Lähtötilanne
Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan.
Perusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä. Arvioidaan palkkien yhteenlaskettua pinta-alaa.
Kun osavälijakoa tihennetään, saadaan (rajalla) haluttu pinta-ala/integraalin arvo.
Kun osavälijakoa tihennetään, saadaan (rajalla) haluttu pinta-ala/integraalin arvo. Milloin tämä lähestymistapa toimii/antaa järkevän tuloksen? Miten tästä saadaan täsmällinen integraalin määritelmä...
Porrasfunktiot Funktio f : [a, b] R on porrasfunktio, jos on olemssa luvut a = x 0 < x 1 <... < x n = b ja a 1, a 2,..., a n R siten, että kaikille k = 1,..., n f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [. ESIMERKKI: f : [0, 2] R, 3 kun x ]0, 1[ f (x) = 1 2 kun x ]1, 3 2 [ 1 kun x ] 3 2, 2[. (Jakopisteissä x {0, 1, 3 2, 2} arvo f (x) voidaan määritellä vapaasti.) Tässä siis P = (0, 1, 3 2, 2), a 1 = 3, a 2 = 1 2, a 3 = 1.
P = (0, 1, 3 2, 2), a 1 = 3, a 2 = 1 2, a 3 = 1.
Porrasfunktion f (alkeis-) integraali yli välin [a, b] on f (x) dx = n a k (x k x k 1 ). k=1 Esimerkkimme tilanteessa 2 x=0 f (x) dx = 3 1 + ( 1 2 ) 1 2 + 1 1 2 = 3 + 1 4.
Geometrinen tulkinta: 2 x=0 f (x) dx = ALA 1 ALA 2.
Lemma Olkoon f, g: [a, b[ R porrasfunktioita. Tällöin 1 f + g on myös porrasfunktio ja (f + g)(x) dx = 2 λf on porrasfunktio kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx + g(x) dx. 3 Jos f g, niin f (x) dx g(x) dx. 4 Kaikille a < c < b, f (x) dx = c f (x) dx. f (x) dx + f (x) dx. x=c
Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että
Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [, g(x) = b k kun x ]x k 1, x k [.
Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [, g(x) = b k kun x ]x k 1, x k [. Esimerkiksi väite 3 seuraa tästä ja alkeisintegraalin määritelmästä, sillä f (x) dx = n a k (x k x k 1 ) k=1 n b k (x k x k 1 ) = k=1 g(x) dx, koska a k b k jos f g.
Todistus. IDEA: Tihentämällä porrasfunktioiden f ja g määrittelyssä käytettyjä jakoja löydetään välin [a, b] jako P = (x 0, x 1,..., x n ) ja luvut a 1,..., a n, b 1,..., b n R siten, että f (x) = a k kun x ]x k 1, x k [, g(x) = b k kun x ]x k 1, x k [. Esimerkiksi väite 3 seuraa tästä ja alkeisintegraalin määritelmästä, sillä f (x) dx = n a k (x k x k 1 ) k=1 n b k (x k x k 1 ) = k=1 g(x) dx, koska a k b k jos f g. MUISTUTUS: Harjoitustehtäviin voi saada apuja tuutortuvalta!
Riemann-integraali Bernhard Riemann (1826-1866)
Rajoitetun funktion f : [a, b] [0, + [ alaintegraali on { } b ala f := sup h(x) dx : h on porrasfunktio ja h f Yläintegraali määritellään vastaavasti yl.ȧ { } b f := inf h(x) dx : h on porrasfunktio ja h f. Jos ala f = yl.ȧ f, sanotaan että f on Riemann-integroituva yli välin [a, b], jolloin sen Riemann-integraali on f (x) dx := ala f = yl.ȧ f..
Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa.
Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa. f on siis Riemann integroituva jos ja vain jos on olemassa I R siten, että yl.ȧ f I ala f.
Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa. f on siis Riemann integroituva jos ja vain jos on olemassa I R siten, että yl.ȧ f I ala f. Yleensä Riemann-integroituvuus osoitetaan seuraavalla tavalla: Jokaiselle ε > 0, etsitään porrasfunktiot h ja g s.e. h f g, h(x) dx > I ε sekä g(x) dx < I + ε.
Arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa. f on siis Riemann integroituva jos ja vain jos on olemassa I R siten, että yl.ȧ f I ala f. Yleensä Riemann-integroituvuus osoitetaan seuraavalla tavalla: Jokaiselle ε > 0, etsitään porrasfunktiot h ja g s.e. h f g, h(x) dx > I ε sekä g(x) dx < I + ε. Tällöin f on Riemann-integroituva ja f (x) dx = I
Yhtäpitävästi: Etsitään jonot alaporrasfunktioita h n, sekä yläporrasfunktioita g n (siis h n f g n kaikilla n), siten että lim h n (x) dx = lim g n (x) dx = I. n n
Yhtäpitävästi: Etsitään jonot alaporrasfunktioita h n, sekä yläporrasfunktioita g n (siis h n f g n kaikilla n), siten että lim h n (x) dx = lim g n (x) dx = I. n n Tällöin f on Riemann-integroituva ja I = f (x) dx.
ESIMERKKI: Lasketaan 1 x dx. x=0 Merkitään f : [0, 1] R, f (x) = x.
ESIMERKKI: Lasketaan 1 x=0 x dx. Merkitään f : [0, 1] R, f (x) = x. Olkoon n N ja jaetaan väli [0, 1] tasaisesti n osaan jaon P = (0, 1 n, 2 n,..., n 1 n, 1) mukaisesti. Tässä siis x k = k n, kun k = 0,..., n ja I k =] k 1 n, k n [. Määritellään porrasfunktio h asettamalla h(x) = f (x k 1 ) = x k 1 = k 1 n kaikille x I k.
ESIMERKKI: Lasketaan 1 x dx. x=0 Merkitään f : [0, 1] R, f (x) = x. Olkoon n N ja jaetaan väli [0, 1] tasaisesti n osaan jaon P = (0, 1 n, 2 n,..., n 1 n, 1) mukaisesti. Tässä siis x k = k n, kun k = 0,..., n ja I k =] k 1 n, k n [. Määritellään porrasfunktio h asettamalla Tällöin joten h(x) = f (x k 1 ) = x k 1 = k 1 n kaikille x I k. ala f h f, 1 x=0 h(x) dx.
Lasketaan: ala f = = 1 x=0 h(x) n l(i k )f (x k 1 ) k=1 n k=1 1 k 1 n n = 1 n 1 n 2 k k=0 = 1 n 2 n(n 1) 2,
Lasketaan: ala f = = 1 x=0 h(x) n l(i k )f (x k 1 ) k=1 n k=1 1 k 1 n n = 1 n 1 n 2 k k=0 = 1 n 2 n(n 1) 2 missä viimeinen yhtälö seuraa aritmeettisen summan kaavasta m k = k=0 m(m + 1) 2,.
Koska lim n ( 1 n(n 1) n 1 1 n 2 = lim 2 n 2n = lim n 2 1 ) = 1 2n 2, niin ala f 1 2. Määritellään sitten porrasfunktio g siten, että g(x) = f (x k ) = k n kaikille x I k, jolloin g f.
Lasketaan: kun n. yl.ȧ f = = 1 x=0 g(x) n l(i k )f (x k ) k=1 n 1 k n n k=1 = 1 n n 2 k k=1 = 1 n 2 n(n + 1) 2 = n + 1 2n 1 2,
Koska ala f 1 2 yl.ȧ f, niin f on Riemann integroituva ja 1 x=0 x dx = 1 2.
Mitä osaamme integroida? Vakiofunktiot. Porrasfunktiot. Monomit f (x) = x m kaikille m {0, 1, 2,..., }.
Mitä osaamme integroida? Vakiofunktiot. Porrasfunktiot. Monomit kaikille m {0, 1, 2,..., }. f (x) = x m On opettavaista yrittää integroida myös muita alkeisfunktioita suoraan määritelmää käyttäen. ex dx =? sin x dx =?
Mitä osaamme integroida? Vakiofunktiot. Porrasfunktiot. Monomit kaikille m {0, 1, 2,..., }. f (x) = x m On opettavaista yrittää integroida myös muita alkeisfunktioita suoraan määritelmää käyttäen. ex dx =? sin x dx =? Esimerkki ei integroituvasta funktiosta: f : [0, 1] R, { 1 kun x [0, 1] Q, f (x) = 0 kun x [0, 1] \ Q.
Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx.
Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx. 2 λf on Riemann-integroituva kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx.
Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx. 2 λf on Riemann-integroituva kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx. 3 Jos f g, niin f (x) dx g(x) dx.
Lause Olkoon f, g: [a, b] R Riemann-integroituvia. Tällöin 1 f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx = f (x) dx + g(x) dx. 2 λf on Riemann-integroituva kaikille λ R ja (λf )(x) dx = λ f (x) dx. 3 Jos f g, niin f (x) dx g(x) dx. 4 Kaikille a < c < b, f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx. x=c
Seuraus Jos a 0,..., a n R ja p(x) = n k=0 a kx k, niin kaikille a, b R, a < b. p(x) dx = n k=0 a k b k+1 a k+1 k + 1,
Seuraus Jos a 0,..., a n R ja p(x) = n k=0 a kx k, niin kaikille a, b R, a < b. p(x) dx = n k=0 a k b k+1 a k+1 k + 1, Todistus. Sovelletaan edellistä lausetta monomin integroimiskaavaan jolloin p(x) dx = x k = bk+1 a k+1 k + 1 n a k k=0 x k dx = n k=0, a k b k+1 a k+1 k + 1.
Riemannin ehto Lause Funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva jos ja vain jos kaikille ε > 0 löytyy porrasfunktiot h ja g siten, että h f g ja (g(x) h(x)) dx < ε.
Riemannin ehdon avulla osoitetaan Riemann-integroituviksi muun muassa max{f, g} ja min{f, g}, Riemann-integroituville f, g: [a, b] R. Riemann-integroituvan funktion positiivi- ja negatiiviosat (harjoitustehtävä). Monotoniset funktiot f : [a, b] R (harjoitustehtävä). Tulo fg Riemann-integroituville f, g: [a, b] R (harjoitustehtävä)....
Jatkuvan funktion Riemann-integroituvuus Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten,että f (x) f (y) < ε aina kun y A ja x y < δ.
Jatkuvan funktion Riemann-integroituvuus Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten,että f (x) f (y) < ε aina kun y A ja x y < δ. Määritelmä Funktio f : A R on jatkuva, jos se on jatkuva pisteessä x kaikille x A.
Jatkuvan funktion Riemann-integroituvuus Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on jatkuva pisteessä x A, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten,että f (x) f (y) < ε aina kun y A ja x y < δ. Määritelmä Funktio f : A R on jatkuva, jos se on jatkuva pisteessä x kaikille x A. Määritelmä Olkoon A R. Funktio f : A R on tasaisesti jatkuva, jos kaikille ε > 0 löytyy δ > 0 siten, että f (x) f (y) < ε aina kun x, y A ja y x < δ.
Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita
Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita δ = ε.
Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita δ = ε. f : ]0, 1[ R, f (x) = 1 x on jatkuva,
Ero (tavalliseen) jatkuvuuteen: sama δ kelpaa kaikille x A. Jatkuvuus on paikallinen (pisteittäinen) ominaisuus, kun taas tasainen jatkuvuus on globaali ominaisuus. Esim. f : R R, f (x) = x on tasaisesti jatkuva, sillä anetulle ε > 0 voidaan valita δ = ε. f : ]0, 1[ R, f (x) = 1 x on jatkuva, mutta ei tasaisesti jatkuva: Vaikka 0 < δ < 1 2 valittaisiin miten pieneksi tahanssa, niin luvuille x = δ, y = 3 2δ ]0, 1[, on y x = δ 2 < δ, mutta f (x) f (y) = 1 δ 2 3δ = 1 3δ 2 3. Tasaisen jatkuvuuden vaatimaa lukua δ ei siis löydy arvolla ε = 2 3.
Lause Tasaisesti jatkuva funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva. Todistus: Olkoon ε > 0. Tavoitteena on löytää porrasfunktiot h ja g siten, että h f g ja (g(x) h(x)) dx < ε. Tarkastellaan tasvälistä jakoa P = (x 0,..., x n ), missä n N ja x k = a + k n (b a), kun k = 0,..., n. Koska f on tasaisesti jatkuva, voidaan valita δ > 0 siten, että f (x) f (y) < ε kaikille x, y [a, b] joille x y < δ Kun n > b a δ, huomataan että l(i k) = (b a) n < δ, joten tiedämme että f (x) f (y) < ε kun x, y I k.
Voidaan siis valita luvut a k, b k R siten, että b k a k < ε ja a k f (x) b k kaikille x I k. Määritellään porrasfunktiot h, g: [a, b] R siten, että Tällöin: h f g ja (g(x) h(x)) dx = h(x) = a k kun x I k, g(x) = b k kun x I k. n l(i k )(b k a k ) k=1 = (b a)ε. Väite seuraa Riemannin ehdosta. n k=1 ε(b a) n
Kun osoitamme vielä, että Lause Suljetulla ja rajoitetulla välillä määritelty jatkuva funktio f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. olemme lopulta osoittaneet, että Seuraus Jatkuva funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva.
Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva.
Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N.
Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N. Koska jono (x n ) on rajoitettu, voidaan osajonoon siirtymällä olettaa, että (x n ) suppenee.
Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N. Koska jono (x n ) on rajoitettu, voidaan osajonoon siirtymällä olettaa, että (x n ) suppenee. Olkoon x = lim n x n.
Pitää siis vielä osoittaa, että jatkuva f : [a, b] R on tasaisesti jatkuva. Todistus: Mikäli väite ei ole voimassa, niin eräälle ε > 0 löytyy välin [a, b] jonot (x n ) ja (y n ) siten, että lim x n y n = 0, n mutta f (x n ) f (y n ) ε kaikille n N. Koska jono (x n ) on rajoitettu, voidaan osajonoon siirtymällä olettaa, että (x n ) suppenee. Olkoon x = lim n x n. Tällöin myös lim y n = lim x n + lim(y n x n ) = x + 0 = x.
f on jatkuva, joten 0 = f (x) f (x) = lim f (x n ) lim f (y n ) n n = lim (f (x n ) f (y n )) n lim f (x n ) f (y n ) n lim ε n ε
f on jatkuva, joten 0 = f (x) f (x) = lim f (x n ) lim f (y n ) n n = lim (f (x n ) f (y n )) n lim f (x n ) f (y n ) n lim ε n ε... ristiriita.
Miten voidaan karkterisoida Riemann-integroituvat funktiot? Määritelmän avulla. Riemannin ehdon avulla. Niin sanottu Lebesguen ehto antaa vaihtoehtoisen karakterisaation funktion f epäjatkuvuuspisteiden avulla. f : [a, b] R on jatkuva jos ja vain jos sen epäjatkuvuuspisteiden joukko on "riittävän pieni". Lue lisää luentomonisteesta...
Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1.
Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1. Lause Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva, sekä P m välin [a, b] jako kaikille m N siten, että lim P m = 0. m
Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1. Lause Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva, sekä P m välin [a, b] jako kaikille m N siten, että lim P m = 0. m Olkoon lisäksi jokaiselle m, ξ k [x k 1, x k ], sekä S(P m ) = n m k=1 kun merkitään P m = (x 0,..., x nm ). f (ξ k )(x k x k 1 ),
Riemannin summat Jos P = (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus, eli P := max k=1,...,n x k x k 1. Lause Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva, sekä P m välin [a, b] jako kaikille m N siten, että lim P m = 0. m Olkoon lisäksi jokaiselle m, ξ k [x k 1, x k ], sekä S(P m ) = n m k=1 f (ξ k )(x k x k 1 ), kun merkitään P m = (x 0,..., x nm ). Tällöin f (x) dx = lim m S(P m).
Riemannin summista on hyötyä erityiseti silloin jos jo etukäteen tiedetään, että f on RIemann-integroituva. Tällöin integraalin f (x) dx arvo voidaan laskea haluamaamme jonoon (tihentyviä) jakoja P m liittyvien Riemannin summien avulla. Huomaa, että pisteet ξ k voidaan vapaasti valita jakoväliltä [x k 1, x k ].
TEHTÄVÄ: Mitkä seuraavista funktioista ovat Riemann-integroituvia? Perustele! f : [0, 100] R, 3 kun x ]0, 1[, f (x) = π kun x ]1, 99[, 1 kun x ]99, 100[. g(x) = sin(e x + 80x 2 ), [ 100, 0] R. x f (x) + g( x), [0, 100] R. h: [0, 3] R, h(x) = { 8 jos x on muotoa x = 1 n, n N, x muuten.
v: [0, 3] R, x kun x [0, 1], v(x) = cos x kun x ]1, 2[, log x kun x [2, 3]. u: [0, 1] R 1 jos luvun x desimaaliesityksessä on u(x) = äärettömän monta kolmosta, 1 muuten. 1 w, jos w: [a, b] R on Riemann-integroituva. vh: [0, 3] R.
Keskiarvo integraalina Riemann-integroituvan funktion f : [a, b] R keskiarvo on 1 b f (x) dx. b a
Keskiarvo integraalina Riemann-integroituvan funktion f : [a, b] R keskiarvo on 1 b f (x) dx. b a ESIMERKKI: Olkoon f : [0, 3] R, { x kun x [0, 1[, f (x) = 3 kun x [1, 3[.
Keskiarvo integraalina Riemann-integroituvan funktion f : [a, b] R keskiarvo on 1 b f (x) dx. b a ESIMERKKI: Olkoon f : [0, 3] R, { x kun x [0, 1[, f (x) = 3 kun x [1, 3[. Tällöin funktion f keskiarvo on 1 3 f (x) dx = 1 1 x dx + 1 3 3 dx = 1 ( ) 1 3 x=0 3 x=0 3 x=1 3 2 + 6 = 13 6.
Jatkuva funktio saavuttaa keskiarvonsa Lause (Integraalilaskennan väliarvolause) Jos f : [a, b] R on jatkuva, niin tällöin f (c) = 1 f (x) dx, eräälle c [a, b]. b a
Integraalifunktiot Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva. Funktiota F: [a, b] R, F(x) = x y=a f (y) dy, sanotaan funktion f Integraalifunktioksi.
Integraalifunktiot Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva. Funktiota F: [a, b] R, F(x) = x y=a f (y) dy, sanotaan funktion f Integraalifunktioksi. ESIMERKKI: Määrätään integraalifunktio F funktiolle f : [0, 3] R, { y kun y [0, 1[, f (y) = 3 kun y [1, 3[. Jos 0 x 1, niin F(x) = x y=0 f (y) dy = x y=0 y dy = x2 2.
Jos 1 < x 2, niin F(x) = x y=0 f (y) dy = 1 y=0 x y dy + 3 dy = 1 + 3(x 1). y=1 2
Jos 1 < x 2, niin F(x) = x y=0 f (y) dy = 1 y=0 x y dy + 3 dy = 1 + 3(x 1). y=1 2 Tapaukset yhdistämällä saadaan, F(x) = { x 2 kun x [0, 1[, 3x 5 2 kun y [1, 3[. Huomaa, että F on jatkuva (vaikka f on epäjatkuva)!
Integraalifunktion yleinen määritelmä Välillä I R määritelty funktio F: I R on funktion f : I R integraalifunktio, jos se on muotoa eräille vakioille C R, c I. x F(x) = C + f (y) dy y=c HUOMAA: Määritelmään sisältyy oletus, jonka mukaan f on Riemann-integroituva yli välin [a, b] kaikille a, b I.
Integraalifunktion ja Riemann-integraalin yhteys Lause Jos F on funktion f integraalifunktio välilä I, niin kaikille c, d I on voimassa d y=c f (y) dx = F(d) F(c). Mikäli G on jokin toinen funktion f integraalifunktio välillä I, niin tällöin G(x) = F(x) + C kaikille x [a, b], missä C on luvusta x riippumaton vakio.
Primitiivi Olkoon f : I R, missä I R on väli. Funktio G: I R on funktion f primitiivi, jos G on jatkuva ja jos G (x) = f (x) kaikille x I päätepisteitä lukuunottamatta.
Primitiivi Olkoon f : I R, missä I R on väli. Funktio G: I R on funktion f primitiivi, jos G on jatkuva ja jos G (x) = f (x) kaikille x I päätepisteitä lukuunottamatta. ESIMERKKI: Funktion f : R R, (eräs) primitiivi on f (x) = 1 1 + x 2 F(x) = arctan x. (koska D arctan x = 1 1+x 2 ). Myös jokainen funktio G(x) = arctan x + C, missä C R on vakio, on funktion f primitiivi. Muita primitiivejä ei ole.
Analyysin peruslause: Osa 1 Lause Olkoon f : I R Riemann integroituva kaikille [a, b] I ja olkoon G funktion f primitiivi. Tällöin G on funktion f integraalifunktio. Erityisesti f (x) dx = G(b) G(a) kaikille [a, b] I. (1)
Analyysin peruslause: Osa 1 Lause Olkoon f : I R Riemann integroituva kaikille [a, b] I ja olkoon G funktion f primitiivi. Tällöin G on funktion f integraalifunktio. Erityisesti f (x) dx = G(b) G(a) kaikille [a, b] I. (1) Todistus. Yhtälö (1) johdettiin luennolla Riemannin summien ja differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla.
Analyysin peruslause: Osa 1 Lause Olkoon f : I R Riemann integroituva kaikille [a, b] I ja olkoon G funktion f primitiivi. Tällöin G on funktion f integraalifunktio. Erityisesti f (x) dx = G(b) G(a) kaikille [a, b] I. (1) Todistus. Yhtälö (1) johdettiin luennolla Riemannin summien ja differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla. Valitaan c I. Yhtälön (1) nojalla funktiolle G saadaan lauseke: x G(x) = G(c) + (G(x) G(c)) = G(c) + f (y) dy, y=c joten G on funktion f integraalifunktio.
HUOMAUTUS: On olemassa funktioita f : [a, b] R, jolla on primitiivi, mutta jotka eivät silti ole Riemann-integroituvia. Edellisen lauseen oletus Riemann-integroituvuudesta on siis tarpeellinen...
Integroimiskaavoja Analyysin peruslauseen avulla derivoimiskaavoista saadaan integroimiskaavoja: funktio f (x) Integraalifunktio F(x) määrittelyväli I x n 1 x α 1 1 n+1 xn+1 R (n Z \ { 1}) α+1 xα+1 [0, + [ (α R \ { 1}) x log x ]0, + [ a x ax log a R (tässä a > 0) sin x cos x R cos x sin x R 1 + tan 2 x tan x ] π/2, π/2[ 1 1 x 2 arcsin x ] 1, 1[ 1 1 x 2 arccos x ] 1, 1[ 1 1+x 2 arctan x R
Analyysin peruslause: osa 2 Aiemman tuloksen nojalla tiedämme, että Riemann-integroituvan funktion primitiivit ovat sen integraalifunktioita.
Analyysin peruslause: osa 2 Aiemman tuloksen nojalla tiedämme, että Riemann-integroituvan funktion primitiivit ovat sen integraalifunktioita. Jatkuvan funktion tapauksessa tulos kääntyy (ei päde yleisesti): Lause Jos f : I R on jatkuva ja F on sen integraalifunktio, niin tällöin F (x) = f (x) kaikille välin I pisteille (päätepisteitä lukuunottamatta).
Lause Jos f : I R on jatkuva ja F on sen integraalifunktio, niin tällöin F (x) = f (x) kaikille välin I pisteille (päätepisteitä lukuunottamatta).
Analyysin peruslause: osa 2 Lause Jos f : I R on jatkuva ja F on sen integraalifunktio, niin tällöin F (x) = f (x) kaikille välin I pisteille (päätepisteitä lukuunottamatta). Analyysin peruslauseen nojalla tiedämme siis, että jatkuvalle f F on funktion f primitiivi F on funktion f integraalifunktio.
Määrätty ja määräämätön integraali MUISTUTUS: Merkintä f = F, tarkoittaa sitä, että F on (eräs) funktion f integraalifunktio. Integraalifunktion määrittelevää integraalia F(x) = x y=c f (y) dy sanotaan määräämättömäksi integraaliksi. Sen erottaa määrätystä integraalista y=a f (y) dy se, että integraalin ylärajana on muuttuja x. Merkitään myös / b F(x) := F(b) F(a).
Lause (Osittaisintegrointi) Jos f, g: I R ovat derivoituvia ja f sekä g ovat Riemann-integroituvia jokaisella osavälillä [a, b] I, niin fg = f g + fg ja edelleen (2) a / b fg = a f g + a fg kaikille a, b I.
Lause (Osittaisintegrointi) Jos f, g: I R ovat derivoituvia ja f sekä g ovat Riemann-integroituvia jokaisella osavälillä [a, b] I, niin fg = f g + fg ja edelleen (2) a / b fg = a f g + a fg kaikille a, b I. Yhtälö (3) kirjoitetaan usein muotoon f g = fg fg. (3) Tämä tarkoittaa sitä, että jos H on eräs tulofunktion fg integraalifunktio, niin tällöin fg H on eräs tulofunktion f g integraalifunktio.
ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen.
ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x.
ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x. Tällöin f (x) = x ja g (x) = 1 x.
ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x. Tällöin f (x) = x ja g (x) = 1 x. Saadaan log x = x 1 log x = x log x = x(log x 1). x Tuloksen voi tarkastaa derivoimalla ja toteamalla, että D (x(log x 1)) = log x.
ESIMERKKI: Logaritmin integroiminen. Sovelletaan osittaisintegrointia, kun f (x) = 1 ja g(x) = log x. Tällöin f (x) = x ja g (x) = 1 x. Saadaan log x = x 1 log x = x log x = x(log x 1). x Tuloksen voi tarkastaa derivoimalla ja toteamalla, että D (x(log x 1)) = log x. Siten, esimerkiksi e 2 x=1 log x dx = e 2 (log(e 2 ) 1) (log 1 1) = e 2 + 1.
ESIMERKKI: Lasketaan vielä log 2 x dx, välillä x ]0, [. Muistetaan, että log x = x(log x 1) ja D log x = 1 x. Osittaisintegroimalla saadaan, log 2 x = (log x)(log x) 1 = x(log x 1) log x (x(log x 1)) x = x(log x 1) log x (log x 1) = x(log x 1) log x x(log x 1) + x ( ) = x (log x 1) 2 + 1.
Muuttujanvaihto integraalissa Jos g: J I ja h: I R ovat derivoituvia, niin (h g) (x) = g (x)h (g(x))
Muuttujanvaihto integraalissa Jos g: J I ja h: I R ovat derivoituvia, niin (h g) (x) = g (x)h (g(x)) Tämä johtaa (välillä J) integrointikaavaan g (x)h (g(x)) dx = h g(x).
Muuttujanvaihto integraalissa Jos g: J I ja h: I R ovat derivoituvia, niin (h g) (x) = g (x)h (g(x)) Tämä johtaa (välillä J) integrointikaavaan g (x)h (g(x)) dx = h g(x). Tätä voidaan soveltaa suoraan silloin, kun integroitava funktio on helposti tunnistettavissa muodossa f (x) = g (x)h (g(x)). Esimerkiksi integraaleihin ja φ (x), kun φ(x) 0 φ(x) φ (x)φ(x) α, kun α > 0.
ESIMERKKI: Määrätään x 2 3 + x 3 dx.
ESIMERKKI: Määrätään x 2 3 + x 3 dx. Integrandi on määritelty, kun x 3 1/3.
ESIMERKKI: Määrätään x 2 3 + x 3 dx. Integrandi on määritelty, kun x 3 1/3. Huomataan, että integraali voidaan kirjoittaa muodossa φ (x)φ(x) 1/2, missä φ(x) = 3 + x 3. 1 3
ESIMERKKI: Määrätään x 2 3 + x 3 dx. Integrandi on määritelty, kun x 3 1/3. Huomataan, että integraali voidaan kirjoittaa muodossa φ (x)φ(x) 1/2, missä φ(x) = 3 + x 3. 1 3 Siten Esimerkiksi x 2 = 2 3 + x 3 3 φ(x)1/2 = 2 3 + x 3 3 dx. 2 x= 1 x 2 3 + x 3 = 2 3 ( 11 2).
Muuttujanvaihto/yleinen tapaus Lause Olkoon f : I R Riemann-integroituva ja olkoon g: [a, b] I sellainen jatkuva funktio, joka on derivoituva välillä ]a, b[, ja jonka derivaatta g on Riemann-integroituva. Tällöin g(b) u=g(a) f (u) du = g (x)f (g(x)) dx. Jos F on funktion f integraalifunktio, niin ylläolevan tuloksen nojalla yhdistetty funktio F g on funktion g (f g) integraalifunktio.
TODISTUKSEN IDEA:
Sijoitusmenetelmä Merkintöjen ja laskennon kannalta muuttujanvaihtolauseessa on tapana käyttää lyhyempää merkintätapaa: Merkitään u = g(x). Tällöin g (x) = du dx. Siispä g (x)f (g(x)) dx = du f (u) dx = dx f (u) du. (4) HUOMAUTUS: Ylläoleva lasku (4) ei ole täsmällinen todistus, mutta se on hyvä muistisääntö. Sen antama kaava g (x)f (g(x)) dx = f (u) du on kuitenkin tulkittavissa täsmällisesti edellisen lauseen avulla.
Toisinaan on kätevämpää esittää sijoitus muodossa x = g(u). Tällöin dx du = g (u), joten dx = g (u) du. Huomaa, että merkitsemällä φ = g 1, tämä voidaan kirjoittaa muodossa du dx = 1 g (u) = φ (x), jolloin päädytään jo edellä esitettyyn kaavaan.
Sijoitusmenetelmä käytännössä 1 Integroitavana on funktio f, 2 eli pitää määrätä f (x) dx. 3 Korvataan "sopiva"funktion f (x) lausekkeessa esiintyvä termi g(x) muuttujalla u. 4 Integraalin lausekkeessa termi dx korvataan termillä du g (x). 5 Esitetään f (x) g (x) muodossa h(u). 6 Integroidaan h(u), eli etsitään jokin integraalifunktio H(u). 7 Sijoitetaan saatuun integraalifunktioon H(u) muuttujan u paikalle u = g 1 (x). 8 Jos ratkaistavana oli määrätty integraali f (x) voidaan kohdassa 6. laskea suoraan g(b) u=g(a) h(u) du.
ESIMERKKI: Lasketaan dx 1 + e x. Sijoitetaan u = e x. Tällöin du = e x dx = u dx eli yhtäpitävästi dx = du u. Integraali saa muodon ( 1 1 u(1 + u) du = u 1 ) du = log u log(1 + u). 1 + u Sijoittamalla u = e x, saadaan lopulta dx 1 + e x = x log(1 + ex ).
Eräiden alkeisfunktioiden integrointia 1 Integraali dx a 2 x 2, kun a 0, palautuu sijoituksella u = x a perustapaukseen = arcsin x. dx 1 x 2 2 Vastaavasti, kun a > 0. dx a 2 + x 2 = 1 ( x ) a arctan, a 3 Integraali 1 + ax 2 dx, ratkeaa sijoituksella sin u/ a = x, kun a < 0 ja sijoituksella x = tan u/ a, kun a > 0. 4 Trigonometristen funktioiden integrointiin ei ole yleispätevää menetelmää. Sijoitus u = tan( x 2 ) toimii monissa tilanteissa.
Rationaalifunktion integroiminen Tarkastellaan rationaalifunktiota R(x) = P(x) Q(x), missä P ja Q ovat polynomeja. Tällainen funktio R voidaan integroida pääpiirteissään seuraavasti. 1 Esitetään R(x) muodossa R(x) = p(x) + r(x) q(x), missä p, r ja q ovat polynomeja ja polynomin q aste on vähintään yhtä suuri, kuin polynomin r aste. 2 Muodostetaan osamäärälle r(x) q(x) osamurtokehitelmä, eli esitetään se muotoa α (x β) k ja αx (βx 2 + γx + θ) k sekä α (βx 2 + γx + θ) k olevien termien summana (α, β, γ, θ 0)
α 3 Muotoa olevat termit saadaan integroitua (x β) k peruskaavoja 1 (x β) k = { 1 (1 k)(x β) k 1 jos k 1, log x β, jos k = 1, käyttämällä. 4 Muotoa αx (βx 2 +γx+θ) k olevat termit palautuvat sijoituksella t = x + β 2γ integraaliin x (x 2 + a) k = { 1 (2 2k)(x 2 +a) k 1, kun k 1, log x 2 + a, kun k = 1. 5 Muotoa α (βx 2 +γx+θ) k olevat termit voidaan integroida peräkkäisillä osittaisintegroinneilla käyttämällä kaavaa 1 1 + x 2 = arctan x.
ESIMERKKI: Määrätään x 5 + 2x 2 + 4 x 7 + 2x 5 Integroitava lauseke on määritelty, kun x 7 + 2x 5 = x 5 (x 2 + 2) 0, eli kun x 0. Muodostetaan osamurtokehitelmä x 5 + 2x 2 + 4 x 7 + 2x 5 = x5 + 2x 2 + 4 x 5 (x 2 = 1 + 2) 2 + x 2 + 2 x 5. Integroimalla termit erikseen, x 5 + 2x 2 + 4 x 7 + 2x 5 = 1 2 + x 2 + 2 x 5 = 1 2 arctan( x 2 ) 1 2x 4.
Varoituksen sana Vaikka jatkuvalla funktiolla on aina integraalifunktio(ita), niitä ei läheskään aina voi esittää suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla.
Varoituksen sana Vaikka jatkuvalla funktiolla on aina integraalifunktio(ita), niitä ei läheskään aina voi esittää suljetussa muodossa alkeisfunktioiden avulla. Esimerkiksi funktioiden g(x) = e x2, f (x) = x r 1 e x, missä r ]0, [\N, g(x) = x tan x, integraalifunktiot eivät ole alkeisfunktioita.
Epäoleelliset integraalit: rajoittamaton funktio Olkoon f : [a, b] R sellainen, että kaikille a < c < b, funktio f on Riemann-integroituva yli välin [a, b]. Jos raja-arvo lim f (x) dx, c a + x=c on äärellisenä olemassa, niin epäoleellinen integraali suppenee, jolloin merkitään f (x) dx = lim f (x) dx. c a + x=c f (x) dx Muussa tapauksessa sanotaan, että epäoleellinen-integraali f (x) dx hajaantuu.
Epäoleelliset integraalit: rajoittamaton integrointiväli Olkoon a R ja f : [a, [ R integroituva yli välin [a, b] kaikille a < b <. Jos raja-arvo lim f (x) dx b on äärellisenä olemassa, niin sanotaan, että epäoleellinen Riemann-integraali f (x) dx suppenee, jolloin merkitään f (x) dx = lim b f (x) dx. Muussa tapauksessa sanotaan, että epäoleellinen integraali f (x) dx hajaantuu.
Epäoleelliset integraalit a x= f (x) dx x= f (x) dx, f (x) dx, missä f on integroituva yli välin [a, c] kaikille a < c < b, sekä näiden yhdistelmät määritellään vastaavalla tavalla.
ESIMERKKI: Olkoon h(x) = e x Huomataan, että kaikille 0 < b < on voimassa x=0 Kun b, niin e x dx = x=0 x=0 / b e x = 1 e b. e x dx 1. Siten epäoleellinen integraali x=0 e x dx suppenee ja x=0 e x dx = 1.
ESIMERKKI: Tarkastellaan epäoleellista integraalia 1 x=0 x α dx luvun α > 0 eri arvoilla. Kaikille 0 < c < 1, integraali { 1 1 c 1 α x α dx = 1 α, jos α 1, log(c), jos α = 1. x=c Siten { 1 lim h α (x) dx = c 0 + x=c 1 1 α, jos α < 1,, jos α 1. Epäoleellinen integraali siis suppenee jos ja vain jos α < 1, jolloin 1 x α dx = 1 1 α. x=0
Lause Suppenemisehtoja Olkoon f : [a, [ R ja g: [a, [ R integroituvia yli välin [a, b] kaikille a < b <. 1 Jos g(x) dx suppenee ja jos 0 f g, niin f (x) dx suppenee. f (x) 2 Jos lim x g(x) R \ {0}, niin f (x) dx suppenee f (x) 3 Jos lim x g(x) =, niin g(x) dx hajaantuu = g(x) dx suppenee. f (x) dx hajaantuu. HUOMAUTUS: Pätee myös muun tyyppisille epäoleellisille integraaleille.
Itseinen suppeneminen Epäoleellinen integraali f (x) dx (vast. a x= f (x) dx, f (x) dx, jne.) suppenee itseisesti, jos epäoleellinen integraali f (x) dx suppenee. Jos f (x) dx suppenee itseisesti, niin se suppenee. Suppeneva epäoleellinen integraali ei välttämättä suppene itseisesti. Esim. suppenee, mutta x=1 x=1 cos x x dx. cos x dx =. x
7. HARJOITUKSET ENSI VIIKOLLA HARJOITUSRYHMÄT VAIN MAANANTAINA JA KESKIVIIKKONA! TORSTAINA 28.2 EI HARJOITUSRYHMÄÄ!
Tentti 5.3 Kertaa harjoitustehtävät. Kertaustehtävät Nopassa (ei esimerkkiratkaisuja).
Tentti 5.3 Kertaa harjoitustehtävät. Kertaustehtävät Nopassa (ei esimerkkiratkaisuja). Kertaustehtävä: Alkaen Riemann-integraalin määritelmästä, esitä pääpiirteissään perustelu seuraavalle väitteelle Jos f : R [0, [ on jatkuva funktio F = f ja a < b, niin funktion f kuvaajan, suorien x = a ja x = b, sekä x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on F(b) F(a).
Palautetta toivotaan! https://palaute.oulu.fi