ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime domain mien signaalin arvo jännie ms. muuuu ajan suheen? miaamalla oskilloskooppi yhälönä lukuarvoina näyeinä kuvaajana b aajuusasossa requency domain miä aajuuksia signaaliin sisälyy? esim. puhe n. 1 Hz - 5 khz musiikki Hz - khz videokuva Hz - 5 MHz miaamalla spekrianalysaaori maemaaisesi lähien aikaasosa käyäen inegraalimuunnosa Fourier-analyysi, Fouriermuunnos
Sinimuooinen signaali v cos ϕ cos ω ϕ aajuus ω kulmaaajuus 1/ jaksonpiuus ampliudi huippuarvo ϕ vaihe vaihekulma, vaihesiiro Huom! mpliudille ei useinkaan ilmoiea yksikköä. Huom! Kosinin käyö sinin sijaan yksinkeraisaa ieyjä yhälöiä.
3 ikaason kuva ;vaihe : v - Vaihe 45 : v - Vaihe -9 : v -
Vaihekulman merkiys 4 Yksinäisen sinisignaalin vaihe ei yleensä ole ärkeä. Kun sinisigaali summauuva, niin vaiheilla voi olla suurikin merkiys: - ja -aajuisen signaalien summa, kun kummankin vaihe on : v ja kun jälkimmäisen vaihe on -9 : w
Jaksollisen signaalin spekri 5 aajuusason arkaselun perusasia: Kaikki signaali niin jaksollise kuin ei-jaksollisekin koosuva eriaajuisisa sinimuooisisa signaaleisa. 'Koosuminen' summauuminen Eriyisesi: Jaksollinen signaali koosuu signaaleisa, joiden aajuude ova:,,, 3, 4,... ässä jaksollisen signaalin perusaajuus, 1/ ja signaalin jaksonpiuus aajuua n nimieään signaalin v n:nneksi harmoniseksi aajuudeksi.
6 Siis: Jos v on jaksollinen, niin voidaan kirjoiaa... 3 cos cos cos 3 3 1 1 ϕ ϕ ϕ v eli cos n n n n v ϕ ämä on jaksollisen signaalin v Fourier-sarja. Kulmaaajuuksia käyäen: cos n n n n v ϕ ω mpliudien n ja vaiheiden ϕ n arvo saadaan selville maemaaisesi, Fourier-analyysillä.
7 Esimerkki: Sakara-aalo v - Fourier-analyysillä voidaan saada selville, eä sakara-aalo voidaan kirjoiaa aikaason yhälönä seuraavasi:... 7 7 sin 5 5 sin 3 3 sin sin 4 v Kulmaaajuuksia käyäen:... 7 sin7 5 sin5 3 sin3 sin 4 v ω ω ω ω ässä siis ω. ehävä: Mikä on sakara-aallon n:nnen harmonisen aajuuden ampliudi ja vaihe?
8 Vasaus: n 4, kun n parion n, kun n parillinen ϕ n 9 Vaihe ulee kaavasa sin x cos x 9 Koska parillisilla n:n arvoilla n, sanoaan, eä sakara-aalo sisälää vain pariomia harmonisia aajuuksia.
Spekri 9 Signaalin ominaisuude aajuusasossa ilmoieaan spekrin avulla. Spekriä ukimalla löyyy vasaus näihin kolmeen kysymykseen: 1. Miä aajuuksia signaaliin sisälyy?. Mikä on kunkin signaaliin sisälyvän aajuuden ampliudi? mpliudispekri 3. Mikä on kunkin signaaliin sisälyvän aajuuden vaihe? Vaihespekri Useimmien ampliudispekri on ärkeämpi. Vaihespekri ei usein ole lainkaan kiinnosava.
1 Esimerkki Erään jaksollisen signaalin ampliudi- ja vaihespekri on: mpliudi 4 3 1 1 3 4 Vaihe/as. /khz 18 135 9 45 /khz 1 3 4 ässä siis näkyy apa, jolla spekri usein esieään kuvana. Kysymys: Mikä on ämän signaalin aikaason yhälö?
11 Rakaisu: Signaali sisälää seuraava aajuuskomponeni: aajuus mpliudi Vaihe Joen signaalin yhälö on v missä Signaali näyää aikaasossa seuraavala: v ässä
Usein ampliudispekri esieään niin, eä pysyakselilla on db-aseikko. 1 ällöin käyeään suheellisia ampliudeja niin, eä suurin ampliudi on db. Edelläoleva ampliudispekri voidaan siis esiää myös näin: mpliudi/db -5-1 -15-1 3 4 /khz Mikä ova ampliudien arka desibeliarvo? ehävä: Piirrä sakara-aallon jaksonpiuus µs ampliudispekri desibeleinä. Oa mukaan spekriviiva - db:n asoon asi. Millä aajuudella ämän sakara-aallon ampliudispekrin aso aliaa -4 db?
Kolmioaalo: v - 13 puolesaan voidaan kirjoiaa aikaason yhälönä 8 sin 3 v sin 3 sin 5 5 sin 7 7... ehävä: Piirrä samaan kuvaan sakara-aallon ja kolmioaallon kummankin jaksonpiuus µs ampliudispekri db:nä. Mikä oleellinen ero on näiden kahden signaalin spekreillä? Millä aajuudella kolmioaallon ampliudispekrin aso aliaa -4 db?
Reaalinen Fourier-sarja 14 Jaksollinen signaali voidaan siis aina lausua eriaajuisen sinisignaalien summana: v n n cos n ϕ n Siiryminen kompleksiseen arkaseluun Perusuu yhälöön cos x 1 jx jx e e jolloin siis cos 1 ϕ 1 j jϕ j jϕ e e e e j ϕ j ϕ e e
ällöin reaalinen sinisignaali 15 cos ϕ jonka ampliudi aajuus vaihekulma ϕ voidaan voidaan hajoaa kahdeksi kompleksiseksi eksponeniunkioksi: cos ϕ e j e jϕ e j Noia eksponeniunkioia voi kusua vaikkapa kompleksisiksi sinisignaaleiksi, joiden kummankin ampliudi / aajuude ova ja - vaihekulma ova ϕ ja -ϕ e jϕ Reaalisen sinisignaalin vaihekulma määrää sen, mihin kohaan aika-akselilla siniaalo aseuu, ks. sivu 3. Kompleksisen sinisignaalin vaihekulma määrää sen, missä asennossa vasaava osoiin on kompleksiasossa hekellä.
Kompleksinen Fourier-sarja 16 on siis: n j n v c n e ässä keroime c n ova kompleksilukuja, joka saadaan reaalisen Fourier-sarjan keroimisa n ja ϕ n seuraavasi: c n on n -aajuisen komponenin ampliudi n / kuienkin c argc n on n -aajuisen komponenin vaihe ϕ n n ai -ϕ n n < Kun signaalin v aalomuoo unneaan, Fourier-sarjan keroime saadaan: c j n n 1 v e d ässä arkoiaa inegroinia jakson piuisen ajan yli inegroinnin alaraja on vapaasi valiavissa.
Esimerkki: Sakara-aallon spekri v 17 - ällöin signaalin yhälö välillä - /... /on v kun - kun < / < < < / joen keroimen c n selviämiseksi on laskeava inegraali c n / e jn d / j n e d...
Ei-jaksollisen signaalin spekri saadaan kompleksisella Fouriermuunnoksella: V j v e d Merkinäapa on siis: aikaaso pienellä kirjaimella, aajuusaso eli spekri isolla kirjaimella. 18 F-muunnoksen merkinäapoja ova myös: [ ] V F v eli F-muunnos on operaaori F usein kirjoieaan kaunokirjoius-f:nä, joka kohdisuu signaaliin v v V eli v ja V ova oisensa F-muunnospari. Jälkimmäisesä voi pääellä, eä muunnos oimii myös oiseen suunaan: v 1 j F V e d [ V ] Fourier-kääneismuunnos.
Spekri 19 Ei-jaksollisen signaalin v ampliudispekri on V vaihespekri on arg [ V ] Esimerkki Määriä ja piirrä suorakulmaisen jänniepulssin spekri: v τ/ τ/
F-muunnokseen liiyviä laskusäänöjä 1. Superposiio: a 1v1 av av 1 1 av. Viive: v d V e j d Näiden sovellus: Määriä pulssiparin spekri: v τ τ - 3. Derivoini: dv d jv
1 4. Inegroini: j V d v Sovellus: Kolmiopulssin spekri: v τ τ 5. Konvoluuio X V x v X V x v Konvoluuio on kahden signaalin ai spekrin välinen apahuma: λ λ λ d x v x v
Niinpä. Mua mikä se konvoluuio on? Esimerkkejä: Hubble-avaruuseleskoopin virheellisesi hiou peili vai oliko se linssi? aiheui sen, eä saaava kuva oli koheen konvoluuio isensä kanssa kuva voiiin korjaa laskemalla ieokoneella kuvainormaaion dekonvoluuio. Kun kamera ärähää kuvan oohekellä, uloksena on konvoluuio. Kun kamera on väärin arkenneu, uloksena on konvoluuio. Kun kuunnellaan musiikkia, kuullaan kaiuimisa lähevän äänen ja huoneakusiikan huoneen impulssivaseen välinen konvoluuio. Esimerkki: Kolmiopulssi on kahden suorakulmaisen pulssin konvoluuio kolmiopulssin spekri on suorakulmaisen pulssin spekrin oinen poenssi
6. Impulssiunkio spekrin määriämisen apuna 3 Impulssia δ voi ajaella ääreömän kapeana ja ääreömän korkeana suorakulmaisena pulssina, jonka pina-ala leveys keraa korkeus 1. Miei pulssin spekrin muuumisa, kun pulssi kapenee ja korkenee niin, eä τ 1 δ 1 Viiväseyllä :n arvoisella impulssilla δ Kuva: d e v j d d Sovellus: Suorakulmaisen pulssin spekrin määriäminen derivoimalla pulssi ja ulkisemalla pulssin reunojen derivaaa impulsseina.