x 3 = x x x
Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan itsellään n kertaa.
Kymmenen potenssit Hyvin suuria ja hyvin pieniä lukuja merkitään usein kymmenen potenssien avulla. Esimerkiksi Auringon halkaisija on 400 000 000 m =,4 000 000 000 m eli,4 0 9 m. Kerroin, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin yksi, mutta pienempi kuin kymmenen. Kymmenen potenssi Atomin halkaisija on n. 0,000000000 m = 0,000000000 m eli 0 0 m. Potenssi
Eksponenttiyhtälö ESIMERKKI Ratkaise yhtälö. x 2 6 a) b) c) RATKAISU a) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 2 potenssiksi. x x 2 0 0 000 ratkaisu Kun kantaluvut ovat molemmilla puolilla samat, eksponenttien pitää olla yhtä suuret.
Eksponenttiyhtälö ESIMERKKI Ratkaise yhtälö. x 2 6 a) b) c) RATKAISU a) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 2 potenssiksi. x x 2 0 0 000 2 x = 6 ratkaisu 2 x = 2 4 x = 4 Kun kantaluvut ovat molemmilla puolilla samat, eksponenttien pitää olla yhtä suuret.
b) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun potenssiksi. x n a n a c) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 0 potenssiksi. x 2 0 0 000 vastaus: a) x = 4, b) x =, c) x = 6 Eksponenttifunktio
b) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun potenssiksi. x x x c) Kirjoitetaan yhtälön oikea puoli luvun 0 potenssiksi. x 2 x = 0 0 000 n a n a x 2 4 0 0 x 2 4 x 6 + 2 vastaus: a) x = 4, b) x =, c) x = 6 Eksponenttifunktio
Eksponenttifunktio Eksponenttiyhtälö Yhtälö, jossa muuttuja x on eksponentissa, on eksponenttiyhtälö. k x = a Eksponenttiyhtälö ratkaistaan logaritmin avulla.
Eksponenttifunktio ESIMERKKI 2 Ratkaise eksponenttiyhtälö 2 x = 9 yhden desimaalin tarkkuudella. RATKAISU Yhtälön ratkaisun yksidesimaalinen likiarvo voidaan katsoa kuvaajasta, etsiä kokeilemalla tai laskea laskentaohjelman yhtälönratkaisutoiminnolla. Piirtämällä funktion f(x) = 2 x kuvaaja nähdään, että funktion arvoa f(x) = 9 vastaa likimain x:n arvo 3,2.
ESIMERKKI 2 Samaan tulokseen päästään myös kokeilemalla. f(3) = 2 3 = 8 f(3,) = 2 3, = 8,74... 8,6 f(3,2) = 2 3,2 = 9,89 9,2 f(3,) = 2 3, = 8,876 8,9 Ratkaisu on välillä 3, < x < 3,2. Ratkaisu on välillä 3, < x < 3,2, joten se pyöristyy yhden desimaalin tarkkuudella luvuksi 3,2. Laskentaohjelman yhtälönratkaisutoiminnolla saadaan x = 3,69... 3,2.
Eksponenttifunktio Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen Yleisesti yhtälön k x = a ratkaisu on luvun a k-kantainen logaritmi. Koska yhtälöllä on ratkaisu vain, kun luku a on positiivinen, logaritmi on määritelty vain positiivisille luvuille. Logaritmin kantaluku k voi olla mikä tahansa positiivinen luku paitsi ei luku. log k a = x, kun k x = a log k a on määritelty, kun k > 0, k ja a > 0
Eksponenttifunktio ESIMERKKI 3 Määritä. a) log 7 49 b) log 0 00 000 c) log2 2 RATKAISU a) log 7 49 on yhtälön 7 x = 49 ratkaisu. b) log 0 00 000 on yhtälön 0 x = 00 000 ratkaisu. c) log2 on yhtälön 2 x ratkaisu. 2 2
Eksponenttifunktio ESIMERKKI 3 Määritä. a) log 7 49 b) log 0 00 000 c) log2 2 RATKAISU a) log 7 49 on yhtälön 7 x = 49 ratkaisu. Koska 7 2 = 49, log 7 49 = 2. b) log 0 00 000 on yhtälön 0 x = 00 000 ratkaisu. Koska 00 000 = 0, log 0 00 000 =. c) log2 on yhtälön 2 x 2 2 2 Koska, log2. 2 2 ratkaisu.
Eksponenttifunktio ESIMERKKI 4 Intian väkiluku vuoden 206 alussa oli,3 miljardia ja väestönkasvu,2 % vuodessa. Minä vuonna Intian väkiluku ylittää, miljardia, jos väestönkasvu jatkuu samanlaisena? RATKAISU Intian väkiluku 206 alussa=,3 miljardia Väestönkasvu,2 % vuodessa Moninkertainen väkiluku siis on vuoden kuluttua alkutilanteeseen verrattuna?
Eksponenttifunktio ESIMERKKI 4 Intian väkiluku vuoden 206 alussa oli,3 miljardia ja väestönkasvu,2 % vuodessa. Minä vuonna Intian väkiluku ylittää, miljardia, jos väestönkasvu jatkuu samanlaisena? RATKAISU Intian väkiluku vuoden lopussa on 00 % +,2 % = 0,2 % vuoden alun määrästä. Merkitään x:llä vuoden 206 alusta kuluneiden vuosien määrää. Intian väkiluku miljardeina vuoden kuluttua on,02,3, kahden vuoden kuluttua,02 2,3 ja x vuoden kuluttua,02 x,3. Saadaan yhtälö,02 x,3 =,, josta ratkaistaan x.
Eksponenttifunktio,02 x,3 =, vastaus:
,02 x,3 =, :,3,02 x,,3 x log,02,,3 x =,996... 2,0 Väkiluku ylittää 2,0 vuoden kuluttua, miljardia, jolloin on vuosi 206 + 2 = 2028. vastaus: Intian väkiluku ylittää, miljardia vuoden 2028 alussa. Eksponenttifunktio
Eksponenttifunktio ESIMERKKI Ratkaise yhtälö 8 x = 300 kahden desimaalin tarkkuudella. RATKAISU 8 x = 300 x = log 8 300 x = 2,7429... 2,74