OULUN YLIOPISTO Konetekniikan osasto A Autojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mauri Haataja. 1. Pyöräajoneuvojen ominaisohjaus

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "OULUN YLIOPISTO Konetekniikan osasto 460071A Autojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mauri Haataja. 1. Pyöräajoneuvojen ominaisohjaus"

Transkriptio

1 OUUN YIOPISTO Konetekniikan osasto 467A Atojen ja työkoneiden rakennejärjestelmät I 5 op Mari Haataja. Pyöräajonevojen ominaisohjas. Henkilöatojen pyöräntenta Hyötyajonevojen ajo-ominaisksiin vaikttavat rnko- ja kormarakennesekä akseli- ja jositskonstrktiot. Ajo-ominaisdet painottvat ajotrvallisteen ja ohjaamon ergonomiaan, myös ajomkavs on merkittävästi parantnt viimeisen vosikymmenen aikana. Etenkin henkilöatoissa ja maastohenkilöatoissa tavoitellaan korkeaa ajomkavtta ja ajotrvallistta tieoloshteissa kaikilla ajonopeksilla ja ajotilan erikoistapaksissa, kten jarrts-, kiihdytys- ja kaarreajon tilanteissa sekä mttvissa tie- ja sääoloshteissa. Edellä mainittjen ajonevojen ja pyörän tentakonstrktiot on snnitelt toimivaksi siten, että pyörien verikaaliset jostoliikkeet mahdollisimman vähän vaikttavat miden pyörien toimintaan ja erityisesti tiekontaktiin. Tyypillisesti pyörän tentakonstrktiot on rakennett itsenäiseksi yksiköksi alsta- ja korirakenteisiin tettna kolmisava-, heilri- tai monisavamekanismeilla. Pyörän vertikaaliliikkeen välitys pyörän tentamekanismeilla tapaht ympyrän kaarta myöten, jolloin tapaht pyörän kallistma- ja raidevälimtoksia. Ne vaikttavat pyörän tiekosketsta heikentävästi. Ohjaavien akseleiden ohjasmekanismien toimivat parhaimmillaan vaakatasossa. Epätasaisella ajoradalla yksinkertaisten mekanismien välityskyky ei vastaa optimaalisesti mallinnettjen mekanismien toimintaa. Konstrktion snnittelpersteena on pyörän vertikaalisten jostoliikkeiden riippmaton toiminta toisten pyörien jostoliikkeiden aikana ja mahdollisimman pieni dynaamisten pyöräkormien vaihtel pyörän jatkvan tiekosketksen varmistamiseksi. Erityisiä vaatimksia tentamekanismien snnittelssa on edellä mainittjen lisäksi mm. tentasavojen mahdollisimman pienet modonmtokset, elastisten nivelien jostot ja klmisvälysten kompensointi sekä akseliväli- ja ohjasklmamtokset asettavat. Pyörän tentamekanismien soritskykyä arvioidaan ajodynamiikan kokeilla, kten ajonevon ajovakatta stabiileissa ja mttvissa ajo-oloshteissa sekä ominaisohjaksen vaiktsta ajokäyttäytymiseen. Kehittyneissä monisavamekanismeissa tavoitellaan pyörän alkperäisen tiekosketksen ja asennon säilymistä jostoliikkeen aikana, jolloin parhaimmillaan mekanismi toimii soravientimekanismin periaatteella joskin shteellisen lyhyellä jostomatkalla. Kvassa ja on esitetty henkilöatoissa sovellettja etakselin ja taka-akselin tyypillisiä pyörän tentamekanismeja. Kvassa esitetty () MacPherson tenta on yleinen henkilöaton etakselin tentakonstrktio. Sen etja ovat: kompakti konstrktio, jossa pääjosi ja vaimennin on integroit samaan konstrktioon, pehmeät jostoliikkeet käytettäessä pitkiä kierrejosia,

2 voidaan konstroida sositeltava josto- ja vaimennsliikkeen shde (:), haittatekijöinä mainittakoon vaimentimen kitkavoimien kasv, ohjaksen värähtelyherkkyys ja vaatimaton nyökkäyksen esto-ominaiss, homattava tilantarve vertikaalisnnassa. Heilrivarsityyppisellä tkivarsistolla kva () voidaan pyöräntenta totettaa edllisesti, haittatekijänä on pyörän asentoklma- ja raidevälimtokset, vetävän akselin jositsratkaisna asettaa lisävaatimksia konstrktiosnnittelssa. Jarrtstilanteessa esiintyvää nyökkäystaipmsta voidaan lieventää asentamalla ylä- ja alatkivarsien katta klkeva keskitaso sovitettn kaltevsklmaan aton pitsakseliin nähden. a) b) Kva. Henkilöaton pyörän tentamekanismit: a) poikittainen kaksoistenta(), jostintkikonstrktio(), kierrejosi-vaimennin konstrktio(), b) monisavamekanismi(avarssavat). a) b) c) Kva. Henkilöaton taka-akselin tentakonstrktioita: a) jäykkä takaakseli; vetopyörästön jäykkä liitos, tett neljällä pitkittäistkivarrella ja poikittaistkivarrella ns. Panhard-tanko, () ajosnta, () ylhäältä katsottna, shteellisen pienet pyörän kallistma- ja raidevälimtokset b) yhdysheilritenta () kiertymisakseli erisntaisissa (vinoheilriliike) ja ()samansntaisissa jostoliikkeissä(pitkittäisheilriliike), pienet

3 raidevälimtokset toispoleisissa jostoliikkeissä, aton takaosassa tilantarve totettamiskelpoinen. Vetävän taka-akselin vinoheilritenta c). Henkilöaton vinoheilritenta on sovellett vetävän akselin tentakonstrktiona. Tkilaakeroinnissa esiintyy homattavan sria tkireaktiovoimia( x, y, z ), mikä edellyttää kiinnityspalkin ja aton korirakenteen liitoksen erityistä mitoitsta ja ljsanalyysiä paikallisten modonmtosten ja maksimijännitysten arviointiin. Tennan merkittävä et on verraten vähäinen pyörän kallistman ja raidevälin mtos, vähäinen kallistskeskiön alenema, mikä osaltaan parantaa kaarreajo-ominaisksia. Erillistetssa vetävässä akselissa voidaan pyörien poikittaistentaa vahvistaa erillisellä poikittaissavalla pyörän napaan konstroitna ns. De Dion savamekanismilla. Pyörän kallistma- ja raidevälimtokset erityisen pienet. Konstrktio shteellisen kallis. Pitkittäissavatentaa käytetään ei-vätävillä akselelilla. Pyörän kallistma- ja raidevälimtokset koriin nähden verraten vähäiset, kva. a) b) Kva. a) Henkilöaton erillistennalla varstetn taka-akselin poikittaistenta ns. De Dion savamekanismilla b) pitkittäissavatenta ei-vetävälle akselille.. Korma-aton ominaisohjas Hyötyajonevoissa akselisto-, rnko- ja kormarakennekonstrktiot modostavat shteellisen jäykän kokonaisden, joilla homattava vaikts ajonevon ominaisohjakseen. Aton ominaisohjakseen vaikttavat tekijät pääasiassa vahvistavat aliohjatvtta. Ominaisohjakseen vaikttavat: o rngon kiertojäykkyys pitsakselin ympäri; rngon pitkittäis- ja poikittaispalkkien modostamien tasokehärakenteen jäyhyyssreiden shteet o pyörien laakerointi- ja kääntöakselikonstrktiot jäykkään akselipalkkiin o voimansiirtoon kytkettyjen akseleiden rngon tentakonstrktiot o kormarakenteen, tenta- ja kiinnityskonstrktioiden rngon kiertojäykkyyttä srentava vaikts

4 4 o jäykän akselin ja mekaanisen jositksen asennskonstrktioiden mitoits erityisesti kallistmaohjaksen pienentämiseksi o akseli- ja tentakonstrktioiden modonmtokset ja välykset o teliakselien ohjaamattomien pyörien kaartoa vaststava pystyakselin ympärikiertävä telin kääntövastsvastsmomentti o aton kormastilan vaiktkset; aton kormitksen keventyessä et- ja taka-akseliston renkaiden sortoklmaerot kasvavat, jolloin aton aliohjatvs vahvist Kvassa 4 on esitetty tyypillisten hyötyajonevojen kormakorirakenteita, jotka on rakennett ajonevon rnkoon integroitna. Korirakenteilla on verraten homattava vääntöjäykkyys ajonevon pitsakselin ympäri. Kva 4. Korma-aton, perävanyhdistelmien ja bssien korityypit. Kvassa 5 on esitetty korma-aton alsta- ja rnkorakennetekniikkaa.

5 5 a) b) Kva 5. Korma-aton vetojärjestelmät(a), korma- ja ohjaamorakenne (b, rnkorakenne ja rnkopalkin ja poikittaispalkin liitosmodot ja shteellinen vääntöjäykkyys eri palkkimodoilla (c). Kvassa 6 on esitetty bssin korirakenne, joka modost lkisista ajonevon rngosta ja matkstamorakenteessa sekä toiminnallisesti integroidsta kehärakenneyksiköistä kten moottorin ja voimansiirto- ja polttoainetakin tilat ja tentarakenteet, sivseinien ja kattorakenteiden rakenne-elementit, matkstamon lattia- ja seinärakenne-elementit, istinten kiinnityselementit ja trvarakenteet, matkstamon sivtörmäyssojarakenteet ja kaatmisvariot estävät rakenteet(ece 66)kljettajan tila ja matkatavaroiden kljetstila, järjestelmä. Pakettiaton korirakenne on rakennett ajonevon rnkoon kiinnitettynä kormarakenteena. Kva 7 esittää henkilöaton ns. itsekantavaa korirakennetta. a) b) Kva 6. inja-aton rnkoon integroit eri rakenneyksiköistä koostva korirakenne (a) ja pakettiaton rngon päälle rakennett korirakenne (b).

6 Kva 7. Henkilöaton itsekantava korirakenne ja eri rakenne-elementtien nimitykset. 6

7 7. Teliakseliston kääntövastsmomentti Ohjaamattomissa teliakselistoissa ajonevon ajosnnanmtoksissa telin akseleiden pyörien sivttaisvoimat synnyttävät merkittävän kääntövastsmomentin ns. telimomentin. Kääntövastsmomentin srs riipp teliakselien kormitsjakamasta, kormitksesta, renkaiden rakenteesta ja lkmäärästä, raideleveydestä, telin akselivälin pitdesta ja tienpinnan laadsta. x c y b O C GC b x a n GC s s s s s GC s s s o s P o P O Kva 8. Kolmiakselisen korma-aton ohjaamattoman teliakseliston kääntövastsmomentin määritys. Kvassa 8 akselilla olevat renkaat on kvatt yksikköparametrina. Takaakselistossa vetävä akseli on tyypillisesti varstett parirenkain ja sein myös teliakseli. Sivttaisvoimaennsteet määritetään rengasvalmistajan spesifikaatioita käyttäen. Homioon otettavia tekijöitä ovat: renkaiden lkmäärä, rengaspaine, pyöräkormits ja renkaan rakenneparametrit. Ajonevon ollessa tllessa lievään kaarreajotilaan verraten alhaisella nopedella(v ) ja myös keskeiskiihtyvyyden ollessa (a n ), ajonevo otakstaan käyttäytyvän teoreettisen kaartoteorian mkaan, jolloin sivttaisvoimat merkityksettömän pienet. Vetävien

8 8 akselien(tyypillisesti.teliakseli; 6x)työntövoimat jätetään tarkasteljen lkopolelle. Tällöin ajonevo käyttäytyy -akselisen ajonevon teoreettisen kaartogeometrian mkaan. Hetkellinen kaartokeskiö sijaitsee näennäisen taka-akselin jatkeella OP O kohdassa P o etäisyydellä x vetävän akselin keskilinjasta. Pisteen O etäisyyden vetävän akselin keskilinjasta C määrittää paikkavektori -COi. Edellä mainitn teoreettisen kaartoteorian persteella piste O ei telin kiertopiste. Ajonevon hetkellinen kaartosäde on O. Aton pitsakselin(i) ja näennäisen taka-akselin linjan(j) leikkaspisteen O, jonka sijainti pitsaskelilla teliakselin välissä riipp etakselin hetkellisen kaartotilan oloshteista so. sivttaisvoimien ja vastaavien sortoklmien srdesta. Ajonevon tllessa kaartoon, taka-akselien renkaiden kehittämät vastakkaissntaiset sivttaisvoimat aikaansaavat ajonevon kaartoa vaststavan pystyakselin(k) ympäri kiertävän momentin ns. kääntövastsmomentin T =T k. Tästä seraa etakselin renkaiden sivttaisvoiman kasv, lisäksi mahdollinen keskikiihtyvyyden ( a n ) kasv srentaa sivttaisvoimatarvetta. Tällöin hetkellinen kaartokeskiö otakstaan sijaitsevan näennäisen akselin jatkeella kohdassa P o, missä vastaava kaartosäde on. On homattava, että ajonevon kaartosäde > o, jolloin ajonevo on selvästi aliohjatva. -akselisessa ajonevossa ohjaamaton teliakselisto on olennainen ajonevon ominaisohjastekijä. Kvaan 8 liittyvät sreet: c =keskeiskiihtyvyysvoima cy = ajonevon poikittaisakselin sntainen keskeiskiihtyvyysvoimakomponentti cx = ajonevon pitsakselin sntainen keskeiskiihtyvyysvoimakomponentti yi =renkaiden ajonevon poikittaisakselin sntainen sivttaisvoimakomponentti xi =renkaiden ajonevon pitkittäisakselin sntainen sivttaisvoimakomponentti hy =poikittaisakselin sntainen häiriövoimakomponentti hx =pitkittäisakselin sntainen häiriövoimakomponentti b i =akselin (i)akseliväli Häiriövoima=keskeiskiihtyvyysvoima, tienkaltevdesta aihetva painovoimakomponentti, tlivoima, ajovastsvoimakomponentti enkaiden sivttaisvoima esitetään sivttaisvoimakertoimen (C) ja sortoklman ( ) avlla lineaarisella osalla =C, kva 9. Akselin pyöräyksikön renkaiden lkmäärä(n) paripyöräasennksessa n= ja yksikköpyöräasennksessa n=, jolloin sivttaisvoima määritetään =nc r ja voidaan esittää modossa =C.

9 9 /N. Pyöräkorma/N epälin. max C epästabiiliale lineaarinen C stabiiliale Δ Δα Sortoklma ( ) Kva 9. Ilmatäytteisin kmirenkaan sivttaisvoima ()sortoklman( ) fnktiona, parametrina pyöräkormits. Sivvoimamaksimia sremmilla sortoklmilla renkaan sivttaisvoimakehitys alenee tai rajatssa sortoklma-aleessa pysyy likimäärin vakiona. Sivttaisvoimakehitys vaikttaa ajonevon käyttäytymiseen. ineaarisessa aleessa käyttäytyminen on stabiili ja epälineaarisella aleella epästabiili. Erityisesti ajokokeissa on olennaista määrittää renkaiden käyttämä sortoklma-ale ja vastaavat sivttaisvoimat. Määritetään akselien renkaiden sivttaisvoimavektori: Etakselin sivttaisvoimavektori on motoa ) i ( ) j () s ( x xs y ys Sivvoimakomponenttien skalaariesityksenä sivvoimakertoimen ja sortoklman fnktiona c α x xs y c α ix ixs iy ys cαiys Vastaavasti matriisiesityksenä c α ( ) x x xs y C xs y ( ) ys xs Telin.akselin akselin sivttaisvoimavektori on ) i ( ) j () s ( x xs y ys Sivvoimakomponenttien skalaariesityksenä sivvoimakertoimen ja sortoklman fnktiona

10 x xs y ys c α c α c α c α x xs y ys ( ) ja matriisiesityksenä x xs y C x xs y ys xs ( ) Telin.akselin sivttaisvoimavektori on ) i ( ) j () s ( x xs y ys Sivvoimakomponenttien skalaariesityksenä sivvoimakertoimen ja sortoklman fnktiona c α x xs y ys c α c α c α x xs y ys ( ) ja matriisiesityksenä x xs y C x xs y missä ys xs ( ) c =etakselin sivttaisvoimakerroin (N/rad) c =vetävän akselin sivttaisvoimakerroin (N/rad) c =teliakselin sivttaisvoimakerroin (N/rad) ij =akselin (i)pyörän(j= ;j=s)sortoklma(rad)

11 Ajonevon renkaiden sivttais- ja häiriövoimat modostavat hallitssa kaartotilassa tasapainossa: n i xi i yi j cx i cy j n j hx i hy j (4) Hallitssa kaarreajotilassa tlee renkaiden sivttaisvoimavektorin vaste häiriövoimavaiktksiin erityisesti poikittaisliikkeen pystyakselin kiertoliikkeen shteen seraavan ehdon mkaan n n y : j j j () i yi cy j hx n n x : i i i (4) i xi cx j hx z : n n T i k T k i i h (5) Eritellään kvan 8 mkaan ajonevon pits- ja poikittaisakselin snnassa voimien tasapainoehdot ovat: x : ( sin sin ) i x sx x sx y : ( cos cos ) j y sy y sy s s Kirjoitetaan momenttiyhtälö skalaariesityksenä.teliakselin(vetävän akselin) keskipisteen C shteen saadaan s s (6) (7) - x b ( cosδ s s sx b - b b cosδ ) ( sinδ x s sx s ( y sy ) b sinδ) (8) Jätetään vähän merkitsevät termit homioon ottamatta mm. x-akselin sntaisten voimien momentit kmoavat sressa määrin ja erityisesti pienillä sortoklmilla voidaan trigonometristen klmasreiden sijasta käyttää klmia, jolloin yksinkertaistett momentti yhtälö on yhtälö (8 ) voidaan esittää modossa (y sy) (scosδ s cosδ ) (8 ) c( s) c ( s) (8 ) vastaavasti y-akselin sntainen voimayhtälö on

12 y ja vastaavasti saadaan : s s s ) (9) c ( s c ) ( s) c ( Yhtälöistä (8 ) ja (9 ) saadaan s ) (9 ) c (α αs) c (α αs) c (α αss) () c (α αs)-c - (α αs) ( ) Ottamalla homioon sortoklmaparametrit. teliakseli: tanα s x b tanα x b.teliakseli: tanα x b tanα s b x () Pienillä sortoklman arvoilla voidaan approksimoida tan. Sijoitetaan klmaparametrit yhtälöön ( ), jolloin napaetäisyyden ( x ) pelkistetty laseke on c ( ) ( ) x () c c ( ) κ ( ) missä κ c c on.ja. teliakselin sortoklmakertoimien shde. () Kvassa on esitetty napaetäisyyden riippvs vetävän akselin ja teliakselin renkaiden sivttaisvoimaparametrin vaikts napaetäisyyteen.

13 x/m,6,4,,,8,6,4,, Napaetäisyyden riippvs vetävän ja teliakselin renkaiden sivttaisvoimakertoimien shteesta =C/C. Parametrina Aton akseliväli =4,7m, telin akseliväli =,8m.,5,5,75,5,5,75,5,5 x Kva. Teliakseliston napaetäisyys vetävän akselin keskilinjasta vetävän ja teliakselin renkaiden sivttaisvoimakertoimien shteen =C /C fnktiona. Esimerkin tapaksessa parametreina aton akseliväli =4,7 m ja telin akseliväli =,8 m. Telin kääntövastsmomentin määritys tangenttimenetelmällä, menetelmää sovelletaan kiskokalstossa. Menetelmän kehittäjän(koessler) mkaan periaatteena on etakselilla sivttaisvoiman minimointi, kva Menetelmä täydentää telin kääntövastsmomentin määritystä. Kokeellisten menetelmien kääntövaststekijöiden mittakset ja yhdistäminen simlointimalliin sekä vahva korrelaatio kokeellisten mittasten ja mallin kesken tottaa parhaan tloksen telin kääntövastsmomentin määritykseen ja akselisto- ja pyöräkonstrktioiden kehittämiseen. Seraavassa esityksessä on käsitelty esimerkkitapaksena paripyörillä varstett teliakselisto.

14 4 x y b T P o tangentti T min Kva. Telimomentin ratkaismenetelmä ns. tangenttimenetelmä. Telin kääntövastsmomentin määrityksessä Kääntövastsmomentille voidaan johtaa yksinkertaistett yhtälö x x T ( x ) C C ( b / b / x ) -x b / -x b / Pelkistettynä saadaan esitys x x T k c c () 4 missä k (4) b 4 Kn teliakselin sivttaisvoimakertoimien shde =, saadaan etakselin sivttaisvoiman minimiarvon määrittäväksi yhtälöksi min T x min (5) Kvan mkaan tangenttimenetelmään tketen saadaan verranto dt T dx x jolloin napaetäisyys x on C C x - C C C C (6)

15 5 Napaetäisyyden yhtälö (6) poikkeaa merkittävästi sivttaisvoimien perstella johdetsta yhtälöstä (), viime mainitt antaa tarkemman arvion napaetäisyyden arvioinnissa. Kvan mkaan telin kääntövastsmomentti saavttaa minimiarvon teliakselivälillä ja on telivälin päätepisteissä yhtä sri, kn =,. Esimerkiksi kn =,, x =,778 m ja T =7k (knm/rad); =,5, x =,69 m ja T =5k (knm/rad). Napaetäisyyden ohittaessa minimiarvon, kääntövastsmomentti kasvaa progressiivisesti ja vastaavasti rengasparametrin kasvaessa. Tämä vastaa kaarron pakottamista pienemmälle kaartosäteelle, jolloin etakselin kääntömomentti ja pyörien sortoklmat kasvavat. 6, 5, Telin kääntövastsmomentti napaetäisyyden (x)fnktiona. Parametreina vetävän ja teliakselin sivttaisvoimakertoimien shde, hetkellinen kaartosäde 7,75m, aton akseliväli =4,7m, telin akseliväli,8 m, raideleveys b=,m. Sivttaivoimakerroin 5kN/rad( =, ). T (knm/rad) 4, k= k=,5, k=,5, k=,75 k=,,, Napaetäisyys x/m,,4,6,8,,4 Kva. Telin kääntövastsmomentin riippvs napaetäisyyden fnktiona. Parametrina sivttaisvoimaparametri. Etakselin sivttaisvoiman määritys x ( -x)-( x) (7) engasparametrien ja sortoklman fnktiona saadaan C (α α ) C (α α )( -x)-c (cos cos ) ( x) (8) s x s s Etakselin renkailta vaadittava keskimääräinen sortoklma C (α α ) C (cos s x C (α cos s )( α s )( x ) - x ) (9) missä

16 6 s (9 ) Teoreettisen ohjaksen mkaan on voimassa tan tan s b o x () missä b o = etakselin kääntöakselien etäisyys Etakselin lomman pyörän kaartosäde on r x sin( ) b b o () Kaartosäteet o ja ratkaistaan seraavista yhtälöistä o tan x b o () x tan( ) b o () Erikoistapas: Sivttaisvoima vapaa telin etmmainen akseli Kaarreajossa saattaa esiintyä ajotila ajotiloja, joissa telin akseleiden keskinäinen sivttaisvoimaohjas olennaisesti poikkeaa tyypillisestä kaarreajotilasta. Tnnetsti kaartotilanteessa keskikiihtyvyys kasvaa ajonopeden neliössä (a n =v /) ja vastaavasti myös renkaiden sivttaisvoimavaatims. Tällöin renkaiden sortoklmat kasvavat. Kolmiakselisen aton kaarreajotilanteessa syntyy ajotila, jossa telin.akseli on soraan ajotilanteessa ts. pyörä vierivät hetkellisesti aton pitsakselin snnassa, jolloin kyseisen akselin pyörät vierivät sivttaisvoima-vapaassa vierinnässä so. j= s j ja vastaavasti sortoklmat = s, kva.

17 7 = = G c y b C GC C b x GC a n s s s s s = s= GC s P O Kva. Kolmiakselisen korma-aton ohjaamattoman teliakseliston ajotila, missä telin.akselin sivttaisvoimat ja vastaavat sortoklmat ovat nolla. Kirjoitetaan voimien tasapainoehdot: Y: - y X : x y x cy cx momentti yhtälö missä - CG c cy y ( ) ma ( n x cx sx i )i cy j ( y sy ) j Skalaarikomponentit ovat: Keskeiskiihtyvyysvoima c

18 8 c cx cy mv GC mv GC mv GC cos sin GC GC Teliakselin kehittämät voimakomponentit: x y C C cos sin s Etakselin renkaiden kehittämät voimakomponentit: x y C C sin cos Nopes, jolla telin.akseli ei kehitä sivttaisvoimia v C cos ( ) mcos CG CG C ( kn cos cos CG v m ) CG Voimansiirrossa toimivien akselit on normaalisti kytketty toimimaan tasaspyörästön välityksellä, jolloin kaareen sisä- ja lkopoleisten pyörien matka- ja klmanopeserot totetvat ilman pyörien pakottamista. Tasaspyörästön lkitseminen srentaa telin kääntövastsmomenttia, koska lkitn akselin kaarteen loimmat pyörät jarrttavat ja srentavat täten etakselin renkaiden sivttaisvoimatarvetta lisäten aton aliohjatvtta ja renkaiden klmista. Teliakselilla parirenkaiden aihettamaa kääntövastsmomenttia voidaan pienentää käyttämällä yksittäispyöräasennsta, pyörien kääntömekanismeja ja teliakselin kormitksen nostomekanismilla. Kvissa 4 8 on esitetty graafisia esityksiä raskaan ja kevyen kormaaton ajokäyttäytymistä seissa kaarreajo- ja jarrtstilanteissa kormaamattomana ja kormattna.

19 9 Kva 4. Korma-aton ominaisohjas kormaksen fnktiona.// Kva 5. Kevyen hyötyajonevon(,5) ja poliperävanyhdistelmän (4t)ajokäyttäytyminen: kallists- ja heilntaklma ja keskeiskiihtyvyys kaarreajossa ohjasklman fnktiona.//

20 a) b) Kva 6. askaan kormaamattoman ja kevyen korma-aton ajokäyttäytyminen(a) kallistsklma, kiertoliikkeen klmanopes pystyakselin ympäri ohjasklman ja keskeiskiihtyvyyden fnktiona. Kvassa (b)raskaan korma-aton ajokäyttäytyminen akselien keskeiskiihtyvyys, kallistsklma ja kiertoliikkeen ominaisklmanopes ohjasklmayksikköä kohti taajden fnktiona. // Kva 7. Kormatn korma-aton (7,5t) ajokäyttäytyminen kaarreajojarrtksessa ajan fnktiona(a). askaan ja kevyen korma-aton ajokäyttäytymissreet jarrtshidastvden fnktiona(b).//

21 Kva 8. Korma-aton poliperävanyhdistelmän ja varsinaisen perävanyhdistelmän kiertoliikkeen klmanopes/ohjasklmayksikkö pystyakselin ympäri taajden fnktiona eri kormaparametreilla. Tapas on vaarallisin, missä kormaamaton vetoatoa ja kormatta keskiakseliperävan aihettaa korkean maksimiarvon n.,5 Hz:n taajdella, esiintyy pienen kitkaoloshteissa. Voidaan parantaa ajotrvallistta merkittävästi ESP-järjestelmällä.// ähteet: // Bosch., Atomotive Handbook. 7 th edition. 7. Beerman, H.,J., The Analysis of commercial vehicle strctres Verlag TUV heinland GmbH, Koln. aine, O., Atotekniikka. Ajo-ominaisdet. Atoalan koltskesks Oy. 987.

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 6 VEKTORIANALYYSI Lento 3 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f f ( r) f ( x, y, z) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa 30 VEKTORIANALYYSI Lento 4 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f= f( r) = f( xyz,, ) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,

Lisätiedot

x = x x 2 + 2y + 3 y = x + 2y f 2 (x, y) = 0. f 2 f 1

x = x x 2 + 2y + 3 y = x + 2y f 2 (x, y) = 0. f 2 f 1 Matematiikan K/P syksy Laskharjoits 9 Mallivastakset Tehtävän differentiaaliyhtälösysteemi: x = x x + y + y = x + y Merkitään f (x, y) = x x + y + ja f (x, y) = x + y Kriittisessä pisteessä f (x, y) =

Lisätiedot

Tasasähköyhteyden suuntaaj-asema. Ue j0ƒ. p,q

Tasasähköyhteyden suuntaaj-asema. Ue j0ƒ. p,q EEC-E89 syksy 06 Ttkitaan alla olevan kvan mkaista heikkoon verkkoon kytkettyä srjännitteistä tasasähköyhteyttä. Tässä tapaksessa syöttävän verkon impedanssi (Theveninin impedanssi, kvassa j on j0,65,

Lisätiedot

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016

763105P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 1 Ratkaisut 5 Kevät 2016 7635P JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Ratkaist 5 Kevät 26. Aberraatio shteellissteoriassa a) Tlkoon valo kten tehtävän kvassa (x, y)-tason x, y > neljänneksestä: x ˆx + y ŷ c cos θ ˆx c sin θ ŷ. () Lorenz

Lisätiedot

Turvallista koulumatkaa!

Turvallista koulumatkaa! Trvallista kolmatkaa! Kolkljetkset hallinto-oikeden näköklmasta Lonais-Somen alehallintovirasto 23.5.2017 Hallinto-oikestomari Hannele Sarell ja hallinto-oikestomari Marja Peltoniemi Trn hallinto-oikes

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA S55.103 SÄHKÖTEKNIIKK. välikoe 7.4.1998 Kimmo Silvonen 1. Kva esittää yhdellä diodilla hätäratkaisna tehtyä kokoaaltotasasntaajaa. Sen toiminta ei tietenkään ole kovin ideaalista. Laske diodin ominaiskäyrän

Lisätiedot

4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen

4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen 4 Liikemäärä ja liikemäärän säilyminen 4. Liikemäärä ja implssi 4-. a) Hyökkääjän liikemäärä on p = = 89 kg 8,0 m/s 70 kgm/s. b) 05-kiloisella polstajalla on yhtä sri liikemäärä, jos nopes on kgm 7 p v

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Omakotitalon energiaratkaisu Pieni askel omavaraisuuteen.

Omakotitalon energiaratkaisu Pieni askel omavaraisuuteen. Omakotitalon energiaratkais Pieni askel omavaraisteen. www.arime.fi Phdasta energiaa lonnosta Arinko on meidän kakien elämään vattava ehtymätön energianlähde ja se tottaa välillisesti srimman osan ihmisten

Lisätiedot

LBC 3210/00 Line Array -sisä-/ulkokaiutin

LBC 3210/00 Line Array -sisä-/ulkokaiutin Viestintäjärjestelmät LBC 3210/00 Line Array -sisä-/lkokaitin LBC 3210/00 Line Array -sisä-/lkokaitin www.boschsecrity.fi Laajennett kntelale Erinomainen pheen ja msiikin erotettavs Lonnollisen äänen tasainen

Lisätiedot

VIDEOJET decoder 7000

VIDEOJET decoder 7000 Video VIDEOJET decoder 7000 VIDEOJET decoder 7000 www.boschsecrity.fi HD 1080p- ja 720p-vastaanotto Monipoliset monitoriasettelt Ohjaa soraan enintään kahta HD-näyttöä VCA-metatietojen näyttö Pienikokoinen,

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

LC4-kattokaiutinsarja

LC4-kattokaiutinsarja Viestintäjärjestelmät LC4-kattokaitinsarja LC4-kattokaitinsarja www.boschsecrity.fi Innovatiivinen koko aleen CosCone-ohjain Loistava pheen ja msiikin toisto Aintlaatinen avasklma kaikkien oktaavien taajksille

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Moottoroidut auto-iiris-zoomobjektiivit

Moottoroidut auto-iiris-zoomobjektiivit Video Moottoroidt ato-iiris-zoomobjektiivit Moottoroidt ato-iiris-zoomobjektiivit www.boschsecrity.fi Laadkas optiikka Lotettava ja kestävä rakenne 1/3 tmainen malli DC-iiris-ohjaksella 1/2 tmainen malli

Lisätiedot

Käyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta. Tommi Höynälänmaa 19. marraskuuta 2012

Käyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta. Tommi Höynälänmaa 19. marraskuuta 2012 Käyttöarvon kvantitatiivisesta mittaamisesta Tommi Höynälänmaa 19. marraskta 2012 1 1 Yleistä Ajan t mittainen henkilötyöaika keskimääräistyötä (tehokkdeltaan keskimääräistä työtä) saa tavarantotannossa

Lisätiedot

VDC 4x5-sarjan FlexiDome VF- ja XT+domekamerat

VDC 4x5-sarjan FlexiDome VF- ja XT+domekamerat Video VDC 4x5-sarjan FlexiDome VF- ja XT+-domekamerat VDC 4x5-sarjan FlexiDome VF- ja XT+domekamerat www.boschsecrity.fi Kestävät ja isknkestävät mallit 1/3 tman kvasensori, CCD-kameratekniikka Ensilokkainen

Lisätiedot

Keskiarvovirtaohjatun vakiovirtalähteen dynaaminen mallinnus

Keskiarvovirtaohjatun vakiovirtalähteen dynaaminen mallinnus Olli aronen Keskiarvovirtaohjatn vakiovirtalähteen dynaaminen mallinns Sähkötekniikan korkeakol Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin ttkintoa varten Espoossa 18.11.2011.

Lisätiedot

AUTODOME IP 5000 HD. Video AUTODOME IP 5000 HD. www.boschsecurity.fi

AUTODOME IP 5000 HD. Video AUTODOME IP 5000 HD. www.boschsecurity.fi Video www.boschsecrity.fi 720p25/30- tai 1080p25/30-teräväkvatarkks, 30x optinen zoom sekä Boschin kvantamisalsta, joka on erityisesti snnitelt varmistamaan tarkka värintoisto oloshteissa, joissa on vaihteleva

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan

Lisätiedot

AUTODOME IP 5000 IR. Video AUTODOME IP 5000 IR. www.boschsecurity.fi. Tehokas ulkokäyttöön tarkoitettu PTZteräväpiirtodomekamera,

AUTODOME IP 5000 IR. Video AUTODOME IP 5000 IR. www.boschsecurity.fi. Tehokas ulkokäyttöön tarkoitettu PTZteräväpiirtodomekamera, Video AUTODOME IP 5000 IR AUTODOME IP 5000 IR www.boschsecrity.fi Tehokas lkokäyttöön tarkoitett PTZteräväpiirtodomekamera, jossa on integroit infrapnavalaists heikosti valaistja tiloja varten Valittavissa

Lisätiedot

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa. 4.2. Perusteita

4. Taajuusalueen suodatus 4.1. Taustaa. 4.2. Perusteita 4. Taajsaleen sodats 4.. Tastaa Forier esitti. 87 idean että laskien yhteen jaksollisia painotettja fnktioita oidaan esittää kinka tahansa monimtkainen jaksollinen fnktio. Ka 4.. esittää tällaista. Jaksolliset

Lisätiedot

Erikoisuuden tavoittelijoille. linja-autosarjan, jossa lattiataso nousi varsin jyrkästi perää kohden. Näissä Cometnimellä

Erikoisuuden tavoittelijoille. linja-autosarjan, jossa lattiataso nousi varsin jyrkästi perää kohden. Näissä Cometnimellä TESTIRYHMÄ Testiryhmä Timo Lehtonen ja Mika Koivisto Volvo 9900 Erikoisden tavoittelijoille Volvo 9900 on malli, joka ei aiemmin ole klnt Somen tontiohjelmaan. Nyt tämä erikoinen tristibssi tlee tarjolle

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Identifiointiprosessi Koesnnittel, identifiointikoe Mittastlosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - transientti-, korrelaatio-, taajs-, Forier- ja spektraalianalyysi => askel-, implssi-

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

FLEXIDOME IP dynamic 7000 VR

FLEXIDOME IP dynamic 7000 VR Video www.boschsecrity.fi Sri dynaaminen ale näyttää yksityiskohdat samanaikaisesti sekä kirkkaassa että heikossa valaistksessa Sisältöpohjainen oloshdeanalyysi optimoi kvankäsittelyominaisdet Älykkään

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

Hoitoketjut sotealueella. Jukka Mattila Johtajaylilääkäri Lapin sairaanhoitopiiri

Hoitoketjut sotealueella. Jukka Mattila Johtajaylilääkäri Lapin sairaanhoitopiiri Hoitoketjt sotealeella Jkka Mattila Johtajaylilääkäri Lapin sairaanhoitopiiri 23.11.2017 Valinnanvapaslakilonnos Lasntokierroksella 15.12.2017 asti 4 Asiakkaan oikes valita Asiakkaalla on oikes valita

Lisätiedot

DINION IP 7000 HD. Video DINION IP 7000 HD. www.boschsecurity.fi. 1/2,7 tuuman CMOS, päivä-yötila ja progressiivinen skannaus

DINION IP 7000 HD. Video DINION IP 7000 HD. www.boschsecurity.fi. 1/2,7 tuuman CMOS, päivä-yötila ja progressiivinen skannaus Video DINION IP 7000 HD DINION IP 7000 HD www.boschsecrity.fi 1/2,7 tman CMOS, päivä-yötila ja progressiivinen skannas Sri 1080p:n tarkks, HD-kva Älykkään kohinanpoiston ansiosta kaistanleveyttä ja tallennstilaa

Lisätiedot

AUTODOME IP 4000 HD. Video AUTODOME IP 4000 HD. www.boschsecurity.fi

AUTODOME IP 4000 HD. Video AUTODOME IP 4000 HD. www.boschsecurity.fi Video www.boschsecrity.fi Täydellinen tyylin ja tekniikan yhdistelmä sisäasennksiin, joissa täytyy saada laadkasta kvaa tyylikkäällä domekotelolla Valittavissa kaksi teräväpiirtotarkktta (720p25/30 tai

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 10 Binomipuut ja optioiden hinnoittelu Rahoitsriskit ja johdannaiset Matti Estola lento 1 Binomipt ja optioiden hinnoittel 1. Optiohintojen mallintaminen Esimerkki. Oletetaan, että osakkeen spot -krssi on $ ja spot -krssilla 3 kk:n kltta on

Lisätiedot

havainnollistus, muokkaus ja viimeistely

havainnollistus, muokkaus ja viimeistely Tekstin havainnollists, mokkas ja viimeistely Lettavs ja merkintätavat Tiina Airaksinen Kappaleiden jäsentäminen Kappale = asiakokonaiss Testi: Pystytkö keksimään otsikon? Ei yhden virkkeen / yhden sivn

Lisätiedot

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t,

AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, AUTON LIIKETEHTÄVIÄ: KESKIKIIHTYVYYS ak JA HETKELLINEN KIIHTYVYYS a(t) (tangenttitulkinta) sekä matka fysikaalisena pinta-alana (t, v)-koordinaatistossa ruutumenetelmällä. Tehtävä 4 (~YO-K97-1). Tekniikan

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Yhteistyötä teatterista & Taiteesta tuotteeksi -hankkeet

Yhteistyötä teatterista & Taiteesta tuotteeksi -hankkeet Yhteistyötä teatterista & Taiteesta totteeksi -hankkeet Iisalmi, Keitele, Kirvesi, Lapinlahti, Pielavesi, Sonkajärvi ja Vieremä 10.8.2015 10.03.2016 Sisällys Johdanto... 3 Yhdistystoiminta ja osallistminen...

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

TOIMEKSIANTOSOPIMUS. 1. Sopijapuolet. 2. Yhteyshenkilöt. 3. Sopimuksen tausta ja tavoitteet. Osoite: Kasurilantie 1, PL 5, 71801, Siilinjärvi

TOIMEKSIANTOSOPIMUS. 1. Sopijapuolet. 2. Yhteyshenkilöt. 3. Sopimuksen tausta ja tavoitteet. Osoite: Kasurilantie 1, PL 5, 71801, Siilinjärvi TOIMEKSIANTOSOPIMUS 1. Sopijapolet Toimeksiantaja: Siilinjärven knta (Jäljempänä Asiakas ) Osoite: Kasrilantie 1, PL 5, 71801, Siilinjärvi Y-tnns: 0172718-0 Toimeksiannon saaja: Vaktsmeklari Novm Oy (Jäljempänä

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 08: Tasoristikon sauvaelementti, osa 1.

ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 08: Tasoristikon sauvaelementti, osa 1. 8/ ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO 8: asoristikon savaelementti, osa. LEISÄ Ristikkorakenne koost vain vetoa ja priststa kestävistä savoista. Savat liittvät rakenteen tkipisteisiin ja toisiinsa kitkattomilla

Lisätiedot

VOIMANSIIRRON PERUSTEET

VOIMANSIIRRON PERUSTEET 3 Opiskelijalle ja opettajalle Oppikirjan rakenne Autotekniikka 6 Voimansiirto -oppikirja on yhdistelmä aikaisemmista kirjoista Auto- ja kuljetusalan perusoppi 5 ja erikoistumisoppi 6. Kirjaan on lisätty

Lisätiedot

MIC400 PTZ -kamera, ruostumatonta terästä

MIC400 PTZ -kamera, ruostumatonta terästä Video MIC400 PTZ -kamera, rostmatonta terästä MIC400 PTZ -kamera, rostmatonta terästä www.boschsecrity.fi Lokan 316 rostmaton teräsrakenne Alan johtava IP68-lokits Useita kiinnitys- ja käyttövaihtoehtoja

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

Maanjäristyksen kestävien kytkentäkotelotelineiden suunnittelu

Maanjäristyksen kestävien kytkentäkotelotelineiden suunnittelu Lari Nosiainen Maanjäristyksen kestävien kytkentäkotelotelineiden snnittel Metropolia Ammattikorkeakol Insinööri (AMK) Kone- ja totantotekniikka Insinöörityö 3.4.14 Tiivistelmä Tekijä Otsikko Sivmäärä

Lisätiedot

Seppo I. Niemelä: Mikrobiologian kvantatiivisten

Seppo I. Niemelä: Mikrobiologian kvantatiivisten Jlkais J1/001 MITTATEKNIIKAN KESKUS Jlkais J1/001 MIKROBIOLOGIAN KVANTITATIIVISTEN VILJELYMÄÄRITYSTEN MITTAUSEPÄVARMUUS Seppo I. Niemelä KEMIAN JAOSTO Mikrobiologian työryhmä Helsinki 001 ALKUSANAT Mikrobiologisten

Lisätiedot

Harjoitus 7 -- Ratkaisut

Harjoitus 7 -- Ratkaisut Harjoitus 7 -- Ratkaisut 1 Solve osaa ratkaista polynomiyhtälöitä, ainakin astelukuun 4 asti. Erikoistapauksissa korkeammankin asteen yhtälöt ratkeavat. Clear a, b, c, d, e, x ; Solve a x 3 b x 2 c 0,

Lisätiedot

VDC 485-sarjan FlexiDome XF - domekamerat

VDC 485-sarjan FlexiDome XF - domekamerat Video VDC 485-sarjan FlexiDome XF -domekamerat VDC 485-sarjan FlexiDome XF - domekamerat www.boschsecrity.fi Isknkestävä, vandaalisojatt, säänkestävä kotelo NightSense hämäriin valaistsoloshteisiin 15-bittinen

Lisätiedot

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi

Fysiikan perusteet. Liikkeet. Antti Haarto 22.05.2012. www.turkuamk.fi Fysiikan perusteet Liikkeet Antti Haarto.5.1 Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema)

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu S-55.00 SÄHKÖTKNIIKKA JA KTONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakol Kimmo Silvonen Tentti 30.5.03: tehtävät,3,4,6,0.. välikoe: tehtävät,,3,4,5.. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0. Saat vastata vain

Lisätiedot

ISC PDL1 WA18x Professional-sarjan TriTech+-tunnistimet, joissa peittämisen tunnistus

ISC PDL1 WA18x Professional-sarjan TriTech+-tunnistimet, joissa peittämisen tunnistus Rikosilmoitinjärjestelmät ISC PDL WA8x Professional-sarjan TriTech+-tnnistimet, joissa peittämisen ISC PDL WA8x Professional-sarjan TriTech+-tnnistimet, joissa peittämisen www.boschsecrity.fi Vakiopeittoale

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

MIC440, räjähdyssuojattu PTZ-kamera

MIC440, räjähdyssuojattu PTZ-kamera Video MIC440, räjähdyssojatt PTZ-kamera MIC440, räjähdyssojatt PTZ-kamera www.boschsecrity.fi Kaksoisspektriyksikkö, joka on ATEX-direktiivin 94/9/EY Exd IIC T6 mkainen CSA- ja Inmetro-sertifiointi Johtava

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE

SMG-4500 Tuulivoima. Neljännen luennon aihepiirit. Tuulivoimalan rakenne. Tuuliturbiinin toiminta TUULIVOIMALAN RAKENNE SMG-4500 Tuulivoima Neljännen luennon aihepiirit Tuulivoimalan rakenne Tuuliturbiinin toiminta Turbiinin teho Nostovoima ja vastusvoima Suhteellinen tuuli Pintasuhde Turbiinin tehonsäätö 1 TUULIVOIMALAN

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima. Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)

Lisätiedot

Suhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää

Suhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää 3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Tämän vuosituhannen keskuspölynimuri on puhtaasti suomalainen!

Tämän vuosituhannen keskuspölynimuri on puhtaasti suomalainen! Tämän vosithannen keskspölynimri on phtaasti somalainen! 5 kesksyksiköille! voden tak Kotimainen avainlipptote Utta teknologiaa Tyylikästä motoila Tehokktta Hiljainen käytössä Kestävä Trvallinen Pzer Moderni,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Tukilaitteet

Tukilaitteet Tukilaitteet Tukemattomalla kappaleella on tasossa 3 liikemahdollisuutta, vapausastetta. Kun halutaan, että kappale on tasapainossa, on nämä liikemahdollisuudet poistettava kättämällä tukilaitteita. Tuet

Lisätiedot

Karting-auton ajo-ominaisuudet

Karting-auton ajo-ominaisuudet Karting-auton ajo-ominaisuudet Karting-auton hyvät ajo-ominaisuudet voidaan listata esim. seuraavasti: se saavuttaa suuria sivuttaiskiihtyvyyksiä se on helppo ajaa se käyttäytyy kuljettajan mieleisesti

Lisätiedot

Σ on numeroituvasti ääretön. Todistus. Muodostetaan bijektio f : N Σ seuraavasti. Olkoon

Σ on numeroituvasti ääretön. Todistus. Muodostetaan bijektio f : N Σ seuraavasti. Olkoon 17 Nmeroitat ja linmeroitat jokot Määritelmä 110 Jokko X on nmeroitasti ääretön, jos on olemassa bijektio f : N X Jokko on nmeroita, jos se on äärellinen tai nmeroitasti ääretön Jokko, joka ei ole nmeroita

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

Optioiden hinnoittelu binomihilassa

Optioiden hinnoittelu binomihilassa Mat-2.3114 Investointiteoria Optioien hinnoittel binomihilassa 26.3.2015 Yksiperioiset optiot 1/3 Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa siten, että perioin päättyessä sen arvo on S toennäköisyyellä p tai

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Mittausepävarmuuden arviointi mikrobiologisissa viljelymenetelmissä. 1. Tilastollisesti riippumattomien epävarmuuskomponenttien yhdistäminen

Mittausepävarmuuden arviointi mikrobiologisissa viljelymenetelmissä. 1. Tilastollisesti riippumattomien epävarmuuskomponenttien yhdistäminen 1 Seppo Niemelä, 12.11.2001 Mittasepävarmden arviointi mikrobiologisissa viljelymenetelmissä 1. Tilastollisesti riippmattomien epävarmskomponenttien yhdistäminen Olkoon mitatt kahden riippmattoman lähtösreen

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot