Mat Matematiikan peruskurssi L4, osa II

Mat-.040 Matematiikan peruskurssi L4, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 26. maaliskuuta 200 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 / 70 Poissonin yhtälö................... 4 Perusratkaisu.................... 4 Greenin funktio................... 5 Energia- ja variaatioperiaate.............. 6 2 Lämpöyhtälö..................... Perusratkaisu.................... 3 Lämpöyhtälön maksimiperiaate............ 25 Lämpöyhtälön energia-arvio.............. 29 3 Aaltoyhtälö...................... 33 4 Schrödingerin yhtälö.................. 47 5 Säilymislait...................... 5 Rankine-Hugoniotin ehto............... 59 Entropiaehto.................... 68 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 2 / 70

Divergenssilause ja osittaisintegrointi Jos R d on avoin ja rajoitettu ja sen reuna on sopivan sileä niin div F dx = F n ds, missä n on yksikkönormaali ulospäin. Jos F korvataan funktiolla Fg niin saadaan osittaisintegrointikaava div Fg dx = (F n)g ds F Dg dx, missä siis Dg = g on g:n derivaatta eli osittaisderivaatoista muodostettu vektori. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 3 / 70 Jos niin eli Poissonin yhtälö R d :ssä ja perusratkaisu Φ(x) = 2π ln( x ), d = 2 (d 2)a(S d, d 3, ) x d 2 u = δ 0, u(x) = Φ(x y)f (y) dy R n u = f. Tässä a(s d ) on R d :n yksikköpallon B(0, ) reunan pinta-ala ja väite pätee ainakin oletuksella f C 2 c (R d ). Huomaa lisäksi, että Φ on harmoninen kaikkialla paitsi origossa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 4 / 70

Greenin funktio Jos R d avoin ja rajoitettu ja sen reuna on C ja u C 2 () on yhtälön ratkaisu niin u(x) = missä u(x) = f (x), u(x) = g(x), G(x, y)f (y) dy x x (D y G(x, y) n)g(y) ds(y), x, G(x, y) = Φ(x y) φ x (y) edellyttäen, että löytyy funktio φ y (x) siten, että φ x (y) = 0, y, φ x (y) = Φ(x y), y. jolloin lisäksi pätee G(x,y) = G(y, x) ja erikoisesti φ x (y) = φ y (x) kun x y. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 5 / 70 Energia- ja variaatioperiaate I Jos R d on avoin ja rajoitettu, ja sen reuna on C, g C( ), f C(), u C 2 () ja u = g reunalla niin seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja: u = f joukossa. J(u) J(v) kaikilla v C () joilla v = g reunalla missä ( J(v) = 2 Dv(x) 2 v(x)f (x)) dx. ( ) Du Dv fv dx = 0 kaikilla v C () joilla v = 0 reunalla. Huom! Osoittautuu, että ei olekaan hyvä idea formuloida energia- ja variaatioperiaate kuten yllä jatkuvasti derivoituvilla funktioilla, vaan kannattaa menetellä hieman toisin. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 6 / 70

Sobolev-avaruudet H k () Jos R d on avoin ja k niin H k () = { v L 2 () : D α v L 2 (), α k, α N d 0 } ja v H k () = D α v 2 L 2 () 2, α k missä α = d j= α j ja D α = α α x α kun α = (α,..., α d ) ja x Dα v(x)φ(x) dx = ( ) α v(x)dα φ(x) dx kaikilla φ Cc (). Sobolevavaruus H0 () H0 () on joukon C c () sulkeuma Hilbert-avaruudessa H (). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 7 / 70 Yhtälön u = f variaatiomuoto II Sen sijaan, että yritettäisiin suoraan ratkaista yhtälö u = f u = 0, :ssa, reunalla voidaan ratkaista vastaava variaatiomuoto: Määritä u H0 () siten että a(u, v) = L(v), kaikilla v H 0 () missä a(u, v) = Du Dv dx ja L(v) = vf dx. Jos ratkaistava yhtäälö on u = f Du n = h, :ssa, reunalla niin variaatiomuodossa haetaan u H () siten, että a(u, v) = L(v), kaikilla v H () missä a(u, v) = Du Dv dx ja L(v) = vf dx + vh ds. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 8 / 70

Jos Lax-Milgramin lause H on reaalikertoimenen Hilbert-avaruus. a : H H R on bilineaarinen eli funkio u H a(u, v) on lineaarinen kaikilla v H ja funktio v H a(u, v) on lineaarinen kaikilla u H. On olemassa vakiot 0 < α β < siten, että α u 2 H a(u, u), u H, a(u, v) β u H v H, u, v H. L : H R on lineaarinen ja jatkuva. niin on olemassa yksikäsitteinen u H siten, että a(u, v) = L(v), v H. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 9 / 70 Variaatiomuoto ja minimointi Jos bilineaarinen funktio a kuten yhtälön u = f tapauksessa on symmetrinen eli a(u, v) = a(v, u) ja a(u, u) 0 niin variaatioprobleeman a(u, v) = L(v) ratkaisu on täsmällen funktion 2a(u, u) L(u) minimipiste. Galerkinin menetelmä ja Céan lause Oletetaan, että Lax-Milgramin lauseen oletukset ovat voimassa ja että H h on H:n suljettu aliavaruus ja haetaan u h H h siten, että a(u h, v) = L(v), v H h. Jos H h on äärellisulotteinen tästä ehdosta tulee matriisyhtälö. Lisäksi pätee u h u H β α inf v H h u v H missä u on probleeman a(u, v) = L(v), v H ratkaisu. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 0 / 70

Lämpö- eli diffuusioyhtälön tulkinta Olkoon u(x, t) jonkin suureen kuten massan, energian, tms. tiheys pisteessä x hetkellä t eli jos K on esimerkiksi kuutio niin K u(x, t) dx on massa, energia jne. joukossa K. Silloin K ( u(x, t + h) u(x, t + k) ) dx on tämän määrän muutos aikavälillä (t, t + h). Lisäksi oletetaan, että tämä suureen vuo on F(x, t) eli massa, energia tms. siirtyy pinnan P läpi normaalin n suuntaan nopeudella P F n ds. Silloin se nettomäärää kyseistä massaa, energiaa tms., joka aikavälillä (t, t + h) on siirtynyt pois kuutiosta K t+h F(x, s) n ds(x) ds. t K Jos nyt oletetaan, että massaa, energiaa tms. ei synny tai katoa mihinkään niin saadaan G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 / 70 Lämpö- eli diffuusioyhtälön tulkinta, jatkuu K ( u(x, t + h) u(x, t + k) ) dx = t+h Jos jaetaan h:lla ja otetaan raja-arvo kun h 0 niin saadaan u t (x, t) dx + F(x, t) n ds(x) = 0. K K t K F(x, s) n ds(x) ds. Divergenssilauseen nojalla K F(x, t) n ds(x) = K div x F(x, t) dx joten K ( ut (x, t) + div x F(x, t) ) dx = 0. Koska K on mielivaltainen saadaan tästä säilymislaki u t (x, t) + div x F(x, t) = 0. Monessa tapauksessa on järkevää olettaa, että F(x, t) = adu(x, t) eli massa, energia tms. siirtyy suuntaan missä tiheys on pienempi ja silloin saadaan yhtälöksi u t = a u. missä siis Laplace-operaattori otetaan vain x-muuttujan suhteen. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 2 / 70

Lämpöyhtälön perusratkaisu Yhtälön u t (x, t) = u(x, t), x R d, t > 0, u(x, 0) = u 0 (x), x R d, missä u 0 on esimerkiksi jatkuva ja rajoitetun ja integroituvan funktion summa on u(x, t) = Φ(x y, t)u 0 (y) dy, R d x R d, t > 0, missä lämpöyhtälön perusratkaisu Φ(x, t) on Φ(x, t) = (4πt) d 2 e x 2 4t, x R d, t > 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 3 / 70 Satunnaiskulku, lämpöyhtälö ja keskeinen raja-arvolause Satunnaiskulku alkaa hetkellä t = 0 pisteestä x = 0 ja ja jos hetkellä t = nk ollaan pisteessä mh niin hetkeen (n + )k mennessä on siirrytty pisteeseen (m + )h todennäköisyydellä p, pisteeseen (m )h samoin todennäköisyydellä p ja ollaan edelleen pisteessä mh todennäköisyydellä 2p missä siis p (0, 2 ]. (Lisäksi oletetaan tietenkiin, että nämä siirtymät ovat toisistaan riippumattomia.) Olkoon nyt U(m, n + ) todennäköisyys, että hetkellä (n + )k satunnaiskulkija on pisteessä mk. Tällöin hän on hetkellä nk ollut joko pisteessä (m )h, mh tai (m + )h ja kokonaistodennäkösyyden kaavalla saadaan U(m, n + ) = pu(m, n) + ( 2p)U(m, n) + pu(m +, n). Jos nyt määritellään funktio u(x, t) siten, että U(m, n) = hu(mh, nk) niin edellä oleva yhtälö voidaan esittää muodossa u(x, t + k) u(x, t) k ( = ph2 u(x + h, t) u(x, t) k h h ) u(x, t) u(x h, t). h G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 4 / 70

Satunnaiskulku, lämpöyhtälö ja keskeinen raja-arvolause jatkuu Jos nyt h ja k 0 siten, että ph2 k a > 0 niin saadaan yhtälöksi u t (x, t) = au xx (x, t). Tässä tapauksessa alkuarvo on u(x, 0) = δ 0. Toisaalta voidaan myös kirjoittaa n U(m, n) = Pr X j = mh, missä X j :t ovat riippumattomia satunnaismuuttujia siten, että Pr{X j = h} = Pr{X j = h} = p ja Pr{X j = 0}. Silloin X j :n odotusarvo on 0 ja varianssi on 2ph 2. Keskeisen raja-arvolauseen nojalla pätee Pr { α j= n j= X } β j β 2nph 2 α 2π e y2 2 dy. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 5 / 70 Satunnaiskulku, lämpöyhtälö ja keskeinen raja-arvolause jatkuu Jos nyt valitaan a = ph2 k ja t = nk niin 2nph 2 = 2ta ja koska n Pr α 2ta X j β 2ta U(m, n) niin β 2ta α 2ta j= beta 2ta h α 2ta h u(x, t) dx Pr α 2ta β α α 2ta m beta 2ta h h hu(hy, t) dy = n X j β 2ta j= (2π) 2 e y2 2 β 2ta α 2ta β 2ta dy = α 2ta josta saadaan lämpöyhtälön perusratkaisu u(x, t) = 4πta e x2 4at. u(x, t) dx, 4πta e x2 4at, G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 6 / 70

Yksinkertainen standardiesimerkki sarjaratkaisuista Tarkastellaan yhtälöä u t (x, t) = u xx (x, t), 0 < x <, t > 0, u(0, t) = u(, t) = 0, t > 0, u(x, 0) = x( x), 0 < x <. 2 Tässä yksiulotteisessa tapauksessa Laplace-operaattorin ominaisarvot ja ominaisfunktiot toteuttavat yhtälön y (x) = λy(x), y(0) = y() = 0. Tässä ei käytetä yleisen teorian tuloksia vaan haetaan positiivisia ominaisarvoja ja osoitetaan sitten, ettei muita voi ollakaan. (Ei olisi kovin vaikeata osoittaa suoraankaan, ettei tällä yhtälöllä voi olla kompleksisia tai ei-positiivisia ominaisarvoja.) Jos λ > 0 niin yhtälön yleinen ratkaisu on y(x) = c cos(x λ) + c 2 sin(x λ). Ehdosta y(0) = 0 seuraa, että c = 0 ja koska c 2 ei silloin voi olla 0 (ominaisfunktio ei voi olla identtisesti nolla) niin ehdosta y() = 0 seuraa, että sin( λ) = 0 eli λ = nπ missä n =, 2,.... Näin ollen ominaisarvot ovat λ n = n 2 π 2 ja vastaavat ominaisfunktiot ovat ϕ n (x) = sin(nπx). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 7 / 70 Yksinkertainen standardiesimerkki, jatkuu Haetaan yhtälön ratkaisu muodossa u(x, t) = c n (t)ϕ n (x). n= Tämä funktio toteuttaa autmomaattisesti reunaehdot u(0, t) = u(, t) = 0 ja koska u t (x, t) u xx (x, t) = (c n(t) + λ n c n (t))ϕ n (x) n= niin yhtälö u t (x, t) u xx (x, t) = 0 pätee jos c n(t) = λ n c n (t) eli c n (t) = e λ nt c n (0). Kertoimet c n (0) on valittava siten, että 2 x( x) = n= c n (0)ϕ n (x) = c n (0) sin(nπx). n= G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 8 / 70

Yksinkertainen standardiesimerkki, jatkuu Nyt määritellään f (x) = 2 x( x) kun x [0, ] ja f (x) = 2x( x) kun x [, 0]. Koska f on pariton, niin sen Fourier-kertoimet ovat myös parittomia ja ˆf (n) = 2 e i2πn f (x) dx = i 2 Fourier-kertoimien parittomuudesta seuraa, että f (x) = n Z Näin ollen voidaan valita e i2πnx 2 ˆf (n) = c n (0) = 2iˆf (n) = 2 0 sin(nπx)f (x) dx = i sin(nπx)2iˆf (n). n= 0 sin(nπx)f (x) dx. sin(nπx)f (x) dx. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 9 / 70 Yksinkertainen standardiesimerkki, jatkuu Tämä tulos saadaan helpommin yleisen teorian perusteella, mutta Fourier-sarjojen käyttö antaa myös suoraan vastauksen kysymykseen onko löydetty kaikki ominaisarvot, eli voidaanko todella f esittää löydettyjen ominaisfunktioiden avulla. Suoraviivainen lasku osoittaa, että c n (0) = / cos(nπx)x( x) nπ 0 nπ = 0 (nπ) 2 / Näin ollen ratkaisu on 0 u(x, t) = 0 cos(nπx)( 2x) dx sin(nπx)( 2x) + (nπ) 2 sin(nπx)( 2) 0 = 2 / (nπ) 3 cos(nπx) = 2 0 (nπ) 3 ( ( )n ). n= 2( ( ) n ) (nπ) 3 e n2 π 2t sin(nπx). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 20 / 70

Laplace-operaattorin ominaisarvot Olkoon R d avoin ja rajoitettu (ja sen reuna on C ) ja tarkastellaan ominaisarvoprobleemaa u = λu joukossa, u = 0 reunalla. Variaatiomuodossa ehdoksi tulee, että on löydettävä u H0 () \ {0} ja λ C a(u, v) = λ u, v, kaikilla v H0 () missä a(u, v) = Du(x) Dv(x) dx ja u, v = u(x)v(x) dx. Voidaan osoittaa, että on olemassa reaalisia ominaisarvoja λ λ 2... siten, että lim m λ m = ja ominaisvektorit ϕ m voidaan valita siten, että ϕ m, ϕ n = 0 jos m n. Jos f L 2 () on sellainen, että f, ϕ n = 0 kaikilla n niin f = 0 joten jokainen f L 2 () voidaan esittää sarjana f = m= f, ϕ m ϕ m, ϕ m ϕ m. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 2 / 70 Lämpöyhtälön ratkaisu ja ominaisfunktiot Jos R d on avoin ja rajoitettu ja ϕ m, m J N ovat Laplace-operaattorin ominaisfunktioita ja λ m, m J ovat vastaavat ominaisarvot (joillakin sopivilla reunaehdoilla) niin u(x, t) = m J c m e λ mt ϕ m (x) on lämpöyhtälön ratkaisu (samoilla reunaehdoilla) olettaen että sarja suppenee riittävän hyvin. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 22 / 70

Duhamelin periaate eli miten ratkaistaan yhtälö u t = u + f Jos R d (esimerkiksi = R d ) ja yhtälön u t (x, t) = u(x, t), x, t > 0, αdu(x, t) n + βu(x, t) = 0, x, t > 0, u(x, 0) = g(x), x, ratkaisu on niin yhtälön u(x, t) = Φ(x, y, t)g(y) dy, x, t > 0, u t (x, t) = u(x, t) + f (x, t), x, t > 0, αdu(x, t) n + βu(x, t) = 0, x, t > 0, u(x, 0) = 0, x, ratkaisu on u(x, t) = t 0 Φ(x, y, t s)f (y, s) dy ds, x, t 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 23 / 70 Huom! Duhamelin periaate on tässä esitetty nimenomaan periaateena eikä lauseena ja kun funktiot Φ ja f tunnetaan voidaan tarkistaa missä mielessä Duhamelin periaatteella laskettu funktio toteuttaa yhtälön (reunaehtoineen). Epähomogeeniset reuna-arvot Jos reunaarvot ovat muotoa αdu(x, t) n + βu(x, t) = h(x, t), x, t > 0, niin haetaan funktio w siten, että αdw(x, t) n + βw(x, t) = h(x, t) ja määritetään sitten funktio v siten, että u = w + v. Näin v:n reunaehdot ovat αdv(x, t) n + βv(x, t) = 0 mutta alkuarvot ja epähomogeeninen termi yhtälössä muuttuvat alkuperäisestä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 24 / 70

Lämpöyhtälön maksimiperiaate rajoitetussa joukossa Jos R d on avoin ja rajoitettu, T > 0 ja u C (2,) ( (0, T )) C( [0, T )) on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa (0, T ) niin u(x, t) max u(y, s), x, t (0, T ), (y,s) Γ t missä Γ t = ( [0, t]) ( {0}) (on ns. parabolinen reuna). Tässä u C (2,) tarkoittaa, että u on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva x-muuttujan suhteen ja kerran jatkuvasti derivoituva t-muuttujan suhteen. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 25 / 70 Lämpöyhtälön maksimiperiaate rajoittamattomassa joukossa Jos R d on avoin, T > 0 ja u C (2,) ( (0, T )) C( [0, T )) on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa (0, T ) ja on olemassa vakiot A ja a siten että niin u(x, t) Ae a x 2, (x, t) [0, T ), u(x, t) missä Γ t = ( [0, t]) ( {0}). sup u(y, s), (x, t) (0, T ), (y,s) Γ t G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 26 / 70

Maksimiperiaate ja yksikäsitteisyys Maksimiperiaatteista seuraa yksikäsitteisyys eli jos R d ja T > 0 niin on olemassa korkeintaan yksi funktio u C (2,) ( (0, T )) C( [0, T )) siten, että joillakin jatkuvilla funktioilla A ja a pätee ja u toteuttaa yhtälön u(x, t) A(t)e a(t) x 2, (x, t) [0, T ), u t (x, t) = u(x, t) + f (x, t), (x, t) (0, T ), u(x, t) = h(x), x, t (0, T ), u(x, 0) = g(x), x, missä f, h ja g ovat annettuja jatkuvia funktioita. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 27 / 70 Lämpöyhtälön ratkaisun säännöllisyys Jos R d, T > 0 ja u C (2,) ( (0, T )) on lämpöyhtälön ratkaisu joukossa (0, T ) niin u C ( (0, T )). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 28 / 70

Lämpöyhtälön energia-arvio Jos R d on avaoin ja rajoitettu (ja sen reuna on riittvän sileä), T > 0 ja u C (2,) ( [0, T )) on yhtälön u t (x, t) = u(x, t) + f (x, t), (x, t) (0, T ), αdu(x, t) n + βu(x, t) = 0, (x, t) (0, T ), u(x, 0) = g(x), x, ratkaisu missä αβ 0 niin u(x, t) 2 dx + 2 t 0 Du(x, s) 2 dx ds + t 0 g(x) 2 dx f (x, s) 2 dx ds. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 29 / 70 Energia-arvio ja yksikäsitteisyys Jos R d on avaoin ja rajoitettu (ja sen reuna on riittvän sileä), T > 0 ja αβ 0 mutta α 2 + β 2 > 0 niin on olemassa korkeintaan yksi funktio u C (2,) ( [0, T )), joka on yhtälön u t (x, t) = u(x, t) + f (x, t), (x, t) (0, T ), αdu(x, t) n + βu(x, t) = h(x, t), (x, t) (0, T ), u(x, 0) = g(x), x, ratkaisu kun f, g ja h ovat annettuja funktioita. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 30 / 70

Lämpöyhtälö ja maksimaalinen säännöllisyys Olkoon u yhtälön u t (x, t) = u(x, t) + f (x, t), (x, t) (0, T ), ratkaisu missä u, f ja ovat riittävän säännöllisiä ja αdu(x, t) + βu(x, t) = 0 kun x ja αβ = 0 (mutta α 2 + β 2 > 0. Silloin Du(x, t) 2 dx + t 0 u(x, t) 2 dx dt Du(x, 0) 2 dx t + f (x, t) 2 dx dt, 0 ja erityisesti jos u(x, 0) = 0 niin u t L 2 ( (0,T )) + u L 2 ( (0,T )) 3 f L 2 ( (0,T )). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 3 / 70 Huom! Jos u t = u + f niin tietenkin pätee u t u L 2 ( (0,T )) = f L 2 ( (0,T )) u t L 2 ( (0,T )) + u L 2 ( (0,T )), joten parempaa arviota ei olisikaan mahdollista saada aikaan. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 32 / 70

Värähtelevä kieli ja aaltoyhtälö Tarkastellaan värähtelevää pingoitettua kieltä ja olkoon u(x, t) sen poikkeama y-akselin suunnassa tasapainotilasta kohdassa x hetkellä t. Olkoon τ(x, t) kielessä vaikuttava voima joka on tangentin suuntainen. Jos nyt oletetaan, että kieli liikkuu ainoastaan y-akselin suunnassa (eikä siis lainkaan x-akselin suunnassa) niin silloin voiman komponentti x-suunnassa on kaikissa pisteissä sama eli τ(x, t) cos(α(x, t)) = τ missä τ on vakio ja tan(α(x, t)) = u x (x, t). Pystysuunnassa vaikuttaa kielen osaan, joka on välillä (x, x + h), voima τ(x + h, t) sin(α(x + h, t)) τ(x + h, t) sin(α(x, t)) = τ tan(α(x + h, t)) τ tan(α(x, t)) = τu x (x + h, t) τu x (x, t). Newtonin lain perusteella ρ x+h x u tt (r, t) dr = τ(u x (x + h, t) u x (x, t)). Jos yhtälön molemmat puolet jaetaan h:lla ja h 0 niin saadaan u tt (x, t) = τ ρ 2 uxx (x, t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 33 / 70 Fourier-muunnos ja yksiulotteinen aaltoyhtälö Oletetaan, että u on yhtälön u tt (x, t) = c 2 u xx (x, t), x R, t > 0 ratkaisu ja olkoon û(ω, t) = F(u)(ω, t) sen Fourier-muunnos ensimmäisen muuttujan suhteen. Jos t-derivaatan Fourier-muunnos on Fourier-muunnoksen derivaatta t:n suhteen niin saadaan û tt (ω, t) = c 2 (i2πω) 2 û(ω, t). Tämä on toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisu on û(ω, t) = k e ic2πωt + k 2 e ic2πωt, missä k ja k 2 ovat vakioita t:n suhteen ja voivat siten olla ω:n funktioita esimerkiksi niin, että k = ˆF (ω) ja k 2 = Ĝ(ω). Nyt funktio e ic2πωt on distribuution δ ct ja e ic2πωt on distribuution δ ct Fourier-muunnos joten u(x, t) = (F δ ct )(x) + (G δ ct )(x) = F (x ct) + G(x + ct). Tämä onkin -ulotteisen aaltoyhtälön yleinen ratkaisu. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 34 / 70

Aaltoyhtälön ratkaisu kun d = eli d Alembertin kaava Jos aaltoyhtälön ratkaisu toteuttaa alkuehdot u(x, 0) = g(x), x R, u t (x, 0) = h(x), x R, niin sijoittamalla nämä ehdot yleiseen ratkaisuun saadaan F (x) + G(x) = g(x) ja cf (x) cg (x) = h(x). Jälkimmäisestä yhtälöstä saadaan F (x) G(x) = c h(s) ds + k joten x 0 F (x) = 2 g(x) + 2c G(x) = 2 g(x) 2c x 0 x 0 h(s) ds + 2 k, h(s) ds 2 k joten koska u(x, t) = F (x ct) + G(x + ct) niin u(x, t) = 2 ( g(x + ct) + g(x ct) ) + 2c x+ct x ct h(s) ds. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 35 / 70 Esimerkki Jos on ratkaistava aaltoyhtälö u tt (x, t) = c 2 u xx (x, t), u(0, t) = 0, u(x, 0) = g(x), u t (x, 0) = h(x), x > 0, t > 0, niin voidaan määritellä g(x) = g( x) ja h(x) = h( x) kun x < 0. Aaltoyhtälön ratkaisu kun x R ja t > 0 on silloin u(x, t) = 2 (g(x + ct) + g(x ct)) + 2c x+ct x ct h(s) ds. Koska g ja h ovat parittomat niin G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 36 / 70

Esimerkki, jatkuu u( x, t) = 2 (g( x + ct) + g( x ct)) + 2c = 2 ( g(x ct) g(x + ct)) + 2c = 2 ( g(x + ct) g(x ct)) 2c x+ct x ct x+ct x ct x+ct x ct h(s) ds h( s) ds h(s) ds = u(x, t), eli myös u on pariton. Koska nyt u( x, t) = u(x, t) niin erikoisesti u(0, t) = u(0, t), eli u(0, t) = 0. Käyttämällä vielä kerran hyödyksi g:n ja h:n parittomuutta saadaan alkuperäisen probleeman ratkaisuksi u(x, t) = { 2 2 (g(x + ct) + g(x ct)) + 2c (g(x + ct) g(ct x)) + 2c x+ct x ct x+ct ct x h(s) ds, x h(s) ds, x ct, < ct. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 37 / 70 Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö Maxwellin yhtälöt tyhjiössä voidaan kirjoittaa muodossa E = 0, B = 0, E = t B, B = ɛ 0 µ 0 t B, missä E on sähkökentän voimakkuus, B on magneettivuon tiheys, vakio ɛ 0 on tyhjiön permittiivisyys ja vakio µ 0 sen permeabilitetti. Yhtälöistä seuraa, että ( E) = B t = t B = ɛ 0µ 0 B tt, ( B) = ɛ 0 µ 0 E t = ɛ 0 µ 0 t E = ɛ 0µ 0 E tt. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 38 / 70

Maxwellin yhtälöt ja aaltoyhtälö, jatkuu Koska aina pätee, että ( F) = ( F) F, niin ehdoista E = B = 0 seuraa, että jokainen vektorien E ja B komponenteista toteuttaa aaltoyhtälön eli 2 t 2 E j(x, t) = c 2 E j (x, t), 2 t 2 B j(x, t) = c 2 B j (x, t), kun j =, 2, 3 ja c = ɛ0 µ 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 39 / 70 Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot Olkoon u C 2 (R d [0, )) aaltoyhtälön u tt (x, t) = u(x, t), u(x, 0) = g(x), x R d, ratkaisu. Jos nyt x 0 R d ja u t (x, 0) = h(x), x R d, U(r, t) = G(r) = H(r) = missä a( B(x 0, r)) = B(x 0,r) a( B(x 0, r)) a( B(x 0, r)) a( B(x 0, r)) (x, t) R d (0, ), ds(y) niin B(x 0,r) B(x 0,r) B(x 0,r) u(y, t) ds(y), g(y) ds(y), h(y) ds(y), U tt (r, t) = U rr (r, t) + d U r (r, t). r G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 40 / 70

Aaltoyhtälö ja keskiarvofunktiot kun d = 3 Jos d = 3 ja U(r, t) on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva funktio, joka on yhtälön U tt U rr d U r = 0, r ratkaisu kun r > 0 ja t > 0 niin U(r, t) = (r + t)u(r + t, 0) (t r)u(t r, 0) 2r + 2r t+r t r yu t (y, 0) dy, kun r < t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 4 / 70 Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 3 (0, ):ssä Yhtälön { utt (x, t) u(x, t) = 0, (x, t) R 3 [0, ), u(x, 0) = g(x), u t (x, 0) = h(x), x R 3, ratkaisu on u(x, t) = (g(y) + Dg(y) (y x) + th(y)) ds(y). a( B(x, t)) B(x,t) G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 42 / 70

Aaltoyhtälön ratkaisukaava R 2 (0, ):ssä Yhtälön { utt (x, t) u(x, t) = 0, (x, t) R 2 [0, ), ratkaisu on u(x, 0) = g(x), u t (x, 0) = h(x), x R 2, u(x, t) = t 2 v(b(x, t)) B(x,t) ) (g(y)+dg(x) (y x)+th(y) dy. t 2 y x 2 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 43 / 70 Energiaperiaate ja yksikäsitteisyys Jos u C 2 (R d [0, )) on aaltoyhtälön u tt (x, t) = u(x, t), (x, t) R d (0, ), ratkaisu ja u(x, 0) = u t (x, 0) = 0 kun x B(x 0, t 0 ) missä t 0 > 0 niin u(x, t) = 0 kun x x 0 < t 0 t. Huom! Toinen tapa formuloida edellä olevaa tulosta on, että funktion u arvo pisteessä (x 0, t) riippuu ainoastaan funktioiden u(x, 0) ja u t (x, 0) arvoista joukossa B(x 0, t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 44 / 70

Aaltoyhtälö ja ominaisfunktiot Jos R d on avoin ja rajoitettu ja ϕ m, m J N ovat Laplace-operaattorin ominaisfunktioita ja λ m, m J ovat vastaavat ominaisarvot (joillakin sopivilla reunaehdoilla kuten u(x, t) = 0 kun x ) ja jos lisäksi oletetaan, että λ m > 0 kun m J niin u(x, t) = m J a m sin(c λ m t)ϕ m (x) + m J b m cos(c λ m t)ϕ m (x). on aaltoyhtälön u tt = c 2 u ratkaisu (samoilla reunaehdoilla) olettaen että sarja suppenee riittävän hyvin. Jos otetataan vain yksi ominaisfunktio (sekä vain toinen sin- ja cos-termeistä) saadaan joka on ns. seisova aalto. u(x, t) = sin(c λ m t)ϕ m (x), G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 45 / 70 Duhamelin periaate eli miten ratkaistaan yhtälö u tt = u + f Jos R d (esimerkiksi = R d ) ja yhtälön u tt (x, t) = u(x, t), x, t > 0, αdu(x, t) n + βu(x, t) = 0, x, t > 0, u(x, 0) = 0, x, u t (x, 0) = h(x), x, ratkaisu on u(x, t) = S(x, t, h) kun x ja t > 0 niin yhtälön u tt (x, t) = u(x, t) + f (x, t), x, t > 0, αdu(x, t) n + βu(x, t) = 0, x, t > 0, u(x, 0) = 0, x, u t (x, 0) = 0, x, ratkaisu on u(x, t) = t 0 S ( x, t s, f (, s) ) ds, x, t 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 46 / 70

Schrödingerin yhtälö Schrödingerin yhtälö (jossa potentiaalifunktio on 0 ja jossa aikamuuttuja on valittu niin, että vakio on ) on iu t + u = 0 ja se voidaan myös kirjoittaa muodossa u t = i u josta saadaan lämpöyhtälö missä aikamuuttuja t on korvattu it:llä. Jos lämpöyhtälön perusratkaisussa t korvataan it:llä saadaankin Schrödingerin yhtälön perusratkaisu Φ(x, t) = e i x 2 (i4πt) d 4t, 2 jolloin on odotetavissa, että jos u(x, 0) = g(x) niin Schrödingerin yhtälön ratkaisu on u(x, t) = e i x y 2 (i4πt) d 4t g(y) dy. 2 R d Ainakin jos R d ( + y 2 ) g(y) dy < niin u on jatkuvasti derivoituva (kerran t:n ja kaksi kertaa x:n suhteen ja yhtälö on voimassa kun t 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 47 / 70 Aputulos Jos α 0, Re (α) 0, φ L (R d ) ja ˆφ L (R d ) niin e απx2 ˆφ(x) dx = e π α ω2 φ(ω) dω, α R R eli funktion e απx2 Fourier-muunnos on α e π α ω2 kompleksinen kunhan Re (α) 0. myös kun α on Schrödingerin yhtälön perusratkaisun Fourier-muunnos Funktion Φ(x, t) = (i4πt) d 2 e i x 2 4t Fourier-muunnos on funktion määräämän vaimennetun distribuution määräämä vaimennettu distribuutio. ω e i4π2 t ω 2 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 48 / 70

Schrödingerin yhtälö ja alkuarvo Jos d, g L (R d ) ja ĝ L (R d ) niin e i x y 2 (i4πt) d 4t g(y) dy = e i2πω x i4π2t ω 2 e ĝ(ω) dω, 2 R d R d jolloin erityisesti pätee lim t 0 (i4πt) d 2 R d e i x y 2 4t g(y) dy = g(x), x R d. Jos määritellään funktio S(t)g : R d C kaavalla (S(t)g)(x) = u(x, t) = (i4πt) d 2 R d e i x y 2 4t g(y) dy niin jokaisella t R pätee, että S(t) on bijektio: S(R d ) S(R d ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 49 / 70 Schrödingerin yhtälö ja L 2 (R d ) Koska S(t)g L 2 (R d ) = g L 2 (R d ) kun g S(Rd ) niin S(t):n määritelmää voidaan laajentaa myös joukkoon L 2 (R d ) ja todetaan, että jokaisella g L 2 (R d ) funktio t S(t)g on jatkuva funktio R L 2 (R d ) siten, että S(t + s)g = S(t)(S(s)g) ja S(t)g L 2 (R d ) = g L 2 (R d ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 50 / 70

Kuljetusyhtälö Oletetaan, että u on yhtälön u t (x, t) + au x (x, t) = 0, x R, t > 0, u(x, 0) = g(x), x R, ratkaisu. Jos ξ(t) on sellainen, että ξ (t) = a niin d dt u(ξ(t), t) = u t(ξ(t), t) + u x (ξ(t), t)ξ (t) joten funktio t u(ξ(t), t) on vakio eli u(ξ(t), t) = u(ξ(0), 0) = g(ξ(0)). = u t (ξ(t), t) + u x (ξ(t), t)a = 0, Koska ξ(t) = ξ(0) + at niin ehdosta ξ(t) = x seuraa ξ(0) = x at ja u(x, t) = g(x at), G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 5 / 70 Esimerkki: Säilymislaki ja sen ja sen johto Olkoon ρ(x, t) jalankulkijoiden tiheys pisteessä x hetkellä t jolloin siis välillä (x, x + h) on x+h x ρ(y, t) dy jalankulkijaa hetkellä t. Jos jalankulkijat liikkuvat nopeudella v (oikealle jos v > 0) niin aikavälillä (t, t + k) väliltä (x, x + h) poistuu oikelle t+k t ρ(x + h, τ)v(x + h, τ) dτ jalankulkijaa ja sinne tulee vasemmalta t+k t ρ(x, τ)v(x, τ) dτ jalankulkijaa. Olettaen etteivät jalankulkijat katoa minnekään eivätkä ilmesty kadulle (säilymislaki!) niin t+k t ρ(x + h, τ)v(x + h, τ) dτ + = t+k t x+h x ρ(x, τ)v(x, τ) dτ ρ(y, t + k) dy x+h x ρ(y, t) dy. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 52 / 70

Esimerkki: Säilymislaki ja sen ja sen johto, jatkuu Jos nyt yhtälön molemmat puolet jaetaan hk:lla ja annetaan (h, k) (0, 0) niin saadaan, olettaen, että kyseiset funktiot ovat derivoituvia ρ t (x, t) = (vρ) x (x, t) ρ t + (vρ) x = 0. Jotta tämä yhtälö olisi ratkaistavissa pitää vielä tietää miten nopeus v riippuu tiheydestä ρ. Yksinkertaisimpia oletuksia on, että ( v = v max ρ ), ρ max ja valitsemalla yksiköt sopivasti tästä tulee v = ρ ja yhtälöksi tulee ρ t + (ρ( ρ)) x = 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 53 / 70 Epälineaarinen yhtälö ja sen ratkaisu I Tarkastellaan yhtälöä u t (x, t) + +u(x, t)u x (x, t) = 0, x R, t > 0, kun u(x, 0) = max{0, min{x, }}. Jos nyt u on tämän yhtälön ratkaisu ja ξ (t) = u(ξ(t), t) niin d dt u(ξ(t), t) = u t(ξ(t), t) + ξ (t)u x (ξ(t), t) = u t (ξ(t), t) + u(ξ(t), t)u x (ξ(t), t) = 0 joten u(ξ(t), t) = u(ξ(0), 0) ja ξ (t) = u(ξ(0), 0). Näin ollen ξ(t) = tu(ξ(0), 0) + ξ(0) joten jos ξ(0) 0 ξ(t) = ξ(0), 0 < ξ(0) < ξ(t) = ξ(0)(t + ), ξ(0) ξ(t) = t + ξ(0). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 54 / 70

Epälineaarinen yhtälö ja sen ratkaisu I, jatkuu Tästä seuraa, että jos ξ(t) = x niin u(x, t) = u(ξ(0), 0) joten x 0 u(x, t) = u(x, 0) = 0, 0 < x < + t u(x, t) = u( x t+, 0) = x t +, x + t u(x, t) = u(x t, 0) =. Tämä funktio ei tosin ole jatkuvasti derivoituva mutta se on jatkuva (ja esimerkiksi jatkuvasti derivoituvan ratkaisun raja-arvo) ja kaikin puolin järkevä ja hyvä ratkaisu joten tässä tapauksessa ei synny mitään ongelmia... u(x, t) = 0 u(x, t) = x t+ u(x, t) = G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 55 / 70 Epälineaarinen yhtälö ja sen ratkaisu II Tarkastellaan yhtälöä u t (x, t) + u(x, t)u x (x, t) = 0, x R, t > 0, kun u(x, 0) = max{0, min{ x, }}. Kuten edellisessä esimerkissä vaaditaan, että ξ (t) = u(ξ(t), t) jolloin todetaan, että u(ξ(t), t) = u(ξ(0), 0) on vakio. Tässä tapauksessa saadaan ξ(0) 0 ξ(t) = ξ(0) + t, 0 < ξ(0) < ξ(t) = ( ξ(0))t + ξ(0), ξ(0) ξ(t) = ξ(0). Jos 0 t < ja ξ(t) = x niin tästä seuraa, että x t u(x, t) = u(x, 0) =, t < x < u(x, t) = u( x t t, 0) = x t, x u(x, t) = u(x, 0) = 0. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 56 / 70

Epälineaarinen yhtälö ja sen ratkaisu II, jatkuu Mutta nyt ongelma on siinä, että kun t = ja 0 ξ(0) niin x(t) = eli samassa pisteessä u(x, t) pitäisi saadan monta arvoa. Sama ongelma tulee vastaan kaikilla t > joten oletus, että meillä on jatkuva (puhumattakaan jatkuvasti derivoituvasta ratkaisusta) ratkaisu johtaa ristiriitaan. Tästä seuraa, että on hyväksyttävä epäjatkuvia funktiota ratkaisuiksi ja puhua distribuutioratkaisuista. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 57 / 70 Säilymislain distribuutioratkaisu Oletetaan, että f : R R on jatkuva ja R R on avoin. Funktio u : R joka on (mitallinen ja) rajoitettu on yhtälön u t (x, t) + (f (u(x, t))) x = 0, x R, t > 0 distribuutioratkaisu :ssa jos ( ) u(x, t)φ t (x, t) + f (u(x, t))φ x (x, t) dt dx = 0 kaikilla φ C c (). Joukko C c () sisältää kaikki jatkuvasti derivoutuvat funktiot: R siten että on olemassa sulejettu ja rajoitettu joukko A siten, että φ(x, t) = 0 kun (x, t) \ A. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 58 / 70

Rankine-Hugoniotin ehto Olkoon f : R R jatkuva ja h jatkuvasti derivoituva välillä (t 0 δ, t 0 + δ) missä δ > 0. Merkitään x 0 = h(t 0 ) ja V = { (x, t) : (x, t) (x 0, t 0 ) < δ, x < h(t) }, V = vasen, O = { (x, t) : (x, t) (x 0, t 0 ) < δ, x > h(t) }, O= oikea. Oletetaan, että u on tasaisesti jatkuva joukoissa V ja O, u ja f (u) ovat jatkuvasti derivoituvia ja u t + f (u) x = 0 joukoissa V ja O. Silloin u on yhtälön u t + f (u) x = 0 distribuutioratkaisu joukossa B((x 0, t 0 ), δ) jos ja vain jos h (t) = f (uv (t)) f (u O (t)) u V (t) u O, (t) kun (h(t), t) B((x 0, t 0 ), δ) missä u V (t) = lim x h(t) u(x, t) ja u O (t) = lim x h(t) u(x, t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 59 / 70 Epälineaarinen yhtälö ja sen ratkaisu II, jatkuu Rankine-Hugoniotin ehdon avulla löydetään ratkaisu myös kun t. Tässä tapauksessa f (u) = 2 u2 ja jos u V = ja u O = 0 niin ehdoksi tulee h (t) = f (uv ) f (u O ) u V u O = 2 0 0 = 2. Näin ollen todetaan että kun t niin {, x < + u(x, t) = 2 (t ), 0, x > + 2 (t ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 60 / 70

Harvennusaalto eli jatkuva ratkaisu kun alkuarvo on epäjatkuva Olkoon u(x, 0) = u V kun x < x 0 ja u(x, 0) = u O kun x > x 0. Oletetaan, että f (u V ) < f (u O ). Jos u(ξ(0)) = u V niin ξ (t) = f (u V ) ja ξ(t) = ξ(0) + f (u V )t ja jos u(ξ(0)) = u O niin ξ (t) = f (u O ) ja ξ(t) = ξ(0) + f (u O )t joten { u V, x < x 0 + tf (u v ), u(t, x) = u O, x < x 0 + tf (u O ). Jos nyt f on jatkuvasti derivoituva ja aidosti monotoninen välillä [f (u V ), f (u O )] niin todetaan, että ( ) x x0 u(x, t) = g t on yhtälön u t + f (u) x = 0 ratkaisu kun f (u V ) < x x 0 t < f (u O ) missä g on f :n käänteisfunktio eli f (g(r)) = r kun r [f (u V ), f (u O )]. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 6 / 70 Esimerkki Yhtälö u t + f (u) x = 0 missä f (u) = u( u) ja 2, x < 0, u(x, 0) =, 0 x, 0, x >, voidaan ajatella kuvaavan katua missä hetkellä t = 0 ajoneuvojen tiheys välillä (, 0) on puolet maksimitiheydestä, välillä (0, ) tiheys on ja välillä (, ) ei ole ajoneuvoja lainkaan. Ajoneuvojen nopeus oletataan olevan u jos tiheys on u, eli välillä (0, ) liikenne seisoo (esim. liikennevalojen takia) ja on selvitettävä miten tämä ruuhka purkautuu. Tarkastellaan ensin tilannetta missä u(x, 0) = kun x ja u(x, 0) = 0 kun x, eli alkuarvossa on vain yksi epäjatkuvuuskohta. Koska f (r) = 2r niin tämän funktion käänteisfunktio on h(r) = 2 ( r). Näin ollen löytyy seuraava ratkaisu G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 62 / 70

Esimerkki jatkuu u(x, t) = 0, x > + t, ( ) 2 x t, < x t <,, x < t. Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta missä u(x, 0) = 2 kun x < 0 ja u(x, 0) = kun x > 0. Nyt f (u V ) f (u O ) = (u V u O )( (u V + u O )) joten f (u V ) f (u O ) u V u O = u V u O ja tässä tapauksessa saadaan Rankine-Hugoniotin ehdon nojalla ratkaisuksi { u(x, t) = 2, x < t 2,, x > t 2. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 63 / 70 Esimerkki jatkuu Kun edellä laskettuja tuloksia yhdistellään, nähdään, että niin kauan kun 0 t 2 niin alkuperäisen yhtälön ratkaisu on 2, x < t 2,, t u(x, t) = ( ) 2 < x < t, 2 x t, t + < x < t +, 0, x t +.. u = 2 ( ) x t. u = 2 u = u = 0 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 64 / 70

Esimerkki jatkuu Sitten kun t > 2 tilanne muuttuu sikäli, että epäjatkuvuuden oikealla puolella ratkaisun arvo pienenee jolloin epäjatkuvuuskäyrä kääntyy. Näin ollen, meillä on silloin ratkaisu 2, ( ) x < h(t), u(x, t) = 2 x t, h(t) < x < t +,. 0, x t +. Nyt tiedetään, että h(2) = ja Rankine-Hugoniotin ehdosta seuraa, että h (t) = 2 ( h(t) ) = h(t), t 2. 2 t 2t Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu on h(t) = 2t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 65 / 70 Esimerkki jatkuu.. u = 2 ( ) x t. u = 0 u = 2 u = G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 66 / 70

Distribuutioratkaisu ei ole välttämättä yksikäsitteinen! Jos f (u) = 2 u2 ja niin sekä funktio että funktio u(x, 0) = u S (x, t) = { 0, x < 0,, x > 0, { 0, x < 2 t,, x > 2 t, 0, x < 0, u H (x, t) = x t, 0 x t,, x > t, ovat yhtälön u t + f (u) x = 0 distribuutioratkaisuja. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 67 / 70 Entropiaehto Jotta mahdollisesti monen ratkaisun joukosta voitaisiin valita oikea ratkaisu vaaditaan, että ratkaisu toteuttaa jonkinlaisen entropiaehdon. Entropiaratkaisu Olkoon f : R R jatkuva, R R avoin ja olkoon u : R (mitallinen ja) rajoitettu. Määritellään η c (y) = y c ja q c (y) = sign (y c)(f (y) f (c)). Silloin u on yhtälön u t + f (u) x = 0 entriopiaratkaisu joukossa jos jokaisella c R pätee η c (u) t + q c (u) x 0 distribuutiomielessä joukossa eli ( ) η c (u(x, t))φ t (x, t) + q c (u(x, t))φ x (x, t) dt dx 0, kaikilla ei-negatiivisilla funktioilla φ C c (). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 68 / 70

Entropiaratkaisu on distribuutioratkaisu Valitsemalla c siten, että u(x, t) > c (mikä on mahdollista kun oletetaan, että u on rajoitettu) nähdään että u on distribuutioratkaisu jos se on entropia ratkaisu Sileä ratkaisu on entropiaratkaisu Jos f ja u ovat jatkuvasti derivoituvia ja u t + f (u) x = 0 joukossa niin voidaan osoittaa, että u on myös entropiaratkaisu joukossa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 69 / 70 Entropiaehto epäjatkuvuuskohdassa Jos yhtälön u t + f (u) x = 0 entropiaratakisu u on jatkuvasti derivoituva käyrän x = h(t) vasemmalla ja oikealla puolella mutta u V = lim x h(t) u(x, t) u O = lim x h(t) u(x, t) niin voidaan osoittaa, että entropiaehdoksi tulee, että jos u V < u O niin f :n kuvaaja on pisteitä (u V, f (u V )) ja (u O, f (u O )) yhdistävän janan yläpuolella välillä [u V, u O ], jos u 0 < u V niin f :n kuvaaja on pisteitä (u O, f (u O )) ja (u V, f (u V )) yhdistävän janan alapuolella välillä [u O, u V ]. Entropiaehto ja karakteristikat Edellä olevasta entropiaehdosta seuraa, että jos f on derivoituva niin f (u V ) f (u O ) mistä seuraa, että karakteristikat, eli funktiot ξ(t) jotka toteuttavat yhtälön ξ (t) = f (u(ξ(t), t)) voivat törmätä toisiinsa entropiaratkaisun epäjatkuvuuskohdassa kun t kasvaa, mutta jos karakteristikat lähtevät eri suuntiin epäjatkuvuuskohdasta kun t kasvaa, niin kyseessä ei ole entropiaratkaisu. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) L4, osa II 26. maaliskuuta 200 70 / 70