4. Taajsaleen sodats 4.. Tastaa Forier esitti. 87 idean että laskien yhteen jaksollisia painotettja fnktioita oidaan esittää kinka tahansa monimtkainen jaksollinen fnktio. Ka 4.. esittää tällaista. Jaksolliset fnktiot oat yleensä sini tai kosini fnktioilla rakennettja. Kn tietokoneet kehittyiät laskentateholtaan 96 ln klessa ja kn erityisesti Cooley ja Tkey esittiät 965 nopean Foriermnnoksen algoritminsa FFT Forier mnnoksesta tli arsin merkittää menetelmäjokko signaalin ja kanprosessointiin. Ka 4.. Jaksollinen fnktio alinna on modostett neljän ylimmän painotettna smmana. Taajsaleen sodats 99 Taajsaleen sodats 4.. Persteita Lähdetään tarkastelemaan sppeasti Forier mnnosten perstana oleia käsitteitä ja lähtökohtia. Alksi pohditaan jatkia yksilotteisia fnktioita joista siirrytään diskreetteihin kaksilotteisiin kiin. Kompleksilk ja sen kompleksikonjgaatti määritellään C R+jI ja C* R ji joissa R on reaali ja I imaginaariosa j imaginaarimttja. Käytetään myös napakoordinaattiesitystä C C cos + j sin Saadaan klmalle että tan I /R ts. arc tani /R. Elerin kaaa määrittää e cos + j sin jossa e.788. Tällöin kompleksilk on kirjoitettaissa seraaassa modossa jossa C ja oat edeltä. C C e Kompleksisen fnktion F itseisaro on F R + I /. jossa itseisaro C R + I / on kompleksitason ektorin pits. Taajsaleen sodats Taajsaleen sodats
Esitetään yhden mttjan jatkan fnktion ft Forier mnnos. F µ j πµt f t e dt Forier käänteismnnos on oheinen. j f t F µ e πµ t dµ Elerin kaaa antaa seraaan modon. [ cosπµ t j sin t ] F µ f t πµ dt Kn lasketaan kan 4.. yksinkertaisen fnktion Forier mnnos saadaan fnktio joka jatk äärettömyyteen kmmassakin snnassa. sin πµ W F µ AW πµ W Tämä tyyppiä sin m/ m on nimeltään sinc fnktio jonka itseisaroesitys on Forierin spektri eli taajsspektri. Kan 4..a laatikkofnktio kat äheneiksi lohkoiksi edeten origosta kohti äärettömyyttä. Aiemmin mainitt konoltio on tärkeä mnnosten yhteydessä. f t h t f τ h t τ dτ Taajsaleen sodats 3 Taajsaleen sodats 4 Symbolilla t iitataan spatiaaliseen aleeseen ja taajsaleeseen. Konoltion yhteydessä näillä on olemassa määrätty yhteys. Tämän esittää konoltioteoreema. f t h t H µ F µ a b c Ka 4.. a Laatikkofnktio b tämän Forier mnnos ja c spektri. Kaksoisnoli tarkoittaa että oikean polen laseke saadaan ottamalla Forier mnnos asemman polen lasekkeesta kn taas asemman polen laseke saadaan ottamalla Forierkäänteismnnos oikeasta polesta. Teoreeman toinen osa esittää ielä seraaan ts. taajsaleen konoltio astaa spatiaalisen aleen kertomista. f t h t H µ F µ Taajsaleen sodats 5 Taajsaleen sodats 6
4.3. Näytteistys ja näytteistettyjen fnktioiden Foriermnnos Jatkat fnktiot on mtettaa diskreeteiksi nmeerista laskentaa arten. Tätä arten aaditaan näytteistystä ja kantisointia. Kan 4.3.a fnktio ft näytteistetään tasaälein T osan b osoittamien implssien kohdasta jolloin saadaan fnktion approksimaatio osissa c ja d. Saadaan siis näytteet fk T k. Tätä arten modostetaan implssijonon Forierin mnnos n S µ δ µ T n T jossa yhtä implssia astaaa Kroneckerin fnktio x silloin ja ain silloin kn x ja mten se on yhtä kin. Tällöin saadaan seraaa konoltio jolle on kassa 4.4.c rajatapas. ~ F µ F µ S µ F µ T n n T Ka 4.3. a Jatka fnktio b implssijono jonka mkaan c on näytteistetty ja d saaden näytteet näytteenottoälein T. a b c d Taajsaleen sodats 7 Taajsaleen sodats 8 a Ka 4.4. a Kaistarajoitetn fnktion Foriermnnos ja astaaien näytteistettyjen fnktioiden mnnokset b ylinäytteistyksen c kriittisen näytteistyksen sekä d alinäytteistyksen tilanteissa. b c d On olennaista että näytteistetty fnktio diskreetti signaali on palatettaissa yksikäsitteisesti näytteistään ts. ettei saat approksimaatio edsta seampaa kin yhtä fnktiota. Kn fnktion Forier mnnos on älin [ max max ] lkopolella yhtä kin kten kassa 4.4.a kyseessä on kaistarajoitett fnktio. Vastaaasti on kassa 4.5.a joka on srennos kasta 4.4.a. Näytteenottofrekenssiä / T pienempi aro slattaa jaksoja yhteen kn taas srempi erottaa jaksot toisistaan. Tällöin tlee kriittisen näytteistyksen kohdalta tlos > µ max T joka on ehtona riittään tiheälle näytteistykselle jotta fnktion moto olisi palatettaissa näytteistä. Taajsaleen sodats 9 Taajsaleen sodats
Ka 4.5. a Kaistarajoitetn fnktion mnnos ja b mnnos joka on saat kriittisesti näytteistämällä sama fnktio. a b Edellinen tlos tnnetaan nimellä näytteenottoteoreema jonka esitti Harry Nyqist 98 ja todisti modollisesti Clade E. Shannon 949. Voidaan esittää myös käänteisesti että näytteistämällä signaalia taajdella / T aikaansaataa maksimitaajs on max / T. Tämä rajataajs on Nyqistin taajs. On syytä homata että käytännössä näytteenottotaajden tlee olla korkeampi. Ka 4.6. haainnollistaa miten F saadaan palatetta. Ka 4.6.a esittää Forier mnnosta fnktiolle joka on näytteistetty hienen Nyqistin taajtta sremmalla taajdella. Kassa 4.6.b on annett ikknafnktio jolla kerrotaan mnnos. Ikknafnktio on ideaalinen alipäästösodin oidaan ain approksimoida kn siinä on äärettömän nopea mtos ikknan alssa ja lopssa. Tloksena saadaan ka 4.6.c joka mnnetaan lopksi käänteismnnoksella fnktioksi ft. Taajsaleen sodats Taajsaleen sodats a b c Mitä tapaht jos kaistarajoitett fnktio näytteistetään pienemmällä taajdella kin kaksi kertaa fnktion korkein taajs? Tämä astaa alinäytteistettyä tilannetta kissa 4.4.d ja 4.7.a. Jaksot oat päällekkäin jolloin ei oida erottaa niitä toisistaan riippmatta käytettäästä sotimesta. Esim. kan 4.7.b ideaalinen alipäästösodin tottaisi kan 4.7.c tloksen sillä mnnos oli iereisten jaksojen korrptoima. Ilmiö on nimeltään laskostminen aliasing jossa korkeat taajskomponentit häiritseät alempia näytteistetyssä fnktiossa. Ka 4.6.a Fnktion Forier mnnos b kaistarajoitett ikkna ja c näiden tlo. Periaatteessa laskostminen on aina läsnä näytteistetyissä signaaleissa koska niitä ei oida näytteistää äärettömän pienellä interallilla jatkana. Käytännössä pitää näytteenottotaajs nostaa riittään korkealle jotta olennainen informaatio eli kiinnostaat taajdet saadaan signaalista esiin. Taajsaleen sodats 3 Taajsaleen sodats 4
a b c Laskostminen oidaan kitenkin aimentaa toimenpiteellä jota oidaan ktsa astalaskostmiseksi anti aliasing. Käytännössä siis tasoitetaan korkeita taajksia sodattamalla niitä ennen näytteistystä koska laskosts on seras näytteistyksestä eikä sitä oida laskennallisesti pera jälkikäteen. Esisodatsta arten mitta ja kaslaitteissa on analogiasodattimia jotka sodattaat jatkaa signaalia fnktiota. Lisäksi monesti on tarpeen sodattaa ielä digitaalisesti näytteistyksen jälkeenkin kohinaa ym. pois. Ka 4.7.a Alinäytteistetyn kaistarajoitetn fnktion Foriermnnos b ideaalinen alipäästösodin c edellisten tlo. Vierekkäisten jaksojen häiritseminen aihettaa laskostmisen joka estää F :n täydellisen palattamisen. Ka 4.8. esittää klassisen laskostmisesimerkin. Phdas siniaalto käsittää ainoastaan yhden taajden. Oletetaan siniaallolla olean pohjanaan sin t ja aaka akselin astaaan aikaa t seknneissa jolloin fnktio leikkaa akselin kohdissa t seknnin älein. Taajsaleen sodats 5 Taajsaleen sodats 6 Signaali oidaan palattaa näytteistään kn näyttenottotaajs / T on ähintään kaksi kertaa signaalin korkein taajs. Kassa 4.8. mstat pisteet edstaat liian alhaista näytteenottotaajtta jolloin saadaan näytteistä esiin irheellisesti pitempiaaltoista siniä eli todellista matalampaa taajtta. Kaistarajoittneen signaalin rekonstrktio eli palats oidaan tehdä seraaasti sinc fnktion alla. n [ t n T n T ] f t f n T sin c / Ka 4.8. Mstat pisteet edstaat alinäytteistettyä sinisignaalia sillä näytteenottotaajs / T on pienempi kin sinin taajs ts. näytteitä on otett interallilla T joka on pidempi kin yksi siniaalto. Jotta todellinen signaali saadaan näytteistyksessä esiin pitää näytteistää selästi sremmalla taajdella eli pienemmällä näytteenottoälillä kin poli aallonpittta. Taajsaleen sodats 7 Taajsaleen sodats 8
4.4. Yhden mttjan diskreetti Forier mnnos Jatkan fnktion mnnoksesta on johdettaissa diskreetti Foriermnnos DFT. Tämä ja käänteismnnos oat seraaat. F M x f x M f x e M jπx / M F e jπx / M.. M x.. M Kn fx käsittää kaikkiaan M fnktion ft näytettä näytteistettynä T:n älein saadaan signaalin kestoksi tai pitdeksi M T. Tällöin astaaa äli taajsaleessa on seraaa. M T M komponentin kattama koko taajsale DFT:ssä on M kertaa edellinen eli / T. DFT:n taajsresoltio on. Taajsaleen sodats 9 4.5. Laajenns kahden mttjan fnktioihin Lähtien liikkeelle kan 4.9. yksittäisestä implssista tasossa oidaan johtaa yhden mttjan tapaksen laajennksena kahden jatkan mttjan Forier mnnos ja tämän käänteismnnos. F µ υ f t z f t z e F µ υ e jπ µ t+ υz jπ µ t+ υz dtdz dµ dυ Ka 4.. on polestaan analoginen kan 4.. laatikkofnktiolle ja kakselle. Taajsaleen sodats a b Ka 4.9. Kaksilotteinen diskreetti yksikköimplssi joka on yhtä kin malla kin pisteessä x y. Ka 4.. a D fnktio ja b sen spektri. Kn laatikko on pidempi t akselin snnassa kin z akselin spektri on astaaasti akselin snnassa. Taajsaleen sodats Taajsaleen sodats
Kaksilotteisessa tapaksessa näytteenottoteoreema tarkastelee kaistarajoittntta fnktiota ftz mttjien aleella eli äleillä [ max max ] ja [ max max ]. Tällöin fnktio on palatettaissa näytteistään jos näytteenottoälit oat T < µ eli taajksina astaaasti. ja Z < max υ max T > µ > Z max ja Ka 4.. on analoginen kan 4.4. kanssa yli ja alinäytteistyksen shteen. υ max a b Ka 4.. Kaksilotteinen Forier mnnos a yli ja b alinäytteistetyssä tilanteissa kaistarajoitteisella fnktiolla. Taajsaleen sodats 3 Taajsaleen sodats 4 Haainnollistetaan laskostmisilmiötä kien yhteydessä. Olkoon kan koko 96 96 pikseliä jossa on digitoit šakkilatartja. Tällöin oitaisiin kata enimmillään 96 96 rta knkin pikselin astatessa yhtä rta. Kassa 4.. esitetään mitä tapaht jos rt olisi ieläkin pienempi. Alksi ka 4..a ja b esittäät tilanteet joissa rdn koko siltaan on 6 ja 6 pikseliä jolloin kat oat odotetn näköiset. Kassa 4..c se on ähän pienempi kin pikseliä. Tällöin tapaht homattaa laskostminen. Kassa 4..d rdn koko siltaan on hieman pienempi kin.5 pikseliä. Nyt ka näyttää harhaisesti mielekkäältä mtta todellisdessa siinä on paha laskostminen syyn ollessa analoginen kan 4.8. mstien pisteiden antamalla liian alhaiselle aallonpitdelle. Ka 4.. Kien laskostminen. a Rdn koko sin shteen 6 ja b 6 pikseliä sekä c.974 selä laskostminen ja d.4798 pikseliä harhattaa laskostminen mataliin taajksiin. Taajsaleen sodats 5 Taajsaleen sodats 6
Laskostmista haainnollistetaan ielä kassa 4.3. jossa on osassa a alkperäinen ka. Tässä on tarkoitksella henkilön aatteissa hienojakoisia samansntaisia linjoja. Kissa 4.3. b ja c kokoa on ensin pienennetty 5 % ja sitten pikseleitä kopioimalla srennett takaisin jotta ertaaminen alkperäiseen osaan a on helppoa. Kassa 4.3.b näkyy selää laskostmista erityisesti henkilön polissa. Kassa 4.3.c laskostminen on saat kriin sodatksen alla. Ka 4.3. a Alkperäinen ka joka on pienennetty b 5 %:lla esim. poistamalla joka toinen rii ja sarake ja pikseleitä kopioimalla srennett tarkastela arten entiseen kokoonsa ja c lopksi sodatett 3 3 keskiaroistksella ennen delleen srennsta. Taajsaleen sodats 7 Taajsaleen sodats 8 On olemassa artefakta nimeltä moire hahmo jonka oi nähdä optisesti päällekkäin asetetissa ristikoissa esim. hyttyserkoissa. Se esiintyy digitaalisissa kissa skannaksen yhteydessä monissa tämän lentomateriaalin kissakin. Kn esim. skannataan kaa ja kassa on jaksollisia raitoja tai älejä jotka oat shteessa digitaaliseen kaan tätä modostettaessa oi syntyä näennäinen moire aikts. Ka 4.4. on esimerkki jossa kahden ristikon päällekkäisyys lo olematonta jaksollistta. Sanomalehdet 75 dpi ja mt painototteet esim. 33 tai 75 dpi käyttäät mstia pisteitä tai ellipsejä joiden kokoa ja liitoksia käyttämällä simloidaan harmaasäyjä. Skannattaessa kia painototteista nämä pisteet näkyät enemmän tai ähemmän ka 4.5.. Kn tarkktta on nostett aroon 4 dpi ilmiö ei esiinny niin herkästi tässä skannaksen skannaksessa kyllä mtta on nähtäissä selästi osasrennoksessa kassa 4.6. Ka 4.4. Esimerkki moire aiktksesta. Asetettaessa erilliset iiaristikot päällekkäin näyttää syntyän jaksollistta jota ristikoissa ei kitenkaan ole todellisdessa. Taajsaleen sodats 9 Taajsaleen sodats 3
Taajsaleen sodats 3 Ka 4.5. Kn sanomalehtikaa on skannatt ja skannatt ka on ielä skannatt tätä esitystä arten kassa harmaasäyjen simloimiseksi käytetyt pisteet aihettaat rakeistta jota ei alkperäisessä kassa ole ollt. Taajsaleen sodats 3 Ka 4.6. Kan osasrennoksessa olematon rakeiss tlee skannaksen jälkeen silmiinpistäästi esiin. Taajsaleen sodats 33 Diskreetti kaksilotteinen Forier mnnos DFT ja tämän käänteismnnos IDFT oat kalle kokoa M N seraaat...... / / + N M e y x f F M x N y N y M x j π..... / / + N y M x e F MN y x f M N N y M x j π Taajsaleen sodats 34 Kaksilotteisen DFT:n ollessa kompleksifnktio se on esitettäissä napakoordinaatistossa modossa jossa itseisaroa ktstaan Forier tai taajsspektriksi ja on aiheklma. Tehospektri on neliömoto jolla kataan kan taajsinformaatio. j e F F φ [ ] / I R F + arctan R I φ I R F P +
Kaaasta s. 33 seraa että M N F MN f x y MNf x y MN x y ts. taajinen termi on shteessa fxy:n keskiaroon. Kn shdekerroin MN on yleensä sri F on tyypillisesti spektrin srin komponentti. Kn taajskomponentit ja oat nollia origossa F:aa ktstaan myös dc komponentiksi direct crrent eli tasairta jossa taajs on. a c b d Kassa 4.7.a on yksinkertainen ka jonka spektri on skaalatt lkälille [55] ja esitetään kana 4.7.b. Mnnoskan origossa siirretty keskelle on kirkkain piste ei tosin näy ja samoin kan klmissa näkyät honosti mikä aihet jaksollisdesta. Ka 4.8. osoittaa kinka spektri on epäherkkä translaatiolle siirto mtta ei rotaatiolle kierto. Kien 4.7. d ja 4.8.b spektrit oat samat mtta aiheklmat kassa 4.9. eri. Taajsaleen sodats 35 Ka 4.7.a Ka jossa on ain alkoinen soraklmio mstalla tastalla b kan spektri c joka on keskitetty kerrott ka aroilla x+y ennen mnnosta spektri ja d logaritmisen mnnoksen jälkeen yksityiskohdat näkyät edellistä paremmin. Taajsaleen sodats 36 a b c d Ka 4.8. Edellisen kan soraklmiota on tässä siirretty astaaa spektri c rotatoit ka ja d tämän spektri. Taajsaleen sodats 37 Ka 4.9. a Vaiheklmatalkko astaten a kaa 4.7.a b siirrettyä kaa kassa 4.8.a ja c rotatoita kassa 4.8.c. Vaiheklma ei anna erityisemmin isaalista informaatiota esim. saattaisi kitella a:n astaaan kaa 4.8.c mtta näin ei ole. Vaiheklmainformaatio ei myöskään mnnoksen käytön kannalta ole taallisesti lainkaan tarpeellista. Olennaista on silti sodats joka ei mttaisi aiheklmaa ollenkaan koska tällä oi olla epätoiottja ääristäiä aiktksia kaan. Taajsaleen sodats 38
4.6. Taajsaleen sodatksen persteet Em. konoltioteoreema yleistyy kaksilotteiseen tilanteeseen seraaasti f x y h x y jossa x M ja y N. Tämä ilmaistaan lyhyemmin f x y h x y F H ja kääntäen seraaasti. M N m n f x y h x y F H f m n h x m y n Taajsaleen sodats 39 Kten aiemmin on esitetty taajsaleen sodatksen idea on alksi laskea kan mnnos mokata tätä mnnosaardessa ja lopksi käänteismnnoksella mntaa takaisin spatiaaliselle aleelle. Vaiheinformaatio ei ole yleensä isaalisesti koin hyödyllistä. Sen sijaan spektri kaa paremmin kan ominaisksia. Kassa 4..a on iallisen integroidn piirin 5 kertainen elektronimikroskooppikan srennos. Kana siinä on kiinnostaaa selät iiat jotka oat noin 45 klmassa toisiinsa nähden ja alkoinen lämpöirheen aihettama oksidiprkama. Kassa 4..b on astaaa spektri jossa pystysora aalea ähän inossa olea komponentti on alkoisen aleen rajojen aihettama. Taajsaleen sodats 4 Yleisesti sodats on esitettäissä abstraktiona oheisella taalla. g x y U [ H F ] Tässä F oli M N kan fxy diskreetti Forier mnnos DFT H sodinfnktio eli sotimen siirtofnktio U käänteismnnos IDFT ja gxy sodatett tloska. F H ja g oat M N talkoita jotka on laskett talkkokertomisina. Kn H:n tlee olla symmetrinen keskipisteen shteen tämän aikaansaamiseksi ka alkiot on alksi kerrott arolla x+y. Monet ohjelmat eiät kitenkaan tee näin esim. Matlab jolloin näissä sodinfnktiot on järjestetty delleen astaamaan tilannetta että origo on asemmassa yläklmassa. Ka 4.. a Viallisen integroidn piirin srennoska jossa on msta äristä erotta alkoinen oksidiprkama ja b edellisen spektri. Esimerkkinä sodatksesta kan 4..a spektrissä on dckomponentti asetett :ksi jolloin ka tmment kaksi 4.. Taajsaleen sodats 4 Taajsaleen sodats 4
Mnnoksen matalat taajdet liittyät kan hitaasti mttiin intensiteettikomponentteihin kten honeen seinät tai piletön taias. Sitä astoin korkeat taajdet syntyät teräien intensiteettimtosten takia kten rajat tai kohina. Korkeita taajksia aimentaa ja alhaiset sellaisenaan läpi päästää alipäästösodin lowpass filter smentaa eli tasoittaa kaa kn taas alhaiset taajdet aimentaa ja korkeat läpi päästää ylipäästösodin highpass filter teräöittää kaa mtta ähentää myös kontrastia. Ka 4.. Edellinen ka on mnnett asettamalla FM/N/. Taajsaleen sodats 43 Ka 4. esittää esimerkin. Homaa samanlaiss kien 4.. ja 4..b älillä. Kassa 4..c on pohjaa nostett pienen akion a erran jolloin dc komponentti ei ole enää mtta ka silti teräöityy. Taajsaleen sodats 44 Sotimet jotka aikttaat mnnoksen reaali ja imaginaariosiin samalla taalla ts. eiät aikta aiheeseen mitenkään oat nollaaihesiirtoisia zero phase shift joka yleensä on toiottaa piirre. Mnlaisia ei tässä materiaalissa käsitelläkään. Ka 4.. Ylärii: alipäästösotimen ja kahden ylipäästösotimen taajsaleen kertoimet pintakina esitettyinä kertoimen srs on yhtä kin pinta alkion amplitdi eli pystyakselin aro. Alarii: ka 4..a sodatett näillä. Ka 4.3. haainnollistaa kinka aiheklman pienikin mtos saattaa aikttaa kaan homattaasti taallisesti epätoiotlla taalla. Siinä kalle 4..a on tehty skalaarimtos kertomalla aiheklmatalkko akiolla.5 mttamatta F :tä ja laskemalla käänteismnnos. Tloksena on ka 4.3.a. Vaikka kan persmodot eiät mttneet intensiteettijakama on häiriintynyt. Kn akiokerroin oli pienempi.5 saatiin merkittäästi alkperäisestä mttnt ka 4.3.b. Taajsaleen sodats 45 Taajsaleen sodats 46
Esitetään yhteenetona kinka ka oidaan sodattaa taajsaleella. a b Ka 4.3. a Vaiheklmatalkko on kerrott akiolla.5 ja b.5 ennen käänteismnnosta. Spektri ei mttnt kmmassakaan. Syöteka fxy olkoon kokoa M N. Zero padding tai astaaaa kan laajentamista arten määrätään laajennett koko sein PM ja QN. Laajenns on tarpeen jotta kan rena aleetkin oidaan sodattaa. Modostetaan laajennett ka f p xy kokoa P Q lisäämällä tarpeelliset nollat talkkoon. 3 Kerrotaan f p xy aroilla x+y mnnoksen keskistämiseksi. 4 Lasketaan DFT mnnos eli F. 5 Generoidaan sotimen reaalinen symmetrinen siirtofnktio H kokoa P Q keskipisteenään P/Q/. Modostetaan tlo G HF talkkokertomisella. Taajsaleen sodats 47 Taajsaleen sodats 48 a b c 6 Saadaan prosessoit ka g p [ U [ G ] x+ y { reaaliosa } x y jossa alitaan reaaliosa ja sitetaan kompleksiosa. 7 Ka gxy saadaan tloksena ottamalla asen M N yläneljännes kasta g p xy. d e f g h Ka 4.4. esittää esitettyä menettelyä. Zero padding operaatiota käyttää alipäästösodin aihettaa tloskaan 4.4.h heikosti erottan tmman renan. Homattakoon ettei zero padding tai astaaa laajenns ole täysin älttämätön. Jos laajennsta ei tehdä silloin kitenkin kasta leikkat renaa pois sodatsta ei oi tehdä renan yli eli tloska on alkperäistä pienempi. Taajsaleen sodats 49 Ka 4.4. a M N ka f b laajennett ka zero padding f p kokoa P Q c tämä on kerrott aroilla x+y d jolloin spektri tlee kan keskelle e Gassin alipäästösodin H f tlo HF p g x+y :n ja HF p :n reaaliosan käänteismnnoksen tlo g p ja h lopllinen tlos g joka on saat leikkaamalla ensimmäiset M riiä ja N saraketta. Taajsaleen sodats 5
4.7. Kan tasoittaminen Kan tasoittaminen smentaminen alipäästösodattaa renoja ja mita teräiä intensiteettimtoksia kten kohinaa. Tarkastellaan kolmea tyyppiä: ideaali Btterworth ja Gassin alipäästösodin. Ideaali alipäästösodin päästää aimentamatta taajdet jotka oat origosta enintään säteen D etäisyydellä ja leikkaa mt pois. jos D D H jos D > D Tässä D > ja D on taajsaleen pisteen ja keskipisteen älinen etäisyys ts. D P / + Q / / [ ] jossa P ja Q on laajennett aiempaan tapaan. Taajsaleen sodats 5 Ka 4.5. esittää ideaalia alipäästösodinta. Tällaista teräää transitiopistettä H ja sitten älittömästi katkaistaajtta ctoff ei oida elektronisissa komponenteissa totettaa mtta oidaan ei fysikaalisena kitenkin laskennallisesti simloida. Ka 4.6. esittää testikan spektreineen. Ka 4.7. esittää sodatstloksia joita kan 4.6.b eri katkaistaajdet antoiat. Ideaali sodin on ideaali ain motonsa polesta. Käytännössä se on aika hono sillä kan 4.8. mkaan siinä esiintyy käyrässä soiia silohkoja eli aaltoja. Sitä tarkasteltiin ikään kin sotimen persmotona. Yleensä parempia oat mm. Btterworth sotimet. Taajsaleen sodats 5 Ka 4.5.a Ideaalisen alipäästösotimen transitio eli siirtofnktion perspektiiika b sodin kana ja c sotimen halkileikkas. Ka 4.6.a 688 688 testika ja b tämän spektri johon asetettjen ympyröiden ideaalinen sodin säteet oat 3 6 6 ja 46. Säteet kattaat 87. 99. % laajennetn kan tehospektristä ei sen kasta aan taajsasteesta. Taajsaleen sodats 53 Taajsaleen sodats 54
Ka 4.7.a Alkperäinen ka ja b f sodatstlokset edellisen kan katkaistaajksia soeltaen. Ka 4.8.a Spatiaalisen aleen esitys säteen ollessa 5 kassa kooltaan ja b intensiteettimoto aakasoran klkiessa kan keskeltä. Taajsaleen sodats 55 Taajsaleen sodats 56 Btterworth sodin on motoa H n + [ D / D ] jossa D tlee kaaasta. Ka 4.9. esittää tätä. Se että katkaistaajs ei käsitä epäjatkskohtaa kten ideaalisessa sotimessa on hyä. Toisaalta sein pyritään melko jyrkkään mtokseen siirtoaleessa eli esim. n4. Kassa 4.3. on Btterworthilla sodatettja kia. Haittapolena on soimisen lisääntyminen jyrkkyyden kasaessa ka 4.3. mikä oi toda kiin epätoiottja aiktksia. Gassin sodin on motoa jossa on niin ikään D kaaasta ja D keskihajonta. D / D H e Ka 4.3. esittää tämän ominaisksia. Ka 4.9. Btterworth alipäästösotimen siirtofnktion perspektiiika b sodin kana ja c halkileikkas tapaksille n 3 ja 4. Taajsaleen sodats 57 Taajsaleen sodats 58
Ka 4.3. a Alkperäinen ka ja b f sodatksen tlokset aste n katkaistaajksien ollessa kan 4.6. mkaiset. Ka 4.3. Btterworth alipäästösotimen spatiaaliesitykset asteille n 5 ja ka ja katkaistaajs 5. Taajsaleen sodats 59 Taajsaleen sodats 6 4.8. Ylipäästö ja mita sodintyyppejä Ylipäästösotimella oidaan teräöittää kaa. Em. kolmen tyypin siirtofnktioista H LP saadaan nyt ylipäästösotimet H HP seraaasti. H HP H LP Tällöin ideaalinen ylipäästösodin on Ka 4.3.a Gassin sotimen siirtofnktion perspektiiika b sodin kana ja c halkileikkas eri aroilla D. jos D D H jos D > D jossa D on katkaistaajs. D on kaaasta kten seraaassakin. Btterworth ylipäästösodin on näin. H n + D / D [ ] Taajsaleen sodats 6 Taajsaleen sodats 6
Gassin ylipäästösodin on astaaasti. H e D / D Näiden kolmen ylipäästösodatintyypin esitykset oat kassa 4.33. Edelleen niiden spatiaaliset ja intensiteettikäyräesitykset oat kassa 4.34. Ka 4.35. käsittää esimerkin. Sodintyyppejä on mitakin esim. homomorfiset sotimet. Ka 4.33. Yläriissä ideaalisen ylipäästösotimen a perspektiiika b kaesitys ja c halkileikkas keskiriissä d f astaaat Btterworth ylipäästösotimelle ja alariissä g i Gassin ylipäästösotimelle. Taajsaleen sodats 63 Taajsaleen sodats 64 Ka 4.34. Spatiaaliset esitykset ja intensiteettikäyrät: a ideaali b Btterworth ja c Gassin ylipäästösodin. Ka 4.35. Btterworth ylipäästösotimen tlos kn a D 3 b 6 ja c 6. Taajsaleen sodats 65 Taajsaleen sodats 66
4.9. Forier mnnoksen totets Voidaan myös modosta sodin monipolisemmin tekemällä siitä kaistanpäästö tai estosodin ts. päästökaistan molemmin polin on estokaista tai päinastoin. Jos jälkimmäisessä tapaksessa estokaista on hyin kapea kyseessä on notch sodin loi jolla oidaan poistaa melko tarkasti jokin taajs kasta kten aiemmin mainitt moire ilmiö. Forier mnnos totetetaan aina nopean Forier mnnoksen algoritmin FFT alla. Kn alkperäinen kaaan mkainen Forier laskenta aatii aikakompleksisden OMN FFT taritsee ain OMN log MN mikä on homattaa ero. Tässä oi sijoittaa esimerkkinä 4 4 kan koon ts. MN4. Ei tarkastella FFT algoritmia. Se on tyypillinen hajota ja hallitseperiaatteen diide and conqer mkainen. Taajsaleen sodats 67 Taajsaleen sodats 68