Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista
|
|
- Pirkko Mäki
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Pro Gradu - tutkielma Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
2 Oulun yliopisto Tiedekunta/osasto/laitos Matemaattisten tieteiden laitos Tiivistelmä opinnäytetyöstä Tekijä Miikka Rytty Työn nimi Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Oppiaine Työn laji Aika Sivumäärä Matematiikka Pro Gradu - tutkielma syyskuu Tiivistelmä Tässä tutkielmassa perehdytään transversaaleihin ja niiden soveltamiseen ryhmien ja luuppien teorioissa. Päähuomio on äärellisissä ryhmissä. Aluksi transversaalien avulla muodostetaan tulosten todistuksissa hyödyllisiä ryhmän toimintoja joukolle, mutta lopuksi tutkitaan miten tietyntyyppisten transversaalien olemassaolo vaikuttaa suoraan ryhmän rakenteeseen. Todistuksissa käytetään pääasiassa ryhmäteorian alkeistuloksia, mutta välillä joudutaan viittaamaan syvällisempiin tuloksiin kuten Feit-Thompsonin lauseeseen. Alussa tarkastelun kohteena ovat ryhmän ali- ja tekijäryhmien komplementtien olemassaolo. Näihin liittyen todistetaan Burnsiden lause, joka osoittaa, että äärellisen ryhmän Sylowin p-aliryhmällä on normaali komplementti, mikäli se sisältyy normalisoijansa keskukseen. Sovellutuksena tästä tarkastellaan äärellisten yksinkertaisten ryhmien kertalukuja. Lisäksi todistetaan Schur- Zassenhausin lause, joka takaa, että äärellisten ryhmien normaaleilla Hallaliryhmillä on komplementti ja että nämä komplementit muodostavat konjugointiluokan. Fuusion käsitettä tutkittaessa saadaan uusia komplementteja koskevia tuloksia. Näistä tärkeimpänä on tulos, joka antaa yhtäpitävän ehdon sille, että ryhmän G nilpotentilla tekijäryhmällä H/J, jolla syt([g : H], H/J ) = 1, on normaali komplementti. Lisäksi todistetaan Frobeniuksen lause, jonka nojalla äärellinen ryhmä G on p-nilpotentti jos ja vain jos tekijäryhmä N G(Q)/C G(Q) on p-ryhmä jokaisella p-ryhmällä Q G. Tutkielman loppupuolella huomio käännetään luuppeihin ja H-yhdistettyihin transversaaleihin. Aluksi tarkastellaan miten H-yhdistetyt transversaalit vaikuttaavat ryhmän rakenteeseen. Lisäksi esitellään ryhmien eräs eiassosiatiivinen yleistys, luuppi, ja näiden kertolaskuryhmät. Näiden päätuloksena todistetaan, että ryhmä G on isomorfinen jonkun luupin kertolaskuryhmän kanssa jos ja vain jos ryhmällä G on aliryhmä H, jolla L G(H) = {1} ja on olemassa kaksi H-yhdistetyttyä transversaalia, jotka generoivat ryhmän G. Lopuksi tehdään pieni huomio liittyen äärellisen ryhmän ratkeavuuteen. Tämän avulla todistetaan, että äärellinen luuppi on ratkeava, mikäli sen sisäisen kertolaskuryhmän kertaluku on kahdeksan. Muita tietoja 1
3 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Perusteita Perustuloksia Ketjut ja ryhmän normaali rakenne Ryhmän toiminta joukolle Transversaalit Perusteita transversaaleista Transversaaleja ryhmän toimintojen kohteena Hall-aliryhmistä ja komplementeista Ryhmä, jonka kaikki Sylowin aliryhmät ovat syklisiä Äärellisen ryhmän normaaleista Hall-aliryhmistä Fuusiosta 42 6 H-yhdistetyt transversaalit 52 7 Luupeista Luupit ja niiden kertolaskuryhmät Luuppien kertolaskuryhmät ja transversaalit Pieni huomio äärellisen ryhmän ja luupin ratkeavuudesta Sananen luuppien ratkeavuudesta
4 1 Johdanto Tässä tutkielmassa perehdytään transversaaleihin ja niiden soveltamiseen ryhmien ja luuppien teorioissa. Päähuomio on äärellisissä ryhmissä. Tutkielman alkuosassa transversaaleja käytetään lähinnä työkaluina tuloksia todistettaessa, mutta lopussa tutkitaan miten tietyntyyppisten transversaalien olemassaolo vaikuttaa suoraan ryhmän rakenteeseen. Aluksi esitellään joukko perustuloksia, joita tarvitaan tutkielman päätuloksien todistuksissa. Tarkempi huomio kohdistetaan nilpotentteihin ryhmiin ja niiden ominaisuuksiin. Lisäksi esitellään ryhmän toiminta joukolle, jota voidaan pitää permutaation yleistyksenä. Kolmannessa kappaleessa tutustutaan transversaalien määritelmään ryhmäteoriassa. Ryhmän G aliryhmän H määräämien transversaalien joukolle määritellään ekvivalenssirelaatio, jonka ekvivalenssiluokkien joukolle kohdistuvaa ryhmän G toimintaa tutkimalla pystytään osoittamaan milloin kommutatiivisella tekijäryhmällä H/J on normaali komplementti ryhmässä G. Neljännessä kappaleessa esitellään Hall-aliryhmän ja p-nilpotenttisuuden käsite. Kolmannen kappaleen tulosten seurauksina esitetään erilaisia ehtoja sille milloin Hall-aliryhmällä on normaali komplementti. Tärkeimpinä lauseina ovat Burnsiden ja Schur-Zassenhausin lauseet. Burnsiden lauseen sovelluksina todistetaan rajoituksia äärellisen yksinkertaisen ryhmän kertaluvulle ja tutkitaan äärellisiä ryhmiä, joiden kaikki Sylowin aliryhmät ovat syklisiä. Lisäksi todistetaan yhteys nilpotenttisuuden ja p-nilpotenttisuuden välille äärellisissä ryhmissä. Fuusion käsite ryhmässä esitellään viidennessä kappaleessa. Tämän sovellutuksina saadaan yleistettyä aikaisempia ryhmän hajoamista koskevia tuloksia. Lisäksi todistetaan Frobeniuksen lause, joka antaa yhtäpitävän ehdon sille milloin äärellinen ryhmä on p-nilpotentti. Kuudennessa kappaleessa käsitellään H-yhdistettyjä transversaaleja ja miten niiden olemassaolo vaikuttaa ryhmän rakenteeseen. Seitsemännessä kappaleessa esitellään luupit, jotka ovat ryhmän eräs ei-assosiatiivinen yleistys. Huomio kiinnitetään luuppien kertolaskuryhmiin, jolloin luuppien rakennetta voidaan tutkia ryhmäteorian avulla. Kappaleen päätuloksena osoitetaan yhtäpitävä ehto sille, että ryhmä on isomorfinen jonkin luupin kertolaskuryhmän kanssa. Viimeisessä kappaleessa käytetään kolmen aikaisemman kappaleen päätuloksia. Näiden avulla saadaan pieni huomio liittyen äärellisen ryhmän ratkeavuuteen, kun tällä on tietyn normaalin rakenteen omaava aliryhmä H ja H-yhdistetyt transversaalit. Tämän seurauksena saadaan osoitettua, että äärellinen luuppi on ratkeava, mikäli sen sisäisen kertolaskuryhmän kertaluku on kahdeksan. 3
5 2 Perusteita Esitiedoiksi vaaditaan ryhmäteorian perusteita (lähteet [5], [6] ja [7]), jotka voi löytää valtaosasta abstraktia algebraa käsittelevistä kirjoista. Jatkossa 1 merkitsee luvun yksi lisäksi myös minkä tahansa ryhmän neutraalialkiota ja joukko {1} on minkä tahansa ryhmän neutraalialkion muodostama aliryhmä. Luonnollisten lukujen joukko N sisältää positiivisten kokonaislukujen Z + lisäksi nollan. Termi suppein sellainen aliryhmä tarkoittaa, että kyseinen aliryhmä sisältyy kaikiin muihin vastaavan ominaisuuden omaaviin aliryhmiin. Vastaavasti myös puhutaan laajimmasta aliryhmästä. Sovitaan, että jatkossa p tulee tarkoittamaan alkulukua ja ϖ merkitsee joukkoa alkulukuja. Tällöin äärellinen ryhmä G on ϖ-ryhmä, mikäli p ϖ aina, kun p jakaa kertaluvun G. Jos ϖ = {p}, niin merkitään vain ϖ = p. Ryhmän G osajoukkojen X 1, X 2,... X n generoimaa aliryhmää merkitään X 1, X 2,... X n. Mikäli osajoukko X i koostuu vain yhdestä alkiosta x i, niin joukon aaltosulkeet voidaan jättää generaattoreiden merkinnästä pois. 2.1 Perustuloksia Aluksi esitellään pari hyödyllistä perustulosta ilman todistuksia. Homomorfismien peruslauseen lisäksi tarvitaan tulosta, jota jatkossa kutsutaan ensimmäiseksi isomorfialauseeksi. Todistus löytyy lähteestä [11], teoreema 3.30 (s. 50). Lause 1 (Ensimmäinen isomorfialause). Olkoon K G. Tällöin jokainen tekijäryhmän G/K aliryhmä on muotoa H/K, missä K H G. Lisäksi H/K G/K jos ja vain jos H G ja tällöin G/H = G/K H/K. Seuraavaa isomorfialausetta tullaan kutsumaan toiseksi isomorfialauseeksi. Sen todistus löytyy lähteestä [11], teoreema 3.40 (s. 56). Lause 2 (Toinen isomorfialause). Olkoon H G ja K G. Tällöin H K H ja HK/K = H/(H K). Lopuksi ilman todistusta otetaan niin kutsuttu Dedekindin sääntö, joka löytyy lähteestä [11] teoreemasta 7.3 (s. 122). Lemma 1 (Dedekindin sääntö). Olkoot A, B ja C ryhmän G aliryhmiä ja B A. Tällöin A (BC) = B(A C) ja (A C)B = A CB. Seuraavassa esitetetään ja todistetaan sekalainen joukko perustuloksia, joita käytetään apuna vaativampien tulosten todistuksissa. Lemma 2. Olkoon G ryhmä, K G ja [G : K] = n. Jos g m K ja syt(n, m) = 1 eräällä g G, niin g K. Lisäksi g n K aina, kun g G. 4
6 Todistus. Oletuksen perusteella (gk) m = g m K = K. Täten alkion (gk) generoiman syklisen ryhmän kertaluku k jakaa luvun m. Toisaalta gk G/K eli kertaluku k jakaa tekijäryhmän kertaluvun n. Nyt siis 1 k syt(n, m) = 1 eli k = 1. Täten gk = K eli g K. Koska g n K = (gk) n = K, niin g n K kaikilla g G. Lause 3. Olkoon G äärellinen Abelin ryhmä ja p alkuluku. Jos p G, niin ryhmällä G on kertalukua p oleva syklinen ryhmä. Lisäksi jokaista kertaluvun G jakajaa n kohti on olemassa kertalukua n oleva ryhmän G aliryhmä. Todistus. Todistetaan ensimmäinen väite induktiolla. Perusaskel on triviaali, joten voidaan olettaa, että G > 1 ja väite pätee tätä kertalukua pienemmillä ryhmillä. Jos ryhmä G on syklinen, niin väite on selvä. Voidaan siis olettaa, että ryhmän G kertaluku m on yhdistetty luku ja p on luvun m eräs aito alkutekijä. Lisäksi tiedetään, että ryhmällä G on ei-triviaali normaali aliryhmä K. Nyt alkuluku p jakaa toisen kertaluvuista K = k tai G/K = n. Ensimmäisessä tapauksessa väite seuraa suoraan induktio-oletuksesta. Toisessa tapauksessa voidaan lisäksi olettaa, että p k. Induktio-oletusta soveltamalla saadaan, että on olemassa sellainen x G \ {1}, että xk = p. Siis x p = y eräällä y K. Tarkastellaan alkiota x k. Jos x k = 1, niin (xk) k = K eli p k, mikä on ristiriita. Siis x k 1. Koska p oli alkuluku ja (x k ) p = y k = 1, niin x k on etsitty syklinen ryhmä. Todistetaan toinenkin väite induktiolla. Perusaskel m = 1 on triviaali ja voidaan olettaa m > 1. Olkoon n m ja 1 < n < m mielivaltainen. Olkoon p eräs luvun n alkutekijöistä. Nyt todistuksen alun perusteella ryhmällä G on syklinen kertalukua p oleva normaali aliryhmä K. Nyt G/K = m p, joten induktiooletusta voidaan soveltaa ja on olemassa sellainen kertalukua n p oleva aliryhmä A/K G/K, missä ensimmäisen isomorfialauseen nojalla K A G. Nyt A = n p K = n. Lemma 3. Olkoon G äärellinen ryhmä ja p alkuluku. Tällöin ryhmällä G on normaali aliryhmä, jolla on indeksi p jos ja vain jos p G/G. Todistus. Olkoon K G ja [G : K] = p. Täten G/K on syklinen ryhmä. Siis G K ja G/G = [G : K] [K : G ] = p [K : G ]. Oletetaan nyt, että p G/G. Merkitään G = abp n ja G = ap k, missä oletuksen nojalla n > k. Nyt G/G = bp n k. Koska G/G on Abelin ryhmä, niin lauseen 3 nojalla sillä on kertalukua bp n k 1 oleva normaali aliryhmä H/G. Nyt ensimmäisen isomorfialauseen nojalla G H G ja H = bp n k 1 G = abp n 1. Lemma 4. Olkoon G ryhmä ja H, K G ja A, B G. Tällöin (i) [A, B] A, B ja erityisesti [A, G] G, (ii) [H, K] H K ja [H, K] G sekä 5
7 (iii) jos lisäksi H K = {1} niin ryhmien H ja K alkiot kommutoivat keskenään. Todistus. [12], (s. 58) ja [11], 3.53 (s. 59) (i) Ensinnäkin [a, bc] = a 1 c 1 b 1 abc = a 1 c 1 acc 1 a 1 b 1 abc = [a, c] [a, b] c ja vastaavasti [ab, c] = [a, c] b [b, c]. Täten [h, k] l = [hl, k] [l, k] 1 [A, B] ja [h, k] m = [h, m] 1 [h, km] [A, B] kaikilla h, l A ja k, m B. Jos u [A, B], niin u = x 1 x 2 x n, missä x i = [y i, z i ] ±1, y i A ja z i B kaikilla i = 1, 2,..., n. Nyt alun perusteella u x [A, B] kaikilla x A B tai x 1 A B. Täten induktiivisesti voidaan päätellä, että jos g A, B, niin u g [A, B] kaikilla u [A, B]. Siis [A, B] g [A, B] ja vastaavasti [A, B] g 1 [A, B], josta väite seuraa. (ii) Koska H G, niin [h, k] = h 1 h k H eli [H, K] H. Vastaavasti [H, K] K. Lisäksi [h, k] g = [h g, k g ] = [h, k ] eräillä h H ja k K. Täten [H, K] = [H, K] g, koska ryhmien generaattorit ovat samat. Siis [H, K] G. (iii) Jos H K = {1}, niin edellisen kohdan nojalla h 1 k 1 hk = 1 eli hk = kh kaikilla h H ja k K. Lemma 5. Olkoon G ryhmä. Olkoon H ja K ovat sellaisia ryhmän G aliryhmiä, että hk = kh kaikilla h H ja k K. Jos A H ja B K, niin [AB, HK] = [A, H] [B, K]. Todistus. Olkoon a A, b B, h H ja k K mielivaltaisia. Tällöin [ab, hk] = b 1 a 1 k 1 h 1 abhk = b 1 k 1 a 1 h 1 ahbk koska [a, h] H. Väite seuraa tästä. = b 1 k 1 [a, h] bk = [a, h] [b, k], Lemma 6. Olkoon G ryhmä, U G ja H G. Tällöin C G (U g ) = C G (U) g ja Z(H g ) = (Z(H)) g kaikilla g G. Todistus. Selvästi xy g = y g x jos ja vain jos x g 1 y = yx g 1 kaikilla x, y, g G. Väite seuraa tästä suoraan joukkojen määritelmien perusteella. Lemma 7. Olkoon G ryhmä ja H, J ja K sen normaaleja aliryhmiä. Jos J H ja H/J Z(G/J), niin HK/JK Z(G/JK). 6
8 Todistus. Oletuksen nojalla h g J = (hj) (gj) = hj kaikilla h H ja g G. Olkoon k K mielivaltainen ja k g = k K. Tällöin ((hk)jk) gjk = (h g k g )JK = h g Jk K = hjkk = (hk)jk eli HK/JK Z(G/JK). Lemma 8. Olkoon G ryhmä ja K G. Jos ryhmät H/K ja J/K konjugoivat ryhmässä G/K, niin aliryhmät H ja J konjugoivat ryhmässä G. Todistus. Oletuksen nojalla on olemassa sellainen g G, että (gk) 1 (H/K)(gK) = J/K. Täten H g /K = J/K eli kaikilla h H pätee h g = j eräällä j J. Siis H g J. Vastaavasti J H g, mistä väite seuraa. Lemma 9. Jos H on ryhmä, niin Z(H) on ryhmän H karakteristinen aliryhmä. Erityisesti jos H G, niin Z(H) G. Todistus. Osoitetaan aluksi, että Z(H) on ryhmän H karakteristinen aliryhmä. Olkoon f : H H ryhmän H automorfismi ja x Z(H). Nyt kuvauksen f bijektiivisyyden nojalla jokaisella y H on olemassa sellainen yksikäsitteinen z H, että y = f(z). Täten f(x)y = f(xz) = f(zx) = yf(x) eli f(x) Z(H). Siis f(z(h)) Z(H). Toisaalta myös f 1 (Z(H)) Z(H) ja ottamalla f puolittain saadaan Z(H) f(z(h)). Koska Z(H) on karakteristinen aliryhmä normaalille ryhmälle H, niin Z(H) G. Määritelmä 1. Olkoon G ryhmä ja H G. Aliryhmä H on intravariantti ryhmässä G, mikäli jokainen ryhmän G automorfismi kuvaa ryhmän H konjugaatilleen ryhmässä G. Lemma 10. Olkoon G ryhmä ja H K G. Jos aliryhmä H on intravariantti ryhmässä K, niin G = N G (H)K. Todistus. Olkoon τ g : G G, τ g (x) = x g. Nyt kuvauksen τ g rajoittuma aliryhmään K on ryhmän K automorfismi, koska τ g (K) = K g = K. Täten kaikilla g G on olemassa sellainen k K, että τ g (H) = H g = H k. Täten gk 1 N G (H) kaikilla g G, mistä väite seuraa. Sylowin lauseiden nojalla Sylowin p-aliryhmät ovat intravariantteja ryhmissään. Täten edellisestä lemmasta saadaan Frattinin lemma. Jos K on äärellisen ryhmä G normaali aliryhmä ja P on ryhmän K Sylowin p-aliryhmä, niin G = N G (P )K. Lemma 11. Olkoon G äärellinen Abelin ryhmä. Tällöin G on syklinen jos ja vain jos ryhmän G jokainen Sylowin aliryhmä on syklinen. 7
9 Todistus. Jos G on syklinen, niin triviaalisti sen kaikki aliryhmät ovat syklisiä. Oletetaan nyt, että G on Abelin ryhmä ja G = p n1 1 pns s, missä luvut p i ovat kertaluvun alkutekijät. Olkoon lisäksi P i ryhmän G Sylowin p i -aliryhmä ja P i = x i. Merkitään J k = kaikilla k = 1,..., s. Koska P i G, niin tulon järjestyksellä ei ole merkitystä. Osoitetaan induktiivisesti, että aliryhmä J k G on syklinen ja että J k = k i=1 k i=1 P i p ni i. Perusaskel k = 1 on selvä. Oletetaan nyt, että väite on tosi, kun k < m. Nyt J m = J m 1 P m. Toisen isomorfialauseen perusteella J m 1 P m /P m = Jm 1 /(J m 1 P m ). Koska J m 1 P m sisältyy aliryhmiin J m 1 ja P m täytyy sen kertaluku olla 1. Täten J m = J m 1 P m = m i=1 p ni i. Toisaalta koska J m 1 = x, P m = x m, syt( x, x m ) = 1 ja alkiot x ja x m kommutoivat ryhmässä G, niin xx m = J m, mikä todistaakin induktioväitteen. Lemma 12. Äärellisen ryhmän G Sylowin p-aliryhmät ovat keskenään isomorfisia. Todistus. Olkoon P mielivaltainen ryhmän G Sylowin p-aliryhmä. Määritellään funktio f g : G G, f g (x) = x g kaikilla g G. Nyt f g (P ) = P g käy Sylowin lauseiden nojalla läpi kaikki ryhmän G Sylowin p-aliryhmät, kun g käy läpi ryhmän G alkiot, ja funktion f g rajoittuma joukkoon P on haluttu bijektiivinen isomorfismi. Lemma 13. Olkoon G äärellinen ryhmä, jonka kaikki Sylowin p-aliryhmät ovat syklisiä. Jos H G, niin kaikki ryhmän H Sylowin p-aliryhmät ovat syklisiä. Jos K G, niin kaikki tekijäryhmän G/K Sylowin p-aliryhmät ovat syklisiä. Todistus. Olkoon H G. Jos P on ryhmän H Sylowin p-aliryhmä, niin se on myös ryhmän G p-aliryhmä. Sylowin lauseiden nojalla se sisältyy johonkin ryhmän G Sylowin p-aliryhmään, josta ensimmäinen väite seuraa. Olkoon K G. Olkoon K = kp n ja G = mkp l+n, missä p k, m. Tällöin H/K on ryhmän G/K Sylowin p-aliryhmä jos ja vain jos H/K = p l. Sylowin 8
10 lauseiden nojalla ryhmällä K on olemassa Sylowin p-aliryhmä, joka on aliryhmänä jossain ryhmän G Sylowin p-aliryhmässä P. Tällöin K P = p n. Toisen isomorfialauseen nojalla P K K = P P K ja P K/K = p l. Jos P on syklinen, niin sen tekijäryhmät ovat syklisiä eli P K/K on ryhmän G/K syklinen Sylowin p-aliryhmä. Väite seuraa nyt lemmasta 12. Lemma 14. Olkoon G äärellinen kertalukua n oleva syklinen ryhmä. Tällöin Aut(G) = Z n ja Aut(G) = ϕ(n). Todistus. Koska kaikki äärelliset sykliset ryhmät ovat keskenään isomorfisia, niin riittää tarkastella yhteenlaskuryhmää Z n. Tarkastellaan kuvaksia ρ x : Z n Z n, ρ x ([a]) = [ax], missä 0 < x < n ja syt(n, x) = 1. Ne ovat homomorfismeja ja ρ x ([a]) = [ax] = [0] jos ja vain jos [a] = [0]. Tämä pätee, koska syt(n, x) = 1, joten n ax jos ja vain jos n a. Siis Ker(ρ x ) = {[0]} eli kuvaus ρ x : Z n Z n on injektio äärelliseltä joukolta itselleen, joten se on myös bijektio. Täten se on joukon Z n automorfismi. Nyt kuvaus ρ : Z n Aut(Z n ), [x] ρ x on distributiivisuuden nojalla homomorfismi. Toisaalta, jos ρ x = ρ y, niin [ax] = [ay] kaikilla a Z. Täten n a(x y) ja koska luvun a Z sai valita vapaasti, niin n (x y) eli [x] = [y]. Siis kuvaus ρ on injektio. Jos σ Aut(Z n ), niin σ([a1]) = aσ([1]) kaikilla a Z. Valitaan σ([1]) [x], missä 0 < x < n. Jos olisi olemassa sellainen alkuluku p, että p n ja p x, niin n = bp ja x = cp eli bx = nc, missä 0 < b < n. Tällöin σ([b]) = [bx] = [nc] = [0] eli [0] [b] Ker(σ), jolloin σ ei olisi joukon Z n automorfismi. Täten syt(n, x) = 1 eli σ = ρ x eräällä [x] Z n. Täten kuvaus ρ on surjektio. Siis kuvaus ρ : Z n Aut(Z n ) on isomorfia. Erityisesti Aut(Z n ) = Z n = ϕ(n). Lemma 15. Olkoon G ei-syklinen ryhmä, jonka kertaluku on alkuluvun p neliö. Tällöin Aut(G) = p(p + 1)(p 1) 2. Todistus. Koska ryhmän G kertaluku on alkuluvun neliö, niin se on Abelin ryhmä. Sylowin lauseiden nojalla sillä on kertalukua p oleva aliryhmä P. Täten P = x eräällä x G. Jos y G \ P, niin ryhmän G ei-syklisuuden nojalla alkion y kertaluku on p. Merkitään Q = y. Tällöin P Q = {1} ja P Q = P Q P Q = p2 9
11 eli G = P Q. Muodostetaan automorfismi σ : G G. Ensiksi täytyy valita σ(1) = 1. Alkion x kuva σ(x) voidaan valita nyt p 2 1 eri tavalla. Asetetaan σ(x k ) = (σ(x)) k, jolloin määrätään alkioiden x, x 2,..., x p 1 kuvat. Alkion y kuva σ(y) voidaan nyt valita p 2 p eri tavalla, jotta σ voisi säilyä injektiivisenä. Asetetaan σ(y k ) = (σ(y)) k, jolloin määrätään alkioiden y, y 2,..., y p 1 kuvat. Asetetaan vielä σ(x k y n ) = (σ(x)) k (σ(y)) n kaikilla n, k Z. Koska G = P Q, niin jokainen ryhmän G alkio voidaan esittää alkioiden x ja y potensseina ja täten kaikille alkioille g G on määrätty kuva. Kuvaus σ on nyt todella homomorfismi, sillä kaikilla a, b, c, d Z pätee σ((x a y b )(x c y d )) = σ(x a )σ(x c )σ(y b )σ(y d ) = σ(x a y b )σ(x c y d ), koska G oli Abelin ryhmä. Siis Aut(G) = (p 2 1)(p 2 p) = p(p + 1)(p 1) 2. Lemma 16. Olkoon G = x, y syklinen p-ryhmä. Tällöin G = x tai G = y. Todistus. Olkoon G = p n. Koska G on syklinen, niin jokaista 0 k < n kohti on täsmälleen yksi kertalukua p k oleva aliryhmä. Nyt rajoituksetta voidaan olettaa, että y x, jolloin y x. Täten täytyy päteä, että G = x. Määritelmä 2. Olkoon p annettu alkuluku. Prüferin p-ryhmä on joukko C p = {e 2πni p m m, n Z + } varustettuna kompleksilukujen kertolaskulla. Prüferin p-ryhmän todentaminen ryhmäksi on helppoa. Lisäksi se on Abelin ryhmä, jonka neutraalialkio on e 2πi = 1 ja sen jokaisen alkion x 1 kertaluku on jokin luvun p aito potenssi. Lemma 17. Jos {1} < H < C p, niin H on äärellinen syklinen p-ryhmä. Lisäksi jokainen ryhmän C p äärellinen osajoukko generoi äärellisen ryhmän ja {1} < C p < C p 2 < C p 3 <... < C p, missä C n on kertalukua n oleva syklinen ryhmä. Todistus. Osoitetaan, että jos alkion x kertaluku on pienempi kuin kertalukua p k olevan alkion y, niin x kuuluu alkion y generoimaan kertalukua p k olevaan sykliseen ryhmään. Olkoon x = e 2πni p m, missä m, n Z +. Rajoituksetta voidaan olettaa, että n = 1. Olkoon y = e 2πli p k H 10
12 kertaluvun p k alkio. Täten syt(l, p) = 1, joten rajoituksetta voidaan olettaa, että l = 1. Oletetaan, että k = m + r, missä r > 0. Nyt y pr = e 2πi p m+r pr = x, joten x y. Täten jos {1} < H < C p, niin voidaan valita x C p \ H. Koska jokaisen ryhmän C p alkion kertaluku on äärellinen, niin alun perusteella H x, josta ensimmäinen väite seuraa. Toisaalta ryhmän C p äärellisen osajoukon generoima aliryhmä on alun tuloksen nojalla sen kertaluvultaan suurimman alkion generoima aliryhmä. Selvästi ryhmällä C p on kertalukua p k olevia alkioita kaikilla k Z +, joten viimeinen väitekin on todistettu. Määritelmä 3. Dihedraalinen ryhmä D 2n, missä n 2, on kertalukua 2n oleva ryhmä, jonka generoivat sellaiset kertalukua n oleva alkio x ja kertalukua 2 oleva alkio y, että x n 1 = yxy. Lemma 18. Olkoon G kertalukua 8 oleva ryhmä, jolla on aliryhmä, joka ei ole normaali ryhmässä G. Tällöin G = D 8. Todistus. Selvästi G ei ole Abelin ryhmä ja sillä voi olla vain kertalukua 1, 2 tai 4 olevia alkioita. Jos kaikkien ryhmän G alkioiden x 1 kertaluku on 2, niin G on Abelin ryhmä. Täten voidaan olettaa, että on olemassa kertalukua 4 oleva syklinen aliryhmä H = x. Koska [G : H] = 2, niin H G. Samalla periaatteella jokainen kertalukua 4 oleva ryhmä on normaali ryhmässä G. Koska H on syklinen ryhmä, niin sillä on yksikäsitteinen kertalukua 2 oleva aliryhmä N. Jos N olisi ryhmän G ainoa kertalukua 2 oleva aliryhmä, niin N G, jolloin ryhmän G jokainen aliryhmä olisi normaali ryhmässä G. Siis on olemassa sellainen kertalukua 2 oleva aliryhmä K = y, että H K = {1}. Koska G = HK, niin lemman 4 nojalla K ei ole normaali ryhmässä G ja lisäksi x ei voi kommutoida alkion y kanssa. Toisaalta G = H Hy. Nyt joko x 3 yx, xyx 3 tai x 2 yx 2 ei kuulu ryhmään K. Selvästi yksikään näistä kolmesta alkiosta ei voi olla muotoa x, x 2 tai x 3. Jos x 3 yx K, niin tällöin se on joko xy, x 2 y tai x 3 y. Jos x 3 yx = xy, niin yx = x 2 y eli x 2 = yxy. Tällöin 1 = x 4 = yx 2 y eli x 2 = 1, mikä on ristiriita. Jos x 3 yx = x 3 y, niin yx = x, mikä on ristiriita. Jos xyx 3 K, niin tällöin se on joko xy, x 2 y tai x 3 y. Jos xyx 3 = xy, niin yx 3 = y, mikä on ristiriita. Mikäli xyx 3 = x 3 y, niin x 2 yx 3 = y eli x 2 y = yx, mikä aikaisemman on mahdotonta. Jos x 2 yx 2 K, niin se on joko xy, x 2 y tai x 3 y. Jos x 2 yx 2 = xy, niin yx 2 = x 3 y ja käänteisalkiot ottamalla saadaan, että x 2 y = yx, mikä johtaa ristiriitaan aikaisemman nojalla. Jos x 2 yx 2 = x 2 y, niin yx 2 = y, mikä on selvä ristiriita. Jos x 2 yx 2 = x 3 y, niin yx 2 = xy eli x 2 = yxy, mikä aikaisemman nojalla on mahdotonta. 11
13 Siis on vain mahdollista, että x 3 yx = x 2 y tai xyx 3 = x 2 y. Ensimmäisessä tapauksessa yx = x 3 y eli x 3 = yxy. Toisessa tapauksessa käänteisalkiot ottamalla saadaan, että xyx 3 = yx 2 eli xy = yx 3. Siis tällöinkin x 3 = yxy. Täten G = D Ketjut ja ryhmän normaali rakenne Määritelmä 4. Ryhmän G ketju on {1} = G 0 G 1 G 2... G n = G. Ketjussa olevien peräkkäisten ryhmien tekijäryhmiä G i+1 /G i, i = 0, 1,..., n 1 sanotaan ryhmän G tekijöiksi. Ryhmän G tekijä H/K on keskeinen, jos K G ja H/K Z(G/K). Ryhmä G on nilpotentti, jos sillä on olemassa ketju, jonka jokainen tekijä on keskeinen. Määritelmien nojalla on selvää, että jokainen Abelin ryhmä on nilpotentti. Seuraava lemma osoittaa, että on olemassa nilpotentteja ryhmiä, jotka eivät ole kommutatiivisia. Lemma 19. Olkoon G äärellinen p-ryhmä. Tällöin G on nilpotentti. Todistus. [11], 7.44 (s. 145) Todistetaan väite induktiolla. Perusaskel on triviaali, joten voidaan olettaa, että {1} < Z(G) < G. Induktio-oletuksen nojalla G/Z(G) on nilpotentti p-ryhmä. Ensimmäisen isomorfialauseen nojalla on olemassa aliryhmät Z(G) G 1 G 2... G n = G, joilla G i+1 /G i = G i+1 /Z(G) G i /Z(G) Z ( ) G/Z(G) G i /Z(G) = Z(G/G i ) ja G i G kaikilla i = 1,..., n 1. Nyt {1} Z(G) G 1 G 2... G n = G on ryhmän G ketju, jonka jokainen tekijä on keskeinen. Lemma 20. Olkoon G ryhmä, K H G. Tällöin K G ja H/K Z(G/K) jos ja vain jos [H, G] K Todistus. [11], 7.45 (s. 145) Olkoon K G ja H/K Z(G/K). Jos x H ja y G, niin (xk)(yk) = (yk)(xk) eli [x, y] K = K. Siis [H, G] K. Oletetaan, että [H, G] K. Tällöin kaikilla x H ja y G pätee, että x y xk. Valitsemalla x K H huomataan, että K G. Toisaalta (xy)k = (yx)k kaikilla x H ja y G, joten H/K Z(G/K). Lemma 21. Olkoon G nilpotentti ryhmä. Tällöin (i) jos H G, niin ryhmä H on nilpotentti, (ii) jos f : G f(g) on homomorfismi, niin f(g) on nilpotentti ryhmä ja (iii) jos K G, niin tekijäryhmä G/K on nilpotentti. 12
14 Todistus. [11], 7.46 (s. 146) ja [12], (s. 142) Olkoon {1} = G 0 G 1 G 2... G n = G ryhmän G ketju, jossa jokainen tekijä on keskeinen. Siis [G i+1, G] G i kaikilla i = 0, 1,..., n 1. (i) Olkoon H G. Nyt {1} = G 0 H G 1 H G 2 H... G n H = H on ryhmän H ketju. Nyt kaikilla i = 0, 1,..., n 1 pätee G i H H ja [G i+1 H, H] [G i+1, G] H G i H. Täten jokainen yllä olevan ketjun tekijä on keskeinen ja täten aliryhmä H on nilpotentti. (ii) Oletetaan, että f : G f(g) on homomorfismi. Tällöin f on surjektio ja {1} = f(g 0 ) f(g 1 ) f(g 2 )... f(g n ) = f(g). Olkoon i = 0, 1,..., n 1 valittu ja x f(g i+1 ) ja y f(g) mielivaltaisia. Siis on olemassa sellaiset x G i+1 ja y G, että x = f(x) ja y = f(y). Nyt [x, y ] = f([x, y]) f(g i ) eli [f(g i+1 ), f(g)] f(g i ). Täten ryhmä f(g) on nilpotentti. (iii) Jos K G, niin f : G G/K, f(x) = xk on surjektiivinen homomorfismi eli f(k) = G/K. Väite seuraa nyt edellisestä kohdasta. Määritelmä 5. Määritellään ryhmän G aliryhmät Γ n (G) ja Z n (G) induktiivisesti asettamalla Γ 1 (G) = G ja Z 0 (G) = {1} sekä ( ) Z i (G) Γ i+1 (G) = [Γ i (G), G] ja Z i 1 (G) = Z G Z i 1 (G) kaikilla i Z +. Lemman 4 nojalla Γ n (G) G kaikilla n Z +. Nyt jos Γ n (G) = {1} eräällä n Z +, niin lemman 20 nojalla ketjun Γ n (G) Γ n 1 (G)... Γ 1 (G) tekijät ovat keskeisiä. Koska ryhmän keskus on normaali aliryhmä, niin Z n (G) G kaikilla n N. Jos Z n (G) = G eräällä n N, niin määritelmän nojalla ketjun Z 0 (G) Z 1 (G)... Z n (G) tekijät ovat keskeisiä. Lemma 22. Olkoon G ryhmä. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitävät (i) ryhmä G on nilpotentti, (ii) Γ n (G) = {1} eräällä n Z + ja 13
15 (iii) Z m (G) = G eräällä m N. Todistus. [11], 7.54 (s. 152) Oletetaan, että G on nilpotentti. Tällöin on olemassa ryhmän G ketju {1} = G n G n 1... G 1 = G, missä [G i, G] G i+1 kaikilla i = 1, 2..., n 1. Osoitetaan, että Γ i (G) G i kaikilla i = 1, 2..., n. Perusaskel k = 0 on selvä. Oletetaan siis, että k > 0 ja Γ k 1 (G) G k 1. Nyt Γ k (G) = [Γ k 1 (G), G] [G k 1, G] G k. Täten induktioväite menee läpi ja Γ n (G) = {1}. Vaihdetaan ryhmän G keskeisen ketjun indeksointia {1} = G 0 G 1... G m = G ja osoitetaan, että G i Z i (G) kaikilla i N. Perusaskel on selvä, joten oletetaan, että i > 0 ja G i 1 Z i 1 (G). Tällöin G i 1 Z i 1 (G) = Z i 1 (G) ja lemman 7 nojalla G i Z i (G) Z i 1 (G) = G iz i (G) G i 1 Z i 1 (G) Z ( G G i 1 Z i 1 (G) ) ( = Z G Z i 1 (G) ) = Z i (G) Z i 1 (G) eli G i Z i (G). Siis induktioväite menee läpi. Toisiin suuntiin väitteet ovat selvät lemmaa edeltävien huomautuksien nojalla. Todistuksen nojalla nilpotentin ryhmän G ketju Γ n (G) Γ n 1 (G)... Γ 1 (G) on ryhmän G nopeiten supistuva keskeinen ketju. Täten tämän ketjun nimitys alin keskeisketju on osuva. Lisäksi koska ketjun tekijät Γ n (G) /Γ n+1 (G) ovat kommutatiivisia, niin induktiivisesti nähdään, että G (n) Γ n+1 (G) kaikilla n Z +. Täten jokainen nilpotentti ryhmä on myös ratkeava. Toiseen suuntaan tämä ei pidä paikkaansa, kuten symmetrinen ryhmä S 3 osoittaa. Toisaalta nilpotentin ryhmän G ketju Z 0 (G) Z 1 (G)... Z n (G) on nopeimmin kasvava keskeinen ketju. Täten tämän ketjun nimitys ylin keskeisketju on sattuva. Lemma 23. Olkoon G ryhmä. Jos Z 1 (G) > {1}, niin Z(G) > {1}. Erityisesti kaikilla ei-triviaaleilla nilpotenteilla ryhmillä on ei-triviaali keskus. Todistus. Nyt Z(G) = Z(G/Z 0 (G)) = Z 1 (G) /Z 0 (G) = Z 1 (G) > {1} eli ensimmäinen väite on selvä. Jos G > {1} on nilpotentti, niin lemman 22 nojalla Z 1 (G) > {1}. Lemma 24. Olkoon G äärellinen ryhmä. Jos kaikilla H < G pätee H < N G (H), niin jokainen ryhmän G Sylowin p-aliryhmä on normaali ryhmässä G kaikilla alkuluvuilla p. Erityisesti tämä pätee kaikille äärellisille nilpotenteille ryhmille. 14
16 Todistus. [12], ja (s. 143) Ensimmäinen väite on selvä, jos Sylowin p-aliryhmä P = G. Voidaan siis olettaa, että P < G. Jos P ei ole normaali ryhmässä G, niin N G (P ) < G ja oletuksen nojalla P < N G (P ) < N G (N G (P )). Koska ryhmä P on ryhmän N G (P ) ainoa Sylowin p-aliryhmä, niin P on karakteristinen ryhmässä N G (P ). Koska N G (P ) N G (N G (P )), niin P N G (N G (P )) eli N G (P ) = N G (N G (P )), mikä on ristiriita. Siis P G. Olkoon H < G. Lemman 22 nojalla voidaan valita sellainen k Z +, että Γ k+1 (G) H ja on olemassa alkio x Γ k (G) \ H. Valitaan h H. Tällöin x 1 hxh 1 = [ x, h 1] [Γ k (G), G] = Γ k+1 (G) H. Täten h x H eli x N G (H). Siis H < N G (H). Myöhemmin lemmassa 50 yleistetään tätä tulosta. Lause 4. Olkoon G äärellinen ryhmä. Tällöin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä (i) ryhmä G on nilpotentti, (ii) jos H < G, niin H < N G (H) ja (iii) jokainen ryhmän G Sylowin p-aliryhmä on normaali ryhmässä G kaikilla alkuluvuilla p. Todistus. [11], 11.3 (s. 266) Lemman 24 nojalla tarvitsee vain osoittaa, että väitteestä (iii) seuraa väite (i). Olkoon G = p ni 1 pn2 2 pn k k, missä p i ovat eri alkulukuja. Jos P i on Sylowin p i -aliryhmä, niin P i G kaikilla i = 1, 2,... k. Lisäksi P i P j = {1} eli lemman 4 nojalla ryhmien P i ja P j alkiot kommutoivat keskenään kaikilla i j. Vastaavasti, jos H = P 1 P 2 P i, niin H G ja ryhmien H ja P = P i+1 alkiot kommutoivat keskenään. Osoitetaan induktiolla, että Γ n (HP ) = Γ n (H) Γ n (P ). Perusaskel on selvä, joten oletetaan n > 1. Tällöin lemman 5 nojalla Γ n+1 (HP ) = [Γ n (HP ), HP ] = [Γ n (H) Γ n (P ), HP ] = [Γ n (H), H] [Γ n (P ), P ] = Γ n+1 (H) Γ n+1 (P ). Täten induktioväite menee läpi. Selvästi G = P 1 P 2 P k eli induktiivisesti voidaan päätellä, että Γ n (G) = k Γ n (P i ). i=1 Koska p-ryhmät olivat nilpotentteja ja k on äärellinen, niin voidaan valita sellainen m Z +, että Γ m (P i ) = {1} kaikilla i = 1, 2,..., k eli Γ m (G) = {1}. Myöhemmin lauseessa 10 ja lemmassa 5 esitetään lisää äärellisissä ryhmissä nilpotenttisuuden kanssa yhtäpitäviä ehtoja. 15
17 Määritelmä 6. Ryhmän G kompositioketju on {1} = G 0 G 1... G n = G, missä H = G i+1 aina, kun G i H G i+1 jokaisella i = 0, 1,..., n 1. Lemma 25. Olkoon G äärellinen, ratkeava ja yksinkertainen ryhmä. Tällöin ryhmä G on syklinen ja sen kertaluku on alkuluku. Todistus. [11], 7.55 (s. 153) Koska G on ratkeava, niin G G. Yksinkertaisuuden nojalla voidaan ensiksi päätellä, että G = {1} eli G on Abelin ryhmä ja toiseksi, että G on syklinen. Nyt G voi olla yksinkertainen vain jos sen kertaluku on alkuluku. Lemma 26. Kompositioketjun jokainen tekijä on yksinkertainen. Jos G on ratkeava äärellinen ryhmä, niin ryhmän G kompositioketjun tekijöiden kertaluku on alkuluku. Todistus. Olkoon G i+1 /G i mielivaltainen kompositioketjun tekijä. Jos olisi {1} < H/G i G i+1 /G i, niin toisen isomorfialauseen perusteella G i H G i+1, mikä on ristiriita. Täten tekijä G i+1 /G i on yksinkertainen. Oletetaan lisäksi, että G on ratkeava äärellinen ryhmä. Tällöin tekijäryhmä on G i+1 /G i on myös ratkeava ja väite seuraa lemmasta 25. Lemma 27. Olkoon G äärellinen ryhmä ja K G. Tällöin ryhmälle G voidaan muodostaa kompositioketju, jossa K on eräänä aliryhmänä. Todistus. [11], 1.8 (s. 8) Todistetaan väite induktiolla ryhmän G kertaluvun mukaan. Jos G = 1, niin väite on triviaali. Olkoon G > 1 ja oletetaan, että väite pätee, jos ryhmän kertaluku on lukua G pienempi. Jos K = {1} tai K = G, niin riittää muodostaa vain jokin kompositioketju. Tällöin valitaan kertaluvultaan laajin sellainen aliryhmä H, että H G. Nyt ryhmällä H on kompositioketju {1} = H 0... H n = H ja ryhmän G kompositioketju on {1} = H 0... H n = H G. Jos K ei ole triviaali aliryhmä, niin valitaan laajin sellainen aliryhmä L, että K L G. Mahdollisesti täytyy valita L = K, mutta joka tapauksessa ryhmällä L on kompositioketju {1} = G 0... L, jossa K on yhtenä aliryhmänä. Tällöin haluttu ryhmän G kompositioketju on {1} = G 0... L G. Määritelmä 7. Ryhmän G pääketju on {1} = G 0 < G 1 <... < G n = G, missä G i G ja jos H G ja G i < H G i+1, niin H = G i+1 kaikilla i = 0, 1,..., n 1. Pääketjun tekijöitä G i+1 /G i kutsutaan ryhmän G päätekijöiksi. Määritelmä 8. Ryhmän G normaali aliryhmä N > {1} on ryhmän G minimaalinen normaali aliryhmä, mikäli ehdoista {1} < L N ja L G seuraa, että N = L. 16
18 Lemma 28. Olkoon G äärellinen ryhmä sekä H ja K ryhmän G normaaleja aliryhmiä, missä K < H. Tällöin H/K on ryhmän G eräs päätekijä jos ja vain jos ryhmä H/K on ryhmän G/K on minimaalinen normaali aliryhmä. Todistus. [11], 7.36 (s. 142) Oletetaan, että H ja K ovat ovat erään ryhmän G pääketjun aliryhmiä. Jos olisi olemassa sellainen L G, että {1} < L/K H/K, niin K < L H eli L = H. Siis H/K on ryhmän G/K minimaalinen normaali aliryhmä. Oletetaan, että H/K on ryhmän G/K minimaalinen normaali aliryhmä. Tällöin jos K < L H ja L G, niin H = L. Merkitään H = M 0 ja valitaan nyt laajin sellainen aliryhmä M 1, että H < M 1 G. Jatketaan tätä induktiivisesti valitsemalla laajin sellainen aliryhmä M i+1 G, että H < M i+1 < M i kaikilla i Z +. Koska G on äärellinen, niin on olemassa sellainen k N, että aliryhmän M k jälkeen valintaa ei voida enää tehdä. Vastaavalla tavalla merkitään K = L 0 ja induktiivisesti valitaan laajin sellainen L i G, että L i < K kaikilla i Z +. Koska K on äärellinen ryhmä, niin on olemassa sellainen m N, että aliryhmän L m jälkeen valintaa ei voida enää tehdä. Nyt {1} = L m... L 0 = K H = M 0 M k... M 1 G on kysytty ryhmän G pääketju. Lause 5. Olkoon G äärellinen ryhmä. Tällöin ryhmä G on nilpotentti jos ja vain jos jokainen päätekijä on keskeinen. Todistus. [11], 7.58 (s. 154) Oletetaan, että ryhmä G on nilpotentti ja olkoon L = H/K eräs ryhmän G päätekijä. Lemman 28 nojalla L on ryhmän M = G/K minimaalinen normaali aliryhmä. Koska lemman 21 nojalla ryhmä M on myös nilpotentti, niin Γ n (M) = {1} eräällä n Z +. Nyt lemman 4 nojalla [L, M] M ja [L, M] L. Koska L on minimaalinen normaali aliryhmä, niin joko [L, M] = L tai [L, M] = {1}. Jos [L, M] = L, niin osoitetaan induktiivisesti, että L Γ k (M) kaikilla k Z +. Perusaskel k = 1 on selvä, joten oletetaan k > 1 ja [L, M] Γ k 1 (M). Nyt L = [L, M] [Γ k 1 (M), M] = Γ k (M) eli induktioväite menee läpi. Siis 1 < L Γ n (M) = {1}, mikä on ristiriita. Täten [L, M] = {1} eli L Z(M) eli tekijä L = H/K on keskeinen. Jos ryhmän G mielivaltaisen pääketjun jokainen päätekijä on keskeinen, niin tämä pääketju osoittaa ryhmän G nilpotentiksi. 2.3 Ryhmän toiminta joukolle Jatkossa tarvitaan työkaluina ryhmän toimintoja ei-tyhjälle joukoille X. Ne voidaan ajatella joukon X permutaatioiden yleistyksinä. Näitä käsitellessä tarkastellaan homomorfismeja ryhmältä G ryhmälle S X. Tällöin joudutaan pyörittämään kuvauksia ja niiden yhdistämisiä, joille otetaan käyttöön merkinnät τ(x) = xτ ja (σ τ)(x) = σ(τ(x)) = σ(xτ) = (xτ)σ = x(τσ). 17
19 Molempia merkintöjä tullaan käyttämään tilanteesta riippuen, mutta niitä ei käytetä samoissa lausekkeissa sekaannuksien välttämiseksi. Määritelmä 9. Olkoon G ryhmä ja X ei-tyhjä joukko. Ryhmän G vasen toiminta joukolle X on binäärinen funktio G X X, joka toteuttaa ehdot (g 1 g 2 )x = g 1 (g 2 x) ja 1x = x kaikilla g 1, g 2 G ja x X, missä gx on parin (g, x) kuva. Tällöin sanotaan, että ryhmä G toimii joukolle X vasemmalta. Vastaavalla tavalla määritellään kuinka ryhmä G toimii joukolle X oikealta. Mikäli ryhmästä, joukosta tai siitä kummalta puolelta ryhmä toimii ei ole epäselvyyttä, voidaan ne jättää mainitsematta. Lemma 29. Olkoon G ryhmä, joka toimii ei-tyhjälle joukolle X vasemmalta. Tällöin kuvaus λ g : X X, λ g (x) = gx on joukon X permutaatio jokaisella g G. Lisäksi kuvaus λ : G S X, λ (g) = λ g 1 on homomorfismi. Todistus. [11], 4.3 (s. 69) ja (s. 237) Ensiksi xλ (g1g 2) = (g 1 g 2 )x = g 1 (g 2 x) = g 1 (xλ g2 ) = (xλ g2 )λ g1 kaikilla g 1, g 2 G ja x X eli λ (g1g 2) = λ g2 λ g1. Lisäksi λ 1 = (1) S X. Nyt xλ (gg 1 ) = (gg 1 )x = x = (g 1 g)x = xλ (g 1 g) kaikilla g G ja x X. Siis λ g λ g 1 = (1) = λ g 1λ g eli jokaisella kuvauksella λ g on käänteiskuvaus. Siis kuvaukset λ g : X X ovat bijektioita eli ne ovat joukon X permutaatioita. Toisaalta λ (g 1 g 2 ) = λ (g 1 2 g 1 1 ) = λ g 1 1 eli kuvaus λ : G S X on homomorfismi. λ g 1 2 = λ (g 1 )λ (g 2 ) Kuvausta λ kutsutaan ryhmän toiminnon permutaatioesitykseksi. Jos tämä permutaatioesitys on injektiivinen, niin ryhmän toimintoa sanotaan uskolliseksi. Siis uskollisella ryhmän toiminnolla pätee, että jos λ g 1 = λ h 1, niin g = h. Kuten muutkin lemmat, tämä lemma saadaan pienillä muutoksilla todistettua myös ryhmän G oikealle toiminnolle joukolle X. Tosin tässä tapauksessa permutaatioesitykseksi pitää valita kuvaus λ : G S X, λ (g) = λ g. Tällöin uskollisella toiminnolla pätee, että jos λ g = λ h, niin g = h. Määritelmä 10. Olkoon G ryhmä, joka toimii ei-tyhjälle joukolle X vasemmalta. Tällöin alkion x X rata on joukko {gx g G} ja stabilisoija on joukko Stab G (x) = {g G gx = x}. Jos joukon X kaikki alkiot kuuluvat samaan rataan, niin ryhmän toiminto on transitiivinen. Jos toiminto on transitiivinen ja Stab G (x) = {1} kaikilla x X, niin toiminto on säännöllinen. 18
20 Helposti voidaan nähdä, että alkion x X rata on joukon X ekvivalenssiluokka ja Stab G (x) G. Lemma 30. Olkoon G ryhmä, joka toimii ei-tyhjälle joukolle X vasemmalta. Jos Stab G (x) = {1} eräällä x X, niin toiminto on uskollinen. Todistus. Osoitetaan siis toimintoa vastaavan permutaatioesityksen injektiivisyys. Oletetaan, että λ g 1 = λ h 1 eräillä g, h G ja osoitetaan, että g = h. Täten g 1 x = h 1 x, jolloin 1x = gh 1 x. Siis mistä väite seuraa. gh 1 Stab G (x) = {1}, Erityisesti tästä seuraa, että säännölliset toiminnot ovat uskollisia. Lemma 31. Olkoon G ryhmä, joka toimii ei-tyhjälle joukolle X vasemmalta. Tällöin kaikilla x X ja g G. Stab G (gx) = g Stab G (x) g 1 Todistus. Olkoon x X ja g G mielivaltaisia. Nyt y Stab G (gx) jos ja vain jos y(gx) = gx eli y g x = x. Tämä on yhtäpitävää ehdon y g Stab G (x) kanssa. Lauseen väite seuraa tästä. Jos G S X, niin ryhmä G toimii joukolle X joko oikealta tai vasemmalta, merkinnästä riippuen. Tätä ryhmän G toimintoa sanotaan luonnolliseksi toiminnoksi. Lemma 32. Olkoon X ei-tyhjä joukko ja A S X Abelin ryhmä. Jos ryhmän A luonnollinen toiminto on transitiivinen joukolle X, niin A = C SX (A). Todistus. [11], (s. 238) Koska A on kommutatiivinen ryhmä, niin A C SX (A). Otetaan mielivaltainen c C SX (A) ja osoitetaan, että c A. Transitiivisyyden nojalla jokaisella x X voidaan valita sellainen a A, että xa = xc. Nyt kaikilla a A pätee, että (xa )a = (xa)a = (xc)a = (xa )c. Koska ryhmän A määräämä toiminto on transitiivinen joukossa X ja alkion a A sai valita vapaasti, niin alkio xa X käy läpi kaikki joukon X alkiot. Siis xa = xc kaikilla x X. Siis c = a A. Lemma 33. Olkoon H ryhmä, J H ja ryhmä H toimii joukolle X vasemmalta. Jos jx = x kaikilla j J ja x X, niin tekijäryhmä H/J toimii joukolle X vasemmalta määrittelemällä (Jh)x = hx kaikilla h H ja x X. 19
21 Todistus. [11], 10.9 (s. 236) Osoitetaan ensiksi, että yhtälö (Jh)x = hx on hyvin määritelty. Oletetaan, että h Jh eli h = jh eräällä j J. Tällöin (Jh )x = (Jjh)x = (Jh)x, joten ongelmaa ei synny. Kun alkiot h H ja x X on kiinnitetty, niin alkio (Jh)x = hx on yksikäsitteinen, koska ryhmä H toimii joukolle X vasemmalta. Lisäksi jos x X, niin (Jh 1 h 2 )x = (h 1 h 2 )x = h 1 (h 2 x) = (Jh 1 )(h 2 x) = (Jh 1 )(Jh 2 x) kaikilla h 1, h 2 H ja (Jj)x = Jx = (J1)x = 1x = x kaikilla j J. Lopuksi esitellään vielä lemma, joka osoittautuu äärimmäisen hyödylliseksi. Lemma 34. Olkoon H G. Tällöin C G (H) N G (H) ja tekijäryhmä on isomorfinen jonkin ryhmän Aut(H) aliryhmän kanssa. Todistus. [11], 4.36 (s. 84) Koska h g H kaikilla h H ja g N G (H), niin ryhmä N G (H) toimii joukolle H konjugoinnin avulla. Olkoon kuvaus λ : N H (H) S H tätä toimintaa vastaava permutaatioesitys. Koska C G (H) N G (H), niin Ker(λ ) = C G (H). Täten homomorfismien peruslauseen nojalla C G (H) N G (H) ja N G (H) C G (H) = N G(H) Ker(λ ) = Im(λ ). Konjugointi ryhmän N G (H) alkiolla permutoi aliryhmää H, joten se on myös ryhmän H automorfismi. Siis Im(λ ) Aut(H). 20
22 3 Transversaalit 3.1 Perusteita transversaaleista Määritelmä 11. Olkoon G ryhmä ja H G. Joukkoa T sanotaan aliryhmän H oikeaksi transversaaliksi ryhmässä G, mikäli se sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta ryhmän G oikeasta sivuluokasta Ha. Vastaavasti määritellään aliryhmän H vasen transversaali ryhmässä G. Jos H G, niin tällöin joukko T on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G jos ja vain jos joukko T on aliryhmän H vasen transversaali ryhmässä G. Tämä koska T Hg = T gh kaikilla g G. Tällöin voidaan puhua vain aliryhmän H transversaaleista ryhmässä G. Jatkossa toispuoleisia transversaaleja voidaan tekstin lyhentämiseksi kutsua vain transversaaleiksi, jolloin puoleisuuden oletetaan olevan asiayhteydestä selvää. Seuraavaksi todistetaan muutama ominaisuus oikeille transversaaleille, mutta todistukset voidaan helposti muuntaa myös vasemmanpuoleisiin tapauksiin. Lemma 35. Olkoon G ryhmä, H G ja T aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Tällöin G = HT ja T = [G : H]. Lisäksi T g ja ht ovat aliryhmän H oikeita transversaaleja ryhmässä G kaikilla g G ja h H. Todistus. Koska HT G, niin riittää osoittaa, että mielivaltainen g G kuuluu myös kompleksiin HT. Transversaalin määritelmän nojalla on olemassa sellainen t T, että t = hg eräällä h H. Nyt g = h 1 t HT. Transversaalin alkioiden lukumäärää on [G : H], koska se sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta aliryhmän H sivuluokasta. Olkoon Ha mielivaltainen aliryhmän H määräämä oikea sivuluokka. Koska ryhmä G voidaan esittää sivuluokkien unionina, on g = h g eräillä h H ja g G. Lisäksi on olemassa t T H(ag 1 h 1 ) eli t = hag 1 h 1 eräällä h H. Täten Täten T g Ha. tg = hag 1 h 1 h g = ha Ha. Nyt voidaan olettaa, että x, y T g Ha. Tällöin xg 1, yg 1 T Hag 1, joten transversaalin määritelmän nojalla xg 1 = yg 1 eli x = y. Siis T g Ha = 1 mielivaltaisella sivuluokalla Ha. Täten myös joukko T g on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Jos h H, niin t T Ha jos ja vain jos ht ht hha = ht Ha. Siis myös ht on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Lemma 36. Olkoon G ryhmä ja H G. Tällöin joukko T G on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G jos ja vain jos jokainen ryhmän G alkio 21
23 voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa ht, missä h H ja t T. Erityisesti jos T G on aliryhmän H oikea transversaali, niin jokaista g G kohti on olemassa sellainen yksikäsitteinen t T, että gt 1 H. Todistus. Oletetaan, että ryhmän G jokainen alkio voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa ht, missä h H, t T ja olkoon Ha mielivaltainen sivuluokka. Oletuksen nojalla a = ht, missä h H ja t T ovat yksikäsitteisiä. Nyt t = h 1 a Ha T. Olkoon lisäksi t Ha T. Siis 1t = t = h a = h ht eräällä h H. Koska 1, h h H ja oletuksen perusteella tämä esitys on yksikäsitteinen, niin 1 = h h ja t = t. Siis T Ha = 1 ja T on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Oletetaan, että joukko T G on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G. Lemman 35 nojalla riittää osoittaa vain yksikäsitteisyys eli jos g = ht = h t, missä h, h H ja t, t T, niin h = h ja t = t. Nyt t = h 1 h t Ht ja koska 1 H, niin myös t Ht. Siis t, t T Ht eli t = t transversaalin alkioiden valinnan perusteella. Täten myös h = h. Jos joukko T G on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G, niin todistuksen alun perusteella jokaisella g G pätee, että g = ht, missä h H ja t T ovat yksikäsitteisiä. Siis gt 1 H. Jos gt 1 H, niin g Ht eli g = h t eräällä h H. Yksikäsitteisyyden nojalla t = t, josta viimeinen väite seuraa. Lemma 37. Olkoon G ryhmä ja H G. Jos T G on aliryhmän H oikea transversaali ryhmässä G ja T H = {1}, niin T = T. Todistus. Olkoon t 1, t 2 T mielivaltaisia. Lemman 36 nojalla t 1 t 1 2 = ht, missä h H ja t T. Siis t 1 t 1 2 t 1 T H = {1} eli t 1 t 1 2 T. Täten T on ryhmän G aliryhmä. Nyt lemman 36 nojalla seuraavan määritelmän indeksointi voidaan tehdä ja parit (t i, u i ) tulevat olemaan yksikäsitteisiä. Määritelmä 12. Olkoon G ryhmä, J H G, [G : H] = n ja H/J Abelin ryhmä. Olkoon T = {t 1, t 2,..., t n } ja U = {u 1, u 2,..., u n } aliryhmän H oikeita transversaaleja ryhmässä G ja indeksointi valittu siten, että t i u 1 i H. Asetetaan tällöin T/U = n i=1 Jt i u 1 i H/J. Koska H/J on Abelin ryhmä ja Jt i u 1 i H/J kaikilla i = 1, 2,... n, niin alkion T/U määritelmä on yksikäsitteinen tulojen järjestyksestä riippumatta. 22
24 Lemma 38. Olkoon G ryhmä, J H G, [G : H] = n ja H/J Abelin ryhmä. Jos T, U ja V ovat aliryhmän H oikeita transversaaleja ryhmässä G, niin (i) T/T = J, (ii) T/V = (T/U)(U/V ) (iii) T/U = (U/T ) 1, (iv) T g/ug = T/U = ht /hu kaikilla g G ja h H ja (v) ht /T = Jh n kaikilla h H. Todistus. [11], 10.3, 10.5 ja 10.7 (s ) Olkoon T = {t 1, t 2,..., t n }, U = {u 1, u 2,..., u n } ja V = {v 1, v 2,..., v n } indeksoitu siten, että t i u 1 i, t i v 1 i H kaikilla i = 1, 2,... n. Tällöin (i) Koska t i t 1 i (t i u 1 i ) 1 t i v 1 i = 1 H, niin = u i t 1 i t i v 1 i = u i v 1 i H. T/T = n i=1 Jt i t 1 i = J. (ii) Nyt koska J(ab) = (Ja)(Jb) kaikilla a, b H, niin T/V = = n i=1 i=1 Jt i v 1 i = n i=1 Jt i (u 1 i u i )v 1 i n (Jt i u 1 i )(Ju i v 1 i ) = (T/U)(U/V ). Viimeisessä vaiheessa käytettiin ryhmän H/J alkioiden kommutatiivisuuta. (iii) Väite saadaan kahdesta edellisesta kohdasta huomaamalla, että J = T/T = (T/U) (U/T ). (iv) Olkoon g G ja h H mielivaltaisia. Lemman 35 nojalla T g ja Ug ovat myös vaadittuja transversaaleja. Lisäksi t i g(u i g) 1 = t i u 1 i H kaikilla i = 1, 2,..., n. Täten alkio T g/ug on hyvin määritelty ja T g/ug = n Jt i g(u i g) 1 = i=1 n i=1 Jt i u 1 i = T/U. Jos h H, niin samaisen lemman nojalla ht ja hu ovat transversaaleja. Lisäksi ht i (hu i ) 1 = ht i u 1 i h 1 H eli alkio ht /hu on hyvin määritelty 23
25 ja ht /hu = = = n Jht i (hu i ) 1 = i=1 n i=1 n (Jh)(Jt i u 1 i )(Jh 1 ) = i=1 n i=1 Jt i u 1 i koska H/J oli Abelin ryhmä. = T/U, (v) Olkoon h H mielivaltainen. Tällöin ht /T = n i=1 ( Jhti t 1 i Jht i u 1 i h 1 n (Jh)(Jt i u 1 )(Jh) 1 i=1 ) n = (Jh) = Jh n. i=1 i 3.2 Transversaaleja ryhmän toimintojen kohteena Lemma 39. Olkoon G ryhmä, J H G, [G : H] = n ja H/J Abelin ryhmä. Olkoon T ryhmän G kaikkien aliryhmän H määräämien oikeiden transversaalien joukko ja asetetaan sille relaatio T U jos ja vain jos T/U = J. Tällöin on joukon T ekvivalenssirelaatio. Todistus. [11], 10.6 (s. 235) Väite seuraa suoraan lemmasta 38. Refleksiivisyys on selvä. Symmetrisyys seuraa, koska jos T U eli T/U = J, niin U/T = J 1 = J eli U T. Transitiivisuuden huomaamiseksi oletetaan, että T U ja U V. Tällöin T/V = (T/U)(U/V ) = J eli T V. Jatkossa Ω tarkoittaa joukon T ekvivalenssiluokkien muodostamaan joukkoa. Lemma 40. Olkoon ω Ω, T ω ja h H. Määritellään, että hω on se ekvivalenssiluokka, johon transversaali ht kuuluu. Tällöin ryhmä H toimii joukolle Ω vasemmalta. Todistus. [11], 10.6 (s. 235) Olkoon T, U ω ja h, h H. Lemman 38 nojalla ht /hu = T/U = J eli ht, hu hω. Siis ekvivalenssiluokka hω on yksikäsitteinen riippumatta transversaalin valinnasta. Toisaalta (hh )ω = h(h ω), koska (hh )T = h(h T ). Lopulta 1ω = ω, koska 1T /T = T/T = J. Lemma 41. Oletetaan lemman 39 oletukset. Tällöin tekijäryhmä H/J toimii joukolle Ω vasemmalta määrittelemällä kaikilla h H ja ω Ω. (Jh)ω = hω 24
26 Todistus. Lemman 38 nojalla jt /T = Jj n = J kaikilla j J H eli jt T. Siis jω = ω kaikilla j J, joten lemmaa 33 voidaan soveltaa. Lemma 42. Oletetaan lemman 39 oletusten lisäksi, että [H : J] = m ja syt(n, m) = 1. Tällöin (i) ryhmän H vasen toiminto joukolle Ω on transitiivinen ja Stab H (ω) = J kaikilla ω Ω ja (ii) ryhmän H/J vasen toiminto joukolle Ω on säännöllinen. Todistus. [11], (s. 237) (i) Olkoon T, U Ω mielivaltaisia. Oletuksen syt(n, m) = 1 nojalla on olemassa sellaiset a, b Z, että an + bm = 1. Valitaan sellainen h H, että Jh = (T/U) a. Koska T/U H/J ja H/J = m, niin (T/U) m = J. Nyt lemman 38 nojalla ht /U = (ht /T ) (T/U) = (Jh) n (T/U) = (T/U) an+1 = (T/U) bm = J. Siis ht U, joten operaatio on transitiivinen. Suoraan määritelmiä soveltamalla saadaan, että h Stab H (ω) jos ja vain jos h n J. Jos h n J, niin lemmaa 2 käyttämällä saadaan, että h J eli Stab H (ω) J. Toiseen suuntaan sisältyvyys on triviaali, joten Stab H (ω) = J. (ii) Koska (Jh)ω = hω kaikilla h H, niin transitiivisyys ryhmän H/J suhteen palautuu edelliseen kohtaan. Lisäksi Stab H/J (ω) = {Jh (Jh)ω = ω} = {Jh hω = ω} = {Jh h J} = J, josta säännöllisyys seuraa. Lemma 43. Oletetaan lemman 39 oletukset. Olkoon ω Ω, T ω ja g G. Määritellään, että ωg on se ekvivalenssiluokka, johon transversaali T g kuuluu. Tällöin ryhmä G toimii joukolle Ω oikealta. Todistus. [11], 10.6 (s. 235) Olkoon T, U ω ja g, g G. Lemman 38 nojalla T g/ug = T/U = J eli T g, Ug ωg. Siis ekvivalenssiluokka ωg on riippumaton transversaalin valinnasta. Toisaalta ω(gg ) = (ωg)g, koska T (gg ) = (T g)g. Väite ω1 = ω on selvä. Lause 6. Olkoon J H G, H/J Abelin ryhmä, [G : H] = n, [H : J] = m ja syt(n, m) = 1. Oletetaan, että H/J toimii joukolle Ω vasemmalta kuten lemmassa 41 ja että G toimii joukolle Ω oikealta, kuten lemmassa 43. Tällöin jokaista g G kohti on olemassa sellainen yksikäsitteinen g H/J, että ωg = g ω kaikilla ω Ω. Lisäksi kuvaus g g on homomorfismi ryhmältä G tekijäryhmälle H/J. 25
27 Todistus. [11], (s. 239) Olkoon φ g : ω ωg, missä g G, lemmassa 29 mainittu oikeanpuoleisen ryhmän toiminnon antama joukon Ω permutaatio. Vastaavasti merkitään λ (Jh) : ω (Jh)ω, missä h H, vasemmanpuoleisen ryhmän toiminnon määrittelemä joukon Ω permutaatio ja olkoon λ : Jh λ (Jh 1 ) tämän toiminnon permutaatioesitys. Nyt A = Im(λ ) S Ω on Abelin ryhmä, sillä λ (Jh)λ (Jh ) = λ ((Jh)(Jh )) = λ ((Jh )(Jh)) = λ (Jh )λ (Jh) kaikilla h, h H, koska H/J oli kommutatiivinen ryhmä. Lemman 42 nojalla ryhmän H/J vasen toiminto joukolle Ω on transitiivinen. Tällöin jos ω 1, ω 2 Ω, niin on olemassa sellainen Jh H/J, että ω 1 = (Jh)ω 2 = λ (Jh 1 )(ω 2 ), missä λ (Jh 1 ) Im(λ ) = A. Siis permutaatioryhmän A määrämä luonnollinen toiminto joukolle Ω on transitiivinen. Täten lemman 32 nojalla A = C SΩ (A). Olkoon nyt g G ja h H mielivaltaisia. Jos T ω ja U h(ωg), niin U h(t g) eli J = U/h(T g) = U/(hT )g. Siis U (ht )g, joten h(ωg) = (hω)g kaikilla ω Ω. Nyt eli (Jh)(ωg) = h(ωg) = (hω)g = ((Jh)ω)g λ (Jh) φ g = φ g λ (Jh). Koska h H oli mielivaltainen, niin φ g C SΩ (A) = A kaikilla g G. Täten jokaista g G kohti on olemassa sellainen g H/J, että φ g = λ g eli ωg = g ω. Jos h ω = gω = g ω, niin ω = (h ) 1 g ω eli (h ) 1 g = Stab H/J (ω) = J lemman 42 nojalla. Täten h = g eli alkio g on yksikäsitteinen. Olkoon nyt g 1, g 2 G mielivaltaisia. Täten kaikilla ω Ω (g 1 g 2 ) ω = ω(g 1 g 2 ) = (ωg 1 )g 2 = g 2(g 1ω) = (g 2g 1)ω = (g 1g 2)ω, koska H/J oli Abelin ryhmä. Lemman 42 nojalla ryhmän H/J toiminto joukolle ω oli säännöllinen, joten se on myös uskollinen. Täten (g 1 g 2 ) = g 1g 2, joten kuvaus g g on homomorfismi. Määritelmä 13. Funktiota τ : G H/J, τ(g) = T g/t sanotaan ryhmän G siirroksi tekijäryhmään H/J. Lemma 44. Olkoon G ryhmä, J H G, [G : H] = n ja H/J Abelin ryhmä. Tällöin siirtofunktio τ : G H/J on riippumaton transversaalin T valinnasta ja τ on homomorfismi. Lisäksi Ker(τ) = Stab G (ω) kaikilla ω Ω käyttäen lemmassa 43 määriteltyä ryhmän G oikeanpuoleista toimintoa joukolle Ω. 26
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,
LisätiedotLuuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006
Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3
LisätiedotEräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
LisätiedotDihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
LisätiedotRatkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä
Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................
LisätiedotÄärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotLuupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014
Luupit Pro gradu Anni Keränen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Perusteita 3 1.1 Kuvauksista............................ 3 1.2 Relaatioista............................
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotCauchyn ja Sylowin lauseista
Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4
LisätiedotTIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta
Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedot1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotLaitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotSylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa
Sylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa Jenna Johansson 21. marraskuuta 2018 Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Merkintöjä: N Luonnollisten
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
LisätiedotÄÄRELLISTEN RYHMIEN VAIHDANNAISUUSVERKOT MIIKKA SILFVERBERG
ÄÄRELLISTEN RYHMIEN VAIHDANNAISUUSVERKOT MIIKKA SILFVERBERG PRO GRADU HELSINGIN YLIOPISTON MATEMATIIKAN LAITOS TOUKOKUU 2008 SISÄLTÖ 1. Merkinnöistä ja määritelmistä 2 2. Johdanto 3 3. Ryhmäteoriaa 5 3.1.
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
LisätiedotFrobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä
Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä Pro Gradu-tutkielma Mikko Korhonen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perustuloksia 4 2.1 Lukuteoriaa............................
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
LisätiedotTekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotH = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
LisätiedotTekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.
3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 8,
Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotKvasiryhmistä ja niiden sovelluksista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,
Lisätiedot5. Ryhmän kompositiotekijät
5. Ryhmän kompositiotekijät Jos ryhmästä löydetään normaali aliryhmä, sen suhteen voidaan muodostaa tekijäryhmä, jolla saattaa olla yksinkertaisempi rakenne kuin alkuperäisellä ryhmällä. Ryhmä voidaan
Lisätiedotkaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
Lisätiedot3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2
3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen
LisätiedotRyhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta
Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki
Lisätiedot15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotLisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä
14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedotrenkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
LisätiedotTekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.
Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin
LisätiedotSyklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................
LisätiedotLUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
LisätiedotAlternoivien ryhmien ominaisuuksista
Alternoivien ryhmien ominaisuuksista Pro gradu -tutkielma Anssi Aska 2257068 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Ryhmä ja aliryhmä........................
LisätiedotMAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotHänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä. Vrt. Paavalin kirje kolossalaisille 2:2-3.
TAMPEREEN YLIOPISTO Matematiikan pro gradu -työ Seppo Janhonen Ryhmäteoriaa Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2001 Hänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä.
Lisätiedotπ πρ = ρ, π πρ 3 = ρ 3, πρ 2 πρ = ρ 3 πρ 2 πρ 3 = ρ.
Rhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 4, ratkaisuehdotus (5 sivua) 26.11.2012 Tehtävä 1. Etsi neliön smmetriarhmän D 8 kaikki alirhmät. Mitkä niistä ovat normaaleja? Ratkaisu. Rhmää D 8
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Lisätiedot6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä
6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä Tutustukaamme ensin ryhmään S 5. Jos käytämme syklinotaatiota, toteamme, että se sisältää syklejä, jotka ovat muotoa (12), (123), (1234), (12345),
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
Lisätiedot4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat
4 Abelin ryhmät Ensimmäisellä ryhmäteorian kurssilla käytiin läpi lähinnä syklisiä ryhmiä. Tällä kurssilla keskitymme epäkommutatiivisiin esimerkkeihin. On kuitenkin niin, että äärellisesti viritettyjen
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotRyhmän P SL(2, K) yksinkertaisuus
Ryhmän P SL(2, K) yksinkertaisuus Pro gradu -tutkielma Antti Eronen 2187183 Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteitä ja tarpeellisia lauseita 3 11
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotSylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Aleksi Heiskanen Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Marraskuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
LisätiedotSymmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus
Symmetristen ja alternoivien ryhmien yksinkertaisuus ja ratkeavuus Pro gradu Tuomo Holma 2379771 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Permutaatiot 3 2 Ryhmistä
LisätiedotRyhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
LisätiedotJohdanto 2. 2 Osamääräkunnan muodostaminen 7. 3 Osamääräkunnan isomorfismit 16. Lähdeluettelo 20
Osamääräkunta LuK-tutkielma Lauri Aalto Opiskelijanumero: 2379263 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Käsitteitä ja merkintöjä 3 2 Osamääräkunnan muodostaminen
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
LisätiedotApprobatur 3, demo 5, ratkaisut
Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotAlgebran perusteet. 44 ϕ(105) = (105). Näin ollen
Algebran perusteet Harjoitus 4, ratkaisut kevät 2016 1 a) Koska 105 = 5 21 = 3 5 7 ja 44 = 2 2 11, niin syt(44, 105) = 1 Lisäksi ϕ(105) = ϕ(3 5 7) = (3 1)(5 1)(7 1) = 2 4 6 = 48, joten Eulerin teoreeman
LisätiedotSymmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin
Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin 16. marraskuuta 2006 1 Symmetrisistä ryhmistä... Bijektiivistä kuvausta {1,..., n} {1,..., n} kutsutaan n-permutaatioksi. Merkitään n-permutaatioden joukkoa S n.
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotLukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
Lisätiedot