0 (Ω) ovat Hilbertin avaruuksia, joissa sisätulo on

f ( n Funktionaalianalyysi n B. Sobolevin avaruudet 1 Ks. moniste 15.4 ja määritelmä 15.26. Monisteen mukaan Banachin avaruus H 1,p (0, 1 on normiavaruuden C 1 p(0, 1 = {f C 1 (0, 1 f, f L p (0, 1} täydentymä, kun normina on f f p + f p. Toisinaan kätevämpi on tämän kanssa ekvivalentti normi f 1,p = ( 1/p. f p p + f p p Tätä normia käytetään jatkossa. Tällöin H 1,2 (0, 1 on Hilbertin avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f g 1,2 = (f g 2 + (f g 2, missä ( 2 on L 2 (0, 1:n tavallinen sisätulo. Olkoot R n rajoitettu alue ja 1 < p < sekä p = p/(p 1. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että on riittävän sileä (esim. reuna on (n 1- ulotteinen C -alimonisto R n :ssä. Merkitään k u = u/ x k, V = {u C 1 ( u L p (, k u L p (, k = 1,..., n}, ( n 1/p ( n 1/p, u 1,p = ( u p + k u p = u p p + k u p p ja H 1,p ( = avaruuden V täydentymä normin 1,p suhteen. Selvästi H 1,p ( L p (. Lisäksi k v p v 1,p kaikille v V, joten kuvaukset k : V L p ( laajenevat jatkuviksi lineaarikuvauksiksi D k : H 1,p ( L p (. Tämä laajennus määrätään seuraavasti: Olkoon u H 1,p ( ja (v j j=0 V siten, että u v j 1,p 0, kun j. Tällöin D k u on jonon ( k v j j=0 raja-arvo L p (:ssa. Olkoon Cc 1 ( kaikkien jatkuvasti derivoituvien funktioiden ϕ: R joukko, joille supp ϕ on kompakti. Kun ϕ Cc 1 (, on (distribuutioderivaatta ( D k u ϕ dx = lim k v j ϕ dx j ( = lim v j k ϕ dx = u k ϕ dx, j missä kohdassa ( on käytetty osittaisintegrointia. Huomaa, että Cc 1 ( L p ( ja että Hölderin epäyhtälön nojalla kuvaus w w ϕ on jatkuva lineaarifunktionaali L p ( R, kun ϕ Cc 1 (. Luentomonisteen määritelmän 15.22 mukaisesti D k u on siis funktion u distribuutioderivaatta. Ks. myös jäljempänä kohtaa E, Sobolevin avaruuksien ominaisuuksia. Asetetaan H 1,p 0 ( = avaruuden C 1 c ( täydentymä normin 1,2 suhteen = aliavaruuden C 1 c ( sulkeuma H 1,p (:ssa. Avaruus H 1,p 0 ( on Sobolev-avaruuden H 1,p ( suljettu aliavaruus; sen avulla kuvataan funktioita, jotka häviävät alueen reunalla. Erityisesti H 1,2 ( ja H 1,2 0 ( ovat Hilbertin avaruuksia, joissa sisätulo on ( n (u v 1,2 = D k u D k v + u v dx. 1 S. L. Sobolev, Sur un théorème de l analyse fonctionelle, Mat. Sbornik 4 (46, 1938, 471 496 (venäjänkielinen, tiivistemä ranskaksi. Sobolev käsitteli hekkojen derivaattojen avulla määriteltyjä funktiojoukkoja, ei normitäydentymää. Ks. E ja (5. 1

2 C. Laplacen yhtälö C.1. Heikko ratkaisu. Tarkastellaan yhtälöä (1 u + λu = f, missä u = n x 2 k 2 u, f on annettu funktio ja λ R, λ > 0. Etsimme yhtälölle ratkaisua u, joka toteuttaisi reunaehdon u(x = 0, kun x, t.s. etsimme Dirichlet n reuna-arvotehtävän { u + λu = f alueessa, u = 0 alueen reunalla, ratkaisua. Seuraavat tarkastelut hahmottavat ideoita, jotka täsmentämällä ongelmalle löydetään ratkaisu; tässä yksityiskohdat sivuutetaan. Jotta saisimme yhtälön muotoon, johon voidaan soveltaa funktionaalianalyyttisiä menetelmiä, kerrotaan yhtälö puolittain funktiolla v ja osittaisintegroidaan (oletetaan aluksi, että esiintyvät funktiot on riittävän säännöllisiä; kaksi kertaa jatkuvasti differentioituvia alueen reunaa myöten. Koska u = 0 reunalla, saadaan divergenssilauseen avulla ( u + λuv dx = ( n k u k v + λuv dx = ( n D k u D k v + λuv dx, missä u D k u on tavallisen derivaatan u k u laajennus Sobolev-avaruuteen H 1,2 0 (. Asetetaan ( n a λ (u, v := D k u D k v + λuv dx. Tällöin a λ (u, v on hyvinmääritelty kaikille u, v H 1,2 0 (, ja yhtälön (1 ratkaisulle u on (2 a λ (u, v = f v dx kaikille v H 1,2 0 (. Kääntäen, funktiota u H 1,2 0 (, joka toteuttaa ehdon (2, kutsutaan yhtälön (1 heikoksi ratkaisuksi. Kuten pian nähdään, heikon ratkaisun olemassaolo on helppo osoittaa. Sen sijaan se, millä ehdoilla heikko ratkaisu on klassinen ratkaisu (s.o. kahdesti jatkuvasti differentioituva :ssa ja jatkuva reunaa myöten, on hankalampi ongelma. C.2. Galerkinin menetelmä. Koska Hilbert-avaruus H 1,2 0 ( separoituva, on olemassa jono (e j j H 1,2 0 ( siten, että (i e j ovat lineaarisesti riippumattomat, ja (ii span{e 1, e 2,...} = {e 1, e 2,...} on tiheä avaruudessa H 1,2 0 (. Tällöin aliavaruudet V n := span{e 1, e 2,..., e n } muodostavat kasvavan jonon H 1,2 0 (:n aliavaruuksia, joille n V n on tiheä avaruudessa H 1,2 0 (. Bilineaarimuoto (u, v a λ (u, v rajoitettuna avaruuteen V n V n on positiivinen ja sitä vastaava matriisi A kannan {e 1, e 2,..., e n } suhteen on kääntyvä. Kuvaus v

f v dx, V n R, on lineaarinen ja sitä vastaa vektori F R n. Täten yhtälöllä Au = F eli (3 a λ (u, v = f v dx, kaikille v V n on yksi (ja vain yksi ratkaisu u = u n avaruudessa V n. Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että λ 1. Määrätään ratkaisuille u n a-priori -arvio. Sijoittamalla yhtälöön (3 v = u n, saadaan Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla u n 2 1,2 a λ (u n, u n = f u n dx f 2 u n 2 f 2 u 1,2, joten u n 1,2 f 2. Siis jono ( u n 1,2 n on rajoitettu. Koska Hilbert-avaruus on refleksiivinen, ja refleksiivisen avaruuden rajoitettu ja suljettu joukko on heikosti jonokompakti, on jonolla (u n n heikosti suppeneva osajono. Tämä tarkoittaa, että on olemassa osajono, jota edelleen merkitään (u n n, ja u H 1,2 0 ( siten, että u n u heikosti, eli (u n v 1,2 (u v 1,2 kaikille v H 1,2 0 (. Rellichin lemman nojalla upotuskuvaus H 1,2 0 ( L 2 ( on kompakti operaattori. Tästä seuraa, että heikosti suppeneva jono (u n n suppenee L 2 (:ssa. Tällöin kaikille v H 1,2 0 ( on a λ (u n, v a λ (u, v, kun n. Yhtälöstä (3 päädytään haluttuun yhtälön (1 seuraavasti: Olkoon k N ja v k V k. Valitaan n k. Tällöin yhtälöstä (3 saadaan a λ (u n, v k = f v k dx, ja kun n, on (4 a λ (u, v k = f v k dx. Kun v H 1,2 0 ( on mielivaltainen, on olemassa jono (v k k siten, että v k V k ja v k v, kun k. Haluttu yhtälö (1 saadaan, kun yhtälössä (4 annetaan k. Huomautus C.1. (i Rellichin lemman käyttö edellä on jossain määrin turhaa, mutta sen avulla on helppo tehdä seuraava yleistys: yhtälössä (1 termi λu voidaan korvata termillä a(xu, missä a L ( ja jollakin λ > 0 on voimassa a(x λ m.k. x. (ii Edellä selitettyä menetelmää, approksimointia äärellisulotteisilla aliavaruuksilla, voidaan käyttää myös joidenkin epälineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseen, esim. u+g(u = f, missä g : R R. Tällöin aliavaruuden V n yhtälön Au = F vastine on epälineaarinen ja jo sen ratkaiseminen voi olla mutkikasta. (iii Tilanne on mutkikkaampi, kun λ 0. Tällöin homogeenisella yhtälöllä u+ λu = 0 voi olla ratkaisuja u H 1,2 0 (, u 0. Tällaiset funktiot u ovat yhtälön (1 ominaisfunktioita ja vastaavat luvut λ ominaisarvoja. Esimerkiksi, jos = (0, π (0, π, niin ainakin funktiot u(x, y := sin(nx sin(my ovat reuna-arvotehtävän u + λu = 0, u = 0, ratkaisuja, kun λ := n 2 m 2, 3

4 ja n, m N. Tilanteen tarkempi selvittely onnistuu perehtymällä kompaktien operaattorien spektraalieoriaan ja Fredholmin vaihtoehtolauseeseen. D. Laxin ja Milgramin lemma Seuraava lemman avulla yhtälön (2 ratkaisun olemassaolo on helppo näyttää. Lause D.1 (Laxin ja Milgramin lemma. Olkoot H reaalinen Hilbertin avaruus ja B : H H R jatkuva bilineaarimuoto, t.s. on olemassa M R s.e. kaikille x, y, z H ja λ, µ R (i B(λx + µy, z = λb(x, z + µb(y, z, (ii B(x, λy + µz = λb(x, y + µb(x, z, (iii B(x, y M x y. Oletetaan lisäksi, että B on koersiivinen, t.s että (iv on olemassa c > 0 s.e. B(x, x c x 2 kaikille x H. Tällöin jokaiselle f H on olemassa yksikäsitteinen v H s.e. B(v, y = f(y kaikille y H. Todistus. Olkoot x H ja g(y = B(x, y. Ehdon (ii nojalla g on lineaarinen, ja ehdon (iii nojalla g(y = B(x, y M x y, joten g on jatkuva. Siis g H, ja Fréchet n ja Rieszin esityslauseen nojalla on olemassa yksikäsitteinen z H s.e. g(y = (z y kaikille y H. Merkitään Ax = z. Tällöin B(x, y = (Ax y kaikille y H. Korvataan x lineaarikombinaatiolla λx + µz. Tällöin (A(λx + µz y = B(λx + µz, y = (i λb(x, y + µb(z, y = λ(ax y + µ(az y = (λax + µaz y. Yksikäsitteisyyden perusteella A(λx + µz = λax + µaz, joten A on lineaarinen. Sijoitetaan y = Ax ehdossa B(x, y = (Ax y. Tällöin (Ax Ax = B(x, Ax (iii M x Ax, joten Ax M x, ja A on siis jatkuva. Operaattori A on injektio, sillä jos Ax = 0, on 0 = (Ax x = B(x, x c x 2, joten x = 0. Itse asiassa yleisemmin on voimassa epäyhtälö Ax c x kaikille x H: c x 2 B(x, x = (Ax x Ax x. Operaattori A on surjektio: Oletaan aluksi, että kuvajoukko A(H =: H 0 on suljettu. Tehdään antiteesi: H 0 H. Tällöin on olemassa y H s.e. y H 0 ja y 0, t.s. (Ax y = 0 kaikille x H. Erityisesti 0 = (Ay y = B(y, y c y 2, joten y = 0. Siis antiteesi on väärä. Kuvajoukko on suljettu: Olkoot y H 0 ja (y n n H 0 s.e. y n y. Olkoon x n H s.e. Ax n = y n. Tällöin epäyhtälön Ax c x nojalla c x n x m A(x n x m = y n y m. Koska jono (y n n on Cauchyn jono, on myös (x n n Cauchyn jono. Olkoon x = lim n x n. Tällöin y = lim n y n = lim n Ax n = Ax A(H. Fréchet n ja Rieszin lauseen nojalla on olemassa F H s.e. f(y = (F y kaikille y H. Nyt B(v, y = f(y kaikille y H (Av y = (F y kaikille y H Av = F. Koska A on isomorfismi, tällainen v löytyy ja se on yksikäsitteinen. Esimerkki D.2. Yhtälön (2 ratkeavuus seuraa helposti Laxin ja Milgramin lemmasta. Ensinnäkin, välittömästi nähdään, että bilineaarimuoto a λ toteuttaa edellisen lauseen ehdot. Erityisesti, jos λ = 1, a 1 on H 1,2 0 (:n sisätulo, jollainen aina toteuttaa Laxin ja Milgramin lemman ehdot. Toisekseen, kun f L 2 (, on v f v dx

jatkuva lineaarifunktionaali H 1,2 0 ( R: f v dx f 2 v 2 f 2 v 1,2. Erityisesti yhtälön a 1 (u, v = f v dx v H1,2 0 ( ratkeavuus seuraa suoraan Fréchet n ja Rieszin esityslauseesta. Poincarén epäyhtälön (Lause E.10 nojalla myös arvo λ = 0 kelpaa: yhtälöllä u = f on yksikäsitteinen heikko ratkaisu u H 1,2 0 (. Laxin ja Milgramin lemman vahvuus on kuitenkin siinä, että sen nojalla myös seuraavalla, huomattavasti yleisemmällä reuna-arvotehtävällä on ratkaisu: Olkoon ( n a(u, v := a j,k D j u D k v + a 0 uv dx, kun u, v H 1,2 0 (, j, missä a j,k, a 0 L (. Oletetaan, että on olemassa c > 0 siten, että n a j,k (xξ j ξ k c ξ 2 ja a 0 (x c m.k. x. j, Tällöin a(u, v toteuttaa Laxin ja Milgramin lemman ehdot. Lemman nojalla yhtälöllä a(u, v = f v dx v H1,2 0 ( on siis tasan yksi ratkaisu. Tämän yhtälön ratkaisu u H 1,2 0 ( voidaan tulkita seuraavan (ns. divergenssimuotoisen 2 reunaarvotehtävän ratkaisuksi n D k (a j,k D j u = f alueessa, j, u = 0 reunalla. E. Sobolevin avaruuksien ominaisuuksia Funktiolla u L p ( on heikko derivaatta (eli distribuutioderivaatta u j L 1 loc ( muuttujan x j suhteen, jos (5 u v dx = u j v dx kaikille v Cc 1 (. x j Tässä joukko L 1 loc ( koostuu kaikista mitallisista funktioista u: R, joille u K L 1 (K kaikille kompakteille joukoille K. Koska C 1 c ( on L p (:n tiheä aliavaruus, on heikko derivaatta yksikäsitteinen silloin, kun se on olemassa. Merkitään D j u = u j = u:n heikko derivaatta muuttujan x j suhteen. Asetetaan W 1,p ( = {u L p ( D j u L p ( j = 1,..., n}, ja 3 ( n 1/p. u 1,p = u p p + D j u p p j=1 5 2 Kun merkitään A(x = (a j,k (x n j,, voidaan yhtälö esittää muodossa div(a(x u = f. 3 Sobolevin avaruuksille on historiallisista syistä johtuen kaksi erilaista määritelmää ja myös kaksi erilaista merkintää, H ja W, vaikka Meyersin ja Serrinin lauseen perusteella kyse onkin samasta avaruudesta. Näin myös W 1,p 0 ( tarkoittaa samaa kuin H 1,2 0 (. Lisäksi tapauksessa p = 2 käytetään usein merkintöjä H 1 ( = H 1,2 ( ja H0 1 ( = H 1,2 0 (. Myös merkintöjä H1 p(, H 1,p (, jne. käytetään.

6 Lause E.1 (Meyers ja Serrin. H = W. 4 Tarkemmin sanottuna H 1,p ( = W 1,p (. Lisäksi heikko derivaatta D j u on sama kuin tavallisen derivaatan laajennus jatkuvaksi lineaarikuvaukseksi D j : H 1,p ( L p (. Inkluusio H W on helppo todeta. Osittaisintegroinnilla nähdään, että C 1 ( H 1,p ( W 1,p (. Kun u H 1,p (, on olemassa jono (v n n=1 C 1 ( H 1,p ( siten, että v n u H 1,p (:ssä. Tällöin v n u L p (:ssa ja on olemassa u j L p ( siten, että j v n u j L p (:ssa. Koska Cc 1 ( L p (, saadaan Hölderin epäyhtälön nojalla kaikille v Cc 1 ( v v n dx x j u v v n dx ja v dx u j v dx x j x j Lause E.2. Aliavaruus C 1 ( koostukoon jatkuvista funktioista u: R siten, että niiden osittaisderivaatat u x j : R voidaan jatkaa jatkuviksi funktioiksi R. Tällöin C 1 ( on W 1,p (:n tiheä aliavaruus. Itse asiassa voidaan osoittaa, että myös Cc (R n on W 1,p (:n tiheä aliavaruus. Tämä tarkoittaa, että kaikille ε > 0 ja u W 1,p ( on olemassa v Cc (R n siten, että v u 1,p ε. Monien Sobolevin avaruuksien ominaisuuksien tarkasteluissa voidaan vedota L p - avaruuksien vastaaviin ominaisuuksiin. Osa ominaisuuksista periytyy tuloavaruuteen (L p ( n+1, kun se varustetaan normilla ( n 1/p. (f 0,..., f n = f j p p Tällöin kuvaus W 1,p ( (L p ( n+1, u (u, D 1 u,..., D n u, on isometrinen upotus. Koska W 1,p ( on täydellinen, voidaan se tulkita tulon (L p ( n+1 suljetuksi aliavaruudeksi. j=0 Lause E.3. Kun 1 < p <, on W 1,p ( separoituva. Lause E.4. Kun 1 < p <, on W 1,p ( tasaisesti konveksi ja siis refleksiivinen. Tämän todistamisessa voidaan vedota L p (:n tasaiseen konveksisuuteen. Tällöin myös (L p ( n+1 on tasaisesti konveksi, kun tulojoukossa normina käytetään juuri yllä valittua normia. Tällöin sen suljettu aliavaruus W 1,p ( on tasaisesti konveksi. Lause E.5 (Rellichin lemma. Upotus W 1,p ( L p ( on kompakti. Tässä tilanteeessa upotuksen kompaktisuus tarkoittaa, että jokainen W 1,p (:ssa heikosti suppeneva jono suppenee L p (:n normin mielessä, tai yhtäpitävästi, että jokaisella W 1,p (:n rajoitetulla jonolla on L p (:n normin mielessä suppeneva osajono. Yleisemmin on voimassa: Upotus W 1,p 0 ( L p ( on kompakti jokaiselle rajoitetulle alueelle. Sen sijaan mielivaltaiselle alueelle upotuksen W 1,p ( L p ( ei tarvitse olla kompakti; ks. [4, Band II, VII.8.2]. 4 Lause tunnetaan Meyersin ja Serrinin lauseena (vuodelta 1964, koska heidän julkaisemansa artikkeli, jonka otsikko on juuri H = W, sisälsi k.o. tuloksen helppolukuisessa muodossa. Saman tuloksen olivat kuitenkin jo aiemmin todistaneet Friedrichs (1944, Deny ja Lions (1953 54, Gagliardo (1958 ja Babich (1953.

Lause E.6 (Sobolevin upotuslause. (i Jos 1 p < n, niin W 1,p ( L p (, missä 1 = 1 1. p p n (ii Jos p = n, niin W 1,p ( L q ( kaikille q [1,. (iii Jos p > n, niin W 1,p ( C(. Lisäksi jokainen u W 1,p ( on Hölderjatkuva eksponentilla α = 1 n/p, t.s. on olemassa vakio M siten, että u(x u(y M x y α kaikille x, y. Tässä viimeiseen kohtaan on syytä tehdä seuraava täsmennys: jokaiselle u W 1,p ( on olemassa u 0 C( siten, että u(x = u 0 (x m.k. x. Koska kaksi L p -funktiota samastetaan, jos ne eroavat toisistaan vain nollamittaisessa joukossa, ei L p -funktion f rajoittuma f reunalle ole mielekäs. Toisaalta, jatkuvalla funktiolle u C( rajoittuma u on reunalla jatkuva funktio. Sobolevin upotuslauseen nojalla voidaan toivoa, että Sobolevin avaruuden funktiolle jotain parempaa kuin L p -funktioille on voimassa. Lemma E.7. Olkoon = R n 1 (0, = {x = (x, x n R n x R n 1, x n > 0}. Tällöin on olemassa vakio C > 0 siten, että ( 1/p u(x, 0 p dx C u 1,p u Cc 1 (R n. R n 1 Lause E.8 (Jälki. Rajoittuma C 1 ( C(, u u, voidaan laajentaa jatkuvaksi lineaarikuvaukseksi W 1,p ( L p (, λ, missä λ on Lebesguen (n 1- ulotteinen mitta reunalla. Lause E.9. Sobolevin avaruuden W 1,p 0 ( duaali (W 1,p 0 ( =: W 1,p (, missä 1 < p < ja 1 + 1 = 1, koostuu lineaarikuvauksista F : W 1,p p p 0 ( R siten, että on olemassa f 0,...,f n L p (, joille n F (v = f 0 v dx + f j D j v dx kaikille v W 1,p 0 (. Muodollisesti siis (tai distribuutioteorian mielessä on F = f 0 n j=1 D jf j. Lause E.10 (Poincarén epäyhtälö. On olemassa vakio C siten, että ( n 1/p v p C D j v p p kaikille v W 1,p 0 (. j=1 Poincarén epäyhtälön nojalla normit 1,p ja v ( n j=1 D jv p p 1/p ovat ekvivalentteja normeja Sobolevin avaruudessa W 1,p 0 (. Lause E.11 (Poincarén ja Wirtingerin epäyhtälö. Olkoon sileä ja konveksi. Tällöin on olemassa vakio C siten, että ( n 1/p v v p C D j v p p j=1 j=1 7

8 kaikille v W 1,p (, missä on :n mitta ja v = 1 :ssa. v(x dx = v:n keskiarvo Lemma E.12. Olkoon G: R R jatkuvasti derivoituva siten, että G(0 = 0 ja G on rajoitettu. Kun u W 1,p (, on G u W 1,p ( ja (G u = (G u u. x j x j Tämä on kohtalaisen helppo nähdä vetoamalla Sobelevin avaruuden täydentymämääritelmään. Olkoon (u n n=1 C 1 ( W 1,p ( jono siten, että u n u W 1,p (:ssa. Olkoon G (t M. Tällöin väliarvolauseen nojalla G(u n G(u M u n u, josta seuraa, että G(u n G(u L p (:ssa. Toisaalta, G(u n x j = G (u n u n x j G (ud j u, kun n. Nimittäin, G (u n u ( n G (ud j u = G un (u n D j u + (G (u n G (ud j u =: A n + B n. x j x j Tässä A n 0 L p (:ssa. Toisaalta, B n 0 m.k. ja B n p (2M p D j u p L 1 (, joten Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseen nojalla B n 0 L p (:ssa. Huomattavasti vaikeampi on näyttää, että funktion G jatkuvasta derivoituvuudesta voidaan luopua. Esimerkiksi, jos G on jatkuva ja paloittain jatkuvasti derivoituva siten, että G(0 = 0 ja G on rajoitettu, niin edellisen lauseen väite pätee. Näin esimerkiksi max{u, 0} W 1,p (, kun u W 1,p (. F. Konveksi projektio Muistutus: Vektoriavaruuden H osajoukko K on konveksi, jos u, v K = (1 tu + tv K kaikille t [0, 1]. Lause F.1. Olkoot H reaalinen Hilbertin avaruus, K H epätyhjä suljettu, konveksi joukko ja f H. Tällöin on olemassa tasan yksi u K siten, että (6 f u = min f v. v K Piste u voidaan karakterisoida ehdolla (7 u K ja (f u v u 0 kaikille v K. Lähin piste u =: P K f on vektorin f konveksi projektio joukolle K. Todistus. Olkoon d = inf v K f v. Tällöin on olemassa jono (v k K siten, että d k := f v k d, kun k. Osoitetaan, että jono (v k on Cauchyn jono. Suunnikassäännön nojalla 5 f v k + v l 2 + v k v l 2 = 1 2 2 2 (d2 k + d 2 l. Koska K on konveksi, on v k+v l K. Siis f v k+v l 2 d 2, joten 2 2 v k v l 2 1 2 2 (d2 k + d 2 l d 2 0, 5 a + b 2 + a b 2 = 2 a 2 + 2 b 2 ; valitse a = f v k ja b = f v l.

kun k, l. Tästä seuraa, että jono (v k on Cauchyn jono. Koska H on täydellinen, on jonolla raja-arvo u H. Koska v k K ja K on suljettu, on u = lim k v k K. Ratkaisu on yksikäsitteinen: Jos u on toinen lähin piste, niin suunnikassäännön nojalla saadaan f u + u 2 + u u 2 = 1 2 2 2 (d2 + d 2 = d 2. Tässä u+u K, joten f u+u 2 d 2. Siis 2 2 u u 2 d 2 d 2 = 0, 2 joten u u = 0. Ehtojen (6 ja (7 yhtäpitävyys, (6 = (7: Olkoot w V ja v = (1 tu + tw, missä t (0, 1]. Tällöin v K, joten f u f v = (f u t(w u. Tällöin f u 2 f u 2 2t(f u w u + t 2 w u 2. Siis 2(f u w u t w u 2, josta epäyhtälö (7 seuraa, kun t 0. (7 = (6: Toteuttakoon u K ehdon (7. Tällöin u f 2 v f 2 = u f 2 (v u+(u f 2 = u v 2 +2(u f v u 0 kaikille v K. Huomautus F.2. Lauseen ensimmäinen väite, lähimmän pisteen olemassaolo ja yksikäsitteisyys, ei edellytä avaruuden reaalisuutta. Seuraus F.3. Olkoot H (reaalinen tai kompleksinen Hilbertin avaruus, V H suljettu aliavaruus ja f H. Tällöin on olemassa tasan yksi u V siten, että f u = min f v. v V Piste u voidaan karakterisoida ehdolla u V ja f u V. Todistus. Suljettu aliavaruus on suljettu ja konveksi, joten lähimmän pisteen olemassaolo ja yksikäsitteisyys seuraavat edellisestä lauseesta. Tapauksessa K = R, saadaan ehdon (7 nojalla kaikille v V ja t > 0, joten (f u tv u 0 (f u v t 1 (f u u. Kun t, saadaan (f u v 0. Vaihtamalla v vastavektorikseen, saadaan (f u v 0. Kääntäen, jos u V ja f u V, niin kaikille v V saadaan (f u v u = (f u v (f u u = 0. 9

10 Tapaus K = C: Lainataan edellisen lauseen ehtojen (7 ja (6 yhtäpitävyyden todistusta. Toteuttakoon u K ehdon (6. Olkoot w V ja v = u + tw, missä t C, jolloin v V. Tällöin Kun t > 0, saadaan f u 2 f u 2 2 Re(f u tw + tw 2. 2 Re(f u w t w 2. Kun t 0, saadaan Re(f u w 0. Korvaamalla w vastavektorillaan, saadaan Re(f u w 0, joten Re(f u w = 0. Korvaamalla w vektorilla iw, saadaan 0 = Re(f u iw = Im(f u w, joten (f u w = 0. Kääntäen olkoon u V ja f u V. Tällöin kaikille v K on v u V, joten Pythagoraan lauseen nojalla u f 2 v f 2 = u f 2 (v u + (u f 2 = u v 2 0. Huomautus F.4. Kun V H on suljettu aliavaruus, on konveksi projektio f P V f jatkuva lineaarikuvaus, ja sitä on tapana kutsua ortogonaaliprojektioksi. Konveksille joukolle K H konveksi projektio f P K f on Lipschitz-jatkuva (todistus: HT. Esimerkki F.5. Tarkastellaan konveksia projektiota yhtälöön (1 liittyen. Olkoon ( n a λ (u, v := D k u D k v + λuv dx, kun u, v W 1,2 (. Tällöin a 1 on Sobolevin avaruuden W 1,2 ( sisätulo, a 1 (u, v = (u v 1,2. Kun K W 1,2 ( on epätyhjä, suljettu ja konveksi joukko, on pisteen F W 1,2 ( konveksille projektiolle u K voimassa a 1 (F u, v u 0 kaikille v K. Olkoon f L 2 (. Tällöin v f(xv(x dx on jatkuva lineaarifunktionaali W 1,2 ( R, joten Fréchet n ja Rieszin esityslauseen nojalla on olemassa F W 1,2 ( siten, että f(xv(x dx = a 1(F, v kaikille v W 1,2 (. Tässä tilanteessa konveksin projektion karakterisoi variaatioepäyhtälö (8 a 1 (u, v u f(x(v(x u(x dx kaikille v K. Pisteen F konveksille projektiolle u yhtäpitävä ehto on, että u minimoi etäisyyden v F 1,2 tai yhtäpitävästi normin neliön v F 2 1,2. Koska v F 2 1,2 = v 2 1,2 2(F v 1,2 + F 2 1,2 ja F 2 1,2 on vakio, on F :n konveksi projektio u K myös seuraavan minimiongelman ratkaisu: { } 1 min a 2 1(v, v f(xv(x dx v K. Erityisesti, kun valitaaan K = W 1,2 0 (, joka on W 1,2 (:n suljettu aliavaruus, ovat seuraavat tehtävät yhtäpitäviä (muista: nyt epäyhtälöehdon sijasta on käytettävissä

ehto u F K eli (u F v 1,2 = 0 v K: u W 1,2 0 ( ja (9 a 1 (u, v = f(xv(x dx kaikille v W 1,2 0 (; (10 u minimoi funktion v 1a 2 1(v, v f(xv(x dx W 1,2 0 (:ssa. Dirichlet n periaatteeksi kutsutaan menetelmää ratkaista yhtälö (9 etsimällä tehtävälle (10 ratkaisu. Huomaa, että tässä minimoitavana on ( v(x 2 + v(x 2 dx f(xv(x dx. 1 2 Kun Dirichlet n periaatetta 1800-luvulla käytettiin osoittamaan, että Dirichlet n tehtävällä on ratkaisu, sorrutiin usein siihen yksinkertaiseen virheeseen, että inf = min. Minimoitavana oleva funktio (10 on helppo todeta alaspäin rajoitetuksi, joten sen alarajojen joukosta löytyy suurin. Mutta kuten konveksin projektion olemassaolotodistuksesta tiedämme, ei ole selvää, että minimoiva jono suppenisi. Suppenevuuden takaamiseksi projektiolauseessa oletetaan, että tarkasteltava sisätuloavaruus on täydellinen. Kun minimiä 1800-luvulla tavoiteltiin, ei käytössä ollut Sobolevin avaruuksia vaan ratkaisuksi koitettiin etsiä liian sileitä funktioita. Edelliset tarkastelut voidaan jälleen helposti yleistää: Olkoon ( n a(u, v = a j,k D j u D k v + a 0 uv dx, kun u, v W 1,2 (, j, missä a j,k, a 0 L (. Oletetaan, että a j,k = a k,j ja että on olemassa c > 0 siten, että n a j,k (xξ j ξ k c ξ 2 ja a 0 (x c m.k. x. j, Tällöin (u, v a(u, v toteuttaa sisätulolle asetetut ehdot. Lisäksi u a(u, u on Sobolevin avaruuden W 1,2 ( normin 1,2 kanssa ekvivalentti normi. Dirichlet n periaatteen muotoilu tähän tapaukseen jääköön harjoitustehtäväksi. Esimerkki F.6. (Jatkoa: esteongelma. Tarkastellaan vielä konveksiin joukkoon K = {v W 1,2 0 ( v ψ} liittyvää tilannetta. Tässä ψ W 1,2 ( siten, että ψ 0 reunalla. Jokaiselle f L 2 ( varaatioepäyhtälöllä (8 on siis tasan yksi ratkaisu u K. Ratkaisu u W 1,2 0 ( voidaan tulkita seuraavan ongelman ratkaisuksi: Olkoon I = {x u(x = ψ(x}. Tällöin u ψ alueessa, u + u f alueessa, u + u = f joukossa \ I. u = ψ joukossa I, u = 0 reunalla, 11

12 Viitteet [1] Tom M. Apostol, Mathematical analysis, 2nd edition, 5th printing, Addison Wesley, 1981; ensimmäinen laitos 1957. [2] Stefan Banach, Theory of Linear Operations, North Holland Mathematical Library, 1987; alunperin Théorie des operations linéares, Monografie Matematyczne 1, Warszawa, 1932. [3] Haïm Brezis, Analyse fonctionelle. Théorie et applications, 2 e tirage, Collection mathématiques appliqueés pour la maîtrise, Masson, 1987. [4] Richard Courant und David Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik Band I, Dritte Auflage, Heidelberger Taschenbücher 30, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, 1924; Band II, Zweite Auflage, Heidelberger Taschenbücher 31, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, 1937. [5] Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Third printing, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 61, SIAM, 1994. [6] Jean Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Third (enlarged and corrected printing, Academic Press, 1969; alunperin Fondements de l Analyse Moderne, Gauthier Villars, 1960. [7] Jean Dieudonné, Infinitesimal Calculus, Hermann, Paris 1971; alunperin Calcul infinitésimal, Hermann, Paris 1968. [8] Gerald B. Folland, Introduction to partial differential equations, Mathematical Notes, Princeton University Press, 1976. [9] Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Inc., 1982; alunperin Holt-Rinehart-Winston, 1970. [10] Werner Greub, Lineare Algebra, Heidelberger Taschenbücher Band 179, Springer-Verlag, 1976; alunperin Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 97, 1958. [11] Edwin Hewitt and Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Third printing, Graduate Texts in Mathematics 25, Springer-Verlag, 1975. [12] Friedrich Hirzebruch und Winfried Scharlau, Einführung in die Funktionalanalysis, Hochschultaschenbücher Band 296, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1971. [13] Lauri Kahanpää, Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua osa II, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, 2004. [14] Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, Dover Publications, Inc., 1976; alunperin John Wiley & Sons Inc., 1968. [15] A. Langenbach, Vorlesungen zur höheren Analysis, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984. [16] Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis, Academic Press, 1972; II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, 1975. [17] Frigyes Riesz and Béla Sz.-Nagy, Functional Analysis, Dover Publications, Inc, 1990; alunperin Leçons d analyse fonctionelle, Académiai Kiadó, 1952; engl. käännös Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co., 1955. [18] Walter Rudin, Functional Analysis, Tata McGraw-Hill, 1982; alunperin McGraw-Hill, 1973. [19] Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Second edition, Tata McGraw-Hill, 1979; alunperin McGraw-Hill, 1966. [20] Laurent Schwartz, Analyse Hilbertienne, Collection Méthodes, Hermann, 1979. [21] Karl Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth International Mathematics Series, 1981. [22] Dirk Werner, Funktionalanalysis, Vierte, überarbeitete Auflage, Springer-Lehrbuch, Springer, 2002. [23] Kôsaku Yosida, Functional Analysis, Fourth Edition, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Band 123, Springer-Verlag, 1974.