1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota usein kutsutaan muuttuksi. Symbolin 1 sovitaan tarkoittavan ääretöntä negatiivista lukua, jolle pätee 1 <akaikilla kokonaisluvuilla a, 1 + 1 = 1, 1 + a = 1 kaikilla kokonaisluvuilla a. Symbolille 1 ei ole määritelty muita operaatioita, käytämme sitä ainoastaan nollapolynomin asteen merkkinä. Määritelmä 1.1. Olkoon K kommutatiivinen rengas, jossa on vähintään kaksi alkiota. Olkoon n N, olkoota n,a n 1,...,a 1,a 0 K. Lauseke nx P (X) = a k X k = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0 on yhden muuttun K-kertoiminen polynomi.lukua 0 on polynomin P (X) vakiotermi. Josylläolevassalausekkeessaa n 6=0,niinpolynominP (X) aste on deg(p (X)) = n a n on polynomin P (X) korkeimman asteen kerroin. Nollapolynomin0 aste on 1. Kaikkien K-kertoimisten polynomien joukkoa merkitään K[X]. Kommutatiivinen rengas K on polynomin P (X) K[X] kerroinrengas. Olkoot P (X) = P n k=1 a kx k Q(X) = P m k=1 b kx k K-kertoimisia polynome, n m. Olkootb m+1 = b m+ = = b n =0,josn>m.Polynomiensummatulo määritellään asettamalla nx P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k (1) P (X)Q(X) = n+m X X i+j=k a i b j X k. Vähemmän havainnollinen mutta täsmällisempi Määritelmän 1.1 kanssa ekvivalentti tapa määritellä polynomit on korvata polynomin lauseke P n a kx k kertoimien muodostamalla jonolla (a 0,a 1,...,a n, 0, 0,...) määritellä yhteenlasku komponenteittain kuten jonoille on tapana kertolasku kaavan (1) mukaisesti. Tällöin jono (0, 1, 0, 0, 0,...) on symbolin X vastine: Määritelmä 1.1. Olkoon K kommutatiivinen rengas, jossa on vähintään kaksi alkiota. Kuvaus! : N! K, jolleonn! N siten, että!(k) =0kaikille k N!, on K-kertoiminen polynomi. Kaikkien K-kertoimisten polynomien joukko on K[X]. Määritellään laskutoimitukset + joukossa K[X] asettamalla (! +! 0 )(k) =!(k)+! 0 (k) (!! 0 )(k) = kaikille k N. Polynomin! 6= 0aste on Nollapolynomin 0 aste on 1. X i,jn:i+j=k!(i)! 0 (j) deg! =max{k N :!(k) 6= 0}. 7
Huomaa, että polynomeille P (X),Q(X) K[X] pätee P (X) =Q(X) täsmälleen silloin, kun niiden kerroinjonot ovat samat. Propositio 1.. Olkoon K kommutatiivinen rengas, jossa on vähintään kaksi alkiota. Joukko K[X] varustettuna polynomien yhteen- kertolaskulla on kommutatiivinen rengas. Kuvaus i: K! K[X], jokakuvaarenkaank alkion a polynomiksi a K[X], oninjektiivinenrengashomomorfismi. Todistus. Selvästi polynomit 0 1 ovat yhteenlaskun kertolaskun neutraalialkiot. Muut renkaan määrittelevät ominaisuudet seuraavat suoraviivaisesti siitä, että K on kommutatiivinen rengas. Kuvauksen i ominaisuudet on myös helppo tarkastaa. Polynomirenkaat ovat tärkeitä kommutatiivisia renkaita, havainnollistamme niiden merkitystä hieman kurssin viimeisessä luvussa, kun sovellamme niitä äärellisten kuntien konstruktiossa. Rengas K voidaan atella Proposition 1. kuvauksen i avulla polynomirenkaan K[X] alirenkaaksi. Kun tarkastelemme polynomirengasta (Z/qZ)[X], merkitsemme kerrointa a + qz yksinkertaisuuden vuoksi edustalla a. Esimerkki 1.3. (1) Olkoot P (X),Q(X) Z[X], P (X) =X +, Q(X) =1+X. Tällöin P (X)Q(X) =4X 3 +X +4X +. Nyt deg(p (X)) =, deg(q(x)) = 1 deg(p (X)Q(X)) = 3. () Jos polynomit P (X),Q(X) (Z/4Z)[X] määritellään samoilla lausekkeilla kuin edellä polynomin kertoimena oleva kokonaisluku a k tulkitaan edellä tehdyn sopimuksen mukaan kongruenssiluokaksi a k +4Z Z/4Z, niin P (X)Q(X) =X +. Nyt pätee P (X)Q(X) =P (X) =P (X) 1 mutta Q(X) 6= 1,jotenkertolaskun supistussääntö ei päde polynomirenkaassa (Z/4Z)[X]. Siis Proposition 10.10 nolla (Z/4Z)[X] ei ole kokonaisalue. Itse asiassa polynomi X on nollan ka renkaassa (Z/4Z)[X]: (X)(X) =4X =0. Lisäksi pätee deg(p (X)) =, deg(q(x)) = 1 mutta nyt deg(p (X)Q(X)) = < 3=+1 1 =deg0=deg((x)(x)) < deg(x) =. Lemma 1.4. Olkoon K kommutatiivinen rengas, K 6= {0}. Tällöin kaikille P (X),Q(X) K[X]. deg(p (X)Q(X)) apple deg P (X)+degQ(X) Todistus. Olkoot P (X) = P n a kx k Q(X) = P m b kx k oletetaan, että a n 6=0, b m 6=0.TulopolynominP (X)Q(X) korkeimman asteen termi on a n b m X n+m, jos a n b m 6=0,muutenasteonalempi. Propositio 1.5. Jos Kon kokonaisalue, niin K[X] on kokonaisalue. Tällöin deg(p (X)Q(X)) = deg(p (X)) + deg(q(x)). Todistus. Lemman 1.4 merkinnöillä tulopolynomin korkeimman asteen termin kerroin on a n b m 6=0,silläK on kokonaisalue. 73
Polynomirengas ei ole koskaan kunta. Jos K on kokonaisalue, niin Proposition 1.5 mukaan ainoat polynomit, joilla on käänteisalkio kertolaskun suhteen ovat vakiopolynomit u, missäu K.Sensian,joskerroinrengaseiolekokonaisalue,niin vakiopolynomeilla a, missä a onnollanka renkaassa K, ei ole käänteisalkiota Propositioiden 10.8 1. nolla. Tässä tapauksessa kuitenkin joillakin korkeamman asteen polynomeilla on käänteisalkiot. Esimerkki 1.6. Renkaassa (Z/4Z)[X] pätee (X +1)(X +1)=4X +4X +1=1. Koska merkitsemme renkaan (Z/qZ) alkiota käyttämällä sen kokonaislukuedustaa, on syytä olla huolellinen ollisuuden kanssa: "samalla lausekkeella annettujen polynomien ollisuus riippuu tarkasteltavasta polynomirenkaasta": Esimerkki 1.7. (a) (X 1) (X 1) (X +1) (X 1) kaikissa polynomirenkaissa R[X]: (X 1)(X +1)=X +(1 1)X 1=X 1. (b) (X +1) (X +1)renkaassa (Z/Z)[X], sillä1= 1 renkaassa Z/Z. (c) Polynomi (X+1) ei a polynomia (X +1) renkaassa C[X]:Jos(X+1) (X +1), niin on A, B C,joille(X +1)(AX +B) =X +1. Tällöin toisen nollannen asteen kertoimia tarkastelemalla havaitaan, että pitää olla A =1=B, muttaensimmäisen asteen termit eivät täsmää. Olemme käyttäneet kurssilla muutamia kerto kokonaislukujen koyhtälöä: Olkoot a, b Z b 6= 0. Tällöin on yksikäsitteiset q, j Z, joille a = qb + j 0 apple j< b. Tämä tulos on hyvin uskottava se todistetaan tarkasti lukuteorian alkeiskursseilla. Todistamme seuraavaksi vastaavan tuloksen polynomeille: Lause 1.8 (Jakoyhtälö). Olkoon K kommutatiivinen rengas, jossa on vähintään kaksi alkiota. Olkoot A(X), B(X) K[X] siten, että B(X) 6= 0 polynomin B(X) korkeimman asteen termin kerroin on yksikkö. Tällöin on yksikäsitteiset polynomit Q(X),J(X) K[X], joillepätee deg J(X) < deg B(X). A(X) =Q(X)B(X)+J(X) Todistus. Osoitetaan ensin, että on polynomit Q(X) J(X), jotkatoteuttavatväitteen yhtälön. Jos B(X) kaa polynomin A(X), ei ole mitään todistettavaa. Muuten olkoon S = {A(X) D(X)B(X) :D(X) K[X]}. Koska B(X) ei a polynomia A(X), niin0 / S, jotenjoukko deg S = {deg P (X) :P (X) S} on luonnollisten lukujen joukon epätyhjä osajoukko sillä on siis minimi m 0. Olkoon Q(X) K[X] polynomi, jolle pätee deg(a(x) Q(X)B(X)) = m.olkoon J(X) =A(X) Q(X)B(X) =a m X m + + a 0. Nyt polynomit Q(X) J(X) siis toteuttavat väitteen yhtälön. Osoitetaan sitten, että m<d=degb(x). Olkoonb d polynomin B(X) korkeimman asteen kerroin, joka on oletuksen mukaan yksikkö. Jos olisi m d, niin J(X) a m b 1 d Xm d B(X) =A(X) (Q(X)+a m b 1 d Xm d )B(X) S 74
deg J(X) a m b 1 d Xm d B(X) <m,muttatämäonmahdotonta,koskapolynomin J(X) aste on minimaalinen. Osoitetaan lopuksi polynomien Q(X) J(X) yksikäsitteisyys. Jos e Q(X) e J(X) ovat polynome, joille pätee niin A(X) = e Q(X)B(X)+ e J(X), (Q(X) e Q(X))B(X) = e J(X) J(X). Jos e Q(X) 6= Q(X), niinyhtälönvasemmanpuolenpolynominasteonvähintäänd. Kuitenkin, jos deg e J(X) <d,niin deg( e J(X) Siis e Q(X) =Q(X) e J(X) =J(X). J(X)) <d. Seuraus 1.9 (Jakoyhtälö). Olkoon K kunta. Olkoot A(X), B(X) K[X] siten, että B(X) 6= 0.Tällöin on yksikäsitteiset Q(X),J(X) R[X], joille deg J(X) < deg B(X). A(X) =Q(X)B(X)+J(X) Esimerkki 1.10. Jakoyhtälö voidaan toteuttaa algoritmisesti kokulman avulla kuten kokonaisluvuillekin. Tällöin esimerkiksi polynomeille A(X) =X 3 +X X 1 B(X) =X renkaassa Z[X] kokulma antaa Toisin sanoen X +1 X X 3 +X X 1 X 3 ±4X X +3X 1 X ± 3X +1 X 3 + X X 1=(X +1)(X ) + 3X +1, joten Jakoyhtälön merkinnöillä Q(X) =X +1 J(X) =3X +1. Renkaassa (Z/3Z)[X] polynomeille A(X) B(X) pätee (13) X 3 + X X 1=(X +1)(X ) + 1 = (X +1)(X +1)+1. Jos B(X) =X +1,niin koyhtälö ei toimi renkaassa Z[X]: kokulmassa päädytään ongelmalliseen tilanteeseen X 3 + X X 1=X (X +1) X 1, josta ei voi tkaa. Tämä johtuu siitä, että Z ei ole yksikkö. Sen sian renkaassa (Z/3Z)[X] voidaan tkaa, koska Z/3Z on kunta. Nyt X 1=X +=(X +1)+1 päädytään yhtälöön (13). Renkaassa Q[X] koa voi myös tkaa, saadaan X 3 + X X 1=(X 1 )(X +1) 1. Määritelmä 1.11. Olkoon K kommutatiivinen rengas. Polynomin nx P (X) = a k X k K[X] määräämä polynomifunktio on P : K! K, x 7! P n a kx k = P (x). 75.
Algebrassa tulee pitää erillään polynomin polynomifunktion käsitteet käyttää määritelmän 1.11 merkintätapo. Jokaisen kommutatiivisen renkaan K polynomirengas K[X] on ääretön mutta, jos K on äärellinen, niin funktioita joukolta K joukkoon K on ainoastaan äärellinen määrä. Propositio 1.1. Olkoon K kommutatiivinen rengas. Kuvaus, joka liittää K- kertoimiseen polynomiin P (X) polynomifunktion P : K! K, on rengashomomorfismi polynomirenkaasta K[X] funktiorenkaaseen F (K, K). Todistus. Harjoitustehtävä 157. Esimerkki 1.13. Olkoot Q(X) =X,P(X) =X (Z/Z)[X]. Tällöin P (0) = 0=0 = Q(0), P (1) = 1 = 1 = Q(1), jotenpolynomitp (X) Q(X) vastaavat samaa polynomifunktiota. Nollasta poikkeava polynomi Q(X) P (X) =X X, määrää nollakuvauksen renkaalta Z/Z itselleen. Määritelmä 1.14. Olkoon K kommutatiivinen rengas, olkoon P (X) K[X]. Alkio c K on polynomin P (X) juuri, josp (c) =0. Jakoyhtälö antaa seuraavan perustuloksen: Propositio 1.15. Olkoon K kommutatiivinen rengas. Olkoon P (X) K[X], c K. TällöinP (c) =0,josvainjos(X c) P (X). Todistus. Oletetaan, että P (c) =0.JakoyhtälönmukaanonK-kertoimiset polynomit Q(X) J(X), joilledeg J(X) < 1 P (X) =Q(X)(X c)+j(x). Koska deg J<1, J(X) on vakiopolynomi, joten on b K, jollej(a) =b kaikilla a K. Erityisesti 0=P (c) =Q(c)(c c)+j(c) =b, joten b =0. Toisaalta, jos P (X) =(X c)q(x) jollain polynomilla Q(X) K[X], niin P (c) =(c c)q(c) =0. Propositio 1.16. Olkoon K kokonaisalue. Olkoon P (X) K[X] polynomi, olkoot c 1,c,...,c k K polynomin P (X) k eri juurta. Tällöin on Q(X) K[X], jolle P (X) =(X c 1 )(X c ) (X c k )Q(X). Todistus. Harjoitustehtävä 155. Lause 1.17. Olkoon K kokonaisalue olkoon n 1. Jos P (X) K[X] deg P (X) =n, niinpolynomillap (X) on korkeintaan n eri juurta. Todistus. Propositioiden 1.16 1.5 mukaan, jos polynomilla P (X) on k eri juurta, niin deg(p (X)) k. Propositio 1.18. Olkoon K ääretön kokonaisalue. Tällöin jokaista kokonaisalueen K polynomifunktiota vastaa yksikäsitteinen polynomi renkaassa K[X]. Todistus. Kuvaus, joka liittää polynomiin vastaavan polynomifunktion on on rengashomomorfismi, joten riittää osoittaa, että tämän homomorfismin ydin on {0}. Jos polynomia P (X) vastaa nollafunktio, niin sillä on äärettömän monta juurta. Lauseen 1.17 nolla ainoa tällainen polynomi on 0. Seuraus 1.19. Olkoon K jokin kokonaisalueista Z, Q, R tai C. Kuvaus, joka liittää jokaiseen polynomiin P (X) K[X] vastaavan polynomifunktion P : K! K, on injektio. 76
Erityisesti Propositio.1 antaa kaikki toisen asteen kompleksikertoimisen polynomiyhtälön ratkaisut. Seuraus 1.0. Olkoot a 0,a 1 C. Yhtälön ratkaisut ovat z 1 = a 1 + s a1 z + a 1 z + a 0 =0 a 0 z = a 1 s a1 a 0. Todistus. Jos z 1 6= z,niinväiteseuraasuoraanlauseesta1.17.josz 1 = z = a 1, niin X +a 1 X +a 0 =(X z 1 ).Lauseen1.17mukaanpolynomillaX +a 1 X +a 0 voi olla korkeintaan yksi muu juuri. Kertolaskun supistussääntö pätee renkaassa C[X] Proposition 1.5 nolla, joten yhtälöstä (X z 1 ) = X + a 1 X + a 0 =(X z 1 )(X d) seuraa X z 1 = X c. Siisc = z 1. Määritelmä 1.1. Kunta K onalgebrallisesti suljettu,josjokaisella vakiosta poikkeavalla polynomilla P (X) K[X] on juuri. Seuraus 1.. Jos K algebrallisesti suljettu kunta, niin jokainen vakiosta poikkeava polynomi P (X) K[X] on ensimmäisen asteen polynomien tulo. Jos (X c) k kaa polynomin P (X) renkaassa R[X], niinc on polynomin P (X) k-kertainen juuri. Yleensä,kunlasketaanpolynominjuuria,k-kertaiset juuret huomioidaan laskussa k kertaa. Esimerkiksi 0 on polynomin X kaksinkertainen juuri, kertaluku huomioiden polynomilla X on siis kaksi juurta. Seuraus 1.3. Jos K algebrallisesti suljettu kunta, niin jokaisella nollasta poikkeavalla polynomilla P (X) K[X] on juurten kertaluku huomioiden deg P (X) juurta. Lukualueiden kompleksianalyysin kursseilla todistetaan seuraava tärkeä tulos: Lause 1.4 (Algebran peruslause). Kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu. Seuraus 1.5. Jokainen vakiosta poikkeava polynomi P (X) C[X] on ensimmäisen asteen polynomien tulo. Nollasta poikkeavalla polynomilla P (X) C[X] on juurten kertaluku huomioiden deg P (X) juurta. Usein polynomeilla on vähemmän juuria kuin niiden asteesta tuleva maksimimäärä. Esimerkiksi polynomilla X 3 + X R[X] on täsmälleen yksi juuri polynomilla X +1 R[X] ei ole juuria lainkaan. Harjoitustehtäviä. Tehtävä 149. Olkoon K kommutatiivinen rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Osoita, että K(X) on kommutatiivinen rengas. Tehtävä 150. Olkoot P (X),Q(X) (Z/8Z)[X], P (X) =3+X +4X +X 3 Q(X) =4+4X +4X +4X 3 +4X 4. (1) Kerro Q(X) polynomilla P (X). () Jaa Q(X) polynomilla P (X). 77
Tehtävä 151. Jaa polynomi P (X) =X 3 +X +3X + polynomilla Q(X) =X +3X +1 (1) polynomirenkaassa Q[X] () polynomirenkaassa (Z/7Z)[X]. Tehtävä 15. Osoita, että F (X) =1 X on yksikkö renkaassa (Z/16Z)[X]. Tehtävä 153. Olkoon p alkuluku. Montako juurta polynomilla X p on? X (Z/pZ)[X] Tehtävä 154. Olkoon K kokonaisalue. Olkoot P (X),Q(X) K[X]. Osoita: Jos P (X) Q(X) Q(X) P (X), niinonu K,jolleP (X) =uq(x). Tehtävä 155. Olkoon K kokonaisalue. Olkoon P (X) K[X] polynomi, olkoot c 1,c,...,c k K polynomin P (X) juuria. Osoita, että on Q(X) K[X], jolle P (X) =(X c 1 )(X c ) (X c k )Q(X). 1 on äärettömän monta ratkaisua Ha- Tehtävä 156. Osoita, että yhtälöllä x = miltonin kvaternioiden vinossa kunnassa. Tehtävä 157. Olkoon K kommutatiivinen rengas. Osoita, että kuvaus, joka liittää polynomiin P (X) K[X] vastaavan polynomifunktion P F (K, K), onrengashomomorfismi. Tehtävä 158. Olkoon p alkuluku. Osoita, että 1+pZ 1+pZ ovat ainoat kunnan Z/pZ alkiot, jotka ovat omat käänteisalkionsa kertolaskun suhteen. Osoita, että Tehtävä 159. Osoita, että jos p on alkuluku. Tehtävä 160. Osoita, että jos q 6 ei ole alkuluku. ( + pz)(3 + pz) (p +pz) =1+pZ. (p 1)! 1 mod p, (q 1)! 0 mod q 15 Vihje: Kerroinrengas Z/16Z ei ole kokonaisalue. 153 Vihje: Käytä ryhmäteoriaa! 156 Vihje: Tarkastele kvaternioita, jotka ovat muotoa ai + bj + ck, a + b + c =1. 78