Luonnollisten lukujen suurista osajoukoista

Transkriptio

1 Luonnollisten lukujen suurista osajoukoista Pro gradu -tutkielma Minna Turunen Itä-Suomen yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos Kevät 2016

2 Sisältö Johdanto 3 1 Luonnollinen tiheys Esimerkki leikkauksen luonnollisesta tiheydestä Filtterit ja ultraltterit Filtterit Ultraltterit Raja-arvo ltterin suhteen Luonnollinen tiheys ltterin suhteen Vastaus I : Ei välttämättä maksimaalinen Vastaus II : Projektiivisesti maksimaalinen Transniittinen ltteriketju Ordinaalit Luonnolliset luvut Ordinaalin määritelmä Aputuloksia Filtteriketju Filtteriketjun rekursio Viitteet 44

3 Johdanto Luonnollinen tiheys on yksi monista tavoista kuvata luonnollisten lukujen osajoukon kokoa. Joukon A N luonnollinen tiheys määritellään raja-arvona d(a) := lim n A(n) n, missä A(n) ilmaisee lukua n pienempiä olevien joukon A alkioiden lukumäärän. Luonnollisesta tiheydestä hieman heikompi versio on Schnirelmanntiheys, joka määritellään vastaavana suurimpana alarajana, inf n N [12]. A(n) n Luonnollisten lukujen osajoukolla voi siis olla hyvin määritelty Schnirelmanntiheys, vaikka sillä ei välttämättä olisi olemassa luonnollista tiheyttä. Luonnollisella tiheydellä on eräitä todennäköisyysmitan ominaisuuksia. Erityisesti numeroituvan additiivisuuden puuttuessa sen ominaisuuksista, se ei kuitenkaan ole mitta. Esimerkiksi Buck [2] sekä Freedman ja Sember [7] ovat tutkimuksissaan käsitelleet luonnollisen tiheyden äärellistä additiivisuutta. Niven [13] puolestaan on koonnut tunnettuja tuloksia luonnolliselle tiheydelle ja lisäksi käsitellyt tutkimuksessaan luonnollisen tiheyden nolla omaavia erilaisia lukuteorian kannalta mielenkiintoisia joukkoja. Eräs luonnolliseen tiheyteen liitettävä tulos on Szemerédin lause. Väittämän esittivät Erdös ja Turán vuonna 1936, mutta sen yleisen muodon todisti Szemerédi vuonna Szemerédin lause sanoo, että luonnollisten lukujen osajoukko A N, jolla on positiivinen luonnollinen tiheys, sisältää mielivaltaisen pituisen aritmeettisen regression, toisin sanoen tällöin pätee a, a + r, a + 2r,..., a + (k 1)r A, missä luvut a ja r ovat luonnollisia lukuja ja luku k 1 ilmaisee kyseisen regression pituuden. [5, 15] Luonnollisen tiheyden avulla voidaan määritellä esimerkiksi tilastollinen suppeneminen. Jonon (x n ) X sanotaan suppenevan tilastollisesti kohti rajaarvoa x X, jos jokaista pisteen x avointa ympäristöä U vastaavan joukon {n N : x n / U} luonnollinen tiheys on nolla, tai ekvivalentisti joukon {n N : x n U} luonnollinen tiheys on yksi. Tilastollisen suppenemisen käsitteen esitti Fast vuonna [6] Tilastollinen suppeneminen eroaa tavallisesta suppenemisesta siinä mielessä, että jopa äärettömän moni lukujonon (x n ) termi voi olla avoimen ympäristön ulkopuolella. Koska äärellisen joukon luonnollinen tiheys on nolla, niin tavallisesti suppeneva lukujono on myös tilastollisesti suppeneva, mutta ei 3

4 välttämättä päinvastoin. Filtteri on joukkokokoelma, joka sisältää koko perusjoukon, mutta ei tyhjää joukkoa; on ylöspäin suljettu; sekä on suljettu äärellisten leikkausten suhteen. Filtterin voi ajatella olevan joukkokokoelma, johon kuuluvat joukot ovat tarpeeksi suuria toteuttamaan haluttuja ominaisuuksia. Tietyssä mielessä ltteri siis pystyy toteamaan kustakin joukosta, onko se suuri joukko vai ei. Filtterin käsitteen esitti Cartan vuonna 1939 ja tämän jälkeen lttereitä on hyödynnetty niin analyysissa, topologiassa, lukuteoriassa kuin logiikassakin. [3, 4] Lukujonon (x n ) X sanotaan suppenevan ltterin suhteen kohti raja-arvoa x X, jos jokaista pisteen x avointa ympäristöä U vastaava joukko {n N : x n U} kuuluu kyseiseen ltteriin. Kuten tilastollisen suppenemisen tapauksessa, tavallisesti suppeneva lukujono suppenee myös vapaan ltterin suhteen, mutta ltterin suhteen suppenemisesta ei automaattisesti seuraa tavallinen suppeneminen. Edellä mainittu tilastollinen suppeneminen voidaan tulkita suppenemisena sellaisen ltterin suhteen, joka koostuu joukoista, joiden luonnollinen tiheys on yksi. Joukkokokoelman I sanotaan olevan ideaali, jos se sisältää tyhjän joukon; kahden kokoelman joukon yhdiste kuuluu myös joukkokokoelmaan; ja kokoelmaan kuuluvan joukon osajoukko kuuluu myös joukkokokoelmaan. Ideaali luonnollisten lukujen yli voidaan ajatella ltterin duaalina: siinä missä ltterin joukot voidaan identioida suuriksi joukoiksi, ideaalin joukot voidaan ymmärtää pieninä joukkoina. Lukujonon (x n ) X sanotaan suppenevan ideaalin suhteen kohti raja-arvoa x X, jos jokaista pisteen x avointa ympäristöä U vastaava joukko {n N : x n / U} kuuluu kyseiseen ideaaliin. Ideaalisuppenemista tutkivat Kostyrko, Salát ja Wilczy«ski vuonna 2000 yleistyksenä tilastollisesta suppenemisesta. Tilastollinen suppeneminen siis vastaa suppenemista sellaisen ideaalin suhteen, joka koostuu joukoista, joiden luonnollinen tiheys on nolla. [10] Suppeneminen ltterin suhteen ja suppeneminen ideaalin suhteen ovat ekvivalentteja toistensa kanssa. Kuten tilastollinen suppeneminen, myös tavallinen supeneminen voidaan ajatella ltteri- tai ideaalisuppenemisena. Tavallinen suppeneminen voidaan tulkita ideaalin suhteen suppenemisena, jos kyseisen ideaalin muodostavat luonnollisten lukujen äärelliset osajoukot. Vastaavasti tavallinen suppeneminen voidaan tulkita ltterisuppenemisena, kun ltterin muodostavat sellaiset joukot, joiden komplementit ovat äärellisiä (täl- 4

5 lainen ltteri tunnetaan nimellä koniittinen tai Fréchet-ltteri). Tässä pro gradu -tutkielmassa yhdistetään käsitteet luonnollinen tiheys ja raja-arvo ltterin suhteen. Luvussa 1 määritellään luonnollinen tiheys täsmällisemmin ja esitetään muutamia luonnollisen tiheyden ominaisuuksia. Luvussa 2 määritellään ltteri ja ultraltteri, esitellään erilaisia lttereitä ja niiden ominaisuuksia, määritellään täsmällisemmin lukujonon suppeneminen ltterin suhteen ja lisäksi osoitetaan, että kaikilla lukujonoilla on olemassa yksikäsitteinen raja-arvo ultraltterin suhteen. Luvussa 3 tarkastellaan luonnollisten lukujen osajoukkojen luonnollista tiheyttä, kun raja-arvo ajatellaankin ltterin suhteen otettuna. Jos ltteri on maksimaalinen, niin tiedetään, että kaikilla luonnollisten lukujen osajoukoilla on olemassa luonnollinen tiheys raja-arvona tämän ltterin suhteen. Luonnollisesti herää kysymys, päteekö implikaatio toiseen suuntaan, eli seuraako siitä, että kaikilla luonnollisten lukujen osajoukoilla on olemassa luonnollinen tiheys jonkin ltterin suhteen, se että kyseinen ltteri on maksimaalinen. Luvussa 3 vastataan tähän kysymykseen. Luvussa 4 konstruoidaan transniittisella rekursiolla ltteriketju aloittaen Fréchet-ltteristä, tai tätä hienommasta vapaasta ltteristä, ja päätyen melko hienoon, mutta ei kuitenkaan maksimaaliseen ltteriin. Rekursiossa uusi ltteri muodostetaan sellaisen ltterin avulla, joka koostuu täsmälleen niistä joukoista, joiden luonnollinen tiheys on yksi aiemman ltterin suhten. Lopulta ketjun hienoin ltteri tulee koostumaan täsmälleen niistä joukoista, joiden luonnollinen tiheys on yksi ltterin itsensä suhteen. Läpi tutkielman käytetään seuraavia merkintöjä ja oletetaan näiden pitävän, ellei toisin mainita. Olkoon X on Hausdor-avaruus. Joukkokokoelmalla F tarkoitetaan vapaata ltteriä joukon N yli ja joukkokokoelmalla U tarkoitetaan vapaata ultraltteriä joukon N yli. Isoilla kirjaimilla yleisesti merkitään joukkoja ja näiden osajoukkoja, pienillä kirjaimilla merkitään lukuja ja pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla merkitään ordinaaleja. Luvun 3 merkinnällä M 1 < M 2 <... tarkoitetaan luonnollisten lukujen osajoukoista koostuvaa jonoa: siis kaikilla i N pätee M i N ja max M i < min M i+1. Kerrataan vielä tutkielmassa tarvittava muutama joukko-opillinen käsite. Relaatio X X on osittainjärjestys, jos se on reeksiivinen, eli kaikille x X pätee x x; antisymmetrinen, eli kaikille x, y X, joille on voimassa x y ja y x, pätee x = y; ja transitiivinen, eli kaikille x, y, z X, joille on voimassa x y ja y z, pätee x z. Relaatio X X on line- 5

6 aarijärjestys, jos reeksiivisyyden, antisymmetrisyyden ja transitiivisuuden lisäksi se on vielä vertailtava, eli kaikille x, y X on voimassa joko x y tai y x. Relaatio X X on hyvinjärjestys, jos se on lineaarijärjestys ja lisäksi jokaisella joukon X epätyhjällä osajoukolla on olemassa pienin alkio relaation suhteen. 6

7 1 Luonnollinen tiheys Luonnollinen tiheys on eräs tapa mitata luonnollisten lukujen osajoukon kokoa. Englanninkielisessä kirjallisuudessa luonnollisesta tiheydestä puhuttaessa käytetään termiä natural density tai vaihtoehtoisesti asymptotic density. Määritelmä 1.1. Olkoon A = {a 1, a 2,...} N osajoukko positiivisia kokonaislukuja. Ajattelemme indeksoinnin jatkossa kasvavasti, ts. a 1 < a 2 <.... Joukon A lower density d L (A) ja upper density d U (A) määritellään d L (A) = lim inf n d U (A) = lim sup n A(n) n, A(n) n, missä A(n) = A {1,..., n}, eli A(n) kertoo lukujonon A niiden jäsenten lukumäärän, joille pätee a j n. Sanotaan, että joukolla A on luonnollinen tiheys d(a), jos d L (A) = d U (A), jolloin merkitään A(n) d(a) = lim n n. Jos joukon A luonnollinen tiheys on hyvin määritelty, niin tällöin pätee 0 d(a) 1. [12, s ] [16, s. 415] Kirjallisuudessa käytetään toisinaan luonnollisen tiheyden määritelmänä pelkkää lower density-käsitettä, jolloin upper density määriteltäisiin d U (A) = 1 d L (A) (esimerkiksi [7, s. 294]). Tässä pro gradu -työssä käytämme luonnolliselle tiheydelle määritelmää 1.1. Esimerkki 1.2. Esimerkkejä joukkojen luonnollisista tiheyksistä: (a) d(n) = 1. (b) d(2n) = 1. Itse asiassa kaikille joukoille A, jotka ovat muotoa A = 2 {an + b : n N}, a N, luonnollinen tiheys on hyvin määritelty ja d(a) = 1. a Jos ajatellaan luonnollista tiheyttä d kuvauksena d : P(N) D [0, 1], on sillä monia todennäköisyysmitan ominaisuuksia, vaikkei se kuitenkaan ole mitta. Mitan ominaisuuksista luonnolliselle tiheydelle d pätee esimerkiksi: d(n) = 1 (vrt. perusjoukon mitta on 1); 7

8 jos osajoukko A on äärellinen, niin d(a) = 0 (vrt. äärellinen osajoukko on nollamittainen Lebesguen mitalla); jos joukolla A on olemassa hyvin määritelty luonnollinen tiheys d(a), niin myös joukon komplementilla on olemassa luonnollinen tiheys, jolle pätee d(a c ) = 1 d(a); jos d(a) ja d(b) ovat hyvin määriteltyjä ja A B, niin d(a) d(b) (vrt. mitan monotonisuus); jos A B =, niin d(a B) on hyvin määritelty ja d(a B) = d(a) + d(b) (vrt. mitan additiivisuus). (Huom. Kuitenkin jos A B, niin luonnollisia tiheyksiä d(a B) ja d(a B) ei välttämättä ole olemassa. Tätä tarkastellaankin tarkemmin myöhemmässä esimerkissä); σ-additiivisuus ei päde, eli on voimassa 0 = d({n}) d( n N {n}) = 1. [2, s ] (Mitan ominaisuudet [14, s ].) 1.1 Esimerkki leikkauksen luonnollisesta tiheydestä Seuraavaksi esitettävän esimerkin tarkoituksena on näyttää, että kahden luonnollisen tiheyden omaavan luonnollisten lukujen osajoukon leikkauksella ei välttämättä ole olemassa hyvin määriteltyä luonnollista tiheyttä. Esimerkki 1.3. Halutaan konstruoida sellaiset joukot A, B N, joilla on hyvin määritellyt luonnolliset tiheydet d(a) ja d(b), mutta joiden leikkauksen luonnollista tiheyttä d(a B) ei ole määritelty. Muodostetaan joukot A ja B siten, että d(a) = d(b) = 1 2. Valitaan joukoksi A = 2N, eli parilliset luonnolliset luvut. Selvästikin tällöin d(a) = 1 2. Joukko B konstruoidaan rekursiivisesti valitsemalla siihen vuoroin parillisia, vuoroin parittomia luonnollisia lukuja siten, että joukon luonnollisena tiheytenä kuitenkin säilyy d(b) = 1 2. Halutaan siis, että joukolla A B ei ole hyvin määriteltyä luonnollista tiheyttä. Tämä tarkoittaa, että raja-arvoa d(a B) = lim n A B n, 8

9 missä A B n = (A B) {1,...,n}, ei ole olemassa. Toisin sanoen A B n n ei suppene kohti mitään raja-arvoa n:n lähestyessä ääretöntä, vaan hajaantuu. Joukko B voidaan konstruoida siten, että rajoitetaan tämä heilahtelu välille 1 4 A B n 2 5. (1.1) Joukon B konstruoinnin idea: Aloitetaan konstruktio valitsemalla joukkoon B parillisia luonnollisia lukuja järjestyksessä, aloittaen luvusta 2. Tällöin joukoissa A ja B olevien yhteisten alkioiden lukumäärä kasvaa ja luonnollisesti termi A B n kasvaa. Valitaan siis joukkoon B parillisia lukuja b 1 < b 2 <... niin monta, kunnes A B n 2, eli kunnes saavutetaan arvion (1.1) yläraja. Tämä toteutuu jo indeksillä b 1 = n = 5 2. Tämän jälkeen vaihdetaan valittavaksi joukkoon B parittomia lukuja. Tällöin joukkoon B valitaan alkiota, joita ei ole joukossa A. Leikkauksen A B alkioiden lukumäärä pysyy samana, joten n:n kasvaessa termi A B n luonnollisesti pienenee. Valitaan siis joukkoon B parittomia lukuja b 2 <... < b i kunnes A B n 1 4, missä n = b i, eli kunnes saavutetaan arvion (1.1) alaraja. Seuraavaksi valitaan joukkoon B taas järjestyksessä seuraavia parillisia lukuja b i+1 < b i+2 <... < b j, kunnes saavutetaan arvion (1.1) yläraja indeksillä n = b j, jonka jälkeen valitaan jälleen joukkoon B parittomia lukuja. Konstruktiota jatketaan samalla periaatteella. Huom. Arvion (1.1) ala- ja ylärajat eivät ole ideaalit rajat termin A B n heilahtelulle, mutta tarpeeksi riittävät ristiriidan aikaansaamiseksi esimerkissämme raja-arvon olemassaoloa silmällä pitäen. Joukon B konstruointi tarkemmin: Konstruoidaan rekursiivisesti kuvaus θ : N {0, 1}, missä { 1, jos n B; θ(n) = 0, jos n / B. Funktio θ kertoo siis jokaisen luonnolisen luvun n kohdalla, kuuluuko kyseinen luku n joukkoon B vai ei. Koska joukon B konstruointi aloitettiin parillisista luvuista, asetetaan siis θ(1) = 0 ja θ(2) = 1. Määritellään lisäksi apufunktio d : N [0, 1] siten, että d (n) = A B n = (A B) {1,..., n}. n 9

10 Tällöin esimerkiksi d (A B) {1} (1) = = = 0, 1 1 d (A B) {1, 2} (2) = = {2} = Nyt kaikilla n 3 kuvaus θ määritellään seuraavasti: Kun n on pariton, eli n = 2k + 1, k = 1, 2,..., niin 0, jos d (2k 2) 1; 4 θ(2k + 1) = θ(2k 1), jos d (2k 2) ] 1, 2[; 4 5 1, jos d (2k 2) 2. 5 Kun n on parillinen, eli n = 2k, k = 2, 3,..., niin 1, jos d (2k 2) 1; 4 θ(2k) = θ(2k 2), jos d (2k 2) ] 1, 2[; 4 5 0, jos d (2k 2) 2. 5 Toisin sanoen se, valitaanko joukkoon B parillisia vai parittomia lukuja, vaihtuu, kun d poistuu väliltä ] 1 4, 2 5 [. Tällöin esimerkiksi: n θ(n) d (n) Joukko B koostuu siis niistä luvuista n, joille pätee θ(n) = 1. Nyt siis B = {2, 3, 6, 8, 10, 11,...}. 10

11 Joukon B luonnollisena tiheytenä haluttiin säilyttää d(b) = 1. Tämä pätee, 2 koska: Tiedetään, että d(a) = d(2n) = 1. Joukko B on konstruoitu siten, 2 että se sisältää vuoroin parillisia ja vuoroin parittomia lukuja. Jos joukon B parittomat luvut siirretään yhden askeleen luokusuoralla oikealle, joukon B alkiot vastaavat täsmälleen joukon A alkioita. Siis d(b) = d(a) = 1. 2 Esimerkin tavoitteena oli etsiä sellaiset joukot A, B N siten, että d(a) = d(b) = 1, mutta siten, että raja-arvoa 2 d(a B) = lim n A B n (1.2) ei ole olemassa. Raja-arvo (1.2) vastaa edellä määritellyn funktion d rajaarvoa, kun n. Toisaalta luvut d (n) muodostavat lukujonon (d n) n N, missä d n = d (n). Nyt funktion d raja-arvo, kun n, on sama kuin lukujonon (d n) raja-arvo, kun n. Tiettävästi lukujonolla (a n ) on olemassa raja-arvo jos ja vain jos lim inf n a n = lim sup a n. n Lukujonon (d n) tapauksessa (konstruktion perusteella) selvästikin lim inf n d n 1 4 ja lim sup d n 4 n 10. Siis lim inf n d n lim sup d n, n joten lukujonolla (d n) ei ole raja-arvoa. Näin ollen ei myöskään ole olemassa raja-arvoja lim n d (n) = lim A B n n = d(a B). Siis joukkojen A ja B leikkauksen luonnollista tiheyttä ei ole määritelty. 11

12 2 Filtterit ja ultraltterit 2.1 Filtterit Määritelmä 2.1. Filtteri F luonnollisten lukujen N yli on kokoelma joukon N osajoukkoja, eli F P(N), joka toteuttaa seuraavat ominaisuudet (i) / F ja N F ; (ii) jos A F ja A B, niin B F ; (iii) F on suljettu äärellisten leikkausten suhteen, eli jos A, B F, niin A B F. [1, s. 57] Tässä pro gradu -tutkielmassa käsitellään lttereitä vain luonnollisten lukujen yli, joten määritelmäkin on luonnollisesti esitetty tässä muodossa. Myös myöhemmät määritelmät ja tulokset esitetään myös vain koskien lttereitä luonnollisten lukujen yli. Määritelmässä 2.1 luonnollisten lukujen joukon N voi korvata myös jollain mielivaltaisella joukolla X, jolloin saataisiin määriteltyä ltteri joukon X yli. Intuitiivisesti ajateltuna ltteri on joukkokokoelma, joka sisältää tarpeeksi suuria joukkoja, jotka toteuttavat haluttuja ominaisuuksia. Selvästikin määritelmän 2.1 ominaisuudet (i) ja (ii) sopivat tähän ajatusmalliin: tyhjä joukko ei ole tarpeeksi suuri ja tarpeeksi suuren joukon sisältävän joukon on myös oltava tarpeeksi suuri. Sen sijaan aivan yhtä selvää ei ole nähdä, onko kahden (tai äärellisen monen) tarpeksi suuren joukon leikkaus välttämättä tarpeeksi suuri. Toinen tapa ajatella lttereitä on ajatella niitä joukkokokoelmina, joiden joukot sisältävät tarpeeksi alkioita, jotta tietyt ominaisuudet toteutuvat. Edelleen tämä ajatusmalli soveltuu hyvin määritelmän 2.1 ominaisuuksiin (i) ja (ii). Lisäksi, jos kaksi joukkoa sisältää tarpeeksi alkioita, jotka toteuttavat haluttuja ominaisuuksia, myös näiden joukkojen leikkauksen on sisällettävä tarpeeksi alkoita. Tästä keskustellaan lisää todennäköisyysanalogiassa alla. Filtterin ominaisuuksia voi verrata myös todennäköisyysmitan, P : Ω [0, 1], ominaisuuksiin, kun rajoitutaan tarkastelemaan vain tapauksia, joissa P(A) = 1: Perusjoukon todennäköisyys on yksi, kun taas tyhjän joukon todennäköisyys ei ole sitä; jos tapahtuman A todennäköisyys on yksi, niin myös tapahtuman B, jolle pätee A B, todennäköisyys on yksi; sekä kahden 12

13 tapahtuman, joiden todennäköisyydet ovat yksi, leikkauksen todennäköisyys on myös yksi. Luonnollisten lukujen joukon N yli on olemassa triviaali ltteri: pelkästään joukon itsensä sisältävä joukkokokoelma {N}. Ei-triviaalia ltteriä kutsutaan aidoksi ltteriksi. Filtterit voidaan järjestää relaatiolla. Olkoot F ja F lttereitä luonnollisten lukujen yli. Sanotaan, että F on hienompi kuin F (tai F on karkeampi kuin F ), jos F F. Lisäksi, jos F F, sanotaan, että F on aidosti hienompi kuin F (tai F on aidosti karkeampi kuin F ). Määritelmä 2.2. Fréchet-ltteri joukon N yli on ltteri, joka koostuu täsmälleen niistä luonnollisten lukujen osajoukoista, joiden komplementit ovat äärellisiä. Toisin sanoen Fréchet-ltteri on muotoa F = {A N : N \ A on äärellinen}. Fréchet-ltteri tunnetaan myös määritelmänsä perusteella nimellä koniittinen ltteri. [1, s. 57] Määritelmä 2.3. Filtteri F joukon N yli on vapaa, jos leikkaus F F F on tyhjä joukko. Prinsipaalinen ltteri on muotoa F = {F N : A F }, missä A N. Selvästikään prinsipaalinen ltteri ei ole vapaa, koska kaikki ltterin joukot sisältävät saman osajoukon, joten niiden leikkaus ei voi olla tyhjä joukko. Jatkossa rajoitutaan tarkastelemaan vapaita lttereitä. Vapaan ltterin ja Fréchet-ltterin välillä on seuraava yhteys: Lemma 2.4. Filtteri F on vapaa jos ja vain jos se sisältää Fréchet-ltterin. Todistus. ( ). Oletetaan, että F on vapaa ltteri joukon N yli. Määritelmän 2.3 mukaan tällöin siis pätee F F F =, eli kaikilla n N on olemassa sellainen F n F, jolle pätee n / F n. Olkoon F F Fréchet-ltteri ja olkoon A F F. Nyt joukko N \ A on äärellinen. Koska F on suljettu äärellisten leikkausten suhteen, niin joukolle F := n N\A F n pätee F F. Joukon F määritelmän perusteella pätee F (N\A) =, eli on oltava F A. Filtterin määritelmän nojalla siis pätee myös A F. Siis F F F, eli vapaa ltteri sisältää Fréchet-ltterin. 13

14 ( ). Oletetaan, että F F F, missä F F on Fréchet-ltteri, ja osoitetaan, että tällöin F on vapaa ltteri. Fréchet-ltteri joukon N yli on vapaa (Perustelu: Jos Fréchet ltteri F F ei olisi vapaa, olisi olemassa sellainen n N, jolle pätee n A F F A. Koska {n} on äärellinen, niin pätee N \ {n} F F. Olkoon A F F. Nyt n A, mutta n / A \ {n} F F, mikä on ristiriita.). Tällöin siis pätee A A =. A F A F F Eli ltteri F on vapaa. Olkoon {F n } n N jono lttereitä. On helppo osoittaa, että tällöin näiden lttereiden leikkaukset ja yhdisteet ja n N F n ovat myös lttereitä. Kun käytetään osittainjärjestysrelaatiota, ltteri n N F n on joukkokokoelman {F n } n N suurin alaraja ja vastaavasti ltteri n N F n on joukkokokoelman pienin yläraja. n N Määritelmä 2.5. Olkoon B P(N). B on ltterikanta, jos (i) B ja / B; F n (ii) kahden B:n joukon leikkaus sisältää jonkin B:n joukon. Sanotaan, että B on ltterin F kanta, jos B F ja jokainen joukko F F sisältää jonkin joukon B B. Toisin sanoen ltterikannan B generoima ltteri F on muotoa F = {F N : B F jollekin B B}. [1, s. 59] 2.2 Ultraltterit Määritelmä 2.6. Filtteri U on ultraltteri (eli maksimaalinen ltteri ), jos ei ole olemassa aidosti hienompaa ltteriä U. [1, s. 60] Osoitetaan seuraavaksi niin kutsuttu ultraltterilemma, jonka mukaan jokainen ltteri on laajennettavissa ultraltteriksi. Tätä varten esitetään aputuloksena ensin Hausdorn maksimaaliperiaate, joka puolestaan seuraa valintaaksioomasta (todistus sivuutetaan). Hausdorn maksimaaliperiaate. Jokainen osittainjärjestetty joukko (X, ) sisältää maksimaalisen ketjun (Y, ) (X, ) (Huom. Merkintä (Y, ) (X, ) tarkoittaa, että on voimassa Y X ja, että relaatio on rajoittunut joukkoon Y ). Toisin sanoen joukko (Y, ) toteuttaa seuraavat ominaisuudet: 14

15 (i) (Y, ) on ketju, eli lineaarijärjestetty joukko; (ii) (Y, ) on maksimaalinen, eli jos [9, s. 32] (Y, ) (Y, ) (X, ), missä (Y, ) on lineaarijärjestys, niin Y = Y (eli ei ole olemassa isompaa ketjua X:ssä kuin Y ). Lemma 2.7. (Ultraltterilemma). Jokainen ltteri on laajennettavissa ultraltteriksi. Toisin sanoen jokaiselle ltterille F on olemassa ultraltteri U siten, että F U. Todistus. Ajatellaan joukkoa {F P(N) : F on ltteri ja F F } osittainjärjestettynä relaatiolla. Hausdorn maksimaaliperiaatteen nojalla on tässä joukossa tällöin olemassa maksimaalinen ketju (K, )... G..., G K. Merkitään U := G K G, ja osoitetaan, että U on ltteri: (i) Selvästi, koska G on ltteri, niin kaikilla G K pätee / G, ja siis / G K G = U. Vastaavasti myös pätee N U. (ii) Olkoot A U ja B N siten, että A B. Koska A U = G K G, niin on olemassa ltteri G K, jolle A G. Koska G on ltteri, niin määritelmän nojalla pätee myös B G U, eli B U. (iii) Olkoot A, B U. Tällöin on olemassa ketjun K ltterit G 1 ja G 2 siten, että A G 1 ja B G 2. Valitaan lttereistä hienompi G i, i = 1, 2, jolloin on voimassa A, B G i. Koska G i on ltteri, niin ltterin määritelmän nojalla pätee myös A B G i U, eli A B U. Joukkokokoelma U toteuttaa ltterin määritelmän ominaisuudet (i), (ii) ja (iii), joten se on ltteri. Koska F K, pätee selvästi F U. Lisäksi U K. Osoitetaan vielä, että U on ultraltteri: Jos U ei olisi ultraltteri, olisi olemassa ltteri U siten, että F U U. Koska ketju (K, ) on maksimaalinen, niin pätee myös U K ja näin ollen U U. Siis U = U, ja U siis on ultraltteri. 15

16 Seuraavaksi esitetään muutamia ultraltterin ominaisuuksia. Lemmoja 2.10 ja 2.11 hyödynnetään jatkossa esimerkiksi tarkastellessa, onko jokin ltteri maksimaalinen vai ei. Lemma 2.8. Olkoon U ultraltteri joukon N yli. Jos on olemassa A, B N siten, että A B U, niin A U tai B U. Lisäksi, jos joukot A ja B ovat erillisiä, niin täsmälleen toinen kyseisistä joukoista kuuluu ltteriin U. Todistus. Tehdään antiteesi: On olemassa sellaiset joukot A, B N, joille pätee A / U ja B / U, mutta A B U. Merkitään Tarkistetaan, että G on ltteri: G = {G N : A X U }. (i) Koska A = A / U, niin / G. Vastaavasti, koska A N = N U, niin N G. (ii) Olkoon G 1 G ja olkoon G 2 N siten, että G 1 G 2. Nyt A G 1 A G 2. Koska F on ltteri ja A G 1 U, niin määritelmän nojalla pätee myös A G 2 U ja siis G 2 G. (iii) Olkoot G 1, G 2 G. Tällöin on voimassa A G 1, A G 2 U ja ltterin määritelmän nojalla pätee joten G 1 G 2 G. A (G 1 G 2 ) = (A G 1 ) (A G 2 ) U, Kaikille joukoille U U pätee U A F U, joten U G ja siispä U G. Lisäksi oletuksen perusteella on olemassa sellainen B N, jolle B G, mutta B / U. Eli ltteri U ei ole maksimaalinen, mikä on ristiriita ja väite seuraa. Olkoot sitten A, B N joukkoja siten, että A B =. Jos pätisi sekä A F että B F, niin ltterin määritelmän nojalla myös A B = F, mikä on ristiriita. Väite seuraa. Seuraus 2.9. Olkoon U ultraltteri ja (A i ) 1 i n äärellinen jono joukon N osajoukkoja siten, että 1 i n A i U. Tällöin pätee A i U vähintään yhdellä i. Lisäksi, jos joukot A i ovat erillisiä, pätee A i U täsmälleen yhdellä i. 16

17 Todistus. Väite seuraa edellisestä lemmasta induktiolla n:n suhteen. Lemma Olkoon U ltteri. Tällöin U on ultraltteri jos ja vain jos kaikille A N pätee joko A U tai A c U (mutta ei molemmat). Todistus. ( ). Oletetaan, että U on ultraltteri. Olkoon A N mielivaltainen. Joukolle A ja sen komplementille A c pätee A A c = N U ja A A c =. Näin ollen lemman 2.8 nojalla tällöin pätee joko A U tai A c U. ( ). Oletetaan, että kaikille A N pätee joko A U tai A c F. Tehdään antiteesi: U ei ole ultraltteri. Tällöin ultraltterilemman perusteella on olemassa ultraltteri U siten, että U U. Joukkokokoelma U \ U on siis C = {C N : C U ja C / U }. Oletuksen nojalla nyt siis kaikille C C pätee C c U U. Siis nyt on voimassa C U ja C c U. Filtterin määritelmän nojalla tällöin myös C C c = U, mikä on ristiriita. Siispä U :n on oltava ultraltteri. Lemma Filtteri F on maksimaalinen jos ja vain jos ei ole olemassa sellaista joukkoa A N, että jokaisella F F pätee sekä F A että F \ A. Todistus. ( ). Oletetaan, että ltteri F on maksimaalinen. Tehdään antiteesi: On olemassa sellainen A N siten, että jokaisella F F pätee sekä F A että F \ A. Eli siis kaikilla F F pätee F A ja F A c. Tällöin on oltava A / F - Jos olisi A F, niin pätisi = A A c, mikä on ristiriita. Vastaavasti on oltava A c / F. Lemman 2.10 nojalla F ei tällöin ole ultraltteri eli maksimaalinen ltteri, mikä on ristiriita oletuksen kanssa. ( ). Oletetaan seuraavaksi, että ei ole olemassa sellaista joukkoa A N, että jokaisella F F pätee sekä F A että F \ A. Tehdään antiteesi: ltteri F ei ole maksimaalinen. Tällöin on olemassa ltteri F siten, että F F. Valitaan nyt A F \ F. Olkoon F F F. Tällöin - koska A, F F, niin ltterin määritelmän nojalla pätee myös A F F, siis on oltava A F. - koska A / F, niin täytyy päteä F A. Siis on oltava F \ A. Saadaan ristiriita oletuksen kanssa, siispä ltterin F on oltava maksimaalinen. 17

18 2.3 Raja-arvo ltterin suhteen Tässä osiossa määritellään lukujonon yleistetty raja-arvo ltterin suhteen. Tätä määritelmää varten tarvitaan muutamia apukäsitteitä ja -tuloksia. Lisäksi osoitetaan myös, että lukujonolla on aina olemassa hyvinmääritelty ja yksikäsitteinen ltteriraja-arvo ultraltterin suhteen. Määritelmä Topologinen avaruus (X, T ) on kompakti, jos sen jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Lemma Olkoon (X, T ) kompakti topologinen avaruus. Jos C i X, i I, ovat suljettuja joukkoja ja i I C i =, niin on olemassa äärellinen osajoukko J I, siten, että i J C i =. Todistus. Olkoot C i X, i I, suljettuja joukkoja. Tällöin joukkojen komplementit Ci c ovat avoimia joukkoja. Oletetaan, että pätee i I C i =. Ottamalla komplementit puolittain saadaan { } c C i = Ci c = X. i I Siis {Ci c } i I muodostaa avoimen peitteen joukolle X. Avaruuden (X, T ) kompaktisuudesta seuraa, että tälle avoimelle peitteelle on olemassa äärellinen osapeite, toisin sanoen on olemassa äärellinen osajoukko J I siten, että Ci c = X. i J Ottamalla taas komplementit puolittain saadaan C i =. i I Määritelmä Topologinen avaruus (X, T ) on Hausdor-avaruus, jos kaikilla joukon X erillisillä pisteillä on olemassa erilliset avoimet ympäristöt. Toisin sanoen kaikilla x, y X, x y, on olemassa avoimet U x, U y X siten, että x U x, y U y ja U x U y =. Määritelmä (a) Olkoon (x n ) X jono ja olkoon F ltteri joukon N yli. Jono (x n ) suppenee ltterin F suhteen kohti raja-arvoa x, i I lim x n = x X, n,f jos jokaisella pisteen x avoimella ympäristöllä U X pätee {n N : x n U} F. 18

19 Esitetään vielä määritelmän 2.15 muotoilu reaalisessa tapauksessa, joka on sinällään käyttökelpoisempi jatkoa ajatellen, kun käsitellään lukujonon suppenemista reaaliakselilla. Määritelmä 2.15 (b) Olkoon (x n ) R jono ja olkoon F ltteri joukon N yli. Jono (x n ) suppenee ltterin F suhteen kohti raja-arvoa x jos jokaisella ε > 0 pätee lim x n = x R, n,f {n N : x n x < ε} F. Lemma Olkoon (X, T ) kompakti Hausdor-avaruus ja (x n ) X jono. Olkoon F ultraltteri joukon N yli. Tällöin jonolla (x n ) on olemassa yksikäsitteinen raja-arvo ltterin F suhteen, lim n,f x n. Todistus. Osoitetaan ensin ltteriraja-arvon olemassaolo. Tehdään antiteesi: Jonolla (x n ) ei ole olemassa ltteriraja-arvoa, ts. yksikään piste x X ei ole jonon (x n ) ltteriraja-arvo. Määritelmän 2.15 perusteella tämä tarkoittaa, että jokaisella x X on olemassa avoin ympäristö U x siten, että {n N : x n U x } / F. Joukkokokoelma {U x : x X} on joukon X avoin peite. Tällöin avaruuden (X, T ) kompaktisuudesta seuraa, että on olemassa äärellinen osapeite {U i } i I, missä I on äärellinen. Nyt kaikilla i I pätee {n N : x n U i } / F. Koska F on ultraltteri, niin lemman 2.10 nojalla pätee {n N : x n U i } c = {n N : x n U c i } F. Koska {U i } i I on joukon X avoin peite, niin i I U c i =. Tästä seuraa i I{n N : x n U c i } = {n N : x n i I U c i } = F, mikä johtaa ristiriitaan ltterin määritelmän kanssa. Siispä jonolla x n on olemassa ainakin yksi ltteriraja-arvo lim n,f x n. 19

20 Osoitetaan seuraavaksi ltteriraja-arvon yksikäsitteisyys. Tehdään antiteesi: Jonolla (x n ) on olemassa ltteriraja-arvot lim x n = x 1 X ja lim x n = x 2 X, n,f n,f missä x 1 x 2. Määritelmästä 2.15 seuraa, että jokaiselle pisteen x 1 avoimelle ympäristölle U 1 X pätee {n N : x n U 1 } F, ja vastaavasti jokaiselle pisteen x 2 avoimelle ympäristölle U 2 X pätee {n N : x n U 2 } F. Koska F on ltteri, niin kaikille avoimille ympäristöille U 1 ja U 2 pätee myös {n N : x n U 1 } {n N : x n U 2 } = {n N : x n U 1 U 2 } F. Mutta, koska (X, T ) on Hausdor-avaruus, niin pisteille x 1 ja x 2 voidaan valita erilliset avoimet ympäristöt, eli U 1 ja U 2 siten, että U 1 U 2 =. Nyt {n N : x n U 1 U 2 } = F, mikä on ristiriita. Siispä jonon (x n ) ltteriraja-arvo on yksikäsitteinen. Osoitetaan seuraavaksi ltteriraja-arvon ominaisuus, jonka mukaan lukujonon raja-arvo säilyy siirryttäessä ltteristä hienompaan. Lemma Olkoon jonolla (x n ) X olemassa raja-arvo ltterin F suhteen. Olkoon F ltteri ja F F. Tällöin jonolla (x n ) on olemassa rajaarvo myös ltterin F suhteen, missä F F, ja Todistus. Merkitään lim x n = lim x n,f n,f n. lim x n = x. n,f Tällöin määritelmän 2.15 mukaan jokaiselle pisteen x avoimelle ympäristölle U X pätee {n N : x n U} F. Mutta koska oletettiin, että F F, niin myös {n N : x n U} F, eli lim n,f x n = x = lim n,f x n. 20

21 3 Luonnollinen tiheys ltterin suhteen Edellä olevan perusteella tiedetään, että jos U on ultraltteri, niin kaikilla joukon X jonoilla (x n ) on olemassa yksikäsitteinen raja-arvo ltterin U suhteen. Tästä seuraa, että tällöin kaikilla osajoukoilla A N on olemassa ltterin U suhteen luonnollinen tiheys missä siis A n = A {1,...,n} n. d U (A) := lim n,u A n Mutta entäpä, jos kaikilla osajoukoilla A N on olemassa luonnollinen tiheys ltterin F suhteen, seuraako tästä, että F on ultraltteri? Vastaus tähän kysymykseen osoitautuu olevan kaksijakoinen: Filtteri, jonka suhteen kaikilla joukoilla A N on olemassa luonnollinen tiheys, ei välttämättä itse ole maksimaalinen. Tällaisen ltterin avulla muodostettu toinen, eräänlainen projektio-ltteri, kuitenkin on maksimaalinen. 3.1 Vastaus I : Ei välttämättä maksimaalinen Tässä osiossa osoitetaan, että on olemassa sellainen ltteri F, jonka suhteen kaikilla joukoilla A N on olemassa luonnollinen tiheys, mutta joka ei ole maksimaalinen. Olkoon U ultraltteri joukon N yli. Määritellään { } F := M i : U U, missä M i = {2i 1, 2i}, i N. i U Lemma 3.1. Edellä määritelty joukkokokoelma F on ltterikanta. Todistus. F P(N), joten osoitetaan, että joukkokokoelma F toteuttaa ltterikannan määritelmän ehdot (i) ja (ii): (i) Koska kaikille U U pätee U, niin i U M i, ja siis / F. (ii) Olkoot A, B F. Tällöin on olemassa sellaiset U A, U B U, joille A = M i ja B = M i. i U A i U B 21

22 Nyt ( A B = i U A M i ) ( i U B M i ) = i U A U B M i. Koska U A, U B U, niin ltterin määritelmän nojalla pätee myös U A U B U, ja siis A B F. Määritellään nyt ltterikannan F avulla ltteri F seuraavasti { F := F N : } M i F, missä U U. (3.1) i U Lemma 3.2. Edellä määritelty joukkokokoelma F on ltteri. Todistus. F P(N), joten osoitetaan, että joukkokokoelma F toteuttaa ltterin määritelmän ehdot (i) (iii): (i) Koska kaikille U U pätee U, niin i U M i, ja siis / F. Ja koska N U sekä i N M i = N, niin N F, mistä edelleen seuraa N F. (ii) Olkoot A F ja B N siten, että A B. Koska A F, on olemassa sellainen U A U, jolle pätee i U A M i A B. Siis myös B F. (iii) Olkoot A, B F. Tällöin on olemassa sellaiset U A, U B U, joille M i A ja M i B. i U A i U B Nyt ( i U A M i ) ( i U B M i ) = i U A U B M i A B. Koska U A, U B U, niin ltterin määritelmän nojalla pätee myös U A U B U, ja siis A B F. Lemma 3.3. Edellä määritelty ltteri F ei ole maksimaalinen. 22

23 Todistus. Lemman 2.11 nojalla ltteri F ei ole maksimaalinen, koska on olemassa sellainen A N siten, että jokaisella F F pätee sekä F A että F \ A. Tällaiseksi joukoksi A voidaan valita esimerkiksi A 1 { i F {min M i} : F U }. Selvästikin tälle joukolle A 1 pätee molemmat edellä mainitut ehdot. Filtteriä F voidaan siis laajentaa seuraavasti { } F F 1, missä F 1 {min M i } : F U. Tai vastaavasti voidaan valita A 2 { i F {max M i} : F U }, jolloin ltteriä F voidaan laajentaa seuraavasti { } F F 2, missä F 2 {max M i } : F U. Lemma 3.4. Kaikilla osajoukoilla A N on olemassa luonnollinen tiheys edellä määritellyn (3.1) ltterin F suhteen. Toisin sanoen ltterille F pätee, että kaikilla A N on olemassa raja-arvo i F i F lim A n. n,f Todistus. Olkoon A N mielivaltainen ja olkoon ε > 0. Koska U on ultraltteri, on olemassa ltteriraja-arvo lim A 2n =: d. n,u Filtteriraja-arvon määritelmän mukaan tämä tarkoittaa, että on olemassa U U ja d [0, 1] siten, että kaikilla ε > 0 pätee { i N : A 2i d < ε } = U U. (3.2) 2 Tarkastellaan seuraavaksi n-keskiarvon A n muutosta peräkkäisillä n:n arvoilla. Nyt siis A n = A n+1 = A {1,..., n}, n A {1,..., n + 1}. n

24 Termi A n+1 voidaan kirjoittaa myös muodossa A n+1 = A {1,..., n} + θ n + 1 = n A n + θ, n + 1 { 1, jos n + 1 A, missä θ = 0, jos n + 1 / A. Jos θ = 1, saadaan arvio Jos taas θ = 0, saadaan arvio A n A n+1 A n + 1 n + 1. (3.3) A n 1 n + 1 A n+1 A n. (3.4) Yhdistämällä arviot (3.3) ja (3.4) saadaan arvio A n 1 n + 1 A n+1 A n + 1 n + 1. Siis kaikilla n N n-keskiarvon muutokselle pätee A n+1 A n 1 n + 1. (3.5) Tästä seuraa, että on olemassa i 0 N siten, että kaikilla i N, i i 0 pätee A 2i 1 A A {1,..., 2i 1} A {1,..., 2i} 2i = 2i 1 2i < ε 2. (3.6) Koska U on vapaa ultraltteri, niin missä U U toteuttaa ehdon (3.2). Olkoon nyt W := U {i 0, i 0 + 1,...} U, M i = F F. i W Olkoon m F. Jos m on parillinen, eli m = 2i, niin yhtälön (3.2) perusteella pätee A {1,..., 2i} d 2i < ε 2. 24

25 Jos taas m on pariton, eli m = 2i 1, niin kolmioepäyhtälön sekä yhtälöiden (3.2) ja (3.6) perusteella pätee A {1,..., 2i 1} d 2i 1 A {1,..., 2i 1} A {1,..., 2i} 2i 1 2i + A {1,..., 2i} d 2i < ε 2 + ε 2 = ε. Siis kaikilla m F on voimassa A {1,..., m} d m < ε. Eli { } m N : A m d < ε F F, mikä tarkoittaa, että raja-arvo lim n,f A n on olemassa, ja siis kaikilla joukoilla A N on olemassa luonnollinen tiheys määritellyn ltterin F suhteen. 3.2 Vastaus II : Projektiivisesti maksimaalinen Tässä osiossa osoitetaan, että ltteri, jonka suhteen kaikilla joukoilla A N on olemassa luonnollinen tiheys, on projektiivisesti maksimaalinen, vaikkei ltteri itse olekaan maksimaalinen. Olkoon F ltteri joukon N yli. Muodostetaan joukkokokoelma W seuraavasti W := { {i N : M i F } : F F }, (3.7) missä M i :t ovat luonnollisten lukujen blokkeja, eli = M i N siten, että kaikilla i N on voimassa max M i < min M i+1. Oletetaan lisäksi, että kaikilla F F pätee W = {i N : M i F } =, eli että jokaisella joukolla F F on olemassa jokin blokki M i N, jota joukko F leikkaa. 25

26 Lemma 3.5. Edellä määritelty joukkokokoelma W on ltteri. Todistus. W P(N), joten osoitetaan, että joukkokokoelma W toteuttaa ltterin määritelmän ominaisuudet (i) (iii): (i) Koska kaikille F F pätee F, niin / W. Ja koska N F, niin W = {i N : M i N } = N, ja siispä N W. (ii) Olkoot A W ja B N siten, että A B. Koska A W, on olemassa sellainen joukko F A F, jolle A = {i N : M i F A }. Nyt A = {i N : M i F A } {i N : M i F B } = B, missä F B := i B M i F A F. Koska F A F ja F A F B, niin ltterin määritelmän nojalla pätee myös F B F, ja siis B W. (iii) Olkoot A, B W. Tällöin on olemassa sellaiset joukot F A, F B F, joille A = {i N : M i F A } ja Nyt B = {i N : M i F B }. A B = {i N : M i (F A F B ) }. Koska F A, F B F, niin ltterin määritelmän nojalla pätee myös F A F B F, ja siis A B W. Filtterin W voi ajatella olevan ltterin F eräänlainen projektio: On olemassa kuvaus g : F P(N) siten, että ltterin F kuvajoukko on ltteri W, eli g(f ) = W, ja g(f ) = {i N : M i F } W, missä F F. Eli jokainen joukko F F voidaan kuvata joukoksi W W, ja näin muodostetaan uusi ltteri. Kuvassa 1 on havainnollistettu ltterin F kuvaamista ltteriksi W : Olkoon F F. Ylemmällä lukusuoralla pisteet kuvaavat niitä luonnollisia lukuja, jotka kuuluvat joukkoon F. Alemmalla lukusuoralla on esitetty luonnollisten lukujen blokkeja. Kuvan tapauksessa joukko F leikkaa esimerkiksi blokkeja M k, M k+1, M k+2 ja M k+5, mutta ei esimerkiksi blokkeja M k+3 ja M k+4. Blokkien indekseistä saadaan joukko W W. Kuvan tapauksessa 26

27 W = {..., M k, M k+1, M k+2, M k+5,...} W. Kun kaikki ltterin F joukot kuvataan vastaavasti uusiksi joukoiksi niiden blokkien indeksien avulla, joita se leikkaa, saadaan ltteri W. Kuva 1: Joukon F F kuvaaminen joukoksi W W. Filtterin vapaus säilyy, kun se kuvataan projektiivisesti yhtälön (3.7) mukaisesti uudeksi ltteriksi: Lemma 3.6. Jos ltteri F on vapaa, niin ltteri W on myös vapaa. Todistus. Oletetaan, että ltteri F on vapaa. Tehdään antiteesi: ltteri W ei ole vapaa. Määritelmän 2.3 nojalla tällöin on olemassa sellainen n N, jolle pätee n W W W, eli jokaiselle W W on voimassa n W. Koska W W, niin on olemassa joukko F F, jolle W = {i N : M i F }. Nyt koska n W jokaisella W W, niin M n F jokaisella F F. Näin ollen M n F F, F F mikä on ristiriita ltterin F vapauden kanssa. Siispä ltterin W on oltava vapaa. Osoitetaan seuraavaksi, että tämä projektio-ltteri W on maksimaalinen. Tätä ominaisuutta varten tarvitaan kuitenkin ehto blokkien M i välisille etäisyyksille. Muotoillaan siis seuraavasti: F F Lause 3.7. Oletetaan, että F on ltteri siten, että jokaisella osajoukolla A N on olemassa luonnollinen tiheys lim A n. n,f Oletetaan, että on olemassa α ]0, 1[ ja blokit M 1 < M 2 <..., 27 M i N

28 siten, että α min M i+1 min M i+1 max M i. Oletetaan, että kaikilla F F on olemassa i N siten, että M i F. Olkoon W = { {i N : M i F } : F F }. Tällöin W on maksimaalinen ltteri. Todistus. Olkoon ltteri W kuten lauseen muotoilussa. Tehdään antiteesi: W ei ole maksimaalinen. Tällöin ltteriä W voidaan laajentaa kahteen suuntaan, eli Lemman 2.11 nojalla on olemassa sellainen joukko B N, että kaikilla W W pätee sekä W B että W B c. Siis B, B c / W. Näin saadaan ltterit W B = { U N : W B U, W W }, W B c = { V N : W B c V, W W }, joille siis pätee W W B ja W W B c. Näiden lttereiden avulla saadaan lauseen oletuksien nojalla ltterikannat { FB = M i F : F F, I W B }, i I { FB = } M c i F : F F, J W B c, i J jotka puolestaan tuottavat ltterin F kaksi eri laajennusta, eli F F B ja F F B c. Huom. Perustellaan vielä, että F B tosiaan on ltterikanta: (i) / FB lauseen oletuksien nojalla. (ii) Olkoot A 1, A 2 FB. Tällöin on olemassa joukot F 1, F 2 F ja I 1, I 2 W B, joille A 1 = M i F 1 ja A 2 = M i F 2. i I 1 i I 2 Nyt A 1 A 2 = i I 1 I 2 M i (F 1 F 2 ) F B, sillä ltterin määritelmän nojalla leikkauksille pätee F 1 F 2 F ja I 1 I 2 W B. 28

29 Ominaisuuksista (i) ja (ii) seuraa, että FB on ltterikanta. Vastaavasti nähdään, että FB on ltterikanta. c Olkoon F F. Tarkastellaan seuraavaksi joukkoja muotoa F B = M i F F B, F B c = i W B i W B c M i F F B c, missä W W. Näiden joukkojen yhdisteelle pätee F B F B c F, mutta kumpikaan joukoista F B tai F B c ei erikseen kuulu ltteriin F, eli F B / F ja F B c / F. Jälkimmäinen perustuu siihen, että joukoille B ja B c pätee B, B c / W. Todistuksen alkuosan määritelmien perusteella nyt kaikilla i N vain toinen leikkauksista M i F B tai M i F B c voi olla epätyhjä. Perustelu: Olkoot F B ja F B c kuten yllä siten, että F B F B c F. Olkoon M i F B. Tällöin on olemassa k N siten, että k M i ja k F B = i W B M i F. Koska k F B, niin k M i F pätee jollakin i W B, mikä puolestaan tarkoittaa, että k M i pätee jollakin i W B. Mutta koska (W B) (W B c ) =, niin k / M i millään i W B c, eli k / F B c ja siis M i F B c =. Vastaavasti nähdään, että jos M i F B c, niin M i F B =. Siispä vain toinen kyseisistä leikkauksista voi olla epätyhjä. Tavoitteena on löytää sellainen joukko A N, jolla ei ole olemassa luonnollista tiheyttä ltterin F suhteen, mikä johtaa haluttuun ristiriitaan. Konstruoidaan siis joukko A siten, että sen n-keskiarvo ( eli luku A n ) lähenee raja-arvoa d B ltterin F B suhteen, siis blokeilla M i, joilla M i F B, ja raja-arvoa d B c ltterin F B c suhteen, siis blokeilla M i, joilla M i F B c, missä d B d B c. Tästä seuraa lopulta se, ettei n-keskiarvo voi lähestyä yksikäsitteistä raja-arvoa d ltterin F suhteen, kun siis tarkastellaan joukkoja F B F B c F. Lauseen α-ehto blokkien välisille etäisyyksille takaa sen, että joukon A n-keskiarvo ehtii muuttua peräkkäisten blokkien välillä riittävästi aiheuttaakseen halutun ristiriidan. Joukon A konstruoinnissa käytetään apuna funktiota θ : N {0, 1}, missä { 1, jos n A, θ n = 0, jos n / A. 29

30 Jatkossa sanomme, että M i on B-blokki, jos i B, ja vastaavasti M i on B c - blokki, jos i B c. Valitaan n N siten, että 1 < α ja valitaan luvuksi m > n seuraavan B- n 10 blokin maksimi. Siis m = min{max M i : i B, n < min M i }. Rajoitumme jatkossa tarkastelemaan sellaisia joukkoja W, joille F B ja F B c eivät leikkaa joukkoa {1,..., m}. Valitaan m ensimmäistä θ:a siten, että joukon A m-keskiarvo on välillä [ 1 2, α 2 ]. Joukon A muodostamiseksi konstruoidaan θ:t seuraavasti: Oletetaan, että ollaan määritelty θ 1,..., θ k, missä k m. Valitaan θ k+1 seuraavin ehdoin jos k kuuluu B-blokkiin (tai toissijaisesti k ei kuulu mihinkään blokkiin, mutta seuraava blokki on B-blokki) ja joukon A k-keskiarvo α 2, niin valitaan θ k+1 = 1; jos k kuuluu B-blokkiin (tai toissijaisesti k ei kuulu mihinkään blokkiin, mutta seuraava blokki on B-blokki) ja joukon A k-keskiarvo > α 2, niin valitaan θ k+1 = 0; jos k kuuluu B c -blokkiin (tai toissijaisesti k ei kuulu mihinkään blokkiin, mutta seuraava blokki on B c -blokki) ja joukon A k-keskiarvo 1 2, niin valitaan θ k+1 = 0; jos k kuuluu B c -blokkiin (tai toissijaisesti k ei kuulu mihinkään blokkiin, mutta seuraava blokki on B c -blokki) ja joukon A k-keskiarvo < 1 2, niin valitaan θ k+1 = 1. Jatketaan tämän rekursion mukaisesti θ k :n määrittelyä kaikilla k N. Joukko A koostuu nyt siis luvuista k, joille θ k = 1. Rekursiosta voidaan nähdä, että sellaisilla blokeilla, jotka sisältävät lukua m suurempia lukuja, pätee, että B-blokkien sisällä joukon A k-keskiarvo pysyttelee välillä [ α, α], toisin sanoen kaikilla k M i, i B, k > m, pätee α A k α. 30

31 Vastaavasti nähdään, että B c -blokkien sisällä joukon A k-keskiarvo pysyttelee välillä [ α, α], toisin sanoen kaikilla k M i, i B c, k > m, pätee α A k α. ( Tämä seuraa siitä, että n valittiin siten, että 1 < α ; tiedetään, että k > n 10 n; sekä lisäksi aiemmin ollaan havaittu arviossa (3.5), että peräkkäisille k- keskiarvoille pätee A k+1 A k 1 < 1 k+1 n). Filtteriraja-arvon määritelmän mukaan raja-arvo lim n,f A n =: d on olemassa, jos kaikilla ε > 0 on olemassa F F siten, että kaikilla n F pätee A {1,..., n} d n < ε. Nyt joukon A k-keskiarvon vaihteluväleistä [ 1 1 α, α] ja [ α, α] havaitaan, että 6 10 ( ) α α = 3 10 α. Olkoon ε = 3 α. Havaitaan, että jokaiselle d R pätee 20 {n N : A n d < ε} / F. (3.8) Joukko (3.8) ei leikkaa joukkoja F B ja F B c samalla. Jos olisi {n N : A n d < ε} F, niin pätisi myös {n F B F B c : A n d < ε} F, jolloin luvun ε valinnan perusteella tämä joukko sisältyisi itse asiassa toiseen joukoista F B tai F B c, joille molemmille pätee F B, F B c / F, mikä tuottaa ristiriidan. Siis ei ole olemassa raja-arvoa lim A n. n,f Tämä on ristiriita oletuksen kanssa, joten antiteesi ei voi pitää paikkaansa. Siispä ltterin W on oltava maksimaalinen. 31

32 4 Transniittinen ltteriketju Tässä luvussa konstruoidaan eräs ltteriketju transniittisen rekursion avulla. Rekursio voidaan aloittaa luonnollisilla luvuilla ja jatkaa sitä periaatteessa aina aitoon luokkaan asti. Jotta voidaan jatkaa transniittista rekursiota, tarvitaan avuksi ordinaalit. Kerrataan ensin ordinaalilukujen määritelmä ja muutamia aputuloksia, joita lopulta hyödynnetään ltteriketjun rekursiossa (katso tarkemmin [11]). 4.1 Ordinaalit Esitetään ensin von Neumannin konstruktio luonnollisille luvuille ja määritellään tämän jälkeen ordinaali-käsite täsmällisemmin Luonnolliset luvut Luonnolliset luvut voidaan konstruoida von Neumannin mukaan seuraavasti: Aloitetaan konstruktio kaikkein yksinkertaisimmasta joukosta, eli tyhjästä joukosta ja identioidaan 0 =. Seuraava luonnollinen askel kasvattaa edellistä joukkoa on muodostaa joukko, joka sisältää tyhjän joukon; merkitään tätä nyt 1 = { }. Muodostetaan seuraavaksi joukko, jonka alkioita ovat kaikki edelliset joukot, ja merkitään 2 = {, { }}. Samaa periaatetta noudattaen saadaan konstruoitua koko luonnollisten lukujen joukko. Kukin luonnollinen luku n itsessään voidaan siis ajatella joukkona, joka sisältää kaikki sitä pienemmät luonnolliset luvut, ja tässä joukossa on n alkiota. Taulukossa 1 on esitetty von Neumannin konstruktio muutamille pienimmille luonnollisille luvuille. Taulukko 1: Von Neumannin konstruktio luonnollisille luvuille. 0 = 1 = {0} = { } 2 = {0, 1} = {, { }} 3 = {0, 1, 2} = {, { }, {, { }}} 4 = {0, 1, 2, 3} = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}}

33 4.1.2 Ordinaalin määritelmä Määritelmä 4.1. (i) Joukko X on transitiivinen, jos jokainen joukon X alkion alkio on myös joukon X alkio. Toisin sanoen jokainen joukon X alkio on myös joukon X osajoukko, eli kaikille x X pätee myös x X. (ii) Joukko x on ordinaali, jos se on transitiivinen ja hyvinjärjestetty relaatiolla. (iii) On = {x : x on ordinaali}; On on kaikkien ordinaalien luokka. (iv) Ordinaalien luokassa voidaan määritellä järjestysrelaatio <, joka formaalisti voidaan kirjoittaa muodossa <= { x, y : x, y On ja x y}. (Huom. Relaatio määritellään karteesisen tulon osajoukkona. Nyt kyseinen relaatio < ei kuitenkaan ole joukko, sillä ordinaalit ovat aito luokka. Tämä ei kuitenkaan käytännössä ole ongelma, ja ordinaalit voidaan hyvinkin järjestää pienempi kuin -relaatiolla.) [11, s. 52] Ordinaalin määritelmästä seuraa, että jokainen ordinaalin alkio itse on myös ordinaali, ja jokainen transitiivinen joukko ordinaaleja on myös ordinaali. Erityisesti siis tyhjä joukko on ordinaali. Jos A on epätyhjä joukko ordinaaleja, niin A on joukon A pienin alkio ja A on joukon A pienin yläraja. Siis jokainen joukko ordinaaleja on rajoitettu ordinaalilla. Jokaiselle ordinaalille α pätee, että myös α {α} on ordinaali. Tämä on α:n seuraaja, eli α < α {α} ja ei ole olemassa sellaista ordinaalia β, jolle pätee α < β < α {α}. Seuraajaa on tapana merkitä myös α + 1:lla. Sanotaan, että α on seuraajaordinaali, jos on olemassa ordinaali β siten, että α = β {β}. Tätä yksikäsitteistä ordinalia β kutsutaan edeltäjäordinaaliksi, ja sitä on vastaavasti tapana merkitä β = α 1. Ordinaali α on rajaordinaali, jos α 0 ja α ei ole seuraajaordinaali. Rajaordinaalille α pätee α = sup{β : β < α} = β<α β, missä β:t ovat ordinaaleja. Ordinaali α on äärellinen ordinaali, eli luonnollinen luku, jos α = 0 tai α on seuraajaordinaali ja jokaiselle ordinaalille β < α pätee myös joko β = 0 tai β on seuraajaordinaali. Äärelliset ordinaalit muodostavat joukon ja tätä joukkoa merkitään ω 0 :lla. Joukko ω 0 on siis pienin ääretön ordinaali eli ensimmäinen rajaordinaali. Äärettömiä ordinaaleja kutsutaan myös transniittisiksi ordinaaleiksi. Näitä on havainnollistettu taulukossa 2. 33

34 Ordinaalilukujen aritmetiikka eroaa hieman totutusta luonnollisten lukujen aritmetiikasta. Mainittakoon tässä muutamia ordinaaliartimetiikan ominaisuuksia niihin sen enempää syventymättä. Kahden ordinaalin summa on edelleen ordinaali, sama pätee myös tulolle. Summan suhteen neutraalialkio on 0, eli α + 0 = 0 + α = α. Tulon suhteen neutraalialkio on 1, eli α 1 = 1 α = α. Äärellisille ordinaaleille pätevät tutut aritmetiikan laskusäännöt, kuten assosiatiivisuus, kommutatiivisuus ja osittelulaki. Äärettömillä ordinaaleilla puolestaan summa ja tulo ovat assosiatiivisia laskutoimituksia, mutta eivät kommutatiivisia. Esimerkiksi 1 + ω = ω, mutta ω + 1 > ω. Vastaavasti tulolle pätee, että 2 ω = ω, mutta ω 2 = ω + ω. Taulukko 2: Äärettömät ordinaalit ω 0 ω ω 0 + ω 0. ω 1. ω 2. ω ω. = '{0, 1, 2,...}' = '{0, 1, 2,..., ω 0 }'. = ω 0 2 = '{0, 1, 2,..., ω 0, ω 0 + 1,...}' 4.2 Aputuloksia Perinteisen iduktio-todistuksen periaatteen voi laajentaa toimimaan myös hyvinjärjestetyissä joukoissa, esimerkiksi ordinaaleilla: Lause 4.2. (Transniittinen induktio). Olkoon P väite. Jos (i) P (0) on totta; (ii) kaikilla seuraajaordinaaleilla α pätee P (α) P (α + 1); (iii) kaikilla rajaordinaaleilla λ pätee ( β < λ P (β) ) P (λ); niin väite P pätee kaikilla ordinaaleilla α On. 34

35 Todistus. Todistus sivuutetaan, katso esimerkiksi [11, s. 56]. 4.3 Filtteriketju Tarkoituksena on konstruoida transniittinen ltteriketju hyödyntäen luonnollisia valintoja. Filtteriketju aloitetaan Fréchet-ltteristä, tai tätä hienommasta vapaasta ltteristä. Rekursion idea on, että muodostetaan ltteri, joka koostuu niistä joukoista, joiden luonnollinen tiheys on yksi edellisen ltterin suhteen, ja seuraavaksi ketjun uudeksi ltteriksi asetetaan näiden kahden yhteinen hienonnus. Olkoon F ltteri joukon N yli. Olkoon A N ja merkitään joukon A luonnollista tiheyttä ltterin F suhteen d F (A) := lim n,f A n, missä siis A n = A {1,...,n}. Märitellään seuraavaksi n F := {A N : d F (A) = 1} ja tarkistetaan, että kyseinen joukkokokoelma on ltteri: Lemma 4.3. Edellä määritelty joukkokokoelma F on ltteri. Todistus. Joukkokoelma F koostuu siis sellaisista luonnollisten lukujen osajoukoista A, joilla on olemassa luonnollinen tiheys ltterin F suhteen, ja jolle pätee d F (A) = 1. (i) Selvästi on voimassa / F ja N F. (ii) Olkoot A F ja B N siten, että A B. Olkoon ε > 0. Valitaan N F siten, että kaikilla n N pätee Koska A B, niin A n > 1 ε. B n A n > 1 ε kaikilla n N, eli d F (B) = 1. Siis B F. (iii) Olkoot A, B F. Olkoon ε > 0. Valitaan N, M F siten, että kaikilla n N pätee A n > 1 ε 2 35