Potenssiyhtälö ja yleinen juuri 253. Tutki sijoittamalla, mitkä luvuista ovat yhtälön ratkaisuja. a) x 2 = 1 b) x 3 = 8 x = 2 x = 1 x = 1 x = 2 x 2 = 1 x = 1 ja x = 1, koska 1 2 = 1 ja ( 1) 2 = 1 x 3 = 8 x = 2, koska 2 3 = 8 254. Päättele funktion f(x) = x 3 kuvaajasta yhtälön x 3 = 4 ratkaisu. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. x 1,6 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 1
255. Ratkaise yhtälöt. a) x 2 = 0 b) x 2 = 4 a) x 2 = 0 x = 0, koska 0 2 = 0 b) x 2 = 4 x = 2 ja x = 2, koska 2 2 = 4 ja ( 2) 2 = 4 256. Määritä luvun 100 a) neliöjuuri b) neliö. a) 100 10 b) 100 2 = 10 000 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 2
257. Ratkaise yhtälöt. a) x 2 = 36 b) x 2 = 81 c) x 2 = 9 a) x 2 = 36 x = 6 ja x = 6, koska 6 2 = 36 ja ( 6) 2 = 36 b) x 2 = 81 x = 9 ja x = 9, koska 9 2 = 81 ja ( 9) 2 = 81 c) x 2 = 9 Ei ratkaisua 258. Määritä. a) 3 125 b) 4 16 c) 5 1 a) 5 b) 2 c) 1 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 3
259. Päättele funktion g(x) = x 4 kuvaajasta yhtälöiden ratkaisut. Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. a) x 4 = 6 b) x 4 = 3 a) x 1,6 tai x 1,6 b) Ei ratkaisua Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 4
260. Ratkaise yhtälöt. a) x 3 = 1 728 b) x 4 = 16 c) x 5 = 243 a) x 3 1728 12 b) x 4 16 2 5 c) x 243 3 261. Ratkaise yhtälöt kahden desimaalin tarkkuudella. a) 4x 6 = 300 b) 2x 9 + 250 = 0 c) x 14 = 6 a) 4x 6 = 300 : 4 x 6 = 75 x = 6 75 = 2,053 2,05 b) 2x 9 + 250 = 0 250 2x 9 = 250 : 2 x 9 = 125 x = 9 125 = 1,709 1,71 c) x 14 = 6 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole arvoltaan negatiivinen. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 5
262. Pankkitilille talletetaan 200. Kolmen vuoden kuluttua talletuksen arvo on 209,14. Mikä on tilin vuotuinen korkoprosentti? x 3 200 = 209,14 : 200 x 3 = 1,0457 3 x 3 1,0457 1,0150 Eli vuotuinen korko oli 1,5 prosenttia. Vastaus: Tilin vuotuinen korko on 1,5 %. 263. Suomen kasvihuonekaasupäästöt vuonna 2010 vastasivat yhteensä 74,6 miljoonaa hiilidioksiditonnia. Vuoteen 2014 mennessä ne olivat laskeneet yhteensä 19,4 %. a) Laske kasvihuonekaasupäästöjen määrä vuonna 2014. b) Kuinka monella prosentilla päästöjen määrä oli vähentynyt keskimäärin vuotta kohti? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella. a) 74 600 000 0,806 = 60 127 600 60,1 miljoonaa tonnia b) x 4 74 600 000 = 60 127 600 x 60127600 4 0,9475 eli n. 5,3 % 74600000 Vastaus: a) Kasvihuonekaasujen päästöt olivat 60,1 miljoonaa tonnia. b) Päästöt ovat vähentyneet 5,3 %. 264. Lääkeaineen puoliintumisaika on 2 tuntia. Kuinka monta prosenttia lääkeaineesta hajoaa elimistössä yhdessä tunnissa? x 2 = 0,5 2 x 2 0,5 0,707 eli n. 29 % Vastaus: Lääkeaineesta hajoaa 29 %. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 6
265. Tampereen asukasluku oli vuoden 2011 alussa 213 217 ja vuoden 2015 alussa 223 004. a) Laske, kuinka monella prosentilla asukasluku on kasvanut keskimäärin vuodessa. b) Laske arvio Tampereen asukasluvulle vuonna 2025, jos asukasmäärän kasvun oletetaan jatkuvan suhteellisesti samansuuruisena. a) x 4 213 217 = 223 004 x 223004 4 1,01128 eli n. 1,1 prosentilla 213217 b) 1,01128 14 213 217 = 249 471 249 500 Vastaus: a) Asukasluku on kasvanut vuodessa keskimäärin 1,1 %. b) Asukasluku on noin 223 004. 266. Ratkaise yhtälöt. a) x 4 b) 3 x 10 a) x 4 ( ) 2 x = 16 b) 3 x 10 ( ) 3 x = 1000 267. Määritä logaritmin kantaluku k, kun a) logk512 = 3 b) logk4 096 = 6. a) k 3 = 512 3 k 3 512 8 b) k 6 = 4096 6 k 6 4096 4 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 7
268. Piirrä laskentaohjelmalla funktioiden x 2, x 3, x 4 ja x 5 kuvaajat. a) Jaa kuvaajat kahteen eri ryhmään. b) Kumpaan ryhmään funktion x 89 kuvaaja kuuluu? a) Parittomilla muuttujan x potensseilla kuvaajat ovat keskenään samantyyppiset, samoin parillisilla keskenään. b) Parittomiin 269. Ratkaise yhtälöt. a) x 2 = 100 b) x 3 = 64 c) x 4 = 1 a) x 2 = 100 x = 10 ja x = 10, koska 10 2 = 100 ja ( 10) 2 = 100 b) x 3 = 64 3 x 3 64 4 c) x 4 = 1 x = 1 ja x = 1, koska 1 4 = 1 ja ( 1) 4 = 1 270. Määritä. a) 121 b) luvun 1 000 kuutiojuuri c) luvun 2 3 kuutio. a) 121 11 b) 3 1000 10 3 c) 2 8 3 27 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 8
271. Päättele funktion f(x) = x 5 kuvaajasta yhtälöiden ratkaisut. Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. a) x 5 = 7 b) x 5 = 4 a) x 1,5 b) x 1,3 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 9
272. Ratkaise yhtälöt kahden desimaalin tarkkuudella. a) x 7 = 65 b) x 8 = 90 c) x 12 = 0,5 a) x 7 65 1,815... 1,82 b) x 8 90 1,755... 1,76 c) Ei ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen. 273. Ratkaise yhtälöt neljän numeron tarkkuudella. a) x 3 = 3 000 b) 8 x = 3 c) 5x 6 9 = 0 3 a) x 3000 14,4224... 14,42 b) x = log83 = 0,52832 0,5283 c) x 6 = 9 5 6 x 9 6 1,1029... 1,103 5 274. Emmin kuukausipalkka on 3 400. Hänen tavoitteenaan on nostaa kuukausipalkka 4 000 euroon viidessä vuodessa. Kuinka monen prosentin palkankorotus Emmin pitäisi vuosittain saada, jotta tavoite toteutuisi? x 5 3 400 = 4000 5 4000 1,0330 3400 x eli n. 3,3 % vuosittainen palkankorotus. Vastaus: Emmi tarvitsee 3,3 %:n vuosittaisen palkankorotuksen. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 10
275. Suomalaisten keskimääräinen alkoholinkulutus on 11,2 litraa vuodessa. Kuinka monella prosentilla kulutuksen pitäisi vuodessa vähentyä, jotta kymmenessä vuodessa kulutus vähentyisi yhteensä 20 %? x 10 = 0,8 10 x 10 0,8 0,9779 eli n. 2,2 prosentilla vuodessa Vastaus: Kulutuksen pitäisi vähentyä 2,2 % vuodessa. 276. Ydinvoimalaonnettomuuksissa vapautuvan radioaktiivisen cesium 137-isotoopin puoliintumisaika on 30 vuotta. Kuinka monta prosenttia isotoopista hajoaa yhden vuoden aikana? x 30 = 0,5 30 x 30 0,5 0,9771eli n. 2,3 prosenttia Vastaus: Isotoopista hajoaa 2,3 % yhden vuoden aikana. 277. Ratkaise yhtälöt. a) x 30 b) x 4 a) x = 30 2 = 900 3 1 b) 3 1 1 x 4 64 278. Suomen väkiluku vuoden 2010 alussa oli 5 351 427 ja vuoden 2015 alussa 5 471 753. Minä vuonna Suomen väkiluku ylittää 6 miljoonaa, jos väestönkasvu jatkuu suhteellisesti samansuuruisena? Lasketaan vuotuinen kasvu x: x 5 5 351 427 = 5 471 753 x 5471753 5 1,004456 5351427 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 11
Ratkaistaan seuraavaksi aika y, joka kuluu vuodesta 2015 siihen, että väkiluku on 6 miljoonaa. 1,004456 y 5 471 753 = 6 000 000 : 5 471 753 1,004456 y = 1,096540725 y = log 1,004456 1,096540725 = 20,728 Väkiluku ylittää 6 000 000 vuoden 2035 aikana. Vastaus: Väkiluku ylittää 6 miljoonaa vuoden 2035 aikana. 279. Määritä a) luku x, kun log2x = 8 b) logaritmin kantaluku k, kun logk2 401 = 4. a) x = 2 8 = 256 b) k 4 = 2 401 4 k 4 2401 7 280. Pankkitilille talletettiin 400. Kuuden vuoden kuluttua talletuksen arvo oli 420,59. Mikä oli tilin vuotuinen korkoprosentti, kun korosta pidätettiin 30 prosentin lähdevero? Ratkaistaan talletuksen vuotuinen kasvuprosentti. x 6 400 = 420,59 420,59 x 6 1,008400... 400 Talletus on kasvanut 0,84 % vuodessa. Lähdeverollinen vuotuinen korkoprosentti oli 0,84 % : 0,7 = 1,2 % Vastaus: Korkoprosentti oli 1,2. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 12