Rtkiuit Nämä Dirtili- j itgrlilk jtkokuri krtuthtävi j -rjoj rtkiut prutuvt oppikirj titoihi j mtlmii Kutki thtävätä o ylä vi yki rtkiu mikä i kuitk trkoit itä ttä rtkiu olii io ti d pr mhdolli Vlittu rtkiutp o toivottvti kuitki mhdolliimm uorviivi j ymmärrttävä Rtkiut ovt mllirtkiuj Niiä rtkiu tmi o ittty ii trkti j prutll kui hyvää rtkiu pitää thdä Hyvää rtkiuu kuuluu rtkiu käytty mtlmä j mrkitöj lli littämi Mot tämä kuri thtävät ovt mlko torttii jolloi prutlut muodotvt ollli o rtkiut Rtkiuu kuuluu myö vtuk ilmoittmi Miluimmi ktt kirjoitt rilli vtu vikk ohii rtkiui i til äätämiki ol äi thtykää Rtkiut o kuitki ldittu it ttä vtu o rtkiu lopu Ohii rtkiui o llit prutlut ittty vähitääki riittävällä trkkuudll Myö rtkiuihi liittyvät kuviot o ylä piirrtty Yhtälöid rtkiuj itgroiti j drivoiti väliviht o tvlliti ittty trkti mutt joku kikki välivihit i i ol kirjttu Liäki imrkiki toi t yhtälö rtkiu rtkiukv vull i ol kirjoitttu äkyvii vikk tämä täydlli rtkiuu kuuluuki Opiklij pitää kuitki omi rtkiui käyttää riittäväti välivihit kok tämä prhit tk virhttömä lopputulok Jukk Kgho j Wrr Södrtröm Okyhtiö 8
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Krtuthtävi rtkiut b Koht o lukk Rj-rvo imittäjä ollkoht voi oll olm vi jo o myö ooittj ollkoht Rj-rvo: Kok void oltt ttä Tällöi o gtiivi jot poitiivi jot poitiivi jot Sii
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Toipuolit rj-rvot kohd ivät ol yhtä uurt jot rj-rvo i ol olm b Toipuolit rj-rvot kohd ovt yhtä uurt jot rj-rvo o olm Rj-rvo o yhti rvo c c c Rj-rvo o jo toipuolit rj-rvot ovt kumpiki c c > y
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 7 Fuktio o jtkuv määrittlyjouko jot uktio o jtkuv li illä i ol päjtkuvuukohti b Fuktioll i ol rj-rvo kohd jot uktioll i ol rj-rvo kohd Sii uktiot i voi määritllä kohd ii ttä tulii jtkuvki kohd 8 y Toipuolit rj-rvot kohd ivät ol yhtä uurt jot rj-rvo kohd i ol olm Fuktio i ol jtkuv kohd b y Kok o uktio i ol jtkuv kohd jot Fuktio b b > o jtkuv kikkill jo o jtkuv kohdi j Fuktio o oiklt jtkuv kohd j vmmlt jtkuv kohd Sii o jtkuv jo li b j li b b Jälkimmäitä yhtälötä d Eimmäitä yhtälötä d b
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 8 Määritllää jolloi jot o jtkuv kohd Fuktio o rtioliuktio muull jtkuv jot o jtkuv kikkill Eimrkiki uktio totutt vditut hdot: Fuktio kuvj o ouv uor välillä ] [ j [ [ jot o idoti kvv välillä ] [ j [ [ Ku o jot o idoti kvv kikkill Fuktio o päjtkuv kohd illä toipuolit rj-rvot kohd ovt j jot uktioll i ol rj-rvo kohd Muull o polyomiuktio jolloi o jtkuv y Välillä [ ] o pitt j it ttä j 8 Märitllää uktio g : [ ] R ttmll g l Tällöi g o jtkuv j g l l g l l 8 7 > Bolzo lu prutll uktioll g o ollkoht j : väliä jolloi l li l : Eimrkiki y 7
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 8 Fuktio rotuomäärä kohd : : : Drivtt o rotuomäärä rj-rvo Toipuolit rj-rvot kohd ivät ol yhtä uurt jot rj-rvo kohd i ol olm Fuktio i ol jtkuv kohd jot i ol drivoituv kohd b Ku rotuomäärä kohd o Ku > rotuomäärä o Erotuomäärä toipuolit rj-rvot ovt yhtä uurt jot rotuomäärällä o rj-rvo kohd Sii uktio o drivoituv kohd
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Eimrkiki uktio totutt vditut hdot: Fuktio o vähvä > välillä ] [ j [ [ kok kuvj o äillä välillä lkv ti vkuor uor Kok > o idoti vähvä kikkill Fuktio o polyomiuktio muull piti kohd jot o jtkuv j drivoituv muull piti mhdolliti kohd Fuktio o jtkuv kohd illä toipuolit rj-rvot kohd ovt molmmt j y Ku rotuomäärä kohd o Ku > rotuomäärä o Erotuomäärä toipuolit rj-rvot ovt riuurt jot rotuomäärällä i ol rj-rvo kohd Sii uktio i ol drivoituv kohd 7 D Itgrlilk prulu muk uktio vkiouktio Kok C miä C o vkio o C C o
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 8 b Ku ii jot 7 7 t t t t t t ti t b g ti c 7 7 h jot h j h l l l l l l l
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Fuktio j drivttuktio o määritlty jokill : rvoll illä imittäjä lukkll i ol ollkohti Drivt mrkki määräytyy ooittj mrki prutll Ooittj kuvj o ylöpäi ukv prbli jok ollkohdt ovt j Kulkukvio prutll koht o mkimikoht Mkimirvo o 8 Koht o miimikoht Miimirvo o Kok uur ti pi rjtt uktio uuri rvo o 8 j pii rvo
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Fuktio drivttuktio o i poitiivi jot uktio o kikkill idoti kvv Sii uktioll o käätiuktio Kok o jtkuv j j ii uktio rvojoukko o ] [ Sii käätiuktio määrittlyjoukko o ] [ Käätiuktio luk: y y l y l y Sii y l y li l l l l Kuvjt: y y y Fuktio drivttuktio: Drivtt o poitiivi kikill > jot uktio o idoti kvv Sii uktioll o käätiuktio illä j 8 illä 8 Sii: 8 8
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Fuktio o jtkuv jot illä o itgrliuktio Itgrliuktiot ovt muoto D C Itgrliuktio o jtkuv Kok F o jtkuv kohd toipuolit rj-rvot kohd ovt yhtä uurt jot D C Sii itgrliuktiot ovt C C miä C o vkio b Itgrliuktio kuvj kulk pit kutt C C F F F F
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät > Fuktio o jtkuv jot illä o itgrliuktio Itgrliuktiot ovt muoto > F C miä C j D ovt vkioit D > Fuktio F o jtkuv kikkill rityiti kohd jot F F li D C D C Kok F o D jot D C D Sii itgrliuktio o F > jot F u t dt jolloi u b v t dt u jot v u c w u w u D t 7 Fuktio t t dt drivttuktio o Kok kikill drivt ollkohdt ovt uktio ollkohdt j
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 8 d d / / jot itgrli d upp j rvo o b co d i i i i / Fuktioll i i ol rj-rvo jot itgrli co d hjtuu Itgrli d upp j rvo o b d d / Itgrli d hjtuu c Itgrli d hjtuu kok d hjtuu d d / / Sii itgrli d upp j rvo o d d /
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät kikill jo d d d / O oltv jot Kok o poitiivi o tihyuktio P X d / kikill j d / jot o tihyuktio b Krtymäuktio: F P X > > 7 P X 7 F7 7 c Odoturvo: EX Kkihjot: D X d d µ d d d / 8 d 8 7 DX 8
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Krtymäuktio F PX Ku F Ku > F Ku todäköiyy PX o mtriä kork krtio tilvuud uhd koko krtio tilvuut Krtiot ovt yhdmuotoit jot tilvuuki uhd o krtioid korkuki kuutioid uhd F PX Sii: F 7 7 > 7 b Tihyuktio F j > c Odoturvo: E X d 8 d m / 7
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 8 Joo upp j illä b Joo hjtuu illä > c jot o prilli j o prito Sii joo hjtuu d jot b b
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 7 jot 8 7 b 8 8 8 8 Kok co kikill o co kikill Kok o co 7 > > Jät rovt rj-rvot vähmmä kui jätä lähti
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Lvt lukkll
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Oummi ojoo S S S S i upp jot rj i upp b Oumm S o prito j S o prilli Jok tpuk S jot rj upp j rj umm o 7 k k k Srj : oumm o S Oummi joo uur rjtt jot rj i upp b Srj k k k : oumm o 7 S S jot rj upp j rj umm o Srj : trmi o Srj trmit ivät lähty oll jot rj i upp
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Srj uhdluku q Srj immäi trmi Summ o Kok q rj upp S : q b Srj uhdluku q Kok q rj upp Srj immäi trmi Summ o S q 7 7 7 Ku lähdtää pittä pit j dll pit j ii kuljtut mtkt muodotvt gomtri joo 8 Jok toill klll mää oikll jok toill vmmll Päädytää täiyydll 8 8 8 7 li pit
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Aloittj A voitt jo A: immäi hitto o klv ti jo A: immäi hitto o kruu toi hittävä B: immäi hitto kruu kolmt hittävä C: kruu j A: toi hitto o klv j Sii: PA voitt 8 8 Kyä o gomtri rj jok immäi trmi j uhdluku 8 q Kok q rj upp j umm o 7 7 8 8 7 : 8 q Sii PA voitt 7 b Vtvti: PB voitt 7 A P c PC voitt 7 B P
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät 7 Srj o gomtri rj Srj trmi uhd q Srj upp q li q > > ti > > 8 Ku rj upp umm o 8 S 8 Srj uhdluku q Srj upp q li > > ti > Ku rj upp umm o S Summ o ti Rtkiukvll Vi klp rtkiuki illä vi tällöi rj upp
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Krtuthtävät Olkoo lkupräi rj S q q Srj umm o S q Toi rj o S q q q q q Kok S ii q S q jot q q q q q q q q q ti q q q q Srj upp vi q Ku q o q 8 Alkupräi rj o 8 8 8 8
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj A Fuktio o jtkuv jot illä o itgrliuktio Itgrliuktiot ovt muoto > E D C F miä C D j E ovt vkioit Fuktio F o jtkuv kikkill rityiti pitiä j jot F F j F F C D D C C D E D E Sii itgrliuktiot ovt > C C C F miä C o vkio Kuvj kulk pit kutt F Kok C C F o C Kyytty itgrliuktio o > F > > > y y F y
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt 7 Fuktio rotuomäärä kohd : Drivtt o rotuomäärä rj-rvo 7 8 d l l l / l l l l l l l l l l l l l l Sii d upp j rvo o l Mrkitää jolloi kikill jot Ku ii Sii y
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Väli [ ] iältyy välii ] π ] jolloi i uktio o jtkuv j pägtiivi Sii viipl pit-l o d / A F F F miä F o uktio joki itgrliuktio Drivoid: i A F F i i i i Drivt ollkohdt: i i π i i π π π π π Nollkohdit välill ] ] kuuluu Kulkukvio: A A π ti π π π π π A 8 > A 8 i π Kulkukvio prutll pit-l A o uuri 8
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Lukuj j y rpomi vt pit rpomit liötä j y y Z li y Sii P Z o uor y lpuolll jäävä liö o pit-l uhd koko liö pit-l P Z y y Krtymäuktio F z P Z z Jo z F z illä Z o i poitiivi Jo z > Z z y z li y z Sii PZ z o uor y z lpuolll jäävä liö o pit-l uhd koko liö pit-l z z Ku z pit-l o Ku z pit-l o z z Sii krtymäuktio o F z z z z z z b Tihyuktio z FNz z j z Ku z z D Ku z z z D Ku z > z D z z Sii: z z z z z y z y z z y z z z
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt c Odoturvo: d d d d d E z z z z z z z z z z z z Z l l l l d / z z z Sii d z z hjtuu jot odoturvo i ol olm
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj B Fuktio o jtkuv kikkill jo o jtkuv kohd Fuktio o oiklt jtkuv kohd Sii o jtkuv jo li jo Sii jtkuv uktio o Nollkohdt: ti ti Fuktio määrittly hdot totuttvt juurt j Fuktio S o määritlty rj upp Ku rj o Sii rj upp j S Ku rj o gomtri rj jo uhdluku q Srj upp jolloi S Sii S o määritlty y Tällöi: S
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt d co d d co i i i i i d co d / / Ku ii Kok iiuktio pii rvo o j uuri o i i jot i i Sii i i d co Fuktio drivttuktio: Fuktio j drivtt o määritlty kikill illä > Kok kikill drivtt o gtiivi kikill Sii uktio o idoti vähvä jot uktioll o käätiuktio Kok o jtkuv uktio rvojoukko o ] [ Sii käätiuktio määrittlyjoukko o ] [ Sii ollkoht
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Kok j ii myö Kok o joti : rvot lähti Kok ii myö Fuktio g o drivoituv origo iältävällä välillä j g tällä välillä Fuktio g rotuomäärä origo li kohd o g g Kok uktiot j ovt jtkuvi origo ii Sii rotuomäärällä o rj-rvo Erotuomäärä rj-rvo o uktio g drivtt origo Sii g Ooitt ttä uktio totutt vditut hdot jot tulot void ovlt Poitt itirvot: Fuktio o drivoituv j > Sii o drivoituv kikkill Kok o jtkuv kohd
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj C Rjkoht o uktio b lukk imittäjä ollkoht Rj-rvo voi oll olm vi jo o myö ooittj ollkoht Rj-rvo: b b b b b b b Rj-rvo o 8 b b b Lvt lukkll
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj co o gomtri rj Srj trmi uhd q co Srj upp q li co > co > co Eimmäi päyhtälö totutuu π π π jälkimmäi π π Sii rj upp välillä π π π π j π π miä o kokoiluku Srj immäi trmi co j Ku rj upp umm o S q co co co co > co
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Puolipllo äd r cm Pd tilvuu V πr πr Todäköiyy PX o cm kork pllogmti tilvuud uhd koko puolipllo tilvuut h Pllogmti jok korku o h tilvuu o V πh r π V PX V π h r Krtymäuktio F PX Ku F Ku > F Ku todäköiyy PX o mtriä kork pllogmti tilvuud uhd koko puolipllo tilvuut π F PX π Sii: F > b Tihyuktio F j > c Odoturvo: E X d d / cm
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Kok uktio jko o uktio kuvj toituu mli kui : pituill välillä [ ] määritlly uktio kuvj Fuktio i ol drivoituv kohdi miä o kokoiluku illä uktio rotuomäärä toipuolit rj-rvot ovt äiä kohdi ri uurt Fuktio g mt rvot kui uktio mutt yhtä ykikköä ikimmi Sii uktio kuvj d iirtämällä uktio kuvj yhd ykikö vmmll Fuktio g i ol drivoituv kokoilukukohdi y y g y y Välillä [ ] uktio g luk o Sii: h g y h y li uktio h o vkiouktio välillä [ ] Fuktio h jko o jot h o vkiouktio koko rlilukuj jouko 7
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Jo > y o y > jot y y > li > y Sii o idoti kvv Fuktio drivtt o rotuomäärä rj-rvo y y y y y y y Eimrkiki uktio y y täyttää hdo : Jo y o y y y Jo y o y y y y Jo j y o y y y > y Fuktio o päjtkuv kohd kok illä o riuurt toipuolit rj-rvot: Ku Ku > 8
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj D Pompittu mtk mtriä o gomtri umm 7 7 7 7 8 7 7 m Kokoimtk o m m m Lvt lukkll
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt 7 Joo jät ooittjt 7 muodotvt ritmtti joo b jo liäy d Sii b b d Nimittäjät muodotvt joo c 7 Joo : jä o ii Joo rj-rvo: Jä poikkm rj-rvot o Kok o i poitiivi poikkm o pimpi kui > > : > > > Sii poikkm o pimpi kui : rvot lk
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Tutkit uktio kulku Drivoid: Drivt ollkohdt: : ti Rtkiukvll l l Kulkukvio: l 8 > > Kulkukvio prutll uktioll o mkimi kohd j miimi kohd l Mkimirvo: Miimirvo: l l l l l l l Kulkukvio muk uktio o idoti kvv välillä ] ] Kok o > Kulkukvio prutll uktio pii rvo välillä [ [ o l jot uktio pii rvo koko R:ä o Kok uktioll i ol uurit rvo
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Fuktio g drivttuktio o g Drivt ollkohdt: Kulkukvio: g g Ku uktio g o kulkukvio prutll kvv välillä [ ] Fuktio g pii rvo o g Ku koht kuuluu välill [ ] Kulkukvio prutll uktio g pii rvo o g Sii: Ku D jot Fuktio o drivoituv välillä ] [ j ] [ Fuktio rotuomäärä kohd o h h Ku h h h Ku h > h h h h h h h h h h h h h h Erotuomäärällä o rj-rvo jot o drivoituv myö kohd Sii uktio o drivoituv koko välillä ] [
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Ku uktio o drivoituv j 8 D Ku drivtt o rotuomäärä rj-rvo Sii : Kok koko välillä [ ] o poitiivi koko välillä Sii uktio o idoti kvv välillä [ ] li Nliöö korottmll yhtälö rtkiuki d Symmtri vuoki Kok uktio o idoti kvv o välillä [ ]
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt Srj E i i i i i Fuktio o jtkuv jot illä o itgrliuktio Fuktio itgrliuktiot ovt muoto co C F miä C j D ovt vkioit co D Fuktio F o jtkuv kikkill rityiti kohd jot C F F D D C li Sii itgrliuktiot ovt co C F co C b Sii co g co co co co miä C o vkio g co kikill jot uktio g itgrliuktiot ovt G i C miä C o vkio Eimrkiki vkiojoo upp kohti rj-rvo Vtv rj : oumm o jot oummi joo i upp Sii rj hjtuu Jo rj upp rj trmi muodotm joo rj-rvo o Sii uppv rj trmi joo i voi hjtu Sii joo i voi hjtu j vtv rj upt
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt d l l / / l l l l l l l l l l l l l l l l Sii d l Fuktio o i poitiivi Fuktioll o ii käätiuktio o idoti kvv illä drivtt Kok uktio j käätiuktio kuvjt ovt ymmtrit uor y uht iid likkupitid pitää oll uorll y Likkupitid -koorditit d ii rtkimll yhtälö l l l l Likkupit o ii l l l Käyräll y piirrty tgti kulmkrroi k o käätiuktio drivtt kohd l k l l l
Dirtili- j itgrlilk jtkokuri Krtuthtävi rtkiut Thtävärjt y o joko y ti y y Eimmäiä tpuk y y jälkimmäiä y y y Sii jok tpuk y y Lkt uktio drivtt kohd Erotuomäärä itirvo: Sii jokill jot o vkiouktio jot b Jo o jtkuv kohd ii Olkoo > joki luku Tällöi joki luku o muoto k miä k Ku ii k Tällöi k k k k k k Sii o jtkuv kohd c Fuktio drivtt kohd > o rotuomäärä rj-rvo Mrkitää k miä k Ku ii k Fuktio rotuomäärä kohd : k k k k k k Sii jokill li d Eimrkiki klp vkiouktio k k li k Myö mikä th logritmiuktio imrkiki l klp illä log b log log b jokill b >