Kertaustehtävien ratkaisut. c) Protoniin kohdistuva agneettisen voian suuruus on F 9 qvb,60773 0 C,6M / s 0,4T 58fN. Suunta on oikean käden sorisäännön perusteella ylöspäin.. b) Johtieen kohdistuvan voian suuruus on F IlBsin 4,0A 0,50 49μT sin9 3μN. Suunta on oikean käden säännön perusteella itään. 3. a) Protoniin kohdistuvan voian suuruus on F qvb. 9 sin,60773 0 C,3 M / s 990T sin 43fN 4. a) Newtonin II lain ukaan johtien ollessa tasapainossa on oltava F 0 eli F G 0. Kun suunta ylös on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö F G = 0 eli F = G. Johtieen kohdistuva paino voidaan kirjoittaa uotoon G = g = ρalg. Yhtälöstä IlB = ρalg sähkövirran suuruus on 3 3 6 Ag,70 kg /,00 9,8 / s I 0,4A. B 0,38T 5. b) Sauvan päiden välille indusoituva jännite on e = lvb. Sauvan nopeus on e v lb 3,0V 9,5/s. 0,45 0,70T 6. c) Keskiääräinen induktiojännite on 0,0 Wb 35μWb en 660,5 V. t 5s 7. c) Koska sähkövirta pienenee tasaisesti, kääin napoihin indusoituva jännite on vakio: I el. t Kääin induktanssi on et et 5,5V 5s L 65H. I I I,5 A 5,A 8. b) Koska piirissä ei ole kondensaattoria. Yhtälössä reaktanssi X C erkitään nollaksi. Ipedanssi on Z R ( X X ) kapasitiivinen L C 78
Z R XL R fl 85 50 0,5 H 0. s u0 350 V 9. a) Ensiöjännitteen huippuarvo on u0 350 V ja tehollinen arvo U 47,4874 V. U N Muuntajassa jännitteiden ja kierroslukujen suhde on yhtä suuri eli. U N Toisiojännitteen tehollinen arvo on U N 40 U 47,4874 V 9,899496 V. 000 N Toisiovirran tehollinen arvo on I U R 9,899496 V 8 A. 0 Ω 0. c) Värähtelypiirin oinaisresonanssitaajuus on f0. Korotetaan yhtälö neliöön, π LC jolloin saadaan f0. Tästä yhtälöstä kapasitanssi on 4π LC C 8 ff. 4π Lf0 3 6 4π 0,5 0 H 97,7 0 s. a) B I b) N S 79
c) d) Huoaa, että aantieteellisellä pohjoisnavalla on agneettinen eteläkohtio.. a) Deklinaatio on agneettineulan poikkeaa kartan pohjois-eteläsuunnasta. Inklinaatio on agneettineulan kallistua vaakatasosta. Vapaasti liikkuvan agneettineulan pohjoispää osoittaa Suoessa vinosti aapallon sisään. Helsingissä deklinaatio on 4 itään ja inklinaatio 73. b) Aurinkotuuli tarkoittaa Auringosta lähtevää jatkuvaa ionisoituneiden hiukkasten virtaa, lähinnä elektroneja ja protoneja. Maan agneettikenttä kääntää aurinkotuulen hiukkasten liikkeen suuntaa estäen niiden pääsyä Maan pinnalle: näin agneettikenttä toiii suojaavana tekijänä. Saalla tavalla agneettikenttä suojaa kosiselta säteilyltä, saoin esi. toisilta tähdiltä tulevilta suurienergisiltä hiukkasilta. c) Revontulet syntyvät, kun Auringosta tulevat hiukkaset töräilevät ilakehässä oleviin hiukkasiin ja nää virittyvät. Kun viritystilat purkautuvat, taivaalla nähdään värikkäitä revontulia. Eri atoit lähettävät eriväristä valoa. Maan agneettikentän uoto on sellainen, että hiukkaset pääsevät ilakehässä sopivalle korkeudelle juuri napa-alueilla, jossa agneettikenttä suuntautuu jyrkästi kohti aan pintaa. Tällöin avaruudesta tulevien varattujen hiukkasten nopeus voi olla likiain agneettikentän suuntainen, jolloin agneettinen voiavaikutus varauksellisiin hiukkasiin jää vähäiseksi. Päiväntasaajalla ja sen olein puolin aan agneettikenttä on likiain aan pinnan suuntainen, joten aan pintaa kohti saapuvien hiukkasten nopeus on likiain kohtisuorassa agneettikenttää vastaan, joten varauksellisten hiukkasten radat kaartuvat. Saalla hiukkaset enettävät energiaa törätessään ilan olekyyleihin ja atoeihin, jolloin hiukkasten nopeus pienenee. Hiukkasten radoista tulee spiraaleja tai ruuviviivoja, joiden säde pienenee. d) Maan ytiessä tapahtuvat varattujen hiukkasten virtaukset aiheuttavat pyörteitä. Näistä pyörteistä johtuu Maan agneettikentän uutokset. Pyörteet liikkuvat vuosien kuluessa eri paikkoihin. 80
Maapallon agneettiset navat vaeltavat koko ajan aantieteellisten napojen tuntuassa. Navat ovat yös vaihtaneet keskenään paikkaa useita kertoja. Napaisuuden vaihtuiseen kuluu n. 0 000 vuotta. Napaisuuden uutos johtuu Maan sulan ytien liikkeistä. Magneettiset yrskyt aiheuttavat nopeita uutoksia Maan agneettikentässä. Myrskyt voidaan havaita. häiriöinä tietoliikenteessä. Magneettiset yrskyt johtuvat Auringossa tapahtuvista energia- ja hiukkaspurkauksista: purkaukset aiheuttavat uutoksia aurinkotuuleen. Lisäksi kallioperän ineraalit ovat jakautuneet epätasaisesti, joten tietyillä alueilla voidaan havaita paikallisia uutoksia agneettikentässä. 3. a) D-kohtioiden välissä ionit kiihdytetään sähkökentän avulla kohtisuoraan agneettikenttää vastaan. Koska ionin tulovauhti agneettikenttään kasvaa aina sähkökentän ylityksen jälkeen, yös radan säde agneettikentässä kasvaa: radasta tulee spiraalin uotoinen. b) Newtonin II lain ukaan ionien liikeyhtälö on F an. Kun suunta radan keskipisteeseen on v positiivinen, saadaan skalaariyhtälö qvb. Ionien suurin liike-energia on E v, joten r E suurin nopeus on v. v Yhtälöstä qvb agneettivuon tiheys on r E v E B qr qr qr 7 6 9 3,06093,66056550 kg 7, 00,607730 J 9,607730 C,03 Syklotronin taajuus on 0,3 T. f 6 9 7,00,607730 J 7 E v 3,06093,66056550 kg T s/ v π r/ v πr πr π,03 3,3MHz. 4. a) Kaikkien hiukkasten nopeuden suunta on aluksi alhaalta ylös. Oikean käden säännön perusteella voidaan päätellä, että α-hiukkasella on positiivinen sähkövaraus ja β-hiukkasella negatiivinen. Gaakvantti on varaukseton, koska sen rata ei kaareudu agneettikentässä. (Kyseessä ovat radioaktiivisessa hajoaisessa syntyvän säteilyn eri lajit, alfasäteily, beetasäteily ja gaasäteily. Näihin palataan kurssilla Fysiikka 8) b) Newtonin II lain ukaan hiukkasten liikeyhtälö agneettikentässä on F an. Kun suunta v radan keskipisteeseen on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö qvb. Levosta lähteneen, r jännitteellä U kiihdytetyn hiukkasen liike-energia on E v qu, josta hiukkasen loppunopeus qu on v. 8
Yhtälöstä v v qvb ypyräradan säde on r qu, radan säteen yhtälö saadaan uotoon qu U r. qb qb v r. Kun tähän yhtälöön sijoitetaan loppunopeus qb Jotta protonin ja α-hiukkasen ratojen säteet olisivat yhtä suuret, on oltava U U. qb p p α α p qb α Protonin kiihdytysjännite on U p qu q 4,006033u e 3kV α p α α p Uα q p α q p α,007850 u e 64kV. 5. Huoaa, että kuvassa kalvo on niin ohut, että radan kaartuista ei voi piirtää oikeassa ittakaavassa. Newtonin II lain ukaan protonin liikeyhtälö on F an. Kun suunta radan keskipisteeseen on v qbr positiivinen, saadaan skalaariyhtälö qvb, josta protonin nopeus on v. r Protonin liike-energia on ja sen uutos qbr qbr Ek v qbr qbr qb Ek Ek Ek r r 9,60773 0 C 0,55T 7,6763 0 kg 0,4 0, 4 6,685465 0 J 47,5385 kev 40 kev. Liike-energia pienenee 40 kev. Kultakalvossa energian enetys kuljettua atkaa kohden on paksuus on Ek 47,5385keV x,6μ. E/ x 60 kev / μ E x 60 kev / μ, joten kalvon 6. Koska agneettivuo on = AB, protoniin agneettikentästä kohdistuvan voian suuruus saadaan uotoon F qvb qv. Voian suuruus on A 8
F 9 qv,607730 C8,5M / s 3,5μWb 4 3, fn. A 50 7. Newtonin II lain ukaan α-hiukkasen liikeyhtälö on F an. Kun suunta radan keskipisteeseen on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö qbr v. Toisaalta nopeus on s πr v t T. qbr πr Yhtälöstä α-hiukkasen kiertoajaksi saadaan T 7 π π 6,6446630 kg T 93ns. 9 qb,607730 C,4T v qvb, josta α-hiukkasen nopeus on r 8. a) Massaspektroetria käytetään fysikaalisessa tutkiuksessa ja ionien oinaisvarauksien sekä atoien ja olekyylien assojen äärittäisessä. Massaspektroetrin toiinta perustuu siihen, että ionien radat sähkö- ja agneettikentissä riippuvat ionien oinaisvarauksesta. b) Tutkittavat atoit täytyy ionisoida, sillä sähkö- ja agneettikentän avulla voidaan ohjata vain varattuja hiukkasia. Ionit ohjataan kiihdyttävään sähkökenttään, jossa ne saavat assasta ja varauksesta riippuvan nopeuden. Ionit tulevat ns. nopeusvalitsieen kohtisuorasti sen agneettikenttää ja sähkökenttää vastaan. Nopeusvalitsiesta tulevalla ionilla on vain tietty nopeus. Sähkö- ja agneettikentän aiheuttaat voiat ovat vastakkaissuuntaiset, jolloin tietyllä nopeudella valitsieen tulevien ionien rata on suora. Sitten ionit ohjataan kohtisuorasti agneettikenttään, jossa ne kulkevat puoliypyrän uotoisia ratoja. Lopulta ionit osuvat esierkiksi tietokoneeseen kytkettyihin ilaisiiin. Ionien ratojen säteet riippuvat vain ionien assasta ja varauksesta sekä eteneisvauhdista ja agneettivuon tiheydestä. c) Kaikkien niiden ionien, joilla on saa oinaisvaraus, ratojen säteet ovat yhtä suuret. Täten saan alkuaineen eri isotoopit erottuvat toisistaan, koska niillä on eri assat. Kenttä siis jakaa hiukkaset eri radoille. Isotooppien lisäksi voidaan äärittää alkuaineiden eri isotooppien esiintyisrunsaus. 9. a) Suoraan virtajohtieen, joka on kohtisuorasti agneettikenttää vastaan, kohdistuu agneettinen voia, jonka suuruus on F = IlB. Magneettivuon tiheys on B F Il 55N 4,0 A 0,045 0,3T. b) Jotta silukka jatkaisi eteneistä tasaisella nopeudella, Newtonin II lain ukaan on oltava F 0. Silukkaa on vedettävä voialla F, joka on yhtä suuri, utta vastakkaissuuntainen agneettisen voian F kanssa. Kun liikkeen suunta on positiivinen, skalaariyhtälöstä F F = 0 e saadaan F = F = IlB, jossa I on johtiessa kulkeva sähkövirta, e = lvb on silukan R lvb etureunaan indusoitunut jännite. Näin ollen silukassa kulkeva sähkövirta on I. R Liikkeen ylläpitäiseksi tarvittavan voian suuruus on 83
lvb l vb 0,060,0 / s 0,0T F IlB lb 58N. R R 5,0 Ω 0. a) Vaakakupissa olevan punnukseen kohdistuva paino pyrkii vääntäään vaa an vartta vinoon. Vaaka on tasapainoasennossa, kun varsi on vaakasuorassa asennossa. Silloin virtasilukkaan vaikuttavan agneettisen voian suunnan tulee olla alaspäin. (Silukan pystysuoriin osiin vaikuttava voia ei vaikuta vaa an lukeaan.) Oikean käden säännön avulla voidaan päätellä sähkövirran suunnan olevan silukassa yötäpäivään. b) d A d G F N Vaakasysteeiin vaikuttavat voiat ovat punnukseen kohdistuva paino G, vaa an akselin tukivoia N ja silukkaan kohdistuva agneettinen voia F. Vaaka on tasapainossa pyöriisen suhteen, kun oenttien sua akselin A suhteen on nolla eli M A 0. Kun oentin suunta vastapäivään on positiivinen, oenttiyhtälö saadaan uotoon Gd F d = 0 eli Gd = BIld, josta agneettivuon tiheys on 0,0065kg 9,8 g B s 9,7T. Il 0V 0,5 5,0Ω. a) Väärin. Aluiini ei ole diaagneettinen aine. Diaagneettiset aineet kylläkin heikentävät ulkoista agneettikenttää. Aluiini on paraagneettinen aine b) Tosi. Suprajohteille resistiivisyys on (likiain) nolla. Kun suprajohteeseen synnytetään sähkövirta, se kulkee häviöttöästi virtapiirissä eikä potentiaalin aleneista tapahdu. Tällöin ei tarvita jatkuvaa energiaa virran ylläpitäiseen. (Energiaa tarvitaan kylläkin suprajohteen alhaisen läpötilan ylläpitäiseen.) c) Tosi. Esierkiksi eltoraudalle suhteellinen pereabiliteetti on µ r 0 000. Paraagneettisille aineille suhteellinen pereabiliteetti on suuruusluokkaa µ r.. Induktio liittyy kaikkiin uihin kohtiin paitsi kohtaan d). a) Kun kestoagneetti on putoaassa johdinsilukan läpi, silukka on vahvistuvassa agneettikentässä. Lenzin lain ukaan silukkaan indusoituu jännite. Induktiovirran suunta on sellainen, että se vastustaa ulkoista (vahvistuvaa) kenttää. Induktiovirran suunta näkyy kuvassa. Kun agneetti on pudonnut silukan läpi, induktiovirran suunta uuttuu vastakkaiseksi. 84
i b) Koska kääeillä on yhteinen rautasydän, ne ovat induktiivisesti kytketyt. Vaihtovirran vuoksi kääissä agneettivuo uuttuu jatkuvasti. Siksi kääiin indusoituu jatkuva (uuttuva) induktiojännite. c) Kun kääissä kulkee tasavirta, kääiin ei indusoidu jännitettä (eikä sähkövirtaa). Induktiojännite havaitaan ainoastaan sähkövirran kytkeis- ja katkaisuhetkellä. Virran kytkeishetkellä kääissä induktiovirran (i) suunta on kuvan ukainen. I i d) Hoogeenisessa agneettikentässä agneettivuon tiheys on vakio. Kun silukka on agneettikentässä paikallaan, agneettivuo sen läpi on vakio. Induktiota ei tapahdu. e) Kun agneettikenttä heikkenee, silukkaan indusoituu jännite. Lenzin lain ukaan induktiovirran suunta on sellainen, että se pyrkii vastustaaan ulkoista (heikkenevää) kenttää. Piirroksessa on yksi esierkkitapaus. i f) Kyseessä on kääin itseinduktio. Sen vuoksi sähkövirta ei kytkeydy virtapiiriin heti, vaan pienellä viiveellä. Saasta syystä sähkövirran katkeainen viivästyy piirissä. 3. a) Kaksi induktiivisesti kytkettyä kääiä uodostavat uuntajan. Yhteisellä rautasydäellä saadaan aikaan suuri keskinäisinduktanssi. Priäärikääiin syötetyn vaihtovirran synnyttää uuttuva agneettivuo indusoi sekundäärikääiin jännitteen, jonka suuruus riippuu kääien kierrosluvuista. b) Induktiojarru perustuu pyörrevirtojen syntyiseen. Magneetin napojen välissä pyörii etallinen pyörä. Pyörän eri osissa agneettivuo uuttuu jatkuvasti synnyttäen pyörrevirtoja. Näistä aiheutuu 85
Lenzin lain ukaisesti pyörän liikettä jarruttava voia, saalla ekaaninen energia uuntuu resistanssin vaikutuksesta pyörän sisäenergiaksi. c) Induktiouunissa käytetään hyväksi pyörrevirtojen läpövaikutusta. Sähköagneettien suurtaajuisilla agneettikentillä synnytetään sähköä johtavaan (kuuennettavaan) aineeseen pyörrevirtoja. Pyörrevirrat kuuentavat etallia Joulen lain ukaisesti teholla P = RI. 4. Yhtenäiseen johdekappaleeseen syntyy pyörrevirtoja, kun johdekappaleen läpäisevä agneettivuo uuttuu. Lenzin lain ukaisesti pyörrevirtojen suunta on sellainen, että syntyvien sähkövirtojen agneettiset vaikutukset pyrkivät kuoaaan uutoksen, joka aiheuttaa virrat. Magneettivuon vahvistuessa pyörrevirtojen synnyttää agneettikenttä on vastakkaissuuntainen vahvistuvan kentän suunnalle. Vastaavasti agneettivuon heikentyessä pyörrevirtojen synnyttään kentän suunta on saa kuin heikentyvän kentän suunta. Induktiovirtojen läpövaikutuksien teknisiä sovelluksia. * Pyörrevirtojen läpövaikutusta käytetään hyödyksi sulatettaessa induktiouuneissa etalleja. Sulatettavat etallikappaleet, esierkiksi rautarou, sijoitetaan läpöä kestävään eristeastiaan. Astian ypärillä on kääi. Kääissä kulkevan vaihtovirran taajuus on noin khz. Metalleissa syntyvät pyörrevirrat nostavat läpötilan etallin resistanssin takia sen sulaispisteeseen. * Induktioliesien keittolevyissä on kääit, joissa kulkevat vaihtovirrat synnyttävät pyörrevirtoja levyllä olevaan etallisen astian pohjaan. Kuuenevasta astiasta läpö siirtyy astiassa olevaan veteen tai ruokaan. Induktiovirtojen voiavaikutuksien teknisiä sovelluksia. *Junissa on kiskojen olein puolin pareittain asennettuja sähköagneetteja, joihin kytketään junaa jarrutettaessa sähkövirta. Tällöin agneettivuo läpäisee kiskon, joten junan liikkuessa kiskoihin indusoituu pyörrevirtoja. Kiskoissa kulkevat pyörrevirrat synnyttävät agneettisen voian, joka jarruttaa sähköagneettien ja saalla junan liikettä. *Kodeissa käytettävät sähkönkulutusittarit, kilowattituntiittarit toiivat induktiokytkiillä. Mittarin herkkäliikkeiseen akseliin on kiinnitetty yhtenäinen etallilevy, joka pyörii ulkoisen uuttuvan agneettikentän aiheuttaan vääntöoentin johdosta. Sähköverkkoa kuorittava vaihtovirta synnyttää ittarin aluiinilevyyn pyörrevirtoja, jotka pyrkivät pyörittäään levyä. Aluiinilevyn akseli on kytketty kierroslaskuriin ja ittarin näyttöön. * Pyörrevirtoja hyödynnetään yös autojen ja oottoripyörien nopeusittareissa estäään osoittien heilahtelua. * Tarkkojen vaakojen heilahtelua vaiennetaan induktiojarruilla, jolloin ne asettuvat ahdollisian nopeasti tasapainoaseaansa. Pyörrevirtojen teknisiä sovelluksia. * Metallinilaisien toiinta perustuu pyörrevirtojen syntyiseen. 86
Kääissä kulkee vaihtovirta. Kun etalliesine M on ilaisien lähellä kääin uuttuvassa agneettikentässä, etalliesineeseen M indusoituu pyörrevirtoja. Metalliesineen M pyörrevirtojen aikaansaaa uuttuva agneettivuo kulkee osittain kääin läpi ja siihen indusoituu jännite. Ilaisien korkeataajuinen lähetin kytkeytyy induktiivisesti havaittavan etalliesineen kanssa. Metalliesine aiheuttaa ilaisiessa energiahäviön, ja ilaisin hälyttää. Millivolttiittari ilaisee kääiin indusoituneen jännitteen. Kun etallinilaisien lähistöllä ei ole etalliesineitä, kääiin ei indusoidu jännitettä, koska kääin vaihtovirran synnyttään agneettikentän uuttuva agneettivuo kääin läpi on nolla systeein geoetriasta johtuen. Induktiojännite kääissä on sitä suurepi, itä voiakkaapia etalliesineeseen syntyvät pyörrevirrat ovat. Pyörrevirrat ovat taas sitä voiakkaapia, itä parepi etallin sähkönjohtavuus on tai itä eneän etallia on. * Liikennevalojen vaihtuisessa ja liikennelaskennassa hyödynnetään pyörrevirtoja. Induktiosilukka, jonka avulla liikkuva auto havaitaan, voi olla tien pinnan alla tai tien sivussa. * Metallin rakennevikojen etsiiseen käytetään pyörrevirtoja. Jos esierkiksi suihkuturbiinin roottorin lavassa on hiushalkeaia, pyörrevirrat ovat heikopia kuin ehjässä lavassa. 5. Raketin siivenkärkien välille indusoituva jännite on elvbsin 7 450 / s μtsin65 0,3V. 6. a) Kääit ja ovat induktiivisesti kytkettyjä. Kun kytkin suljetaan, piirin kasvava sähkövirta synnyttää kasvavan agneettivuon kääiin. Syntyy induktiojännite ja induktiovirta, jonka apeeriittari osoittaa. b) Silukan ennessä kenttään agneettivuon uutos ja induktiovirta ovat vakioita, saoin silukan tullessa pois kentästä. Kun silukka on kentässä, induktiovirtaa ei synny, koska agneettivuo ei uutu. Kuvassa on esitetty silukassa kulkeva sähkövirta ajan funktiona. I t c) Kun sauvaagneetti putoaa kohti silukkaa, alaspäin suuntautuva agneettivuon tiheys silukan sisällä kasvaa. Silukkaan syntyvä sähkövirta synnyttää vastakkaissuuntaisen, ylöspäin suuntautuvan agneettivuon tiheyden. Virran suunta silukan etureunassa on oikealle. 7. Kääiin johdettu sähkövirta aiheuttaa kääiin itseinduktiojännitteen riippuu kääin induktanssista ja virran uutosnopeudesta. Aikavälillä 0,0 s 0,00 s jännite on I 3,0 A 0,0 A el 38 H V. t 0,00s0,0s I el, jonka suuruus t 87
Aikavälillä 0,00 s 0,050 s jännite on I 0,0A 0,0A el 38H 0V. t 0,050s 0,00s Aikavälillä 0,050 s 0,070 s jännite on I 0,0 A 3,0 A el 38H 5,7 V. t 0,070s 0,050s Kääiin indusoitunut jännite (t,e)-koordinaatistossa: V 8 6 5,7 4 e 0 4 6 8 0 0 0,00 0,040 0,060 0,080 s t 8. Indusoitunut jännite on el, joten jännite on suoraan verrannollinen agneettivuon t uutosnopeuteen. Koska vuon uutosnopeus on vakio, jännite on vakio, ja jos vuo ei uutu, jännite on nolla. Jos indusoitunut sähkövirta on i, teho on teho on positiivinen. 0 e P ei, joten se on nolla, jos jännite on nolla. Muuten R Silukkaan indusoitunut jännite ja teho ajan funktiona: e P t t 88
9. a) Kun kytkin S suljetaan, virtapiirissä alkaa kulkea sähkövirta yötäpäivään (etallitangossa ylhäältä alas). Sähkövirran suuruus on E,0V I,4A. R 5,0Ω Tällöin agneettikenttä vaikuttaa johtieen voialla F ILB,4 A 0,5,4T 0,84 N. Voian suunta päätellään oikean käden säännöstä, se on kuvassa oikealle. Tangon kiihtyvyys on F 0,84 N 4,/s a oikealle. 0,0 kg b) Kun tanko liikkuu (kuvassa oikealle), sen rajaaan silukan pinta-ala kasvaa ja agneettivuo Φ kasvaa. Olkoon tangon siirtyä oikealle x. Silukkaan indusoituu jännite BA BLx e BLv, t t t joka on vastakkaissuuntainen lähdejännitteelle. Tankoon vaikuttaa vain agneettinen voia, jonka suuruus on F = ILB, issä I on tangossa kulkeva sähkövirta. Kun tanko liikkuu vakionopeudella, Newtonin II lain perusteella tankoon vaikuttavien voiien sua on nolla: näin ollen agneettinen voia on nolla, saoin sähkövirta. Koska sähkövirta ei kulje, tangon päiden välinen jännite on yös nolla, eli induktiojännite on itseisarvoltaan yhtä suuri kuin lähdejännite. Tällöin tangon nopeuden itseisarvo on e E,0V v 34/s. BL BL,4T 0, 5 30. a) Induktiolieden sisällä on kääi, jossa kulkee vaihtovirta. Kun liedellä on etallipohjainen kattila, tähän indusoituu jatkuvasti uuttuvan agneettikentän vuoksi pyörrevirtoja. Pyörrevirtojen takia kattila (ja siinä oleva ruoka) kuuenee. Jos astia ei ole etallinen, pyörrevirtoja ei synny. Siksi lasisessa vuoassa olevan piirakan sulaista ei voi nopeuttaa induktioliedellä. b) Annetusta kuvaajasta voidaan päätellä seuraavaa: Ajanhetkeen t = 0,47 s asti sähkövirta ei kulje, eikä kääiin indusoidu jännitettä. Aikavälillä 0,47 s 0,65 s sähkövirta kasvaa, joten tällä aikavälillä kääissä havaitaan induktiojännite. Koska virta kasvaa, kääin agneettikenttä vahvistuu. Lenzin lain ukaan kääiin indusoituu jännite, joka vastustaa tätä uutosta. Siksi induktiojännite on negatiivinen. Aikavälillä 0,65 s 0,68 s sähkövirta on vakio, eikä induktiota tapahdu. Kun sähkövirta pienenee aikavälillä 0,68 s 0,8 s, kääiin indusoituu positiivinen jännite. Hetken t = 0,8 s jälkeen sähkövirta on nolla, eikä induktiota tapahdu. ( BA) Kääiin indusoituva jännite saadaan yhtälöstä e N N. t t Kyseisessä ittauksessa kääiin indusoituneen jännitteen uutokset johtuvat agneettivuon uutoksista, ts. sähkövirran uutoksista (kääin kierrosluku ja pinta-ala ovat vakioita). Tarkepi uoto induktiojännitteen kuvaajalle saadaan tarkastelealla virran kuvaajan uuttuisnopeutta eli derivaattaa. Induktiojännitteellä on aksiit ajanhetkillä t = 0,5 s ja t = 0,77 s, koska tällöin sähkövirran uutosnopeus on suurin (kuvaaja on jyrkin). 89
Koska tehtävässä ei ole ainittu tietoja kääeistä (kierrosluvut, induktanssit y.) induktiojännitteen arvojen laskeinen ei ole ahdollista. Induktiojännitteen kuvaaja ajan funktiona on pääpiirteissään seuraava: jännite (V) 0 0,5 0,6 0,7 0,8 aika (s) 3. a) Kääin itseinduktio hidastaa sähkövirran kasvua. Näin sähkövirta ei heti kasva suuripaan arvoonsa. b) Tien asfalttipinnan alle on upotettuna 3 4 johdinsilukkaa eli kääi, jossa kulkee sähkövirta. Kun auto saapuu tienpinnan alle upotetun johdinsilukan (kääin) päälle, kääi ikään kuin saa "rautasydäen". Tällöin kääin induktanssi uuttuu, ja induktanssin uutos voidaan itata. 3. a) Kun kääiin kytketään jännite, sen läpi alkaa kulkea sähkövirta. Kääin läpäisevä agneettivuo kasvaa virran kasvaessa. Magneettivuon kasvu saa aikaan jännitelähteen jännitteelle vastakkaissuuntaisen jännitteen (Lenzin laki). Kyseessä on itseinduktioiliö. Itseinduktio hidastaa sähkövirran kasvua kääissä. b) Kuvaajasta nähdään, että sähkövirran arvoksi tulee itseinduktion päätyttyä Iax, 6 A. Käytetyn virta-anturin sisäinen resistanssi on hyvin pieni. Suljetussa virtapiirissä on vastuksena vain kääi, joten Ohin lain ukaan on E RI. Kääin resistanssi on E 7,5 V R 4,6875 4,7. I,6 A ax ax c) Kuvaajasta nähdään, että hetkellä t = 0 s sähkövirta on I =, A. Sähkövirta on kasvaassa, joten Lenzin lain ukaan kääin itseinduktiojännite vastustaa sähkövirran kasvua. Sähkövirran uutosnopeus saadaan kuvaajasta kohtaan t = 0 s piirretyn tangentin fysikaalisena I, A A kulakertoiena: 55. t 0,00 s s 90
,8,6,4 sähkövirta (A),,0 0,8 0,6 Δt = 0,00 ss ΔI =, A 0,4 0, 0,0 0,00 0,0 0,0 0,03 aika (s) 0,04 0,05 0,06 Kääin päiden välinen jännite U on kääin johtien resistanssin aiheuttaan jännitehäviön I UR RI ja kääin induktiojännitteen UL L sua eli U UR UL. Kirchhoffin II lain t ukaan jännitelähteen lähdejännite on E U UR UL. Induktiojännite on UL EUR ERI 7,5 V 4,6875, A,875 V,9 V. I U,875 V Yhtälöstä UL L kääin induktanssi on L L 34 H. t I 55 A/s t 33. Sähkövirran uutos kääissä on I 0,0A,6A 650A/s. t 0,0040s I Kääiin indusoituva jännite on e L, josta saadaan kääin induktanssiksi t e 3,8V L 5,8465 H. I 650 A/s t Magneettikenttään oli aluksi varastoitunut energiaa 0,0058465 H (,6 A) LI 0 J. E 34. a) Kääiin indusoituu jännite aina, kun kääin läpäisevä agneettivuo uuttuu. Sauvaagneetin kenttä pysyy saanlaisena, utta agneetin liike (pyöriinen) aiheuttaa agneettivuon uutoksen kääin sisällä. Kun agneetti pyörii keskellä kääiä, pyöriisliike on säännöllistä ja jaksollista. Saalla kääin läpäisevä agneettivuo uuttuu jaksollisesti. Pyörivän agneetin synnyttää jännite on jaksollista ja siniuotoista. Magneetin nostainen yleäs heikentää induktiojännitettä. Magneetin siirtäinen sivuun (pois kääin keskeltä) tekee agneettivuon uutoksista epäsäännöllisiä. Kääiin indusoituu edelleen jännite, utta se ei ole enää siniuotoista. 9
u0 400 V b) Jännitteen huippuarvo on u0 400 V ja tehollinen arvo U 80 V. Vaihtojännitteen jaksonaika on T 0s ja taajuus f 00Hz. T 0,00s 35. a) Piirissä on vain kääi, jonka resistanssi on vähäinen, joten piirin ipedanssi Z on likiain yhtä suuri kuin kääin induktiivinen reaktanssi: Z XL LπfLπ 50 0,0 H 6,838563. s U b) Kääissä kulkevan sähkövirran tehollinen arvo on I. Koska piirissä on vain induktiivista Z reaktanssia, ipedanssi on Z = X L. Sähkövirran tehollinen arvo on U 0,0V I 0,59550 A 0,6 A. X 6,8385 L c) Oletetaan, että jännite on siniuotoisesti uuttuvaa, jolloin sähkövirran huippuarvo on i0 I 0,59550 A 0,3A. 36. a) Ohin lain yleinen uoto on U ZI, jossa Z on vaihtovirtapiirin ipedanssi. Yleisittarit U 5 V iloittavat teholliset arvot U ja I. Piirin ipedanssi on Z 0. I 0,0 A b) Kaikki kole suuretta kuvaavat koponentin, virtapiirin tai laitteen kykyä vastustaa sähkövirran kulkua. Resistanssia R tarkoittaa vastuksen kykyä vastustaa sekä tasavirtaa että vaihtovirtaa. Ipedanssi Z kuvaa virtapiirin kykyä vastustaa vaihtovirran kulkua. Jos vaihtovirtapiirissä on vain vastus (tai vastuksia), ipedanssi tarkoittaa saaa kuin resistanssi. Jos kyseessä on RCL-piiri, ipedanssi koostuu jokaisen koponentin sähkövirtaa vastustavasta tekijästä. Vaihe-eroista johtuen tekijöitä ei voi vain suata yhteen. Kapasitiivinen reaktanssi X C on kääntäen verrannollinen taajuuteen ja kondensaattorin πfc kapasitanssiin, ja se kuvaa kondensaattorin kykyä vastustaa vaihtovirran kulkua. Induktiivinen reaktanssi X L = fl on suoraan verrannollinen vaihtovirtapiirin taajuuteen ja kääin induktanssiin, ja se kääin kykyä vastustaa vaihtovirran kulkua. RCL-piirin ipedanssin yhtälö on Z R ( X L X C ). Suuretta X L X C (= X) sanotaan reaktanssiksi. Kaikkien näiden suureiden yksikkö on Ω. 37. Kääiin indusoituva jännite on e = e 0 sin = NABsint, ja jännitteen huippuarvo on 4 e0 NAB 50,30T 850 34 0,075V 0V. Jännitteen tehollinen arvo on s e0 0,075V U 4V. 38. a) Kun vastus on kytketty vaihtojännitelähteeseen, jännitehäviö ja sähkövirta ovat saassa vaiheessa ja vaihe-ero φ = 0. 9
b) Kääissä tapahtuvan itseinduktion vuoksi sähkövirta jää jännitehäviöstä jälkeen. Ideaaliselle kääille vaihe-ero on +90. Ideaalisella kääillä ei ole resistanssia. c) Kondensaattorilla vaihe-ero on 90. Tää johtuu kondensaattorin latautuisesta. Sähkövirta on suurin, kun kondensaattorin jännitehäviö on nolla. Sähkövirta pienenee, kun kondensaattorin jännitehäviö kasvaa. Siksi sähkövirta on jännitehäviötä edellä. d) Todellisilla kääeillä on johdinateriaalista johtuen aina resistanssia. Resistanssin vuoksi kääissä vaihe-ero on 0 < φ <+90. 39. Kuvaajan perusteella sähkövirran jaksonaika on 60 s ja huippuarvo i 0 400 A. Jännitehäviön huippuarvo on u0 Zi0 75 0,400 A 70 V. Koska vaihe-ero on 0,54 rad, 0,54rad jännitehäviö on sähkövirtaa edellä ajallisesti 60s 5,0s verran. Jännitehäviön π rad huippuarvo 70 V on hetkillä 0 s, 40 s ja 70 s. Jännitehäviön jaksonaika on saa kuin sähkövirran eli 60 s. 0 0 40. a) ) Kääin induktiivinen reaktanssi on X L fl. Jos induktanssi X L uuttuu kaksinkertaiseksi, induktiivinen reaktanssi on X L = f L = fl = X L, joten induktiivinen reaktanssi kaksinkertaistuu. ) Jos vaihtovirran taajuus f kaksinkertaistuu, induktiivinen reaktanssi on X L3 = fl = fl = X L, joten induktiivinen reaktanssi kaksinkertaistuu. b) Kääin induktiivinen reaktanssi on XL πflπ 50 0,5H 79Ω. s U 4. Kääissä kulkeva tehollinen sähkövirta on I. Vaihtovirtapiirin ipedanssi on Z Z R ( XL XC). Piirissä ei ole kondensaattoria, ja resistanssi on pieni (R 0), joten ipedanssi on 93
Z X X X fl. 0 ( L 0) L L Sähkövirran tehollinen arvo on U 5V I 0, A. πfl π 50 0,H s 4. Piirin ipedanssi on Z R XL XC 450 654350 543,067 540. Napajännitteen tehollinen arvo on U ZI 543,067 0,0500 A 7 V. 43. a) Koska piirissä on vain kääi, jolla on resistanssia ja induktiivista reaktanssia, piirin ipedanssi on Z R X X R X, josta kääin induktiivinen reaktanssi on L C L L 36 65 30. X Z R b) Induktioiliö vastustaa ja siten hidastaa sähkövirran uutosta kääissä, jolloin virta jää jännitehäviön jälkeen. Jos lähdejännite uuttuu niin, että kääin läpi kulkeva sähkövirta kasvaa, kääin ypärille syntyy agneettikenttä, johon varastoituu energiaa. Magneettikentän energia on aksiissaan, kun sähkövirta on saavuttanut aksiiarvonsa. Jos lähdejännite uuttuu niin, että sähkövirta pienenee, induktiojännitteen napaisuus on saa kuin lähdejännitteen napaisuus. Kun sähkövirta pienenee, kääiin varastoitunut agneettikentän energia palautuu virtapiiriin. Energian varastoituinen agneettikentän energiaksi tai sen vapautuinen vie aikaa. Näistä syistä sähkövirta jää kääissä jännitehäviön jälkeen. c) Kun varaaaton kondensaattori kytketään jännitelähteen napoihin, kondensaattorin levyt alkavat varautua. Sähköinen voia tekee työtä siirtäessään elektroneja kohti kondensaattorin negatiivista levyä. Lopulta jännitelähteen ja kondensaattorin saanerkkiset navat ovat saassa potentiaalissa. Silloin sähkövirta on nolla ja jännitehäviö saavuttanut suurian arvonsa. Energian varastoituinen elektronien potentiaalienergiksi eli kondensaattorin sähkökentän energiaksi vie aikaa. Saoin elektronien potentiaalienergian vapautuinen virtapiirin energiaksi vie aikaa. Näistä syistä kondensaattorissa sähkövirta on jännitehäviön edellä. 44. Veden kiehuispiste on 00 C, joten vesi kuuenee läpötilavälin 00 C C = 88 C. Läpötilaväli celsiusasteina ja kelvineinä on yhtä suuri, joten T = 88 K. Vedenkeittien vastuksen vedelle aikavälillä t luovuttaa energia on Q vastus = Pt. Veden vastaanottaa energia on Q vesi = ct. Sähkövastuksen vedelle luovuttaa energia on yhtä suuri kuin veden vastaanottaa energia, joten Pt = ct. Kuuentaiseen kuluva aika on ct 4,9 kj/(kg K) 0,75 kg 88 K t 43,3665 s P 0,9, kw in 0 s (eli,4 in). 94
u0 45. a) Jännitteen tehollinen arvo on U, jossa u0 Ri0. Sähkövirran tehollinen arvo on i0 I. Sähkövirta läittää vastusta keskiääräisellä teholla u i Ri i 0 0 0 0 PUI Ri0 35 6,A 670 W. u0 b) Pistorasian tehollinen jännite on U, josta huippujännite on u0 U 30 V 330 V.. c) Kolivaihegeneraattorissa synnytetään yhtaikaisesti kolea vaihtojännitettä. Näillä on kaikilla saa huippuarvo 30 V ja niiden väliset vaihe-erot ovat 0. Kuluttajalle kolivaihevirta johdetaan yhden nollajohtien ja kolen vaihejohtien avulla. Vaihejohtiien välinen tehollinen jännite on 400 V. Tähän jännitteeseen kytketyt suuritehoiset laitteet (kuten liesi ja kiuas) toiivat ns. voiavirralla. Laite kuorittaa tasaisesti kaikkia kolea vaihejohdinta. U N 46. a) Muuntajassa ensiö- ja toisiopuolen jännitteiden suhde on, josta toisiojännite on U N U UN 30V 6,V. N 00 N 00 b) Toisiopuolen sähkövirta on I I I 00I, joten sähkövirta tulee hyvin suureksi. N 6 Energiaa uuntuu läöksi likiain teholla P RI. Rautanaula alkaa hehkua ja sulaa poikki. Huoaa, että sähkövirta ei todellisuudessa kasva 00-kertaiseksi uuntajan energiahäviöiden takia. Katso seuraava tehtävä. 47. a) Kuparihäviö on johdinateriaalin tehohäviö, joka saadaan pieneksi, kun valitaan johdin, jonka resistanssi on pieni. Resistanssiin vaikuttavat johtien paksuus, pituus ja ateriaali. Paksun johtien resistanssi on pienepi kuin ohuen. Esierkiksi aluiinin ja kuparin resistiivisyys on pieni. Rautahäviö on uuntajan rautasydäessä tapahtuva tehohäviö. Rautasydäeen uodostuu pyörrevirtoja. Pyörrevirtoja saadaan pienennettyä, kun rautasydän valistetaan ohuista liuskoista. b) Rautasydäeen indusoituvat pyörrevirrat kuuentavat sydäntä ja aiheuttavat tehohäviöitä. Ohuista liuskoista valistettuun rautasydäeen indusoituu väheän pyörrevirtoja ja sydän kuuenee väheän. 95
48. a) Pitkien atkojen sähkönsiirto tapahtuu korkeajännitteellä 0 kv tai 400 kv. Korkeajännitteen käyttö pienentää energiahäviöitä eli tekee toiinnasta kannattavapaa. Lyhyeissä paikallisverkoissa käytetään 0 kv tai 0 kv jännitettä. Kuluttajalle turvallisuussyistä sopivapi jännite on 30 V tai 400 V. Lisäksi uuntajia tarvitaan vielä kotitalouksissa useiden sähkölaitteiden käyttöjännitteen alentaiseen verkkojännitteestä sopivaksi. 49. RCL-piiriin kytketään vaihtojännitelähteen kanssa sarjaan vastus, kondensaattori ja kääi sekä herkkä virtaittari. Kun jännitteen taajuutta uutetaan (napajännite pidetään vakiona), havaitaan sähkövirran uuttuinen. Tää johtuu ipedanssin uuttuisesta. Resonanssitilanteessa havaitaan sähkövirran aksii taajuudella f0. Resonanssi johtuu siitä, että piirin π LC ipedanssi on pienin ahdollinen. Tällöin kääin induktiivinen reaktanssi ja kondensaattorin kapasitiivinen reaktanssi ovat yhtä suuret. Piirin pienin ipedanssi on Z R ( X L X C ) R 0 R. 50. Radiokanavaa kuunneltaessa värähtelypiirin resonanssitaajuus on f0 LC induktanssi on L 0,098 H. πf 0 C 6 5 π 89,90 30 F s, josta 5. a) Kun kondensaattori on ladattu, sen sähkökenttään on varastoitunut energiaa 7 E CU 6900 F(48V) 7,9490 Kun kytkien asentoa uutetaan, syntyy suljettu värähtelypiiri. Piirissä alkaa kulkea sähkövirta ja kondensaattorin sähkökentän energiaa uuttuu kääin agneettikentän energiaksi (ja päinvastoin). b) Mikäli johtiissa ei tapahdu häviöitä, kääin agneettikenttään voi aksiissaan varastoitua energiaa 7 E 7,9490 J LI Sähkövirran suurin arvo on. J. I E L 7 7,9490 J 6 50 H 50 A. c) Suljetun värähtelypiirin resonanssitaajuus on 96
f 0,MHz. 6 π LC π 50 H 6900 F Piiri lähettää sähköagneettisia radioaaltoja, joiden taajuus on f 0. Näiden aaltojen aallonpituus on f v 8,9980 /s 50. 6,0 Hz 5. a) Yksinkertainen värähtelypiiri on suora johdin, jolla on tietty induktanssi ja kapasitanssi. Suoran johtien uodostaaa värähtelypiiriä kutsutaan dipoliantenniksi. Dipoliantennin ypärillä vuorottelevat sähkö- ja agneettikenttä. Nää kentät etenevät antennista ypäristöön sähköagneettisena aaltoliikkeenä valon nopeudella. Dipoliantennin päissä jännite on suuriillaan. Dipoliantenni ottaa silloin vastaan säteilyä resonanssitaajuudellaan ulkoiselta värähtelypiiriltä ja antennissa on seisova aaltoliike. Sähkövirran kupukohta on antennin keskellä ja solut päissä. Jännitteen solukohta taas on antennin keskellä ja kupukohdat päissä. Antennista lähtevät radioaallot ovat poikittaista aaltoliikettä. Lähetinantennin pituus äärää lähetettävän radioaallon aallonpituuden. Radioaaltojen pituus on l, jossa l on antennin pituus. Vastaanotinantennin ihanteellinen pituus on yhtä suuri kuin puolet vastaanotettavan aallon pituudesta. Käytännössä antenni toiii tietyllä aallonpituusvälillä. Ks. tarkein vielä s. 56. b) Antennin pituus on v l f 8,9980 /s,6. 6 95,70 Hz c) Radiokanavat lähettävät ohjelaa tietyllä taajuudella. Radio voidaan virittää vastaanottaaan tiettyä lähetystä joko uuttaalla antennin pituutta sopivaksi tai uuttaalla antenniin kuuluvan säätökondensaattorin kapasitanssia siten, että antennin resonanssitaajuus vastaa lähetyksen taajuutta. 53. a) Sähköagneettisen värähtelypiirin taajuus on f 0. π LC Koska taajuuden f 0 ja jaksonajan T välillä on riippuvuus f 0, saadaan yhtälö T. π LC T Ratkaistaan tästä yhtälöstä kondensaattorin kapasitanssi C: ( ) π LC T 4π LC T 4π LC T : 4π L T C. 4π L 97
Kuvaajan perusteella jaksonaika on T,5 s. Kondensaattorin kapasitanssi on T (0,005s) C μf. 4π L 4π 0,007 H b) Koska piirin resistanssi on pieni, värähtelyn energia säilyy ja LI CU ax, josta saadaan kondensaattorin läpilyöntijännitteen iniiarvoksi U LI C ax 0,007H (0,33A) 6,99 0 F 6,0V. 54. Kääissä K kulkeva sähkövirta synnyttää agneettikentän, joka kulkee ainakin osittain kääin K läpi. K K Oikean käden säännön ukaisesti agneettivuon tiheys kääien sisällä suuntautuu vasealta oikealle ja pienenee, koska sähkövirta kääissä K pienenee. Lenzin lain ukaan kääiin K indusoituu sähkövirta. Se synnyttää agneettikentän, joka pyrkii estäään vuon pieneneistä, joten ko. indusoituneen kentän suunta on oikealle.oikean käden säännön perusteella induktiovirran suunta on vastuksessa R oikealta vasealle. I Induktiojännite on e M, joten induktiovirta on t I I M 3 e,5 0 H 0,30 A,8A t MI R R Rt 40,90s 0,7 A. 98