HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8.. Tarkastelemme kahden nopan heittoa. Olkoon X ensimmäisen nopan silmäluku, ja X toisen nopan silmäluku. Olkoon Y satunnaismuuttuja, joka on muodostettu näistä seuraavasti Y min(x, X ). Johda satunnaismuuttujan Y pistetodennäköisyysfunktio. Ratkaisu: Nopanheiton tuloksena sekä X että X noudattavat diskreettiä tasajakaumaa joukossa {,, 3, 4, 5, 6}. Huomataan, että kaikilla k {,, 3, 4, 5, 6, 7} pätee P(X i k) 7 k (i, ). Koska sm:t X 6 ja X kuvaavat kahden eri nopan heittojen tuloksia, niin on perusteltua olettaa, että satunnaismuuttujat X ja X ovat riippumattomia. Koska satunnaismuuttujan X arvojoukko on {,, 3, 4, 5, 6} ja satunnaismuuttujan X arvojoukko on {,,, 3, 4, 5}, näiden minimin Y min(x, X ) arvojoukko on {,,, 3, 4, 5}. Huomataan, että minimi Y min(x, X ) on nolla, jos ja vain jos X. Toisin sanoen tapahtumat {Y } ja {X } ovat sama tapahtuma. Täten P(Y ) P(X ). 6 Oletetaan, että k {,, 3, 4, 5, 6}. Jotta Y olisi vähintään k, täytyy olla X k eli X k +, ja X k. Siis P(Y k) P({X k + } {X k}) P(X k + ) P(X k) 7 (k+) 7 k (6 k)(7 k). 6 6 6 Oletetaan, että y {,, 3, 4, 5}. Koska {Y y} {Y y} {Y y + } ja kyseisen yhdisteen joukot ovat erilliset, niin todennäköisyyden äärellisen additiivisuuden nojalla P(Y y) P(Y y) + P(Y y + ), mistä saadaan edelleen, että P(Y y) P(Y y) P(Y y + ) (6 y)(7 y) 6 (6 y). 36 (6 (y + ))(7 (y + )) 6 Siis satunnaismuuttujan Y pistetodennäköisyysfunktio on funktio f : R R, jolle, jos y, 6 6 y f(y), jos y {,, 3, 4, 5}, 8, muuten. Toinen, suoraviivaisempi tapa olisi muodostaa suoraan pistetodennäköisyysfunktio määrittämällä kukin pistetodennäköisyys erikseen. Avuksi tähän voisi piirtää esimerkiksi 6 6 taulukon, jossa rivit vastaavat ensimmäisen nopan silmälukuja ja sarakkeet toisen nopan silmälukuja. Määritelmä 3.7
. Jatkuvasti jakautuneen satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on cx 3 + kun < x < f(x) muuten Määritä vakion c arvo, ja johda kaava jakauman kertymäfunktiolle. Ratkaisu: Koska f on sm:n X tiheysfunktio, niin pätee f(x) dx P(X R) ja tästä yhtälöstä saamme ratkaistua vakion c arvon. Integraali f(x) dx + / f(x) dx + dx + 4 c 4 + 4c +, f(x) dx + ( cx 3 + ) ( 4 cx4 + ) x + joten yhtälöstä 4c + f(x) dx saadaan c. Jos < x <, niin F (x) / x x. f(u) du f(u) du + du u dx + f(u) du f(x) dx Lisäksi jos x, niin F (x), ja jos x, niin F (x). Siis X :n kertymäfunktio on F : R R, jolle, jos x, x F (x), jos < x <,, jos x. 3. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja määritellään satunnaismuuttuja Y siten, että Y e 3X (ts. Y (ω) e 3X(ω) kaikilla ω). Ilmaise satunnaismuuttujan Y kertymäfunktio satunnaismuuttujan X kertymäfunktion avulla. Ratkaisu: Oletetaan ensin että y Tällöin koska e 3X > niin tapahtuma {e 3X y} on mahdoton jokaisella y. Siis F Y (y) kun y. Olkoon
nyt y > ja jos F X : R R on sm:n X kertymäfunktio, niin satunnaismuuttujan Y kertymäfunktiolle F Y : R R pätee F Y (y) P(Y y) P(e 3X y) P(log(e 3X ) log(y)) P(3X log(y)) P (X ) 3 log(y) ( ) F X 3 log(y) ( ) Siis satunnaismuuttujan Y kertmäfunktio on F Y (y) {y > }F log(y) X 3 4. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on, kun x <, F (x) + 3 3 x, kun x <,, kun x. a) Laske todennäköisyys P(X ). b) Laske todennäköisyys P( X < ). Ratkaisu: a) Koska {X } {X < } {X } ja kyseisen yhdisteen joukot ovat erilliset, niin tn:n äärellisestä additiivisuudesta seuraa, että P(X ) P(X ) P(X < ). Monisteen lauseen. perusteella Täten P(X < ) F ( ) lim F (x) lim. x x P(X ) P(X ) P(X < ) F () 3 + 3 3 b) Koska {X < } {X < } { X < } ja kyseisen yhdisteen joukot ovat erilliset, niin tn:n äärellisestä additiivisuudesta seuraa, että ( ) ( P X < P (X < ) P X < ) ( ) F ( ) F ( lim F (x) lim F (x) x x 3 + 3 ) 4 5. Tarkista lauseen.7 avulla, että funktio, kun x < F (x) (x + 8 ) kun x < ( 6 x) kun x < 6 kun x 6
on jatkuvan jakauman kertymäfunktio. Laske jakauman tiheysfunktio sekä piirrä tiheysfunktion kuvaaja. Ratkaisu: Tarkistetaan aluksi, että lauseen.7 ehdot () (3) ovat voimassa annetulla funktiolla F. Selvästi F on jatkuva ainakin joukossa R\{,, 6}. Koska lim F (x) x niin F on jatkuva pisteessä. Koska lim x 8 (( ) + ) F ( ) lim F (x), x + lim F (x) x 8 ( + ) ( ) 6 F () lim F (x), x + niin F on jatkuva pisteessä. Koska lim F (x) ( ) x 6 6 6 F (6) lim F (x), x 6+ niin F on jatkuva pisteessä 6. Siis F on jatkuva koko R:ssä. Alla olevan derivaattafunktion johtamisen perusteella F on derivoituva ja derivaatta F on jatkuva joukossa R\{} eli kaikkialla paitsi äärellisen monessa pisteessä. Siis lauseen.7 ehdot () (3) ovat voimassa. Lauseessa.7 on kuitenkin vielä neljäs ehto, nimittäin se, että F :n pitää olla kertymäfunktio. Lauseen. kääntäen -osan nojalla riittää osoittaa, että F on kasvava ja oikealta jatkuva funktio, F () ja F ( ). Koska F on jatkuva ja F :n derivaatta (johdetaan alla) on yhtä pistettä lukuunottamatta epänegatiivinen, niin tästä seuraa 3, että F on kasvava. Funktion F oikealta jatkuvuus seuraa edellä osoitetusta F :n jatkuvuudesta. Lisäksi funktion F määritelmästä nähdään helposti, että F () lim x F (x) ja F ( ) lim x F (x). Siis lauseen.7 kaikki ehdot ovat voimassa eli F on jatkuvan jakauman kertymäfunktio. Merkitään F (x):llä funktion F vasemmanpuoleista derivaattaa pisteessä x ja F +(x):llä funktion F oikeanpuoleista derivaattaa pisteessä x. Väleillä (, ) ja (6, ) derivaatta F (x), välillä (, ) derivaatta F (x) (x + ) ja välillä (, 6) derivaatta F (x) ( x) x. Koska F 4 6 6 6 36 ( ) ( + ) F 4 +( ), niin F on derivoituva pisteessä ja F ( ). Koska F () ( + ) F 4 6 6 36 +(), niin F ei ole derivoituva pisteessä. Koska F (6) 6 F 6 36 +(6), niin F on derivoituva pisteessä 6 ja F (6). Lauseen.7 mukaan tiheysfunktioksi voidaan valita derivaatta F. Derivaattaa ei ole määritelty pisteessä, mutta tiheysfunktion arvo kyseisessä (äärellisen monessa) pisteessä voidaan valita vapaasti 4, esimerkiksi f(). Täten erääksi tiheysfunktioksi Tämä on erittäin oleellinen ehto, sillä esimerkiksi funktio F (x) sin(x) toteuttaa lauseen ehdot () (3), muttei ole silti jatkuvan jakauman kertymäfunktio. 3 Yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi. 4 Jakauman tiheysfunktio ei ole yksikäsitteinen, ks. monisteen sivu 6.
saadaan, jos x, (x + ), jos < x, 4 f(x) x, jos < x < 6, 6 36, jos x 6. 6. Olkoon X diskreetti sm, jonka ptnf f on f(x) { x {,, 3 } }+ { x }. 6 Olkoon Z sm, joka määritellään Z X +. Määrää sm:n Z ptnf. Ratkaisu: Olkoon g : R R, g(x) x +. Lauseen. nojalla satunnaismuuttujan Z g(x) pistetodennäköisyysfunktio on f Z (z) x g ({z}) f X (x). Alkukuva g ({z}) { z, z }, kun z, ja g ({z}), kun z <. Nyt f Z () f Z () f Z () f Z (z) f Z (z) x g ({}) x g ({}) x g ({8}) x g ({z}) f X (x) f X (x) f X (x) x {} x {,} x { 3,3} f X (x) f X () 6, f X (x) f X ( ) + f X () 6 + 3, f X (x) f X ( 3) + f X (3) + 6 6, f X (x) f X ( z ) + f X ( z ), kun z (, ) \ {, }, ja x g ({z}) f X (x) x f X (x), kun z <. Siis satunnaismuuttujan Z pistetodennäköisyysfunktio on f Z (z) 3 {z } + {z {, }}. 6