Ratkaisut. π π. Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = a = 4 4a kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli.

Transkriptio

1 Ratkaisut A. a) Sievennä (x ) (x )(x + ). 7 b) Laske ( ) π + sin( ). c) Ratkaise yhtälö (x 5x ) = 5. Ratkaisu: a) (x ) (x )(x + ) = 4x x + 9 (4x 9) = x b) ( ) π π + sin( ) = ( ) + sin( + π ) 5 9 π 9 6 = + sin( ) = = c) (x 5x ) = 5 x + 5x + = 5 x + 5x = ( ) ( ) tai. ± x = x = x = ( ) A. a) Millä vakion a arvoilla funktio b) Laske 0 x( x + ) dx. c) Ratkaise yhtälö lg( x ) + = 0. f ( x) x x a = + + saa vain positiivisia arvoja? Ratkaisu: a) Tapa I: Yhtälön diskriminantin D = 4 a = 4 4a on oltava negatiivinen, sillä kyseisen funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Siis 4 4a < 0 a >. + Tapa II: Havaitaan, että x + x + a = ( x + ) + a, josta huipun koordinaatit (, a ). Huipun y-koordinaatti oltava positiivinen, joten a > 0 a >. + Tapa III: Selvitään huipun koordinaatit derivaatan avulla. + Huipun y-koordinaatti oltava positiivinen, joten a > 0 a > b) x( x + ) dx = / ( x + x ) = ( ) ( ( ) + ( ) ) =. + c) lg( x ) + = 0. Oltava x > 0 x < 0 tai x > 0. ( ei vaadita) log 0( x ) = x = 0 =. 00 Saatu molemmat vastaukset x = tai x = Yhtälön muokkaaminen muotoon lg( x ) + = 0 max + 7

2 A. a) Pisteestä A = ( 6,, 4) kuljetaan 6 yksikköä vektorin b = i j + k suuntaan, jolloin päädytään pisteeseen L. Kuinka kaukana piste L on pisteestä C = (,,)? b) Olkoon vektori a = 4 i t j + ( t + 6) k ja b = i j + t k. Määritä luku t siten, että vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset. Ratkaisu: a) Vektorin b = i j + k pituus b = + ( ) + =. uuuv uuuv 0 uuuv uuuv 0 Paikkavektori OL = OA + b ( tai b = b, josta OL = OA + 6 b ). uuuv OL = 6i j 4k + (i j + k ) = i 4 j L = (, 4, 0). + uuur Pituus LC = ( + ) + ( + 4) + ( 0) =. + b) Oltava a = sb, s 0. 4 i t j + ( t + 6) k = s(i j + t k ) 4 i t j + ( t + 6) k = si s j + tsk. 4 = s Vertailemalla kertoimia saadaan yhtälöryhmä t = s. + t + 6 = ts Ylimmästä yhtälöstä saadaan s = ja keskimmäisestä yhtälöstä t = 6. Katsotaan toteutuuko alimmainen yhtälö (tämä suoritus on oltava) = 6 tosi. Siis t = 6. + A4. Funktio f ( x ) on kaikkialla määritelty, jatkuva ja funktion perusjakso on 4. Oheisessa kuviossa on funktion f ( x ) kuvaaja välillä 4 x 0. Hahmottele seuraavat kuvaajat. Perusteluja ei tarvita. a) f ( x ), kun 4 x 0 b) f ( x) + f ( x), kun 4 x 8 c) f ( x), kun 0 x 6. Ratkaisu: a) Y-koordinaatin arvot kaksinkertaistuvat, nollakohdat säilyvät ja minimipisteen koordinaatit ovat (, 4). Jos piirretty väärälle välille, niin max. b) Jaksollisuuden nojalla funktion f ( x ) kuvaaja on välillä 4 x 8 samanlainen kuin tehtävässä piirretty kuvaaja. Välillä 4 x 8 pätee f ( x) 0, jolloin f ( x) = f ( x). Täten tällä välillä f ( x) + f ( x) = f ( x) + f ( x) = 0 eli jana x - akselilla. c) Sisäfunktio johtaa jakson puolittumiseen. Jakso on siten 4. = 8

3 Minimipisteen y-koordinaatti on edelleen. Jos piirretty väärälle välille tai ei ole kolmea kupua, niin 0p Yleisohje koko tehtävälle. Huolimaton piirto Ei ole korostettu, että myös välin päätepisteet ovat mukana max 5. max 4. 9

4 B-osio. Laske tehtävistä B5-B9 enintään kolme. B5. Suorakulmaisen kolmion A kateetit ovat 8 ja 80. Hypotenuusan keskinormaali jakaa kolmion A kahteen osaan, kolmioon B ja nelikulmioon. a) Laske keskinormaalista kolmion sisään jäävän janan pituus. b) Kuinka monta prosenttia kolmion A pinta-ala on suurempi kuin kolmion B pinta-ala? Ratkaisu: a) Kuvion merkinnöillä saadaan hypotenuusan FE pituus FE = = 8, jolloin janan DE pituus DE = 4. Oltava hyvä kuvio. Kolmiot CDF ja EDG ovat yhdenmuotoisia (kk), sillä C = E suorana kulmana ja D on molemmille kolmioille yhteinen. Yhdenmuotoisuus pitää perustella. Olkoon x kysytyn janan pituus. + x Saadaan verranto = x = = 9 = 9, , 5 b) Kolmion A pinta-ala on A = = 70 ja pinta-ala on B = = 89,5. Alojen suhde = =, ,5 68 (Alojen suhde voidaan laskea myös mittakaavan neliönä Täten kolmion A pinta-ala on 80,75...% 80 % 80 ). 4 suurempi kuin kolmion B pinta-ala +p Jos merkitseviä numeroita on 4 tai enemmän, niin max 5 Mikäli laskettu vain likiarvoilla, niin max 4 Vastaus 80 % - 0

5 B6. a) Osoita, että kaikki paraabelit = ( ) kulkevat saman pisteen kautta y a x a x riippumatta vakion a arvosta. p b) Mikä on tämä piste? c) Määritä tästä paraabeliparvesta se paraabeli, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y =. p Ratkaisu: a) Valitaan paraabeliparvesta esim. a:n arvoja a = 0 ja a = vastaavat paraabelit. Saadaan y = x + x ja y = x + y = x + x Yhtälöparista seuraa x + x = x + x = ja y =. y = x + (Tai joku muu järkevä aloitus ) + Osoitetaan, että kaikki parven paraabelit kulkevat tämän pisteen kautta sijoittamalla x = ja y = paraabeliparveen a ( a ) a a, = = mikä on tosi lause. + b) Piste P = (, ). + c) Tapa I: Yhtälöparilla = + ( ) + ja = pitää olla y x a x a y vain yksi ratkaisu (kaksoisjuuri), jolloin yhtälön x ( a) x a eli x ( a) x a = =0 diskriminantin oltava nolla. + = ( ) 4 ( ) = = 0. + D a a a a = 0 ( )( 5) = 0. Tulon nollasäännön avulla saadaan a a a a a = tai a = 5, josta paraabelit = + tai = y x y x x Tapa II: Paraabelin huipun y-koordinaatin pitää olla. Neliöksi täydentämällä saadaan josta huipun y-koordinaatti a a a x ( a ) x + a = ( x ) +, 4 4 a a a a Saadaan yhtälö + = Jatko kuten tavassa II + b b 4ac Tapa III: Havaitaan, että ratkaisukaavasta ax + bx + c = 0 x = ± a a b seuraa symmetrian nojalla, että huipun x-koordinaatti x =. a Nyt siis paraabelin = ( ) + huipun x-koordinaatti on y x a x a ( a) a x = =. Y-koordinaatti saadaan sijoittamalla. Jne. Tapa IV: Olkoon f ( x) = x ( a ) x + a. Huipun x-luku symbolisella laskimella TI-nspire ja tangentin yhtälö, josta jatko. +++

6 B7. Etanoista ennustavan eukon mukaan poudan todennäköisyys on joka päivä 67,89 %. Laske todennäköisyys, että viiden päivän jaksossa a) kaikki päivät ovat sadepäiviä. b) poutapäiviä tulee neljä. p c) tulee tasan kolme peräkkäistä poutapäivää. p Ratkaisu: a) poutapäivä = p ja sadepäivä = s. P(" s ") = 0,6789 = 0,. Suotuisa tapahtuma s ja s ja s ja s ja s. Kertolaskukaavan nojalla saadaan 5 P( kysytty ) = 0, = 0, , b) Binomikaavan nojalla saadaan P( kysytty ) = 0,6789 0, = 0, , Vaihtoehtoinen tapa: jono pppps, pppsp, ppspp, psppp,spppp + vastaus + Puuttuu järjestys max c) Jono pppss, sppps, ssppp, josta todennäköisyys P = 0, , = 0, Havaittu myös suotuisa jono psppp tai pppsp, + josta todennäköisyys 4 P = 0, , = 0, Kysytty todennäköisyys on P + P = 0, ,. + Yleisohje koko tehtävälle: ei vaadita vastaukseen neljää merkitsevää numeroa, mutta jos on väärin pyöristetty niin max 5. Desimaalien määrää riippuu laskimesta ja asetuksista.

7 B8. a) Eliön kuollessa hiili-isotoopin C-4 pitoisuus alkaa vähentyä eksponentiaalisesti. Kuinka vanha on puuesine, jonka C-4 pitoisuus on vähentynyt 8 %? Kyseisen isotoopin puoliintumisaika on 570 vuotta. b) sin x = ja π < x < π. Määritä kulman x kosinin tarkka arvo sekä kulman x likiarvo. Ratkaisu: a) Tapa I: Hiilen C-4 alkumäärä olkoon a. (Jos sitä ei ole, niin max.) t/570 Määrää t vuoden kuluttua kuvaa malli N( t) = a ( ). + t/570 Saadaan yhtälö a ( ) = ( 0, 8) a eli t/570 t ln(0, 7) ( ) = 0, 7 = t = 75, vuotta. 570 ln( ) Hyväksytään myös 76 tai 70 vuotta, mutta jos desimaaleja mukana niin t Tapa II: Määrää t vuoden kuluttua kuvaa malli N( t) = a k. + Puoliintumisajasta saadaan yhtälö 570 ( ) 570 a k = a k = = 0, Täten kysytty saadaan ratkaistua yhtälöstä t ln(0, 7) a 0, = 0, 7a t = ln(0, ) = 75, vuotta. b) Kyseessä kolmas neljännes, joten kulman x kosinin arvo on negatiivinen. cos x = sin x = ( ) =. +

8 , josta eräs kulma x = cos ( ) =, (rad). Kaikki yhtälön cos( x) = ratkaisut ovat x = ±, n π, missä n on kokonaisluku. Ainoa ratkaisu, joka toteuttaa ehdon π < x < π on, π =, , 48. ( 99,47o ) cos( x) = + + Tapa II: B9. a) Missä lukujärjestelmässä kymmenjärjestelmän luku 5 kirjoitetaan muodossa? b) Osoita, että jos k 07 on pariton, niin myös k on pariton. Ratkaisu: a) Olkoon lukujärjestelmän kantaluku k. Tällöin k = k + k + k 0 = k + k +. +p Saadaan yhtälö k + k + = 5 (k 6)(k + 8) = 0. Tulon nollasäännön nojalla saadaan k = 6 tai ( k = 8, ei mielekäs). b) Käytetään epäsuoraa todistustapaa. Tehdään antiteesi: k on parillinen. joten k on muotoa k = n, missä n on kokonaisluku. + + Tällöin k 07 = (n) 07 = 07 n 07. Luku 07 n 07 = 06 n 7 = (06 n 7 ) = m, missä m on kokonaisluku. Luku m on siten parillinen, koska tekijänä on luku. Siten ristiriita oletuksen k 07 on pariton kanssa eli antiteesi on väärä eli itse teesi oikea

9 B-osio. Laske tehtävistä B0-B enintään kolme. B0. Muumimukin sisäosa on katkaistun kartion muotoinen, jossa pohjan halkaisija on 6,4 cm ja suuosan halkaisija 7,6 cm. Mukiin kaadetaan,5 dl kahvia. Kuinka korkealle nousee nesteen yläpinta mukin pohjasta laskettuna, kun mukin sisäkorkeus on 7 mm? Ratkaisu: Tapa I: Sijoitetaan mukin pohjan keskipiste origoon, jolloin pohjan halkaisijan reuna on pisteessä A = (,0). Katso kuvio. 5 4 Suuosan halkaisijan reuna on pisteessä B = (,7 ). 5 5 (tai joku muu järkevä aloitus) ) (tai hyvä kuvio) ) 7, 0 9 Suoran AB yhtälö y 0 = ( x, ) y = x. +,8, 5 Mukin sisäosa syntyy, kun jana AB pyörähtää y-akselin ympäri. 9 6 y = x x = y +. Olkoon h kysytty korkeus muki h h h 6 π y π ( ) V = dv = r dy = y + dy h (5y + 9) π h(5h + 880h ) = π / dy = Yhtälö V muki = 50 ratkaistu symbolisella laskimella ja saatu Tapa II: Saatu janan AB yhtälö = 4, , cm. + 7, 0 9 y 0 = ( x, ) y = x.,8, 5 6 Suuosan säde korkeudella h on h Käytetty katkaistun kartion taulukkokirjan kaavaa ja saatu yhtälö π h 6 6 (, +, ( h + ) + ( h + ) ) = p Ratkaistu yhtälö symbolisella laskimella ja saatu h = 4, , cm. + +p 5

10 B. a) Kirjoita erotusosamäärän lauseke kohdasta a kohtaan a + h? Mitä asiaa erotusosamäärän avulla selvitetään? p x b) Jyrkkää rinnettä kuvaa likimäärin funktio f ( x) = x tietyllä välillä. Arvioi rinteen kaltevuuskulmaa kohdassa x =,5 käyttäen keskeisdifferenssiä ja arvoa h = 0, 0. Anna tulos asteen kymmenesosan tarkkuudella. 4p Ratkaisu: f ( a + h) f ( a) a) Lauseke on. + h Erotusosamäärän avulla voidaan selvittää pisteiden ( a, f ( a)) ja ( a + h, f ( a + h)) kautta kulkevan sekanttisuoran kulmakerroin. + Huom. Jo sanat sekantti ja kulmakerroin antavat pisteen x b) Tapa I: Määritellään laskimeen funktio f ( x) = x. f ( a + h) f ( a h) Keskeisdifferenssi. + h f (,5 + 0,0) f (,5 0,0) =. 0,0 = 6, (Desimaalien määrä riippuu käytettävästä laskimesta ja asetuksesta) Keskeisdifferenssi antaa sekantin kulmakertoimen, joten tanα = 6, α = = Huom! Miinus merkkiä ei vaadita vastaukseen o o tan ( 6, ) 87, ,8. + 6

11 Tapa II: b) Keskeisdifferenssi on oikeanpuoleisen ja vasemmanpuoleisen erotusosamäärän keskiarvo. f (,5 + 0, 0) f (, 5) Oik.p. = 6, ,0 + f (,5 0, 0) f (,5) Vas.p = 5, ,0 + Keskiarvo 6, Vastaus + B. Paraabelille y = x x piirretään I-neljänneksen pisteeseen tangentti, jonka kuvaaja on laskeva suora. Tangentti rajoittaa positiivisten koordinaattiakselien ja käyrän y = x x kuvaajan kanssa kaksiosaisen alueen A. Laske alueen A pinta-alan pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu: Olkoon tangentin sivuamispisteen koordinaatit ( a, a a ), missä < a. ( Jos määrittelyehtoa ei missään mainita, niin max 5p) Tangentin yhtälö y a a a x a ( ) = ( )( ). ( y y = a x + a ( ). = x ) + a Tangentti leikkaa y-akselin kohdassa B = (0, a ) ja x-akselin kohdassa C = (,0). a a a 4 Kolmion OBC pinta-ala a A = a =, < a. Piste O on origo. + 4a Paraabeli y = x x rajoittaa välillä 0 x alueen D, jonka ala saadaan integraalista ( ). Kysytyn kaksiosaisen alueen pinta-ala on Derivaatta x x dx = a (a ) E ( a) =, < a <. (a ) 4 a E( a) = A D =, < a. 4a 6 ( symbolinen laskin) 7

12 Derivaatan nollakohta a = tai ( a = 0). ( symbolinen laskin) + Perustelu absoluuttiselle minimille esim. kulkukaavion/ funktion kuvaajan/derivaatan kuvaajan avulla E (0, 6) =, 08 < 0 ja E (0, 7) = 0, 475 > 0. Täten derivaatan merkki vaihtuu kohtaa a = ohitettaessa negatiivisesta positiiviseksi, joten kyseessä on absoluuttinen minimikohta. + 7 Saatu vastaus E ( ) = Eräitä laskuja tukevia symbolisen laskimen suorituksia. 8

13 8 B. a) Osoita, että funktio f ( x) = (x + 4), x 0 on erään 0, muulloin satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. b) Muodosta satunnaismuuttujan X kertymäfunktion F( x ) lauseke. c) Laske todennäköisyys P( X > 6). Ratkaisu: a) Oltava f ( x) 0 ja f ( x) dx =. Ensimmäinen ehto selviö, (sillä parillinen eksponentti ja kielto x ei kuulu alueeseen). 0 M 8 M 4 f ( x) dx = f ( x) dx + lim dx = 0 + lim / x + x + M ( 4) M M =. Oltava näkyvissä raja-arvoprosessi ja int.funktio. M b) Kun x < 0, niin F( x) = 0, koska vaaka-akselin kanssa ei muodostu pinta-alaa. + x x x Kun x 0, niin F( x) = dt = / = =. + (t + 4) 0 t + 4 x + 4 x c) P( X > 6) = P( X 6) = 6 = Voi myös laskea suoraan laskimella dx. +p (x + 4) 6 9