2 Eristeet Eristeissä kaikki elektronit ovat sitoutuneita atomeihin tai molekyyleihin, eivätkä voi siis liikkua vapaasti kuten johdeelektronit johteissa. Ulkoinen sähkökenttä aiheuttaa kuitenkin vähäisiä atomien elektroniverhojen siirtymiä, ja tämä johtaa indusoitujen varausten syntymiseen. Nämä varaukset pienentävät kylläkin sähkökenttää eristeen sisällä, mutta ne eivät ole riittävän suuria ulkoisen kentän kompensoimiseksi. Eristeillä on siis johteiden tavoin pyrkimys suojautua ulkoiselta sähkökentältä, mutta varausten vähäisen liikkuvuuden vuoksi tämä onnistuu vain osittain. Tämän vuoksi staattinen sähkökenttä pääsee tunkeutumaan eristeeseen. 2.1 Polarisoituma Tarkastellaan neutraalia atomia, jonka ydintä (varaus Ze) ympäröi symmetrinen elektroniverho (varaus Ze). Kun ulkoista kenttää ei ole, on ydin elektroniverhon 65
66 keskipisteessä. elektronipilvi (Ze) ydin (Ze) R el a 0 R nuc Kuva 2.1 Atomin varausjakautuma on pallosymmetrinen, eikä aiheuta ulkopuolelleen sähkökenttää. Jos atomi asetetaan ulkoiseen kenttään E, tämän aiheuttama voima vetää ydintä ja elektroniverhoa eri suuntiin. Koska atomiin vaikuttava voima on nolla, pysyy atomin painopiste paikallaan, ts. ydin pysyy suunnilleen paikallaan ja elektroniverho siirtyy. Koska ydin vetää elektroniverhoa puoleensa, asettuu elektroniverhon keskipiste sellaiselle etäisyydelle a ytimestä, että ulkoisen sähkökentän ja ytimen aiheuttamat voimat kumoavat toisensa. Näin syntyy sähköinen dipoli, jonka dipolimomentti on p = Zea. (2.1)
2.1. POLARISOITUMA 67 Elektroniverhon varauskeskipiste on R el = at at rρ el (r)dτ ρ el (r)dτ = 1 Ze at rρ el (r)dτ. missä ρ el (r) on elektroniverhon varaustiheys. Vastaavasti ytimen varausjakautuman painopiste on R yd = 1 rρ yd (r)dτ, Ze at missä ρ yd (r) on ytimen varaustiheys. Polarisoituneen atomin malli saadaan, kun positiiviset ja negatiiviset varausjakautumat korvataan niiden painopisteisiin asetetuilla pistevarauksilla. Näin syntyy dipolimomentti p = Zea = Ze(R yd R el )= at r [ρ yd (r)ρ el (r)] dτ = at rρ at (r)dτ (2.2) missä ρ at = ρ yd ρ el on atomin varaustiheysfunktio. Tarkastellaan nyt, mitä tapahtuu, kun eristekappale asetetaan sähkökenttään. Jos kenttä on kaikkialla sama ja aine on homogeenista, siirtyy jokaisen atomin elektroniverho ja siten myös elektronien yhdistetty varaustiheys matkan a.keskimääräinen varaus eristeen sisällä on kuitenkin edelleen nolla, sillä siirtymät kompensoivat toisensa. Sen sijaan eristeen ulkopinnoille jää kompensoimattomat vastakkaismerkkiset polarisaatiovaraukset σ p ja σ p
68 ei kenttää σ p E σ p δs δs Q = 0 Kuva 2.2 Q < 0 Q = 0 Q > 0 Jos eristeessä on N atomia tilavyysyksikössä, on elektronipilven varaustiheys NZe. Pinnalle δs on siis syntynyt varaus σ p δs = NZeδS a = NZeaδS = NpδS =Np δs (huomaa, että p on E:n suuntainen). Ytimien keskimääräinen varaustiheys on vastaavasti NZe ja pinnalle δs syntyy varaus σ p δs = NZeδS a = NZeaδS = NpδS = Np δs. Jos pinta on vinossa asennossa E:n suhteen, on kuvan 2.3 mukaan polarisaatiovaraus pintaelementissä δs σ p δs = NZeδSd = NZeaδScos ψ = NpδScos ψ = Np δs.
2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 69 d E a Kuva 2.3 δs ψ Pinnalle δs indusoituneelle polarisaatiovaraukselle on siis yleisesti voimassa missä σ p δs = Np δs = P δs, (2.3) P = Np (2.4) on väliaineen sähköpolarisoituma eli dipolimomenttitiheys. 2.2 Suhteellinen permittiivisyys ja suskeptiivisuus Eristeen pinnalle syntyvät polarisaatiovaraukset pienentävät sähkökenttää eristeen sisällä. Polarisatiovarausten määrä ei kuitenkaan voi olla kuinka suuri tahansa, vaan kaavan (2.3) perusteella sen määrää eristeen polarisoituma, joka puolestaan riippuu sähkökentästä ja eristeen ominaisuuksista. E 0 E Kuva 2.4 E 0
70 Tarkastellaan kondensaattoria tyhjiössä. Levyjen varauskate on σ ja sähkökenttä E 0. Pinnan S sisään jää varaus σa ja E 0 :n vuo sen lävitse on E 0 A. Gaussin lain perusteella silloin E 0 A = σa/ε 0, joten E 0 = σ/ε 0, Kondensaattorin kapasitanssi on S E 0 C 0 = Q V = Aσ E 0 d = ε 0A d. (a) Jos levyjen varaus pidetään samana ja niiden väliin tuodaan eriste, sen pinnalle indusoituu varauskate σ p = P. Soveltamalla jälleen Gaussin lakia pintaan S saadaan S E E = 1 ε 0 (σ P ), Kuva 2.5 josta σ = ε 0 E P.
2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 71 Kondensaattorin kapasitanssi on nyt C = Q V = Aσ Ed = (ε 0E P )A Ed = ( 1 P ) ε0 A ε 0 E d = εε 0A d. (b) Tässä ε =1 P ε 0 E on eristeen suhteellinen permittiivisyys. Polarisoituma voidaan nyt esittää muodossa P =(ε 1)ε 0 E. Isotrooppisessa väliaineessa P ja E ovat samansuuntaisia. Näinollen P =(ε 1)ε 0 E, (2.5) eli missä P = χ E ε 0 E, (2.6) χ E = ε 1 (2.7) on eristeen sähköinen suskeptiivisuus. Kaavoista (a) ja (b) seuraa, että C = εc 0.
72 Tämän perusteella voidaan määrittää eristeen permittiivisyys mittaamalla erikseen kapasitanssit, kun kondensaattori on täytetty ilmalla ja tutkittavalla eristeellä. Tällöin C/C ilma = ε/ε ilma ε = ε ilma C/C ilma. Osoittautuu, että saatu ε:n arvo ei riipu siitä, mihin jännitteeseen kondensaattori on varattu (tämä on voimassa kunnes kenttä kasvaa niin suureksi, että eristeessä tapahtuu läpilyönti). Eristeen permittiivisyys ei siis riipu sähkökentästä. Kun suhteellinen permittiivisyys on mitattu, voidaan suskeptiivisuus laskea määritelmästä (2.7). Koska P = N p, voidaan suskeptiivisuuden avulla edelleen laskea molekyylin dipolimomentti. Tulos on p = P N = χ Eε 0 E N. (2.8) Esim: CCl 4 :n dipolimomentti sähkökentässä E =10 7 V/m. ρ = 1600 kg/m 3 M = 156 g/mol Z =74 Lämpötilassa T =20 o Conε =2.24 N = N A ρ/m 6.2 10 27 /m 3 p =(ε 1)ε 0 E/N 1, 8 0 32 Cm. Jos p = Zea, niin a = p/ze =1, 5 10 15 m, mikä on suuruusluokkaa 10 5 atomin halkaisija. Siirtymän a pienuudesta johtuu, että se on suunnilleen verrannollinen sähkökenttään. Tästä seuraa, että p E, joten myös P E. Tämän vuoksi siis ε on suunnilleen vakio, kuten kokeellisesti havaitaan.
2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 73 2.2.1 Paikallinen kenttä Kaavat P = (ε 1)ε 0 E ja p = P/N määrittelevät yksittäisen dipolimomentin ja makroskooppisen kentän välisen yhteyden. Koska todellinen kenttä vaihtelee atomin suuruusluokkaa olevassa mittakaavassa, ei keskimääräinen makroskooppinen kenttä kuitenkaan ole välttämättä se paikallinen kenttä, mikä polarisoi yksittäistä molekyyliä tai atomia. Molekyyli tai atomi kokee paikallisen kentän E loc, mikä aiheutuu eristeen ulkopuolella olevien varausten kentistä polarisaatiovarausten kentistä ympärillä olevien neutraalien atomien ja molekyylien (naapurimolekyylien) dipolimomenttien lähikentistä (E nb ). Kaukana olevien molekyylien dipolimomentit eivät vaikuta paikalliseen kenttään, sillä dipolikenttä pienenee nopeasti, kääntäen verrannollisena etäisyyden kuutioon. Myöskään atomin tai molekyylin omat varaukset eivät vaikuta paikalliseen kenttään. Voidaan siis kirjoittaa E loc = EE nb. Kaasussa molekyylit ovat niin kaukana toisistaan, että lähikenttä on vähäinen. Silloin E loc = E,
74 joten Siis p =(χ E /N ) kaasu ε 0 E loc. p = αε 0 E loc, (2.9) missä ( ) χe α =. (2.10) N kaasu Verrannollisuuskerrointa α nimitetään molekyylin polarisoituvuudeksi ja se on siis yksittäisen molekyylin ominaisuus. Koska juuri paikallinen kenttä venyttää molekyyliä, on yhtälö (2.9) voimassa myös, kun aine on kiinteässä tai nestemäisessä muodossa. 2.2.2 Pooliset molekyylit Edellä onkäsitelty molekyylejä, joihin syntyy ulkoisen sähkökentän vaikutuksesta indusoitu dipolimomentti. On myös olemassa molekyylejä, joilla on nollasta poikkeava dipolimomentti, vaikka ulkoinen sähkökenttä on nolla; tällaisia molekyylejä nimitetään poolisiksi. Esimerkkejä poolisista molekyyleistä ovat NaCl ja vesi. Vaikka aineen yksittäisillä molekyyleillä onkin pysyvä dipolimomentti, on aineen polarisoituma ilman ulkoista sähkökenttää nolla, sillä molekyylien dipolimomentit ovat satunnaisesti orientoituneita ja sen vuoksi kumoavat toisensa. Ulkoinen sähkökenttä pyrkii kääntämään permanentit dipolit itsensä suuntaisiksi ja aiheuttaa aineen polarisoituman.
2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 75 Dipolin potentiaalienergia Tarkastellaan kahdesta pistevarauksesta muodostunutta dipolia, jonka dipolimomentti muodostaa kulman θ ulkoisen vakiosähkökentän E kanssa. Varausten välistä etäisyyttä pidetään vakiona. Tällöin niiden välistä vuorovaikutusta ei tarvitse ottaa huomioon, ja potentiaalienergia E:n potentiaalikentässä φ on θ U = i q i φ i = q(φ B φ A ). Potentiaaliero saadaan integraalina Kuva 2.7 joten φ B φ A = B A E dl = ae cos θ, U = qae cos θ = pe cos θ = p E. (2.11) Tämä pätee myös molekyylille, jonka dipolimomentti on p. Valitaan molekyylin keskipiste origoksi, jolloin ulkoisen sähkökentän potentiaali on Taylorin sarjaksi kehitettynä φ(r) =φ(0) r φ(0)...= φ(0) r E(0)...
76 Tällöin potentiaalienergia paikallisessa kentässä E on U = ρ at φdτ = φ(0) ρ at dτ } {{ } 0 [ ] rρ at dτ } {{ } p E(0) = p E. Tämän lisäksi molekyylillä on oma sisäinen potentiaalienergiansa. Poolisen kaasun suskeptiivisuus Kaasussa E loc E. Dipolin potentiaalienergia saa minimin pe, kun p ja E ovat samansuuntaisia ja maksimin pe, kun p ja E ovat vastakkaissuuntaisia. Dipolin kääntämiseksi kentän suunnasta vastakkaiseen suuntaan tarvitaan siis työ 2pE. Koska poolisella kaasulla dipolin varaus on alkeisvarauksen suuruusluokkaa ja dipolin pituus atomin halkaisijan suuruusluokkaa, on dipolimomentti p 1, 6 10 19 10 10 Cm=1, 6 10 29 Cm. Sähkökentät voivat kaasussa olla enintään 10 6 V/m, joten 2pE 2 1, 6 10 29 10 6 J 3 10 23 J. Tämä on paljon pienempi kuin kaasun keskimääräinen terminen energia 3/2kT = 6 10 21 J (lämpötilassa T = 293 K). Jos kaasu asetetaan sähkökenttään, kenttä pyrkii orientoimaan kaikki dipolit itsensä suuntaisiksi. Suuren energiansa avulla lämpöliike estää tämän, ja kaasussa on
2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 77 edelleen kaikkiin suuntiin osoittavia dipoleja. Suuntajakautuma kuitenkin muuttuu sellaiseksi, että kentän suuntaisia dipoleja on hiukan enemmän kuin vastakkaissuuntaisia ja nettoefektinä saadaan kentän suuntainen polarisoituma. Tarkastellaan avaruuskulmaa dω, joka saadaan pyöräyttämällä kuvan mukaista kulmaa dθ z akselin ympäri. Ilmeisesti dω = 2πr sin θ rdθ r 2 =2π sin θdθ. Jos E = 0, ovat kaikki mahdolliset dipolien suunnat yhtä todennäköisiä. Jos kaasussa on N molekyyliä (dipolia) tilavuusyksikössä, on niiden dipolien lukumäärä, joiden suunta osuu välille (θ, θ dθ) 0 dθ r θ rdθ rsinθ z N dω 4π = 1 N sin θdθ. 2 Kuva 2.8 Jos zakselin suuntainen sähkökenttä E 0, on suuntaan θ osoittavan dipolin potentiaalienergia U = pe cos θ. Dipolit noudattavat Boltzmannin jakautumaa, joten kulmaan dθ osoittavien dipolien lukumäärä tilavuusyksikössä on dn(θ) =A exp( U/kT)dΩ =A exp( U/kT) 2π sin θdθ.
78 Koska U/kT 1on exp( U/kT) 1 U kt cos θ =1pE, kt joten dn(θ) =2πA sin θ ( 1 ) pe cos θ dθ kt Dipolien kokonaislukumäärä tilavuusyksikössä saadaan integroimalla dn(θ) kaikkien suuntien yli. Siis N = π 0 = 2πA π / 0 dn(θ) dθ =2πA dθ ( π 0 sin θ cos θ pe sin2 θ 2kT ( ) 1 ) pe cos θ dθ kt =2πA(110 0) = 4πA, mistä A = N 4π ja dn(θ) =N 2 sin θ ( 1 ) pe cos θ dθ. (2.12) kt Koska suuntajakautuma on symmetrinen zakselin suhteen, dipolimomenttien z akselia vastaan kohtisuorat komponentit kumoavat toisensa ja syntyvä polarisoituma on zakselin suuntainen. Suuntaan θ osoittavan dipolimomentin zkomponentti
2.2. SUHTEELLINEN PERMITTIIVISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 79 on p cos θ. Kun lasketaan tilavuusyksikössä olevien kaikkiin suuntiin osoittavien dipolimomenttien zkomponentit yhteen saadaan polarisoituma P = = Np 2 = Np 2 p cos θdn(θ) = Np 2 π 0 π / 0 π 0 cos θ sin θ (cos θ sin θ pe kt sin θ cos2 θ)dθ ( sin 2 θ pe ) 2 3kT cos3 θ ( 1 ) pe cos θ dθ kt = Np 2 2 pe 3kT = Np2 E 3kT. Siis P = Np2 E 3kT. (2.13) Kaikkiin molekyyleihin syntyy vielä kentän suuntainen indusoitunut dipolimomentti, jonka suuruus määräytyy molekyylin polarisoituvuudesta α. Tämä aiheuttaa polarisoitumaan lisän Nαε 0 E, joten kokonaispolarisoituma on P = ( Nαε 0 Np2 3kT ) E ja suskeptiivisuus χ E = N ( α ) p2. (2.14) 3ε 0 kt
80 Tätä yhtälöä voidaan käyttää poolisen molekyylin polarisoituvuuden ja permanentin dipolimomentin määrittämiseen. Mitataan suskeptiivisuus eri lämpötiloissa vakiotiheydessä. Kun piirretään χ E 1/T :n funktiona, saadaan suora, jonka kulmakerroin on Np 2 /(3ε 0 k) ja joka leikkaa pystyakselin pisteessä Nα. Kun N tunnetaan, kulmakertoimesta voidaan ratkaista p ja leikkauspisteen koordinaatista α. 2.3 Makroskooppiset kentät eristeessä Edellä tarkasteltiin vain homogeenista polarisoitumaa. Polarisoituma voi olla myös paikasta riippuva jos väliaine on epähomogeenista tai jos sähkökenttä on epähomogeeninen. Esimerkki epähomogeenisesta sähkökentästä on koaksiaalikaapeli tai sylinterikondensaattori, jossa sähkökenttä on radiaalinen ja pienenee sylinterin säteen funktiona. Seuraavassa tarkastellaan polarisoituman epähomogeenisuuden seurauksia.
2.3. MAKROSKOOPPISET KENTÄT ERISTEESSÄ 81 2.3.1 Polarisaatiovarauksen tiheys Tarkastellaan sähköisesti neutraalin aineen sisällä olevaa kuutiota δx δy δz. Jos sähkökentän kytkemisen seurauksena aineeseen syntyy polarisoituma, jonka xkomponentti on positiivinen, siirtyy sivun ABCD läpi elektroneja negatiivisen xakselin suuntaan ja ne kuljettavat kuutiosta ulos varauksen P x (x)δyδz. Samoin siirtyy sivun EFGH läpi kuution sisään varaus P x (x δx)δyδz, joten xakselin suuntaisten varausten siirtymien vuoksi kuutio saa nettovarauksen H z D δz x A P x (x) δy δz δy G xδx E F x P x (xδx) δy δz Kuva 2.13 P x (x δx)δyδz [ P x (x)δyδz] = [P x (x δx) P x (x)]δyδz = δp x δx δxδyδz. Jos P x on negatiivinen, tapahtuu elektronien siirtyminen päinvastaiseen suuntaan: varaus P x (x)δyδz siirtyy kuution sisälle ja P x (x δx)δyδz kuutiosta ulos, joten nettovaraukselle saadaan sama tulos kuin yllä. Samoin voidaan laskea varausten y jazakselin suuntaisten siirtymien vaikutus. Laskemalla nämä kaikki yhteen saadaan kuution sisälle siirtyväksi kokonaisvaraukseksi ( δpx Q = δx δp y δy δp ) z δx δy δz. δz C δx B y
82 Keskimääräinen varaustiheys kuution sisällä on ρ p = Q δx δy δz = ( δpx δx δp y δy δp z δz Kun annetaan δx 0, δy 0jaδz 0, saadaan polarisaatiovarauksen tiheydeksi ( Px ρ p = x P y y P ) z = P. (2.17) z Epähomogeeninen polarisoituma voi siis aiheuttaa tällaisen makroskooppisen varaustiheyden. Tämä kaava on samaa muotoa kuin Gaussin laki. Miinusmerkin vaikutus on, että polarisoituman kenttäviivat kulkevat negatiivisista polarisaatiovarauksista positiivisiin. Jos lasketaan polarisaatiovarausten summa koko väliaineessa, saadaan S σ p ds V ρ p dτ = S P ds V Pdτ = V ) Pdτ. V Pdτ =0, kuten tulee ollakin, sillä polarisaatiovaraukset aiheutuvat ulkoisesti neutraalin väliaineen erimerkkisten varausten uudelleenjärjestäytymisestä. 2.3.2 Sähkövuon tiheys Eristeeseen voidaan myös tuoda tai siitä poistaa varauksia, jolloin se ei ole ulkoisesti neutraali. Tällaisia varauksia sanotaan vapaiksi varauksiksi ja niihin liittyvää
2.3. MAKROSKOOPPISET KENTÄT ERISTEESSÄ 83 varaustiheyttä vapaiden varauksien tiheydeksi ρ f. Kokonaisvaraustiheys ρ on Gaussin lain ja yhtälön (2.17) avulla saadaan ρ = ρ f ρ p. (2.18) Tämä voidaan esittää muodossa E = ρ ε 0 = 1 ε 0 (ρ f ρ p )= 1 ε 0 (ρ f P) ε 0 E = ρ f P ε 0 E P = ρ f (ε 0 E P) =ρ f. D = ρ f, (2.19) missä on määritelty uusi vektorikenttä sähkövuon tiheys (eli sähköinen siirtymä, electric displacement) kaavalla D(r) =ε 0 E(r)P(r). (2.20) D:n yksikkö on sama kuin P:n yksikkö, siis C/m 2. Koska P = ε 0 χ E E, voidaan sähkövuon tiheys esittää myös muodossa D =(1χ E )ε 0 E = εε 0 E. (2.21)
84 Huomaa, että (2.19) on Gaussin lain uusi esitysmuoto, missä polarisaatiovaraukset on automaattisesti huomioitu. Jos (2.19) integroidaan tilavuuden V yli, saadaan V D dτ = V ρ f dτ. Divergenssilauseen avulla voidaan ensimmäinen integraali muuttaa pintaintegraaliksi, jolloin saadaan Gaussin lain integraalimuoto: S D ds = V ρ f dτ, (2.22) eli sähkövuo (D:n vuo) suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin pinnan sisäänsä sulkema vapaa varaus. D:tä voidaan pitää matemaattisena käsitteenä, joka on hyödyllinen kenttien laskemisen apuväline, mutta jolla ei ole yhtä selvää fysikaalista merkitystä kuin E:llä (voima yksikkö varausta kohti) ja P:llä (dipolimomenttitiheys). Esim: Sylinterikondensaattorin sähkökenttä ja kapasitanssi. Kondensaattorin sisäsäde on a, ulkosäde b ja pituus l. Eristeaineen suhteellinen permittiivisyys on ε.
2.3. MAKROSKOOPPISET KENTÄT ERISTEESSÄ 85 Oletetaan, että sisäsylinterillä on (vapaa) positiivinen varauskate σ. Tällöin syntyy sylinterisymmetrinen radiaalinen kenttä. Valitaan pinnaksi S sylinteri, jonka säde on r. Tällöin Gaussin lain avulla D ds =2πrlD(r) =2πaσl, S mistä D(r) = aσ r ja E(r) = D εε 0 = aσ εε 0 r. Ulko ja sisäsylinterin välinen potentiaaliero on φ b φ a = b a E dr = b a E dr = Siis kondensaattorin jännite on V = φ a φ b = aσ ln b εε 0 a. joten kapasitanssi pituusyksikköä kohti on 2.3.3 D:n ja E:n rajaehdot C l b a aσ εε 0 r = Q/l V = 2πaσ εε 0 aσ ln(b/a) = 2πεε 0 ln(b/a). a) Kenttä kohtisuorassa rajapintaa vastaan b a r Kuva 2.14 dr = aσ εε 0 ln b a,
86 Tarkastellaan kondensaattorilevyjen väliin asetettua neutraalia eristekappaletta, joka on ohuempi kuin kondensaattorilevyjen väli. Gaussin lain mukaan σ p ds 1 E ds = 0, ε 0 S S 1 joten sähkökenttä ei ole sama ilmassa ja eristeessä. Näinollen sähkökenttä ei ole jatkuva eristeen rajapinnalla S 1. Sen sijaan Dkentän vuohon vaikuttavat vain vapaat varaukset, ja koska ρ f = σ f =0, on myös S D ds =0 D 1 = D 2 = D. S S 1 a b Kuva 2.15 Dkenttä on siis jatkuva pinnalla, joka on kohtisuorassa kenttää vastaan ja jolla ei ole vapaita varauksia. Kuvan tapauksessa D on siis vakio kondensaattorilevyjen välissä. Sähkökentälle saadaan eri alueissa arvot E 1 = D/ε 0, E 2 = D/(εε 0 )=E 1 /ε. Potentiaaliero levyjen välillä on V = E 1 (a b)e 2 b = E 1 (a b b/ε). Varaustiheydet levyjen pinnoilla ovat ±ε 0 E 1 ja varaukset ±Q = ±ε 0 E 1 A, missä A
2.3. MAKROSKOOPPISET KENTÄT ERISTEESSÄ 87 on levyjen pintaala. Kapasitanssiksi saadaan siis C = Q V = ε 0 E 1 A E 1 (a b b/ε) = ε 0 A a b b/ε. D, E ja Pkentät ovat siis seuraavan kuvan mukaiset ja kaikkialla on voimassa D = ε 0 E P. D E Kuva 2.16 P b) Kenttä vinossa asennossa rajapintaa vastaan
88 Tarkastellaan kahden aineen rajapintaa S tilanteessa, jossa sähkövuon tiheys muodostaa kulmat θ 1 ja θ 2 rajapinnan normaalin kanssa. Valitaan tilavuuselementti δτ siten, että se leikkaa S:stä elementin δs, ja sen pintojen normaalit δs 1 ja δs 2 ovat S:n normaalin suuntaiset. Jos pinnalla ei ole vapaita varauksia, on D:n vuo δτ:n rajapinnan läpi nolla. Jos δτ:n annetaan lähetä nollaa siten, että δs 1 ja δs 2 lähestyvät δs:ää kummaltakin puolelta, jäävät vuointegraaliin vaikuttamaan vain δs 1 :n ja δs 2 :n läpi kulkevat vuot, ja D 1 δs 1 D 2 δs 2 =0. δs 1 δs ε 2 D 1 θ 1 θ 2 ε 1 δs 2 Kuva 2.17 D 2 Käytetään D 1 :n ja D 2 :n pintaa S vastaan kohtisuorista komponenteista merkintöjä D 1 ja D 2. Tällöin D 1 δs 1 = D 1 δs ja D 2 δs 2 = D 2 δs, joten e.o. yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon D 1 = D 2, (2.23) eli sähkövuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva kahden aineen rajapinnalla. Jotta D:n suuntien θ 1 ja θ 2 välinen riippuvuus tunnettaisiin, tarvitaan myös ehto
2.3. MAKROSKOOPPISET KENTÄT ERISTEESSÄ 89 D:n tangentiaalikomponenttien D 1 ja D 2 välille. Tämä voidaan johtaa sähkökentän avulla. Valitaan suorakulmion muotoinen silmukka, jonka S:n suuntaiset sivut ovat δl 1 ja δl 2. Koska E on konservatiivinen, on sen kiertointegraali tämän silmukan ympäri nolla. Annetaan silmukan pintaalan lähetä nollaa siten, että δl 1 ja δl 2 lähenevät S:ää kummaltakin puolelta, jolloin kiertointegraaliin jäävät vaikuttamaan vain termit E 1 δl 1 ja E 2 δl 2. Silloin inegraaliksi saadaan E 1 δl 1 E 2 δl 2 =0. Koska δl 1 = δl 2 = δl, one 1 δl 1 = E 1 δl ja E 2 δl 2 = E 2 δl, joten E 1 = E 2, (2.24) ε 1 E 1 δs 1 θ 1 δl 1 eli sähkökentän tangentiaalikomponentti on jatkuva kahden aineen rajapinnalla. Yhtälöiden (2.23) ja (2.24) avulla voidaan johtaa kenttäviivojen taittumislaki kahden aineen rajapinnalla. Nimittäin ε 2 δl 2 δs 2 θ 2 Kuva 2.1 E 2 (2.23) D 1 cos θ 1 = D 2 cos θ 2 ε 1 E 1 cos θ 1 = ε 2 E 2 cos θ 2 (2.24) E 1 sin θ 1 = E 2 sin θ 2, mistä jakamalla puolittain saadaan
90 ε 1 cot θ 1 = ε 2 cot θ 2. Tämä on sama tulos kuin optiikasta tuttu valon taittumista kuvaava Snelliuksen laki. 2.4 Eristeen vaikutus systeemin potentiaalienergiaan Jos kondensaattorissa, jonka jännite on V siirretään infinitesimaalinen varaus dq levyltä toiselle, on tehty työ ja samalla kondensaattorin potentiaalienergian muutos du = V dq. Koska Q = CV ja C on vakio, varauksen muutos dq aiheuttaa kondensaattorin jännitteen muutoksen dv,jadq = CdV, joten du = CV dv. Samalla tapahtuu automaattisesti vähäinen polarisaatiovarausten liike kondensaattorilevyjen välisessä eristeessä. Kun varaamaton kondensaattori ladataan jännitteeseen V, saa se potentiaalienergian U = du = V CV dv = 1 2 CV 2 = 1 QV. (2.25) 2 0 Tämä tulos on sama kuin (1.38), joka johdettiin olettaen kondensaattorilevyjen olevan tyhjiössä. Eriste kuitenkin vaikuttaa kondensaattorin kapasitanssiin, joten
2.4. ERISTEEN VAIKUTUS SYSTEEMIN POTENTIAALIENERGIAAN 91 jännitteeseen V ladatun kondensaattorin potentiaalienergia riippuu siitä, mitä eristettä levyjen välissä on. Levykondensaattorille 1 2 CV 2 = 1 2 εε 0 A d V 2. Koska kondensaattorin tilavuus on Ad, on kentän energiatiheys 1 2 εε A 0 d V 2 Ad = 1 2 εε 0E 2 = 1 2 DE. Näyttää siis siltä, että eristeessä olevan sähkökentän energiatiheys on D E/2 ja tilavuudessa V oleva sähköstaattinen energia on U = 1 2 V D E dτ. (2.26)