09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kappaleissa olemme tutkineet valon heijastumista peileissä ja taittumista linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla Approksimaatiossa valon aaltoluonnetta ei oteta huomioon ja valon eteneminen ymmärretään sädemallin avulla Valo on kuitenkin aaltoliikettä Tässä ja seuraavissa kappaleissa tutkimme millaisia ilmiöitä (interferenssi, diffraktio, ) valon aaltoluonteesta seuraa Aaltoluonteesta johtuvat optiset ilmiöt kuuluvat ns fysikaalisen optiikan (physical optics) aihepiiriin 9 VALOAALTO Yleisesti positiivisen x-akselin suuntaan etenevää harmonista aaltoa (esim köydessä) olemme esittäneet funktiolla y( x, t) = Asin( kx- wt+ j ) Valoaalto muodostuu kahdesta komponentista, sähkökentästä E ja magneettikentästä B Kentät riippuvat toisistaan yksikäsitteisellä tavalla ja siten riittää tarkastella vain toista, esimerkiksi sähkökenttää E Positiivisen x-akselin suuntaan etenevän harmonisessa valoaallossa sähkökentän suuruudelle E = E pätee E( x, t) = E sin( kx- wt+ j ) (9) 0 0 On huomattava, että funktion esittämä valoaalto on 3-ulotteinen Näin on, koska ensinnäkin matemaattisesti se toteuttaa 3-ulotteisen aaltoyhtälön E Ñ E = (9) v t ja toiseksi se täyttää koko 3-ulotteisen avaruuden 0
0 Aaltoyhtälössä (9) paikkaderivaattaoperaattori Ñ Ñ = + + x y z on ns Laplacen operaattori ja yhtälöä voidaan pitää -ulotteisen aaltoyhtälön E E = x v t yleistyksenä On suoraviivaista todeta, että aalto (9) todellakin toteuttaa 3-ulotteisen aaltoyhtälön Miten sitten aalto (9) täyttää koko avaruuden? Tarkastellaan aaltoa kiinnitetyllä ajan hetkellä (valitaan t = 0 ja lisäksi j 0 = 0), jolloin aalto on "jähmettynyt" avaruuteen muotoon E( x) = E sin( kx) 0 Tutkitaan tätä aaltoa kohdassa x = vakio (kuva alla) Matemaattisesti kysymyksessä on x-akselia vastaan kohtisuorassa oleva pinta, joka tässä tapauksessa on taso Tällä äärettömän suurella tasolla (millä tahansa y:n ja z:n arvoilla) aallon vaiheella j = kx on vakioarvo ja siten myös sähkökentän E arvo on vakio Tämä vakiovaiheen pinta on juuri aallon aaltorintama Aalto muodostuu äärettömän monesta äärettömän tiheään pitkin x-akselia olevasta vakiovaiheen pinnasta täyttäen siten koko avaruuden Aalto on ns tasoaalto, koska vakiovaiheen pinnat ovat tasoja Kun aika vapautetaan juoksemaan, vakiovaiheen tasot etenevät pitkin x-akselia
------------------------------------------------- Esimerkki: Harmoninen tasoaalto E( x, t) = E sin( kx- wt), 0 missä E 0 = 0, k = 0 ja w = 30 etenee positiivisen x-akselin suuntaan Laske E:n arvo avaruuden pisteissä a) (x, y, z) = (, 0, 0) b) (x, y, z) = (, 3, 4) hetkellä t = 0 Huomaa, että molemmat pisteet ovat tasolla x = vakio =, joka on kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan Ratkaisu: a) E = 0sin(0-30 0) = 0sin(0) = 084 b) E = 0sin(0-30 0) = 0sin(0) = 084 Aalto todellakin täyttää koko avaruuden (3-dim) ja sen vaihe tasolla x = on vakio (0 ajan hetkellä t = 0) ja siten myös E:n arvo on vakio (084) ------------------------------------------------- Tähän saakka olemme tarkastelleet aaltoja, jotka etenevät vain koordinaattiakseleiden (x, y, tai z) suuntaan Yleistetään suunta Vektorin k suuntaan etenevä harmoninen tasoaalto on muotoa E( r, t) = E0sin( k r - wt+ j0), (93) missä k = k ˆ ˆ ˆ xi+ kyj+ kzk (94) on ns aaltovektori, jonka suuntaan aalto siis etenee, k = k = k + k + k = p l (95) x y z / on jo tuttu aaltoluku, joka on nyt aaltovektorin pituus ja r = xˆi+ yˆj+ zk ˆ (96) on paikkavektori (radiusvektori), jonka osoittamassa paikassa kenttä E lasketaan
------------------------------------------------- Esimerkki: Sähkömagneettinen harmoninen tasoaalto etenee amplitudilla E 0, kulmataajuudella w ja aallonpituudella l Kirjoita aaltoa kuvaava funktio, kun aalto etenee a) y-akselin suuntaan b) 30 o :n kulmassa x-akselista mitattuna y-akselin suuntaan Ratkaisu: Yleinen muoto on E( r, t) = E0sin( k r - wt+ j0) a) Tässä k = k ˆ ˆ ˆ xi+ kyj+ kzk = 0ˆi+ k ˆ 0ˆ ˆ yj+ k = kyj k = k = ky = p / l r = xˆi+ yˆj+ zk ˆ ja pistetuloksi laskemme k r = kxx + k yy + kzz = k yy = ky joten E( r, t) = E0sin( ky- wt+ j0) b) Nyt 3 k= kx + ky + kz = k + k = k (ok!, pelkkä tarkistus) 4 4 r = xˆi+ yˆj+ zk ˆ ja 3 k r= kxx + k yy + kzz = kx + ky = k ( 3 x + y ), æ ö joten E( r, t) = E0sin ç k( 3 x+ y) - wt+ j0, missä k = p / l è ø -------------------------------------------------
3 Kätevä merkintätapa: Yleisessä tapauksessa funktio (93) E( r, t) = E sin( k r- wt+ j ) 0 0 esittää etenevää harmonista tasoaaltoa alla esitetyn kuvan mukaisesti, jossa siis aaltovektori k kertoo aallon etenemissuunnan ja paikkavektori r osoittaa pisteen P, jossa kentän E arvo lasketaan Kuvassa referenssikohta (-piste) on sopivasti valittu piste (eräänlainen nollakohta), jonka kautta aalto etenee tarkastelupisteeseen P Yleisessä tapauksessa koordinaatiston origo ei ole referenssipisteessä Kuvasta perusteella k r= k ( r0+ r ), ja jos origo asetetaan referenssipisteeseen, niin r 0 = 0 ja k r= k r =kr Tässä pistetulo k r on suoraan vektoreiden pituuksien tulo kr, koska vektorit ovat saman suuntaisia Aalto (93) voidaan kirjoittaa muodossa E= E sin( kr - wt+ j ), (97) 0 0
4 Esimerkiksi, jos referenssipiste on asetettu koordinaatiston origoon ja aalto etenee x-akselin suuntaan, niin r = x ja päädymme tuttuun aaltoon E = E0sin( kx- wt+ j0) Monissa sovellutuksissa tarkastella pelkästään aallon (97) E= E sin( kr - wt+ j ) 0 0 aikariippuvuutta pisteessä P, jolloin on tapana kirjoittaa missä on riippumaton ajasta E = E0 sin( a - wt), (98) a = + kr j 0 9 SUPERPOSITIO Jo aikaisemmin olemme todenneet, että jos useampi aaltoliike vaikuttaa samanaikaisesti määrätyssä pisteessä, niin aaltojen yhteisvaikutus saadaan laskemalla yhteen eri aaltojen erikseen aiheuttamat vaikutukset Valoaaltojen tapauksessa on huomattava, että kysymyksessä on vektoriyhteenlasku Kahden sähkömagneettisen aallon (sähkövektorit E ja E ) superpositio on siis E= E+ E, missä tulos riippuu hyvin merkittävästi vektoreiden keskinäisistä suunnista Resultanttikentän suuruudelle saamme E= E = E E= ( E + E ) ( E + E ) = E + E + E E
5 Jos esimerkiksi E ^ E, ts kentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, pistetulo on nolla, E E = 0, ja saadaan E= E + E Jos taas kentät ovat paralleeleja keskenään ( EP E), pistetulo antaa E E =±EE, missä (+)-merkki tarkoittaa saman suuntaisia kenttiä ja (-)-merkki vastakkaissuuntaisia Kokonaiskentän suuruudeksi tulee E= E + E ± EE = E ± E Jatkossa tarkastelemme (ellei toisin mainita) tapauksia, joissa kentät ovat samansuuntaisia ja siten superpositio on "voimakkaimmillaan" ja se voidaan esittää skalaariyhtälöllä E = E+ E 93 SAMATAAJUISTEN AALTOJEN SUPERPOSITIO Viereisessä kuvassa kaksi aaltoa, joilla on sama taajuus ( n = n ) kohtaavat pisteessä P w = w = w l = l = l ( l = c / n ) k = k = k ( k = p / l) Huom! k ¹ k, koska suunnat poikkeavat Kirjoitetaan ensin aallot erikseen P:ssä yhtälön (98) muodossa E = E0sin( a- wt), a = kr + j0 E = E0sin( a - wt), a = kr + j0
Aaltojen vaihe-ero pisteessä P on 6 ( a -wt)-( a- wt) = a -a = k( r - r ) + ( j0 - j0) Vaihe-ero syntyy siis kahdesta termistä Ensimmäinen k( r - r) muodostuu aaltojen matkaerosta lähteistään ja toinen niiden alkuperäisestä vaiheerosta ( j0 - j0), kun aallot lähtevät lähteistään Aaltojen aikariippuvuudet (erikseen) pisteessä P ovat E = E0sin( a-wt) E = E0sin( a -wt) ja resultantiksi tulee E E E = E sin( a - wt) + E sin( a - wt) R = + 0 0 Soveltamalla trigonometrian identiteettiä sin( A- B) = sin Acos B- cos Asin B, saadaan helposti tulos ER = ( E0 sina + E0 sin a)coswt -( E0 cosa + E0 cos a)sinwt Kun vielä merkitään E sina + E sina = E sina 0 0 0 E cosa + E cosa = E cosa 0 0 0 saadaan, soveltamalla yllä esitettyä identiteettiä uudelleen, tulos ER = E+ E = E0sin( a - wt), (93) missä E0 = E0 + E0 + E0E0 cos( a - a) (93) E0sina+ E0sina tana = (933) E0cosa+ E0cosa Tässä kannattaa huomata, että resultantilla on sama muoto ja sama taajuus kuin osa-aalloilla Irradianssi pisteessä P ( I µ E 0 ) riippuu vaihe-erosta a - a termin E E cos( a - a ) välityksellä Sovellutus: interferenssi-ilmiöt 0 0
7 ------------------------------------------------- Esimerkki: Kaksi samataajuista tasoaaltoa, joiden molempien sähkökentät värähtelevät z-suunnassa, etenevät toistensa suhteen ristiin, toinen x-suuntaan ja toinen y-suuntaan SI-yksiköissä aaltoja edustaa funktiot ép ù E( x, t) = 4sin x- 0t+ p ë3 ú û ép ù E( y, t) = sin y- 0t+ p ë3 ú û Laske aaltojen superpositio avaruuden pisteessä (x, y, z) = (5,, 0) Ratkaisu: é5p ù é8p ù E(5, t) = 4sin - 0t+ p = 4sin -0t ë 3 ú û ë 3 ú û On siis ép ù é5p ù E(, t) = sin - 0t + p = sin -0t ë 3 ú û ë 3 ú û 0 [ a w ] [ a w ] E = E sin - t, missä E 0 = 4 ja a = 8 p /3 E = E sin - t, missä E 0 = ja a = 5 p /3 0 ja näissä molemmissa w = 0 Resultantti on ER = E0 sin( a - wt), missä E = E + E + E E cos( a -a ) ja 0 0 0 0 0 = + + - 4 4cos(5 p /3 8 p /3) = 0 + 6cos( - p) = 0-6 = 4
tana E E 0 0 = = 0 0 8 sina + E sina 4 sin(8 p /3) + sin(5 p /3) cosa + E cosa 4 cos(8 p /3) + cos(5 p /3) 4 3/+ - ( 3/) 3 = = =- 4 (- /) + (/) - p p Þ a =- tai 3 3 ja lopulta siis ER ép ù = sin -0t ë 3 úû é p ù tai ER =-sin - -0t ë 3 úû Merkit ja kulmat on valittava siten, että ehdot (ks sivu 6) E0sina = E0sina+ E0sina E0 cosa = E0 cosa + E0 cosa ------------------------------------------------- 3 94 ERITAAJUISTEN AALTOJEN SUPERPOSITIO Nyt w ¹ w, joten myös k ¹ k (esim tyhjiössä k = w/ c) ja E = E0sin( a- wt), a = kr + j0 E = E0sin( a - wt), a = kr + j0 Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi (ei muuta ilmiötä), että E0 = E0 = E0 ja j0 = j0 = 0 ja lisäksi a = kx ja a = kx, ts molemmat etenevät x-suuntaan ja molemmilla on sama origo: Siis
ja resultantti pisteessä P on R 9 E = E sin( k x- w t) (94) 0 E = E sin( k x- w t) (94) 0 [ sin( w ) sin( w )] E = E + E = E k x- t + k x- t 0 Sovelletaan seuraavaksi identiteettiä [ ] [ ] sin A+ sin B= cos ( A- B) sin ( A+ B) Tässä tapauksessa ( A+ B) = ( k + k ) x- ( w + w ) t ( A- B) = ( k -k ) x- ( w -w ) t ja otetaan (kaukoviisaasti) käyttöön merkinnät ( ) = - w ( ) p = w+ w wg w w ( ) kg = k-k k ( ) p = k+ k jolloin saadaan E = E cos( k x-w t)sin( k x- w t) (943) R 0 g g p p Tulos (943) esittää kosiniaallon ja siniaallon tuloa Siniaallon kulmataajuus on w p ja aaltoluku k p, jotka ovat summautuvien aaltojen vastaavien suureiden keskiarvoja Kosiniaallon w g ja kg ovat puolestaan alkuperäisten suureiden erotusten puolikkaita ja siten pienempiä kuin siniaallolla Voidaan siis kirjoittaa w p > wg ja kp kg missä on oletettu, että w > w ja k > k >, Kun alkuperäisillä aalloilla on lähes sama kulmataajuus ( w» w ), niin wp? wg ja kiinnitetyssä avaruuden pisteessä x= x0 saadaan kuvaajat (seuraavalla sivulla):
0 Ylemmässä kuvassa resultantin (943) kosini- ja sinikomponenttien aikariippuvuudet on piirretty erikseen kiinnitetyssä avaruuden pisteessä x= x0 Suurempitaajuinen ( w p) sini värähtelee nopeammin Alemmassa kuvassa komponenttien tulo on piirretty yhtenäisellä viivalla Verhokäyrä edustaa amplitudin vaihtelua Resultanttiaalto on siis kahden aallon tulo: Matalan taajuuden aalto moduloi korkean taajuuden aaltoa Seurauksena on huojunta, jonka taajuus (huojuntataajuus, engl beat frequency) on kaksinkertainen moduloivan aallon taajuuteen verrattuna (vrt huojunta äänellä): w = w = w - w b g Ryhmänopeus Edellistä tarkastelua voidaan soveltaa optiikassa dispersioon Koska v =c/ n, valon eri aallonpituudet etenevät eri nopeuksilla dispersiivisessä väliaineessa, siis aineessa, jossa n= n( l) Herää kysymys, mikä on useammasta aallonpituudesta muodostuneen valon etenemisnopeus?
Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi väliaineessa etenevää valoa, joka muodostuu vain kahdesta eri aallonpituisesta (eri taajuisesta) säteestä Oletetaan, että säteiden aallonpituudet (taajuudet) poikkeavat vain vähän toisistaan, ts k ¹ k ja w ¹ w, mutta siten, että k» k = k ja w» w = w Säteitä edustaa yhtälöt (94) ja (94), jotka yhdessä muodostavat resultantin (943) ja tilanne on edellisen sivun kuvien (ja teorian) mukainen Valon vaihenopeus v p on itse resultanttiaallon (943) nopeus Edellisen sivun alemmassa kuvassa sitä edustaa yhtenäinen käyrä, jonka kulmataajuus on w p ja aaltoluku k p Vaihenopeudelle laskemme siis wp ( w+ w) w v p = = @ (944) kp ( k+ k) k missä viimeinen approksimaatio voidaan tehdä koska w @ w = w k @ k = k ja Valon ryhmänopeus v g on moduloivan aallon (ns aaltopaketin) nopeus Sitä edustaa kuvassa verhokäyrä, jonka kulmataajuus on w g ja aaltoluku k g Saadaan wg ( w-w) dw v g = = @, (945) kg ( k-k) dk missä derivaatta voidaan kirjoittaa koska taajuudet ja aaltoluvut poikkeavat vain vähän toisistaan Ryhmänopeus v g = dw / dk ja vaihenopeus v p = w / k eivät yleisessä tapauksessa ole samat: dw d dvp vg = = ( k vp) = v p + k dk dk dk