8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta joukoilta joitakin samoja ominaisuuksia joita kokonaisluvuilla on, mutta kertolasku ei välttämättä ole kommutatiivinen. Määritelmä 8.1. Olkoon R joukko, jolla on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta + ja. Kolmikko(R, +, ) on (ykkösellinen) rengas, jos (1) (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, (2) kertolasku on distributiivinen yhteenlaskun suhteen ja (3) kertolaskulla on neutraalialkio 1=1 R R. Laskutoimituksen + neutraalialkiolle käytetään merkintää 0=0 R.Ryhmä(R, +) on renkaan R additiivinen ryhmä. Rengasonkommutatiivinen, joskertolaskuon kommutatiivinen. Kertolaskun distributiivisuus yhteenlaskun suhteen renkaassa R tarkoittaa, että kaikille a, b, c R pätee a(b + c) =ab + ac ja (b + c)a = ba + ca. Esimerkki 8.2. (a) (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) ja (C, +, ) ovat kommutatiivisia renkaita. (b) Olkoon q N. KongruenssiluokkienmuodostamajoukkoZ/qZ varustettuna kokonaislukujen yhteen- ja kertolaskujen tekijälaskutoimituksilla on kommutatiivinen rengas, jota kutsutaan jäännösluokkarenkaaksi. (Harjoitustehtävä97) (c) Olkoon X, jaolkoonr rengas. Olkoon F (X, R) joukko, joka koostuu kaikista kuvauksista joukolta X renkaaseen R. Määritellään tässä joukossa yhteenja kertolasku pisteittäin: Olkoot f,g F (X, R). Asetamme (f + g)(x) = f(x)+g(x) ja (fg)(x) = f(x)g(x) kaikilla x X. Joukko F (X, R) varustettuna näillä laskutoimituksilla on rengas, jota kutsutaan funktiorenkaaksi. Laskutoimitusten assosiatiivisuus, yhteenlaskun kommutatiivisuus ja kertolaskun distributiivisuus yhteenlaskun suhteen seuraa siitä, että funktioiden arvot ovat renkaassa R ja funktioiden laskutoimitukset on määritelty pisteittäin. Yhteenlaskun (vastaavasti kertolaskun) neutraalialkio on vakiofunktio 0: X R (vastaavasti 1: X R), joka määritellään asettamalla 0(x) =0 R (vastaavasti 1(x) =1 R) kaikilla x X. Funktionf F (X, R) käänteisalkio yhteenlaskun suhteen on funktio f, jokamääritelläänasettamalla( f)(x) = f(x) kaikilla x R. Tässä esimerkissä merkitsemme kuten on tapana renkaan F (X, R) yhteen- ja kertolaskuja samoilla merkinnöillä + ja kuin renkaan R laskutoimituksia. Samoin yhteen- ja kertolaskun neutraalialkioille on tapana käyttää merkintöjä 0 ja 1 useimmissa renkaissa. Rengas F (X, R) on kommutatiivinen, jos R on kommutatiivinen. Esimerkiksi siis F (R, R) on kommutatiivinen rengas. Propositio 8.3. Olkoon R rengas. Tällöin (1) 0 R x =0 R kaikilla x R, (2) x( y) =( x)y = (xy) ja ( x)( y) =xy kaikilla x, y R, (3) x(y z) =xy xz ja (y z)x = yx zx kaikilla x, y, z R, Todistus. (1) Distributiivisuuden nojalla 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 51
kaikilla x R. Renkaan R additiivisen ryhmän supistussäännöstä seuraa, että 0 R x =0 R. Loput todistetaan harjoitustehtävässä 99. Edellä osoitettujen laskusääntöjen avulla on helppo osoittaa seuraavat perusominaisuudet Propositio 8.4. Olkoon R rengas. Jos #R 2, niin (1) 0 1ja (2) yhteenlaskun neutraalialkiolla 0 ei ole käänteisalkiota kertolaskun suhteen. Todistus. (1) Jos 1=0,niin kaikille x R pätee Proposition 8.3 nojalla x =1x =0x =0. Toinen väite todistetaan harjoitustehtävänä 101. Määritelmä 8.5. Jos R on rengas ja alkiolla u R on käänteisalkio kertolaskun suhteen, niin u on renkaan R yksikkö. Renkaan R yksiköiden ryhmä (tai multiplikatiivinen ryhmä) on R = {u R : u on yksikkö} varustettuna renkaan R kertolaskun indusoimalla laskutoimituksella. Propositio 8.6. Renkaan yksiköiden joukko varustettuna kertolaskulla on ryhmä. Todistus. Renkaan R kertolasku on assosiatiivinen laskutoimitus, jonka neutraalialkio on 1. Yksiköidenjoukkoonvakaakertolaskunsuhteen:Josu ja v ovat yksiköitä, niin uv on yksikkö koska (uv)(v 1 u 1 )=1=(v 1 u 1 )(uv). Kertolasku on siis assosiatiivinen laskutoimitus yksiköiden joukossa. Laskutoimituksella on neutraalialkio koska 1 on yksikkö. Määritelmän mukaan jokaisella yksiköllä u on käänteisalkio u 1 renkaassa R. Myösu 1 on yksikkö koska (u 1 ) 1 = u. Esimerkki 8.7. (a) Jos renkaassa on ainakin kaksi alkiota, niin 0 1ja 0 ei ole yksikkö. (b) Renkaissa Q, R ja C kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, joten aiemmin esitellyt multiplikatiiviset ryhmät Q, R ja C ovat yhteensopivat Määritelmän 8.5 kanssa. (c) Kokonaislukujen renkaan yksiköiden ryhmä on Z = { 1, 1}. (d) Funktiorenkaan F (X, R) alkio f on yksikkö, jos ja vain jos f(x) R. Renkaan yhteen- ja kertolaskuiksi kutsuttujen laskutoimitusten ei tarvitse olla tavanomaisia lukujen yhteen- ja kertolaskuja tai näistä lukujen 1 ja 3 konstruktioilla muodostettuja laskutoimituksia vaan ne voivat olla mitä tahansa laskutoimituksia, joilla on vaaditut ominaisuudet. Esimerkki 8.8. (a) Olkoon (A, +) kommutatiivinen ryhmä. Olkoon Hom(A, A) ={φ: A A : φ on homomorfismi}. Varustamme joukon Hom(A, A) kahdella laskutoimituksella: Homomorfismien yhteenlasku määritellään asettamalla (φ + φ )(a) =φ(a)+φ (a) kaikille a A ja kertolaskuna käytetään homomorfismien yhdistämistä. 52
Yhteenlasku on laskutoimitus: Jos φ, φ Hom(A, A), niin (φ + φ )(a + b) =φ(a + b)+φ (a + b) =φ(a)+φ(b)+φ (a)+φ (b) =(φ + φ )(a)+(φ + φ )(b), joten φ + φ Hom(A, A). Laskutoimituksellavarustettujoukko(Hom(A, A), +) on kommutatiivinen ryhmä. Laskutoimituksen assosiatiivisuus ja kommutatiivisuus osoitetaan harjoitustehtävässä 100. Homomorfismien yhteenlaskun neutraalialkio on nollahomomorfismi 0 ja homomorfismin φ käänteisalkio yhteenlaskun suhteen on homomorfismi φ, joka määritellään asettamalla( φ)(a) = φ(a) kaikilla a A Kertolasku osoitettiin laskutoimitukseksi harjoitustehtävässä 13. Identtinen homomorfismi on homomorfismien kertolaskun neutraalialkio, joten tarkastettavaksi jää kertolaskun distributiivisuus yhteenlaskun suhteen: Jos φ,ψ,ζ Hom(A, A),niin (ψ + ζ)φ(a) =ψφ(a)+ζφ(a) =(ψφ + ζφ)(a), ja φ(ψ + ζ)(a) = φ(ψ(a)+ζ(a)) = φψ(a)+φζ(a) =(φψ + φζ)(a). Koska homomorfismien yhdistäminen on renkaan Hom(A, A) kertolasku, homomorfismien yhdistetty kuvaus on yllä merkitty ilman yhdistetyn kuvauksen merkkiä. (b) Olkoon R rengas, #R 2. KaikkienR-kertoimisten n n-matriisien joukko M n (R) varustettuna matriisien yhteen- ja kertolaskulla on rengas. Kun R = R, kaikki muut renkaan ominaisuudet paitsi distributiivisuus osoitettiinesimerkissä 1.15(b) ja harjoitustehtävässä 6 tapauksessa n =2.Kunn 2, niinm n (R) ei ole kommutatiivinen rengas, koska matriisien kertolasku ei olekommutatiivinen. Määritelmä 8.9. Olkoot R ja R renkaita. Kuvaus φ : R R on rengashomomorfismi, jos φ: (R, +) (R, +) on homomorfismi, φ: (R, ) (R, ) on homomorfismi ja φ(1) = 1. Bijektiivinen rengashomomorfismi on rengasisomorfismi. Propositiossa 1.16 osoitettiin, että surjektiivinen homomorfismi kuvaa neutraalialkion neutraalialkioksi, mutta ilman surjektiivisuutta näin ei välttämättä ole. Ryhmähomomorfismille ei tarvita vastaavaa vaatimusta Proposition 4.12 nojalla. Erityisesti siis rengashomomorfismi kuvaa nollan nollaksi. Huomaa, että Proposition 8.4 nojalla rengashomomorfismille φ: R R pätee φ(1) = 0 vain, jos R = {0}. Esimerkki 8.10. (a) Luonnollinen kuvaus renkaasta (Z, +, ) jäännösluokkarenkaaseen (Z/qZ, +, ) on surjektiivinen rengashomomorfismi. (b) Olkoon X epätyhjä joukko ja olkoon R rengas. Olkoon a X. Evaluaatiokuvaus E a : F (X, R) R, E a (f) =f(a) on rengashomomorfismi: ja E a (f + g) =(f + g)(a) =f(a)+g(a) =E a (f)+e a (g), E a (fg)=(fg)(a) =f(a)g(a) =E a (f)e a (g) E a (1) = 1(a) =1. Propositio 8.11. (1) Jos f : R S ja g : S T ovat rengashomomorfismeja, niin g f on rengashomomorfismi. (2) Rengashomomorfismi f : R S on rengasisomorfismi, jos ja vain jos on rengashomomorfismi f : S R, jolle f f = id R ja f f = id S. Todistus. Harjoitustehtävät 104 ja 105. 53
Kokonaislukujen renkaan Z kaikki alkiot ovat alkion 1 monikertoja. Tästä seuraa erityisominaisuus renkaassa Z määritellyille rengashomomorfismeille: Propositio 8.12. Olkoon R rengas. On täsmälleen yksi rengashomomorfismi φ: Z R. Todistus. Koska 1 virittää additiivisen ryhmän (Z, +), Proposition 5.14 nojalla halutunlaisia homomorfismeja on korkeintaan yksi. Väite seuraa havainnosta, että kuvaus φ: Z R, φ(n) =n1 R =1 R +1 R + +1 R,onrengashomomorfismi: φ(m + n) =(m + n)1 R = m1 R + n1 R = φ(m)+φ(n) ja φ(mn) =mn1 R = m1 R n1 R = φ(m)φ(n). Lisäksi kuvauksen φ määritelmän mukaan φ(1) = 1 R. Monilla renkailla on yhteen- ja kertolaskun suhteen vakaita osajoukkoja, jotka ovat renkaita. Määritelmä 8.13. Olkoon R rengas ja olkoon S R vakaa yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen. Jos S varustettuna indusoiduilla laskutoimituksilla on rengas ja jos 1 S =1 R,niinS on renkaan R alirengas. Määritelmän mukaan alirenkaan inkluusiokuvaus i : S R, i(s) =s, on rengashomomorfismi. Esimerkki 8.14. (a) Z on renkaan Q alirengas. (b) Joukko {( ) } a 0 S = : a R M 0 0 2 (R) on rengas renkaasta ( ) M 2 (R) indusoiduilla laskutoimituksilla. Sen kertolaskun neutraalialkio on,jotens ei ole renkaan M 1 0 0 0 2 (R) alirengas. Rengas S on rengasisomorfinen renkaan R kanssa: Kuvaus a on rengasisomorfismi. ( ) a 0 0 0 Alirenkaalle on samanlainen testi kuin aliryhmälle (vertaa Propositioon 5.12). Propositio 8.15. Olkoon R rengas, ja olkoon S R, S. TällöinS on renkaan R alirengas, jos ja vain jos (1) Kaikille x, y Sx+ y S ja xy S, ja (2) 1 S. Todistus. Harjoitustehtävä 106. Esimerkki 8.16. (a) Samaan tapaan kuin permutaatioryhmille määriteltiin aliryhmiä rajoittumalla kuvauksiin, joilla on tiettyjä ominaisuuksia, voimme määritellä funktiorenkaiden F (X, R) alirenkaita. Kurssilla Analyysi 2 osoitetaan, että indusoiduilla laskutoimituksilla varustetut joukot C(R) ={f : R R : f on jatkuva}, ja C k (R) ={f : R R : f on k kertaa jatkuvasti derivoituva}, k N. ovat funktiorenkaan F (R, R) alirenkaita (b) Vektoriavaruuden R n lineaarikuvaukset muodostavat renkaan Hom(R n, R n ) alirenkaan, vektoriavaruuden R n endomorfismirenkaan End(R n )={L : R n R n : L on lineaarikuvaus}. 54
Lineaarikuvaukset ovat additiivisen ryhmän (R n, +) homomorfismeja itselleen, joten niiden summa on myös homomorfismi kuten Esimerkissä 8.8 todettiin. Lisäksi kaikille L, L End(R n ), x R n ja a R pätee (L + L )(ax) =L(ax)+L (ax) =al(x)+al (x) =a(l(x)+l (x)) = a(l + L )(x), joten lineaarikuvauksen toinenkin ehto toteutuu. Lineaarialgebran kurssilla on osoitettu, että lineaarikuvausten yhdistetty kuvaus on lineaarikuvaus: Jos L 1,L 2 End(R n ), x, y R n ja α, β R, niin L 2 L 1 (αx + βy)=l 2 (L 1 (αx + βy)) = L 2 (αl 1 (x)+βl 1 (y)) = αl 2 (L 1 (x)) + βl 2 (L 1 (y)) = αl 2 L 1 (x)+βl 2 L 1 (y). Siis molemmat laskutoimitukset toteuttavat Proposition 8.15 ehdon (1). Lisäksi identtinen kuvaus id: R n R n on lineaarikuvaus, kuten myös id, jotenproposition 8.15 mukaan End(R n ) on renkaan Hom(R n, R n ) alirengas. (c) Esimerkissä 4.13 käsitelty kuvaus Mat: End(R n ) M n (R), jokaliittäälineaarikuvaukseen L sen matriisin kiinnitetyssä kannassa, on rengasisomorfismi. Jos L, L End(R n ),niin(l + L )(v) =Lv + L v,joten Mat(L + L )=Mat(L)+Mat(L ), eli Mat on ryhmähomomorfismi additiivisten ryhmien välillä. Lisäksi kaikille lineaarikuvauksille L, L End(R n ) pätee ja identtisen kuvauksen matriisi on I n. Mat(L L)=Mat(L )Mat(L) Alirenkaat ja rengashomomorfismit ovat yhteensopivia samaan tapaan kuin aliryhmät ja ryhmähomomorfismit: Propositio 8.17. Olkoon φ: R R rengashomomorfismi. (1) Jos S on renkaan R alirengas, niin φ(s) on renkaan R alirengas. (2) Jos S on renkaan R alirengas, niin φ 1 (S ) on renkaan R alirengas. Todistus. (1) Proposition 5.8 mukaan (φ(s), +) on kommutatiivinen ryhmä, joten Propositiota 8.15 sovellettaessa riittää kohdassa (1) tarkastella kertolaskua ja kertolaskun neutraalialkion kuvautumista. Olkoot φ(a),φ(b) φ(s). Tällöin φ(a)φ(b) =φ(ab) φ(s) kosak φ: (R, ) (R, ) on homomorfismi. Koska 1 R S, niinpropositio4.12 sovellettuna additiiviseen ryhmään antaa 1 R = φ(1 R )=φ( 1 R ) φ(s). Siis Proposition 8.15 oletukset ovat voimassa. (2) Harjoitustehtävä 107. 55
Harjoitustehtäviä. Tehtävä 97. Osoita, että Z/qZ varustettuna kokonaislukujen yhteen- ja kertolaskujen tekijälaskutoimituksilla on kommutatiivinen rengas. Tehtävä 98. Olkoon X joukko. Määritellään joukkojen A, B P(X) symmetrinen erotus asettamalla A B =(A B) (B A). Osoita, että ( P(X),, ) on rengas. Onko se kommutatiivinen? Tehtävä 99. Olkoon R rengas. Osoita, että (1) x( y) =( x)y = (xy) kaikilla x, y R, (2) x(y z) =xy xz ja (y z)x = yx zx kaikilla x, y, z R, Tehtävä 100. Olkoon (A, +) kommutatiivinen ryhmä. Osoita, että joukon Hom(A, A) laskutoimitus +, joka määritellään asettamalla on assosiatiivinen ja kommutatiivinen. (φ + φ )(a) =φ(a)+φ (a), Tehtävä 101. Olkoon R {0} rengas. Osoita, että yhteenlaskun neutraalialkiolla 0 ei ole käänteisalkiota kertolaskun suhteen. Tehtävä 102. Määritellään joukossa Z 3 yhteenlasku komponenteittain ja kertolasku asettamalla (a, b, c)(x, y, z) =(ax, bx + cy, cz) kaikilla (a, b, c), (x, y, z) Z 3.OnkoZ 3 varustettuna näillä laskutoimituksilla rengas? Onko se kommutatiivinen? Tehtävä 103. Ovatko funktiorenkaat F ( [0, 1], R ) ja F ( [0, 2], R ) isomorfisia? Tehtävä 104. Olkoot f : R S ja g : S T rengashomomorfismeja. Osoita, että g f on rengashomomorfismi. Tehtävä 105. Osoita, että rengashomomorfismi f : R S on rengasisomorfismi, jos ja vain jos on rengashomomorfismi f : S R, jolle f f = idr ja f f = id S. Tehtävä 106. Olkoon R rengas, ja olkoon S R, S. Osoita,ettäS on renkaan R alirengas, jos ja vain jos x + y S ja xy S kaikilla x, y S, ja 1 S. Tehtävä 107. Olkoon φ: R R rengashomomorfismi. Olkoon S renkaan R alirengas. Osoita, että φ 1 (S ) on renkaan R alirengas. Tehtävä 108. Osoita, että renkaalla Z ei ole muita alirenkaita kuin Z. Tehtävä 109. Olkoon q N {0, 1}. Osoita,ettäeiolerengashomomorfismia jäännösluokkarenkaalta Z/qZ renkaaseen Z. 98 Vihje: Harjoitustehtävä 40. 102 Vihje: (1, 0, 1) 56