Galton Watson prosessi
|
|
- Lauri Niemi
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Galton Watson prosessi LuK-tutkielma Timo Lintonen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2017
2 Sisältö Johdanto 2 1 Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreettien satunnaismuuttujien merkintöjä Todennäköisyys generoiva funktio Galton Watson prosessin analysointia Galton Watson prosessin määritelmä Sukupuuton todennäköisyys Yhteenveto 13 Lähdeluettelo 15 1
3 Johdanto Galton Watson prosessi on populaation kehittymisen mallintamiseen luotu matemaattinen malli. Prosessi tunnetaan myös nimellä haarautumisprosessi (branching process). Galton Watson prosessilla on mallinnettu muun muassa bakteerikannan kehitystä ja sukunimen periytymistä. Galton Watson prosessi luo satunnaisen lukujono Z 0, Z 1,..., jossa satunnaismuuttujat Z n kuvaavat populaation kokoa ajanhetkellä n. Galton Watson prosessissa aika on diskreetti ja notaation Z n vakio n viittaakin sukupolven järjestyslukuun. Galton Watson prosessi määritellään tarkasti myöhemmin luvussa 2. Tutkielmassa on käytetty pääasiassa teosta [1]. Tutkielman rakenne noudattaakin tätä teosta luvussa 2. Kuva 1 on mukaelma tässä teoksessa sivulla 146 esiintyvästä kuvasta. Galton Watson prosessi on määritelty määritelmässä 2.1 samalla tavalla kuin teoksessa [1]. Todistukset lauseisiin 1.13, 2.5 ja 2.6 olen suomentanut lähteistä. Alkuperäiset todistukset löytyvät teoksesta [3] lauseelle 1.13 ja teoksesta [2] lauseille 2.5 ja Diskreetit satunnaismuuttujat Galton Watson prosessin mallintamiseen tarvitaan diskreetin satunnaismuuttujan käsitettä. Tästä lähtien jokainen tutkielmassa mainittu satunnaismuuttuja on diskreetti, ellei toisin mainita. 1.1 Diskreettien satunnaismuuttujien merkintöjä Olkoon X satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttujalla X on arvojoukko X = {x 0, x 1, x 2,...}, missä arvot x i ovat satunnaismuuttujan X mahdollisia arvoja. Arvojoukko voi olla äärellinen tai ääretön. Esimerkiksi arpakuution silmäluku voi saada arvon vain joukosta {1, 2, 3, 4, 5, 6}, mutta jääkiekkoilijan tehopisteiden määrä voi teoriassa saada minkä tahansa arvon joukosta N. Kun satunnaismuuttuja X saa jonkin arvon x i, on kyseessä tapahtuma (X = x i ). Tällaisella tapahtumalla on todennäköisyys, jota merkitään P(X = x i ) = p i. Nämä todennäköisyydet määräävät satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktion, joka kuvastaa satunnaismuuttujan jakaumaa. Eräs satunnaismuuttujan jakaumaa kuvaavista suureista on odotusarvo. Se kuvaa tavallaan jakauman "painopistettä". Määritelmä 1.1. Odotusarvo satunnaismuuttujalle X määritellään summana E(X) = x X xp(x = x). Jos satunnaismuuttujia on kaksi, on kyse satunnaismuuttujaparista (X, Y ). Useampiulotteisessa tilanteessa puhutaan satunnaisvektorista (X 0, X 1,..., X n ). Tapahtumat (X = x) ja (Y = y) voivat vaikuttaa toisiinsa tavalla tai toisella. Tätä yhteisvaikutusta voidaan kuvata määrittelemällä käsitteet ehdollinen todennäköisyys ja riippumattomuus. 2
4 Määritelmä 1.2. Satunnaismuuttujan Y ehdollinen todennäköisyys ehdolla X = x on P(Y = y X = x) P(Y = y X = x) =, P(X = x) kun P(X = x) 0. Jos P(X = x) = 0, niin sopimuksen perusteella ehdollinen todennäköisyys saa arvon 0. Huomautus 1.3. Määritelmästä 1.2 seuraa suoraan kokonaistodennäköisyyden kaava P(X = x)p(y = y X = x) = P(Y = y X = x). Määritelmä 1.4. Satunnaismuuttujat X ja Y ovat toisistaan riippumattomia jos ja vain jos P(X = x Y = y) = P(X = x)p(y = y) kaikilla x X ja y Y. Näistä määritelmistä on helppo huomata, että riippumattomien satunnaismuuttujien tapauksessa P(Y = y X = x) = P(Y = y) kaikilla x X. Satunnaismuuttujan X saama arvo ei siis vaikuta satunnaismuuttujan Y saamaan arvoon. Määritellään seuraavissa määritelmissä vielä kaksi ehdollisiin jakaumiin liittyvää käsitettä. Määritelmä 1.5. Satunnaismuuttujan Y ehdollinen odotusarvo ehdolla X = x on E(Y X = x) = y Y yp(y = y X = x). Määritelmä 1.6. Satunnaismuuttujan Y marginaalijakauma on P(Y = y) = P(Y = y X = x). x X Seuraava lause pätee yleisesti kahden satunnaismuuttujan välillä. Lauseen voi yleistää myös moniulotteiseen tapaukseen. Todistetaan tässä diskreetin satunnaismuuttujaparin tapaus, sillä sitä tarvitaan Galton Watson prosessin analysoinnissa. Lause 1.7 (Iteroitu odotusarvo). Satunnaismuuttujien X ja Y iteroitu odotusarvo on E(Y ) = E(E(Y X)). Todistus. Marginaalijakauman määritelmän 1.6 nojalla odotusarvo E(Y ) voidaan saattaa muotoon E(Y ) = yp(y = y) = y P(Y = y X = x). (1) y Y y Y Kun satunnaismuuttujaparin todennäköisyyteen P(Y = y X = x) sovelletaan kokonaistodennäköisyyden kaavaa 1.3, niin y P(Y = y X = x) = y P(Y = y X = x)p(x = x). (2) y Y x X y Y x X x X Järjestämällä summan termit uudelleen, saamme y P(Y = y X = x)p(x = x) = yp(y = y X = x)p(x = x). y Y x X x X y Y (3) 3
5 Huomaamme, että yhtälössä (3) esiintyy satunnaismuuttujan Y ehdollinen odotusarvo. Siten määritelmän 1.5 nojalla yp(y = y X = x)p(x = x) = E(Y X = x)p(x = x) x X y Y x X (4) = E(E(Y X)). Näin ollen yhtälöiden (1), (2), (3) ja (4) nojalla E(Y ) = E(E(Y X)). Lauseessa 1.13 tarvitsemme vielä keinon laskea riippumattoman satunnaismuuttujaparin tulon odotusarvon. Seuraava lemma 1.8 ei vielä oleta riippumattomuutta, mutta lauseessa 1.9 todistamme, että E(XY ) = E(X)E(Y ), kun satunnaismuuttujat X ja Y ovat toisistaan riippumattomia. Lemma 1.8. E(XY ) = x X y Y xyp(x = x Y = y). Todistus. Olkoot x X ja y Y satunnaismuuttujien X ja Y arvojoukot. Merkitään Z := XY ja olkoon tämän satunnaismuuttujan arvojoukko Z = {z 0,..., z n } = {z N z = xy}. Tällöin kaikilla i = 0,..., n muuttuja z i voidaan esittää joukkojen X ja Y alkioiden tulona siten, että z i = x 1 i y1 i =... = xki i yki i, missä (x j i, yj i ) (xl i, yl i ) kaikilla j l ja k i 1. Kun z määritellään tällä tavalla, käydään läpi kaikki joukkojen X ja Y alkiot. Tapahtuman (Z = z i ) todennäköisyys voidaan nyt laskea siten, että P(Z = z i ) = P(X = x 1 i Y = y1 i ) P(X = xki i Y = y ki i ). Lasketaan odotusarvo E(XY ). E(XY ) = E(Z) = = = n i=0 n z i P(Z = z i ) i=0 z i [P(X = x 1 i Y = y 1 i ) P(X = x ki i n [x 1 i yi 1 P(X = x 1 i Y = yi 1 ) x ki i=0 = x X y Y xyp(x = x Y = y) i yki i Y = y ki i )] P(X = xki i Y = y ki i )] Lause 1.9. Olkoot satunnaismuuttujat X ja Y riippumattomia. Tällöin niiden tulon odotusarvo on E(XY ) = E(X)E(Y ). Todistus. Lemman 1.8 nojalla odotusarvo E(XY ) voidaan laskea satunnaismuuttujien X ja Y yhteisjakauman avulla. Riippumattomuuden määritelmän 4
6 1.4 nojalla yhteisjakauman arvot saadaan marginaalijakaumien tulona siten, että P(X = x Y = y) = P(X = x)p(y = y). Siten E(XY ) = xyp(x = x Y = y) = xyp(x = x)p(y = y). (5) x X y Y x X y Y Järjestelemällä summien termit uudelleen, huomaamme, että kyseessä on kahden satunnaismuuttujan odotusarvojen tulo. xyp(x = x)p(y = y) = xp(x = x) yp(y = y) = E(X)E(Y ) x X y Y x X y Y (6) Yhtälöiden (5) ja (6) nojalla riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on odotusarvojen tulo E(XY ) = E(X)E(Y ). Tämä tulos on helppo yleistää satunnaisvektorille. Kun merkitsemme satunnaismuuttujaa S := XY ja satunnaismuuttuja Z on riippumaton satunnaismuuttujista X ja Y, niin Z on riippumaton myös satunnaismuuttujasta S. Siten E(XY Z) = E(SZ) = E(S)E(Z) = E(XY )E(Z) = E(X)E(Y )E(Z). 1.2 Todennäköisyys generoiva funktio Todennäköisyys generoiva funktio on erityistapaus generoivista funktioista. Todennäköisyys generoiva funktio on diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa pistetodennäköisyysfunktion muunnos. Se voidaan määritellä diskreeteille satunnaismuuttujille, joiden arvojoukko on luonnollisten lukujen joukon N osajoukko. Todennäköisyys generoiva funktio voidaan määritellä muissakin tilanteissa, mutta Galton Watson prosessin analyysiin tällainen ehto on riittävä prosessin luonteen vuoksi. Todennäköisyys generoiva funktio on hyödyllinen momenttien ja riippumattomien satunnaismuuttujien summien jakaumia laskettaessa. Molemmat sovelluskohteet ilmenevät Galton Watson prosessin analyysissä. Ensimmäinen momentti, eli odotusarvo, on prosessissa tärkeä syntyvyyden tunnusluku. Mielivaltaisen sukupolven koko taas on satunnaismuuttuja, joka on edellisen sukupolven jälkeläisten summa. Määritelmä Satunnaismuuttujan X todennäköisyys generoiva funktio on G(t) = E(t X ). Odotusarvon määritelmän 1.1 mukaan todennäköisyys generoiva funktio voidaan esittää muodossa G(t) = k=0 p kt k, missä lyhennysmerkintä p k tarkoittaa todennäköisyyttä P(X = x k ). Jos satunnaismuuttujan arvojoukko on luonnollisten lukujen aito osajoukko {x 0,..., x n }, niin edellinen lauseke voidaan tulkita siten, että P(X = x i ) = 0, kun x i N, mutta x i / {x 0,..., x n }. Näin tulkittuna lauseke on mielekäs myös tässä tapauksessa. Todennäköisyys generoiva funktio on määritelty ainakin välillä [0, 1]. Pistetodennäköisyysfunktion arvoina arvoille p k pätee, että niiden summa k=0 p k = 1. Arvoilla t k on yläraja t k 1, kun t 1 ja k N. Tämän perusteella voimme 5
7 arvioida funktiota G ylöspäin siten, että G(t) 1 k=0 p k = 1, kun t [0, 1]. Näin ollen tällä välillä arvo G(t) on olemassa ja se on äärellinen. Osoitetaan seuraavassa lemmassa muutama Galton Watson prosessin kannalta hyödyllinen todennäköisyys generoivan funktion ominaisuus. Lemma Oletetaan, että p 0 +p 1 < 1. Toisin sanoen todennäköisyys P(X > 1) > 0. Tällöin i) G(t) on aidosti kasvava ainakin välillä [0, 1] ii) G(t) on aidosti konveksi, eli G (t) on aidosti kasvava, ainakin välillä [0, 1] iii) G(0) = p 0. Todistus. Aiemmin osoitettiin, että G(t) on määritelty välillä [0, 1]. Lisäksi G on ääretönasteisena polynomifunktiona jatkuva ja äärettömän monta kertaa differentioituva määrittelyjoukossaan. i) Ensimmäisen asteen derivaatta on määritelty joukossa (0, 1). Ehdon p 0 + p 1 < 1 nojalla p k > 0 ainakin jollain k = 1, 2,.... Näin ollen G (t) = p k kt k 1 > 0, k=1 kun t (0, 1). Funktio G on siten aidosti kasvava joukossa [0, 1]. ii) Vastaavasti toisen asteen derivaatta on myös määritelty joukossa (0, 1) ja ehdon p 0 + p 1 < 1 nojalla p k > 0 ainakin jollain k = 2, 3,.... Siten G (t) = p k k(k 1)t k 2 > 0, k=2 kun t (0, 1). Funktio G on aidosti konveksi joukossa [0, 1]. iii) Viimeisen kohdan osoittamiseen tarvitaan sopimukseen perustuva tulkinta 0 0 = 1. Tällöin G(0) = p p p = p 0. Huomautus Lemmassa 1.11 laskettiin todennäköisyys generoivan funktion ensimmäinen derivaatta. Sen avulla voidaan laskea satunnaismuuttujan odotusarvo. Oletetaan, että G(t) on satunnaismuuttujan X todennäköisyys generoiva funktio. G (1) = p k k1 k 1 = 0p 0 + p k k = kp k = E(X) k=1 Tässä merkintä G (1) tarkoittaa vasemmanpuoleista raja-arvoa lim t 1 G (t). k=1 k=0 6
8 Edellisessä huomautuksessa 1.12 löydettiin keino satunnaismuuttujan ensimmäisen momentin, eli odotusarvon, laskemiselle hyödyntäen todennäköisyys generoivaa funktiota. Toinen tärkeä todennäköisyys generoivan funktion sovellus on aiemmin mainittu satunnaismuuttujien summan analysointi. Todistetaan seuraavaksi lause, jonka avulla voimme laskea todennäköisyys generoivan funktion satunnaismuuttujalle, joka on satunnaisen monen samoinjakautuneen ja toisistaan riippumattoman satunnaismuuttujan summa. Lause Olkoot satunnaismuuttujat X 1, X 2,... samoinjakautuneita ja toisistaan riippumattomia, ja olkoon niillä yhteinen todennäköisyys generoiva funktio G X. Olkoon N näistä satunnaismuuttujista X i riippumaton satunnaismuuttuja arvojoukolla N ja olkoon sillä todennäköisyys generoiva funktio G N. Olkoon satunnaismuuttuja Y satunnaismuuttujien X i summa siten, että Y = N i=1 X i. Tällöin satunnaismuuttujalla Y on todennäköisyys generoiva funktio G Y (t) = G N (G X (t)). Todistus. Iteroidun odotusarvon 1.7 ja odotusarvon määritelmän 1.1 nojalla G Y (t) = E(t Y ) = E(E(t Y N)) = E(t Y N = n)p(n = n). (7) Tapahtuma (Y = y N = n) on yhtäpitävä tapahtuman ( n i=1 X i = y) kanssa kaikilla y Y ja n N satunnaismuuttujan Y määritelmän perusteella, joten myös muunnokselle t Y pätee, että n=0 E(t Y N = n)p(n = n) = E(t n i=1 Xi )P(N = n) n=0 = n=0 n E( t Xi )P(N = n). n=0 i=1 (8) Yhtälössä (8) tulon odotusarvo voidaan laskea lauseen 1.9 avulla, sillä satunnaismuuttujat X i ovat toisistaan riippumattomia kaikilla i = 1, 2,... ja sen perusteella myös muunnokset t Xi ovat toisistaan riippumattomia kaikilla i = 1, 2,.... Siten saadaan yhtälö n n E( t Xi )P(N = n) = E(t Xi )P(N = n). (9) n=0 i=1 n=0 i=1 Kaikilla i = 1, 2,... satunnaismuuttujalla X i on yhteinen todennäköisyys generoiva funktio G X (t). Siten kaikilla i = 1, 2,... pätee määritelmä 1.10, eli E(t Xi ) = G X (t). n E(t Xi )P(N = n) = G X (t) n P(N = n) (10) n=0 i=1 n=0 7
9 Yhtälön (10) oikeassa puolessa esiintyy satunnaismuuttujan N muunnoksen G X (t) N odotusarvo. Tästä seuraa, että G X (t) n P(N = n) = E(G X (t) N ) = G N (G X (t)). (11) n=0 Yhtälöiden (7),..., (11) perusteella G Y (t) = G N (G X (t)). Tässä vaiheessa olemme käyneet läpi kaikki tärkeimmät diskreettien satunnaismuuttujien ominaisuudet, joita tarvitsemme tässä tutkielmassa Galton Watson prosessin analysointiin. Seuraavassa luvussa 2 keskitymme varsinaiseen Galton Watson prosessiin. Hyödynnämme Galton Watson prosessin analyysissä tähän mennessä tässä tutkielmassa johdettuja diskreettien satunnaismuuttujien tuloksia. 2 Galton Watson prosessin analysointia 2.1 Galton Watson prosessin määritelmä Galton Watson prosessi generoi satunnaisen lukujonon Z 0, Z 1,..., kuten johdannossa todettiin. Tämä lukujono kuvaa mallinnettavan populaation kehitystä. Sovitaan seuraavaksi käytettävistä merkinnöistä. Satunnaismuuttuja Z n kuvaa järjestysluvultaan n:nnännen sukupolven kokoa. Sukupolven n yksilöihin viitataan muuttujalla i. Yksilölle i syntyy k kappaletta jälkeläisiä todennäköisyydellä p k. Satunnaismuuttuja L kuvaa syntyvyyttä ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko N. Satunnaismuuttuja L on siis diskreetti satunnaismuuttuja ja sen pistetodennäköisyysfunktio määritellään todennäköisyyksien P(L = k) = p k avulla siten, että f(k) = p k, missä k N., missä i N + = {1, 2,...} ja n N, satunnaismuuttujan L kopioita. Satunnaismuuttuja L (n) i kuvaa sukupolven n yksilölle i syntyvien jälkeläisten lukumäärää. Tehdään oletus, että yksittäiselle yksilölle syntyvien jälkeläisten lukumäärä ei riipu muille yksilöille syntyvien jälkeläisten lukumäärästä. Lisäksi oletetaan, että tämä riippumattomuus on voimassa niin kyseisen kuin minkä tahansa sukupolven yksilöiden välillä. 1 Oletuksen nojalla Olkoot satunnaismuuttujat L (n) i voimme todeta, että satunnaismuuttujat L (n) kaikilla i N + ja n N. Näin ollen L (n) i i iid ovat toisistaan riippumattomia L kaikilla i N+ ja n N. Määritellään seuraavaksi Galton Watson prosessi sovittuja merkintöjä käyttäen. Määritelmä 2.1. Galton Watson prosessi on sellainen prosessi, joka generoi satunnaisen lukujonon Z 0, Z 1,... rekursiivisesti siten, että i) Z Tämä on tietysti epärealistinen oletus. Todellisuudessa syntyvyys lähtee laskuun, kun populaation yksilöiden lukumäärä lähestyy ekosysteemin kantokykyä. Tämä oletus ei kuitenkaan ole liian rajoittava, jos olemme kiinnostuneita lähinnä sukupuuton todennäköisyydestä. 8
10 ii) Z n+1 = Z n i=1 L(n) i, missä i N + ja n N. Avataan määritelmä 2.1 ensin sanallisesti ja sitten vielä esimerkin avulla. Määritelmän 2.1 mukaan populaation koko alussa on identtisesti yksi. Sukupolven 0 koko on siis aina Z 0 = 1. Seuraavan sukupolven 1 koko on edellisen sukupolven ainoalle yksilölle syntyvien jälkeläisten määrä Z 1 = Z 0 i=1 L(0) i = L (0) 1. Edelleen seuraavan sukupolven 2 koko on sukupolven 1 kaikkien yksilöiden jälkeläisten lukumäärien summa Z 2 = Z 1 i=1 L(1) i. Näin prosessi jatkuu äärettömästi tai kunnes prosessi kuolee sukupuuttoon. Määritellään sukupuuton tapahtuma seuraavassa esimerkissä 2.2. Esimerkki 2.2. Olkoot Z 0 1 ja L satunnaismuuttuja, joka on jakautunut pistetodennäköisyysfunktiolla f. Olkoot edelleen satunnaismuuttujan L arvojoukko N ja L (n) iid i L kaikilla i N+ ja n N. Tarkastellaan tilannetta Galton Watson prosessina, joka etenee kuvan 1 mukaisesti. Nollannen sukupolven koko Z 0 on identtisesti 1. Kuvasta 1 näemme, että tälle nollannen sukupolven yksilölle syntyy kaksi jälkeläistä, eli L (0) 1 = 2. Viitataan näihin jälkeläisiin myöhemmin luvuilla 1 ja 2. Nyt voimme laskea ensimmäisen sukupolven koon Z 1 määritelmän 2.1 mukaisesti, joka on Z 1 = L (0) 1 = 2. Edelleen kuvasta 1 näemme, että ensimmäisen sukupolven yksilölle 1 syntyy kaksi jälkeläistä ja yksilölle 2 yksi jälkeläinen. Siten vastaavat satunnaismuuttujat saavat arvot L (1) 1 = 2 ja L (1) 2 = 1. Sukupolven 2 kooksi saamme Z 2 = L (1) 1 + L (1) 2 = = 3. Tässä lausekkeessa laskemme yhteen kaksi termiä, sillä edellisen sukupolven koko on Z 1 = 2. Tämä prosessi joko jatkuu äärettömään tai kunnes saavutetaan tapahtuma Z n = 0 jonkin sukupolven n kohdalla, missä tietysti n > 0. Siinä tapauksessa myös seuraavien sukupolvien koko on 0. Tällaista tapahtumaa kutsutaan sukupuutoksi. Kuvasta 1 näemme, että haara L (2) 1 = 0, eli kyseinen haara kuoli sukupuuttoon. 2.2 Sukupuuton todennäköisyys Esimerkissä 2.2 sukupuutto määriteltiin siten, että se tapahtuu, kun Z n = 0 jollain n N +. Tällöin on kiinnostavaa, millä todennäköisyydellä sukupuutto tapahtuu, eli mikä on todennäköisyys q = P( sukupuutto ). Sukupuuton kannalta ratkaisevaa on, eroaako populaation koko nollasta kaikissa sukupolvissa. Lause 2.3. Sukupuuton todennäköisyys on q = lim n P(Z n = 0). Todistus. Galton Watson prosessin luonteen vuoksi määritelmän 2.1 nojalla, jos jonkin sukupolven n kohdalla populaation koko on 0, niin populaation koko on 0 myös kaikkien tulevien sukupolvien kohdalla. Tapahtumasta (Z n = 0) seuraa väistämättä tapahtuma (Z n+1 = 0), eli P(Z n+1 = 0 Z n = 0) = 1. Tapahtumat (Z n = 0) ja (Z n+1 = 0) ovat siis sisäkkäisiä siten, että (Z n = 0) (Z n+1 = 0) ja niiden yhdiste on (Z n = 0) (Z n+1 = 0) = (Z n+1 = 0). Nämä tulokset pätevät 9
11 Yksilöt Sukupolvi Z Kuva 1: Esimerkki Galton Watson prosessin etenemisestä kaikilla n N +. Näiden tulosten avulla sukupuuton todennäköisyys voidaan laskea raja-arvona siten, että ( ) q = P( sukupuutto ) = P( (Z 1 = 0) tai (Z 2 = 0) tai... ) = P (Z i = 0) = lim n P(Z n = 0). i=1 Galton Watson prosessin määritelmän 2.1 nojalla mielivaltaisen sukupolven koko on summa satunnaismuuttujista L (n) i nollatta sukupolvea lukuunottamatta. Edelleen ensimmäistä sukupolvea lukuunottamatta satunnaismuuttujien L (n) i lukumäärä on edellisen sukupolven koko, eli sekin on satunnaismuuttuja. Lähdetään tästä syystä tarkastelemaan sukupuuton todennäköisyyden ongelmaa todennäköisyys generoivan funktion avulla. Oletetaan tästä eteenpäin, että p 0 + p 1 < 1. Tämä oletus tehdään siitä syystä, että Galton Watson prosessin kulku on triviaali, jos p 0 + p 1 = 1. Tässä tapauksessa P(L 2) = 0, eli jokaisen sukupolven yksilöille syntyy vain yksi tai ei yhtään jälkeläistä. Tällöin prosessi etenee siten, että jokaisen sukupolven kohdalla sukupolven koko on Z n = 1, kunnes prosessi kuolee sukupuuttoon jonkin sukupolven kohdalla m, missä m > n ja Z m = 0. Sukupuuton todennäköisyys on tällöin 1, jos p
12 Toisaalta oletetaan myös, että p 0 1. Tällöin jokaiselle yksilölle syntyy ainakin yksi jälkeläinen, eli Z n Z n+1. Koska määritelmän 2.1 nojalla Z 0 = 1, niin Z n > 0 kaikilla n N, eli sukupuuton todennäköisyys on silloin 0. Seuraava lause 2.4 osoittaa, miten mielivaltaisen sukupolven koon Z n todennäköisyys generoiva funktio voidaan ilmaista yhdistettyjen funktioiden avulla. Käytetään tästä lähtien merkintää G n (t) = (G G)(t). Funktio G n on siis }{{} n kpl yhdistetty funktio n:stä kappaleesta funktioita G. Osoittautuu, että tämä on itse asiassa satunnaismuuttujan Z n todennäköisyys generoiva funktio. Lause 2.4. Mielivaltaisen sukupolven n, missä n N +, kohdalla populaation koon Z n todennäköisyys generoiva funktio on G n (t). Todistus. Olkoot satunnaismuuttujien Z n ja Z n 1 todennäköisyys generoivat funktiot H ja F Zn 1. Galton Watson prosessin määritelmän 2.1 mukaan Z n = Zn 1 i=1 L (n 1) i, eli satunnaismuuttuja Z n on summa Z n 1 :stä kappaleesta sa-. Lisäksi L (n 1) iid (n 1) i L, joten satunnaismuuttujat L i tunnaismuuttujia L (n 1) i ovat samoin jakautuneita ja toisistaan riippumattomia kaikilla i N +. Lisäksi niillä on yhteinen todennäköisyys generoiva funktio G(t). Siten lauseen 1.13 nojalla H(t) = F Zn 1 (G(t)) = (F Zn 1 G)(t). (12) Galton Watson prosessin rekursiivisen luonteen vuoksi satunnaismuuttujalle Z n 2 pätee vastaavanlainen yhtälö F Zn 1 (t) = F Zn 2 (G(t)) = (F Zn 2 G)(t). (13) Yhdistämällä yhtälöt (12) ja (13) saamme tuloksen H(t) = (F Zn 2 G G)(t). (14) Iteroimalla tätä tulosta (14) päädymme rekursiivisuuden nojalla yhtälöön H(t) = (F Z1 G } {{ G } )(t). (15) n 1 Tässä F Z1 on todennäköisyys generoiva funktio sukupolven 1 koolle Z 1 ja se on helppo ratkaista, sillä Z 1 = Z 0 i=1 L(0) i = 1 i=1 L(0) i = L (0) 1. Siten F Z 1 = E(t Z1 ) = E(t L(0) 1 ) = E(t L ) = G(t). Tämän nojalla yhtälöstä (15) seuraa, että E(t Zn ) = H(t) = (G } {{ G } )(t) = G n (t). n Seuraus 2.5. Sukupuuton todennäköisyys voidaan ilmaista myös populaation koon todennäköisyys generoivan funktion avulla siten, että q = lim n G n (0). 11
13 Todistus. Todennäköisyys generoivan funktion ominaisuuksiin 1.11 perustuen G(0) = p 0. Edellisen lauseen 2.4 perusteella n:nännen sukupolven koon Z n todennäköisyys generoiva funktio on G n (t). Näin päädymme yhtälöön P(Z n = 0) = G n (0). (16) Kun yhtälön (16) molemmilla puolilla muuttujan n annetaan lähestyä ääretöntä, saamme sukupuuton todennäköisyydelle tuloksen q = lim n P(Z n = 0) = lim n G n (0). Seuraavaksi todistamme lemman, joka yhdistää sukupuuton todennäköisyyden q syntyvyyden L todennäköisyys generoivaan funktioon G. Lemma 2.6. Todennäköisyys q on pienin positiivinen juuri yhtälölle G(t) = t. Todistus. Lemman todistus on kaksivaiheinen. Ensin todistetaan, että q on yhtälön G(t) = t juuri, ja sitten, että q on pienin positiivinen juuri. Seurauksen 2.5 nojalla funktion G arvo pisteessä q on G(q) = G( lim n G n(0)). (17) Lemmassa 1.11 osoitettiin, että funktio G on jatkuva ainakin välillä [0, 1]. Todennäköisyytenä q saa arvoja vain väliltä [0, 1]. Näin ollen raja-arvolle pätee, että G( lim G n(0)) = lim G(G n(0)) = lim G n+1(0) = q. (18) n n n Yhtälöiden (17) ja (18) perusteella q on yhtälön G(t) = t juuri välillä [0, 1]. Todistetaan seuraavaksi, että q on myös pienin positiivinen juuri. Olkoon s 0 mielivaltainen yhtälön G(t) = t juuri. Yhtälön G(t) = t juurena s on juuri myös yhtälölle G 2 (t) = t, sillä G 2 (s) = G(G(s)) = G(s) = s. Induktiolla voidaan helposti osoittaa, että G n (s) = s kaikilla n N +. Lemmassa 1.11 osoitettiin myös, että funktio G on aidosti kasvava ainakin välillä [0, 1]. Siten G n (0) G n (s) = s. (19) Otetaan epäyhtälöstä (19) molemmin puolin raja-arvo äärettömyydessä n:n suhteen. Tällöin saadaan epäyhtälö lim G n(0) lim s. (20) n n Epäyhtälössä (20) vasemmalla puolella on todennäköisyys q. Juuri s puolestaan ei riipu muuttujasta n, joten q s. Näin ollen q on pienin positiivinen juuri yhtälölle G(t) = t. Seuraava lause on tutkielman keskeisin tulos. Se osoittaa, millä ehdolla Galton Watson prosessi kuolee sukupuuttoon todennäköisyydellä 1. Kääntäen se kertoo, poikkeaako sukupuuton todennäköisyys arvosta 1 tutkittavalla keskimääräisen syntyvyyden arvolla E(L). 12
14 Lause 2.7. Olkoon p 0 + p 1 < 1. Tällöin Galton Watson prosessi kuolee sukupuuttoon todennäköisyydellä q = 1 jos ja vain jos odotusarvo E(L) on pienempi kuin yksi. Todistus. Määritellään funktio φ siten, että φ(t) = G(t) t. Funktio φ on määritelty ainakin välillä t [0, 1], sillä funktio G on määritelty ainakin tällä välillä lemman 1.11 mukaan. Lisäksi funktio φ on jatkuva välillä t [0, 1] ja derivoituva välillä t (0, 1) funktion G jatkuvuuden ja derivoituvuuden perusteella. Funktiolla φ on nollakohta pisteessä 1, sillä φ(1) = G(1) 1 = 1 1 = 0, missä G(1) = 1 todennäköisyys generoivan funktion määritelmän 1.10 nojalla. Olkoon q = 1. Tällöin lemman 2.6 nojalla yhtälöllä G(t) = t ei ole juuria välillä t [0, 1). Siten funktiolla φ ei ole nollakohtia välillä t [0, 1). Toisaalta φ(0) = G(0) 0 = p 0 > 0. Näin ollen φ(t) = G(t) t > 0, kun t [0, 1). Tästä seuraa, että G(t) > t, kun t [0, 1). Lasketaan seuraavaksi, mitä on G (1). Tämä merkintä tarkoittaa tässä yhteydessä tietysti vasemmanpuoleista derivaattaa. Oletetaan siis, että t [0, 1). Tuloksen G(t) > t nojalla G(t) G(1) = G(t) 1 > t 1. Kun tämä epäyhtälö jaetaan puolittain luvulla t 1, joka on pienempi kuin nolla, päädytään epäyhtälöön G(t) G(1) t 1 < t 1 t 1 = 1. Kun tästä epäyhtälöstä otetaan molemmin puolin raja-arvo vasemmalta pisteessä t 0 = 1, niin saamme todennäköisyys generoivan funktion derivaatalle ylärajan G(t) G(1) lim = G (1) < lim t 1 t 1 1 = 1 t 1 pisteessä t 0 = 1. Näin ollen, koska G (1) = E(L), niin E(L) < 1. Olkoon seuraavaksi E(L) < 1. Kun laskemme funktion φ derivaatan muuttujan t suhteen, saamme funktion φ (t) = G (t) 1. Funktio φ on määritelty ainakin välillä t (0, 1). Lemman 1.11 nojalla funktio G (t) on aidosti kasvava välillä t (0, 1), joten G (t) < G (1) = E(L) < 1. Näin ollen φ (t) = G (t) 1 < 0, eli funktio φ(t) on aidosti laskeva ja jatkuva välillä t (0, 1). Koska φ(0) > 0 ja φ(1) = 0, niin φ(t) > 0 välillä t (0, 1). Tämän perusteella G(t) > t, eli G(t) t, kun t [0, 1). Näin ollen yhtälön G(t) = t pienin positiivinen juuri on q = 1, eli sukupuuton todennäköisyys on q = 1 lemman 2.6 nojalla. 3 Yhteenveto Lauseessa 2.7 päädyttiin tulokseen, että ei-triviaaleissa tapauksissa Galton Watson prosessi kuolee varmasti sukupuuttoon, kun populaation yksilöille syntyy keskinmäärin vähemmän kuin yksi jälkeläinen yksilöä kohden. Vastaavasti tässä lauseessa osoitettiin myös käänteinen tilanne: jos prosessi kuolee sukupuuttoon todennäköisyydellä yksi, ei keskimääräinen syntyvyys voi ylittää yhtä jälkeläistä yksilöä kohden. 13
15 Galton Watson prosessin teoria toimii lähtökohtana monelle muulle haarautumisprosessille. Näistä esimerkkeinä toimivat Yulen prosessi, biseksuaalinen Galton Watson prosessi ja ikäriippuvainen haarautumisprosessi. Yulen prosessissa aikaa käsitellään diskreettinä muuttujana. Jälkeläisten saamisen asemesta puhutaan fissiosta, joka tapahtuu satunnaisena ajanhetkenä. Tällä tavalla Yulen prosessi onkin Galton Watson prosessia tarkempi malli muun muassa atomin ydinten hajoamiselle. Biseksuaalisessa Galton Watson prosessissa jälkeläisten saaminen edellyttää kahta eri sukupuolta olevaa yksilöä. Tässä prosessissa jälkeläisten saaminen muistuttaa enemmän muun muassa nisäkkäiden tapaa lisääntyä. Ikäriippuvaisessa haarautumisprosessissa taas Galton Watson prosessin mallia laajennetaan antamalla oma muuttuja yksilön iälle. Tällöin populaation yksilöt voivat kuolla vanhuuteen. 14
16 Lähdeluettelo [1] R. Lyons & Y. Peres: Probability on Trees and Networks. Cambridge University Press, New York, [2] S. Lalley: Branching Processes [pdf-tiedosto]. Noudettu osoitteesta lalley/courses/312/branching.pdf, [3] G. Grimmett & D. Stirzaker: Probability and Random Processes. Oxford University Press Inc., New York,
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
Lisätiedot3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma
3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotDiskreetti derivaatta
Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedot0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotMitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotMatemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto
Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotMatemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)
Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei
LisätiedotYhdistetty funktio. Älä sekoita arvo- eli kuvajoukkoa maalijoukkoon! (wikipedian ongelma!)
Yhdistetty unktio TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Määritelmä, yhdistetty unktio: Funktioiden ja g yhdistetty unktio g (luetaan g pallo ) määritellään yhtälöllä g g. Funktio g on ns. ulkounktio ja sisäunktio.
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotReaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Lisätiedot(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
Lisätiedot