ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Näissä harjoituksissa viljellään paljon sanaa paradoksi. Sana tulee ymmärtää laajassa mielessä. Suppeassa mielessähän ei ole olemassa muita kuin valehtelijan paradoksi, eikä se esiinny näissä harjoituksissa. 1. Tarkastelemme Pietarin paradoksia. Olkoon L seuraavat (mahdollisesti äärettömät arpajaiset: Reilua kolikkoa heitetään kunnes tulee ensimmäinen klaava. Jos klaava tulee n:nnellä heitolla, pelaaja saa 2 n euroa. Toisin sanoen L on äärettömät arpajaiset L = L ( 2 1, 2 1 ; 2 2, 2 2 ; 2 3, 2 3 ; 2 4, 2 4 ;... Sama kuvallisesti: = L (, 2 ; 0,25, 4 ; 0,125, 8 ; 0,0625, 16 ;.... 2 L 4 8 16 (a Mikä on varmuusvastine CE(L eli suurin hinta, jonka päätöksentekijä suostuu maksamaan osallistumismaksuna arpajaisista L riskineutraalille päätöksentekijälle? (b Mikä on varmuusvastine CE(L päätöksentekijälle, jonka hyötyfunktio on u(x = log 2 x? (c Mikä on varmuusvastine CE(L päätöksentekijälle, jonka hyötyfunktio on u(x = ln x = log e x? Ratkaisuehdotus: (a Varmuusvastine on nyt odotusarvo CE(L = E(L = 2 n 2 n = + 1
(b Varmuusvastine on nyt hyödyn u(x = log 2 x odotusarvo (palkkioissa CE(L = u 1 (E(u(L = u 1 log 2 (2 n 2 n = u 1 n 2 n = u 1 n( n = u 1 ( n ( n 1 = u ( 1 d dx [xn ] x= [ = u 1 d ] x n dx x= [ = u 1 d ] x n 1 dx n=0 x= ( = u 1 d [ ] 1 dx 1 x 1 x= [ ] = u ( 1 1 (1 x 2 x= ( = u 1 1 2 = u 1 (2 = 2 2 = 4. (c Varmuusvastine on nyt hyödyn u(x = ln x odotusarvo (palkkioissa. Kohdan (b laskujen avulla näemme, että 2
CE(L = u 1 ln 2 n 2 n = u 1 ln 2 n 2 n = u 1 (ln 2 n 2 n = u 1 (ln 2 2 ln 2 2 = e ln 22 = e = 2 2 = 4. 2. Tarkastelemme Allais n paradoksia. Herra A.:n on valittava seuraavien arpajaisten väliltä (palkkiot ovat euroja: L 1 = L(1, 1.000.000, L 2 = L(0,10, 5.000.000 ; 0,89, 1.000.000 ; 0,01, 0. Herra A. valitsee arpajaiset L 1. Seuraavaksi herra A.:n on valittava seuraavien arpajaisten väliltä: Herra A. valitsee arpajaiset L 4. L 3 = L(0,11, 1.000.000 ; 0,89, 0, L 4 = L(0,10, 5.000.000 ; 0,90, 0. (a Osoita, että herra A. on epärationaalinen, jos uskomme herrojen Von Neumann ja Mogrenstern teoriaan. (b Selitä herra A.:n epärationaalisuus prospektiteorian ja/tai ankkurointiefektin avulla. Ratkaisuehdotus: (a Tarkastelemme, millainen herra A.:n hyötyfunktion tulisi olla. Voimme normeerata u(5.000.000 = 1 ja u(0 = 0. Merkitsemme q = u(1.000.000. Herra A. valitsee arpajaiset L 1 mieluummin kuin arpajaiset L 2. Tämä tarkoittaa Von Neumann-Morgensterniläisittäin sitä, että q > 0,10 1 + 0,89 q + 0,01 0 3
eli q > 0,90909. Toisaalta herra A. valitsee arpajaiset L 4 mieluummin kuin arpajaiset L 3. Tämä tarkoittaa Von Neumann-Morgensterniläisittäin sitä, että 0,10 1 + 0,90 0 > 0,11 q + 0,89 0 eli q < 0,90909. Johtopäätös on, että herra A. on epärationaalinen. (b Herra A.:n epärationaalisuus voidaan selittää prospektiteorian avulla tarkastelemalla esimerkiksi WW:n sivun 756 prospektifunktiota Π(p = 1,89799p 3,55995p 2 + 2,662549p 3. Tällön (hyötyinä mitatut varmuusvastineet ovat CE Π u (L 1 = q Π(1 = q, CE Π u (L 2 = 1 Π(0,10 + q Π(0,89 + 0 Π(0,01 = Π(0,10 + q Π(0,89 = 0,15686 + q 0,74639, CE Π u (L 3 = q Π(0,11 + 0 Π(0,89 = q Π(0,11 = q 0,16925, CE Π u (L 4 = 1 Π(0,10 + 0 Π(0,90 = Π(0,10 = 0,15686. Herra A.:n arpajaispreferenssit L 1 L 2 ja L 4 L 3 asettavat ehdot CE Π u (L 1 > CE Π u (L 2 ja CE Π u (L 4 > CE Π u (L 3. Toisin sanoen Näistä saamme q:lle ehdot q > 0,15686 + q 0,74639, 0,15686 > q 0,16925. 0,61851 < q < 0,92679. Johtopäätös on, että prospektiteoria selittää paradoksin. 3. Tarkastelemme Ellsbergin paradoksia. Laatikossa on 90 palloa. Palloista 30 on punaisia, ja loput palloista ovat joko keltaisia tai mustia. Laatikosta nostetaan yksi pallo umpimähkään. Seuraavat palkkiovaihtoehdot ovat nyt tarjolla: Vaihtoehto 1 Saat 1.000=C, jos tulee punainen pallo. 4
Vaihtoehto 2 Saat 1.000=C, jos tulee keltainen pallo. Vaihtoehto 3 Saat 1.000=C, jos tulee keltainen tai musta pallo. Vaihtoehto 4 Saat 1.000=C, jos tulee punainen tai musta pallo. (a Selitä, miksi useimmat ihmiset valitsevat vaihtoehdon 1 mieluummin kuin vaihtoehdon 2 ja vaihtoehdon 3 mieluummin kuin vaihtoehdon 4. (b Jos valitset mieluummin vaihtoehdon 1 kuin vaihtoehdon 2, niin selitä miksi sinun jos olet rationaalinen on valittava vaihtoehto 4 mieluummin kuin vaihtoehto 3. Ratkaisuehdotus: (a Vaihtoehto 1 antaa 1/3 todennäkösyyden voittaa 1.000=C. Vaihtoehto 2 toisaalta on riskillisempi. Jos keltaisia ja mustia palloja on yhtä paljon, niin vaihtoehto 2 on sam kuin vaihtoehto 1. Jos taas keltaisia palloja on vähemmän kuin mustia, vaihtoehto 2 on vaihtoehtoa 1 huonompi. Jos keltaisia palloja on enemmän kuin mustia palloja on vaihtoehto 2 vaihtoehtoa 1 parempi. Koska keltaisten pallojen lukumäärä ei kuitenkaan ole tiedossa, riskinkaihtajat valitsevat mieluummin punaiset pallot, joita on varmasti yhtä paljon, kuin keltaisia palloja on keskimäärin. Vaihtoehto 3 antaa 1.000=C todennäköisyydellä 2/3. Vaihtoehto 4 on riskillisempi. Jos keltaisia ja mustia palloja on yhtä paljon, vaihtoehto 4 on yhtä hyvä kuin vaihtoehto 3. Jos taas keltaisia palloja on vähemmän kuin mustia, vaihtoehto 3 on vaihtoehtoa 4 huonompi. Jos keltaisia palloja on enemmän kuin mustia palloja on vaihtoehto 3 vaihtoehtoa 4 parempi. Koska keltaisten pallojen lukumäärä ei kuitenkaan ole tiedossa, riskinkaihtajat valitsevat mieluummin keltaiset tai mustat pallot, joita on yhteensä varmasti 60, kun taas punaisia ja mustia palloja on yhteensä keskimäärin 60. (b Tarkastelemme vaihtoehtojen L 1, L 2, L 3, ja L 4 hyötyjä. Olkoon n (tuntematon keltaisten pallojen lukumäärä. Hyötyfunktio on u(1.000 = 1 ja u(0 = 0 (olennaisesti muita vaihtoehtoja ei ole. Tällöin varmuusvastineet (hyötyinä arpajaisille ovat CE u (L 1 = 30 90, CE u (L 2 = n 90, CE u (L 3 = 60 90, 30 + (60 n CE u (L 4 =. 90 Nyt L 1 L 2 tarkoitaa, että oletamme n < 30. Mutta tämä tarkoittaa, että CE u (L 4 > CE u (L 3 eli L 4 L 3. 5
4. Tarkastelemme Tverskyn ja Kahnemanin paradoksia. Olkoon L 1 = L(0,001, 5.000$ ; 0,999, 0$, L 2 = L(1, 5$, L 3 = L(0,001, 5.000$; 0,999, 0$, L 4 = L(1, 5$. Tversky ja Kahneman pyysivät 72 henkilöä valitsemaan arpajaisten L 1 ja L 2 sekä L 3 ja L 4 väliltä. Yli 75% valitsi arpajaiset L 1 mieluummin kuin arpajaiset L 2 ja arpajaiset L 4 mieluummin kuin arpajaiset L 3. (a Miten riskineutraali päätöksentekijä järjestäisi arpajaiset? (b Miten riskiä rakastava päätöksentekijä järjestäisi arpajaiset? (c Miten riskiä kaihtava päätöksentekijä järjestäisi arpajaiset? (d Miten sinä järjestäisit arpajaiset? (e Miksi Tverskyn ja Kahnemanin koe on ristiriidassa Von Neumann Morgensternin hyötyteorian kanssa? (f Miten prospektiteoria voi selittää Tverskyn ja Kahnemanin kokeen? Ratkaisuehdotus: (a Riskineutraalille päätoksentekijälle CE(L 1 = 5.000$ 0,001 + 0$ 0,999 = 5$, CE(L 2 = 5$, Siis L 1 L 2 L 3 L 4. (b L 1 L 2 L 3 L 4. (c L 2 L 1 L 4 L 3. CE(L 3 = 5.000$ 0,999 + 0$ 0,999 = 5$, CE(L 4 = 5$. (d Sinusta en tiedä, mutta luennoijan valinta on L 1 L 2 L 4 L 3. (Luennoija on, kuten seuraavassa kohdassa näemme, epärationaalinen. (e Keskeistä on, että arpajaiset on annettu voittojen/tappioiden suhteen. Muuten ristiriitaa ei ole. Itse asiassa tehtävässä ei eksplisiittisesti sanottu, että kyseessä on tappiot/voitot. Pahoittelemme häiriötä! Olkoon x 0 päätöksentekijän nykyinen varallisuus (ankkurointipiste. Nyt preferenssi L 1 L 2 tarkoittaa, että hyötyfunktio u(x on konveksii, kun x > x 0 ja preferenssi L 4 L 3 tarkoittaa, että u(x on konkaavi, kun x < x 0. Koska tämän täytyy päteä kaikille varallisuuksille x 0 on hyöytyfuntkion oltava aina sekä konveksi, että konkaavi. Tämä tarkoittaa, että hyötyfunktion on oltava affiini. Mutta hyötyfunktio ei voi olla affiini, sillä affiinille hyötyfunktiolle L 1 L 2 ja L 3 L 4. 6
(f Ankkurointiefekti selittää tämän paradoksin: voittojen suhteen ollaan riskinrakastajia ja tappioiden suhteen ollaan riskinkaihtajia. Myös käytetyillä luvuilla ±5.000$ ja ±5$ on varmaan vaikutusta tuloksiin. Toisenlaisilla luvuilla riskinkaihtamisen ja -rakastamisen suunta olisi varmaan vaihtunut. Itse asiassa seuraavassa tehtävässä käy juuri näin. 5. Tarkastelemme Nimetöntä paradoksia. Olkoot L 1 = L(1, 240=C, L 2 = L(0,25, 1.000=C ; 0,75, 0=C, L 3 = L(1, 750=C, L 4 = L(0,75, 1.000=C ; 0,25, 0=C. 84% kaikista ihmisistä valitsee L 1 :n mieluummin kuin L 2 :n ja 87% ihmisistä valitsee L 4 :n mieluummin kuin L 3 :n. (a Selitä, miksi preferoinnit L 1 L 2 ja L 4 L 3 ovat ristiriidassa Von Neumann Morgensternin hyötyteorian kanssa. (b Voitko selittää paradoksin jotenkin? Ratkaisuehdotus: Keskeistä on, että arpajaiset on annettu voittojen/ tappioiden suhteen. Muuten ristiriitaa ei ole. Itse asiassa tehtävässä ei eksplisiittisesti sanottu, että kyseessä on tappiot/voitot. Pahoittelemme häiriötä! (a Koska kyseessä on tappiot/voitot, niin preferenssi L 1 L 2 tarkoittaa, että päätöksentekijä on riskinkaihtaja voitoille ja samoin preferenssi L 4 L 3 tarkoittaa, että päätöksentekijä on riskinrakastaja tappioille. Koska tämän on pädettävä kaikille päätöksentekijän mahdollisille varallisuuksille, hyötyfuntkion on oltava affiini. Mutta hyötyfunktio ei voi olla affiini, sillä L 3 L 4. (b Ankkurointiefekti selittää tämän paradoksin: voittojen suhteen ollaan riskinkaihtajia ja tappioiden suhteen ollaan riskinrakastajia. 7