Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio ja eksoettihtälöt Ku otessi käsitettä laajeetaa sallimalla eksoetille muitaki arvoja kui kokoaislukuja, tämä taahtuu ii, että ii saotut otessikaavat ovat voimassa, vaikka eksoetti olisi ratioaalie, vielää irratioaalieki luku Edellisessä luvussa oki käsitelt murtolukueksoetilla varustettuja otesseja ja vielä johdateltu siihe, mitä tarkoitetaa otessilla, jossa eksoetti o irratioaaliluku Edellä ratioaalie eksoetti määriteltii juure avulla Toie mahdollisuus olisi määritellä äi: Olkoo aettu ositiivie ratioaaliluku m, missä m, > Luvulla m a tarkoitetaa htälö m a ositiivista juurta Aiemmassa otessioi käsittelssä, tarkemmi saottua eksoeti ollessa kokoaisluku, kataluku a sai olla mikä tahasa reaaliluku (oikkeuksea a ), mutta kataluku o t oletettava ositiiviseksi O imittäi helo osoittaa, että sallittaessa kataluvulle mös egatiivisia arvoja, joudutaa helosti ristiriitaa tuloste ksikäsitteisde kassa Esim 6 ( > ja ) ( > ja ) Seuraavassa esimerkki ristiriitaa joutumisesta, jos kataluku o egatiivie: Esim 7 ( ) ( ) 7, jota ei ole olemassa Toisaalta 6 6 8 8 8 8 8 ( ) ( ) [( ) ] 9 ( ) 7!! Kätäö tilateissa fuktiosta f: f() a, eksoettifuktiosta, missä muuttuja istuu vakioisea svä, ositiivise kataluvu eksoetissa, tulee tietää seuraavat omiaisuudet: (7)
Eksoettifuktio ja -htälöt Lause 9 a > a o aidosti kasvava, ku a >, aidosti väheevä, ku < a < ja idettisesti, ku a Ku a, eksoettifuktio kuvaajalla o asmtoottia -akseli, tarkemmi saoe: jos a >, kuvaaja lähest rajattomasti egatiivista - akselia : arvoje rajattomasti ieetessä ( ) jos < a <, kuvaaja lähest rajattomasti ositiivista - akse-lia : arvoje rajattomasti kasvaessa ( ) D R ja V { a a R > } Seuraavassa o eksoettifuktio kuvaaja kataluvu arvoilla a, a ja a ½ Taulukkoo voi laskea muutamia fuktio arvoja iirtämise helottamiseksi, ellei kätä graafista laskita tai tietokoetta 9 8 7 6 - - (7)
Eksoettifuktio ja -htälöt Eksoettifuktio sovellutuksii liitt läheisesti rosetuaalie kasvu, jota o käsitelt heti lukio-oitoje alusta alkae, mutta o ollut hiema rajoitettua, millaisia seikkoja o laskeallisissa robleemoissa voitu ksä Vasta logaritmioii tutustumise jälkee voidaa saada esille sellaieki tutemato, joka o kätkett eksoettii Ku joki ( N ) kasvaa jossaki ajassa (t) rosettia, ii alkueräise arvo suuruudeksi maiitu aja kuluessa tulee hiuka suuremi arvo : N N N N( ) αn Mikäli ilmiö jatkuu omiaisuuksiltaa samaa taaa (matemaattise malli mukaa akarasti saoe edellee kasvaa % ajassa t), ii aja t kuluttua alkueräie arvo o % arvoa N suuremi: N N N N( ) αn ααn α N ------------------------------------------------------------------ Ku aikaa o kuluut t, ja mikäli se joki o edellee kasvaut, jokaise t mittaise ajajakso kuluessa %, ii aja t kuluttua se arvo o (ituitiivise äättel ojalla) N α N Näissä tämä malli uitteisii soivissa ilmiöissä ei aikajakso ituus tarvitse olla ollekaa t: kokoaie moikerta Lisäksi asiahtetee soii möski egatiivie kasvu, rosetuaalie väheemie Nii saotu kutistustekijä (β) formuloiissa itää tosi olla hiuka huolellie N Esim 9 Taulu hita ousee vuosittai (kuuluisa maalari) % Mikä o taulu hita 8 vuode kuluttua, jos se o t S O? Kasvutekijä o t α ja taulusta voidaa odottaa saatava mi taahtuessa kahdeksa vuotta möhemmi summa 8 8 S6 α S 86 (7)
Eksoettifuktio ja -htälöt Esim Käklässä kiiteistö arvo laskee (muuttotaio) kolmessa vuodessa 7 % Kuika suuri o kiiteistö arvo a) kahde b) kuude vuode kuluttua, jos se arvo täää o 7 Kseessä o t rosetuaalie väheemie Esimmäie kolmivuotis-jakso: H H H H( ) βh Toie kolmivuotisjakso β H H βh βh( ) β H ja :s kolmivuotisjakso H H β 7 Tässä esimerkissä β 6 ja kahdessa vuodessa o kolmi-vuotisjaksoja kaikkiaa / kaaletta (!) ja kuudessa vuodessa iitä o kaksi: / H / 6 7 9997 99 H 6 7 78 Vastaus: Kiiteistö arvo o kahde vuode kuluttua oi 99 ja kuude vuode kuluttua oi edellttäe, että malli ätee Esim Erja o meestvä liikeaie Häe omaisuutesa arvo kasvaa eljässä vuodessa arvosta 88 arvoo 7 Kuika suuri o Erja omaisuude vuotuie kasvurosetti? Merkitää α, missä o kstt rosettiluku Se voidaa t määrittää aumuuttuja α avulla htälöstä (7)
Eksoettifuktio ja -htälöt 7 88α 7 α 8, josta α ± 8 ± 6879 88 ja saaduista kahdesta juuresta kelaa tieteki vai ositiivie 6879 6879 687 Erja omaisuus kasvaa vuosittai oi 68 % Älköö meests kuitekaa johtako huolettomuutee elämässä muutoi Eksoettifuktio käsittel htedessä äästää ratkomaa sellaisia htälöitä, joissa kaivattu tutemato esiit eksoetissa Jo kurssi alkuuolella tällaisia htälöitä (esim 6) ratkaistii logaritmeja kättäe YTL: suuasta ättäisi uhalteleva hiuka se oloisia tuulia, että jos ilma logaritmia selviää, ei sitä saa kättääkää Tosi tehtäväasettelusta usei selviää, ollaako etsimässä htälö ratkaisuksi tarkkaa arvoa vai riittääkö likiarvo Logaritmi avulla ilmaistu vastaus o toki tarkka, mutta jos vastaus voidaa ilmaista tarkasti ilma logaritmiaki, ii tähä tulisi kllä äästä Eksoettihtälöissä ritää kättämää hväksi mootoisuutta, siis leesä tietoa siitä, että k o aidosti kasvava, jos k > Tämä fuktio saa kuki arvosa vai hde kerra, ku juoksee reaaliluvut läi Tämä eksoettifuktio omiaisuus merkitsee siis sitä, että laskeallisissa robleemoissa asia eteee, jos htälö kumiki uoli sttää lausumaa sama kataluvu otessia Tämä htäsuuruude kassa o htäitävää, että tällöi mös eksoetit ovat htä suuret (vrt logaritmihtälöt) Hiuka hakalamia taauksia ovat sitte sellaiset eksoettihtälöt, joista voidaa ratkaista välitutemato, joki muotoa k oleva, joskus moimutkaisemiki lauseke Asiaa suuremmi korostamatta lieee selvää, että kohtuullie otessikaavoje öritteltaito suutaa jos toiseeki o äissä hteksissä maalii ääs välttämätö edellts Lause a f () a g() f () g() (7)
Eksoettifuktio ja -htälöt 6(7) Esim Ratkaise htälö ) ( Esim Ratkaise htälö Tässä esimerkissä kataluvut huomataa toistesa kääteisluvuiksi Samoihi katalukuihi äästää vaihtamalla jommassakummassa otessissa eksoetti vastaluvuksee, oha m m eli, josta Esim Ratkaise htälö 7 Pritää esi ratkaisemaa aumuuttuja Sievesrosessi helottamiseksi sijoitetaa htälöö, tai jos laskurutiiia o, voi suoraaki ratkaista : 9 tai 7 6 6 7 7 ± Alkueräisestä htälöstä o tultu välituloksea kahtee erillisee, :ää sisältävää htälöö:
Eksoettifuktio ja -htälöt 9 tai tai tai Lieee aistittavissa, etteivät lähestulkookaa kaikki, eri ksikertaisetkaa eksoettihtälöt ole esitettje esimerkkie tavoi ratkaistavissa tarkoi arvoi Esimerkiksi htälö ratkaisu ei oistu ilma logaritmia ja se l juure tarkka arvo ei tuosta sievee mihikää Saattaa olla vaikea l hahmottaa sitäkää, tulisiko tehtävää ratkaistaessa rkiä tarkkaa arvoo, vai etsitääkö elkästää likiarvoa Moissa htälöissä saattaa tarka arvo sievä muoto olla ii vaikeide laskurutiiie takaa, että tehtävässä riittää likiarvo lötmie YTL kllä tehtäväasettelussa usei ilmaisee, milloi juure likiarvo lötämie riittää 7(7)