S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas a vaihvas... 48 3.5 Suodaim... 48 3.5. Idaalinn alipääsösuodain... 5 3.5. Hilbr-muunnos... 5 3.5.3 Kapakaisaisn sysmin komplksinn alipääsösiysmuoo... 53 3.5.4 kanaaauusekvivalni alipääsömalli... 55 3.6 Vaihviiv a ryhmäviiv... 55 3 SIGNAALIN SUODATUS 3. SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA Tässä yhydssä sysmillä arkoiaan oain laia, oka uoaa vasn, li lähösignaalin osain ulosignaalisa. Sysmi on linaarinn, os suprposiiopriaa on voimassa, li usan ulosignaalin summa on yhäsuuri kuin os kukin signaali syöäisiin riksn: abab Sysmin sanoaan olvan aan suhn invariani im invarian, os viiv ulosignaalissa aihuaa samansuuruisn viivn lähdössä. Suodain on aauusslkiivinn lai, onka avulla lähösignaalin aauud raoiaan ollkin iyll välill. Kanava channl on okin mdia, oka liiää lähimn a vasaanoimn oisiinsa. Aikaasossa sysmin vasa sanoaan impulssivasksi. S on vas, onka sysmi uoaa yksikköimpulssiin. Jos sysmi on aika-invariani, impulssivasn muoo on sama, riippumaa siiä, millä aanhkllä s apahuu. Olaan, ä yksikköimpulssi syöään sysmiin aanhkllä, a mrkiään impulssivasa h. Sysmiin syöään okin viriysunkio x olloin sysmin vasunkio on y. Sysmi siis aina "väärisää" viriysunkioa ollain avalla sin, ä uloksna on ulosulona saaava vas. Tämä on ylinn miauskninn ominaisuus, oka i liiy ainoasaan sähkö- ai ioliiknnkniikkaan. Tulos voidaan siää konvoluuioingraalina y x h d JUKKA JAUHIAINEN
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III JUKKA JAUHIAINEN 45 Ylnsä h on unmaon a x a y voidaan miaa. Ingraalissa on kolm ri aikamuuuaa, viriysaika, vasaika a sysmin muisiaika -. Esimrkki: Lask unkioidn x -α u a x - u konvoluuio α, >. Ohisssa kuvassa on siy unkio x α a x α skä niidn konvoluuio paksu umma viiva. x h y d d y u u d u u x x y α α α α α α α α α > < < < /,,, *,,4,6,8 3 4 5 6
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 46 3. KAUSAALISUUS JA STAIILISUUS Sysmin sanoaan olvan kausaalinn, os s i synnyä vasa, nnn kuin viriys annaan. Joa linaarinn aika-invariani sysmi olisi kausaalinn, äyyy varmaankin impulssivasn olla nolla ngaiivisill aanhkill, li h, < Slväsikin raaliaikaärslmä ova kausaalisia. On kuinkin monia sovlluksia, oissa signaali on valmiiksi alluna onnkin, simrkiksi prosssorin muisiin. Tällaisissa apauksissa sysmi voi olla i-kausaalinn mua kuinkin yysissi ouavissa. Sysmin sanoaan olvan sabiili, os lähösignaalin arvo on raoiu äärllisn arvoon kaikilla ulosignaalin arvoilla. Jos x on raoiu sin, ä x M, - < <, missä M on äärllinn raaliluku. Konvoluuioingraalia käyän voidaan lähösignaalill kiroiaa y h x d M h d Täsä suraa, ä sabiilin sysmin impulssivasn ul olla absoluui-ingroiuva, li äärllinn: h d < 3.3 VASTE TAAJUUSTASOSSA Tarkasllaan aika-invariania sysmiä, onka impulssivas on h. Sysmiin syöään komplksiksponnimuooinn syö x - Sysmin vas on y h d h d JUKKA JAUHIAINEN
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 47 Ingraalin sisällä olva rmi i ol miään muua kuin h:n Fourir-muunnos. Mrkiään siä H, olloin yh - Suura H kusuaan sysmin siirounkioksi. Näin on saau sysmioriasa uu ulos, oka sanoo ä sysmin siirounkio on impulssivasn Fourir-muunnos. Syöään sysmiin milivalainn signaali x. Sn Fourir-käänismuunnos on x X d Sysmin vas voidaan ny kiroiaa muodossa Vasn Fourir-muunnos on sin YHX Lähosignaalin Fourir-muunnos Y saadaan sin aauusasossa kromalla siirounkio H a ulosignaalin Fourir-muunnos X ksknään. Tällä ulokslla on lukuisia käyännön sovlluuksia. Usin on hokkain apa laska laska konvoluuio sin, ä laskaan nsin nopalla Fourirmuunnokslla H a X. Tuloksna saadaan Y, osa dlln y Fourir-käänismuunnokslla. Asia voidaan käänää myös oisinpäin. Usin käyännön miausknisissä onglmissa y a h unnaan. Thävänä on määriää sysmin puhdas ulosignaali, li mialain aihuama väärisymä haluaan siivoa signaalisa pois. X voidaan rakaisa dlläolvasa kaavasa: XY/H, osa dlln x Fourir-käänismuunnokslla. Tää opraaioa kusuaan dkonvoluuioksi. y H X d JUKKA JAUHIAINEN
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 48 vaih. 3.4 AMPLITUDIVASTE JA VAIHEVASTE Siirounkio H on ylisssä apauksssa komplksiarvoinn unkio, olla on skä isisarvo ä H H missä H on ampliudivas a on vaihvas. Jos impulssivas on raalinn, siirounkio H on konugaaisymmrinn, li H H- -- Toisin sanon ampliudivas on parillinn a vaihvas parion unkio. Ampliudi- a vaihvasidn kuvaaa aauudn unkiona ilmaisva sysmin aauusvasn. 3.5 SUODATTIMET Joa aalomuoo siiryisi muodolaan muuumaomana sysmin läpi, kaikkin signaalin aauuksin ul korosua ai vaimnua samalla vakiomäärällä ai viiväsyä yhä palon. Tämä ouuu vain, mikäli sysmin siirounkio on muooa HH -. Toisin sanon ampliudivas on vakio a vaihvas on aauudn linaarinn aauudn unkio. Suodaimissa aalomuodon aauussisälöä muuaan haluulla avalla. Esimrkkisovlluuksia ova häiriöaauuksin sim 5 Hz vrkkohäiriö liminoini, vaimnnus ai kulkuaikakoraus aikka signaalin aauusakoinn kanavoini yhisll siiroill. Suodaimin pääyypi ova Alipääsösuodain Ylipääsösuodain Kaisanpääsösuodain Kaisansosuodain JUKKA JAUHIAINEN
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 49 Kulkuaikakorain Nlä nsiksi mainiua muuava nsisiaissi ampliudisuhia. Viiminn on nimnomaan vaihsuodain, onka ampliudivas on aauudsa riippumaon kokopääsö. Kaisalvydllä arkoiaan pääsävän alun lvyä. Sn määriys riippuu suodainyypisä. Ohisn kuvaan on koou idaalisn suodainn pääyypi. Alipääsö Ampliudi y y Vaih Ylipääsö a a Ampliudi Vaih Kaisanpää sö Ampliudi Kaisans o Ampliudi y a a y Vaih y a a y Vaih Kulkuaikak orain Ampliudi Vaih Suodaimin yhydssä käyään rmä pääsökaisa a sokaisa kuvamaan niiä aauusaluia, oilla suodain pääsää a oisaala i pääsä iyä aauusväliä läpi sysmisä. Kaisalvys on ylä- a alaraaaauuksin y a a väliin äävä aauusväli. Idaalisill suodaimill n voidaan määriää ylläolvan kuvan mukaissi. Edllä siyn idaalisn suodaimin ampliudivasidn porrasmais siirymä voidaan ouaa vain likimäärin odllisilla sähköisillä komponnilla. Koska signaalilla on aina äärllinn nopus JUKKA JAUHIAINEN
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 5 piirissä, i äärömän nopia nousua a laskua ilasa oisn voida ouaa. Ohlmallissi idaalinn suodain on kuinkin mahdollisa ouaa, simrkiksi ollain DSP-soalla. Niiä i kuinkaan uuri koskaan käyä sllaisnaan ds sillä, ohun impulssivasn sincunkioyyppissä käyäyymissä. Pääsö- a sokaison väliin ää ns. siirymäkaisa, onka alulla vahvisus ai vaimnnus muuuu akuvasi aauudn unkiona. Ylissäänönä on, ä siirymäkaisan kavnaminn olloin siirymä so- a pääsökaison välillä on hyvin nopa lisää viivä a vaihvasn pälinaarisuua. Ohisssa kuvassa on siy odllisn alipääsö- a kaisanpääsösuodaimn kaisalvyksin määrilmä. Huomaa, ä on määrily posiiivisill aauuksill. Kun aikaismmasa oivoavasi muisaan, vasaa / pudous maksimiampliudisa - 3d:n raaaauuksia. H H H c H H H c y y a y c c Tr 3.5. IDEAALINEN ALIPÄÄSTÖSUODATIN Tarkasllaan alipääsösuodaina, onka kaisanlvys on. Taauusvas H voidaan siää Fourirmuunnoksn määrilmään noauun muodossa, < < b H, muualla kun pääsökaisan vahvisus H a ksponnirmi kuvaa vaiha. Impulssivas saadaan käänismuunnoksn avulla: JUKKA JAUHIAINEN
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III JUKKA JAUHIAINEN 5 Saaiin ulos, oka oli odoavissakin Fourirmuunnoksn ominaisuuksin pruslla. Impulssivas on hkn kskiyvä sinc-pulssi, onka maksimi on a kskiosan lvys nollanyliysn väli on / skunia. Muu nollanyliyks oisuva / skunnin välin. Koska vaspulssi alkaa aan ngaiivissa äärömäsä, s i ol kausaalinn millään viivn valinnalla vas alkaa nnn hrää. Tähän viiaiinkin dllä; hyvin "yrkkä" aauusason suodaus aihuaa oskilloinia aikaason signaaliin, li suodain isssään sok suodaavan signaalin. Miä lvämpi pääsökaisa on aauusasossa, siä kapampi sinc-unkio saadaan aikaasoon - a päinvasoin. Käyännössä siirymä pääsö- a sokaison välillä ivä ol kovin yrkkiä. Analogialkroniikassa yksinkraisin yli- ai alipääsösuodain saadaan hyä vasuksn a kondnsaaorin avulla. Tarkmmin haroiuksissa. 3.5. HILERT-MUUNNOS Sysmiä sanoaan kapakaisaisksi, os sn aauusvas on kaisanpääsöyyppiä a kaisanlvys on pini suhssa kskiaauun. Signaali on kapakaisainn myös, os sn spkri on kapakaisainn. Tarkasllaan siirounkioa, oka on muooa [ ] sinc sin sin sin / d d d H h h sgn,,, H < >
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 5 Signaalin ampliudi- a vaihvas ova ohisn kuvan mukaisia. Siirounkio siis anaa vakioampliudin, kaikilla muilla paisi nollaaauudlla, olla sn arvo on nolla. Vaih on 9 asa ngaiivisilla aauuksilla, origossa a -9 posiiivisilla aauuksilla. Tällaisa muunnosa sanoaan Hilbr-muunnoksksi. Osassa II osoiiin, ä signum-unkion Fourir muunnos on muooa H o 9 o 9 sgn Käyän ää ulosa voidaan Hilbr-muunnoksn impulssivasll h ohaa h sgn Ylissi aalomuodon x Hilbr-muunnosa mrkiään xˆ symbolilla. S määrillään konvoluuion avulla: x λ xˆ x * h x λ h λ dλ dλ λ Hilbr-muunnokssa on syyä huomaa, ä skä ulo- ä lähösignaali ova aan unkioa. Käänismuunnos saadaan kaavasa xˆ λ x xˆ * h dλ λ Näiä kaavoa käyään sysmikuvausn prusvälinnä muun muassa idonsiirokniikassa. Tarkasllaan suraavaksi kaisanpääsösuodaimn komplksisiysä Hilbr-muunnosa käyän. JUKKA JAUHIAINEN
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 53 3.5.3 KAPEAKAISTAISEN SYSTEEMIN KOMPLEKSINEN ALIPÄÄSTÖESITYSMUOTO Tarkasllaan signaalia x, onka spkri kskiyy kapall aauuskaisall ±W kskiaauudn c ympärill. Ny voidaan määrillä sivrhokäyrä pr-nvlop a sn Fourir-muunnos: x x X xˆ X Xˆ Siis kysssä on komplksinn unkio, onka raaliosana on is signaali x, a imaginääriosana signaalin Hilbr-muunnos. Koska Hilbr-muunnoksll H-sgn, on Xˆ sgn X X X sgn X X Siis sivrhokäyrän Fourir-muunnokslla i ol ngaiivisia aauuksia. Fourir-muunnoksn aauussiiroa käyän x voidaan kiroiaa muodossa X X, X,, [ sgn ] > < X c W c X c X X c X X c W c X ~ c W c W missä x ~ on komplksiarvoinn alipääsösignaali. Toisin sanon kskiaauudll c kskiyvä kaisanpääsösuodain voidaan siää komplksisn alipääsösuodaimn avulla siirämällä sn kskiaauus nollaaauudll. Koska x on komplksinn, on alipääsösignaali x ~ myös ylnsä komplksinn, vaikka alkupräinn kapakaisainn signaali on avallissi raaliarvoinn. Tämä nähdään, kun rakaisaan x ~ dlä : x ~ x c W W ~ c x x Krroaan vasn a oika puoli rmillä xp c. Nähdään, ä c x xˆ JUKKA JAUHIAINEN
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 54 x R xˆ Im ~ [ ~ c x ] c [ x ] Kun mrkiään ~ x x x I a käyään hyväksi Eulrin kaavaa ksponnisiyksll, voidaan alkupräinn signaali x kiroiaa muodossa xx I cos c - x Q sin c Q Tää sanoaan kapakaisaisn signaalin kanonisksi siysmuodoksi. Trmä x I a x Q sanoaan komplksisn vrhokäyrän x ~ samanvaihisksi- a kvadrauurikomponniksi. Tässä siysmuodossa on siis kaksi ksknään orogonaalisa kanoaaloa aauudlla c, oia samanvaihinn a kvadrauurikomponni moduloiva. Esiysmuoo on kskisssä asmassa ioliiknnkniikassa käyävin modulaaioapon mamaaisssa kuvauksssa. Siksi s oiin ällä kurssilla sill midän kaikkin iloksi Jako sin Tidonsiirokniikan kurssilla Edllä on arkaslu komplksisa alipääsöä aikaasossa. Sama arkaslu voidaan hdä myös aauusasossa. Is asiassa s on huomaavasi hlpompi a inuiiivismpi: Oaan kaisanpääsösuodaimn posiiivinn aauuskaisa H, siirrään siä c :n vrran vasmmall a ~ mrkiään saaua aauusvasa H :llä. H ~ H K K c c JUKKA JAUHIAINEN
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 55 Tässä on arkoiukslla väly ampliudin skaalaamisa. Joa ämä muunnos oimisi, on c :n olava suurmpi kuin puol kapakaisaisn sysmin kaisanlvydsä. 3.5.4 KANTATAAJUUSEKVIVALENTTI ALIPÄÄSTÖMALLI Edllä siis odiin, ä kaisanpääsösuodaus voidaan muuaa alipääsösuodauksksi sopivalla kaisan siirrolla. Tämä apahuu korvaamalla kaisanpääsösignaalin suur komplksisiyksn suurilla. Jos kaisanpääsösysmin Fourir-muunnos on Y H X niin is suodau signaali y on inkin Y:n Fourir-käänismuunnos. Komplksisll alipääsöll saadaan vasaavasi ~ ~ Y H X ~ misä y ~ saadaan Y ~ :n käänismuunnoksna. Sn älkn y saadaan y ~ :n avulla yksinkraissi yhydsä y R [ ~ ] c y Kapakaisainn X sysmi Y H ~ X Komplksin n alipääsösysmi ~ Y ~ H Kuvassa oikanpuolinn sysmi on kanaaauuskvivalni vasmmanpuolisn kanssa. Ekvivalnssi arkoiaa ässä yhydssä siä, ä muunnos säilyää kapakaisaisn ulosignaalin x a lähösignaalin y inormaaiosisällön. Ylismmin rmiä kanaaauus käyään ilmaismaan aauuskaisa, oka siää milnkiinnon kohna olvaa signaalia, simrkiksi radio- ai TV-lähyksssä. Tarkmmin simrkissä unnilla. 3.6 VAIHEVIIVE JA RYHMÄVIIVE JUKKA JAUHIAINEN
TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 56 Tarkasllaan ohisn kuvan mukaisa siniaaloa kanoaaloa, oka syöään onkin disprsiivisn sysmin idonsiirokanavan läpi. Disprsiivisyys arkoiaa, ä lähö- a ulosignaalin välillä on vaihsiiro. Jos aallon aauus on c, synnyää sysmi c radiaanin suuruisn viivn. Lähösignaalila kuluu aikaa c / c skunia, oa s olisi samassa vaihssa ulosignaalin kanssa. Tää aikaa kusuaan siirokanavan vaihviivksi p. Vaihviiv i kuinkaan välämää ol signaalin odllinn viiv siirokanavassa. Tämä ohuu siiä, ä plkkä siniaalo i kula inormaaioa. Inormaaioa voidaan väliää ainoasaan muuamalla siniaaloa onkin! Silloin puhuaan oko ampliudi- AM ai aauusmodulaaiosa FM, oia käsillään arkmmin idonsiirokniikan kurssilla. Tarkasllaan ohisa ilanna, ossa siniaaloa moduloidaan ollain hiaasi muuuvalla signaalilla ampliudimodulaaio. Kun ällainn moduloiu signaali syöään siiroill, on slvää, ä vrhokäyrän iy koha ul ulos sysmisä ollain viivllä. Tää kusuaan ryhmäviivksi g. S dusaa odllisa signaalin viivä. END OF PART THREE g p JUKKA JAUHIAINEN