2 = 1 Piste (5;7): y 2x 2 = 5 Piste (5;0): y 2x 2 = 12 Piste (1;0): y 2x 2 = 4 Suurin arvo on siis 1 ja pienin 12. Vastaus: Lausekkeen suurin arvo kysytyssä alueessa on 1 ja pienin on 12. Esimerkki 6 Biologi voi valmistaa ravintoliuosta X, joka sisältää annosta kohti 40 millilitraa suolaliuosta A ja 30 millilitraa suolaliuosta B ja ravintoliuosta Y, joka puolestaan sisältää annosta kohti 20 millilitraa suolaliuosta A ja 50 millilitraa suolaliuosta B. Laboratoriossa on suolaliuosta A kaikkiaan millilitraa ja suolaliuosta B millilitraa. Yhdestä annoksesta ravintoliuosta X laboratorio saa tuottoa 43 euroa ja yhdestä annoksesta ravintoliuosta Y se saa 35 euroa. Molemmat hinnat ovat nettohintoja. Kuinka monta annosta ravintoliuosta X ja kuinka monta annosta ravintoliuosta Y kannattaa biologin valmistaa, jotta tuotto olisi mahdollisimman suuri? Tämän tehtävän ratkaiseminen kannattaa aloittaa kuten monisanaisen tehtävän ratkaiseminen yleensäkin: etsitään asian ydin kaiken sen sanahelinän keskeltä. Mitä tehtävässä kysytään hallussamme olevan matemaattisen välineistön valossa? Kysymys on tuottoa esittävän lausekkeen maksimoimista annetussa alueessa. Etsitään tuoton lauseke sekä alue, jonka puitteissa toimitaan. Merkitään liuoksen X annosten lukumäärää x:llä ja liuoksen Y annosten lukumäärää y:llä. Tällöin voidaan sanoa heti, että x ja y. Ravintoliuosannosten yhteinen tuotto on 43 x + 35y. Tuoton lausekkeen yksikkönä on euro. Koska liuoksia on käytettävissä vain tietyt määrät, noista määristä saadaan rajoittavia ehtoja. Koska suolaliuosta A on 3480 millilitraa, niin 0 0,040x + 0,020 y 3,480 ja koska liuosta B on millilitraa, niin 0 0,030x + 0,050 y 3,350. 6(11)

7 Näitten epäyhtälöitten yksikkönä on litra. Seuraava epäyhtälöryhmä määrittelee tarkasteltavan alueen. y 0,040x + 0,020 y 3,480 0,030x + 0,050 y 3,350 Piirretään epäyhtälöitä vastaavat suorat samaan koordinaatistoon. Kun kahta jälkimmäistä epäyhtälöä vastaavat suoran yhtälöt ratkaistaan y:n suhteen, saadaan yhtälöt y = 174 2x y = 67 0, 6x Koska yhtälöissä esiintyy noin suuria lukuja, valitaan sellainen mittakaava, että yksi kuvan yksikkö vastaa kymmentä luonnossa. Lasketaan suorien leikkauspisteen koordinaatit sekä ne suorien leikkauspisteet koordinaattiakselien kanssa, jotka kuuluvat epäyhtälöryhmän ratkaisualueeseen. Ne ovat (76,4;21,1), (0;67) ja (87;0). Koska optimoitava lauseke on 43 x + 35y, niin lasketaan sen saamat arvot näissä kolmessa pisteessä. Lauseke saa arvot noin 4024 euroa, 2345 euroa ja 7(11)

8 3741 euroa lueteltuina samassa järjestyksessä. Suurin arvo saatiin pisteessä, joka ei tule kysymykseen sen takia, että sen koordinaatit eli annosmäärät eivät ole kokonaislukuja. Lasketaan tulos sen sijaan lähimmän sellaisen pisteen mukaan, jonka koordinaatit ovat kokonaislukuja. Valitaan piste (76;21), jolloin tuotoksi saadaan 4003 euroa. Edellä todetun Tuloksen mukaan olemme nyt löytäneet ne ravintoliuosten annosmäärät, joilla saatava tuotto on suurimmillaan. Olemme siis maksimoineet tuoton eli optimoineet annosmäärät tuoton suhteen. Optimointitehtävän ratkaiseminen Lineaarisen optimointitehtävän ratkaisumenettely voidaan tiivistää seuraavan punaisen laatikon esittämiin muutamaan askeleeseen. Muunna rajoittavat ehdot epäyhtälöiksi Rajaa tasoon edellisen kohdan epäyhtälöryhmän määrittelemä alue. Tarkista, kuuluvatko rajat mukaan. Muodosta maksimoitavaa tai minimoitavaa suuretta kuvaava lauseke. Tätä lauseketta sanotaan tavoitefunktioksi. Laske edellisen kohdan lausekkeen arvot epäyhtälöryhmän voimassaoloalueen kärkipisteissä Valitse lasketuista arvoista tehtävän vastaus Kirjoita täsmällinen vastaus. Ota vastaukseen mukaan tarkalleen ne tiedot, joita kysytään. Esimerkki 7 Hajuveden valmistajalla on raaka-ainetta A jäljellä 420 millilitraa ja raaka-ainetta B 300 millilitraa. Hajuveteen X tarvitaan raaka-ainetta A 20 millilitraa ja raaka-ainetta B 30 millilitraa. Vastaavasti hajuveteen Y tarvitaan raaka-ainetta A 35 millilitraa ja raaka-ainetta B 15 millilitraa. Pullollinen hajuvettä X tuottaa 420 euroa ja pullollinen hajuvettä Y 370 euroa raaka-ainekustannusten jälkeen. Kuinka monta pulloa hajuvettä X ja hajuvettä Y kannattaa valmistaa jäljellä olevista raaka-aineista, jotta raaka-aineet tulisivat mahdollisimman tarkasti käyttöön ja tuotto olisi mahdollisimman suuri? Merkitään valmistettavien hajuveden X pullojen määrää x:llä ja Y:n pullojen määrää y:llä. Koska hajuvesiä ei voida valmistaa negatiivisia pullomääriä, niin x ja y. Raakaainetta A kuluu 20 millilitraa hajuveteen X ja 35 millilitraa hajuveteen Y, joten 20x + 35y 420. Vastaavasti raaka-aineen B kulutuksesta saadaan epäyhtälö 30x + 15y 300. Kirjoitetaan saadut epäyhtälöt vielä yhteen, epäyhtälöryhmäksi: y 20x + 35y x + 15y 300 8(11)

9 Ratkaistaan kahta viimeistä epäyhtälöä vastaavasta yhtälöstä y, lasketaan epäyhtälöiden määrittelemän nelikulmion kärkipisteet ja piirretään alue koordinaatistoon: 4 y = x + 12 ja y = 2 x Kärkipisteet ovat: (0;0), (0;12), (5,6;8,8) ja (10;0). Tarkista muutaman pisteen avulla, että kuvan vihreän rajaviivan nelikulmio todella on etsitty alue. Tehtävän määrittelyssä pyydetään etsimään mahdollisimman suuri tuotto, kun raaka-aineet käytetään niin tarkoin loppuun kuin mahdollista. Tehtävämme on siis maksimoida tuoton lauseke äsken johdettujen epäyhtälöitten rajoissa. Tavoitefunktiomme on nyt siis lauseke, joka esittää hajuvesistä saatavaa tuottoa. Koska havuvesi X:n pullojen lukumäärää merkittiin x:llä ja Y:n pullojen määrää y:llä ja koska niitten tuotot olivat vastaavasti 420 euroa ja 370 euro, niin hajuvesistä saatava tuotto on yhteensä 420x + 370y. Tämä on nyt tavoitefunktio. Haetaan sen suurin arvo epäyhtälöryhmän määrittelemässä alueessa eli hajuvesien valmistajan nykyisessä tilanteessa. Nelikulmion kärkipisteen (5,6;8,8) koordinaatit eivät ole kokonaislukuja. Hajuvesitehdas valmistaa vain kokonaisia pulloja, joten tällainen piste hylätään. Tutkitaan sen sijaan, mikä tai mitkä lähinnä olevista pisteistä (6;8), (5;9), (5;8) ja (6;9) ovat alueen sisäpuolella. Piste (6;9) selvästi ei ole ja yhtä selvästi piste (5;8) taas on tarkasteltavassa alueessa. Entä pisteet (5;9) ja (6;8)? Asia selviää tutkimalla, toteutuvatko epäyhtälöryhmän epäyhtälöt näissä pisteissä. Sijoittamalla epäyhtälöihin ja toteamalla, että ne toteutuvat, saadaan tietää, että piste (5;9) on alueessa, samoin piste (6;8). Tavoitefunktio 420x + 370y saa: pisteessä (0;0) arvon 0 euroa pisteessä (0;12) arvon 4440 euroa pisteessä (5;8) arvon 5060 euroa (raaka-ainetta A jää 40 ml ja B:tä jää 30 ml) pisteessä (5;9) arvon 5430 euroa (raaka-ainetta A jää 5 ml ja B:tä jää 15 ml) pisteessä (6;8) arvon 5480 euroa (raaka-ainetta A jää 20 ml ja B:tä jää 0 ml) ja pisteessä (10;0) arvon 4200 euroa. Suurin tuotto on pisteessä (6;8) saatava 5480 euroa, jolloin myös kaikki raaka-aineet tulevat käyttöön. Vastaus: Hajuvettä X kannattaa valmistaa 6 pulloa ja Y:tä 8 pulloa. Esimerkki 8 Sisustussuunnittelija valmistaa kahta erilaista sisustustekstiiliä. Malliin Kesäheinä kuluu kangasta A 0,8 metriä ja kangasta B 0,8 metriä. Malliin Suvituuli tarvitaan kangasta A 2,4 metriä ja kangasta B 5,6 metriä. Kangasta A on varastossa jäljellä 86,4 metriä ja kangasta B 134,4 metriä. Kesäheinän hinta kulujen jälkeen on 295 euroa ja Suvituulin 630 euroa. Miten 9(11)

10 sisustussuunnittelijan kannattaa käyttää materiaalinsa, jotta kangas käytettäisiin mahdollisimman tarkkaan hyväksi ja mallien yhteinen tuotto olisi mahdollisimman hyvä? Merkitään Kesäheinän valmistuserien lukumäärää x:llä ja Suvituulin valmistuserien määrää vastaavasti y:llä. Koska malleja ei valmisteta negatiivisia määriä, niin selvästi x ja y. Koska A:ta on varastossa 86,4 metriä, niin 0,8x + 2,4 y 86, 4. Vastaavasti B:n varastotilanteen ja menekin perusteella saadaan, että 0,8x + 5,6 y 134, 4. Koska nyt etsitään mahdollisimman suurta rahallista tulosta, niin tavoitefunktio on 295x + 630y ja se on maksimoitava tasoalueessa y 0,8x + 2,4 y 86,4 0,8x + 5,6 y 134,4 1 1 Tasoalueen rajoina ovat nyt siis suorat x = 0, y = 0, y = x + 36 ja y = x ohessa.. Kuva Väritetyn nelikulmion kärjet ovat pisteissä (0;0), (0;24), (63;15) ja (108;0). Lasketaan nyt tuotot sekä jäljelle jäävän kankaan määrät kussakin kärkipisteessä paitsi origossa. Jäljelle jäävän kankaan määrä Piste Tuotto, A, m B, m (0;24) ,8 0 (63;15) (108;0) (11)

11 Suurin tuotto saataisiin valmistamalla pelkkää Kesäheinää 108 kappaletta, mutta tällöin kangasta B jäisi 48 metriä yli. Kun kaikki kangas halutaan käyttöön, niin paras tuotto saadaan valmistamalla Kesäheinää 63 ja Suvituulta 15. Vastaus: Jos tehtävän kysymys tulkitaan kirjaimellisesti, niin sisustussuunnittelijan kannattaa valmistaa Kesäheinää 63 kappaletta ja Suvituulta 15 kappaletta. Käytännössä hän varmaan harkitsisi kuitenkin tarkkaan, että pitäisikö valmistaa pelkkää Kesäheinää 108 kappaletta, koska silloin rahaa tulisi eniten ja kangasta jäisi ylikin. 11(11)