KEPLERIN LAI: (Ks. Physic 5, s. 5) Johnnes Keple (57-60) yhtyi yko Bhen (546-60) hintoineiston pohjlt etsimään tinmekniikn linlisuuksi. Keple tiiisti tutkimustyönsä kolmeen lkiins (Keplein lit). I LAKI eli RAALAKI: Plneettojen dt ot ellipsejä, joiden toisess polttopisteessä on Auiko. P A ellipsit II LAKI eli PINA-ALALAKI: Plneetn liikkuess sitä Auinkoon yhdistää jn pyyhkii yhtä pitkissä joiss yhtä suuet pint-lt. t A ik t t l A A A A t III LAKI eli KIEROAIKALAKI: Plneettojen kietoikojen neliöt ot ennolliset plneettojen j Auingon älisten etäisyyksien kuutioihin. oisin snoen: Plneettojen kietoikojen neliöt suhtutut toisiins kuten niiden ellipsitojen isokselien puolikkiden kuutiot A eli k
ODISUS: Newtonin gittiolist seu Keplein III lki. (Ks. Physic 5, Esim.. s. 57). Kppleen (esim. plneetn) m pkott ympyädlle gittiooim, joten sen liikeyhtälö kietäessä kpplett on (gittiooim keskeisoim) m joss tnopeus m (*) n m Sijoittmll tnopeuden luseke liikeyhtälöön (*) sdn: m m jost sieennyksen jälkeen seu: 4 j edelleen: 4 (**) Olkoon kppleen (plneetn) etäisyys Auingost j kppleen (plneetn) etäisyys Auingost sekä stt kietojt Auingon ympäi j. Edellisestä yhtälöstä (**) sdn seuksi 4 4, jok on Keplein III lki. Kun plneettojen dt eiät ole ympyän n ellipsin muotoisi, pitää dnsäde kot isokselin puolikkll. Keplein kolme lki ntoit mittus-j hintotkuuden joiss täysin tkkoj ennusteit tähtitieteen lskuiss. Keplein lkien syällisemmän selityksen ntoi Isc Newton (64-77). Hän johti ne teoeettisesti lskemll yleisestä etooimlistn (t. edellä ole tehtää).
KEPLERIN III LAKI: EHÄVIÄ: eht.. sill on kksi kuut, Phobos j Deimos. Phoboksen kietoik ympyänmuotoiseksi oletetull tkäyällä, jonk säde on 970 km, on 0,9 d j Deimoksen ststi,6 d. Lske Deimoksen tkäyän säde. m m RAKAISU Keplein III lki: sin kuiden kietoikojen neliöt suhtutut toisiins kuten niiden ympyätojen säteiden kuutiot: m Phoboksen ms, m Deimoksen mss 0,9 d, 970 km,6 d,? keotn istiin :
II APA:,6d 970 4 400. km km km 0,9d m F ehtää oidn tkist mös lähtien gittiolist: Kumpikin kuu on gittiooimn lisess tsisess ympyäliikkeessä sin ympäi. Kuiden kiihtyys on nomlikihtyyytä eli keskeiskiihtyyyttä: n n 4 4 4 m Gittiolist F j dynmiikn peuslist (N II) F m sdn liikeyhtälöt kuille F m sij. 4 4 F m sij.
m 4 m m 4 m jetn puolittin m m m m m m : : keotn istiin,6d 970km 4km 0,9d 400 km. eht.. Glileo Glilei löysi kukoputkens ull 609-60 neljä Jupitein kuut. Io-niminen kuu kietää Jupitein,8 uookudess j sen etäisyys Jupiteist on noin 4 0 8 m. Gnymedes-nimisen kuun etäisyys Jupiteist on noin 0 8 m. Lske Gnymedes-kuun kietoik Jupitein ympäi.
RAKAISU m Gnymedes: 0 8 m? Io: 4 0 8 m,8 d m Keplein III lki: Kuiden kietoikojen neliöt ot suon ennollisi Jupiteist lskettujen etäisyyksien kuutioihin; ~ ( k, k kio) 8 0 m,8 8 40 m d 8,d 8, d. (Huom. ehtää oidn tkist myös lähtien gittiolist, t, teht..) eht.. sin keskietäisyys Auingost on,5-ketinen ettun n etäisyyteen Auingost. Kuink mont uott silt kuluu yhteen kieokseen Auingon ympäi? Vet tulost tulukkotietoihin.
RAKAISU Rdt ellipsejä ympyöitä. Oletus: keskietäisyys isokselin puoliks. :, s:,5,? m m Keplein III lki: k (k kio) eli keotn istiin :,5,5,874,87. Vt. tulukon o:,8808 >,874 (AOL s. ) Eo johtuu käyteyn etäisyyden epätkkuudest. Jos,54, niin,88.
Newtonin johtopäätökset Keplein leist: - Keplein II lki ketoo plneetn kiihtyyyden suunnn plneetn kiihtyyys suuntutuu in kohti Auinko JOHOPÄÄÖS ): plneettn ikutt gittiooim suuntutuu kohti Auinko - Kppleen pino mnpinnll iheutuu Newtonin mukn gittiooimst, jok on suon ennollinen kppleen mssn; F ~ m JOHOPÄÄÖS ): Khden kppleen älinen pinooim on suon ennollinen kummnkin mssn; F ~ m j F ~ m - Newton: Keplein III lki et plneettojen kiihtyyyksiä - plneettojen dt ot likimin ympyätoj j niiden liike likimin tsist ympyäliikettä, jonk tnopeus s/t π/, missä tympyän säde j plneetn kietoik. - plneetn Auinkoon suuntutu nomlikiihtyyys on / (π/) / (4π / )/ 4π /. - Keplein III lin peusteell sdn k, missä k kio. - Sijoitetn Keplein III lki k nomlikiihtyyyden 4π / 4 suueyhtälöön, jolloin sdn 4π / 4π / k k kiihtyyys on kääntäen ennollinen etäisyyden neliöön; ~ / JOHOPÄÄÖS ): Auingon j plneetn älinen pinooim on kääntäen ennollinen niiden etäisyyden neliöön; F ~ /, kosk Newtonin II lin eli dynmiikn peuslin mukn F m j ~ /.
ONKO PAINAVA ASSA HIDAS ASSA? eli onko pinooimmss inetilimss? F mm F m Pinooimmss Inetilimss V A S A U S: ON, Pinooimmss Inetilimss ss ominisuus, jok uoksi kppleet etäät sitä puoleens ominisuus, jok stust nopeuden muutost