Pseudodifferentiaalioperaattorit ja tarkka Gårdingin epäyhtälö

Helsingin yliopisto Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Matematiikan ja tilastotieteen osasto Pro gradu -tutkielma Pseudodifferentiaalioperaattorit ja tarkka Gårdingin epäyhtälö Kirjoittaja: Janne Siipola Ohjaajat: Akatemiaprofessori Matti Lassas Yliopistonlehtori Petri Ola 11. huhtikuuta 019

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI TiedekuntaOsasto FakultetSektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Janne Siipola Työn nimi Arbetets titel Title Matematiikan ja tilastotieteen osasto Pseudodifferentiaalioperaattorit ja tarkka Gårdingin epäyhtälö Oppiaine Läroämne Subject Soveltava matematiikka Työn laji Arbetets art Level Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages Pro gradu -tutkielma Huhtikuu 019 89 s. Tiivistelmä Referat Abstract Työssä on kaksi keskeistä teemaa: esitellä pseudodifferentiaalioperaattoreiden teoriaa ja todistaa tarkka Gårdingin epäyhtälö. Työhön on valittu erityisesti sellaisia pseudodifferentiaalioperaattoreihin liittyviä tuloksia, jotka tukevat tarkan Gårdingin epäyhtälön todistamista. Luvussa kaksi määritellään symboli ja esitetään kuinka symboli määrää pseudodifferentiaalioperaattorin. Lisäksi luvussa tarkastellaan pseudodifferentiaalioperaattoreiden ja lineaaristen osittaisdifferentiaalioperaattoreiden välistä yhteyttä. Luvun lopussa esitellään tulos, jonka mukaan pseudodifferentiaalioperaattori kuvaa Schwartz-avaruuden itselleen. Luku kolme aloitetaan määrittelemällä asymptoottinen kehitelmä. Luvussa osoitetaan teorian kaksi perustulosta: kahden pseudodifferentiaalioperaattorin tulo ja pseudodifferentiaalioperaattorin adjungaatti ovat pseudodifferentiaalioperaattoreita. Näihin kahteen perustulokseen sisältyy myöskin tieto siitä, mihin symboliluokkaan tulo-operaattorin ja adjungaatin symboli kuuluvat ja niiden symboleille esitetään asymptoottiset kehitelmät. Luvussa neljä esitellään ja todistetaan Gårdingin epäyhtälö ja tarkka Gårdingin epäyhtälö. Luvussa laajennetaan tietoja pseudodifferentiaalioperaattoreista siinä määrin kuin on välttämätöntä Gårdingin epäyhtälöiden todistamiseksi. Yksi merkittävä pseudodifferentiaalioperaattoreihin liittyvä tulos, joka todistetaan luvussa 4, sanoo, että luokan S 0 pseudodifferentiaalioperaattori kuvaan L -avaruuden itselleen. Tästä syystä luvun ensimmäinen kappale on nimetty L -teoriaksi. Luvussa sivutaan myös Sobolev-avaruuksien teoriaa, sillä se on kytköksissä Gårdingin epäyhtälöihin. Viidennessä luvussa tarkastellaan evoluutioyhtälöä. Päämääränä on antaa esimerkki tarkan Gårdingin epäyhtälön soveltamisesta. Tämä esimerkki on tulos, jonka mukaan kyseisen evoluutioyhtälön ratkaisulle on olemassa aikaestimaatti. Tarkastelun kohteena oleva evoluutioyhtälö määritellään pseudodifferentiaalioperaattorin avulla. Avainsanat Nyckelord Keywords Fourier-analyysi, distribuutioteoria, pseudodifferentiaalioperaattorit Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited Kumpulan tiedekirjasto, Hämäläis-Osakunnan kirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information

Sisältö 1 Johdanto Pseudodifferentiaalioperaattorit 5.1 Symboliluokat.................................. 5 3 Asymptoottiset kehitelmät 13 3.1 Kahden pseudodifferentiaalioperaattorin tulo................. 13 3. Adjungaatti................................... 6 4 L -teoria ja tarkka Gårdingin epäyhtälö 41 4.1 L -teoria..................................... 41 4. Gårdingin epäyhtälö.............................. 5 4.3 Tarkka Gårdingin epäyhtälö.......................... 55 5 Evoluutioyhtälö 8 A Käytetyt merkinnät 87 Kirjallisuutta 88

Luku 1 Johdanto Matematiikka kehittyi valtaisasti 1900 luvulla. Kun Henri Lebesque esitteli maailmalle vuosisadan alussa vuonna 190 väitöskirjansa nimellä Intégrale, longueur, aire oli matematiikka astumassa uuteen kauteen. Kahdella edellisellä vuosisadalla oli matemaattinen analyysi kehittynyt erottamattomana osana fysiikkaa. Tästä hyvänä esimerkkinä toimii Jean-Baptiste Joseph Fourierin kehittämä ja nimeä kantama Fourier n muunnos. Joseph Fourier, joka syntyi 1768 ja kuoli 1830, kiinnostui lämmöstä osallistuttuaan Napoleonin Egyptin sotaretkelle 1798. Lämpöä tutkiessaan Fourier törmäsi osittaisdifferentiaaliyhtälöihin ja hänen onnistui kehittää nerokas keino ratkaista näitä yhtälöitä. Tuon menetelmän nimi on Fourier n muunnos. Menetelmän nerokkuus on siinä, että hankalasti ymmärrettävä differentiaaliyhtälö voidaan muunnoksen avulla muuttaa polynomiyhtälöksi, jonka ratkaiseminen voi olla helpompaa. Fourierin tapa ratkaista osittaisdifferentiaaliyhtälöitä ei kuitenkaan herättänyt luottamusta kaikissa sen ajan matemaatikoissa. Ongelmana oli se, että vaikka muunnos näytti toimivan hyvin, niin sillä ei ollut pitävää teoreettista pohjaa. Vakaa teoreettinen perusta Fourier-muunnoksen teorialle kehittyi Lebesquen mitta- ja integrointiteorian tarjoamasta suunnasta. Paitsi Fourier, myös muut matemaatikot olivat kehitelleet ennen 1900-lukua differentiaaliyhtälöiden ratkaisutapoja, jotka perustuivat integroimiseen. 1900-luvulla tämä kehityspolku johti distribuutioteorian syntymiseen. Distribuutioteorian avulla osittaisdifferentiaaliyhtälöihin voidaan etsiä ratkaisuja sellaisten funktioiden joukosta, jotka eivät ole derivoituvia tai edes jatkuvia. Tarkkaan ottaen tälläiset ratkaisut eivät ole funktioita vaan niitä kutsutaan yleistetyiksi funktioiksi siis distribuutioiksi. Ideana on, että alkuperäisen yhtälön sijaan ratkaisua etsitään integroimalla yhtälöä testifunktioita vasten. Näin derivointi siirtyy testifunktioille, jotka ovat sileitä ja käyttäytyvät siten hyvin derivoinnin suhteen. Teorian avulla löydettyjä ratkaisuja kutsutaan heikoiksi ratkaisuiksi erotuksena niin sanotuista klassisista ratkaisuista. Distribuutioteo-

rian kannalta merkittäviä tutkijoita olivat ainakin Sergei Lvovich Sobolev ja Laurent Schwartz. Tästä osoituksena, heidän nimensä esiintyy tämänkin pro-gradu työn tekstissä Sobolev-avaruuden ja Schwartz-avaruuden nimissä. Tämän pro-gradu työn kantavana teemana toimii pseudodifferentiaalioperaattorit. Ne aloittavat luvun ja ovat mukana työn loppuun saakka. Pseudodifferentiaalioperaattoreiden teoria alkoi kehittyä 1950-luvulta eteenpäin ja se liittyy edellä mainittuihin Fouriermuunnoksen ja distribuutioteorian käsitteisiin. Fourier-muunnoksen avulla voidaan käsitellä lineaarista osittaisdifferentiaali seuraavalla tavalla. Ajatellaan differentiaaliyhtälöä P Dux = fx, jossa lineaarinen differentiaalioperaattori P D = α a αd α operoi formaalisti funktioon ux ja tuloksena on funktio fx. Kun tästä yhtälössä otetaan Fourier n muunnos niin päädytään tilanteeseen, jossa differentiaalioperaattorin osittaisderivaatat muuttuvat Fourier n kertoimiksi, siis P ξûξ = fξ. Jakamalla polynomi P ξ yhtälön toiselle puolelle saadaan ûξ = 1/ P ξ fξ ja ottamalla käänteinen Fourier-muunnos päädytään tilanteeseen, jossa olemme löytäneet ratkaisun alkuperäiselle differentiaaliyhtälölle, nimittäin 1.1 ux = e ix ξ 1/ P ξ fξdξ. Kun P D on lineaarinen osittaisdifferentiaalioperaattori, niin P ξ on polynomi. Luonnollisesti edellä olleessa päättelyssä on pidettävä huoli siitä, että f:n ja u:n Fouriermuunnokset ovat mielekkäitä. Toinen tärkeä kysymys on symbolin P ξ mahdolliset nollakohdat. Mutta mikäpä estäisi ajattelematta asiaa niin, että P ξ olisikin jotain muuta kuin polynomi? Juuri tästä on kyse pseudodifferentiaalioperaattoreissa. Seuraavassa luvussa määritellään minkälainen symbolin 1 tulee olla, jotta kaavassa 1.1 olisi pseudodifferentiaalioperaattori. Samassa luvussa luonnollisesti määritellään tarkasti pseudodifferen- P ξ tiaalioperaattori ja käydään läpi muutama esimerkki. Luvussa kolme osoitetaan, että kahden pseudodifferentiaalioperaattorin tulo ja pseudodifferentiaalioperaattorin adjungaatti ovat pseudodifferentiaalioperaattoreita. Lisäksi pseudodifferentiaalioperaattoreiden tulolle ja adjungaatille esitetään ja todistetaan tärkeät tulokset, joiden mukaan niiden symbolit voidaan esittää tietynlaisina asymptoottisina kehitelminä. Neljännen luvun päätuloksia ovat Gårdingin epäyhtälö ja tarkka Gårdingin epäyhtälö, jotka ovat tärkeitä tuloksia ainakin teoreettisissa fysiikassa. Tässä luvussa laajennetaan tietoja pseudodifferentiaalioperaattoreista ja esitetään lukuisia tuloksia niihin liittyen. Luvussa esitettävät tulokset on valittu siten, että ne tukevat Gårdingin epäyhtälöiden todistamista. Yksi merkittävä pseudodifferentiaalioperaattoreihin liittyvä tulos, joka todistetaan luvussa 4, sanoo, että tietynlainen pseudodifferentiaalioperaattori kuvaan L 3

funktiot L funktioiksi. Tästä syystä luvun ensimmäinen kappale on nimetty L -teoriaksi. Luvussa keskustellaan myös Sobolev-avaruuksista. Viidennessä luvussa tarkastellaan evoluutioyhtälöä. Tarkastelun kohteena oleva evoluutioyhtälö määritellään pseudodifferentiaalioperaattorin avulla. Luvussa esitetään tulos, jonka mukaan evoluutioyhtälön ratkaisulle on olemassa aikaestimaatti. Aikaestimaatin määrittämisessä sovelletaan tarkkaa Gårding epäyhtälöä. Mikäli lukija on etsii hyvää kirjaa, jonka avulla voisi tutustua edellä mainittuihin matematiikan käsitteisiin, niin kannattaa tutustua Robert Strichartzin kirjoittamaan kirjaan "A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms" [0]. Kirja sisältää myös lyhyen kappalleen pseudodifferentiaalioperaattoreista. Kirja sopii oikein hyvin henkilölle, jolla on kandidaatin tason tiedot matemaattisesta analyysistä. Kirjassa ei anneta täsmällisiä todistuksia esitetyille tuloksille vaan keskittyy motivoimaan ja luomaan kuvaa siitä miten ja miksi nämä asiat nivoutuvat yhteen. 4

Luku Pseudodifferentiaalioperaattorit Johdantoluvussa tarkasteltiin jo hieman sitä miten pseudodifferentiaalioperaattori määritellään. Tässä luvussa esitellään pseudodifferentiaalioperaattorin määritelmä siten kuin se on esitetty M.W. Wongin kirjassa An Introduction to pseudo-differential operators [7]. Tämä ja seuraava luku pohjautuvat tähän kirjaan. Mikäli lukija haluaa perusteellisen katsauksen pseudodifferentiaalioperaattoreista, niin kannattaa aloittaa esimerkiksi tästä M.W. Wongin kirjasta. Sen jälkeen voi kenties jatkaa Francois Trevesin kirjalla Introduction to Pseudodifferential and Fourier Integral Operators [3] tai Gerd Grubbin kirjalla Distributions and Operators [6]..1 Symboliluokat Pseudodifferentiaalioperaattori on läheistä sukua lineaariselle differentiaalioperaattorille, kuten nimestäkin voinee päätellä. Tarkastellaan seuraavaksi operaattoreiden yhteyttä tarkemmin. Olkoon px, D lineaarinen differentiaalioperaattori ja olkoon ux Schwartzin funktio, eli funktio jonka kaikki derivaatat ovat sileitä funktioita ja jonka kaikki derivaatat suppenevat nollaan, kun x, nopeammin kuin mikään muuttujasta x muodostettu 1 rationaalifunktio, missä Rx on polynomi. Toisinaan tästä funktioluokasta käytetään nimitystä nopeasti vähenevät funktiot. Schwartz-avaruutta merkitsemme symbolilla Rx S. Operaattorilla px, D on luonnollisesti seuraavanlainen esitys.1 px, Du x = a α x D α u x, α m missä α on multi-indeksi ja D on hieman muokattu versio tavanomaisesta osittaisderivaatasta eli D = i. Kertoimista a α x oletetaan että a α x C ja että kaikkien kertaluokkien osittaisderivaatat ovat rajoitettuja. Multi-indeksinotaatiosta voi ottaa selvää 5

esimerkiksi Evansin kirjan [] liitteestä tai Wongin kirjan [7] alkuosiosta. Operaattori koostuu siis multi-indeksin mukaisesta osittaisderivoinnista ja kertomisesta kertoimella a α x, joka ei ole vakio vaan riippuu muuttujasta x. Mielenkiintoinen seikka on, että tälle operaattorille voidaan antaa toisenlainen esitys Fourier n muunnoksen avulla. Katsotaan seuraavaa päättelyketjua px, Du x = a α x D α u x α m = α m = α m = α m = π n/ a α xf 1 F D α u x a α xf 1 ξ α û x a α xπ n/ e ix ξ ξ α ûξdξ e ix ξ α m a α xξ α ûξdξ. Yllä olevassa päättelyssä F ilmaisee Fourier n muunnosta, F 1 käänteis-fourier n muunnosta ja ξ on Fourier-avaruuden muuttuja. Määritellään että. px, ξ := a α xξ α. Tällöin saadaan.3 α m px, Du x = π n/ e ix ξ px, ξûξdξ. Mikäli lukija on kiinnostunut saamaan lisätietoa Fourier-muunnoksesta, niin lähteiden [7], [19] ja [18] tarkastelemisesta voi olla hyötyä. Tämä päättelyketju antaa sen tuloksen, että lineaarisella differentiaalioperaattorilla on toinenkin esitystapa. Nimittäin.4 px, Du x = π n/ e ix ξ px, ξûξdξ, missä funktiota px, ξ kutsutaan operaattorin symboliksi. Tässä tapauksessa symboli on polynomi ξ muuttujan suhteen, mikä on seurausta Fourier-muunnoksen ominaisuuksista. Jos muuttujan x suhteen muuttuvat kertoimetkin, siis a α x, ovat polynomeja, niin symboli px, ξ on polynomi. Olennaista on symbolin käytös muuttujan ξ suhteen. 6

Nimittäin, se mikä tekee pseudodifferentiaalioperaattorin eron lineaariseen differentiaalioperaattoriin nähden on se, että kaavassa.4 luovutaan symbolin px, ξ polynomiehdosta. Jos px, ξ on ylipäätään jokin funktio, joka ei ole polynomi, niin kaavassa.4 on edelleen mielekäs määritelmä operaattorille. Mutta mikäli symboli ei ole polynomi, niin päättelyketjussa ei voida enää kulkea taaksepäin ja esittää tätä uutta operaattoria kaavan.1 avulla. Tälläinen yhteys on pseudodifferentiaalioperaattorin ja lineaarisen differentiaalioperaattorin välillä. Kun luovutaan vaatimuksesta että symboli on polynomi, hyväksytäänkö nyt symboliksi mitä tahansa funktioita? Ei varsinaisesti. Edelleen vaaditaan, että symboli on sileä funktio. Lisäksi symboleita luokitellaan sen mukaan miten nopeasti niiden osittaisderivaatat kasvavat. Pseudodifferentiaalioperaattorin symbolin määritelmä on seuraava: Määritelmä.1.1 Symboli. Olkoon m R. Symboliluokka S m sisältää kaikki sellaiset funktiot px, ξ C joilla on olemassa vakio C α,β kaikilla multi-indekseillä α ja β siten, että.5 Dx α D β ξ p x, ξ Cα,β 1 + ξ m β, x, ξ. Funktiota px, ξ S m kutsutaan symboliksi. Tässä gradussa symboliluokan notaatio saattaa vaihdella ja ainakin seuraavia vaihtoehtoisia merkitätapoja saattaa esiintyä: S1,0, m S1,0R m n,. Otetaan jatkossa huomioon seuraava merkintätapa. Notaatio.1.. Symbolin p S m osittaisderivaattaa voidaan merkitä seuraavasti:.6 x β ξ α px, ξ = p α βx, ξ. Symboliluokan vaihtoehtoiset merkintätavat kumpuavat siitä tosiasiasta, että on olemassa useita tapoja määritellä symboliluokka. Yksi mahdollinen tapa määritellä symboliluokka on peräisin Lars Hörmanderilta. Hän muokkasi luokkaa määrittävän ehdon.5 seuraavaksi,.7 Dx α D β ξ p x, ξ Cα,β 1 + ξ m+δ α ρ β, x, ξ, missä 0 δ < ρ 1. Hörmander merkitsi tälläisen ehdon toteuttavaa symboliluokkaa tunnuksella Sρ,δ m. Esimerkiksi Hitoshi Kumano-gon kirjassa Pseudo-Differential Operators [13] käytetään alusta lähtien tälläistä tapaa määritellä symboliluokat. Tästä vaihtoehdosta juontaa juurensa määritelmässä.1.1 esiintyvät merkintätavat, kun valitaan ρ = 1 ja δ = 0. Olennainen ero näiden kahden määrittelytavan välillä on se, että ensimmäinen ei ota lainkaan huomioon x muuttujan osittaisderivointia. Tässä huomautuksesta huolimatta 7

tässä pro-gradu työssä rajoitutaan tarkastelemaan ainoastaan määritelmän.1.1 mukaisia symboliluokkia. Nyt kun symbolin määritelmä on selvä, niin voidaan määritellä pseudodifferentiaalioperaattori. Määritelmä.1.3 Pseudodifferentiaalioperaattori. Olkoon p symboli ja olkoon ϕ S. Tällöin symboliin px, ξ liittyvä pseudodifferentiaalioperaattori T p on.8 Tp ϕ x = π n/ e ix ξ px, ξ ϕξdξ. Pseudodiffentiaalioperaattorin määritelmässä.1.3 integraali.8 suppenee, sillä symboli px, ξ kasvaa korkeintaan polynomiaalista vauhtia muuttujan ξ suhteen ja Schwartzin funktio ϕ suppenee nollaan äärettömyydessä nopeampaa vauhtia kuin mikään polynomi kasvaa äärettömyydessä. Annetaan pseudodifferentiaalioperaattorin merkintään liittyvä huomautus. Huomautus.9 Pseudodifferentiaalioperaattorin merkinnästä. Määritelmässä.1.3 annettua pseudodifferentiaalioperaattoria T p merkitään tässä gradussa myös seuraavilla tavoilla, px, D ja px, D. Näissä merkitätavoissa on ehkä se etu, ettei niissä sotketa mukaan kirjainta T, vaan operaattoria merkitään sitä vastaavan symbolin kirjaintunnuksella. Symboli ja operaattori erotetaan toisistaan muuttamalla symbolin muuttuja ξ kirjaimeksi D ja joskus lisäksi muutetaan symbolin muuttuja x isoksi kirjaimeksi X. Tässä merkintätavassa on kuitenkin se haittapuoli, ettei operaattoria ja sen määrittävää symbolia ole ehkä niin helppoa erottaa toisistaan. Annetaan vielä toinenkin huomautus liittyen pseudodifferentiaalioperaattorin määritelmään. Huomautus.10 Operaattoriluokka. Tässä gradussa saatetaan joskus mainita operaattoriin liittyvä operaattoriluokka. Symboliluokka määrää vastaavan operaattoriluokan. Täsmällisesti määriteltynä operaattoriluokka määritellään seuraavasti: Määritelmä.1.4 Pseudodifferentiaalioperaattorin luokka. Pseudodifferentiaalioperaattori T p kuuluu pseudodifferentiaalioperaattoreiden luokkaan S m, mikäli sen symboli px, ξ kuuluu symboliluokkaan S m. Tarkastellaan seuraavaksi muutamaa esimerkkiä liittyen symbolin ja pseudodifferentiaalioperaattorin määritelmiin. Aloitetaan jo esillä olleella lineaarisella differentiaalioperaattorilla. Esimerkissä näytetään, että ne kuuluvat pseudodifferentiaalioperaattoreihin. Esimerkki.11. Olkoon px, D = α m a αxd α lineaarinen osittaisdifferentiaalioperaattori avaruudessa. Jos kaikki kertoimet a α x ovat sileitä eli C -funktioita ja kertoimien kaikkien kertaluokkien derivaatat ovat rajoitettuja :ssä, niin tällöin px, ξ = 8

α m a αxξ α kuuluu symboliluokkaan S m ja näin ollen px, D on pseudodifferentiaalioperaattori. Todistus. Olkoot γ ja δ multi-indeksejä. Tällöin.1 DxD γ ξp δ x, ξ C α,γ ξξ δ α D γ a α x. Edellisessä kaavassa olevalle deri- kaikilla x, ξ, missä C α,γ = sup x vaatalle voidaan osoittaa että.13 δ ξξ α = kaikilla ξ. Näin ollen saadaan DxD γ ξp δ x, ξ α m α m { δ! α δ ξ α δ, δ α, 0, muutoin, α C α,γ δ! δ ξ α δ C α,γ1 + ξ m δ kaikilla x, ξ. Symboli px, ξ toteuttaa siten määritelmän.1.1 ehdon ja operaattori on luokan S m pseudodifferentiaalioperaattori. Esimerkki osoittaa, että lineaarisen osittaisdifferentiaalioperaattorin kertaluokka määrittää mihin pseudodifferentiaaliluokkaan operaattori kuuluu, kun se tulkitaan pseudodifferentiaalioperaattorina. Toisessa esimerkissä osoitetaan, että seuraavaksi määriteltävä funktio on symboli. Tämä symboli tulee vielä uudestaan esille luvussa 4, joten myös siksi on hyvä nostaa se esille tässä vaiheessa. Määritelmä.1.5. Määritellään kaikilla ξ ja m R että.14 ξ m = 1 + ξ m/. Näytetään esimerkki koskien määritelmän.1.5 funktiota. Esimerkki.15. Funktiolle ξ m pätee ξ S m, eli ξ m on symboli. Olkoon α N d multi-indeksi. Voidaan osoittaa induktiolla, että funktion ξ m osittaisderivaatta saadaan äärellisenä summana, joka on muotoa: α ξ ξ m = k,k P k ξ1 + ξ m/ k. 9

Funktio P k ξ on korkeintaan astetta k oleva polynomi termeistä ξ j, missä j = 1,, n. Luvuille k ja k pätee: k k 0, k k α ja α k α. Tällöin saadaan α ξ ξ m k,k C k 1 + ξ k 1 + ξ m/ k k,k C1 + ξ m α. C k 1 + ξ m k k Näin ollen ξ m todellakin on luokan S m symboli. Lisäksi voidaan huomata, että tämän symbolin määräämällä pseudodifferentiaalioperaattorilla on olemassa vastine tavanomaisena differentiaalioperaattorina, mikäli m on parillinen ja positiivinen kokonaisluku. Tällöin T ξ m = I m/, missä I on ns. identiteettioperaattori ja = n j=1 on Laplace-operaattori. Symbolista ξ m ja sen määräämästä pseudodifferentiaalioperaattorista keskustellaan lisää kappaleessa x j 4.1. Fourier-muunnokselle on olemassa tulos, jonka mukaan nopeasti vähenevän funktion Fourier-muunnos on edelleen nopeasti vähenevä funktio. Tämä on todistettu esimerkiksi M.W. Wongin kirjassa [7]. Todistetaan vastaava tulos pseudodifferentiaalioperaattoreille. Lause.1.6. Olkoon px, ξ symboli. Pseudodifferentiaalioperaattorille px, D pätee.16 px, D : S S. Todistus. Väite on totta, jos voidaan osoittaa, että px, Du x C, ja että kaikilla multi-indekseillä α ja β pätee x.17 sup α β px, Du x <. x Olkoon u S. Muistetaan, että kun u S, niin myös û S. Pseudodifferentiaalioperaattorin määritelmän mukaan px, Du x := π n/ e ix ξ px, ξûξdξ. Koska px, ξ on symboli, niin p S m 1,0 jollakin m R ja tiedämme että.18 β x α ξ px, ξ C1 + ξ m α. Osoitetaan ensin että px, Du C. Tämän osoittamiseksi on näytettävä, että β x px, Du x on olemassa ja on jatkuva millä tahansa multi-indeksin β arvolla. Olkoon siis β mielivaltainen multi-indeksi ja osittaisderivoidaan funktiota px, Du x sen 10

mukaisesti. Tiedetään että e ix ξ, px, ξ C ja että ûξ S, jolloin voidaan käyttää dominoidun konvergenssin lausetta [9] tilanteessa x β px, Dux = 1 π n β x e ix ξ px, ξ ûξdξ. Dominoidun konvergenssin lauseen perusteella tiedetään, että x β e ix ξ px, ξ ûξ on integroituva ja 1 π n β x e ix ξ px, ξ ûξdξ = 1 R π n n x β e ix ξ px, ξ ûξdξ. Olkoon x 0 x < δ, missä δ > 0 on pieni luku. Käytetään hyväksi tietoa, että x β e ix ξ px, ξ C. Voidaan päätellä, että on olemassa vakio C > 0 siten, että β x px, Dux 0 x β px, Dux = x β e ix ξ px, ξ ûξdξ x β e ix 0 ξ px 0, ξ ûξdξ x β e ix ξ px, ξ x β e ix 0 ξ px 0, ξ ûξ dξ C x x 0 ûξ dξ C x x 0. Tämä todistaa, että x β px, Du x on jatkuva funktio. Koska β on mielivaltainen multiindeksi, niin voidaan edelleen päätellä, että px, Dux C. Näin ollen ensimmäinen ehto Schwartz-avaruuteen kuulumisesta täyttyy. Siirrytään eteenpäin tarkastelemaan ehtoa.17. Osittaisintegroinnin ja Leibnitzin kaavan nojalla saadaan x α D β px, Dux = x α π n/ Dx β e ix ξ px, ξ ûξdξ β = x α π n/ γ γ β β = π n/ γ γ β ξ γ e ix ξ Dx β γ px, ξ ûξdξ ξ γ Dξ α e ix ξ Dx β γ px, ξ ûξdξ 11

.19 = π n/ 1 α γ β δ α β γ α δ e ix ξ D α δ ξ Dx β γ px, ξ D δ ξ ξγûξ dξ. Yllä olevassa päättelyssä voidaan soveltaa osittaisintegrointia, koska ûξ on Schwartzin funktio. Käyttämällä tietoa px, ξ S m saadaan estimaatti sup x α D β px, Dux x sup π n/ x γ β π n/ γ β δ α β α γ δ δ α R n β α γ δ D α δ ξ 1 + ξ m α + δ Dx β γ px, ξ D δ ξγûξ ξ dξ D δ ξ ξγûξ dξ. Yllä oleva integraali suppenee, koska ûξ on Schwartzin funktio. Näin ollen saadaan.0 sup x x α D β px, Dux <. On olemassa myös toinen tapa määritellä pseudodifferentiaalioperaattori. Tämä toinen määrittely juontaa juurensa Hermann Weylin vuonna 1931 julkaisemaan kirjaan Gruppentheorie und Quantenmechanik [6] ja siitä käynnistyneeseen tutkimukseen. Hörmander esitteli keväällä 1979 artikkelissaan [1] operaattorikalkyylin, jota kutsui pseudodifferentiaalioperaattoreiden Weyl-kalkyyliksi. Weyl-kalkyyliin voi tutustua esimerkiksi perehtymällä Gerald B. Follandin kirjaan [4]. Tässä pro-gradu työssä ei kuitenkaan tulla käsittelemään Weyl-kalkyyliä. Nimekkäimmät tutkijat pseudodifferentiaalioperaattoreiden parissa olivat Kohn ja Nirenberg New York sekä Hörmander Lund. Lisäksi täytyy mainita Mihlin, Calderon ja Zygmund, jotka olivat ensimmäisten joukossa tutkimassa singulaarisia integraalioperaattoreita. 1

Luku 3 Asymptoottiset kehitelmät 3.1 Kahden pseudodifferentiaalioperaattorin tulo Kappaleessa 3.1 todistetaan, että kahden pseudodifferentiaalioperaattorin tulo on pseudodifferentiaalioperaattori ja todistetaan tähän tulo-operaattoriin liittyvä asymptoottinen kehitelmä. Luku 3 perustuu M.W. Wongin kirjaan [7] ja tässä esitetyt lauseet löytää todistuksineen myös sieltä. Asymptoottinen kehitelmä on melko abstrakti käsite. Erityisen abstraktin siitä tekee se, että kehitelmä määritellään summana, joka ei välttämättä suppene missään pisteessä. Suppenemisella ei kuitenkaan ole väliä. Olennaista on, että summan osasummien ja "jäännöstermin"on kuuluttava tiettyyn symboliluokkaan. Kehitelmän auttaa pseudodifferentiaalioperaattoreihin liittyvää laskentaa, kuten luvuissa 4 ja 5 tullaan näkemään, joten määritelmä on ainakin hyödyllinen. Aloitetaan luku määrittelemällä asymptoottinen kehitelmä. Määritelmä 3.1. Asymptoottinen kehitelmä Olkoon σ S m. Oletetaan lisäksi, että on olemassa symbolit σ j S m j, missä m = m 0 > m 1 > m > > m j, j, siten, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvulla N 3. σ N 1 j=0 σ j S m N. Tällöin summaa j=0 σ j kutsutaan symbolin σ asymptoottiseksi kehitelmäksi ja kirjoitetaan σ N 1 j=0 13 σ j.

Jatketaan esittelemällä ykkösen ositus, jota tarvitaan jatkossa. Lemma 3.1.1. Ykkösen ositus On olemassa jono funktioita ϕ k k=0 avaruudessa C 0 siten, että i 0 ϕ k ξ 1, ξ, kaikilla k N {0}, ii ϕ k ξ = 1, ξ, iii k=0 kaikilla ξ, vähintään yksi ja korkeintaan kolme funktioista ϕ k on erisuuri kuin nolla, iv suppϕ 0 {ξ : ξ }, v suppϕ k {ξ : k ξ k+1 }, kaikilla k N, vi Jokaisella multi-indeksin α arvolla on olemassa vakio A α > 0 siten että sup α ϕ k ξ A α k α, kaikilla k N {0}. ξ Todistus. Todistus sivuutetaan. Todistus löytyy Wongin kirjasta [7] kappaleesta 6. Esitellään nyt tulo-operaattoreihin liittyvä lause, joka sanoo, että kahden pseudodifferentiaalioperaattorin tulo on pseudodifferentiaalioperaattori ja että tulo-operaattorin symboli voidaan määritellä asymptoottisena kehitelmänä tulon tekijöiden symboleista. Lause kuuluu teorian perustuloksiin ja on erittäin tärkeä lukujen 4 ja 5 kannalta. Lause 3.1.. Olkoon σ S m 1 1,0, ja τ S m 1,0,. Tällöin kahden pseudodifferentiaalioperaattorin T σ ja T τ tulo T σ T τ on pseudodifferentiaalioperaattori T λ, missä λ S m 1+m 1,0, ja symbolilla λ on kehitelmä 3.3 λ µ 0 i µ µξ σ xτ µ, missä 3.3 tarkoittaa, että jokaisella positiivisella kokonaisluvulla N λ 0 µ N i µ on symboli joka kuuluu luokkaan S m 1+m N. µξ σ xτ µ 14

Ei todisteta suoraan lausetta 3.1., vaan pilkotaan lauseen todistus pienempiin paloihin. Katsotaan seuraavaksi mikä on pseudodifferentiaalioperaattorin ydin. Olkoon p S m, missä m R, ja u S. Pseudodifferentiaalioperaattorin määritelmästä seuraa, että px, Dux = π n/ e ix ξ px, ξûξdξ = π n/ e ix y ξ px, ξdξuydy. Kun määritellään Kx, x y = π n/ e ix y ξ px, ξdξ, niin Kx, x y on pseudodifferentiaalioperaattorin px, D ydin ja 3.4 px, Dux = Kx, x yuydy. Annetaan ytimelle täsmällinen määritelmä. Määritelmä 3.1.3. Olkoon σ S m. Tällöin pseudodifferentiaalioperaattorin σx, D ydin on 3.5 Kx, x y = π n/ e ix y ξ σx, ξdξ. Tähän liittyen saadaan korollaari: Korollaari 3.6. Määritelmän 3.1.3 mukaan määritelty pseudodifferentiaalioperaattorin px, D ydin K on temperoitu distribuutio eli K : S S. Todistus. Lauseen.1.6 nojalla väite pätee. Osoitetaan seuraavaksi lemma, joka osoittaa minkälainen tulo-operaattorin symboli on. Lemma 3.1.4. Lauseen 3.1. tulo-operaattorin T σ T τ symboli on 3.7 λx, η = λ k x, η kaikilla x, η, missä 3.8 λ k x, η = π n/ e iz η K k x, zτx z, ηdz k=0 kaikilla x, η. Kaavassa 3.8 termi K k on symbolin σ k ydin, missä σ k saadaan symbolista σ ykkösen osituksella. 15

Todistus. Sovelletaan ykkösen ositusta 3.1.1 symboliin σ. Olkoon {ϕ k : k Z, ϕ k C0 } ykkösen ositus. Tällöin saadaan 3.9 σx, ξ = σx, ξϕ k ξ = k=0 σ k x, ξ. Olkoon φ S. Tällöin symboli σ k määrittelee operaattorin Tσk φ x = π n/ k=0 e ix ξ σ k x, ξ φξ dξ. Koska φ S, niin monotonisen konvergenssin lauseen nojalla T σk φ x = π n/ e ix ξ σ k x, ξ φξ dξ Näin ollen k=0 3.10 T σ φ = k=0 = π n/ e ix ξ σx, ξ φξ dξ = T σk φ. k=0 T σ φ x. Voidaan osoittaa, että sarjan suppeneminen on sekä tasaista että absoluuttista. Tarkastellaan seuraavaksi operaattoria T σk T τ. Voidaan laskea että T σk T τ φ x = π n/ eix ξσkx, ξ Tτφξ dξ Rn = π n/ e ix ξ σ k x, ξπ n/ e iy ξ T τ φ y dydξ = π n e ix ξ σ k x, ξπ n/ e iy ξ T τ φ y dydξ R = π n e ix y ξ σ k x, ξdξ T τ φ ydy = π n/ K k x, x y T τ φ ydy kaikilla x. Kannattaa erityisesti huomata, että ykkösen osituksen avulla määritelty σ k antaa sen edun, että integraali 3.11 K k x, x y = π n/ e ix y ξ σ k x, ξdξ 16

on hyvin määritelty, koska σ k x, ξ C0 muuttujan ξ suhteen. Päättelyä voidaan jatkaa käyttäen Fubinin lausetta ja pseudodifferentiaalioperaattorin määritelmää. Saadaan Tσk T τ φ x = π n K k x, x y e iy η τy, η φηdηdy R n R n = π n/ e ix η π n/ e ix y η K k x, x yτy, ηdy φηdη 3.1 kaikilla x, missä = π n/ e ix ξ λ k x, η φηdη 3.13 λ k x, η = π n e ix y η K k x, x yτy, ηdy. Integraali kaavassa 3.13 ei välttämättä ole suppeneva. Tällä ei kuitenkaan ole väliä, sillä integraali tulkitaan distribuutiona, eli λ k x, η S. Väite, että 3.13 on hyvin määritelty distribuutiomielessä, voidaan perustella seuraavasti. Ensinnäkin ydin K k x, x y S, sillä K k x, x yϕx, ydxdy = sup x,y 1 + x + y N e ix y ξ σ k x, ξdξ1 + x + y N ϕx, ydxdy R n 1 + x + y N ϕx, y 1 + x + y N C1 + ξ m 1 dξdxdy, Ω k missä Ω k on ykkösen ositukseen liittyvä rajoitettu alue. Näin ollen on olemassa C > 0 siten, että 3.14 K k ϕ C ϕ N,0, missä ϕ N,0 on Schwartz-avaruuden seminormi, 3.15 f α,β := sup x α D β fx. x Samoin voidaan osoittaa että K k x, x yτy, η S R 3n. K k x, x yτy, ηϕx, y, ηdxdydη 17

= 1 + x + y + η N e ix y ξ σ k x, ξdξτy, η 1 + x + y + η N ϕx, y, ηdxdy sup 1 + x + y + η N ϕx, y, η 1 + x + y + η N x,y,η R n C1 + ξ m 1 dξ1 + η m dxdy, Ω k missä Ω k on ykkösen ositukseen liittyvä rajoitettu alue. Näin ollen on olemassa C > 0 siten, että 3.16 K k τϕ C ϕ N,0. Fourier-muunnos on isomorfismi F : S S, kts. [10]. Koska λ k on Fouriermuunnos temperoidusta distribuutiosta K k τ, niin λ k on myös temperoitu distribuutio eli λ k S. Jatketaan siitä mihin jäimme kohdassa 3.13. Koska nopeasti vähenevän funktion Fourier-muunnos on edelleen nopeasti vähenevä funktio, niin 3.1:ssa nähdään, että distribuutio e ix ξ λ k x, η operoi nopeasti vähenevää funktiota φ ja näin ollen integraali 3.1:ssa on hyvin määritelty. Muuttujanvaihdolla saadaan, λ k x, η = π n/ e iz η K k x, zτx z, ηdz kaikilla x, η. Tämän perusteella operaattorista T σk T τ päästään summaamalla, kuten kohdassa 3.10, operaattoriin T σ T τ Tσ T τ φ x = π n/ e ix η λx, η φηdη, kaikilla x, missä 3.17 λx, η = kaikilla x, η. λ k x, η k=0 Näin ollen todistaaksemme lauseen 3.1. on meidän osoitettava, että kaavassa 3.7 määritelty symboli λx, η kuuluu luokkaan S m 1+m 1,0,. Ja että symbolilla λx, η on asymptoottinen kehitelmä 3.3. 18

Esitellään muutama lemma ja funktio ennen lauseen 3.1. todistusta. Funktiot juontavat juurensa Taylorin kaavasta, joka on todistettu esimerkiksi Wongin kirjassa [7] kappaleessa 6 ja Olli Martion kirjassa Vektorianalyysi [15]. Määritelmä 3.1.5. Määritellään funktiot 3.31-3.0. Olkoon σ ja τ lauseen 3.1. mukaisia symboleja. Ja olkoon σ k kuten lemmassa 3.1.4. Taylorin kaavan avulla voimme kirjoittaa symbolin τ toisella tavalla 3.18 τx z, ξ = missä 3.19 R N1 x, z, ξ = zµ µ < 1 zµ µ =N 0 1 µ x τ x, ξ + R N1 x, z, ξ, 1 θ 1 µ xτ x θz, ξdθ. Funktio R N1 funktion R N1 on siten symboliin τ liittyvän Taylorin kehitelmän jäännöstermi. Lisäksi avulla määritellään funktio T k 3.0 T k x, ξ = π n/ e iz ξ K k x, zr N1 x, z, ξdz. Kaavassa K k on symbolin σ k ydin. Seuraavat kolme lemmaa ovat välttämättömiä lauseen 3.1. todistuksen kannalta. Ensimmäinen lemma antaa estimaatin pseudodifferentiaalioperaattorin ytimen osittaisderivaatan integraalille. Lemma 3.1.6. Kaikilla ei-negatiivisilla luvuilla N ja multi-indekseillä α ja β on olemassa vakio A, joka riippuu ainoastaan luvuista n, m ja N ja multi-indekseistä α ja β, siten että 3.1 z N x β z α K k x, z dz A m+ α Nk kaikilla k N {0}. Todistus. Lemma on todistettu Wongin kirjassa [7] kappaleessa 6, kts. Theorem 6.. Sivuutetaan varsinainen todistus, mutta katsotaan lyhyesti mikä on todistuksen idea. Todistus aloitetaan tarkastelemalla integraalia 3. z γ β x α z K k x, z dz. 19

Käyttämällä ykkösen ositusta, Plancherelin kaavaa, Leibnitzin kaavaa, ytimen K k määritelmää ja Fourier-analyysin perustuloksia, saadaan, että integraali 3. on pienempi kuin γ 3.3 kn+m+ α γ C n n C α,β,γ C γ,γ. m+ α γ γ γ γ Vakiotermi A alkaa muotoutua, kun merkitään vakioksi kaikki ensimmäisen termin jälkeen tulevat termit. Tämä vakio riippuu monista luvuista ja multi-indekseistä, mutta ne kaikki ovat sellaisia joista vakion A sallitaan riippuvan. Tämän jälkeen sovelletaan kaavaa 3.4 z N n N z γ, z, γ =N siten, että yllä olevan päättelyn avulla saadaan estimaatti lauseessa määritellylle integraalille 3.1. Tässä vaiheessa integraalin 3.1 estimaatti on A kn+m+ α N, missä A > 0 riippuu ainoastaan sille sallituista luvuista ja multi-indekseistä. Lopuksi luvun potenssissa oleva luvulla kertominen ja potenssi n saadaan eliminoitua käyttäen Hölderin epäyhtälöä. Toinen lemma antaa estimaatin funktion R N1 osittaisderivaatalle. Lemma 3.1.7. Olkoon R N1 kaavassa 3.19 määritelty funktio. Tällöin kaikilla multiindekseillä α, β ja γ on olemassa positiivinen vakio C α,β,γ > 0 siten että 3.5 z γ x α β ξ R [ ] x, z, ξ Cα,β,γ z γ 1 + ξ m β kaikilla x, z, ξ. Todistus. Aloitetaan osittaisderivoimalla funktiota R N1 muuttujien x ja ξ suhteen multiindekseillä α ja β jolloin saadaan 3.6 α x β ξ R x, z, ξ = zµ N1 µ = γ γ 1 0 1 θ 1 x α+µ β ξ τ x θz, ξdθ kaikilla x, z, ξ. Näin ollen kaavan 3.6 ja Leibnitzin kaavan nojalla γ z x α β ξ R γ 1 x, z, ξ = N1 γ γ z z µ 1 3.7 1 θ 1 µ = γ γ 0 0

γ γ +α+µ x β ξ τ x θz, ξ θ γ γ dθ kaikilla x, z, ξ. Koska τ S m niin kaavasta 3.7 seuraa z γ x α β ξ R x, z, ξ γ 1 C γ z γ C α,β,γ,µ1 + ξ m β dθ µ = γ γ γ C α,β,γ 1 + ξ m β γ γ 0 z γ kaikilla x, z, ξ, mikä on lemman väite. Vakio C α,β,γ muodostuu seuraavasti { γ } 3.8 C α,β,γ = sup C γ µ =N γ γ γ C α,β,γ,µ. 1 Juuri todistetun lemman 3.1.7 avulla voidaan todistaa viimeinen lemma ennen lauseen 3.1. todistusta. Lemma antaa arvion kasvunopeudeseta funktion T k osittaisderivaatoille. Lemma 3.1.8. Kaikilla ei-negatiivisilla kokonaisluvuilla M ja ja kaikilla multi-indekseillä α ja β on olemassa positiivinen vakio C α,β,m,n1 > 0 siten, että kohdassa 3.0 määritellyllä funktiolla T k on olemassa estimaatti 3.9 x α β ξ T k x, ξ C α,β,m,n1 m 1+M k 1 + ξ m M kaikilla x, ξ ja k N {0}. Todistus. Todistus seuraa Lemmoista 3.1.7 ja 3.1.6 sekä osittaisintegroinnista. Nyt voidaan todistaa kappaleen 3.1 päätulos eli operaattoreiden tuloa koskeva lause 3.1.. Todistus. Lause 3.1. Määritellään λ k, missä k N {0}, siten, että 3.30 λ k x, ξ = π n/ e ix ξ K k x, zτx z, ξdz 1

kaikilla x, ξ. Käytetään seuraavaksi Taylorin kaavaa. Taylorin kaavan avulla voidaan kirjoittaa symboli τ muotoon 3.31 τx z, ξ = missä 3.3 R N1 x, z, ξ = zµ µ < 1 zµ µ =N 0 1 µ x τ x, ξ + R N1 x, z, ξ, 1 θ 1 µ xτ x θz, ξdθ, kaikilla x, z, ξ. Kun τx z, ξ korvataan λ k :n määritelmässä Taylorin kehitelmällä, siis sillä mitä on kaavassa 3.31 oikealla puolella, huomataan, mistä tulon symbolin asymptoottinen kehitelmä syntyy. Päättely nojaa symboliin σ k liittyvän ytimen K k määritelmään, ykkösen ositukseen ja muutamaan Fourier-muunnnokseen liittyvän tulokseen. Käsitellään ensin varsinainen Taylorin sarja ja pohditaan jäännöstermiä myöhemmin. Kun Taylorin kehitelmän päätermi sijoitetaan λ k :n kaavaan 3.30, saadaan π n/ e iz ξ K k x, z µ R x τ x, ξdz n = µ < 1 π n/ µ < zµ e iz ξ π n/ z µ e iz ξ σ k x, ξ dξ dz xτ µ x, ξ ytimen K k määritelmän nojalla. Tästä saadaan osittaisderivoinnin ja osittainintegroinnin avulla = 1 π n/ e π iz ξ n/ 1 µ i µ µ ξ e iz ξ σ k x, ξ dξ dz xτ µ x, ξ µ <N 1 = µ < 1 π n/ e iz ξ = i µ π n/ µ < π n/ e iz ξ 1 µ i µ µ ξ e iz ξ σ k x, ξ dξ dz xτ µ x, ξ π n/ e iz ξ µ ξ σ k x, ξ dξ dz xτ µ x, ξ. Lopuksi päätellään vielä Fourier-muunnoksen avulla että = i µ π n/ e iz ξ F 1 µξ σ k x, zdz xτ µ x, ξ µ <N 1

= i µ F F 1 µξ σ k x, ξ xτ µ x, ξ µ < = i µ µ ξ σ kx, ξ xτ µ x, ξ. µ < Yllä oleva päättely perustellaan sillä, että Fourier-muunnos on bijektio F : S S. Näin ollen symboliksi λ k x, ξ saadaan 3.33 λ k x, ξ = i µ µ ξ σ kx, ξ xτ µ x, ξ + T k x, ξ, µ < missä 3.34 T k x, ξ = π n/ e iz ξ K k x, zr N1 x, z, ξdz kaikilla x, ξ. Nähdään, että tässä ollaan jo hyvin lähellä asymptoottista kehitelmää! Funktion T k määrittelevästä integraalista 3.34 kannattaa huomata, että funktio K k x, z on nopeasti vähenevä funktio muuttujan z suhteen. Tämän ansiosta integraali 3.34 on hyvin määritelty. Tarkkaavainen lukija on varmasti huomannut, että nyt kuvaan astui lemman 3.1.8 funktio T k, joka määriteltiin kohdassa 3.0. Summataan symbolit λ k yhteen. Ykkösen osituksen ja kaavojen 3.9, 3.7 ja 3.33 perusteella voidaan päätellä että λx, ξ = λ k x, ξ = k=0 k=0 i µ µ < = i µ µ < µ ξ σ k x, ξ xτ µ x, ξ + T k x, ξ µξ σ x, ξ xτ µ x, ξ + josta saadaan 3.35 λx, ξ i µ µξ σ x, ξ xτ µ x, ξ = µ < k=0 T k x, ξ, k=0 T k x, ξ. Osoitetaan seuraavaksi, että kyseessä on asymptoottinen kehitelmä. Määritelmän 3.1 mukaan on osoitettava, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla N pätee λx, ξ i µ µ ξ σx, ξ xτ µ x, ξ S m N, µ <N 3

missä luku m N kuuluu Märitelmän 3.1 mukaiseen lukujonoon. Tähän pyrkien aloitetaan toteamalla, että symbolille λx, ξ pätee 3.36 λx, ξ µ <N i µ µ ξ σx, ξ xτ µ x, ξ = λx, ξ i µ µ ξ σx, ξ xτ µ x, ξ µ < + µ ξ σx, ξ xτ µ x, ξ, N µ < i µ missä on kokonaisluku joka määräytyy Taylorin kehitelmästä ja joka valitaan suuremmaksi kuin N. Osoitetaan, että jälkimmäinen summa kuuluu symboliluokkaan S m 1+m N. Olkoot α, β N n mielivaltaiset multi-indeksit. Tällöin x α β i µ ξ µ ξ σx, ξ xτ µ x, ξ N µ < = = x α ζ α ζ α γ β γ β γ β i µ N µ < i µ N µ < µ+γ ξ σx, ξ β γ ζ x µ+γ ξ ξ xτ µ x, ξ σx, ξ β γ ξ µ+α ζ N µ < 1 1 + ξ m 1 µ+γ 1 + ξ m β γ C1 + ξ m 1+m N β. x τ x, ξ eli Näin ollen jälkimmäinen summa todella kuuluu symboliluokkaan S m 1+m N 1,0,, i µ µ ξ σx, ξ µ xτx, ξ S m 1+m N 1,0,. N µ Jos voidaan osoittaa, että kaikilla multi-indekseillä α, β N n on olemassa vakio C α,β siten, että 3.37 α x β ξ λx, ξ 1 µ µξ σ xτ µ x, ξ C α,β1 + ξ m 1+m β, µ 4

kaikilla x, ξ, niin silloin 3.38 λx, ξ µ N 1 µ µξ σ xτ µ S m 1+m N 1,0,, koska > N, ja funktiolla λ on siten nyt todistettavan lauseen väitteen mukainen asymptoottinen kehitelmä. Tuloksen 3.37 osoittamiseen riittää kaavan 3.35 nojalla, että tarkastellaan funktiota x α β ξ T k kaikilla k N {0}. Kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla N ja multi-indekseillä α, β N n voidaan valita positiivinen kokonaisluku M siten, että 3.39 1 + ξ m M 1 + ξ m 1+m N β, kaikilla ξ. Kun nyt M on valittu ja siten kiinnitetty, niin voimme valita toisen positiivisen kokonaisluvun siten, että 3.40 m 1 + M < 0. Nyt kaavoista 3.35, 3.9, 3.39 ja 3.40 seuraa, että α x β ξ λx, ξ i µ µξ σ xτ µ x, ξ = x α β ξ T k x, ξ µ < k=0 C α,β,m,n1 m 1+M k 1 + ξ m M k=0 C α,β,m,n1 1 + ξ m 1+m β C α,β,m, 1 + ξ m 1+m β. k=0 m 1+M k Näin ollen 3.38 on voimassa. Symbolilla λx, ξ on siten väitetty asymptoottinen kehitelmä ja voidaan kirjoittaa 3.41 λ µ <N i µ βξ σ xτ µ. Seuraavaksi esitellään ja todistetaan samankaltainen tulos pseudodifferentiaalioperaattorin adjungaatille. 5

3. Adjungaatti Tässä kappaleessa osoitetaan, että pseudodifferentiaalioperaattorin adjungaatti on olemassa, että se on pseudodifferentiaalioperaattori ja että sen symbolilla on olemassa tietynlainen asymptoottinen kehitelmä. Tällä tuloksella on yhtä tärkeä merkitys jatkon kannalta kuin luvun 3.1 tuloksella. Niitä molempia tullaan hyödyntämään, kun todistetaan tarkkaa Gårdingin epäyhtälöä. Formaalisti adjungaatin määritelmä on seuraava: Määritelmä 3..1. Adjungaatti Olkoon σ luokan S1,0R m n, symboli ja T σ siihen liittyvä pseudodifferentiaalioperaattori. Pseudodifferentiaalioperaattorin T σ adjungaatti Tσ : S S määritellään siten, että 3.4 Tσ ϕ, ψ = ϕ, T σ ψ, kaikilla ϕ, ψ S. Määritelmässä esitetyssä kaavassa 3.4 vasen puoli on hyvin määritelty, sillä pseudodifferentiaalioperaattori kuvaa Schwartzin avaruuteen. Tässä kappaleessa osoitetaan, että kaavan oikea puoli on hyvin määritelty ja T on myös pseudodifferentiaalioperaattori. Nyt kun tiedetään mitä adjungaatilla tarkoitetaan, niin voidaan esitellä tämän kappaleen päätulos. Lause 3... Olkoon σ S1,0R m n,. Tällöin pseudodifferentiaalioperaattorin T σ adjungaatti on pseudodifferentiaalioperaattori T τ missä τ S1,0R m n,. Symbolilla τ on asymptoottinen kehitelmä 3.43 τx, ξ i µ µx µξ σ x, ξ. µ Kaava 3.43 tarkoittaa, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla N τx, ξ µ <N i µ on symboli joka kuuluu luokkaan S m N 1,0,. µx µξ σ x, ξ, Ennen kuin keskustellaan yllä olevan lauseen todistuksesta, esitellään vielä kaksi teknistä lemmaa. Molemmat ovat harjoitustehtäviä Wongin kirjassa. Lemmoista ensimmäinen on seuraava. Lemma 3..3. Kaikilla z ja millä tahansa positiivisella kokonaisluvulla N pätee 3.44 z N n N z γ. 6 γ =N

Todistus. Sivuutamme todistuksen. Selvennyksenä toiseen lemmaan, mainitaan tässä Leibnitzin kaava lineaarisille osittaisdifferentiaalioperaattoreille ja siihen liittyvä merkintätapa. Määritelmä 3..4. Olkoon P D = α m a αd α lineaarinen osittaisdifferentiaalioperaattori, missä kertoimet a α ovat vakioita ja P ξ sen symboli. Tällöin P µ D on lineaarinen osittaisdifferentiaalioperaattori, jonka symboli P ξ on seuraava: 3.45 P µ ξ = µ P ξ, kaikilla ξ. Leibnitzin kaava lineaarisille osittaisdifferentiaalioperaattoreille on seuraava: Lause 3..5. Leibnitzin kaava lineaarisille osittaisdifferentiaalioperaattoreille Olkoon P D = α m a αd α lineaarinen osittaisdifferentiaalioperaattori, missä kertoimet a α ovat vakioita ja P ξ sen symboli. Tällöin 3.46 P Dfg = µ m 1 P µ Df D µ g, missä P µ D on lineaarinen osittaisdifferentiaalioperaattori, jonka symboli P ξ on seuraava: 3.47 P µ ξ = µ P ξ, kaikilla ξ. Todistus. Todistus sivuutetaan. Todistuksen voi lukea esimerkiksi lähteestä [16]. Seuraavaksi esitellään toinen teknisistä lemmoista. Lemma 3..6. Olkoon P D = 1 K, missä on ns. Laplace-operaattori ja K on positiivinen kokonaisluku. Määritelmän 3..4 mukaan määrätylle operaattorille P µ D pätee seuraava tulos: On olemassa vakio C > 0, joka riippuu ainoastaan multi-indekseistä µ, β N n ja luvusta K siten, että 3.48 P δ Dz µ+β C z µ + β δ, µ = kaikilla z. µ = 7

Todistus. Todistus sivuutetaan. Hajotetaan lauseen 3.. todistus kahteen osaan. Tarkastellaan ensin symbolia τ. Jälkimmäisenä näytetään, että tällä on lauseen 3.. mukainen asymptoottinen kehitelmä. Kun osoitetaan väite asymptoottisesta kehitelmästä, niin osoitetaan samalla, että adjungaatti on pseudodifferentiaalioperaattori eli symboli kuuluu tiettyyn symboliluokkaan. Lause 3..7. Olkoon σx, ξ S1,0. m Pseudodifferentiaalioperaattorin T σ adjungaatti on T τ siten, että kaikilla ψ S 3.49 Tτ ψ x = π n/ e ix ξ τx, ξ ψξdξ, missä 3.50 τx, ξ = π n/ k=0 e iz ξ K k x + z, zdz. Ydin K k on määritelty siten, että 3.51 K k x + z, z = π n/ e iz ξ σx + z, ξdξ. Todistus. Määritellään σ k ja K k kaikilla k N, niin kuin ne määriteltiin edellisessä kappaleessa, eli σ k määritellään kuten kohdassa 3.9 ja K k kuten kohdassa 3.11. Tällöin adjungaatin määritelmän nojalla 3.5 Tσk ϕ, ψ = ϕ, Tσ k ψ kaikilla ϕ, ψ S. Avaruuden L sisätulon ja pseudodifferentiaalioperaattorin määritelmän nojalla Tσk ϕ, ψ = Tσk ϕ xψxdx = π n/ e ix ξ σ k x, ξ ϕξdξψxdx. Edelleen Fourier-muunnoksen ja ytimen K k määritelmän nojalla saadaan π n/ e ix ξ σ k x, ξπ n/ e iy ξ ϕydydξψxdx 8

= π n/ π n/ e ix y ξ σ k x, ξdξϕydyψxdx = π n/ K k x, x yϕydyψxdx = π n/ K k x, x yψxdxϕydy R n = ϕy π n/ K k x, x yψxdx dy = ϕ, Tσ k ψ. Näin ollen saatiin tulos, joka kertoo minkälainen on pseudodifferentiaalioperaattorin T σk adjungaatti. Adjungaatissa on alkuperäisen pseudodifferentiaalioperaattorin ytimen K k sijaan sen kompleksikonjugaatti 3.53 T σk ψ x = π n/ K k y, y xψydy. Huomautettakoon lukijalle, että tottumuksen vuoksi muuttujien x ja y paikat vaihdetaan tavanomaisiksi suhteessa siihen, mitä ne ovat kaavaa johdettaessa. Integraalissa olevaa lauseketta voidaan edelleen muokata ottamalla mukaan Schwartzin funktion ψ Fouriermuunnos ja lisätä ja vähentää integraalista termi e ix ξ. Näillä muutoksilla saadaan T σk ψ x = π n/ Kky, y xψydy Rn = π n/ K k y, y x π n/ e iy ξ ψξdξ dy R n = π n e iy ξ K k y, y x dy ψξdξ R n = π n e ix ξ e iy x ξ K k y, y x dy ψξdξ. Lopuksi tehdään vielä muuttujanvaihto y x = z, T σk ψ Rn x = π n/ e ix ξ π n/ 3.54 = π n/ e ix ξ τ k x, ξ ψξdξ. e iz ξ K k x + z, z dz ψξdξ Kaava 3.54 on hyvin määritelty siitä syystä, että ψ on nopeasti vähenevä funktio. Näin ollen adjungaatiksi saadaan pseudodifferentiaalioperaattori T τk 3.55 T σk ψ x = T τk ψ x, 9

jonka symbolina on τ k x, ξ 3.56 τ k x, ξ := π n/ e iz ξ K k x + z, z dz. Voimme ajatella τ k x, ξ:n distribuutiona, eli τ k x, ξ S muuttujan ξ suhteen kun muuttuja x on kiinnitetty. Tämä voidaan osoittaa seuraavalla tavalla. Olkoon ϕz S, tällöin on olemassa C > 0 siten, että K k x + z, zϕzdz = e iz ξ σ k x + z, ξdξ1 + z N ϕzdz π n/ 1 + z N sup1 + z N ϕz π n/ 1 + z N z C ϕ N,0, Ω k C1 + ξ m1 dξdz missä Ω k on ykkösen ositukseen liittyvä rajoitettu alue ja ϕ N,0 on Schwartz-avaruuden seminormi. Yllä oleva päättely osoittaa, että Kx + z, z on temperoitu distribuutio muuttujan z suhteen, eli Kx + z, z S. Kohdassa 3.56 määriteltiin τx, ξ Fourier-muunnoksena distribuutiosta Kx + z, z. Koska Fourier-muunnos on bijektio F : S S, kts. [10], niin τx, ξ on temperoitu distribuutio muuttujan ξ suhteen. Adjungaatin symboli voidaan määritellä koko avaruuteen summaamalla yhteen ykkösen osituksella aikaan saatuja τ k x, ξ symboleita. Kun ϕ, ψ S ja σ k x, C0 niin integraali Tσk ϕ, ψ = π n/ e ix ξ σ k x, ξ ϕξdξ ψxdx on hyvin määritelty. Tällöin N k=0 Tσk ϕ, ψ on hyvin määritelty kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla N, koska T σ ϕ, ψ π R n/ 1 + ξ m ϕξ dξ ψx dx <. n Dominoidun konvergenssin lauseen nojalla 3.57 Tσ ϕ, ψ = Tσk ϕ, ψ. Näin ollen adjungaatin symboli τ on 3.58 τx, ξ = τ k x, ξ = k=0 k=0 π R n/ e iz ξ K k x + z, z dz. n k=0 30

Nyt on osoitettu minkälainen on pseudodifferentiaalioperaattorin adjungaatti. Vielä olisi näytettävä, että adjungaatin symboli kuuluu symboliluokkaan S m, eli että kyseessä todella on pseudodifferentiaalioperaattorin määrittävä symboli, ja että tällä symbolilla on Lauseen 3.. mukainen asymptoottinen kehitelmä. Nämä molemmat kysymykset ratkaistaan osoittamalla, että adjungaatin symbolilla τx, ξ on jo mainittu asymptoottinen kehitelmä. Nimittäin, mikäli adjungaatin symbolilla τx, ξ on Lauseen 3.. mukainen asymptoottinen kehitelmä 3.43, niin silloin pätee 3.59 τx, ξ σx, ξ S m 1 1,0. Tästä seuraa, että on olemassa symboli rx, ξ S m 1 1,0 siten, että 3.60 τx, ξ = σx, ξ + rx, ξ kaikilla x, ξ. Koska σ S m 1,0, niin yllä olevasta kaavasta 3.60 seuraa, että τx, ξ S m 1,0. Siten riittää, että asymptoottisen kehitelmän osoitetaan olevan voimassa. Todistus. Lause 3.. Olkoon N, N siten, että > N. Pyritään osoittamaan, että τx, ξ µ <N i µ µx µξ σ x, ξ, on symboli joka kuuluu luokkaan S m N 1,0,. Määritellään τ k kaikilla k N kuten kohdassa 3.56. Ydin K k voidaan esittää Taylorin sarjakehitelmän avulla sarjana 3.61 K k x + z, z = missä R k 3.6 on R k x, z = µ = zµ = 1 0 1 zµ µ =N 0 1 zµ µ < µ x K k x, z + R k x, z, 1 θ 1 µ xk k x + θz, zdθ 1 θ 1 π n/ e iz ξ µ xσ x + θz, zdξ dθ. Kun Taylorin kehitelmä sijoitetaan symbolin τ k määritelmään 3.56 saadaan τ k x, ξ = π n/ e iz ξ K k x + z, zdz 31

3.63 = π n/ e iz ξ µ < zµ µ k x K k x, z + R x, z dz. Käsitellään ensin sarjan päätermi. Ytimen määritelmän, osittaisderivoinnin, osittaisintegroinnin ja Fourier-muunnoksen avulla saadaan π n/ µ x K k x, zdz e iz ξ µ < zµ = π n/ = π n = π n e iz ξ e iz ξ e iz ξ µ < zµ π n/ i µ µ < i µ µ < e iz ξ µ xσ k x, ξ dξ dz µ ξ e iz ξ µ x σ k x, ξ dξ dz e iz ξ µ ξ xσ µ k x, ξ dξ dz = i µ π n/ e µ <N R iz ξ F µ ξ xσ µ k x, zdz n 1 = i µ F 1 F µ ξ µ xσ k x, ξ = i µ µ ξ µ xσ k x, ξ, µ < µ < kaikilla x, ξ. Viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä tosiasiasta, että Fourier-muunnos on bijektio F : S S. Päättelyketjun viimeinen lauseke on lauseen väitteen mukainen sarja! Määritellään integraalissa 3.63 jäännöstermistä R k T k x, ξ siten, että 3.64 T k x, ξ := π n/ e iz ξ R k x, zdz, kaikilla x, ξ. Näin ollen symboliksi τ k x, ξ saadaan, 3.65 τ k x, ξ = i µ µ ξ µ k xσ k x, ξ + T x, ξ, µ < uusi funktio kaikilla x, ξ. Kun otetaan huomioon kaavat 3.58 ja 3.9, niin valituilla kokonaisluvuilla N ja pätee, että τx, ξ µ <N i µ µ x µ ξ σx, ξ 3

= τx, ξ iµ µ < x µ µ ξ σx, ξ + iµ N µ < x µ µ ξ σx, ξ. Symboli τ saatiin summaamalla yhteen symbolit τ k. Osoitetaan seuraavaksi, että jälkimmäinen summa on symboli joka kuuluu luokkaan S m N 1,0,. α x β ξ iµ µ x µ ξ σx, ξ = N µ < iµ N µ < x µ+α µ+β ξ σx, ξ N µ < 1 1 + ξ m µ+β C1 + ξ m N β. Näin ollen jälkimmäinen summa todella kuuluu symboliluokkaan S m N Mikäli voidaan osoittaa, että iµ x µ µ ξ N µ < 3.66 τx, ξ iµ µ < σx, ξ Sm,0,. µ x µ ξ σx, ξ Sm,0,, niin silloin voidaan päätellä, että τ S m 1,0, ja että symbolilla τx, ξ on asymptoottinen kehitelmä 3.43. Symboliluokkaa määrittää luku N ja sarjaa määrittää luku, joka on valittua lukua N suurempi. Tästä on etua todistuksessa. Kaavoista 3.9, 3.58 ja 3.65 voidaan päätellä että 3.67 τx, ξ iµ µ < µ x µ ξ σx, ξ = k=0 T k x, ξ. Kaavan 3.67 nojalla voidaan käyttää sarjaa k=0 T k x, ξ, kun pyritään osoittamaan, että τx, ξ i µ µ < µ x µ ξ σx, ξ kuuluu symboliluokkaan Sm N. Lähdetään osoittamaan tätä ja valitaan mielivaltaiset multi-indeksit α, β N n. Tällöin T k :n määritelmän 3.64 ja osittaisintegroinnin nojalla D α x D β ξ T k x, ξ D = α x D β ξ π n/ e iz ξ R k x, zdz R n = π n/ z β e iz ξ Dx α R k x, zdz 33

3.68 = 1 + ξ K π n/ 1 z K e iz ξ z β Dx α R k x, zdz R n = 1 + ξ K π n/ e iz ξ 1 z K z β Dx α R k x, z dz, missä K on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Jätetään nyt kaava 3.68 hetkeksi rauhaan ja selvitetään mitä voidaan sanoa integraalissa olevasta termistä 1 z K z β Dx α R k x, z, sillä termin D x α D β ξ T k x, ξ estimointi on nyt kiinni siitä. Olkoon P D = 1 z K. Kaavan 3.6, Leibnitzin kaavan ja osittainintegroinnin avulla saadaan 1 z K z β Dx α R k x, z = 1 z K z β D α x = 1 z K = = = = µ = δ K µ = δ K µ = δ K µ = δ K ρ δ 1 zµ µ =N 0 1 1 zµ+β µ = K P δ Dz µ+β δ 0 1 θ 1 π R n/ e iz ξ xσ µ k x + θz, zdξ dθ n 1 θ 1 π n/ i α e iz ξ x µ+α σ k x + θz, zdξ dθ 1 0 1 θ 1 π n/ i α Dze ρ iz ξ Dz ρ δ x µ+α σ k x + θz, zdξ dθ ρ δ K P δ Dz µ+β 1 1 θ N1 1 π n/ δ 0 i δ α θ δ ρ D R ρ ze ρ iz ξ Dx ρ δ x µ+α σ k x + θz, zdξ dθ n ρ δ δ K P δ Dz µ+β 1 θ δ ρ 1 θ N1 1 π n/ ρ δ ρ δ 0 i α iξ ρ e iz ξ Dx ρ δ K P δ Dz µ+β δ ρ δ 1 0 x µ+α σ k x + θz, zdξ dθ θ δ ρ 1 θ 1 π n/ 34

= µ = δ K ρ δ i α i ρ z γ i ξ γ e iz ξ ξ ρ Dx ρ δ x µ+α σ k x + θz, zdξ dθ δ K P δ Dz µ+β 1 θ δ ρ 1 θ N1 1 π n/ ρ δ i α i ρ z γ e iz ξ γ γ x + θz, z ϕ k ξdξ dθ, D γ γ ξ kaikilla x, z. Yllä olevan perusteella 3.69 1 z K z β Dx α R k x, z δ K P δ Dz µ+β = ρ δ µ = δ K ρ δ γ 0 1 0 γ γ D γ ξ ξ ρ D ρ δ x µ+α x σ θ δ ρ 1 θ 1 π n/ x µ+α σ x + θz, z i α i ρ z γ e iz ξ D γ R γ n ξ ξ ρ Dx ρ δ D γ γ ξ ϕ k ξdξ dθ. γ γ Nyt kun termi 1 z K z β Dx α R k x, z on saatu sopivaan muotoon, niin sitä voidaan estimoida. Aloitetaan tarkastelemalla miten voidaan estimoida kaavan 3.69 integraalia muuttujan ξ suhteen ja jätetään muuttujan θ integraalin tarkastelu hetkeksi syrjään. Tehdään tarkastelu ilman termiä z γ. Otetaan huomioon funktion ϕ k kantaja. Merkitään W k = suppϕ k = {ξ : k 1 ξ k+1 }. Käytetään taas kerran Leibnitzin kaavaa ja osittaisintegrointia, jolloin saadaan estimaatti i α i ρ e γ iz ξ D γ R γ n ξ ξ ρ Dx ρ δ x µ+α σ x + θz, z D γ γ ξ ϕ k ξdξ γ γ = i α i ρ e γ iz ξ D γ W k γ ξ ξ ρ Dx ρ δ x µ+α σ x + θz, z D γ γ ξ ϕ k ξdξ γ γ γ γ C p,γ ξ ρ γ D γ γ ξ Dx ρ δ x µ+α σx + θz, z D γ γ ϕ k ξ dξ. W k γ γ γ γ γ γ Lauseessa 3.1.1 esitellyn ykkösen osituksen ominaisuuksien nojalla, kaikilla multi-indekseillä α N n on olemassa vakio C α > 0 siten, että 3.70 sup ξ α ϕ k ξ Cα k α kaikilla k N n. 35 ξ