764A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 6 Kevät 28. Tehtävä: Aiemmi olemme laskeeet kupari johtavuuselektroie tiheydeksi 8.5 28 m. Kuparijohdossa, joka poikkipita-ala o mm 2, kulkee A: virta. Arvioi Drude malli mukaie johtavuuselektroie keskimääräie opeus ja vertaa sitä Fermiopeutee. Ratkaisu: Koska virta I A ja poikkipita-ala A mm 2 saadaa virratiheys Koska kupari johtavuuselektroitiheys (kts. H4.4) o e Z ρ M ii saadaa keskimääräie opeus j I A 8 A m 2. () 8.96 6.55 u v kg m 8.5 28 m, (2) j 7.5 mm e e s. () Fermiopeus (H4.4) oli v F.57 6 m s. (4) Nähdää siis, että vaikka yksittäiset elektroit liikkuvat opeasti, o liikkee suuta (lähes) satuaie ja keskimäärie opeus piei. 2. Tehtävä: Tutkitaa Drude mallia ilma ulkoista sähkökettää, jolloi elektroie keskimääräie liikemäärä p oudattaa yhtälöä dp dt p τ. (5) (a) Osoita että yhtälö 5 ratkaisu alkuehdolla p(t ) p o p(t) p e t/τ. (6) (b) Edellie tulos voidaa tulkita site, että todeäköisyys sille, että elektroi ei viel ole sirout hetkellä t o F (t) e t/τ. Laske tästä todeäköisyystiheys f(t) df/dt sille, että elektroi siroaa esimmäise kerra aja hetkellä t. (c) Keskimääräie aika, joka elektroilta kuluu ee sirotaa määritellää kaavalla t tf(t)dt.
Osoita että t τ. (d) Kuika kaua kestää, että puolet elektroeista o sirout? Ratkaisu: (a) Osoitetaa, että p(t) p e t/τ o yhtälö ratkaisu: (b) Lasketaa todeäköisyystiheys dp dt d dt (p e t/τ ) p ( τ )e t/τ p τ. f(t) df dt d dt e t/τ ( τ e t/τ ) e t/τ τ (c) Lasketaa keskimääräie aika, joka elektroilla kuluu ee sirotaa. t τ + tf(t)dt t/τ dt te τ ( / /. tτe t/τ τe t/τ τ. ( τ)e t/τ dt Laskussa o käytetty osittaisitegroitia ( u v uv v u). Nyt u τe t/τ, v t, v ja u e t/τ. (d) Ku puolet elektroeista o sirout, o yhde elektroi todeäköisyys sirota /2. Tällöi ) F (t) 2 e t/τ 2 t τ l 2 t τ l 2 t τ l 2.
. Tehtävä: Kupari resistiivisyys ρ huoee lämmössä o.68 8 Ωm. Mikä o kupari Drude malli mukaie relaksaatioaika τ? Laske kuika pitkä matka l v F τ Fermiopeudella kulkeva elektroi kulkee tässä ajassa, ja vertaa sitä kupari hilavakioo 6 pm. Ratkaisu: Resistiivisyys ρ saadaa johtavuude σ kääteislukua: ρ σ m e 2 e τ, m τ e 2 e ρ 9. kg (.62 9 C) 2 8.5 28 /m.68 8 Ωm 24.8 fs. Tehtävä 4.4 ojalla kupari Fermi-opeus v F.57 6 m/s, jote vapaa matka o Vapaa matka suhde hilavakioo o (7) l v F τ 9 m. (8) l a 9 m.6 m 8. (9) Drude malli mukaa elektroi siis siroaa keskimääri relaksaatioaja välei. Heti siroamise jälkee se liikemäärä o keskimääri olla. Siroamiste välissä elektroi eteee vapaasti matka l. Kupari tapauksessa saadaa, että elektroi matkaa keskimääri 8 hila-atomi ohitse ee törmäystä. Elektroi ei siis ole sidottu yhtee tiettyy atomii vaa se o suhteellise vapaa liikkumaa hilassa. 4. Tehtävä: Tarkastellaa -tyypi puolijohtee epäpuhtaustasoa olettamalla, että epäpuhtausatomi ytime ylimääräie varaus e aiheuttaa paikallise Coulomb-potetiaali johtavuuskaista elektroille. Vapaassa vetyatomissa perustila sidoseergia ja perustila rada säde ovat E m ee 4 8ε 2 h 2.6 ev, r 4πε 2 m e e 2 5 pm. () Väliaieessa o otettava huomioo, että elektroi efektiivie massa muuttuu m e m ja varaus varjostuu, jote tyhjiö permittiivisyys täytyy korvata ε εε, missä ε o dielektrisyysvakio. Arvioi tämä perusteella -tyypi epäpuhtaustaso etäisyys johtavuusvyö reuasta sekä epäpuhtaustila säde idiumatimoidissa (ISb), missä m.m e ja ε 7. Vertaa eergiaa ISb: eergiarakoo E g.7ev ja sädettä hilavakioo 648 pm. Ratkaisu: Puolijohdeatomie aiheuttamassa taustassa epäpuhtausatomi elektroi sidoseergiaksi tulee E m e 4 8(εε ) 2 h..6 ev.47 mev. () 2 72
Tämä tarkoittaa sitä, että epäpuhtaustaso sijaitsee.5 mev: päässä johtavuusvyöstä. Tämä o..47 mev/.7 ev. kertaa eergiarao E g suuruus. Vastaavasti, sidotu tila rada säde o r 4πεε 2 7 5 pm 9. m. (2) m e 2. Tämä o. 9 m/648 pm 9 kertaa hilavakio. 5. Tehtävä: Osoita, että Fermi-fuktiolle pätee { e (E µ)/k B f(e) T, ku E µ k B T e (µ E)/kBT, ku E µ k B T Tutkitaa puolijohdetta, jossa elektroie tiheys johtavuuskaistassa o E f(e)g(e)de. Tässä itegroiti o yli johtavuuskaista, joka alareua o eergialla E ja yläreua eergialla E. Oletetaa, että kaista o leveä (E E k B T ) ja se tilatiheys g(e) π 2 E E, missä m o elektroi efektiivie massa. Käyttäe yllä olevaa approksimaatiota f(e):lle osoita, että Am /2 T /2 e (E µ)/kbt. Mikä o vakio A arvo? Vastaava lasku aukoille ataa tulokse p Am /2 p T /2 e (µ Ep)/k BT, missä E p o valessikaista yläreua eergia. Johda äistä kaava missä E g o eergia-auko leveys. Apu: esim. Mathematica laskee p A 2 (m m p ) /2 T e Eg/k BT, () xe x dx π 2. Ratkaisu: Fermi-jakauma voidaa kirjoittaa muotoo f(e) Oletetaa esi, että E µ k B T. Silloi +. (4) f(e) + e (E µ)/k BT e (E µ)/k BT + (5) e (E µ)/kbt ( e (E µ)/kbt ) e (E µ)/kbt, (6)
sillä /(e x + ) e x, ku x (Osoita!). Vastaavasti, ku µ E k B T, ii saadaa f(e) + e (µ E)/k BT + e (µ E)/k BT. (7) Lasketaa sitte elektroie tiheys johtavuuskaistassa. Oletetaa, että E µ, jolloi saadaa edellise ojalla f(e)g(e)de E π 2 e (E µ)/k BT π 2 E E E e (E µ)/k BT de (8) E E E e (E E)/k BT de. (9) Tehdää sitte muuttujavaihto (E E )/k B T x, jolloi saadaa π 2 e (E µ)/k BT k B T xe x k B T dx (2) Am /2 T /2 e (E µ)/k BT, (2) missä A ( k2 B 2π ) 2 ja viimeie yhtäsuuruus o saatu käyttäe aettua aputulosta. Lasketaa vielä p Am /2 T /2 e (E µ)/kbt Am /2 p T /2 e (µ Ep)/k BT (22) A 2 (m m p ) /2 T e (E Ep)/k BT A 2 (m m p ) /2 T e Eg/k BT, (2) missä E g E E p o eergia-auko leveys.