Kombiatoriikka Iiro Hokala 2015
Sisällysluettelo 1. Haoi torit 1 2. Lokeroperiaate 3 3. Tuloperiaate 3 4. Permutaatioista ja kombiaatioista 4 5. Toistokombiaatioista 5 6. Biomikertoimista 5 7. Multiomikertoimista 10 8. Virheitä korjaavista koodeista 10 9. Spereri lause 12 10. Rekursioyhtälöistä 13 11. Polyomie jaollisuudesta 17 12. Formaalisista potessisarjoista 19 13. Geeroivista fuktioista 20 14. Seulaperiaate 25 15. Graafeista 27 16. Ramsey luvuista 28 17. Kirjallisuusluettelo 30
1 HANOIN TORNIT 1 1 Haoi torit Haoi torie probleema: Piossa A o erikokoista kiekkoa, suuruusjärjestyksessä suurimmasta pieempää alhaalta lukie. Piot B ja C ovat aluksi tyhjiä. Tavoitteea o siirtää kaikki kiekot samalaisee muodostelmaa pioo C. Vai yhtä kiekkoa saa siirtää kerrallaa jostaki piosta johoki toisee pioo ja missää vaiheessa mikää kiekko ei saa olla itseää pieemmä kieko päällä.. A B C. A B C Ogelmalla o elegatti rekursiivie, ts. itseää kutsuva, ratkaisu: Jos = 1, ratkaisu o triviaali. Jos 1 kieko ogelmalle tuetaa ratkaisu, siirretää sitä käyttäe 1 pieitä kiekkoa piosta A pioo B, sitte suuri kiekko pioo C ja lopuksi jällee 1 kieko tapaukse ratkaisua käyttäe 1 pieitä kiekkoa piosta B pioo C suurimma kieko päälle. Olkoo h tarvittavie siirtoje miimimäärä, ku kiekkoja o. Tarkastellaa kieko ogelmaa. Suurita kiekkoa voidaa siirtää vai, mikäli muut kiekot ovat kaikki jossaki toisessa piossa. Näi missä tahasa kieko ogelma ratkaisevassa siirtosarjassa o tehtävä vähitää h 1 siirtoa, ee kui suurita kiekkoa siirretää esimmäise kerra, suurita kiekkoa o siirrettävä vähitää kerra, ja se jälkee, ku suurita kiekkoa o siirretty viimeise kerra, o tehtävä vielä aiaki h 1 siirtoa. Näi h 2h 1 +1. Edellise rekursiivise algoritmi ojalla h 2h 1 +1. Näi Iduktiolla o helppo todistaa, että h = 2h 1 +1. h = 2 1. Edellisestä argumetista ähdää myös triviaalilla iduktiolla, että lyhi siirtosarja o yksikäsitteie. Edellä esitetty kieko ogelma voidaa ratkaista myös käyttämällä seuraavaa iteratiivista algoritmia. Oletetaa esi, että o parito.
1 HANOIN TORNIT 2 Ajatellaa piot A, B ja C tasasivuise kolmio kärjiksi (kuljettaessa myötäpäivää) ja oletetaa, että kaikki kiekot ovat aluksi piossa A. Jokaisella parittomalla siirrolla pieitä kiekkoa siirretää vastapäivää seuraavaa pioo. Jokaisella parillisella siirrolla piei kiekko jätetää paikallee ja tehdää aiut jäljelle jääyt sallittu siirto. Jos o parillie, ii parittomat siirrot suoritetaaki myötäpäivää. Jos edellä (sekä parillisessa että parittomassa tapauksessa) kiertosuutaa vaihdetaa, ii kaikki kiekot siirtyvätki piosta A pioo B. Lause 1. Edellie algoritmi siirtää 2 1 siirrolla kaikki kiekot piosta A pioo C. Todistus. Todistetaa iduktiolla luvu suhtee, että väite o voimassa ja että lisäksi kaikki kiekot eivät koskaa kaikki ole samassa piossa (esimmäise siirro jälkee) ee kui 2 1 siirro jälkee. Iduktioväite o selvä tapauksissa = 1, 2. Oletetaa siis, että iduktioväite pätee arvolla 1 ja tarkastellaa arvoa. Suurita kiekkoa ei koskaa voida siirtää, elleivät muut 1 kiekkoa ole kaikki päällekkäi jossaki toisessa piossa kolmae pio ollessa tyhjä. Iduktio-oletukse ojalla tiedetää, että esimmäiste 2 1 1 siirro aikaa 1 pieitä kiekkoa siirtyvät suuruusjärjestyksee pioo B: iduktio-oletukse ojalla tämä o esimmäie kerta, jolloi kaikki 1 pieitä kiekkoa ovat jällee samassa piossa, jote suurita kiekkoa ei ole siirretty missää vaiheessa. Vuorossa o parillie siirto: pieitä kiekkoa ei siirretä, vaa siirretää suuri kiekko piosta A pioo C. Iduktio-oletukse ja symmetria ojalla seuraavat 2 1 siirtoa siirtävät 1 pieitä kiekkoa piosta B pioo C: suurita kiekkoa ei siirretä toista kertaa, koska iduktio-oletukse ojalla äide 2 1 1 siirro aikaa vai alussa ja lopussa kaikki 1 kiekkoa ovat samassa piossa. Koska lyhi kieko ogelma ratkaiseva siirtosarja o yksikäsitteie, ii edellisessä lauseessa käsitelty siirtosarja o itse asiassa sama, kui mikä saataisii käyttämällä aikaisemmi esitettyä rekursiivista algoritmia. Haoi torie probleema keksi 1883 raskalaie matemaatikko Edouard Lucas. Häeltä o ehkä kotoisi myös siihe liittyvä taria mukeista, jotka ovat 64 kultaise kieko vartijoita ja joide tehtävää o siirtää kiekkoja em. säätöje mukaa. Ku kaikki kiekot o siirretty, taria mukaa tulee maailmaloppu. Jos 64 kieko ogelmassa tehtäisii yksi siirto sekuissa, ii koko siirtosarja veisi aikaa eemmä kui 5 10 11 vuotta.
2 LOKEROPERIAATE 3 2 Lokeroperiaate Lokeroperiaate: Jos lokerossa o eemmä kui palloa, ii jossaki lokerossa o eemmä kui yksi pallo. Yleisemmi o voimassa: jos lokerossa o eemmä kui m palloa, ii jossaki lokerossa o eemmä kui m palloa. Esimerkki 2. Osoitetaa, että jos joukosta S = {1,2,...,2} valitaa +1 lukua, ii iide joukossa o kaksi lukua, joide osamäärä o luvu 2 potessi. Kirjoitetaa kuki kokoaisluku i muodossa a i 2 b i, missä a i o parito (so. luvu i suuri parito tekijä). Selvästi kuki a i kuuluu -alkioisee joukkoo {1,3,...,2 1}. Jos joukosta S otetaa +1 lukua, ii lokeroperiaattee ojalla aiaki kahdella o sama suuri parito tekijä ja iide osamäärä o äi luvu 2 potessi. Esimerkki 3. Osoitetaa, että jos 2 +1 erisuurta reaalilukua kirjoitetaa peräkkäi missä tahasa järjestyksessä, ii saadusta joosta voidaa pyyhkiä pois 2 lukua site, että jäljelle jäävät + 1 lukua ovat ousevassa tai laskevassa suuruusjärjestyksessä. Olkoo ko. joo a 1, a 2,..., a 2 +1. Olkoo s i pisimmä luvusta a i alkava kasvava osajoo pituus ja t i pisimmä luvusta a i alkava väheevä osajoo pituus. Jos i < j, ii selvästi (s i,t i ) (s j,t j ), koska a i auttaa pidetämää luvusta a j alkavaa kasvavaa s j -pituista jooa tai luvusta a j alkavaa väheevää t j -pituista jooa. Koska pareja (s i,t i ) o 2 +1 kappaletta, o joki luvuista s i tai joki luvuista t i suurempi kui, ja väite o äi todistettu. Tämä tulos o paras mahdollie siiä mielessä, että esimerkiksi 2 -pituisella joolla, 1,...,1, 2,2 1,...,+1,..., 2, 2 1,..., 2 +1 ei ole (+1)-pituista kasvavaa eikä ( + 1)-pituista väheevää osajooa. 3 Tuloperiaate Tuloperiaate: Jos tehtävä suoritetaak vaiheessa, ja vaihei(i = 1,2,3,...,k) voidaa suorittaa i tavalla riippumatta siitä mite aikaisemmat vaiheet o suoritettu, ii tehtävä voidaa suorittaa 1 2... k tavalla. Esimerkki 4. Tuloperiaattee ojalla-pituisia biäärisaoja, ts.-tuplia(a 1,a 2,...,a ), missä a i {0,1} kullaki ideksillä i, o 2 kappaletta: kuki a i voidaa valita kahdella tavalla riippumatta siitä mite aikaisemmat kompoetit a j, j < i o valittu. Esimerkki 5. Olkoof kuvaus, joka kuvaa kuki -pituise biäärisaa(a 1,a 2,...,a ) jouko {1,2,...,} osajoukoksi {i a i = 1}. Selvästi f o bijektiivie kuvaus -pituiste biäärisaoje joukolta jouko {1,2,..., } osajoukkoje joukolle. Näi joukolla {1,2,..., } o 2 osajoukkoa.
4 PERMUTAATIOISTA JA KOMBINAATIOISTA 4 Esimerkki 6. Tarkallee puolessa -pituisista ( 1) biäärisaoista o parillie määrä ykkösiä: esimerkissä 1 kompoetti a voidaa eää valita vai yhdellä tavalla (o valittava 0 tai 1 se mukaa, kumpi valita tekee ykköste kokoaismäärästä parillise). Käyttämällä esimerki 2 bijektiota ähdää, että jouko {1, 2,..., } osajoukoista tarkallee puolessa o parillie määrä alkioita. 4 Permutaatioista ja kombiaatioista Määritelmä 7. Jouko {1,2,...,} permutaatio (tai lukuje 1, 2,..., permutaatio) o joo a 1,a 2,...,a, missä {a 1,a 2,...,a } = {1,2,...,}. Tälle käytetää usei myös merkitää ( ) 1 2.... a 1 a 2... a Tuloperiaattee ojalla jouko {1,2,...,} permutaatioita o! = ( 1)... 1 kappaletta. Sopimukse mukaa 0! = 1. Jooaa 1,a 2,...,a k saotaa jouko{1,2,...,}k-permutaatioksi, jos ko. luvut kuuluvat joukkoo {1,2,...,} ja ovat erisuuria. Tuloperiaattee ojalla joukolla {1,2,...,} o! ( 1)... ( k +1) = ( k)! k-permutaatiota. Jouko {1, 2,..., } k-alkioisia osajoukkoja saotaa ko. jouko k-kombiaatioiksi. Lause 8. Joukolla {1,2,...,} o! (9) = k k!( k)! k-kombiaatiota (so. k-alkioista osajoukkoa). = ( 1)... ( k +1) k! Todistus. Jos k-permutaatiot tulkitaa k-alkioisiksi osajoukoiksi, ii jokaie k-alkioie osajoukko saadaa k! kertaa. ( 0 0 Lukuja ( ) k) saotaa biomikertoimiksi. Edellä oletettii, ( että 0 k. Erityisesti = 1. Jos 0, mutta k < 0 tai k >, ii sovitaa, että ) k = 0. Esimerkki 10. Lotossa valitaa 7 umeroa 39:stä. Lottorivejä o äi ( 39 7). Näistä tarkallee ( )( 7 32 6 1) = 224 riviä ataa tulokse kuusi oikei. Esimerkki 11. Tiedetää, että A o sellaie kokoelma jouko S = {1,2,...,7} kolmialkioisia osajoukkoja, että jokaie jouko S kaksialkioie osajoukko o iistä tarkallee yhde osajoukko. Motako joukkoa kokoelmassa A o? Joukolla S o ( 7 2) = 21 kaksialkioista osajoukkoa. Kullaki kokoelma A joukolla o kolme kaksialkioista osajoukkoa. Näi kokoelmassa A o 21/3 = 7 joukkoa.
5 TOISTOKOMBINAATIOISTA 5 Tällaista kokoelmaa imitetää Steieri systeemiksi S(2, 3, 7). Esimerkiksi joukot{1, 2, 4},{2,3,5},{3,4,6},{4,5,7},{5,6,1},{6,7,2},{7,1,3} muodostavat Steieri systeemi S(2,3,7). 5 Toistokombiaatioista Tehtävä 1: Mite moella tavalla alkio joukosta voidaa valita k, jos i) valitoja, jotka eroavat toisistaa vai valittuje alkioide järjestykse suhtee, pidetää samoia, ja ii) sama alkio saa valita eemmäki kui yhde kerra? Eri valitamahdollisuuksia kutsutaa toistokombiaatioiksi. Tehtävä 2: Mite moella tavalla k keskeää idettistä palloa voidaa sijoittaa umeroituu lokeroo? Tehtävä 3: Mite mota sellaista ratkaisua yhtälöllä x 1 + x 2 +...+x = k o missä x i Z ja x 1 0, x 2 0,..., x 0? Selvästiki kyseessä o vai kolme eri muotoilua samalle ogelmalle. Lause) 12. Eri tapoja sijoittaa k keskeää idettistä palloa umeroituu lokeroo o kappaletta. ( +k 1 k Todistus. Esitetää kuki valita ( + k 1)-pituisea jooa oo...o oo...o... oo...o, jossa o k palloa o ja 1 lokeroide välistä väliseiää. Valitatapoja o yhtä paljo kui mahdollisuuksia valita väliseiie paikat ko. (+k 1)-pituisessa joossa, eli ( +k 1 1 ) = ( +k 1 k ) kappaletta. 6 Biomikertoimista Lause 13. Jos Z, 1 ja x,y C, ii Todistus. Vasemma puole tulo (x+y) = i=0 x i y i. i (x+y)(x+y)... (x+y) lasketaa valitsemalla kustaki sulkulauseekkesta (muista valioista riippumatta) x tai y, kertomalla valitut luvut, ja laskemalla yhtee kaikki tällä lailla saadut tulot. Ku äi tehdää, ii kullaki ideksi i arvolla x i y i esiityy yhtä mota kertaa, kui o tapoja valita sulkulausekkee joukosta e i sulkulauseketta, joista valitaa x.
6 BINOMIKERTOIMISTA 6 Lause 14. Jos Z, 1 ja x C, ii (1+x) = i=0 x i. i Todistus. Valitaa y = 1 lausee 13 kaavassa. Lause 15. Jos 0, ii + 0 + 1 +...+ 2 = 2. Todistus. Tapa 1: Sijoitetaa lausee 14 kaavaa x = 1. Tapa 2: Kumpiki puoli kertoo jouko {1, 2,..., } osajoukkoje lukumäärä. Lause 16. Jos 1, ii 0 + 1 ( ) ( ) +...+( 1) = 0. 2 Todistus. Tapa 1: Sijoitetaa lausee 14 kaavaa x = 1. Tapa 2: Sovelletaa esimerkkiä 6. Lause 17. Jos 1, ii i = 2 1. i i=0 Todistus. Tapa 1: Derivoimalla lausee 14 kaava puolittai ähdää, että kaikille x R pätee (1+x) 1 = i x i 1. i Sijoitetaa tähä x = 1. Tapa 2: Suoraa laskemalla saadaa i i i=1 = i=1 i=1 i=1! i i!( i)! = ( 1)! 1 (i 1)!( i)! = 1 1 =, i 1 j i=1 j=0 joka lausee 15 ojalla o 2 1. Lause 18. Jos 2, ii ( 1) i 1 i = 0. i i=0
6 BINOMIKERTOIMISTA 7 Todistus. Tapa 1: Derivoimalla lausee 14 kaava puolittai ähdää, että kaikille x R pätee (x+1) 1 = i x i 1. i Sijoitetaa tähä x = 1. Tapa 2: Suoraa laskemalla saadaa ( 1) i 1 i i i=1 joka lausee 16 ojalla o 0. Lause 19. i=1 i=1 = ( 1) i 1! i i!( i)! = ( 1) i 1 ( 1)! (i 1)!( i)! i=1 i=1 1 1 1 = ( 1) i 1 = ( 1) j, i 1 j ( ) =. k k Todistus. Tapoja valita k alkiota alkio joukosta o yhtä mota kui tapoja valita, mitkä k alkiota jätetää valitsematta. Esimerkki 20. Käyttämällä biomikertoime määritelmää ähdää suoraa laskemalla, että ( ) <, i i+1 ku 0 i < i+1 /2. Jos o parillie, ii biomikertoimista ( i), i = 0,1,...,, suuri o ( ( /2) ; jos o parito, ii biomikertoimista i), i = 0,1,...,, suurimmat ovat ( ) ( ( 1)/2 ja (+1)/2) (jotka ovat yhtäsuuria). Lause 21. Jos 1, ii ( ) ( ) ( ) 1 1 + =. k 1 k k Todistus. Tämä saadaa suoraa käyttämällä biomikertoime kaavaa (9). Tämä o myös suoraa ähtävissä käyttämällä kombiatorista päättelyä: jouko{1, 2,..., } k-alkioisista osajoukoista ( ) ( 1 k ei sisällä lukua 1 ja 1 k 1) sisältää. Lause 22. Jos 0 ja m 0, ii ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) m m m +m + +...+ =. 0 r 1 r 1 r 0 r j=0
6 BINOMIKERTOIMISTA 8 Todistus. Vase puoli ilmoittaa, kuika moella tavalla aisesta ja m miehestä voidaa muodostaa r-alkioie joukko. Oikea puoli ilmoittaa sama asia, koska kuki yhteelaskettava ( )( m k r k) kertoo iide valitoje määrä, joissa otetaa k aista ja r k miestä. Lause 23. Jos 0 ja m 0, ii ( )( ) ( ) m m + 0 0 1 1 +...+ ( ) m m m ( +m = Todistus. Valitaa r = m edellisessä lauseessa ja käytetää lausetta 19. Lause 24. Jos 0, ii ( ) 2 + 0 ( ) 2 +...+ 1 Todistus. Valitaa edellisessä lauseessa m =. ( ) 2 = ( ) 2. Lause 25. Jos 0 ja r 0, ii ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +1 +2 +r +r+1 + + +...+ =. 0 1 2 r r Todistus. Todistetaa väite iduktiolla luvu r suhtee. Väite o selvä, ku r = 0. Oletetaa, että väite pätee lukua r pieemmille luvuille. Silloi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +r 1 +r +r +r +r +1 +...+ + = + =. 0 r 1 r r 1 r r ). Lause 26. Jos 0 ja r 0, ii ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +1 +2 +r +r+1 + + +...+ =. +1 Todistus. Sovelletaa edellisee lauseesee lausetta 19. Näi olle k=0 ( ) k = i k=i ( ) k = i +1, i+1 missä 0 ja i 0. Merkitää yleisesti ( ) x = x(x 1)... (x i+1) i i! R[x] kaikille ei-egatiivisille kokoaisluvuille i. Erityisesti ( x 0) = 1 R[x].
6 BINOMIKERTOIMISTA 9 Oletetaa, että P(x) R[x] o astetta t 0 oleva polyomi. Silloi o olemassa yksikäsitteiset sellaiset reaaliluvut α t 0, α t 1,..., α 0, että ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x P(x) = α t +α t 1 +...α 1 +α 0. t t 1 1 0 Käyttämällä tätä kaavaa saadaa (missä 0) t ( ) k t ( ) k P(k) = α i = α i = i i k=0 k=0 i=0 i=0 k=0 t i=0 +1 α i. i+1 Näi löydetää siis eksplisiittie kaava mille tahasa muotoa k=0p(k) olevalle summalle! Esimerkiksi voidaa suoraa laskemalla saada kaavat ja 1 2 +2 2 +3 2 +...+ 2 = (+1)(2+1), 6 1 3 +2 3 +3 3 +...+ 3 = 2 (+1) 2 1 4 +2 4 +3 4 +...+ 4 = (+1)(2+1)(32 +3 1), 30 ja todetaa yleisesti, että o jokaisella arvolla t = 1, 2,... olemassa sellaie astetta t + 1 oleva ratioaalilukukertoimie polyomi Q t (x), että 1 t + 2 t +... + t = Q t () kaikilla = 1,2,... Lause 27. Jos 0, ii + 0 Todistus. Merkitää + 3 S = +... = 1 ( 2 +2cos π 6 3 3 + 0 + 3 4 +... 6 Olkoo w = 1( 1 + i 3). Sijoitetaa lausee 13 kaavaa x = 1 ja y = w, jolloi de 2 Moivre kaava ojalla cos π 3 +isi π (( ) ( ) ) (( ) ( ) ) 3 = S +w + +... +w 2 + +..., 1 4 2 5 koska 1 + w = cos π + isi π. Koska 3 3 w2 = 1( 1 i 3) ja vasemma ja oikea puole 2 reaaliosat ovat samat, saadaa cos π = S 1 (( ) ( ) ( ) ( ) ) + + + +... 3 2 1 2 4 5 mistä väite seuraa. = S 1 2 (2 S), ).
7 MULTINOMIKERTOIMISTA 10 7 Multiomikertoimista Määritelmä 28. Multiomikerroi ( r 1,r 2,...,r m ) ilmoittaa, mite moella tavalla = r1 + r 2 +...+r m eriväristä palloa voidaa sijoittaa m umeroituu lokeroo site, että kullaki ideksi i arvolla i:tee lokeroo tulee r i palloa. Lause 29. ( ) = r 1,r 2,...,r m! r 1!r 2!... r m!. Todistus. Olkoot pallot imeltää 1, 2,...,. Niide jokaie permutaatio ataa tava sijoitella pallot lokeroihi, ku tulkitaa, että permutaatio esimmäiset r 1 sijoitetaa lokeroo 1, seuraavat r 2 lokeroo 2 je. Kuki mahdollie sijoittelu saadaa r 1!r 2!... r m! kertaa. Esimerkki 30. Saa VAKAVA kirjaimet voidaa järjestää ( 6 3,2,1) = 60 tavalla: ajatellaa, että pallot ovat 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja että lokeroo 1 tulevat pallot kertovat kirjaite A paikat, toisee tulevat kirjaite V paikat ja kolmatee tuleva yksi pallo kirjaime K paika. Esimerkki 31. Edellisestä lauseesta saadaa välittömästi kaava (x 1 +x 2 +...+x m ) = ( ) x r 1 1 r 1,r 2,...,r xr 2 2...xrm m, m (missä summalausekkeessa käydää läpi kaikki sellaiset (r 1,r 2,...,r m ) Z m, että r 1 0, r 2 0,..., r m 0 ja r 1 +r 2 +...+r m = ) käyttämällä tulkitaa: jos pallo i o j:essä lokerossa, ii i:estä sulkulausekkeesta poimitaa x j. 8 Virheitä korjaavista koodeista Olkoo Z 2 = {0,1}. Tarkastellaa -pituiste biäärisaoje joukkoa Z 2. Saa x Z 2 paiow(x) o saassaxolevie ykköste lukumäärä. Kahde saax = (x 1,x 2,...,x ) Z 2 ja y = (y 1,y 2,...,y ) Z 2 välie Hammigi etäisyys d(x,y) o iide kohtie lukumäärä, joissa ko. saat eroavat toisistaa, ts. Biäärisaoje x ja y summa o saa Selvästi d(x,y) = {i x i y i }. x+y = (x 1 +y 1,x 2 +y 2,...,x +y ). (32) d(x,y) = w(x+y). Joukkoa C Z 2 saotaa koodiksi, jos C o epätyhjä. Jos koodissa C o vähitää kaksi koodisaaa, ii määritellää, että koodi C miimietäisyys d(c) o piei eri koodisaoje välisistä parittaisista etäisyyksistä, ts. d(c) = mi{d(c,c ) c,c C,c c }.
8 VIRHEITÄ KORJAAVISTA KOODEISTA 11 Esimerkki 33. Koodi {0000, 1100, 0111} miimietäisyys o piei etäisyyksistä d(0000, 1100) = 2, d(0000, 0111) = 3 ja d(1100, 0111) = 3 eli 2. Kute tässäki esimerkissä, biäärisaat kirjoitetaa usei ilma sulkumerkkejä ja kompoetteja erottavia pilkkuja. Esimerkki 34. Oletetaa, että C Z 2 ja a Z 2. Määritellää Silloi a+c = {a+c c C}. d(c) = d(a+c). Näi o, koska jos c,c C ja c c, ii ehdo (32) ojalla Kuviosta ähdää, että d(a+c,a+c ) = w((a+c)+(a+c )) = w(c+c ) = d(c,c ). x = 111...1 000...0 111...1 000...0 y = } 111...1 {{ } s 111...1 } {{ 000...0} d(x,y) 000...0 d(x,y) = w(x)+w(y) 2s, missä s o iide kohtie lukumäärä, joissa sekä saassa x että saassa y o 1. Joukkoa B r (x) = {y Z 2 d(y,x) r} saotaa x-keskiseksi r-säteiseksi (Hammigi) palloksi. Selvästiki B r (x) = r i=0. i Saotaa, että koodi C Z 2 o e virhettä korjaava koodi, jos d(c) 2e+1: tällaiselle koodille koodisaakeskiset e-säteiset pallot eivät leikkaa toisiaa. Tästä saadaa yläraja e virhettä korjaava -pituise koodi koodisaoje lukumäärälle. Lause 35. (Hammigi raja) Jos C Z 2 o e virhettä korjaava koodi, ii C 2 e i=0 ( i). Jos yhtäsuuruus o voimassa, koodia C saotaa täydelliseksi e virhettä korjaavaksi koodiksi. Esimerkki 36. Määritellää Hammigi koodi H ehdolla H = {c Z 7 2 Hc T = 0},
9 SPERNERIN LAUSE 12 missä H = 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1, 0 = ja kaikki matriisie alkiot kuuluvat kutaa Z 2. Selvästi Hc T o iide matriisi H sarakkeide summa, joita vastaavat biäärisaa c kompoetit ovat ykkösiä. Jos koodisaassa muutetaa yksi tai kaksi kompoettia, ei saatu saa äi olle kuulu koodii, jote koodi H miimietäisyys o vähitää kolme. Koska 0000000 ja 1110000 ovat koodisaoja, koodi mimietäisyys o kolme. KoodiHmääritelmästä ähdää suoraa, että (c 1,c 2,...,c 7 ) o koodisaa, jos ja vai jos se toteuttaa yhtälöt c 4 = c 5 + c 6 + c 7 c 2 = c 3 + c 6 + c 7 c 1 = c 3 + c 5 + c 7 kuassa Z 2. Koska tässä c 3, c 5, c 6 ja c 7 voidaa valita vapaasti, ja c 4, c 2 ja c 1 se jälkee määräytyvät yksikäsitteisesti, o koodissa 16 koodisaaa. Näi H o täydellie yhde virhee korjaava koodi. 0 0 0 9 Spereri lause Jos x R, merkitää x = suuri kokoaisluku joka o pieempi tai yhtäsuuri kui x. Esimerkki 37. Olkoo A jouko {1, 2,..., } kaikkie /2 -alkioiste osajoukkoje kokoelma (= joukko). Mikää kokoelmaa A kuuluva joukko ei voi olla mikää toise kokoelmaa A kuuluva jouko osajoukko, koska molemmissa o sama määrä alkioita. Lause 38. Oletetaa, että A o sellaie kokoelma jouko {1, 2,..., } osajoukkoja, että mikää kokoelmaa kuuluva joukko ei ole mikää toise kokoelmaa kuuluva jouko osajoukko. Silloi kokoelmassa A o eitää ( /2 ) joukkoa. Todistus. Saotaa, että jouko S = {1,2,...,} permutaatio alkaa joukolla A, jos ko. permutaatiossa A esimmäistä alkiota ovat jouko A alkiot jossaki järjestyksessä. Joukolla A alkavia permutaatioita o selvästi A!( A )! kappaletta. Mikää permutaatio ei voi alkaa kahdella eri kokoelmaa A kuuluvalla joukolla, muuteha iistä jompikumpi olisi toise osajoukko. Näi olle A!( A )!!. A A
10 REKURSIOYHTÄLÖISTÄ 13 Olkoo p k kokoelmaa A kuuluvie k-alkioiste joukkoje lukumäärä. Silloi k!( k)!p k! ja äi esimerki 20 ojalla kute väitettii. 1 k=0 k=0 10 Rekursioyhtälöistä p k ( k) k=0 p ( k ) = ( A /2 Esimerkki 39. Lasketaa, moessako -pituisessa biäärisaassa ei ole kahta ollaa peräkkäi. Olkoo kysytty lukumäärä a. Selvästi a 1 = 2 ja a 2 = 3. Jos 3, ii vaaditu ehdo toteuttavia ykkösellä alkavia saoja o a 1 ja ollalla alkavia saoja a 2 (jos esimmäie kirjai o olla, ii toise kirjaime o pakko olla ykköe), jote a = a 1 +a 2. Ku määritellää /2 F 0 = 1,F 1 = 1,F = F 1 +F 2 ku 2, saadaa s. Fiboacci luvut. Näi a = F +1 kaikilla 1. Oletetaa, että reaalilukujoolle (a ) =0 pätee ja aia, ku 2, a 0 = c 0,a 1 = c 1, (40) a = Aa 1 +Ba 2, missä A,B R ja B 0. Tämä o s. toise kertaluvu lieaarie vakiokertoimie homogeeie rekursioyhtälö. Yhtälöä (41) x 2 = Ax+B saotaa ko. rekursioyhtälö karakteristiseksi yhtälöksi. Lause 42. (i) Jos yhtälöllä (41) o kaksi erisuurta juurta α ja β, ii o olemassa yksikäsitteiset sellaiset luvut K 1 C ja K 2 C, että (43) a = K 1 α +K 2 β kaikilla = 0,1,... (ii) Jos yhtälöllä o vai yksi (kaksikertaie) juuri α, ii o olemassa yksikäsitteiset sellaiset luvut K 1 R ja K 2 R, että kaikilla = 0,1,... a = (K 1 +K 2 )α ),
10 REKURSIOYHTÄLÖISTÄ 14 Todistus. (i) Koska B 0, iiα 0 jaβ 0. ValitaaK 1 ja K 2 site, että e toteuttavat yhtälöryhmä { K1 + K 2 = c 0 eli { αk 1 + βk 2 = c 1, K 1 = c 1 c 0 β α β K 2 = c 1 c 0 α β α. Nyt (43) pätee, ku < 2. Oletetaa, että väite pätee, ku < k (missä k 2), ja osoitetaa, että väite pätee myös arvolla = k. Nyt a k = Aa k 1 +Ba k 2 = A(K 1 α k 1 +K 2 β k 1 )+B(K 1 α k 2 +K 2 β k 2 ) = K 1 (Aα k 1 +Bα k 2 )+K 2 (Aβ k 1 +Bβ k 2 ) = K 1 α k 2 (Aα+B)+K 2 β k 2 (Aβ +B) = K 1 α k 2 α 2 +K 2 β k 2 β 2 = K 1 α k +K 2 β k. Näi väite pätee kaikille ideksi arvoille. (ii) Koska B 0, ii α 0. ValitaaK 1 ja K 2 site, että e toteuttavat yhtälöryhmä { K1 = c 0 αk 1 + αk 2 = c 1, eli { K1 = c 0 K 2 = c 1 c 0 α α. Nyt (43) pätee, ku < 2. Oletetaa, että väite pätee, ku < k (missä k 2), ja osoitetaa, että väite pätee myös arvolla = k. Koska x 2 Ax B = (x α) 2, o α 2 = B ja 2α = A, ja äi a k = Aa k 1 +Ba k 2 = A(K 1 +K 2 (k 1))α k 1 +B(K 1 +K 2 (k 2))α k 2 = K 1 (Aα+B)α k 2 +K 2 (Aα(k 1)+B(k 2))α k 2 = K 1 α k +K 2 (2αα(k 1) α 2 (k 2))α k 2 = K 1 α k +K 2 α 2 kα k 2 = (K 1 +K 2 k)α k, ja jällee kaava pätee kaikilla ideksi arvoilla. Huomautus. Vaikka kohdassa (i) ratkaisut α ja β eivät olisi reaalilukuja, ii luvut K 1,K 2 C voidaa silti ratkaista kute edellä, ja kaava (43) pätee.
10 REKURSIOYHTÄLÖISTÄ 15 Esimerkki 44. Ratkaistaa Fiboacci lukuja koskeva rekursioyhtälö. Se karakteristise yhtälö x 2 = x+1 juuret ovat α = 1 2 (1+ 5) ja β = 1 2 (1 5). Edellise lausee ojalla o olemassa sellaiset vakiot K 1,K 2 R, että F = K 1 ( 1+ 5 2 ) +K 2 ( 1 ) 5 2 kaikilla = 0,1,...,. Ratkaisemalla vakiot K 1 ja K 2 site, että kaava pätee arvoilla = 0 ja = 1 saadaa K 1 = 1+ 5 2 ja K 5 2 = 1 5 2. Näi Fiboacci luvuille saadaa kaava 5 ( F = 1 1+ ) +1 5 1 ( ) +1 5, 5 2 2 joka siis pätee kaikilla = 0,1,... Esimerkki 45. Etsitää kaava luvulle u ku u 0 = 0, u 1 = 1 ja (46) u = u 1 +6u 2 +2, ku 2. Jos lukujoo (a ) toteuttaa rekursio a = a 1 + 6a 2 + 2 ja lukujoo (b ) toteuttaa rekursio b = b 1 +6b 2, ii silloi lukujoo (u ), missä u = a +b, toteuttaa rekursio (46). Tehdää yrite a = C 2, missä C o vakio. Yhtälöstä C 2 = C 2 1 +6 C 2 2 +2 ratkaistaa C = 1. Nyt a 0 = 1 ja a 1 = 2. Etsitää edellistä lausetta käyttäe lukujoo (b ), jolle b 0 = 1 ja b 1 = 3. Saadaa b = 3 ja äi kaava u = 3 2. Esimerkki 47. Saotaa, että i o permutaatio ( ) 1 2... a 1 a 2... a kiitopiste, jos i = a i. Lasketaa, moiko jouko S = {1,2,...,} permutaatioista o kiitopisteetö, ts. kaikilla idekseillä i pätee i a i. Käytetää tälle lukumäärälle merkitää b. Tyyppiä ( ) 1... i... i( 1)... 1... olevia kiitöpisteettömiä permutaatioita o yhtä paljo ku joukossa S 2 olevia kiitopisteettömiä permutaatioita, siis b 2 kappaletta. Luku i eroaa luvusta 1, jote sille o 1 vaihtoehtoa. Oletetaa siis, että permutaatio o tyyppiä ( ) 1... i... i( 1)... j( 1)... Ku tarkastellaa 1 viimeistä kompoettia, iissä esiityvät lukuje 2, 3,..., alla jouko {1, 2,..., }\{i} luvut, kuki tarkallee kerra. Lisäksi
10 REKURSIOYHTÄLÖISTÄ 16 luvu 2 alla ei ole 2, luvu 3 alla ei ole 3,. luvu i alla ei ole 1,. luvu alla ei ole, jote valitamahdollisuuksia o b 1 kappaletta! Jällee luvulle i oli aluperi 1 vaihtoehtoa. Näi olle b = ( 1)b 1 +( 1)b 2, ku 3. Selvästi b 1 = 0 ja b 2 = 1. Tehdää sijoitus jolloi c 1 = 0, c 2 = 1 2 ja ku 3, eli Merkitää ku 2, jolloi d 2 = 1 2 ja ku 3. Selvästi kaikilla 2, ja äi ku 2, ja edellee b =!c,!c = ( 1)( 1)!c 1 +( 1)( 2)!c 2, c = d +c 1 b =!c =! mikä pätee kaikilla 1. c = ( 1)c 1 +c 2. d = c c 1, d = d 1, d = ( 1) 1! = d +d 1 +c 2. = d +d 1 +...+d 2 +c 1 = ( 1) 1! +( 1) 1 1 ( 1)! +...+ 1 2! ( 1 1 1! + 1 2! 1 1 ) 3! +...+( 1),!
11 POLYNOMIEN JAOLLISUUDESTA 17 11 Polyomie jaollisuudesta Olkoo F = R tai F = C. Saotaa, että polyomi b(x) F[x] jakaa polyomi a(x) F[x], jos o olemassa sellaie polyomi c(x) F[x], että a(x) = b(x)c(x). Polyomie jakoalgoritmi ojalla tiedetää, että jos a(x),b(x) F[x] ja b(x) 0, ii o olemassa yksikäsitteiset sellaiset polyomit q(x) F[x] ja r(x) F[x], että ja deg r(x) < deg b(x). a(x) = q(x)b(x)+r(x) Esimerkki 48. Olkoo p(x) = i=1 (x a i) F[x] ( 1), missä a i F kaikilla i = 1,2,...,. Osoitetaa, että jos d(x) jakaa polyomi p(x) ja deg d(x) 1, ii d(x) o tekijöistä x a i joideki tulo (mahdollisesti jollaki vakiolla a F \{0} kerrottua). Todistetaa väite iduktiolla luvu suhtee. Jos = 1, ii ehdosta d(x)q(x) = p(x) = x a 1 seuraa, että q(x) o vakio, ja väite o selvä. Oletetaa, että väite pätee lukua pieemmille luvuille ja että deg p(x) =. Nyt d(x)q(x) = p(x), jote a 1 o polyomi q(x) tai polyomi d(x) ollakohta. Kummassaki tapauksessa saadaa yhtälö d 1 (x)q 1 (x) = p 1 (x) missä p 1 (x) = i=2 (x a i) ja d(x) = d 1 (x) tai d(x) = d 1 (x)(x a 1 ). Nyt väite seuraa iduktio-oletuksesta. Polyomi d(x) F[x] o polyomie s(x) F[x] ja t(x) F[x], joista aiaki toise oletetaa eroava ollapolyomista 0, suuri yhteie tekijä, jos d(x) jakaa polyomit s(x) ja t(x), ja o korkeita astetta oleva polyomi, jolla o tämä omiaisuus. Selvästi, jos d(x) o polyomie s(x) F[x] ja t(x) F[x] suuri yhteie tekijä, ii samoi o a d(x), missä a F \{0}. Oletetaa, että s(x), t(x) F[x], t(x) 0. Sovelletaa jakoalgoritmia toistuvasti kues jakojääös meee esimmäise kerra ollaksi: s(x) = q 1 (x)t(x)+r 1 (x), missä 0 deg r 1 (x) < deg t(x). t(x) = q 2 (x)r 1 (x)+r 2 (x), missä 0 deg r 2 (x) < deg r 1 (x) r 1 (x) = q 3 (x)r 2 (x)+r 3 (x), missä 0 deg r 3 (x) < deg r 2 (x). r k (x) = q k+2 (x)r k+1 (x)+r k+2 (x), missä 0 deg r k+2 (x) < deg r k+1 (x) r k+1 (x) = q k+3 (x)r k+2 (x). Silloi viimeie jakaja (elit(x), jos jako meee heti tasa, muute r k+2 (x)) o polyomie s(x) ja t(x) suuri yhteie tekijä. Edellistä yhtälöryhmää käyttämällä tämä polyomie s(x) ja t(x) suuri yhteie tekijä d(x) voidaa kirjoittaa muodossa d(x) = a(x)s(x) + b(x)t(x), ku polyomit a(x), b(x) F[x] valitaa sopivasti. Edelliset väitteet todistetaa samalla tavalla kui vastaavat kokoaislukuja ja kokoaislukuje Eukleidee algoritmia koskevat väitteet aikaisemmi.
11 POLYNOMIEN JAOLLISUUDESTA 18 Esimerkki 49. Käyttämällä edellä kuvattua Eukleidee algoritmia todetaa, että d(x) = x 1 o polyomie s(x) = 3x 3 4x 2 x+2 ja t(x) = x 2 1 suuri yhteie tekijä d(x) (samoi o esimerkiksi polyomi 1 x) ja d(x) = s(x) +(3x 1)t(x). Esimerkki 50. Tarkastellaa polyomejap(x) = i=1 (x a i) (a i F) jaq(x) = m j=1 (x b j ) (b j F), missä kaikilla idekseillä i ja j pätee a i b j. Osoitetaa, että tällöi 1 o polyomie p(x) ja q(x) suuri yhteie tekijä. Tehdää vastaoletus, että suuri yhteie tekijä olisiki polyomi d(x) ja deg d(x) 1. Koska d(x) jakaa polyomi p(x), ii esimerki 48 ojalla d(x) o jaollie polyomilla x a i jollaki ideksillä i. Koska d(x) jakaa myös polyomi q(x), o a i myös polyomi q(x) ollakohta vastoi oletusta. Lause 51. Oletetaa, että a(x), b(x) F[x] ja deg a(x) < deg b(x) (jolloi b(x) 0). Jos b(x) = s(x)t(x) ja 1 o polyomie s(x) ja t(x) suuri yhteie tekijä, ii o olemassa sellaiset polyomit f(x), g(x) F[x], että deg f(x) < deg s(x), ja deg g(x) < deg t(x), a(x) = t(x)f(x)+s(x)g(x). Todistus. Koska 1 o polyomie s(x) ja t(x) suuri yhteie tekijä, o olemassa sellaiset polyomit f 2 (x) F[x] ja g 2 (x) F[x], että 1 = f 2 (x)t(x)+g 2 (x)s(x). Kerrotaa tämä yhtälö puolittai polyomilla a(x) ja merkitää f 1 (x) = f 2 (x)a(x) ja g 1 (x) = g 2 (x)a(x), jolloi saadaa a(x) = f 1 (x)t(x)+g 1 (x)s(x). Kirjoitetaa jakoalgoritmia käyttämälläf 1 (x) = g 0 (x)s(x)+f(x), missä deg f(x)< deg s(x). Ku edellee valitaa g(x) = g 1 (x)+g 0 (x)t(x), saadaa yhtälö a(x) = f(x)t(x)+g(x)s(x). Koska deg a(x) < deg b(x) ja deg (f(x)t(x)) < deg (s(x)t(x)) = deg b(x), ii deg (g(x)s(x)) = deg (a(x) f(x)t(x)) < deg b(x) = deg (s(x)t(x)), ja siis deg g(x) < deg t(x).
12 FORMAALISISTA POTENSSISARJOISTA 19 12 Formaalisista potessisarjoista Olkoo edellee F = R tai F = C. Joukko F[[x]] = { a i x i a 0,a 1,... F}. varustettua laskutoimituksilla a i x i + ja i=0 a i x i i=0 i=0 b i x i = i=0 b j x j = j=0 (a i +b i )x i i=0 ( k ) a i b k i muodostaa s. formaaliste potessisarjoje rekaa. Regasaksioomat o helppo tarkistaa, samoi se, että kahde alkio tulo o olla vai jos aiaki toie tulo tekijöistä o olla. Koska tulo o selvästi kommutatiivie, o ko. regas itse asiassa kokoaisalue. O ii ikää helppo todistaa, että alkiolla A(x) = i=0 a ix i o kääteisalkio kertolasku suhtee tarkallee silloi ku a 0 0. Alkio A(x) kääteisalkiolle A(x) 1 käytetää usei merkitää 1/A(x). Ideaa o käsitellä sarjoja formaalisia potessisarjoia, jolloi kysymystä sarja mahdollisesta suppeemisesta ei tarvitse miettiä. Esimerkki 52. Lasketaa alkio 1 x kääteisalkio rekaassa F[[x]]. O siis löydettävä sellaie U(x) = u 0 +u 1 x+u 2 x 2 +..., että k=0 i=0 (1 x)(u 0 +u 1 x+u 2 x 2 +...) = 1. Ratkaisemalla esi u 0, sitteu 1 je. ähdää, että kysytty kääteisalkio o1+x+x 2 +... Esimerkki 53. Jos a F, ii alkio 1 ax kääteisalkio rekaassa F[[x]] o 1+ax+ a 2 x 2 +... Esimerkki 54. Lasketaa 1 (1 x) k rekaassa F[[x]], kuk = 1,2,... Tämä tarkoittaa alkio (1 x) k kääteisalkiota eli alkio 1 x kääteisalkiota korotettua potessii k. Näi 1 (1 x) k = (1+x+x2 +...)(1+x+x 2 +...)... (1+x+x 2 +...), missä oikealla puolella sulkulauseke esiityy k kertaa. Ku tulo lasketaa, termix saadaa yhtä mota kertaa kui yhtälöllä t 1 +t 2 +...+t k = x k
13 GENEROIVISTA FUNKTIOISTA 20 o ratkaisuja (t 1,t 2,...,t k ), missä luvut t i ovat ei-egatiivisia kokoaislukuja, eli ( ) +k 1 kertaa. Näi +k 1 (55) (1 x) k = x. k 1 Esimerkki 56. Jos a F ja k {1,2,...,}, ii rekaassa F[[x]] (57) (1 ax) k = =0 +k 1 a x. k 1 =0 Jos lausee 51 tilateessa polyomi b(x) vakiokerroi ei ole olla, o rekaassa F[[x]]. Esimerkki 58. Jos deg a(x) < deg b(x) ja a(x) b(x) = f(x) s(x) + g(x) t(x) b(x) = (β 1 x) m 1 (β 2 x) m2... (β k x) m k, missä m i {1,2,...}, β i F \ {0} kaikilla i = 1, 2,..., k ja β i β j ku i j, ii soveltamalla edellistä lausetta toistuvasti voidaa rekaassa F[[x]] kirjoittaa a(x) b(x) = h 1(x) (β 1 x) + h 2(x) m 1 (β 2 x) +...+ h k(x), m 2 (β k x) m k missä deg h i (x) < m i (i = 1,2,...,k). Edellee jokaie h(x)/(β x) m, missä voidaa kirjoittaa muodossa h(x) = γ m +γ m 1 (β x)+...+γ 1 (β x) m 1, γ 1 β x + γ 2 (β x) 2 +...+ γ m (β x) m. 13 Geeroivista fuktioista Joo (u i ) i=0 geeroiva fuktio o u i x i F[[x]]. i=0
13 GENEROIVISTA FUNKTIOISTA 21 Esimerkki 59. Joo geeroiva fuktio o (1+x)., 0, 1,... 2 Esimerkki 60. Tarkastellaa termi x r kerroita polyomiyhtälö (1+x) (1+x) m = (1+x) +m kummallaki puolella. Oikealla puolella termi x r kerroi o suoraa ( ) +m r. Vasemmalla puolella kerroi o summa ( )( ) ( )( ) ( )( ) m m m + +...+. 0 r 1 r 1 r 0 Tämä ataa uude todistukse lauseelle 22. Esimerkki 61. Mite mota sellaista kokoaislukuratkaisua yhtälöllä t 1 +t 2 +...+t 7 = 25 o, missä 2 t i 6 kaikilla idekseillä i? Ko. ratkaisuje lukumäärä o selvästi yhtä suuri kui termi x 25 kerroi polyomissa (x 2 +x 3 +...+x 6 )(x 2 +x 3 +...+x 6 )...(x 2 +x 3 +...+x 6 ), missä sama sulkulauseke esiityy seitsemä kertaa. Koska (1+x+x 2 +x 3 +x 4 )(1 x) = 1 x 5, ii rekaassa F[[x]] 1+x+x 2 +x 3 +x 4 = (1 x 5 )(1 x) 1. Näi esimerki 54 ojalla rekaassa F[[x]] pätee (x 2 +x 3 +...+x 6 ) 7 = x 14 (1+x+...+x 4 ) 7 = x 14 (1 x 5 ) 7 (1 x) 7 = x 14 (1 ( ) 7 x 5 + 1 Termi x 25 kerroi o siis ( ) 11+6 6 ( ) 7 x 10 2 ( 7 1 )( ) 6+6 + 6 joka o siis kysytty ratkaisuje lukumäärä. ( ) 7 x 15 +... 3 ( 7 2 ) ( +6 =0 6 )( ) 1+6 = 6055, 6 ) x.
13 GENEROIVISTA FUNKTIOISTA 22 Tarkastellaa lukujooa (u ) =0 (u F). Oletetaa, että (62) u 0 = c 0,u 1 = c 1,...,u k 1 = c k 1, missä c 0,c 1,...,c k 1 F, ja (63) u +k +a 1 u +k 1 +...+a k u = 0 kaikilla 0, missä a 1,a 2,...,a k F ja a k 0. Etsitää kaava lukujoo yleiselle termille u. Lause 64. Edellise lukujoo (u ) geeroiva fuktio U(x) = =0 u x toteuttaa yhtälö U(x) = R(x) 1+a 1 x+a 2 x 2 +...+a k x k, missä R(x) F[x], deg R(x) < k ja ehdot (62) määräävät polyomi R(x) kertoimet yksikäsitteisesti. Todistus. Yhtälö (1+a 1 x+a 2 x 2 +...+a k x k )U(x) = u 0 +(u 1 +a 1 u 0 )x+...+(u k 1 +a 1 u k 2 +...+a k 1 u 0 )x k 1 + (u +k +a 1 u +k 1 +...+a k u )x +k =0 oikealla puolella olevassa -lausekkeessa x: potessie kertoimet ovat oletukse (63) ojalla kaikki ollia ja oikea puole k esimmäise termi kertoimet saadaa yksikäsitteisesti oletukse (62) ojalla. Yhtälöä t k +a 1 t k 1 +...+a k = 0 saotaa rekursio (63) karakteristiseksi yhtälöksi. Oletetaa, että t k +a 1 t k 1 +...+a k 1 t+a k = (t α 1 ) m 1 (t α 2 ) m2... (t α s ) ms, missä α 1,...α s F \{0}. Yhtälö pätee kaikilla t F, erityisesti kaikilla arvoilla t = 1/x, ku x F\{0}. Tehdää tämä sijoitus ja kerrotaa alkiolla x k F. Nähdää, että kaikilla x F \{0} pätee yhtälö 1+a 1 x+a 2 x 2 +...+a k x k = (1 α 1 x) m 1 (1 α 2 x) m2... (1 α s x) ms. Koska tämä pätee usemmalla kui k alkiolla x, pätee yhtälö myös rekaassa F[x]. Näi (65) U(x) = βr(x) (β 1 x) m 1 (β2 x) m 2... (βs x) ms, missä β 1 = α m 1 1 α m 2 2...αs ms 0 ja β i = α 1 i (i = 1,2,...,s).
13 GENEROIVISTA FUNKTIOISTA 23 Lause 66. O olemassa sellaiset polyomit P i (x) F[x] (i = 1,2,...,s), että deg P i (x) m i 1 ja lukujoo (67) u = P 1 ()α 1 +P 2()α 2 +...+P s()α s toteuttaa ehdot (62) ja (63). Todistus. Kaava (65) ja esimerki 58 ojalla U(x) voidaa kirjoittaa muotoa γ i,j (β i x) j ja äi muotoa δ i,j (1 α i x) j olevie termie summaa, missä i = 1,2,...,s, j = 1,2,...,m i, δ i,j F ja γ i,j F. Kaava (57) ojalla jote Näi missä U(x) = (1 α i x) j = +j 1 αi j 1 x, =0 ( s m i =0 i=1 u = j=1 j=1 o eitää astetta m i 1 oleva polyomi. ( ) ) +j 1 δ i,j αi x. j 1 s P i ()αi, i=1 m i +j 1 P i () = δ i,j j 1 Huomautus. Ku kaavaa (67) sijoitetaa arvot = 0, = 1,..., = k 1, saadaa yhtälöryhmä (68) Ab T = c T, missä b = (b 1,b 2,...,b k ) koostuu polyomeissa P i () olevista m 1 +m 2 +...+m s = k kertoimesta, c = (c 0,c 1,...,c k 1 ) ja A o tyyppiä k k oleva matriisi, joka alkiot kuuluvat kutaa F (eivätkä riipu luvuista b i tai c j ). Lausee 66 perusteella tiedetää, että tällä yhtälöryhmällä o aia ratkaisu, olipa c F k mikä tahasa. Tästä ähdää, että o olemassa sellaie tyyppiä k k oleva matriisi B, että AB = I k : matriisi B i:eksi pystyriviksi valitaa b T, jolle Ab T o i:s perusvektori (0,...,0,1,0,...,0) T. Yhtälö AB = I k ojalla deta 0 ja äi matriisilla A o kääteismatriisi (ja A 1 = B). Tämä argumetti osoittaa, että kaavassa (67) polyomie P i () kertoimet määräytyvät yksikäsitteisesti ja e saadaa paitsi lausee 66 todistukse meetelmällä myös ratkaisemalla yhtälöryhmä (68) aetuilla alkuehdoilla (62). Edellie argumetti osoittaa myös, että jokaie kaavalla (67) määritelty lukujoo (u ) toteuttaa rekursioyhtälö (63).
13 GENEROIVISTA FUNKTIOISTA 24 Esimerkki 69. Etsitää kaava lukujoolle (u ), ku tiedetää, että u 0 = 0, u 1 = 9, u 2 = 1 ja u 3 = 21 ja kaikilla 0. Nyt karakteristie yhtälö o u +4 5u +3 +6u +2 +4u +1 8u = 0 t 4 5t 3 +6t 2 +4t 8 = 0. Tiedetää, että jos supistettu ratioaaliluku p/q o kokoaislukukertoimise polyomi a k x k +a k 1 x k 1 +...+a 1 x+a 0 ollakohta, ii p o luvu a 0 tekijä ja q o luvu a k tekijä. Karakteristise yhtälö aioat mahdolliset ratioaalijuuret ovat ±1, ±2, ±4 ja ±8. Kokeilemalla todetaa, että 1 ja 2 ovat juuria, ja äi t 4 5t 3 +6t 2 +4t 8 = (t+1)(t 2)(t 2 4t+4) = (t+1)(t 2) 3. Näi edellise lausee ojalla u = A ( 1) +(B 2 +C+D)2, ku A, B, C ja D valitaa sopivasti. Sijoitetaa tähä vuorotelle luvu arvoksi 0, 1, 2 ja 3 ja ratkaistaa kertoimet A, B, C ja D äi saatavasta yhtälöryhmästä A + D = 0 A + 2B + 2C + 2D = 9 A + 16B + 8C + 4D = 1 A + 72B + 24C + 8D = 21, jolla o yksikäsitteie ratkaisu B = 1, C = 1, D = 3, A = 3. Näi kaikilla 0. u = 3( 1) +( 2 3)2 Esimerkki 70. Tarkastellaa uudellee Fiboacci lukuje muodostamaa jooa(f ). Tiedetää siis, että F 0 = F 1 = 1 ja F = F 1 +F 2, ku 2. Suorittamalla yhteelasku F(x) = F 0 + F 1 x + F 2 x 2 + F 3 x 3 +... xf(x) = F 0 x F 1 x 2 F 2 x 3... x 2 F(x) = F 0 x 2 F 1 x 3... (1 x x 2 )F(x) = 1 ähdää, että F(x) = 1 1 x x 2.
14 SEULAPERIAATE 25 Karakteristie yhtälö o yt x 2 x 1 = 0 ja x 2 x 1 = (x α 1 )(x α 2 ), missä α 1 = 1(1 + 5) ja α 2 2 = 1(1 5). Näi (aikaisemma laskelma perusteella) 2 1 x x 2 = (1 α 1 x)(1 α 2 x) = α 1 α 2 ( 1 α 1 x)( 1 α 2 x) = (β 1 x)(β 2 x), missä β 1 = α1 1 = α 2 = 1( 1+ 5) ja β 2 2 = α2 1 = α 1 = 1( 1 5). 2 Etsitää sellaiset vakiot A ja B, että 1 1 x x 2 = Tämä o yhtäpitävä yhtälö 1 (β 1 x)(β 2 x) = A β 1 x + B β 2 x. A(β 2 x)+b(β 1 x) = 1 kassa, ja tästä saatavasta yhtälöryhmästä { A + B = 0 β 2 A + β 1 B = 1 ratkaistaa A = B = 1/ 5. Näi esimerki 53 ojalla F(x) = 1 1 5 β 1 x 1 1 5 β 2 x = 1 1 β 1 5 1 1 β 1 x 1 1 β 2 5 = 1 5 1 β 1 1 1 β 2 x 1 x 1 1 β 1 5 =0 β 2 1 x, β =0 2 mistä saadaa tuttu kaava F = 1 5 ( 1 β 1 ) +1 1 5 ( 1 β 2 ) +1 = 1 5 (α +1 1 α +1 2 ) ( = 1 5 1+ ) +1 5 ( 2 1 ) +1 5. 2 14 Seulaperiaate Tarkastellaa yt, mite kaava A B = A + B A B yleistyy, ku tarkasteltavia joukkoja o eemmä kui kaksi.
14 SEULAPERIAATE 26 Oletetaa, että A 1, A 2,..., A ovat äärellisiä joukkoja. Merkitää α 1 = i A i, α 2 = A i A j, i<j α 3 = A i A j A k,. i<j<k α = A 1 A 2... A. Näi α i o siis i:ttäi otettuje leikkauksie alkiomäärie summa. Lause 71 (Seulaperiaate). A 1 A 2... A = α 1 α 2 +α 3 +...+( 1) 1 α. Todistus. Tarkastellaa mielivaltaista uioii A 1 A 2... A kuuluvaa alkiota, ja oletetaa, että joukoista A 1, A 2,..., A tarkallee t sisältää tämä alkio. Summassa α i ko. alkio o tullut lasketuksi ( t i) kertaa. Näi oikealla puolella ko. alkio o tullut lasketuksi tarkallee ( ) t 1 ( t 2 ) + ( t 3 kertaa, eli yhde kerra (lausee 16 ojalla). ) ( ) t +...+( 1) t 1, t Esimerkki 72. Lasketaa seulaperiaatetta käyttäe jouko {1, 2,..., } kiitopisteettömie permutaatioide lukumäärä (vrt. esimerkki 47). Olkoo A k kaikkie iide permutaatioide joukko, joissa k o kiitopiste. Selvästi A k = ( 1)! ja yleisesti i: eria-jouko leikkauksessa o( i)! alkiota. Seulaperiaattee ojalla A 1 A 2... A = = ( 1) i 1 α i i=1 ( 1) i 1 ( i)! i i=1 =! ( 1 1! 1 2! + 1 3! +...+( 1) 1 1! Tämä o iide permutaatioide lukumäärä, joissa o aiaki yksi kiitopiste: kysytty lukumäärä saadaa vähetämällä tämä luvusta!. Esimerkki 73. Olkoo positiivie kokoaisluku ja p 1, p 2,..., p r se erisuuret alkutekijät. Etsitää kaava luvulle ϕ(), joka ilmoittaa, moeko luvuista 1, 2,..., suuri ).
15 GRAAFEISTA 27 yhteie tekijä luvu kassa o 1 (ts. moiko ko. luvuista ei ole jaollie millää alkuluvuista p 1, p 2,..., p r ). Olkoo A i luvuista 1, 2,..., iide joukko, jotka ovat jaollisia luvulla p i. Leikkaus A j1 A j2... A jk koostuu iistä luvuista, joide alkutekijähajotelmassa luvut p j1, p j2,..., p jk kaikki esiityvät, ts. e luvut, jotka ovat jaollisia ko. alkulukuje tulolla. Näi Seulaperiaattee ojalla A j1 A j2... A jk = ϕ() = A 1 A 2... A r ( 1 = + 1 +...,+ 1 ) p 1 p 2 p r +...+( 1) r p 1 p 2...p ) r = (1 )(1 1p1 1p2... p j1 p j2...p jk. ( 1 + + 1 ) +... p 1 p 2 p 1 p 3 (1 1pr ). 15 Graafeista Määritelmä 74. Graafi G o pari (V, E), missä V o äärellie, ei-tyhjä joukko, joka alkioita kutsutaa graafi pisteiksi, ja E {{u, v} u, v V, u v}, joka alkioita kutsutaa graafi viivoiksi. Havaiollisesti graafi koostuu (imetyistä) pisteistä ja joistaki iitä yhdistävistä viivoista. Kuvassa 1 2 4 3 o graafi G = (V,E), missä V = {1,2,3,4} ja E koostuu kaikista jouko V 2-alkioisista osajoukoista. Jokaie graafi viiva yhdistää kaksi eri graafi pistettä, ja graafissa kahta pistettä yhdistää eitää yksi viiva. Näi -pisteisessä graafissa o eitää ( 2) viivaa. Graafia, jossa o pistettä ja ( 2) viivaa, saotaa täydelliseksi -pisteiseksi graafiksi, ja sille käytetää merkitää K. Ylläolevassa kuvassa o siis graafi K 4. Määritelmä 75. Graafi pistee aste o siitä lähtevie viivoje lukumäärä. Lause 76. Olkoo V = {1,2,...,} ja d i pistee i aste. Silloi missä e o graafi viivoje lukumäärä. d i = 2e, i=1
16 RAMSEYN LUVUISTA 28 Todistus. Molemmat puolet ilmoittavat sellaiste parie (u, v) lukumäärä, missä u, v V ja {u,v} E. Jooa v 1 v 2...v k v 1 saotaa k-pituiseksi sykliksi, jos k 3 ja v 1, v 2,..., v k ovat eri pisteitä ja {v 1,v 2 }, {v 2,v 3 },..., {v k,v 1 } ovat kaikki graafi viivoja. Kolmepituista sykliä saotaa kolmioksi. Lause 77. Jos -pisteisessä graafissa ei ole yhtää kolmiota, ii siiä o eitää 2 /4 viivaa. Todistus. Oletetaa, että G o -pisteie graafi, jossa ei ole yhtää kolmiota, ja V = {1,2,...,}. Olkoo d i pistee i aste. Joukkoa S V saotaa riippumattomaksi, jos mikää graafi viiva ei yhdistä kahta joukkoo S kuuluvaa pistettä. Olkoo A sellaie riippumato joukko, jossa o mahdollisimma mota pistettä. Niide pisteide joukko, joihi piste i V o yhdistetty viivalla, o riippumato, koska graafissa ei ole kolmioita, ja äi d i A kaikilla i = 1,2,...,. Jokaise viiva (aiaki) toie päätepiste o joukossa B = V \A. Näi olle kute väitettii. E ( ) 2 B + A d i B A = 2 2 4, i B Kostruoidaa vielä kullaki luvu arvolla -pisteie graafi, jossa o 2 /4 viivaa ja jossa ei ole kolmioita. Jaetaa -alkioie joukko V kahdeksi osajoukoksi V 1 ja V 2, joista toisee otetaa /2 alkiota ja toisee loput. Valitaa graafi viivoiksi kaikki jouko V 1 pisteistä jouko V 2 pisteisii kulkevat viivat. Tällöi graafi G = (V,E) täyttää vaaditut ehdot. 16 Ramsey luvuista Tarkastellaa graafia K N. Väritetää graafi kaikki viivat, kuki viiva joko puaiseksi tai siiseksi. Saotaa, että graafilla K N o omiaisuus (m,), jos siitä riippumatta, mite väritys suoritetaa, joideki m pistee väliset viivat ovat kaikki puaisia tai joideki pistee väliset viivat ovat kaikki siisiä. Seuraava lause osoittaa, että jos luvut m ja o aettu, ii graafilla K N o omiaisuus (m,), jos N o riittävä suuri. Olkoo R(m,) piei N, jolla graafilla K N o omiaisuus (m,) jolloi kaikilla graafeilla K M, missä M > N, o myös omiaisuus (m,). Lause 78. Luku R(m,) o olemassa kaikilla m 2 ja 2. Lisäksi R(2,) = ja R(m,2) = m ja kaikilla m 3 ja 3 pätee (79) R(m,) R(m 1,)+R(m, 1).
16 RAMSEYN LUVUISTA 29 Todistus. Selvästi R(2, ) = ja R(m, 2) = m. Todistetaa loput väitteet iduktiolla luvu m+ suhtee. Väitteet ovat voimassa, ku m+ = 4 tai m+ = 5. Oletetaa, että väitteet tuetaa, ku m + < k, ja oletetaa, että m + = k (missä k 6). Rajoituksetta m 3 ja 3. Iduktio-oletukse ojalla R(m 1,) ja R(m, 1) ovat olemassa. Olkoo N = R(m 1,)+R(m, 1). Väritetää graafi K N viivat puaisiksi ja siisiksi millä tavalla tahasa. Tarkastellaa mitä tahasa graafi pistettä v. Olkoo A iide pisteide joukko, jotka o yhdistetty pisteesee v puaisella viivalla, ja B iide pisteide joukko, jotka o yhdistetty pisteesee v siisellä viivalla. Ehdo A + B = N 1 ojalla A R(m 1,) tai B R(m, 1). Oletetaa, että A R(m 1, ). Luvu R(m 1, ) määritelmä ojalla joukolla A o -alkioie osajoukko, joka pisteide väliset viivat ovat kaikki siisiä, tai(m 1)-alkioie osajoukko, joka pisteide väliset viivat ovat kaikki puaisia. Edellie tapaus o selvä; jälkimmäisessä tapauksessa ko. osajouko pisteet yhdessä pistee v kassa muodostavat m-alkioise osajouko, joka pisteide väliset viivat ovat kaikki puaisia. Tapaus B R(m, 1) todistetaa vastaavasti. Lause 80. Kaikilla m 2 ja 2 pätee R(m,) 2 m+ 2. Todistus. Todistetaa väite iduktiolla summa m+ suhtee. Koska R(2,2) = 2, väite pätee jos m+ = 4. Oletetaa, että R(m,) 2 m+ 2 aia, ku m+ < k ja oletetaa, että m+ = k. Jos m = 2 tai = 2, väite o selvä, koska kaikilla k 2 pätee k 2 k. Oletetaa, että m > 2 ja > 2. Silloi kaava (79) ja iduktio-oletukse ojalla R(m,) R(m 1,)+R(m, 1) 2 (m 1)+ 2 +2 m+( 1) 2 = 2 m+ 2, mikä todistaa väittee. Erityisesti kaikilla k 2 pätee R(k,k) 2 2k 2. Saotaa, että osajoukko K V o mookromaattie, jos kaikki jouko K pisteide väliset viivat o väritetty samalla värillä. Lause 81. Kaikille k 4 pätee R(k,k) 2 k/2. Todistus. Oletetaa, että N < 2 k/2 ja tarkastellaa kaikkia graafi K N viivoje mahdollisia värityksiä. Väritys voidaa valita yhtä moella tavalla kui voidaa valita puaiseksi väritettävie viivoje joukko P E, eli siis 2 (N 2) tavalla. Lasketaa kahdella eri tavalla parie (P, K) lukumäärä, missä P E o värityksessä puaiseksi väritettyje viivoje joukko ja K V o k-alkioie mookromaattie osajoukko ko. värityksessä.
17 KIRJALLISUUSLUETTELO 30 Jos K kiiitetää, ii värityksia (so. jouko P valitatapoja) o 2 2 (N 2) ( k 2) kappaletta: jouko K väliset ( k 2) viivaa ovat kaikki siisiä tai kaikki puaisia ja muut ( N ) ( 2 k ) 2 voidaa värittää vapaasti. Olkoo m(p) jouko K valitatapoje lukumäärä, ku P o aettu. Parie (P,K) kokoaismäärä o m(p) = 2 2 2) ( (N k 2) P E = K V, K =k ( N k ) 2 1+(N 2) ( k 2) Nk 2 k 121+(N 2) ( k 2) < (2k 2) k 2 k 1 21+(N 2) ( k 2) 2 k 2 +2 2 (N 2) 2 (N 2), koska N < 2 k/2 ja k 4. Näi aiaki yhdellä valialla P o siis m(p) = 0, eli mikää k-alkioie jouko V osajoukko ei ole mookromaattie. Näi olle graafilla K N ei ole omiaisuutta (k,k). Siis R(k,k) 2 k/2. 17 Kirjallisuusluettelo 1. Aiger, M., Ziegler, G. M.: Proofs from the book, Spriger, Berliii, 2004. 2. Alo, N., Specer, J. H.: The probabilistic method, Wiley, New York, 1992. 3. Aderso, I.: A first course i combiatorial mathematics, Claredo Press, Oxford, 1984. 4. Aderso, I.: A first course i discrete mathematics, Spriger, Lotoo, 2001. 5. Aderso, I.: Combiatorial desigs, Ellis Horwood, Chichester, 1990. 6. Aderso, I.: Combiatorics of fiite sets, Claredo Press, Oxford, 1987. 7. Aderso, I., Hokala, I.: A short course i combiatorial desigs, http://www.utu.fi/ hokala/desigs.ps 8. Graham, R. L., Rothschild, B. L., Specer, J. H.: Ramsey theory, Wiley, New York, 1990. 9. va Lit, J. H.: Itroductio to codig theory, Spriger, New York, 1982. 10. MacWilliams, F. J., Sloae, N. J. A.: The theory of error-correctig codes, North Hollad, Amsterdam, 1977. 11. Ryser, H. J.: Combiatorial mathematics, Wiley, New York, 1963. 12. Staley, R. P.: Eumerative combiatorics I, Cambridge Uiversity Press, Cambridge, 1997.