4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY

Väähelyekaiikka 4. 4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY 4. Johdao Mekaaise syseei ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä saoaa akkoväähelyksi. Jos syseeissä o vaieusa, o kyseessä vaieeva akkoväähely, ua uue vaieeao akkoväähely. Siä osaa akkoväähelysä, joka häviää syseeisä lyhye aja kuluessa, saoaa asieiksi. Tasiei väähely häviyä jää jäljelle ysyvä väähely. Tasieia väähelyä esiiyy iskukuoiuse, kaaleide öäyse ja liikkuvie kuoiuse yheydessä. Syyvä liike ei ole väläää jaksollisa ja ahdollise akeevauio johuva yleesä joki akeeosa saaise lujuude yliyksesä. Pysyvä väähely liiyy koeide jakuvaa käyöö ja säilyy huoaavasi asieia väähelyä ieiä aikoja. Syyvä vauio ova väsyis- ja kuluisvauioia. Väähelyaalyysissa saoaa väähely aiheuajaa heäeeksi ja seuauksea olevaa syseei liikeilaa (asea, oeus, kiihyvyys) vaseeksi. Takaselu voidaa jakaa osii heäee yyi euseella. Jos heäe o vailla iää sääöllisyyä, o kyseessä sauaisheäe ja syyvää liikeä saoaa sauaisväähelyksi eli sokasiseksi väähelyksi. Jos heäe ueaa esiekiksi aja fukioa, se o deeiisie. Deeiisie heäe o jaksollie, jos heäe Kuva 4. Heäefukioia. oisuu sääöllisi välei saalaisea. Eiyise äkeä jaksollie heäe o haoie heäe, jolloi kyseessä o sii- ai kosiiuooie heäevoia vaihelu. Kuvassa 4. o uuaia heäefukioia, (a) o haoie heäe, kuvassa (b) o uia jaksollisia heäeiä ja kuvassa (c) jaksooia heäeiä. Tässä luvussa akasellaa yhde vaausasee syseei vasea haoisee heäeesee. Haoiselle heäeelle o yyillisä, eä syyvä akkoväähely aahuu saalla aajuudella kui heäevoia vaihelee. Tavallisia haoise he- Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4. äee läheiä ova yöivä ja edesakaisi liikkuva koeeosa sekä ise koee ai se alusa liike. Syyvä väähely ova yleesä koee oiia kaala haiallisia ja aiaki esoassiilae ulee useiissa aauksissa välää. Tähä ääsää väähely huoioo oavalla suuielulla sekä käyäällä väähely vaieusa ja absoboiia. Takkaa oae vaieeaoa akkoväähelyä ei käyäössä esiiy, ua jos vaieusvoia ova vähäisiä, kaaaa e aalyysi yksikeaisaiseksi oleaa olliksi. Seuaavassa akasellaa aluksi vaieeaoa haoisa akkoväähelyä, jolloi eusoiaisuude uleva esille ahdollisia yksikeaisissa uieissa ja akaselu voidaa sie yleisää vaieevaa väähelyy. 4. Vaieeao haoie akkoväähely 4.. Väähelevä assa Kuvassa 4. o lieaaise yhde vaausasee haoise akkoväähelijä eusalli, joka uodosava (a) (b) (c) jousi k, assa ja siihe vaikuava haoie akkovoi- g k k Δ k( + Δ) a () = si. Pakkovoi- jouse leoiuus saaie asaaio () Δ g g Kuva 4. Pakkoväähely eusalli. & & () a lausekkeessa o se aliudi ja kulaaajuus. Syseei liikeä ukiaa saaisesa asaaioaseasa iau koodiaai avulla. Kuva 4. (c) euseella saadaa liikeyhälö k ( + Δ ) g () = & (4.) & josa seuaa yheyde k Δ = g euseella syseei liikeyhälöksi & + k = () = si (4.) = k / e- Oaalla huoioo syseei oiaiskulaaajuude ääielä ee liikeyhälö (4.) uooo & + = si (4.) Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4. Liikeyhälö (4.) yleie akaisu o uooa = h +, jossa h o hoogeeise yhälö & + = yleie akaisu ja äydellise yhälö (4.) yksiyisakaisu. Kaava (.8) ukaa h o h = A si + A cos (4.4) jossa vakio A ja A saadaa alkuehdoisa. Yksiyisakaisu o jossa o vakio. Sijoiaalla yksiyisakaisu liikeyhälöö (4.) saadaa = si, / si + si = si = (4.5) josa seuaa yksiyisakaisulle kaava / = si ( ) (4.6) Liikeyhälö (4.) akaisu o siis / () = A si + A cos + si ( ) (4.7) Kaava (4.6) ei ole voiassa, jos =, jolloi oisaala yksiyisakaisuyie = si sisälyy jo hoogeeise yhälö yleisee akaisuu (4.). Oikea yksiyisakaisu aauksessa = o = si ( = ) (4.8) k kue helosi voidaa odea sijoiaalla akaisu (4.8) liikeyhälöö (4.). Rakaisussa (4.7) osa h = A si + A cos edusaa oiaisväähelyä, joka käyäössä vaieukse akia häviää syseeisä lyhye aja kuluessa. Pysyvää akkoväähelyä edusaa osa, joka ei iiu syseei alkuehdoisa ja säilyy ii kaua, ku akkovoia vaikuaa. Kaavasa (4.6) äkyy, eä akkoväähely aahuu saalla aajuudella kui akkovoia vaihelee. Pakkoväähely aliudi o / = (4.9) = k / ja ekiää = / k ja = /, saa kaa- Ku oeaa huoioo yheys va (4.9) uodo d Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.4 M = = (4.) d Suue d o akkovoia aliudi aiheuaa jouse saaie iuudeuuos. Suuea saoaa aajuussuheeksi ja suuea M vahvisuskeoieksi. M keoo kuika suui väähely aliudi o veaua 5 M 5 4 c akkovoia aliudi aiheu- aaa saaisee iuudeuuoksee d. Kuvassa 4. vahvisuskeoi M o esiey aajuussuhee fukioa. Kaava (4.9) ukaa aliudi >, ku <, jolloi akkovoia ja väähely ova saassa vaiheessa. Vasaavasi a aliudi M() ( y) 4 <, ku >. Koska o voiassa si = si( + π), voidaa ääellä, eä akkovoia ja väähely ova ällöi vasakkaisissa vaiheissa. Kuva 4. käyässä o kole eiyise kiiosavaa kohaa, joia o ekiy a, b ja c. Kohdassa a o hyvi iei, s. akkovoia vaihelee hyvi hiaasi ja assa aliudi o lähellä saaisa siiyää d ( M ). Kohdassa b o voiassa >>, jolloi ak- 5 c 5.5.5.5 kovoia vaihelee ii oeasi, eä assalla ei ole aikaa seuaa se vaihelua, y ja aliudi jää hyvi ieeksi ( M ). Kuva 4. Vahvisuskeoi. Kiiosavi iliö o kohdassa c, issä aliudi lähesyy ääeöä, ku. Tää ilaea saoaa esoassiksi. Jos akkovoia aajuus o yhä suui kui oiaiskulaaajuus eli =, o voiassa yksiyisakaisu (4.8), josa ähdää, eä, ku. b Edellä esiey euseella o selvää, eä haoie akkovoia aiheuaa väähelyogelia, jos se kulaaajuus o saa kui syseei oiaiskulaaajuus ai lähellä siä. Käyäössä väähely aliudi ei voi ulla ääeöäksi, vaa syseei vauioiuu aikaisei liiallise väähely seuauksea. Suuielija ehävää o valia syseei aaei k ja ii, eä se oiii iiävällä eäisyydellä esoassikohdasaa. Tää kusuaa syseei viiäiseksi. Pakkoväähelyssä oleva assa kiiiysalusaasa aiheuaia voiavaikuuksia ei yleesä ysyä kokoaa väläää, ua iiä voidaa huoaavasi ieeää oikealla jousavie kiiiyseleeie valialla. Jos alusaa siiyvä voia aksiiavo o ieei kui väähely aiheuaee akkovoia aliudi, saoaa kiiiyseleeejä väähely eisiiksi. Väähely eisykse ehävää o esää väähelevä kaalee aiheuaie voiie siiyisä yäisöö ai esää väähelevä yäisö aiheuaie voiie siiyisä hekkii laieisii. Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.5 Ogela o siis oleissa aauksissa saa, siiyvä voia o saaava ahdollisia ieeksi. Koeekiikassa väähely eisi o avallisesi oeueu eäkse ja kui yhdiselää, jolloi jouso aahuu kuiosassa ja eäsosa ahdollisaa kiiiykse koeesee ja alusaa. Kuva 4. allissa alusaa siiyvä voia aksiiavo o kaava (4.9) avulla kijoiaa A = k, jolle voidaa 5 5 4.5 Kuva 4.4 A / = k = (4.) 4.5 Väähely siiyvyys T ääiellää seuaavasi T M( ) ( y).5 A T = = (4.).5 Siiyvyys keoo, kuika suui osa akkovoiasa siiyy jouse kaua alusaa. Kuvassa 4.4 o siiyvyys T esiey aajuussuhee fukioa. Kuvaajasa ähdää, eä.5 T < vai, ku >. Tällöi jousesa o.5.5.5 hyöyä, koska se ieeää alusaa siiyvä voia aksiiavoa, joka ila jousa, y Kuva 4.4 Siiyvyys. olisi. Alueessa < o T > ja alusaa siiyvä voia aksiiavo o suuei kui ja jouse käyösä o vai haiaa. Edullisee siiyvyyee ääsää siis viiäällä syseei ii, eä se oiii kuva 4.4 käyällä oiaisaajuuaa vasaava kohda oikealla uolella iiävä kaukaa. Näi viieyä syseeiä kusuaa yliviieyksi. 4.. Tasaaioaao oooi Haoisesi vaiheleva akkovoia voi esiiyä yöivie koeeosie yheydessä. Takasellaa kuva 4.5 aausa, jossa sähköoooi o sijoieu kaksiukiselle alkille. Jos oooi oooia ei ole äydellisesi asaaioeu, o se assakeskiöllä G eäkeskeisyys e akseli keskiiseesee O ähde. Täsä aiheuuu oooi käydessä säee suuaie yöivä hiausvoia e, issä o akseli kulaoeus ja oooi assa. Tää voia väliyy laakeeide kaua oooi ukoo ja siiä kiiiyse kaua alkkii. Hiausvoia e voidaa jakaa vaaka- ja ysykooeeihisa. Jos alki vaakaliike o esey, o kyseessä yh- Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.6 oooi oooi O e G de vaausasee väähely ysysuuassa. Tilaea voidaa akasella kuva 4.6 laskeaalli avulla, jossa o väähelevä assa suuuus ja k = 48EI/ L o alki jousivakio keskellä siä vaikuava isevoia suhee. Kuva 4.5 Tasaaioaao oooi. Kuvasa 4.6 saadaa syseei liikeyhälöksi ysysuuassa & + k = e si (4.) joka o saaa uooa kui yhälö (4.). O kuieki huoaava, eä yhälö (4.) oikealla uolella oleva akkovoia aliudi iiuu kulaaajuudesa, ikä ileisesi vaikuaa saaava akaisu luoeesee. Liikeyhälö (4.) yksiyisakaisu G O e k & & Δ & e si g k( + Δ) e T e cos saaie asaaio saadaa ileisesi kaavasa (4.6) sijoiaalla aliudi aikalle lauseke e Kuva 4.6 Tasaaioaaoa oooi laskeaalli., jolloi saadaa akaisu e = si ( ) (4.4) ( ) Pakkoväähely aliudi o siis ässä aauksessa Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.7 e = (4.5) ( ) Diesiooa suuea = /( e) saoaa syseei vahvisuskeoieksi. Se lauseke o selväsi M M = = (4.6) e Kuvassa 4.7 o vahvisuskeoi M esiey aajuussuhee fukioa. Pieillä yöiisoeude avoilla M eli oooi eäasaaio vaikuus o ekiykseö. Ku yöiise kulaaajuus, aliudi, ikä edusaa esoassiilaea. Suuilla kulaaajuuksilla >> o M ja aliudi ( / )e. Tällä alueella o väähely aliudia siis ahdollisa ieeää ekeällä koee ugosa askas esiekiksi beoisa ehyjä aioja lisääällä. 5 5 5 5 4 4.5 4.5 M() M ( y) 4 T M().5 ( y).5.5 5 5.5.5.5, y.5.5.5, y Kuva 4.7 Vahvisuskeoi. Kuva 4.8 Siiyvyys. Takasellaa sie akkovoia siiyvyyä alusaa kuva 4.6 allissa. Alusaa siiyvä voia aksiiavoksi saadaa kaava (4.5) euseella A e = k = = (4.7) ( ) jossa = e o oiaiskulaaajuua vasaava akkovoia aliudi. Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.8 Siiyvyys T = / o siis ässä aauksessa A T A = = (4.8) Kuvassa 4.8 o siiyvyys T esiey aajuussuhee fukioa. Resoassialueella alusaa siiyvä voia o hyvi suui. Suuilla yöiisoeude avoilla T eli alusaa siiyvä voia avo lähesyy avoa, joka o oiaiskulaaajuua vasaava akkovoia aliudi. Alusaa siiyvä aksiivoia A lauseke voidaa kijoiaa yös uooo A e = k ( e = ) ( / ) = a (4.9) jossa a = e o kulaoeua vasaava akkovoia aliudi. O selvää, eä A /a = T, jossa T o kuvassa 4.4 esiey siiyvyys. Kuva 4.4 ei aa oikeaa yleiskuvaa siiyvä voia suuuudesa, koska a kasvaa kulaoeude kasvaessa, eli suue, joho alusaa siiyvää voiaa veaaa, ei ole vakio. Kuvasa 4.4 syyy helosi se väää käsiys, eä siiyvä voia lähesyy ollaa kulaoeude kasvaessa, ikä ei ieekää idä aikkaasa. 4.. Väähelevä alusa (a) g B jouse leoiuus saaie asaaio k u = b si Δ & & & u& u& & k( + Δ u) (b) g Kuva 4.9 Väähelevä alusa laskeaalli. Takasellaa akkoväähelyä, joka aiheuuu kaalee alusa liikkeesä. Tällaise väähelijä eusalli o esiey kuvassa 4.9. Malli sisälää jouse, assa ja liikkuva alusa B. Jousi o kiiiey alusaa B, joka väähelee haoisesi fukio u() = bsi ukaisesi. Liikeä kuvaa saaisesa asaaioaseasa ( Δ, u = ) iau koodiaai, joka ilaisee assa absoluuise asea. Syseei liikeyhälöksi saadaa kuvasa 4.9 (b) & + k = kbsi (4.) Yhälö (4.) o saaa uooa kui yhälö (4.), ua aliudi aikalla o ei k b. Pakkoväähely lauseke o kaava (4.6) euseella Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.9 kb / b = si = si ( ) (4.) ( / ) josa ähdää, eä aliudi ja vahvisuskeoie M = / b lausekkee ova b = M = (4.) Vahvisuskeoi o ässä aauksessa saa kui kaava (4.) vahvisuskeoi ja o siis esiey kuvassa 4.. Massa liikeä voidaa ukia yös alusa suhee käyäällä suheellisa koodiaaia z = u. Sijoiaalla liikeyhälöö (4.) & = && z + u& ja = z + u saadaa suheellise koodiaai z avulla lausuu liikeyhälö z & + k z = b si (4.) Yhälö (4.) o saaa uooa kui oooi liikeyhälö (4.), ei e aikalla o ei b. Pakkoväähely suheellie aliudi Z ja vahvisuskeoi M = Z / b ova siis b Z = M = (4.4) Edellä oleva suheellie vahvisuskeoi o saa kui oooiaaukse kaavassa (4.6) ja o siis esiey kuvassa 4.7. Väähelevä alusa aauksessa ollaa kiiosueia alusasa assaa siiyvä voia aksiiavosa M, ikä o vaaakaalekuva 4.9 (b) euseella M b = k( b ) = k Z = k = kb (4.5) jossa K = kb o alusa aksii siiyää vasaava jousivoia. Nähdää, eä siiyvyys T = / o M K T K M = = (4.6) joka o saa lauseke kui kaavassa (4.6) ja kuvassa 4.8 esiey siiyvyys. Koska = k /, ähdää kaavasa (4.5), eä jousivakio k ieeäie ieeää yliviiey syseei siiyvyyä. Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4. 4. Viskoosisi vaieeva haoie akkoväähely 4.. Väähelevä assa Kuvassa 4. o viskoosisi vaieeu yhde vaausasee haoise akkoväähelijä eusalli. Siihe kuuluu jousi k, assa, vaiei c ja assaa vaikuava akkovoia () = si. Kuvasa 4. (c) saadaa liikeyhälö (a) g jouse leoiuus k c kδ (b) k( (c) + Δ) c& saaie asaaio () Δ g & & & g () k ( + Δ) g + c & () = & (4.7) Täsä seuaa edellee Kuva 4. Viskoosisi vaieeu väähelijä. & + c & + k = () = si (4.8) Oaalla huoioo oiaiskulaaajuude ja vaieussuhee ζ ääielä saadaa yhälö (4.8) kijoieua sadadiuooo & + ζ & + = si (4.9) Yhälö (4.9) yleie akaisu o uooa = h +, jossa h o hoogeeise yhälö & + ζ & + = yleie akaisu ja äydellise yhälö (4.9) yksiyisakaisu. Rakaisu osa h o kaava (.4) ukaa alikiiiselle vaieukselle h = Ce ζ si( d + ψ ) (4.) h edusaa oiaisväähelyä, joka häviää vaieukse asiosa oeasi. Pakkoväähelyä edusaa yksiyisakaisu, joe vai se akaselu o ässä aiheellisa. Yksiyisakaisu voidaa ässä aauksessa löyää yiefukioilla Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4. = A si + A cos ai = si( φ ) (4.) jossa A ja A sekä ja φ ova vakioia. Yieisä jälkiäie o hiea käeväi, joe käyeää siä. Vakio ja φ voidaa ääiää sijoiaalla yie liikeyhälöö (4.9). Noeudelle ja kiihyvyydelle ulee deivoialla lausekkee & = cos( φ ) & = si( φ ) (4.) joe sijoius liikeyhälöö (4.9) aaa aluksi ( ) si( φ ) + ζ cos( φ ) = si (4.) Käyäällä kaavassa (4.) sii ja kosii väheyslaskukaavoja saadaa ( ) ( si cos φ cos siφ ) + + ζ (cos cosφ + si siφ ) = si (4.4) cos keoi- Mekiseällä yhälö (4.4) ei uolilla esiiyvie eie e uoliai saoiksi saadaa yhälöai si ja ( ) cosφ + ζ siφ = ( ) siφ ζ cosφ = (4.5) josa saadaa akaisua yksiyisakaisussa oleva vakio ja φ. Tulos o (odisus sivuueaa) = / k + ζ ζ φ = aca (4.6) Vakio ja φ ova akkoväähely = si( φ) aliudi ja vaihekula. Ku ekiää jällee d = / k ja = /, saadaa vahvisuskeoielle M ja vaihekulalle φ kaava M = d = ( ) + ( ζ ) ζ φ = aca (4.7) Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4. Liikeyhälö (4.9) akaisu o edellä oleva euseella alikiiiselle vaieukselle () = C e ζ si ( d + ψ ) + si( φ ) (4.8) jossa vakio ja φ saadaa kaavasa (4.6). Vakio C ja ψ äääyyvä akkoväähelijä alkuehdoisa (alkuasea ja -oeus), ua eivä ole kaava (.44) ukaise, sillä yksiyisakaisu vaikuaa yös iide avoihi. Kuvassa 4. o kaava (4.7) vahvisuskeoie M ja vaihekula φ kuvaajia aajuussuhee fukioa uuailla vaieussuhee ζ avoilla. Vahvisuskeoie M käyäsösä ähdää, eä kaikki käyä ova ollavaieusa vasaava käyä alauolella. Vaieus ieeää akkoväähely aliudia ja eiyisesi esoassi läheisyydessä ieeeie o voiakasa. Nähdää, eä käyie aksii eivä ole kohdassa =, eiväkä kohdassa = d = ζ, vaa hiea ää vasealla uolella kohdassa = = ζ, kue kaavasa (4.7) voidaa odea esiällä vahvisuskeoie M deivaaa ollakoha. Avoa saoaa esoassikulaaajuudeksi. Vaieevalla väähelyllä ova oiaiskulaaajuus, vaieeu oiaiskulaaajuus d ja esoassikulaaajuus eisuuia. Jos vaieussuhde ζ o iei, ova e kuieki hyvi lähellä oisiaa ja ajaaauksessa ζ = e ova saa. Maksiialiudiksi kohdassa = ulee a / k = (4.9) ζ ζ joka o lähes saa kui oiaiskulaaajuua vasaava aliudi, joka o / k = ζ (4.4) Usei oiaiskulaaajuua saoaa esoassikulaaajuudeksi, koska eo o käyäössä iei. Vaihekula φ käyäsösä ähdää, eä vaieeaoassa o o aauksessa ζ = vaihekula φ = esoassi alauolella ja φ = 8 esoassi yläuolella, jolloi voia ja siiyä ova vasaavasi saassa ai vasakkaisessa o vaiheessa. Ku =, o φ = 9 iiuaa vaieussuhee ζ avosa. Takasellaa voiaa, joka kuva 4. laskeaallissa siiyy väähely aikaa alusaa akkovoia vaikuuksesa. Tää voia lauseke o kuva 4. (c) ja kaavoje (4.) ja (4.) euseella () = k + c & = k si( φ) + c cos( φ) (4.4) a Voidaa helosi osoiaa, eä voia a () suui avo o Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4. ( k ) + ( c ) = k + ( ζ ) = (4.4) A / jossa aliudi saadaa kaavasa (4.6). Nähdää, eä akkoväähely siiyvyy- Kuva 4. Vahvisuskeoi ja vaihekula. Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.4 deksi T = A / ulee lauseke T ( ζ ) A + = = (4.4) ( ) + ( ζ ) Siiyvyys T o esiey kuvassa 4. aajuussuhee fukioa uuaalla vaieussuhee ζ avoilla. Kuvasa 4. ähdää, eä T > alueella < kaikilla vaieussuhee ζ avoilla, jolloi jouse käyö suueaa alusaa siiyvää voiaa. Alueessa > o T <, ja jouse käyö ieeää alusaa siiyvää voiaa. Huoaaa yös, eä alueessa > vaieukse lisääie suueaa alusaa siiyvää voiaa, sillä käyä eevä kohdassa = isii. Kuva 4. Vaieeva akkoväähely siiyvyys. M Kuva 4. Jäjesely. K Kuva 4. väähelijä aliudia voidaa ieeää uuaaa väähely siiyvyyä T käyäällä kuva 4. ukaisa jäjeselyä. Siiä assa o kiiiey suuee lisäassaa M ja jousivakio K valiaa sie, eä k / = K /( + M). Tällöi säilyy uuuaoaa ja yös T ysyy saaa, ku vaieusa ζ ei uuea. Aliudi se sijaa ieeee, koska jousivakio o se lausekkeessa (4.6) iiäjässä. Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.5 4.. Tasaaioaao oooi Kue kohdassa 4.. uli esille, aiheuaa yöivie koeeosie eäasaaio akkovoiia. Takasellaa kuvassa 4.4 esieyä laskeaallia, joka o uue saalaie kui kuva 4.6 alli, ua sisälää lisäksi viskoosi vaieie. Massa vaakasuuaie liike o esey, jolloi se voi väähdellä vai ysysuuassa. Roooi eäasaaiosa aiheuuu säeiäie yöivä hiausvoia e, joka ys- ykooei e si aiheuaa ysysuuaise akkoväähely. O selvää, eä liikeyhälöksi ulee ysysuuassa & + c & + k = e si (4.44) G O k e c Δ e si g e T cos e saaie asaaio & & & k( + Δ) c& Kuva 4.4 Vaieeu oooiväähely. Yhälö (4.44) o saaa uooa kui yhälö (4.6), ua aliudi aikalla o akkovoia aajuudesa iiuva ei e. Täsä seuaa kaavoje (4.6) ukaa akkoväähely = si( φ ) aliudille ja vaihekulalle φ kaava = e / k + ζ ζ φ = aca (4.45) Ku ekiää jällee seuaava kaava = /, saadaa vahvisuskeoielle M ja vaihekulalle φ Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.6 M = = e ( ) + ( ζ ) ζ φ = aca (4.46) Kaava (4.46) vahvisuskeoi M o esiey kuvassa 4.5 aajuussuhee fukioa ei vaieussuhee ζ avoilla. Vaihekula φ lauseke o saa kui kaavassa (4.7), joe se o esiey kuvassa 4.. Vahvisuskeoie M käyäsösä ähdää, eä käyie aksii eivä ole kohdassa =, vaa hiea se oikealla uolella. Voidaa osoiaa, eä esoassikulaaajuus o = / ζ ja aksiialiudille a äee kaava a e = (4.47) ζ ζ Oiaiskulaaajuua vasaava aliudi o e = ζ (4.48) joka eoaa ieellä vaieuksella vähä avosa a. Saoi esoassiaajuus eoaa ieellä vaieuksella vähä oiaiskulaaajuudesa, joa siksi saoaa yös esoassiaajuudeksi. Aliudi o ieillä yöiisoeuksilla lä- Kuva 4.5 Vahvisuskeoi. Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.7 hellä ollaa ja suuilla yöiisoeuksilla ( / ) e vaieussuheesa iiuaa. Resoassi läheisyydessä vaieus ieeää ehokkaasi aliudia. Tukiaa siiyvyyä kuva (4.4) laskeaalli aauksessa. Alusaa siiyvä voia aksiiavo A o kaava (4.4) ukaie ja siiä oleva aliudi saadaa kaavasa (4.45). Näisä seuaa ( / ) ( / ) e A k + ( ζ / ) = k + / [ ] + ( ζ / ) ( ζ ) = A + ( ζ / ) ( / ) + [ ] ( ζ / ) ( ζ ) + = e ( ) = (4.49) ( ) + ( ζ ) jossa o ekiy = e, joka o oiaiskulaaajuua vasaava akkovoia aliudi. Pakkoväähely siiyvyydeksi T = / ulee A T ( ζ ) ( ) + ( ζ ) A + = = (4.5) Kaava (4.5) siiyvyys T o esiey kuvassa 4.6 aajuussuhee fukioa Kuva 4.6 Siiyvyys. Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.8 uuailla vaieussuhee ζ avoilla. Ku ζ >, 55 käyillä ei ole ääiavoja eli T kasvaa koko aja, ku. Avoilla < ζ <, 55 käyillä o sekä 4 iii eä aksii ja kaikki iii ova ieeiä kui ua suueia kui. Rajaaauksessa ζ = T, ku. Käyisä ähdää yös, eä suuilla yöiisoeuksilla ieiki vaieus o haiallisa. Esiekiksi avolla ζ =, 5 siiyvä voia o kohdalla = 4, 5 suuei kui esoassikohdassa siiyvä voia. Kuvasa 4.5 ähdää, eä aliudi o suuilla yöiisoeuksilla iei, jolloi yös jouse kaua siiyvä voia o iei. Voia siiyy suuilla yöiisoeuksilla lähiä vaieie kaua, koska oeus o suui, jolloi vaieusvoia o suui. Alusaa siiyvä aksiivoia A lauseke (4.49) voidaa kijoiaa yös vaihoehoisee uooo A + ( ζ / ) ( / ) + [ ] ( ζ / ) a ( ζ) + = e = (4.5) ( ) + ( ζ) jossa a = e o kulaoeua vasaava akkovoia aliudi. O selvää, eä A / a = T, jossa T o kuva 4. siiyvyys. Kuva 4. ei aa oikeaa yleiskuvaa siiyvä voia suuuudesa, koska yös a kasvaa kulaoeude kasvaessa. Kuvasa 4. syyy helosi väää käsiys, eä siiyvä voia lähesyy ollaa kulaoeude kasvaessa, ikä ei ieekää idä aikkaasa. 4.. Väähelevä alusa (a) B g jouse leoiuus saaie asaaio k u = b si u& u& & Δ Kuva 4.7 Vaieeu alusa väähely. c & & & k( + Δ u) Syseei liikeyhälöksi saadaa vaaakaalekuva 4.7 (b) avulla (b) c (& u) & g Takasellaa akkoväähelyä, joka aiheuuu alusa haoisesa liikkeesä, ku vaieus o viskoosi. Laskeaalli o esiey kuvassa 4.7. Siiä o jousi k, vaiei c, assa sekä fukio u() = bsi ukaisesi liikkuva alusa. Koodiaai u ilaisee alusa absoluuise asea ja koodiaai assa absoluuise asea. k ( + Δ u) g + c( & u) & = & (4.5) Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.9 Oaalla huoioo, eä k Δ = g ja u& = b cos, saadaa liikeyhälö uooo & + c & + k = b(k si + c cos ) (4.5) Yhälö (4.5) voidaa kijoiaa igooeia kaavoje avulla uooo & + c & + k = A si( + α ) (4.54) jolloi vakioide A ja α lausekkee ova (odisus sivuueaa) ( /k) A = b k + (c ) ja α = aca c (4.55) Yhälö (4.54) akkoväähelyä vasaava yksiyisakaisu o uooa = si( β ) (4.56) Vakio ja β voidaa laskea yhälöaisa, joka saadaa sijoiaalla yie (4.56) liikeyhälöö (4.54). Tulos o (odisus sivuueaa) = b + ζ + ζ ζ β = aca + ζ (4.57) Ku ekiää jällee seuaava kaava = /, saadaa vahvisuskeoielle M ja vaihekulalle β M = b = + ( ζ ) β = aca ζ ( ) ( ) ( ) + ζ + ζ (4.58) Kaava (4.58) vahvisuskeoi M o saa lauseke kui kaavassa (4.4) oleva siiyvyys T, joe vahvisuskeoie M avo ähdää kuvasa 4.. Vahvisuskeoi M ilaisee, kuika oikeaie aliudi o alusa aliudii b veaua. Avolla = o M = vaieussuhee ζ avosa iiuaa. Aliudi ulee ieeksi, ku o suui eli jousivakio k o iei. Kuvassa 4.8 o esiey vaihekula β avoja aajuussuhee fukioa uuailla vaieussuhee ζ avolla. Kuva 4.7 syseei käyäyyisä voidaa ukia yös suheellise koodiaai z = u avulla. z ilaisee assa asea alusaa B ähde. Sijoiaalla liikeyhälöö (4.5) = z + bsi, & = z& + bcos ja & = & z b si saadaa z & + c z& + k z = b si (4.59) Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4. e aikal- Yhälö (4.59) o saaa uooa kui oooiliikeyhälö (4.44), keoie la o ässä b. Vahvisuskeoielle M = Z / b äee äi olle ( ) + ( ζ ) Z M = = (4.6) b ja sille voidaa käyää kuva 4.5 käyäsöä. Takasellaa siiyvyyä kuva 4.7 väähelevä alusa aauksessa. Ny ollaa kiiosueia alusasa B assaa siiyvä voia () aksiiavosa A. Vaaakaalekuva 4.7 (b) sekä kaavoje (4.), (4.) ja (4.59) euseella () = k( u) + c( & u) & = k z + c z& = k Zsi( φ ) c Zcos( φ ) (4.6) Kuva 4.8 Vaihekula. Voidaa helosi odisaa, eä voia () aksiiavo o ( k Z) + ( c Z) = k Z + ( ζ ) = (4.6) M / jossa aliudi Z saadaa kaavasa (4.6). Alusa aksii siiyää vasaava jousivoia o K = kb. Siiyvyydeksi T K = M / K saadaa äi olle kaava Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4. T K K ( ζ ) ( ) + ( ζ ) M + = = (4.6) joka o saaa uooa kui kaava (4.5) siiyvyys T, joe siiyvyydelle T K voidaa käyää kuva (4.6) käyäsöä. Massaa kohdisuva voia saadaa ieeksi käyäällä löysää jousa ja ahdollisia ieä vaieusa. 4.4 Vaieuksee kuluva eegia Mekaaisissa syseeeissä esiiyy aia vaieusa, joka johdosa syseei ekaaisa eegiaa uuuu esiekiksi läöeegiaksi ai ääiaaloje eegiaksi. Vaaassa väähelyssä vaieus ileee aliudi ieeeiseä. Pysyvässä akkoväähelyssä heäevoia ekeä yö kovaa vaieuksee kuluva eegia. Tukiaa aluksi kuva 4.9 ukaisa ilaea, jossa haoie akkovoia () = si vaikuaa haoisa väähelyä = si( φ ) suoiavaa assaa. Kula φ o heäevoia ja siiyävasee välie vaiheeo. Siiyälisäykse d aikaa voia ekee yö dw = d = si cos( φ ) d (4.64) Yhde väähdysjakso aikaa voia ekee yö π W = si cos( φ )d( ) (4.65) Sovelaalla kosii lausekkeessa (4.65) väheyslaskukaavaa saadaa π W = cosφ si cos d( ) + siφ si d( ) (4.66) Edellä esiäise ei iegaali o olla ja oise ei iegaali avo o π, joe jakso aikaa ehy yö o W d Kuva 4.9 Pakkovoia. = π siφ (4.67) Kaavasa (4.67) ähdää, eä siiyä kassa saassa ( φ = ) ai vasakkaisessa o vaiheessa ( φ = 8 ) oleva akkovoia jakso aikaa ekeä yö o olla. Voia π o Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4. φ = 9 eli voia o saassa vaiheessa o- ekee aksiiyö, ku vaihekula eude kassa. o Määieää sie viskoosi vaieusvoia = c & = c cos( φ ) yhde jakso aikaa ekeä yö. Siiyälisäykse d d aikaa voia ekee yö dw d = d = c cos( φ ) cos( φ ) d (4.68) d joe jakso aikaa ehdyksi yöksi ulee π W d = c cos ( φ )d( ) = π c (4.69) Kaavasa (4.5) ähdää, eä siφ = c. Sijoiaalla ää kaavaa (4.67) saadaa ulos W = eli akkovoia ekeä yö kovaa vaieuksee kuluva Wd eegia. Resoassissa vaihekula φ = 9 ja akkovoia ekeä yö o aksiissaa, jolloi yös vaieuksessa kuluva eegia o aksiissaa. Resoassissa = k / ja lisäksi c = ζ k, joe kaavasa (4.69) ulee o W d = ζ π k ( = ) (4.7) Vaieuksee jakso aikaa kuluva eegia lausekea voidaa akasella gaafisesi. Vaaakaalekuva 4. (c) euseella assaa vaikuaa voia f = k + c & = k + c cos( φ ) ( f k ) = (c ) [ si ( φ )] f c - c Kuva 4. Hyseeesisilukka. joka voidaa kijoiaa uooo f k + c = (4.7) Yhälö (4.7) esiää f -koodiaaisossa kuva 4. ukaisa ellisiä, joa saoaa hyseeesisilukaksi. Siluka sisäuolelle jäävä ia-ala o yhä suui kui jakso aikaa vaieuksee kuluu eegia. Viskoosi vaieukse hyseeesisilukka o ellisi. Jokaisee vaieusallii liiyy iey hyseeesisiluka uoo, joka voi vaihdella suuesiki allisa iiue. Kaikki hyseeesisiluka ova kuieki suljeuja Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4. ja iide ajoiaa ia-ala kuvaa vaieuksessa aahuvaa eegiahäviöä. Maeiaalie oiaisuuksia ukiaessa käyeää usei vaieukse iaa oiaisvaieuskykyä β ai häviökeoia η, joka ääiellää seuaavassa. β o V a, josa seuaa eso- eegiahäviö W d suhde kioeegia aksiiavoo assiaaukselle Wd πc πc β = = = = 4 πζ δ V k a (4.7) jossa δ o logaiie dekeei. Häviökeoi o η = β / π. 4.5 Ekvivalei viskoosi vaieus Kue kuvasa 4. ähdää, vaieus vaikuaa väähelevää syseeii ääasiassa ieeäällä aliudia esoassi läheisyydessä. Viskoosi vaieukse aauksessa odeii kohdassa 4.., eä esoassialiudille äee likikaava / k a = = ζ c (4.7) Muille vaieusalleille ei ole löydeävissä yhä yksikeaisa kaavaa. Resoassialiudia o kuieki ahdollisa avioida uilleki vaieusalleille ekvivalei viskoosi vaieusvakio c ekv avulla. Vakio c ekv löydeää ekiseällä akaselavaa vaieusallii liiyvä eegiahäviö W d yhä suueksi kui vaieusvakio c ekv oaava viskoosi vaieukse eegiahäviö, joka o W d ekv = πc (4.74) jolloi väähelyliike o oleeu haoiseksi. Oleus o usei voiassa vai likiäääisesi. Takasellaa aluksi ilaea, jossa vaieusvoia o veaollie oeude eliöö. Tällöi vaieusvoia o uooa d = ± a & (4.75) & Kuva 4. Vaieusalli. jossa a o vakio sekä lusekki vasaa aausa & > ja iiusekki aausa &. Tällaisa vaieusallia voidaa käyää eseessä ai kaasussa väähelevälle kaaleelle. Laskeaalleissa oeude eliöö veaollie vaieus esieää avallisesi kuva 4. Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.4 ukaisella vaieuseleeillä. Oleeaa väähelyliike haoiseksi = si( φ ), jolloi d = cos( φ ) d ja & = cos( φ ). Lisäksi esoassissa o likiai =, φ = π / ja =. Eegiahäviö jakso aikaa o W d = π a [ cos( π / ) ] cos( π / ) d W d π = a cos ( π / )d( ) = 8 a Kaava (4.74) euseella voidaa kijoiaa 8 a = πc ekv c ekv 8 = a π π a = (4.76) 8a Ekvivaleia viskoosia vaieusa voidaa käyää yös aliudi ja vaihekula φ aoksioiisee koko aajuusalueella. Takasellaa esiekkiä kikavaieusa. Oleeaa, eä haoisa akkovoiaheäeä vasaa haoie siiyävase yös kikavaieuksella. Vaieusvoia d = μn ekee jakso eljäekse aikaa yö μ N, jossa o aliudi. Kaava (4.59) euseella saadaa ulos W d 4μN = 4μ N = π c ekv c ekv = (4.77) π c ekv 4μN ζ ekv = = ζ ekv = c π k 4μN π k Ku edellä kijoieu ulos sijoieaa kaavoihi (4.6), seuaa / k = 4μN = π k φ aca ( ) 4μN + π k Rakaisealla äisä ja φ saadaa kaava Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki

Väähelyekaiikka 4.5 Yhde vaausasee haoie akkoväähely Mai Läheeäki ± = = = N 4 N 4 aca N 4 / k M π μ π μ φ π μ (4.78) Kaava (4.78) ova voiassa vai, jos eliöjuue alla oleva ei o osiiivie eli ) N/( 4 < π μ. Nähdää yös, eä M, ku. Vaihekula φ kaavassa äee lusekki, ku <, ua iiusekki, ku >. φ o eäjakuva esoassikohdassa.