Sähkötekniikka ja elektroniikka Kimmo Silvonen (X)
Passiiviset peruskomponentit Luento Kondensaattori kapasitanssi C; yhtälö i =f(u) perustuu varauksen häviämättömyyden lakiin (virran määritelmä) Kela induktanssi L; yhtälö u =f(i) perustuu Faradayn induktiolakiin (yksi jännitteen määritelmistä) Muutosilmiöt eli transienttianalyysi Diracin deltafunktio Eksponentiaaliset muutosilmiöt RC, RL Vaimeneva värähtely RLC, RCC, RLL Laplace-muunnos (ei kuulu kurssiin) Teoriaa laajasti: Elektroniikka ja sähkötekniikka, 2018 Page 2 (23)
Kela ja induktanssi L, Faradayn induktiolaki Varastoi energiaa, mutta ei kuluta tehoa, jos käämissä ei ole resistanssia i u L ψ = Li = Nφ i w L = 1 2 Li2 u = u(t) = dψ dt = d(li) = L di dt dt t u L vrt. u = Ri i = i(t) = 1 udt + I L0 vrt. i = Gu L 0 Induktanssi [L] = H = Vs/A = henry Käämivuo [ψ] = Vs = Wb = weber Magneettivuo [φ] = Vs = Wb I L0 = i(0) = kelan virta hetkellä t = 0, kierrosmäärä N w L = kelaan varastoitunut energia (J) Page 3 (23)
di- ja dt -jumppaa u = u(t) = L di dt udt = Ldi t i(t) = 1 L udt = L t t di udt = 1 L t 0 i = i(t) = 1 udt + I L0 L 0 ( d d t dt (i) = 1 L dt di dt = 1 L u + 0 0 u(t) Ala t I L0 udt + 1 L ) udt + d dt (vakio) t 0 udt Page 4 (23)
Kondensaattori ja kapasitanssi C, Sähkövirran määritelmä Ei ole vastusta; varastoi energiaa, mutta ei kuluta tehoa u i C + C + C C q = Cu w C = 1 2 Cu2 i = dq dt = d(cu) = C du dt dt u = 1 C t 0 idt + U C0 vrt. i = Gu vrt. u = Ri Kapasitanssi [C] = F = As/V = faradi Varaus [q] = As = C = coulombi U C0 = u(0) = kondensaattorin eli konkan jännite hetkellä t = 0 w C = kondensaattoriin varautunut energia [J] Page 5 (23)
Jännite ja virta kelassa ja konkassa, yhteenveto Varastoitunut hetkellinen energia w = w(t) w L = 1 2 Li2 w C = 1 2 Cu2 u L = L di dt i L (t) = 1 L t 0 udt + i L (0) i C = C du dt u C (t) = 1 C t 0 idt + u C (0) Page 6 (23)
Diracin deltafunktio δ(t), nopea muutosilmiö Jännite- tai virtapiikki, korkeus, leveys nolla (vrt. Laplace-muunnos) Kelan virta tai kondensaattorin jännite katkaistaan brutaalisti: u L = L di dt L 0 I L 0 i C = C du dt C 0 U C 0 u L = Lδ(t) i C = Cδ(t) U C C virtapiikki i C (t) u L (t) t = 0 i C t = 0 t jännitepiikki suojaus t = 0 I L u L L i L i L Page 7 (23)
Ylärivi: 6. vasemmalta Schrödinger, 8. Pauli, 9. Heisenberg, 12. X Keskirivi: 5. Dirac (keskimm.), 6. Compton, 7. de Broglie, 9. Bohr Alarivi: 2. Planck, 3. MC (2xNP), 4. Lorentz, 5. mc 2 [Solvay 1927] 8
Muutosilmiöt Circuit Transients Transienttianalyysi L ja C varastoivat energiaa Energiavarastot verrannollisia virtaan (L) ja jännitteeseen (C) Varastot eivät voi muuttua äkkijyrkästi: i L ja u C jatkuvia Muutosilmiöt ovat eksponenttifunktioita RC ja RL 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt LC, RLC, RCC ja RLL 2. kertaluvun d. y. Page 9 (23)
Jännitelähteen kytkeminen Switching On Jännite u C ja virta i L muuttuvat eksponenttikäyrää pitkin E R t = 0 C u C E R t = 0 i L L u C i L kasvava = kupera t Page 10 (23)
Jännitteen katkaisu Switching Off Lähde nollataan. Huom. todellista jännitelähdettä ei saa oikosulkea! toteaa nimimerkki Coke musta on! E R R i L t = 0 C u C E t = 0 L u C i L pienenevä = kovera t Page 11 (23)
Kondensaattorin lataaminen Charging the C Alkujännitteestä U C0 alkaen. Tulos on johdettu tuonnempana. u R R t = 0 i E C u E U C0 R i t u E U C0 u(t 0) = E (E U C0 )e t/(rc) t Page 12 (23)
Differentiaaliyhtälö Differential Equation Yrite on yhtälön tunnettu ratkaisu, jonka vakioita ei vielä tunneta. t 0 : u R E R C i u E + Ri + u = 0 E = RC du dt + u }{{} differentiaaliyhtalo i = C du dt u(t) = B + Ae t/τ }{{} yrite tai E = Ri + 1 C t 0 idt + u(0) Page 13 (23)
Vakioiden määrittäminen Coefficients Sijoitetaan yrite alkuperäiseen yhtälöön E = RC du dt }{{} A τ e t/τ + u }{{} B+Ae t/τ }{{} E + RC A τ e t/τ = }{{} B + Ae }{{ t/τ } mnt }{{} mnt jht jht Munat ja jauhot -menetelmä (mnt, jht): yhtälön on oltava voimassa kaikilla t:n arvoilla; jauhoilla ei voi kompensoida munia! B = E A saadaan Alkuehdosta (t = 0): τ = RC u(0) = U C0 = B + Ae 0/τ = B + A A = U C0 B Page 14 (23)
Raja-arvot Limit Values Nollaa lähestytään miinus- tai pluspuolelta Samanlaista merkintää käytetään matematiikassa. i(t) E U C0 R i(0 + ) t i(0 ) u(t) E U C0 t i(0 ) = 0 i(0 + ) = E U C0 R u(0 ) = u(0 + ) = u(0) = U C0 Page 15 (23)
Yleinen esitysmuoto General Form Ei tarvita differentiaaliyhtälöä ainoastaan alku- ja loppuarvot! Silmäile tätä kertausvaiheessa! u( ) = B + Ae /τ = B + 0 = B u(0) = B + Ae 0/τ = B + A u(t) = u( ) +[u(0) u( )] }{{}}{{} B A e t/τ E R u(t) u( ) i( ) = 0 t u( ) u(0) Page 16 (23)
Aikavakio Time Constant Määrittäminen graafisesti tai matemaattisesti on triviaalia Silmäile tätä kertausvaiheessa! A > 0, B = 0 A A e t τ Vino viiva on käyrän tangentti A < 0 B B + A e B + A t τ 1 e 0,37 1 1 e 0,63 Page 17 (23)
Induktanssin kytkeminen piiriin Switching On eli "energisointi", vrt. kondensaattorin lataaminen E u R i(t) R t = 0 L u(t) E = u R + u = Ri + L di dt u(t) i(t) E RI L0 E/R t I L0 t Page 18 (23)
Induktanssin tyhjentäminen Switching Off Aluksi E:n tasavirta menee kokonaan vastuksettoman kelan läpi R i(t) E L R u(t) t = 0 i(t) u(t) t RI L0 t I L0 L:n ja C:n muutosilmiöt ovat matemaattisesti samanlaisia, jos u:t ja i:t vaihdetaan päikseen. Page 19 (23)
RC- ja RL-piirit, yhteenvetoa Kelan TAI konkan muuttuva virta ja jännite Tyypillisiä tapauksia, silmäile tätä kertausvaiheessa älä ennen! i L tai u C u L = L di L dt tai i C = C du C dt Vakio (d.c.) 0 Lineaarisesti kasvava Lineaarisesti pienenevä Kasvava eksponenttikäyrä Pienenevä eksponenttikäyrä positiivinen vakio negatiivinen vakio pienenevä eksponenttikäyrä kasvava eksponenttikäyrä Page 20 (23)
LC- ja RLC-piirit: kela JA konkka Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö! Alinna eräs ratkaisu. t = 0 R L C E i(t) t E = Ri(t) + L di(t) + 1 dt C 0 = R di dt + L d2 i dt 2 + i C + 0 [ E s = RI(s) + L si(s) + 1 C 0 i(t)dt + U C0 I(s) s (derivoitu) + U ] C0 s (Laplace muunnettu) i(t) = Ae at sin(ωt) Page 21 (23)
Eksponentiaalisesti vaimeneva sini Eksponentiaalinen verhokäyrä i(t) t i(t) = Ae at sin(ωt) Vrt. Tacoma Narrows Bridge Seattlen lähellä; sillan värähtelyä (Youtube, 4 min. 13 s.) on simuloitu RLC-piirillä. Volgogradissa eräs silta suljettiin 22.5.2010 vastaavan värähtelyn takia. Page 22 (23)
Osoitinlaskenta Phasor Calculus Vaihtovirrat ja kompleksiluvut Käsitellään kahdella seuraavalla viikolla. Esitietoja ei vaadita. Yksi kurssin pääaiheista, muista tulla paikalle! Ota laskin mukaan (tavallinen funktiolaskin on hyvä)! Opit rakastetun kompleksiaritmetiikan jo ennen kuin olet läpäissyt kurssin, esim.: 2 1 = 1 + 1 = 1 + j = 2 45 = 2e j π 4 Korota joku tuloksista toiseen, saat "juurenalusen"! Page 23 (23)