5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z 1, b) 2 [ ] z 1 i, c) 2 + i (!) 2 (2)! (z i). (!) 2 (2)! z2. 86. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a)! (z 1), b)! (z i), c) p (z + 2 + 3i), p N. 87. Määritä potenssisarjan suppenemissäde. Piirrä summafuntion uvaaja. x ) ( 88. Määritä potenssisarjan ( 1) 2 + 1 2 z 2 suppenemissäde ja summa palauttamalla se sopivaan geometriseen sarjaan. 89. Lase sarjan ( 1) x 2 1 m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiian laitos
summa tulitsemalla se erään toisen sarjan derivaatasi. Miä on sarjan suppenemissäde? x/(1 + x 2 ) 2, R = 1. 9. Osoita, että sarja /3 suppenee ja määritä sen summa. 91. Funtio f määritellään potenssisarjan summana f (z) = 1 [2 + ( 1) ] z suppenemisympyrässä. Piirrä funtion uvaaja, un muuttuja z rajoitetaan reaalisesi. 92. Potenssisarjan ertoimet toteuttavat reursion c z ( c 1 = 1, c +1 = 2 ln + 1 ) c, N. Määritä sarjan suppenemissäde ja piirrä summafuntion uvaaja reaalialueella summeeraamalla sarjan termejä. Piirrä osasummien uvaajia myös jonin mataa suppenemisalueen ulopuolelle. 2. 93. Millä muuttujan x R arvoilla sarja a x suppenee, un tiedetään, että a 2 aiilla indeseillä? 1 < x < 1. 94. Kehitä funtio f (z) = 1 1 z potenssisarjasi lauseeen z i potenssien muaan muoaamalla funtion lausee sopivan geometrisen sarjan summan muotoon. Miä on sarjan suppenemisympyrä? 95. Kehitä funtio f (z) = 1 1 z potenssisarjasi lauseeen z + 3 potenssien muaan. Miä on sarjan suppenemisympyrä? m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiian laitos
96. Muodosta origoesinen potenssisarja funtiolle Mitä voidaan sanoa tämän suppenemisjouosta? 97. 1 2 +1 z 2 ; suppenee, un z < 2. f (z) = 1 2 z 2. Muodosta funtion f (z) = 2z + 5 z 2 + 2z + 5 osamurtoehitelmä omplesialueella. Tulitse syntyneet termit lauseeen z 1 potenssien muaan etenevien geometristen sarjojen summisi ja muodosta funtion potenssisarja pisteessä z = 1. Arvioi sarjan ertoimien avulla numeerisesti suppenemissädettä. Millä reaaliaselin avoimella välillä sarja suppenee? Miten suppenemissäde suhtautuu nimittäjän nollaohtiin? 98. Oloon funtio f määritelty potenssisarjan avulla: Meritään f (z) = z ( + 1)!. 1 f (z) = B! z ; tässä B,B 1,B 2,... ovat Bernoulli n luuja. Määritä viisi ensimmäistä Bernoulli n luua muodostamalla sarjojen Cauchyn tulo. 5.2. Taylorin sarja 99. Oloon Muodosta funtion f Maclaurinin sarja. f (x) = e 1/x2, un x, ja f () = lim x f (x). 5.3. Aleisfuntioiden Taylorin sarjat 1. Muodosta funtion arctanx Maclaurinin sarjat pisteissä x = 1 ja x = 1/ 3. Todista, että nämä suppenevat ja että niiden summat ovat arctan1 ja arctan(1/ 3). Miten näiden avulla voidaan lasea luvun π liiarvoja? Montao termiä tarvitaan, jotta π saadaan 1 desimaalin taruudella? m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiian laitos
11. Sinifuntion arvoja lasetaan Maclaurinin sarjasta välillä [1π, 12π] ottamalla huomioon 6 nollasta eroavaa termiä. Arvioi tällöin syntyvää virhettä Leibnizin testin virhearvion muaisesti. Piirrä sinifuntion uvaaja ja approsimaatiofuntion uvaaja. Havainto? Sen selitys? 12. Muodosta origoesinen potenssisarja funtiolle ln(1 + x) ja tämän avulla funtiolle f (x) = ln 1 + x 1 x. Mitä ovat sarjojen suppenemissäteet? Minä luujen logaritmit jälimmäisen sarjan avulla voidaan lasea? ln 1 + x 1 x = 2 2+1 x2+1, R = 1; voidaan lasea aiien luujen logaritmit. 13. Juurelle n x voidaan lasea liiarvoja irjoittamalla juurrettava muotoon x = p n + y ja ehittämällä funtio n x = f (y) = (p n + y) 1/n binomisarjasi. Tässä p on sellainen luonnollinen luu, jona n:s potenssi lähellä luua x. Tuti approsimaatiota tapausessa x [156,1565], n = 6. Miten saavutettava taruus riippuu binomisarjaan otettavien termien luumäärästä? Tuti erityisesti juurelle 6 1562 saatavia liiarvoja. 14. Esitä binomisarjaan perustuva menettely, jolla funtio (a + bx) α (a, b, x R) voidaan ehittää sarjasi pisteessä x = c. Miä on ehitelmän suppenemisväli? [ ] (a + bx) α = (a + bc) α b(x c) α 1 +, x c < (a + bc)/b. a + bc 15. Muodosta origoesiset Taylorin sarjat funtioille e z 1 ja e z 2. Lase näiden Cauchyn tulo ja totea, että se on lauseeen e z 1+z 2 Taylorin sarja. 16. Esitä funtioiden e x ja e x origoesiset Taylorin sarjat. Muodosta näiden Cauchyn tulo. Millaisia luuja ovat tämän ertoimet? 5.4. Eri tapoja muodostaa Taylorin sarja 17. Johda Maclaurinin sarja funtiolle sin 2 x. Tapoja on useita; esitä ainain olme. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiian laitos
18. Muodosta Maclaurinin sarja funtiolle cos 2 x ainain olmella eri tavalla. 19. Muodosta funtiolle e x cosx potenssisarja a) äyttäen Cauchyn tuloa, b) tarastelemalla omplesista esponenttifuntiota e z. 11. Esitä vähintään olme eri tapaa muodostaa funtion arcsin x Maclaurinin sarja. Miä on sarjan suppenemisympyrä omplesitasossa? 111. Muodosta funtion y = tanx Maclaurinin sarja y = a x sijoittamalla tähän sarjaan funtion x = arctany Maclaurinin sarja ja vaatimalla, että tulos on = y. 112. Lase funtion e x4 aiien derivaattojen arvot origossa sarjaehitelmän avulla. 113. Etsi sellainen potenssisarja, että tämän Cauchyn tulo itsensä anssa on Miä tunnettu trigonometrian aava on yseessä? ( 1) +1 2(2)! z2. Funtion sin(z/2) potenssisarja; sin 2 (z/2) = 1 2 (1 cosz). 114. Johda Maclaurinin sarja funtiolle f : R R, f (x) = e t2 dt. Millä arvoilla sarja suppenee? Lase f (1) ymmenen desimaalin taruudella. Lase tulos myös integroimalla numeerisesti. ( 1)!(2+1) x2+1, suppenee aiialla; f (1).7468241328. 115. Muodosta funtiolle f : R R, f (x) = sintx dt, t m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiian laitos
origoesinen Taylorin sarja. Millä muuttujan x arvoilla sarja suppenee? 116. Piirrä funtion ( 1) x 4+2 ; suppenee aiilla x. (2 + 1)!(2 + 1) f (x) = sintx dt t uvaaja, un x [,1]. Etsi nelidesimaalinen liiarvo luvulle f (1). 117. Lase viisidesimaalinen liiarvo integraalille sarjaehitelmää äyttäen. 1 sinx x dx 118. Lase viisidesimaalinen liiarvo integraalille sarjaehitelmää äyttäen. 1 1 cosx x 2 dx 119. Kehitä sarjasi muuttujan x potenssien muaan funtio π/2 dt f (x) = 1 x 2 sin 2 t. 12. Muodosta jonin symbolisen tietooneohjelman avulla funtion f (x) = ex2 cosx Maclaurinin sarjan osasummia. Piirrä osasumien uvaajia ja vertaa niitä itse funtioon. 121. Muodosta Maclaurinin sarjat Fresnelin integraaleille S(x) = sint 2 dt, C(x) = cost 2 dt. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiian laitos
Millä muuttujan x arvoilla nämä sarjat suppenevat? 122. Muodosta astetta 1 olevat Taylorin polynomit funtiolle arcsinx pisteissä x = ja x = 1 2. Piirrä funtion ja polynomien uvaajat. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, matematiian laitos