0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä c),, 4,,, 0,, 9, 0, 3,, 7, 4 d) Suhdeasteikko 33. Kukkie lukumäärä x Frekvessi f Suhteellie frekvessi f % (%) 3, 4,0 0,0 9 9, 7 0 0,0 8 4,0 9 7 3, 0, 3,, 3, 4 3,0 4,0 0 0, Yhteesä 00 00,0
34. Sektoreita vastaavat keskuskulmat: Vettä, 30 98 00 Rasvaa 3, 0 30 83 00 Proteiieja 9, 0 30 8 00 Hiilihydraattia 9, 30 0 00 rasvaa proteiiia hiilihydraatteja vettä 3. Luokitellaa aieisto 8 luokkaa. Piei arvo o 47 cm ja suuri 80 cm 80 47 cm = 4, cm 8 Sopiva pyöreä luokkaväli o. Luokat Todelliset luokkarajat (cm) Luokkakeskus x (cm) Frekvessi f Suhteellie frekvessi sf% (%) 4-49 [44,; 49,[ 47 4 8 0-4 [49,; 4,[ 0 8-9 [4,; 9,[ 7 4 0-4 [9,; 4,[ 73-9 [4,; 9,[ 7 3 8 70-74 [9,; 74,[ 7 9 7-79 [74,; 79,[ 77 9 80-84 [79,; 84,[ 8 00 Piirretää histogrammi
f 4 44, 49, 4, 9, 4, 9, 74, 79, 84, pituus (cm) 00 90 80 70 0 0 40 30 0 0 sf % (%) 44, 49, 4, 9, 4, 9, 74, 79, 84, pituus (cm) Keskiluvut 3. Vuode keskilämpötila Eossa x x = 3,8 + (, ) + ( 3, 7) + 4, 7 +, + 8 + 7, + 3, 3 + 9, + 4, + (, ) + ( 7, 4) =, C C Vastaus: Keskilämpötila, C 37. Keskiarvot: x + 9 + 8+... + 0 Ikä x = = a = 0, 4 a 0 x 7+ 7 + 74+... + 77 Pituus x = = cm = 7, 9 cm 0 x 0 + 7 + 7+... + Paio x = = kg = 4, 7 kg 0 x 9 + 9+ 89+... + 9 Rita x = = cm = 89, cm 0 7
x 4 + 4 + +... + 4 Vyötärö x = = cm =, cm 0 x 9 + 9+ 93... + 94 Latio x = = cm = 90, cm 0 x 9, 9 + 9, 7 + 8, 83+... + 7, 87 Paioideksi x = = = 8, 9 0 Kaikki alipaioisia, joillaki jopa merkittävää alipaioa. Vastaus: Ikä 0,4 a, pituus 7,9 cm, paio 4,7 kg, rita 89,7 cm, vyötärö, cm, latio 90, cm, paioideksi 8,9 Kaikki alipaioisia. 38. Oppilaita 4, eljäsosa eli säilyttää keskiarvosa, kolmasosa eli 8 ostaa keskiarvosa yhdellä, loppuje eli 4 8 = 0 oppilaa uusi keskiarvo a Luoka keskiarvo x = f x 7, + 8(7, + ) + 0 a = 8, 0 4 4 3 + 0a = 9 0a = 79 a = 7,9 Lopuilla 0 oppilaalla keskiarvo pitää ousta 7,9 7, = 0,4. Vastaus: Nousua pitää olla 0,4 39. Kuude kurssi arvo saa pysyy samaa, kolme kurssi arvosaa ousee yhdellä. Vaha keskiarvo, eli kurssie keskimääräie arvosaa o a. Uusi keskiarvo 8 ( a ) x = f x a+ 3 + = 8,0 9 9 9a + 3= 7 9a = 9 a 7,7 Vastaus: Jai ykyie keskiarvo o 7,7. 8
330. Taulukoidaa asiakkaide käyttämät rahamäärät Ostoste arvo ( ) Luokkakeskus x( ) Frekvessi f Summafrekvessi sf 0< x 30 30 < x 0 4 33 0 < x 90 7 4 90 < x 0 0 0 0 < x 0 3 9 9 Yhteesä 9 Tyyppiarvo Mo = ja moodiluokka 0-30, koska sitä o eite. Mediaai Md = 7 ja mediaailuokka 0 90, koska tässä luokassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 9 34, =. f x + 4+ 7+ 0+ 9 3 Keskiarvo x = = 9 Vastaus: Mo =, Md = 7, x = 33. Taulukoidaa palveluajat Aika (mi) x f sf (mi) 3, 3 4 3, 3 40 4 4, 4 8, 97 7, 8 0 Yhteesä 0 Tyyppiarvo Mo = 4, mi ja moodiluokka 4 mi, koska sitä o eite Mediaai Md = 4, mi ja mediaailuokka 4 mi, koska tässä luokassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 0, =. f x Keskiarvo x = =, + 33, + 44, +, + 8, mi 44, mi 9 Vastaus: Mo = 4, mi, Md = 4, mi, x = 4,4 mi 9
33. Taulukoidaa tulokset. Summafrekvessidiagrammi piirtämistä varte lasketaa taulukkoo summafrekvessit. a) Luokitellaa tulokset kuutee luokkaa. Suuri lyötimäärä o 04 ja piei 77, jote sopiva pyöreä luokka väli o 04 77 = 4, Luokkakeskus o ala- ja yläraja keskiarvo. Luokat f x sf 7-79 // 7 + 79 = 77 80-84 /// 3 8 + 3 = 8-89 //// /// 8 87 3 90-94 //// /// 8 9 9-99 //// //// // 97 33 00-0 //// 0 38 38 b) Moodi o aieisto yleisi muuttuja arvo, eli se, joka frekvessi o suuri. Tässä moodi o 97 ja moodiluokka o 9-99. Mediaai o suuruusjärjestyksee asetetu aieisto keskimmäie luku. Koska 38 : = 9, ii mediaai o 9 ja mediaailuokka 90-94. f x 77 + 3 8 +... + 0 Keskiarvo x = = 9 38 c) Summafrekvessidiagrammi, josta luetaa mediaai kohdalta 38 : = 9. sf 40 30 0 0 0 7 80 8 90 9 Md 93 00 0 lyötimäärä Vastaus: b) Moodi o 97 ja moodiluokka 9-99, mediaai o 9 ja mediaailuokka 90-94 ja keskiarvo o 9. c) Kuvaajasta mediaai o 93. 70
333. Luvut b, b, b; keskiarvo Keskiarvo Vastaus: b = tai b = ( ) 3 x x = b + b+ b = 3 3 3 b b = 0 ( ) ± ( ) 4 ( ) b = 9 b = + = 9 b = = 334. Arvosaat 8,, 8, 7, x; keskiarvo 7,0 x Keskiarvo x = 8 + + 8 + 7 + x = 70, 9 + x = 3 x = Vastaus: 33. Arvosaat 8,, 8, 7, x; keskiarvo vähitää 7, x Keskiarvo x = Nollakohdat 8+ + 8+ 7+ x 7, 9 + x 7, 0 x +,8 7, 0 x, 7 0 7
x, 7 = 0 x =, 7 x = 8, Koska keskiarvo pitää ousta, ii myös arvosaa pitää ousta. Arvosaa o olta yli 8, eli 9 tai 0. Vastaus: Arvosaa tulisi olla 9 tai 0. Hajotaluvut 33. Luvut, 7, 7, 8, 9, 0 Moodi Mo = 7, koska sitä o eite Mediaai Md = 7,, koska se o suuruusjärjestyksee asetetu aieisto keskimmäiste lukuje keskiarvo. Laskimella: x + 7+ 7+ 8+ 9+ 0 keskiarvo x = = = 7 7, 8 ( x x) ( 7 ) + (7 7 ) +... + (0 7 ) keskihajota s = =, Vastaus: Mo = 7, Md = 7,, x = 7,8, s =, 337. Taulukoitu aieisto x f sf 0 9 9 7 3 0 4 4 Yhteesä Moodi Mo = 0, koska sitä o eite Mediaai Md =, koska tässä kohdassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 3 =. Laskimella f x 90 Keskiarvo x = = + + 7 +... + =, 7
f ( x x) 9 (0,) + (,) +... + (,) Keskihajota s = =, 7 Vastaus: Mo = 0, Md = 7, x =,, s =,7 338. Järjestetää aieisto suuruusjärjestyksee: 3, 3, 3, 37, 37, 37, 38, 39, 39, 40, 4, 4, 4, 43,43, 44, 4 Moodi Mo = 37, koska iitä o eite. Mediaai Md = 39 koska se o suuruusjärjestyksee asetetu aieisto keskimmäie luku. Vaihteluväli R = 4 3 = 0, suurimma ja pieimmä arvo väli. Laskimella x 3 + 37 + 43 +... + 37 0 Keskiarvo x = = = 39 39, 7 7 Keskihajota 0 0 0 ( x x) (3 39 ) + (37 39 ) +... + (37 39 ) laskimella s = = 7 7 7 3, Vastaus: Mo = 37, Md = 39, R = 0, x = 39, s = 3, 339. Seuraavat tulokset o laskettu käyttäe laskime tilastotoimitaa. a) Lasketaa tehtävä 33 aieisto keskihajota luokittelemattomasta aieistosta äppäilemällä kaikki lyöit laskime tilastotoimitaa. Keskihajota s ( x x) =,7 b) Käytetää tehtävässä 33 tehtyä luokitusta ja lasketaa keskihajota Keskihajota s f ( x x) =,9 Vastaus: a) Keskihajota,7 b) keskihajota,9. 340. x 90, + 78, +, +... + 3, a) Keskiarvo x = = 0 Vaihteluväli R =,3 mg 4,4 mg = 7,9 mg mg = 80, mg 73
Keskihajota ( x x) (9,0 8,0) + (7,8 8,0) +... + (,3 8,0) s = = mg =,37... mg,38 0 mg b) Arvo 8 o (ormitus) 8,0 8,0 0,0 keskihajoa päässä keskiarvosta.,38 c) Kaksi hajotaa alaspäi 8,0 mg,38 mg 3, mg Kaksi hajotaa ylöspäi 8,0 mg +,38 mg,8 mg Arvot 3,3 mg ja,8 mg ovat kahde hajoa päässä keskiarvosta. Vastaus: a) x = 8,0 mg 34. Normitettu arvo Vastaus: Keskihajota o 0,., R = 7,9mg, s =,38 mg b) 0,0 c) 3, mg ja,8 mg x x z = s x = 8,, x = 7, 7, z =, 8, 7, 7 =, s s 0, = s : s = 0, 34. Normitetut arvot: x x Matematiikka zmat = 8 = 7, 0, s 3, x x Ruotsi zru = 7, 7, = 03, s, Koska matematiika ormitettu arvosaa o parempi kui ruotsi, Oskari meestyi paremmi matematiikassa. Vastaus: Oskari meestyi suhteellisesti paremmi matematiikassa. 343. Normitetut arvot: x x Pituushyppy z pit = 4, 40, = 07, s 07, x x Eglati ze = 77, 7, = = 00, s, Koska pituushypy ormitettu arvosaa o parempi, ii Sirkka meestyi suhteellisesti paremmi pituushypyssä. Eglai arvosaa 9 ormitettu arvo (eli kuika mota hajota-askelta ollaa keskiarvosta): x x zegl = 9 = 7, =, s, 74
Vastaava pituushypy tulos o,-pituushypy keskihajoa askelta yli pituushypy keskiarvo: Pituushyppy: x+, s = 4, 0 m +, 0, 7 m = 4, 9 m Vastaus: Pituushypy tulos oli suhteellisesti parempi ja eglai arvosaaa 9 vastaava pituushypy tulos o 4,9 m. Tilastollie todeäköisyys 344. P("Vuoa 00 sytyyt suomalaisvauva o tyttö") = Vastaus: 0,48 99 0, 48 8 3 + 99 34. a) P("Vastasytyee pituus o 0 cm") = 03 0, 933 + 49 + b) P(("Vastasytyee pituus o vähitää cm") = 933 Vastaus: a) 0, b) 0,4 34. O A B AB yhteesä suomalaiset 30 490 80 740 0000 japailaiset 040 334 770 30 3084 saksalaiset 938 09 37 8 9 islatilaiset 00 80 73 49 804 eskimot 30 37 0 4 4 itiaait 7 0 0 48 4 = 04, 933 7
Lasketaa todeäköisyydet taulukkoo O A B AB suomalaiset 30 0,33 0000 4 90 0, 4 0000 80 0,8 0000 740 0000 = 0,074 japailaiset 0 40 0,30 3 084 3 34 0,38 3 084 770 0, 3 084 30 0,0 3 084 saksalaiset 9 38 0,37 9 0 9 0, 43 9 3 7 0,4 9 8 0,0 9 islatilaiset 00 0, 804 80 0,3 804 73 0,0 804 49 0,03 804 eskimot 30 0, 4 37 0, 44 4 0 0 4 = 4 0,0 4 itiaait 0,89 48 7 0,07 48 0 0,04 48 0 0 48 = 347. Lammiko kaloje määrä x Pyydetyssä uudessa erässä o merkittyjä kaloja samassa suhteessa kui koko lammikossa. 30 = 0 x x = 300 Vastaus: Lammikossa oli oi 300 kalaa. Permutaatiot ja kombiaatiot 348. Villapusero mahdollisuutta Hame mahdollisuutta Kegät mahdollisuutta Hattu 7 mahdollisuutta Erilaisia asukokoaisuuksia 7 = 00 Yhde hatu voi valita trioo vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä, jote F7 erilaisia hattutrioja 3 3 Vastaus: 00 ja 3 HG I K J = 349. a). umero mahdollisuutta (). umero mahdollisuutta (0 tai ) 3. umero mahdollisuutta (0 tai ) 4. umero mahdollisuutta (0 tai ). umero mahdollisuutta (0 tai ) Erilaisia viisiumeroisia lukuja, joissa o vai 0 ja o = 7
b). umero mahdollisuutta ( tai ). umero mahdollisuutta ( tai ) 3. umero mahdollisuutta ( tai ) 4. umero mahdollisuutta ( tai ). umero mahdollisuutta ( tai ) Erilaisia lukuja, joissa umerot tai o = 3 c). umero 9 mahdollisuutta (,,3,4,,,7,8,9). umero 9 mahdollisuutta (0,,,3,4,,,7,8) 3. umero 8 mahdollisuutta (,,3,4,,,7,8) 4. umero 7 mahdollisuutta (,,3,4,,,7). umero mahdollisuutta (,,3,4,,) Erilaisia lukuja, joissa sama umero esiityy vai kerra 9987 = 7 Vastaus: a) b) 3 c) 7 30.! 7! = 3 8 800 Kokeilemalla saadaa 0! = 3 8 800, jote N = 0 Vastaus: N = 0 3. a). oppilas voi istua yhtee 7 pulpetista. oppilas voi istua yhtee pulpetista 3. oppilas voi istua yhtee pulpetista 7. oppilas voi istua yhtee pulpetista Erilaisia istumajärjestyksiä 7!, 09 0 8 b) ). oppilas voi istua yhtee 40 pulpetista. oppilas voi istua yhtee 39 pulpetista 3. oppilas voi istua yhtee 38 pulpetista 7. oppilas voi istua yhtee 4 pulpetista Erilaisia istumajärjestyksiä 40 39 38... 4, 3 0 38 (Saadaa kätevästi laskime permutaatiotoimiolla 40 Pr 7) c) Aikaa kuluu a-kohda järjestyksie läpikäymisee Vastaus: a),09 0 8 b),3 0 38 c) 3, 0 vuotta 3. a). kortti voidaa valita tavalla. kortti voidaa valita tavalla. kortti voidaa valita tavalla Erilaisia järjestyksiä! 8, 0 7 8 09, 0 3, 0 (vuotta) 0 0 4 3 77
b) Yksi kortti voidaa valita vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. Erilaisia viide korti kombiaatioita F HG I = KJ c) Pataässä voidaa valita tavalla FI Loput 4 korttia voidaa valita tavalla HG 4KJ F H G I K J = Erilaisia kombiaatioita 4 49 900 Vastaus: a) 8, 0 7 b) 98 90 c) 49 900 33. a) Mies voidaa valita tavalla Naie voidaa valita 4 tavalla Erilaisia sekapareja 4= 0 9890 b) Yksi aie voidaa valita parii vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. F4 Erilaisia aispareja HG I K J = c). paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä. paikalle jooo voidaa valita yksi 4 miehestä 3. paikalle jooo voidaa valita yksi 3 miehestä 4. paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä. paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä Erilaisia miesjooja! = 0 Vastaus: a) 0 b) c) 0 34. Yksi tyttö (poika) voidaa valita ryhmää vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. F8I Tytöt voidaa valita = 3 tavalla HG KJ Pojat voidaa valita Ryhmä voidaa valita 8 Vastaus: 0 098 FI = tavalla HG KJ F I HG KJ F H G I K J = = 3 0098 3. Eri mahdollisuudet ovat JVAO JAVO JAOV VJAO VAJO VAOJ. Mahdollisuuksia yhteesä. Vastaus: tapaa 78
3.. amiohappo voidaa valita 0 tavalla. amiohappo voidaa valita 0 tavalla 00. amiohappo voidaa valita 0 tavalla Erilaisia proteiieja 0 00 Vastaus: 0 00 37.. kirjai voidaa valita tavalla. kirjai voidaa valita 8 tavalla 3. kirjai voidaa valita 8 tavalla. umero voidaa valita 0 tavalla. umero voidaa valita 0 tavalla Erilaisia rekisterilaattoja 8800 = 78400 Vastaus: 78 400 38. a) Paluumatkaa voi käyttää samaa reittiä Reitti A B voidaa kulkea tavalla Reitti B C voidaa kulkea 3 tavalla Reitti C B voidaa kulkea 3 tavalla Reitti B A voidaa kulkea tavalla Erilaisia reittejä 33 = 3 b) ) Paluumatkaa ei voi käyttää samaa reittiä Reitti A B voidaa kulkea tavalla Reitti B C voidaa kulkea 3 tavalla Reitti C B voidaa kulkea tavalla Reitti B A voidaa kulkea tavalla Erilaisia reittejä 3 = Vastaus: a) 3 b) 39. Hampurilaie voidaa valita tavalla Perua-aos voidaa valita 3 tavalla Juoma voidaa valita 4 tavalla Jäätelö voidaa valita 4 tavalla Erilaisia ruoka-aoksia 344 = 40 Vastaus: 40 Klassie ja geometrie todeäköisyys 30. a) P("Suomalaie o sytyyt karkauspäivää") = b) Suomalaisista o sytyyt karkauspäivää 00000 300 4 0 00084 43 + = 4, 79
Vastaus: a) Suomalaie o sytyyt karkauspäivää todeäköisyydellä 0, 00084. 4 b) Karkauspäivää sytyeitä oi 3 00. 3. "Riks, mutta ei raks eikä poks" = 7 47 3 = 9 riks 7 raks 47 poks 3 Vastaus: Yhteesä 9 o Riks, mutta ei raks eikä poks. 3. A = Pii likiarvo 7 esimmäistä desimaalia oikei. umero o todeäköisyydellä 0. umero o 4 todeäköisyydellä 0 3. umero o todeäköisyydellä 0 4. umero o todeäköisyydellä 0. umero o 9 todeäköisyydellä 0. umero o todeäköisyydellä 0 7. umero o todeäköisyydellä 0 7 F I HG 0 K J = P("Näppäillää pii 7 esimmäistä desimaalia oikei") = 7 0 Vastaus: Pii likiarvo 7 esimmäistä desimaalia o oikei todeäköisyydellä 7 0. 33. a) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o ") = P(". opalla ja toisella ") = = 3 b) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o 7") = = 3. oppa 4 3 3 4. oppa 80
c) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o ") = = 3 8. oppa 4 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 3 b) c) 8. 3 4. oppa 34. Yksi kortti voidaa jakaa pelaajalle vai kerra ja korttie jakojärjestyksellä ei ole merkitystä. F Yhdelle pelaajalle 3 voidaa jakaa = H G I K J tavalla 3 F Sellaisia jakoja, joissa ei ole yhtää pistekorttia o k = H G 38I K J 3 F38 P("Pelaaja ei saa yhtää pistekorttia") = H G I K J k = 3 FI HG KJ 0, 008 3 Vastaus: Todeäköisyydellä 0,008. 3. Laatikossa umerolaput,, 4, 4, 9, 9. P("Numeroista muodostuu alkuluku") = P ( " tai 9 tai 4") = + + = 0 = 30 3 Vastaus: Todeäköisyydellä 3. 3. P("Ooa löytää omat lapaset kahdella ostolla") = P(". o oma ja. o oma lapae") = = 0, 0 Vastaus: Todeäköisyydellä 0,0. 8
37. a) Esimmäie hekilö voi valita paikkasa mistä tahasa jolloi toiselle jää kaksi mahdollista viidestä jäljellä olevasta. P("Kaksi hekilöä saavat vierekkäiset paikat pyöreässä pöydässä") = = b) Esimmäie hekilö istuu pöydä päädyssä (paikkoja o eljä) tai keskipaikalla (paikkoja o kaksi). P("Kaksi hekilöä saavat vierekkäiset paikat suorakulmio muotoisessa pöydässä") = 4 8 4 + = = 30 Vastaus: Todeäköisyydellä a) b) 4. 38. A = Pikku-Oskari äppäilee hätäumero. umero o todeäköisyydellä 0. umero o todeäköisyydellä 0 3. umero o todeäköisyydellä 0 P("Pikku-Oskari äppäilee hätäumero ") = 0 0 0 = 000 Vastaus: a) Pikku-Oskari äppäilee hätäumero todeäköisyydellä 000. 39. Hekilö voidaa valita ryhmää vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. Ryhmä viidestä jäseestä o F jo kaksi tiettyä hekilöä valittu, jote jäljellä olevat kolme jäsetä voidaa valita k = H G I K J eri tavalla. 3 F Kaikkiaa kahdeksasta voidaa muodostaa = H G 8 I K J erilaista ryhmää. F P ("Tietyt kaksi tulee valituksi viide hege ryhmää") = H G I K J k = 3 F HG I K J = 0 = 8 4 Vastaus: Tietyt kaksi hekilöä tulevat valituksi viide hege ryhmää todeäköisyydellä 0,3 4. 03, 8
370. Oikea jakojärjestys S T R Vastaaottaja Jakojärjestys Suotuisat alkeistapaukset eri kohdissa Levy ostojärjestys S T R a) b) S R T R S T c) R T S T S R a) T R S c) a) P("Raakel saa oma CD:sä") = = 3 b) P("Kaikki saavat omasa") = c) P("Kukaa ei saa omaasa") = = 3 d) P("Aiaki yksi saa omasa") = P("Kukaa ei saa omaasa") = = 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 3 b) c) 3 d) 3. 3 37. Laatikossa valkoista palloa Palloje kokoaismäärä P("Kahdella ostolla molemmat pallot valkoisia") = 3 Vastaus: Palloja o 0. = 3 = 90 90 = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 90) = 3 = + = 0 3 = = 9 Ei käy, koska palloje määrä > 0 37. Oistumise todeäköisyys pelissä o p Epäoistumise todeäköisyys pelissä o p Kahde peräkkäise oistumise todeäköisyys o yhtä suuri kui epäoistumise todeäköisyys. p p= p p + p = 0 83
Vastaus: p 08, p = ± 4 ( ) p = + 08, p = 8, Ei käy, koska todeäköisyys 0 p 373. P("Pelaaja saa voito oepyörässä") = k = 0 = Vastaus: Voitto tulee todeäköisyydellä. 374. a) P("Oepyörällä saadaa 0") = k = b) P("Oepyörällä ei saada ") = k = c) P("Oepyörällä saadaa suurempi kui 3") = k = = 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) b) c) 3. 37. a) Ykkösrigi pita-ala k = π 0 π 9 = 9π Koko taulu pita-ala = π 0 = 00π P("Saadaa ") = k = 9π 00 = 9 00 = 09, π b) 9 ja 0 rigi pita-ala k = π = 4π Koko taulu pita-ala = π 0 = 00π P("Saadaa 9 tai 0") = k = 4π 00 = 4 00 = 004, π Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,9 b) 0,04. 37. Koliko keskipistee tulee sijoittua kauemmaksi kui, cm päähä eliö reuoista. Suotuie alue o eliö muotoie, eliö sivu pituus o 4,7 cm, cm =,3 cm P("Kolikko o ruudu sisällä") = k = 3, 47, Vastaus: Todeäköisyydellä 0,4. cm cm 04, 4,7 cm k, m,3 m, m 84
Laskusäätöjä 377. a). heitto A voittaa A ei voita. heitto B voittaa B ei voita 3. heitto C voittaa C ei voita 4. heitto A voittaa A ei voita. heitto B voittaa B ei voita. heitto C voittaa C ei voita A voittaa P("A voittaa") = P("A voittaa. kierroksella tai A voittaa. kierroksella tai kukaa ei saa kuutosta") = + + F H G I K J, 0 98 b) P("B ei voita") = P("B voittaa") = P("B voittaa. kierroksella tai B voittaa. kierroksella") F = H G I + 0 78 K J, Vastaus: a) 0,98 b) 0,78 8
378. Pussissa o hedelmäkaramellia (H) ja 0 salmiakkikaramellia (S). a) P("Kaikki kolme karamellia ovat salmiakkia") = P("SSS") = 0 9 8 074, 3 34 33 b) P("Joukossa o vai yksi salmiakki") = P("SHH tai HSH tai HHS") = 0 4 0 4 4 0 + + 03, 3 34 33 3 34 33 3 34 33 c) P("Joukossa o aiaki salmiakki") = P("Ei yhtää salmiakkia") = P("HHH") = 4 3 0930, 3 34 33 Vastaus: a) 0,74 b) 0,3 c) 0,930 379. Lelulaatikossa o kaksi puaista (P), kaksi siistä (S) ja kaksi vihreää (V) leikkiautoa. a) P("Autot samaväriset") = P("PP tai SS tai VV") = + + = 30 = b) P("Autot eriväriset") = P("Autot samaväriset") = 4 = Vastaus: a) b) 4 380. Käytettävissä merkit E,H,I,I,K,L,M,T,U,U,U,U,Ä,?. kirjai H todeäköisyydellä 4. kirjai E todeäköisyydellä 3 3. kirjai I todeäköisyydellä 4. kirjai M todeäköisyydellä. kirjai I todeäköisyydellä 0. kirjai T todeäköisyydellä 9 7. kirjai Ä todeäköisyydellä 8 8. kirjai K todeäköisyydellä 7 8
9. kirjai U todeäköisyydellä 4 0. kirjai U todeäköisyydellä 3. kirjai L todeäköisyydellä 4. kirjai U todeäköisyydellä 3 3. kirjai U todeäköisyydellä 4. merkki? todeäköisyydellä P("HEI MITÄ KUULUU") = Vastaus:, 0 0 4 3, 0 4 3 0 9 8 7 4 3 0 38. A = "Vähitää kahdella sama sytymäpäivä" A = "Kaikilla eri sytymäpäivä". hekilö sytymäpäivä voi olla mikä tahasa vuode 3:sta päivästä eli 3 3. hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 34 3 3. hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 33 3 0. hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 3 3 P(A) = P( A ) = 3 34 33 3... 0, 7 (Laskimella permutaatiotoimiolla (3 Pr 3 3 3 3 0)/3 0 ) Vastaus: 0,7 87
38. Nipussa o 0 avaita, joista yhtä etsitää. Todeäköisyys, että haettu avai saadaa tietyllä yrityskerralla. Avai umero Todeäköisyys 0 9 = 0 9 0 3 9 8 = 0 9 8 0 4 9 8 7 = 0 9 8 7 0 9 8 7 = 0 9 8 7 0 9 8 7 = 0 9 8 7 0 7 9 8 7 4 = 0 9 8 7 4 0 8 9 8 7 4 3 = 0 9 8 7 4 3 0 9 9 8 7 4 3 = 0 9 8 7 4 3 0 0 9 8 0 7 9 4 8 3 7 4 3 = 0 383. Kellolaitteessa kolme osaa A, B ja C. (A toimii, A ei toimi) a) P("Kaikki osat toimivat") = P("ABC") = 0, 90 0, 987 0, 99 0, 94 b) P("Mikää osa ei toimi") = P(" A B C ") = 0, 04 0, 0 0, 00, 7 0 c) P("Vähitää kaksi osaa toimii") = P("AB C tai A B C tai A BC tai ABC") = 0, 90 0, 989 0, 004 + 0, 90 0, 0 0, 99 + 0, 04 0, 989 0, 99 + 0, 90 0, 989 0, 99 0, 9997 Vastaus: a) 0,94 b),7 0 c) 0,9997 384. Ruokailijoita 4 + 4 + = 9 hekilöä. smörgareit 4 raskiksii 4 88
38. Täydeetty taulukko B B Yhteesä A 9 =7 9 A 7 = 43 =7 yht. 8 43 38. Taulukoidaa tiedot: P T yhteesä oli 3 4 ei 8 4 3 yhteesä 0 3 8 Vastaus: Poikia oli 0 ja tyttöjä 3. 387. Alue A Alue B Ei Kyllä Yhteesä Ei Kyllä Yhteesä Naiset 4 7 00 48 300 Miehet 47 00 8 4 700 Yhteesä 900 00 000 90 90 000 Uihäiröitä proseteia Alue A Alue B Ei Kyllä Kyllä % Ei Kyllä Kyllä % Naiset 4 7 7 % 00 = 48 48 % 300 = Miehet 47 % 00 = 8 4 4 % 700 = 900 00 00 0% 000 = 90 90 90 9% 000 = Taulukosta ähdää, että alueella B sekä aisilla että miehillä esiityy uihäiriöitä prosetuaalisesti eemmä kui alueella A. Toisaalta alueella A esiityy paradoksaalisesti kokoaisuudessaa prosetuaalisesti eemmä uihäiriöitä kui alueella B ( 0 % ja 9 %). 388. Yksi umero voidaa valita lottorivii vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole 39 merkitystä, jote käytetää kombiaatioita. Erilaisia lottorivejä = F H G I K J 7 a) A = "Neljä oikei" Neljä umeroa oikeasta rivistä voidaa valita F 7 HG I 4K J tavalla 89
Kolme umeroa lottorivii kuulumattomista umeroista voidaa valita F7 P(A) = H G I K JF H G 3I K J k = 4 3 F39I HG 7KJ 0, 00 b) A = "Kuusi mutta ei lisäumeroa oikei" F7 Kuusi umeroa oikeasta rivistä voidaa valita HG I K J tavalla F HG I 3 tavalla 3 KJ Yksi umero lottorivii ja lisäumeroihi kuulumattomista umeroista voidaa valita tavalla F HG 9 I KJ F7 P(A) = H G I K JF H G 9I K J k = F39I HG 7KJ 3, 0 c) A = "Kuusi ja lisäumero oikei" Kuusi umeroa oikeasta rivistä voidaa valita F 7 HG I K J tavalla Kolme umeroa lisäumeroihi kuuluvista umeroista voidaa valita F7 P(A) = H G I K JF H G 3 I K J k = F39I HG 7KJ 37, 0 Vastaus: a) 0,0 b),3 0 c),37 0 F 3 HG I K J tavalla 389. Hevoe voidaa valita kaksarii F vai kerra ja järjestyksellä ei ole merkitystä, jote erilaisia kaksaririvejä o = H G 0I K J. P("Veikkaaja saa kaksari") = k = F H G Vastaus: 4 0 I KJ = 4 90
390. a) Yhdeksästä umerosta valitaa seitsemä kombiaatioita. Näitä o 9 3 HG I 7K J = kappaletta. b)vääriä umeroita o 9 4 =. Neljä oikei voidaa valita tavalla F Kolme vääri voidaa valita 0 3 HG I K J = tavalla F Erilaisia rivejä, joissa eljä oikei 0 H G I 3K J = kappaletta. Vastaus: a) 3 b) 0 F 39. a) P("Kortti o pata tai ässä") = 3 3 4 + = = 3 b) A = "Otettaessa viisi korttia kaikki ovat samaa maata". kortti o samaa maata todeäköisyydellä. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 3. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 4. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 0. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 9 P(A) = 0 9 0, 0098 0 49 48 Vastaus: a) 4 3 b) 0,0098 9
39.. arpa. arpa 3. arpa 4. arpa. arpa 00 voitto 99 voitto 99 00 ei voittoa 98 voitto 98 99 ei voittoa 97 voitto 97 98 ei voittoa 9 voitto 9 97 ei voittoa ei voittoa P("Saadaa päävoitto") = 99 99 98 99 98 97 99 98 97 9 + + + + = = 00, 00 00 99 00 99 98 00 99 98 97 00 99 98 97 9 00 Vastaus: 0,0 Diskreetti todeäköisyysjakauma 393. Ykköste eri lukumäärie todeäköisyydet kolmessa kahdeksasivuise opa heitossa Lukumäärä p 0 7 7 7 343 = 8 8 8 7 7 7 7 7 7 47 + + = 8 8 8 8 8 8 8 8 8 7 7 7 + + = 8 8 8 8 8 8 8 8 8 3 = 8 8 8 9
394. Laatikossa o valkoista ja 3 vihreää marmorikuulaa. X = Vihreide kuulie lukumäärä eljässä ostossa x p Kertymä 0 4 3 = 8 7 4 4 3 4 3 3 3 4 = + = 8 7 7 4 7 3 4 3 = 8 7 7 3 3 4 = 8 7 4 4 3 0 = 0 8 7 Kertymäfuktio a) P(X ) = F() = 3 4 b) P(X < ) = F() = 0, ku x < 0, ku 0 x < 4 F( x) =, ku x< 3, ku x < 3 4, ku x 3 3 3 3 + + = 4 7 7 4 3 3 + + + = 4 7 7 4 c) P(X 3) = P(X < 3) = F() = 3 4 = 4 d) P(X > 3) = P(X 3) = F(3) = = 0 0, ku x < 0,, ku 0 x <, 4 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) =, ku x<, 3, ku x < 3, 4, ku x 3. a) 3 4 b) c) 4 d) 0 93
39. X = Ykköste lukumäärä kolmessa elisivuise opa heitossa x p Kertymä 0 3 3 3 7 7 = 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 7 7 7 7 + + = + = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 9 7 7 9 3 + + = + + = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 7 7 9 = + + + = 4 4 4 4 4 4 4 4 Vastaus: Kertymäfuktio o 0, ku x < 0, 7, ku 0 x <, 4 7 F( x) =, ku x<, 3 3, ku x < 3, 4, ku x 3. 39. X = Osumie lukumäärä kaikkie kolme ampuessa kerra x p 0 0,3 0, 0, = 0,00 0,7 0, 0,+ 0,3 0,8 0,+ 0,3 0, 0,9 = 0,09 0,7 0,8 0,+ 0,3 0,8 0,9 + 0,7 0, 0,9 = 0,398 3 0,7 0,8 0,9 = 0,04 Odotusarvo E(X) = Keskihajota D(X) = i= px = 0,00 0 + 0,09 + 0,398 + 0,04 3 =,4 i i= i p ( x E( X)) i i ( ) ( ) ( ) ( ) = 0,00 0,4 + 0,09, 4 + 0,398,4 + 0,04 3,4 = 0,4 0,8 Vastaus: Odotusarvo o,4 ja keskihajota 0,8. 94
397. X = Kahde opa summa ja erotukse tulo itseisarvo 3 3 7 0 0 4 9 0 4 7 0 9 0 3 8 0 7 7 3 0 3 0 3 8 4 3 3 4 Jakaumataulukko x p 0 3 7 8 9 0 4 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9
3 3 8 8 Odotusarvo E(X) = i= Vastaus: Odotusarvo o3. 8 px i i = 0 + 3 + +... + 3 = 3 8 8 8 8 398. Rasiassa o viisi palloa. Kolmessa umero 4 ja kahdessa umero 3. X = Palloje lukuje erotukse itseisarvo kahdessa ostossa Jakaumataulukko x p 0 3 + = 4 4 3 3 3 + = 4 4 Jakauma kuvaaja p 0,8 0, 0,4 0, 0 x 9
399. Ryhmässä o poikaa ja 7 tyttöä X = Poikie lukumäärä kutsutuista Jakaumataulukko x p 0 7 7 = 0 44 7 7 7 + + = 0 0 0 44 7 4 7 4 4 7 7 + + = 0 0 0 3 4 3 = 0 Odotusarvo E(X) = Keskihajota D(X) = i= 7 7 px i i = 0+ + + 3= 44 44 4 i= p ( x E( X)) i i 7 7 = 0 + + + 3 44 4 44 4 4 4 0 = 0,77 7 Vastaus: Odotusarvo o 4 ja keskihajota 0,77. Biomijakauma 400. a) P("Kaikki viisi muistia ovat viallisia") = 0 0 0 0 0 0,,,,, =, 7, 0 b) A = "Kolme viidestä F muistista o viallisia" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J =, = 3, = 0,, = = 0, = 08, =F H G I K J 3 P(A) = P 3 0, 08, 0044, 3 c) A = "Aiaki yksi muisti o viallie" A = "Yksikää muisti ei ole viallie" P(A) = P( A ) = 0, 8 0, Vastaus: a) 7, 0 b) 0,044 c) 0, 97
40. Taulukoidaa tiedot. Viallisia p 0 0,444 0,39 0,38 3 0,04 4 0,00 7, 0 p 0,4 0,3 0, 0, 0 3 4 x viallisia 40. a) A = "Jukka F saa kaksi voittoa eljästä arvasta" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 4, =, = 0,, = = 0, = 08, 8 F4 P(A) = H G I 0 088 009 K J,,, b) A = "Jukka saa aiaki yhde voito" A = " Jukka ei saa yhtää voittoa" 4 P(A) = P( A ) = 0, 88 0, 400 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,09 b) 0,400. 403. a) Maiokse kuulee 040, 0= 8 kuulijaa A = "Viisi kuulijaa F kahdeksasta ostaa tuottee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 8, =, = 00,, = = 00, = 09, =F H G I K J 8 3 P(A) = P 0, 0 0, 9 0, 00000 b) A = "Eitää F kaksi kuulijaa kahdeksasta ostaa tuottee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 8, = 0,,, = 00,, = = 00, = 09, 98
8 8 7 P(A) = P0 P P 09 +F + + = 00 09 8 00 09 0994 H G I K J F + H G I,,, K J,,, Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,00000 b) 0,994. 404. a) A = "Viidestä F matkustajasta yksi joutuu tarkastuksee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J =, =, = 00,, = = 00, = 098, =F H G I K J 4 P(A) = P 00, 098, 009, b) A = "Eitää F kaksi matkustajaa viidestä joutuu tarkastuksee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J =, = 0,,, = 00,, = = 00, = 098, +F P(A) = P0 + 4 3 P + P = 098 00 098 0 0 0 98 0 9999 H G I K J F + H G I,,, K J,,, Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,09 b) 0,9999. 40. A = " opaheitolla aiaki kaksi kuutosta" A = " opaheitolla 0 tai kuutosta" k k Toistokoe P k p q, k 0,, p, q p k F = H G I K J = = = = = = F F + = 09 H G I K J F + H G I K J F H G I I ( P 0 P ) HG K J KJ, P(A) = P( A ) = Vastaus: Todeäköisyydellä 0,9. 40. Satuaismuuttuja X oudattaa biomijakaumaa. Kirjaime A todeäköisyys p = Toistoje lukumäärä = Odotusarvo E(X) = p = = 4 Keskihajota D(X) = pq = = 0,98 k k 4 Todeäköisyysjakauma Pk pq = =, p =, q = k 99
A: lukumäärä x 0 0 4 3 3 3 4 4 0 Jaadiagrammi p 0,4 0,3 0, 0, p 4 409 0, 0 = 4 44 0,393 = 4 3840 0, 4 = 4 80 0,08 3 = 4 40 0,0 4 = 4 4 0, 00 = 4 0,00004 = 0 3 4 x Vastaus: Odotusarvo, ja keskihajota 0,98. Jatkuva jakauma 407. a) Kuvaaja y 3 3 4 7 8 x 00
b) Ei ole, koska x-akseli ja kuvaaja välii jäävä aluee pita-ala o 8 =. 4 Vastaus: b) Ei 408. Tiheysfuktio 0, ku x < 0 f( x) =, ku 0 x< 40 0 0, ku x 40 a) y 0, 0, 0,0 0 0 0 30 40 0 0 x P(X 0) = 3 (40 0) = 0 b) y 0, 0, 0,0 0 0 0 30 40 0 0 x P(X 0) = 3 (0 ( 0)) = 0 0
c) y 0, 0, 0,0 0 0 0 30 40 0 0 x P(0 < X ) = d) y 0, ( 0) = 0 0, 0,0 0 0 0 30 40 0 0 x P(X > ) = (40 ( 0)) = 0 Vastaus: a) 3 b) 3 c) d) 409. Tiheysfuktio 0, ku x < 0 f( x) = x, ku 0 x< 8 0, ku x a) y 0, 0,4 0, 3 4 x 0
f () P(X ) = = 8 = 3 b) y 0, 0,4 0, 3 4 x P( < X 4) = c) 4 + f() + f(4) 8 8 (4 ) = = 3 y 0, 0,4 0, 3 4 x 4 4 4 f (4) P(X > 4) = P(X 4) = = 8 = 9 d) y 0, 0,4 0, 3 4 x 03
f () P(X ) = P(X < ) = = 8 = 3 Vastaus: a) 3 b) 3 c) 9 d) 3 40. Tiheysfuktio x +, ku 0 x < 3 f( x) = 9 3 0, muulloi a) y 0, 0,4 0, 3 4 x P(X ) = b) y 0, 4 (3 ) f () 9 4 = = 9 0,4 0, 3 4 x P(X ) = + f(0) + f() 3 9 8 ( 0) = = 9 04
c) y 0, 0,4 0, 3 4 x 3 P( 3 f () 4 4 < X + f + ) = 4 3 9 7 = = 4 4 44 d) y 0, 0,4 0, 3 4 x P(X > 3 f 4 ) = 4 4 4 8 = = 44 Vastaus: a) 4 9 b) 8 c) 7 d) 9 44 44 4. Fuktio bx, ku 0 x f( x) = 0, muulloi o jatkuva jakauma tiheysfuktio. 0
y x f(x) 0, kaikilla muuttuja x arvoilla, jote b 0. Tiheysfuktio f kuvaaja ja x-akseli välii jäävä aluee ala o. f () = b = : Vastaus: b = b = 4. Fuktio 0 x+ t, 0, ku 0 x 0, f( x) = 0, muulloi o erää satuaismuuttuja X tiheysfuktio. y 0, x f(x) 0, kaikilla muuttuja x arvoilla, jote 0 0, + t 0 eli t 4, koska fuktio f(x) = 0x + t kuvaajaa o laskeva suora. Tiheysfuktio f kuvaaja ja x-akseli välii jäävä aluee ala o. f(0) + f(0,) 0, = ( 0 0 + t) + ( 0 0, + t) 0, = 0, t 4 = Vastaus: t = 0, t = : 0, 0 t =
43. Kertymäfuktio 0, ku x < 0 x F( x) =, ku 0 x< 40 40, ku x 40 a) P(X < 0) = F(0) = 30 0 b) P(0 X < 30) = F(30) F(0) = = 40 40 c) P( 0 < X 80) = F(80) F( 0) = 0 = d) P( < X 00) = F(00) F() = 3 = 40 8 e) P(X > ) = F() = 3 = 40 8 Vastaus: a) b) c) d) 3 8 e) 3 8 44. Satuaismuuttuja X tiheysfuktio o, ku 0 < x < 8 f( x) = 8 0, muulloi Kertymäfuktio Ku x 0, o F(x) = 0. Ku 0 < x < 8 y 0, 0,4 0, 3 4 x 7 8 x F(x) = x f( x) = x = x 8 8 Kertymäfuktio, ku x 8, o F(x) = 07
0, ku x 0, Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 < x< 8, 8, ku x 8. 4. Satuaismuuttuja X tiheysfuktio o Kertymäfuktio Ku x 0, o F(x) = 0. Ku 0 < x < 4 x, ku 0 < x < 4, f( x) = 98 0, muulloi. y 0,3 0, 0, 3 4 7 8 9 x0 3 4 x x x x f( x) F(x) = = 98 = x 9 Kertymäfuktio, ku x 4, o F(x) = Todeäköisyys P( < X 0) = F(0) F() = 0 = 4 9 9 49 0, ku x 0, Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0< x< 4, 9, ku x 4. Todeäköisyys o P( < X 0) = 4 49. 08
4. a) Hekilö voi olla mihi kelloaikaa tahasa, jote tiheysfuktio o muotoa f(x) = b, ku 0 x < 4 ja f(x) = 0 muulloi. y 4 x Tiheysfuktio f(x) 0, kaikilla muuttuja x arvoilla, jote b 0. Tiheysfuktio f kuvaaja ja x-akseli välii jäävä aluee ala o. 4 f( b) = 4b = : 4 b = 4, ku 0 x < 4 Tiheysfuktio f( x) = 4 0, muulloi. b) Kertymäfuktio Kertymäfuktio Ku x < 0, o F(x) = 0. Ku 0 x < 4 y x 4 x F(x) = x f( x) = x = x 4 4 Kertymäfuktio, ku x 4, o F(x) = Kertymäfuktio 0, ku x < 0 F( x) = x, ku 0 x< 4 4, ku x 30 09
c) Todeäköisyys, että hekilö o sytyyt kello 8.00.00. P(8.00 X.00) = F() F(8) = 8 = 4 4 3 d) Todeäköisyys, että hekilö o sytyyt täsmällee kello 3. P(X = 3) = 0, ku 0 x < 4 Vastaus: a) Tiheysfuktio o f( x) = 4 b) Kertymäfuktio o 0, muulloi. 0, ku x < 0 F( x) = x, ku 0 x< 4 c) 4 3, ku x 30 d) 0 Normaalijakauma 47. Satuaismuuttuja oudattaa jakaumaa Z ~ N(0,) a) P(Z <,4) = Φ (,4) = 0,89,4 b) b) P( 0,39 < Z,4) = P(Z,4) P(Z 0,39) = P(Z,4) P(Z 0,39) = Φ(, 4) ( Φ (0, 39) ) = 0,89 ( 0,7) = 0,44 0,39,4 0,39 0,39 0
c) P(Z,7) = P(Z,7) = Φ (, 7) = 0,94,7,7 Vastaus: a) 0,89 b) 0,44 c) 0,94 48. Jootusaja X keskiarvo µ = 8 ja keskihajota σ = 3. X µ Muuttuja ormeeraus Z = σ 0 8 a) P(X < 0) = P Z < F 3 = H G I Φ K J 3 b Φ 07, = 0, 748 g 3 z b) P( < X < 0) = P 8 0 Z 8 < < 3 3 F = Φ H G I Φ 3 K J bg b g c bgh b g bg = Φ 07, Φ = Φ 07, + Φ = 0, 748 + 0, 843 = 0, 899 Vastaus: a) Todeäköisyys o a) 0,748 b) 0,899. 3 z 49. Pakkauste keskipaio yli 70 g 70 70 P( X 70) = P Z = P Z 0,833 ( ) ( Z ) ( 0,833) = P < 0,833 =Φ = 0, 797 0,833 Vastaus: Pakkauste keskipaio yli 70 g todeäköisyydellä 0,797. z
40. Pakkaukse massa yli 300 g 9% = 0,9 todeäköisyydellä. P( X 300 ) = 0,9 300 µ P Z = 0,9 4 300 µ Φ = 0,9 4 300 µ =, 4 ( 4) 4 300 µ =, µ 307 (g) 0,9 Vastaus: Keskipaio pitää säätää 307 grammaksi. 4. Kahvipaketi paio o ormaalisti jakautuut keskiarvoa µ = 0 g. Keskihajota σ Paketeista 90 % o yli 00 g PX> ( 00) = 0,90 00 0 P Z > = 0,90 σ 0 P Z > = 0,90 σ 0 P Z < = 0,90 σ 0 Φ = 0,90 σ 0, 8 0,90 σ = 0 σ = 7,8, 8 Vastaus: Kahvipaketi paio keskihajota o 7,8 g. 4. Mita ylittävät:, 0 P(X >,0) = P Z > 0,08 = P Z > 0, ( ) ( ) = Φ 0, = 0, 737 = 0, 43 0, z
Mita alittavat: 0,97 P(X < 0,97) = P Z < 0,08 = P Z < 0,37 ( ) ( ) = Φ 0,37 = 0,480 = 0, 30 0,37 z P("Osa hylätää") = P(X >,0) + P(X < 0,97) = 0,43 + 0,30 = 0,3, % Vastaus: Osista joudutaa hylkäämää, %. 43. a) Hekilöautoa yli 80 km ajavie odotusarvo E(X) = p = 00 000 0,00 = 000 Keskihajota D(X) = pq = 00000 0,00 0,99 = 870 0 00 000 b) P(X 00) = P Z = P(Z 3,) = P(Z < 3,) = 0,00094 870 Vastaus: a) Odotusarvo o 000 ja keskihajota 0. b) Todeäköisyys o 0,00094. 44. Korvataa biomijakauma ormaalijakaumalla. Sairaide määrä odotusarvo µ = p = 000 000 = 0 00 000 99 99 Keskihajota σ = pq = 000 000 = 49,987 00 000 00 000 Sairaude todeäköisyys 30 0 P(X 30) = P Z = P(Z,4 ) = P(Z,4 ) = Φ(,4 ) = 49, 987 0,89, Vastaus: Todeäköisyydellä 0, 89. 4. Korvataa biomijakauma ormaalijakaumalla. Lääkkee haittavaikutuksista kärsivie määrä odotusarvo µ = p = 00 000 = 00 000 3
99 Keskihajota σ = pq = 00 000 = 74 000 000 Lääkkee haittavaikutuksista kärsivie määrä yli 000, todeäköisyys 000 00 P(X 000) = P Z = P(Z,780 ) 74 = P(Z,780 ) = Φ(,780 ) = 0,9973,78 Vastaus: Todeäköisyydellä 0, 9973. 4. a) A = "Aiaki tehtävää vääri" Biomitodeäköisyys F Pk k p k q k = H G I K J Leipie lukumäärä = 30 Oistueide halkaisuje lukumäärä k =, k = 7, k = 8, k = 9 tai k = 30 Yhde halkaisu oistumistodeäköisyys p = 3 4 Vastatapaukse todeäköisyys q = p = 3 4 = 4 Todeäköisyys P(A) = P + P7 + P8 + P9 + P30 = 30 3 30 3 30 3 30 3 30 3 + + + + 4 4 7 4 4 8 4 4 9 4 4 30 4 4 0,098 4 7 3 8 9 30 0 b) Väärie lukumäärää voidaa arvioida ormaalijakaumalla, joka parametrit ovat: 3 odotusarvo µ = p = 30 =, 4 3 30 keskihajota σ = pq = 30 =. 4 4 4 Todeäköisyys, että aiaki tehtävistä o vääri 4
, P( X ) = P Z 30 4 = P(Z, ) = P(Z <, ) = Φ (,...) 0,003 Laskussa ei käytetä jatkuvuuskorjausta., c) Todeäköisyys, että aiaki tehtävää o vääri.,9,, P( X ) = P Z 30 4 = P(Z,90 ) = P(Z <,90 ) = Φ (,90...) 0,04 Laskussa käytetää jatkuvuuskorjausta. Vastaus: Todeäköisyys, että aiaki tehtävää o vääri, o a) 0,098 b) 0,003 c) 0,04. Huomaa, että edellisessä tehtävässä pq o vai,. 47. Keksipaketi paio keskiarvo µ = 0, = 30 Keksipaketi paio variassi σ = 0 0,4 = 0, Pussi paio keskihajota σ = 0, Todeäköisyys, että keksipaketi paio o suurempi kui 30 g. 30 30 P(X > 30) = P Z > 0,
= P(Z >,7 ) = Φ (,7...) 0,08,7 Vastaus: Keksipaketi paio suurempi kui 30 g todeäköisyydellä 0,08.
Harjoituskoe. a). umero voidaa valita umeroista,3,4,,9 eli 8 mahdollisuutta, muut voidaa valita umeroista 0,,3, 4,.., 9 eli 9 mahdollisuutta. Kysyttyjä lukuja o 8 999 = 83. b) Seitsemä ihmistä voidaa laittaa jooo site, että yksi heistä (Emilia) ei ole viimeie seuraavasti: Viimeie voidaa valita kuudesta, koska Emilia ei ole viimeie. Toiseksi viimeie kuudesta, koska jäljellä o kuusi hekilöä, seuraava viidestä ja ii edellee, eli... =! = 430eri tavalla. c) Seitsemästä hekilöstä voidaa muodostaa erilaisia kolme ryhmiä 7 = 3 eri tavalla. 3. a) Esimmäie tikku syttyy, jos se o käyttämätö ja raapaistaa oikea pää. P(". tikku syttyy") = P("käyttämätö ja oikea pää") = P("käyttämätö") P("oikea pää") = 7 7 = = 0,3 0 0 b) Vasta toie tikku syttyy, jos esimmäie ei syty ja toie syttyy. P(. ei syty ja. syttyy) = P(". käytetty ja. käyttämätö ja oikea pää" tai ". käyttämätö ja väärä pää ja. käyttämätö ja oikea pää") = P(".käytetty") P(". käyttämätö") P("oikea pää") + P(".käyttämätö") P("väärä pää") P(".käyttämätö") P("oikea pää") 3 7 7 7 = + = 0, 3 0 9 0 9 30 Vastaus: a) 0,3 b) 7 30 3. Muuttuja o Kepposte määrä päivässä. Lasketaa taulukkoo mediaaia varte summafrekvessit. x f sf 0 + =3 7 3 + 7 = 0 3 8 8 4 8 3 Yht. 3 a) Moodi o se muuttuja arvo, jota o eite, tässä 3 ja 4 kepposta päivässä. 7
b) Mediaai jakaa aieisto kahtee yhtä suure osaa. Keskikohta o 3 : =,, jote mediaai o 3 kepposta päivässä. Keskiarvo ja keskihajota o laskettu laskime tilastotoimitaa käyttäe. c) Keskiarvo fx 0 + +... + x = = 3, 3 d) Keskihajota s f ( x x) (0 3,9...) + ( 3,9...) +... + ( 3,9...) = = 3, 3 e) Jaadiagrammi f 8 4 0 3 4 kepposet Vastaus: a) Moodi o 3 tai 4 kepposta päivässä b) mediaai o 3 kepposta päivässä c) keskiarvo 3, kepposta päivässä d) keskihajota,3 kepposta päivässä. 4. f 0 8 4 0 30 40 0 0 70 ikä (vuosi) a) Kuvasta ähdää, että suuri frekvessi o ikäluokalla 40-0. Moodiluokka o 40-40 vuotta ja moodi tämä luoka luokkakeskus eli 4 a. 8
b) ja c) Keskiarvoa ja keskihajotaa varte taulukoidaa kuvasta tiedot. Arvot lasketaa käyttäe laskime tilastotoimitaa. Luokka (a) Luokkakeskus x (a) Frekvessi f 0-30 30-40 3 0 40-0 4 0-0 7 0-70 Yht. 3 fx + 03 +... + Keskiarvo x = = a = 4, a 3 Keskihajota s f ( x x) ( 4,) + 0 (3 4,) +... + ( 4,) = = a 0,9 a 3 Vastaus: a) Moodiluokka o 40-40 vuotta ja moodi 4 a b) keskiarvo 4, a c) keskihajota 0,9 a. Kori : siistä, 4 puaista, vihreää; Kori : 3 siistä, 3 puaista, 3 vihreää V= "Saadaa vihreä pallo." P(V) =P("kori ja vihreä " tai "kori ja vihreä ") = + 3 = 7 0, 9 Vastaus: 7 0,. Satuaismuuttuja o Tarmo saama voitto. Satuaismuuttuja arvot (Jukalle maksettu 0 settiä pitää vähetää voitosta) ovat,0, 0,, 0, 0,3 ja 0, Märitetää äitä vastaavat todeäköisyydet. Tarmo voitto o,, jos hä heittää : kolikolla kruua. Tämä todeäköisyys o. 0,, jos hä ei heitä : kolikolla kruuaa, mutta : kolikolla heittää. Tämä todeäköisyys o 9
Vastaavasti muut. Taulukoidaa tulokset Voitto x i Todeäköisyys ( ), 0, = 4 0 = 8 0,3 = 0, = Yht. pi Voito odotusarvo 33 EX ( ) = px i i =, + 0, e +... + ( 0,) = = 0,8 0,83 4 40 i= Vastaus: 0,83 7. a) Fuktio f( x ) o satuaismuuttuja X tiheysfuktio, jos f( x) 0, ku x ja lisäksi käyrä y = f( x) ja x-akseli välii jäävä pita-ala o. 0, x < Fuktio f( x) = x+ b, x 0 o paloittai määritelty. 0, x > 0 Se kuvaaja ei kulje x-akseli alapuolella, jos 0 ku 0 x+ b x. Kuvaaja ja x-akseli välii jäävä pita-ala muodostaa ouseva suora ku x 0, jote b > 0. Tämä pita-ala pitää olla. Muodostuu suorakulmaie kolmio AOB PisteA y = x+ b, 0
y (x, f(x)) B A( b, 0) Piste B y = x+ b y = 0 0 = x+ b x = b y = x+ b x = 0 y = b B(0, b) Kolmio pita-ala =, ratkaistaa b A x O x bb= b = b = b = ± b > 0 b = b) Kertymäfuktio arvo kohdassa x ilmaisee se todeäköisyyde, mikä o kertyyt kohtaa x asti. Ku x <, kertymäfuktio arvo o 0, koska tiheysfuktio ja x-akseli välii jäävä pitaala o 0. Ku x 0kertymäfuktio arvo o sama kui tiheysfuktio ja x-akseli välii jäävä pita-ala. Kyseessä o suorakulmaie kolmio, joka ala o A = x f( x) x 0, ku x 0 ja f( x) = x+ = ( + x)( x+ ) = x + x+ 4 Ku x >0, kertymäfuktio arvo o, sillä tähä meessä tiheysfuktio ja x-akseli välii jäävä pita-ala o.
0, x < 0 Kertymäfuktio F( x) = x + x+, x 0 4, x > 0 c) Todeäköisyys PX ( < ) = F( ) = ( ) + ( ) + = 4 4 Vastaus: a) b = b) 0, x < 0 F( x) = x + x+, x 0 4, x > 0 c) 4 8. Tapaukse "opa heitossa saadaa kolmoe" todeäköisyys p =. Tämä komplemeti "ei saada kolmosta" todeäköisyys o q = = k k a) Kyseessä o toistokoe, eli biomijakauma, Pk p q =, missä = 0 ja k =, tai7 k P("vähitää ja korkeitaa 7 silmälukua 3") 0 0 0 0 0 7 0 7 = P + P + P 7 = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 0,37 7 b) Korvataa biomijakauma ormaalijakaumalla, = 0, Odotusarvo µ = p = 0 = 3 Keskihajota σ = pq = 0 = 8 Todeäköisyys P("vähitää ja korkeitaa 7 silmälukua 3") = P( X 7) ormitus x µ σ 7 = P( 3 Z 3 ) 8 8 = P(,4... Z 0,09...) =Φ(, 4...) Φ(0,09...) 0, 0 p = ja q =
z,4 0,09 0,09,4 z c) ) Korvataa biomijakauma ormaalijakaumalla, = 0, jatkuvuus korjaus. Odotusarvo µ = p = 0 = 3 p = ja q = ja tehdää Keskihajota σ = pq = 0 = 8 Todeäköisyys P("vähitää ja korkeitaa 7 silmälukua 3") tarkoittaa jatkuvuuskorjauksella todeäköisyyttä P(4, X 7,). Todeäköisyys P(4, X 7,) ormitus 4, 7, = P( 3 Z 3 ) 8 8 = P(,44... Z 0,3...) =Φ(, 44...) Φ(0,3...) 0,30 µ σ x,44 0,3 z 0,3,44 z Vastaus: a) 0,37 b) 0,0 c) 0,30 3
Harjoituskoe x + + 8+... + 7. Keskiarvo x = = = 0 Tyyppiarvo Mo = ( x x) ( ) + ( ) +... + (7 ) Keskihajota s = =,0 0 Vastaus: Keskiarvo o, tyyppiarvo ja keskihajota,0.. A = "Nostettaessa viisi korttia saadaa MAMMA" 3. kortti o M todeäköisyydellä. kortti o A todeäköisyydellä 4 3. kortti o M todeäköisyydellä 3 4. kortti o M todeäköisyydellä. kortti o A todeäköisyydellä P(A) = 3 4 3 = 0 Vastaus: Todeäköisyydellä 0. 3. P("Puolisot kuuluvat samaa veriryhmää") = P("A ja A tai B ja B tai AB ja AB tai O ja O") = 0, 44 0, 44 + 0, 7 0, 7 + 0, 08 0, 08 + 0, 3 0, 3 = 0, 3 Vastaus: Puolisot kuuluvat samaa veriryhmää todeäköisyydellä 0,3. 4. A = "Aiaki kahdella sama sytymäpäivä" A = "Kaikilla eri sytymäpäivä". eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 3 3. eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 34 3 3. eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 33 3 3.. eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 334 3 4
P(A) = P( A ) = 3 34 33 334... 073, 3 3 3 3 (Laskime permutaatiotoimiolla (3 Pr 3)/3 3 ) Vastaus: Aiaki kahdella sama sytymäpäivä todeäköisyydellä 0,73.. P("Oppilas tulee keskiviikkoa ajoissa kouluu") = P("ti ja ke ajoissa tai ti myöhässä ja ke ajoissa") = 0,7 0,9 + 0,3 0,7 = 0,84 Vastaus: Oppilas tulee keskiviikkoa ajoissa kouluu todeäköisyydellä 0,84.. Valmistusaja keskiarvo h Valmistusaja hajota 3 h 0 mi 4 P z 0 3 0 = P (,7) z = ( ) Φ,7 = 0,003 = 0,3% Vastaus: 0,3 %,7 7. Mustie palloje lukumäärä P("Molemmat mustia palloja") = 0,0 = 0, 0 40 0 0 = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 0) = 84 = + = 84 = = 4 Ei käy, koska > 0. Vastaus: Laatikossa o mustaa palloa.
8. todelliset luokkakeskus h p 00 h p luokkarajat (m) (m) (mk) 4, - 0, 7, 0,04 00 7, 0,04 0, - 0,, 0,0 00, 0,0 0, - 30,, 0,0 00, 0,0 30, - 40, 3, 0, 00 3, 0, 40, - 0, 4, 0,0 00 4, 0,0 0, - 0,, 0,30 00, 0,30 0, - 70,, 0,0 00, 0,0 70, - 80, 7, 0,0 00 7, 0,0 yhteesä,00 9 03 Vastaus: Hia odotusarvo o 9 000 mk.
Harjoituskoe 3. Kaloja 40 kpl Kaloje paio oudatti ormaalijakaumaa N(0, 0) 80 0 a) P(X < 80) = P Z < = P(Z < 0,333 ) = P(Z > 0,333 ) 0 = Φ(0,333 ) = 0,394 Kaloja 0,394 40 70 0,333 00 0 700 0 b) P(00 X 700) = P Z = P( 0, Z 0, ) 0 0 = P(Z 0, ) P(Z < 0, ) = P(Z 0, ) ( P(Z < 0, )) = Φ(0, ) ( Φ(0, )) = 0,337 0, 0, 0, 0, Kaloja 0,337 40 480 c) 00 0 P(X > 00) = P Z > = P(Z > ) = P(Z < ) 0 = Φ() = 0,843 7
Kaloja 0,843 40 300 Vastaus: Kaloja oli a) 70 b) 480 c) 300 kappaletta.. a) A = Kahde opa heitossa silmälukuje summa suurempi kui 4.oppa 7 8 9 0 7 8 9 0 4 7 8 9 0 3 4 7 8 9 3 4 7 8 3 4 7 3 4.oppa P(A) = k 30 = 3 = b) B = Kahde opa heitossa silmälukuje erotukse itseisarvo tai 4 4 3 0 4 3 0 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 3 4 3 4 P(B) = k 4 7 = 3 = 8 Vastaus: Todeäköisyydellä a) b) 7 8. 8
3. Ratkaistaa yhtälö + =!! + = ( )! ( )! ( )! ( )! Vastaus: = 0 ( ) ( ) ( ) ( )! ( )! + = ( )!! ( )!! ( ) + = + 0 = 0 4 ( 0) ± = 44 = = Ei käy + 44 = = 0 4. Ryhmässä o 9 tyttöä ja 8 poikaa. a) A = Poissa o 3 poikaa 8 3 7 P(A) = = = 7 80 8 3 b) A = Poissa o tyttöä ja poika 9 8 88 3 P(A) = = = 7 80 8 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 7 b) 3 8 8. a) A = Kuudesta tehtävästä eljä oikei. k k Toistokoe Pk pq = =, k = 4, p = 0, 7, q = p = 0, 7 = 0, k 4 P4 = 0,7 0, 0, 97 4 b) P(" Kuudesta tehtävästä kaikki tehtävät oikei") = 0,7 = 0,78 c) A = "Kuudesta tehtävästä aiaki kaksi oikei" A = "Kuudesta tehtävästä olla tai yksi oikei" 9
k k Toistokoe Pk pq = =, k = 0 tai, p = 0,7, q = p = 0,7 = 0, k P( A) = P( A) = P0 P = 0, 0, 7 0, 0, 99 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,97 b) 0,78 c) 0,99.. Virheide todeäköisyydet P(K) = 3, P(T) = 3 ja P(L) = a) A = Umpimähkää valittu oppilas tekee kaikki virheet P(A) = 3 = 3 b) B = Umpimähkää valittu oppilas ei tee yhtää virhettä 3 P(B) = = = 3 3 c) C = Umpimähkää valittu oppilas tekee tasa virhettä P(C) = 3 + + 3 = 3 3 3 3 30 Vastaus: Todeäköisyydellä a) b) c) 3 30 7. Keskiarvo o. a + + ( a) + (9 + a) + + 0 + 4 = 7 7 a + a 0 = 0 Jos a =, ii luvut ovat,, 0,,, 0 ja 4. Keskihajota s i= = = 4 ( 0) ± a = 8 a = = a + 8 = = 4 ( x x) ( ) + ( ) +... + (4 ) 7 Jos a = 4, ii luvut ovat,,, 7,, 0 ja 4. ( x x) i= ( ) + ( ) +... + (4 ) = = Keskihajota s 7 Vastaus: Vakio o tai 4. Vastaavat keskihajoat 8,33 ja 3,0. 8,33 3, 0 30
ax + a, ku 0 < x < 4 8. Fuktio f( x) = o erää satuaismuuttuja X tiheysfuktio. 0, muulloi. y (4, 4a + a) (0, a) 3 4 x f(x) 0, kaikilla muuttuja x arvoilla, jote a 0. Tiheysfuktio f kuvaaja ja x-akseli välii jäävä aluee ala o. 4(4 a+ a) = 0a = :0 Tiheysfuktio a = 0 x+, ku 0 < x< 4 f( x) = 0 0 0, muulloi. Todeäköisyys P( < X < 3) = Vastaus: a =, todeäköisyys o 3 0. + + 3+ f() + f(3) 0 0 0 0 3 (3 ) = = 3