Matematiikan suullinen kielentäminen erityisopetuksessa

Transkriptio

1 T A M P E R E E N Y L I O P I S T O Matematiikan suullinen kielentäminen erityisopetuksessa Kasvatustieteiden yksikkö Opettajankoulutuslaitos, Hämeenlinna Kasvatustieteen pro gradu -tutkielma ANNE-MARI KRAMER Kevät 2012

2 Tampereen yliopisto Kasvatustieteiden yksikkö Opettajankoulutuslaitos, Hämeenlinna ANNE-MARI KRAMER: Matematiikan suullinen kielentäminen erityisopetuksessa Kasvatustieteen pro gradu -tutkielma, 70 sivua, 5 liitesivua Huhtikuu 2012 Tutkimukseni tarkoituksena oli tarkastella matematiikan suullista kielentämistä erityisopetuksen näkökulmasta. Tutkimuksessa selvitettiin, matematiikan suullisen kielentämisen hyötyjä opettajan ja osa-aikaisessa matematiikan erityisopetuksessa käyvien oppilaiden näkökulmasta. Tutkimuksessa lisäksi tarkasteltiin millaisia laskustrategioita oppitunneilla löydettiin yhteen- ja vähennyslaskuihin matematiikan suullisen kielentämisen avulla. Tutkimukseni on luonteeltaan kvalitatiivinen tapaus- ja toimintatutkimus. Osallistuin itse toimintaan havainnoimalla ja opettamalla tutkimuskohteitani. Tutkimuskohteenani olivat kaksi ensimmäisen luokan oppilasta, seitsemän toisen luokan oppilasta ja neljä neljännen luokan oppilasta eräästä eteläsuomalaisesta peruskoulusta. Heillä kaikilla on oppimisvaikeuksia erityisesti matematiikan peruslaskutaidoissa. Tutkimuksen aikana vahvistettiin oppilaiden matematiikan peruslaskutaitoja matematiikan suullisen kielentämisen avulla. Oppitunnit kuvattiin myöhempää tarkastelua varten ja kuvamateriaalin perusteella tunneilla tapahtuvat keskustelut litteroitiin. Keskustelujen analysoinnissa lähestymistapana käytettiin pragmaattista diskurssianalyysia. Tutkimustuloksista ilmeni, että oppilas hyötyy matematiikan suullisesta kielentämisestä. Oppituntien aikana oppilaiden lukukäsite sekä käsitteellinen ymmärrys selkiintyi. Oppilaat oppivat myös ilmaisemaan paremmin ajatuksiaan matemaattisten käsitteiden avulla. Kun oppilas kielensi omaa vastaustaan, muut oppilaat saivat kuulla erilaisia laskustrategioita, joita he alkoivatkin käyttää itse laskiessaan laskuja. Tutkimustuloksista selvisi myös, että opettaja saa hyödyllistä tietoa, kun oppilas kielentää laskuprosessiaan. Opettaja saa tietää onko oppilas ymmärtänyt aiheen ja jos aihe ei ole ymmärretty, opettaja pääsee korjaamaan mahdollisen ajatusvirheen. Oppilaiden kielentämisen avulla opettaja saa myös palautetta omasta opetuksestaan ja ideoita kehittää opetustaan selkeämmäksi, jotta kaikki oppilaat ymmärtävät opetettavan aiheen. Oppilailla oli monenlaisia omia laskustrategioita yhteen- ja vähennyslaskuihin. Tunneilla opetettiin oppilaille myös uusia strategiamalleja ja myös oppilaat kertoivat omia strategioitaan muille oppilaille. Näin ainakin yhteenlaskut lähtivät sujumaan kaikilla oppilailla erilaisten laskustrategioiden avulla. Tutkimustulokseni eivät ole yleistettävissä, koska kyseessä on laadullinen tapaustutkimus, mutta tulokset antavat kuitenkin suuntaa jatkotutkimuksille. Myös luokanopettajat ja erityisopettajat voivat soveltaa tutkimuksessani saatuja tuloksia omaan opetukseensa. Tutkimukseni osoitti, että matematiikan suullisen kielentämisen avulla erityisopettaja voi auttaa matemaattisista oppimisvaikeuksista kärsivää oppilasta hahmottamaan matemaattisia käsitteitä sekä oppimaan ja ymmärtämään matematiikkaa paremmin. Täten matematiikan suullisista kielentämistä kannattaa jatkossa soveltaa myös erityisopetuksessa. Avainsanat: matematiikka, matemaattinen ajattelu, matematiikan suullinen kielentäminen, matemaattiset oppimisvaikeudet, erityisopetus

3 SISÄLLYS JOHDANTO... 5 MATEMAATTINEN OSAAMINEN KÄSITTEELLINEN YMMÄRTÄMINEN... 9 PROSEDURAALINEN SUJUVUUS...10 STRATEGINEN KOMPETENSSI...11 MUKAUTUVA PÄÄTTELY...12 YRITTELIÄISYYS...13 MATEMAATTISTEN TAITOJEN KEHITYS...14 YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUJEN PÄÄSSÄLASKUSTRATEGIAT MATEMAATTINEN AJATTELU...17 MITÄ MATEMATIIKAN KIELENTÄMINEN ON?...18 MATEMATIIKAN SUULLINEN KIELENTÄMINEN LUOKKAHUONEESSA...19 MATEMATIIKAN KIELENTÄMINEN KÄYTÄNNÖSSÄ...21 Uudelleen ilmaiseminen...21 Toistaminen...22 Järkeily...23 Täydentäminen...23 Ajan antaminen...24 Koko luokan yhteinen keskustelu...24 Pienryhmäkeskustelu...25 Parikeskustelu...26 MATEMATIIKAN KIELENTÄMINEN JA OPETUSSUUNNITELMA MITÄ OVAT MATEMAATTISET OPPIMISVAIKEUDET?...28 MATEMATIIKKA JA KIELELLISET HÄIRIÖT...29 MATEMAATTISET OPPIMISVAIKEUDET JA MAAHANMUUTTAJAT...30 MATEMATIIKAN ERITYISOPETUS OPETUSSUUNNITELMASSA...31 MATEMATIIKAN KIELENTÄMINEN...17 MATEMAATTISET OPPIMISVAIKEUDET...28 TUTKIMUKSIA MATEMATIIKAN KIELENTÄMISESTÄ ERITYISOPETUKSESSA...34 TUTKIMUKSEN LÄHTÖKOHDAT JA TOTEUTTAMINEN EMPIIRINEN TUTKIMUS...36 TUTKIMUKSEN TOTEUTTAMINEN...36 TUTKIMUSKYSYMYKSET...40 TUTKIMUSSTRATEGIAT...41 AINEISTON HANKINNAN METODIT...42 AINEISTON ANALYYSI...43 MATEMATIIKAN SUULLINEN KIELENTÄMINEN ERITYISOPETUKSESSA MITÄ HYÖTYÄ MATEMATIIKAN KIELENTÄMISESTÄ ON MATEMATIIKAN OPPIMISVAIKEUKSISTA KÄRSIVÄLLE OPPILAALLE? MITEN RYHMÄN MUUT OPPILAAT HYÖTYVÄT TOISEN OPPILAAN MATEMATIIKAN KIELENTÄMISESTÄ? MITEN MATEMATIIKAN KIELENTÄMINEN AUTTAA OPETTAJAA ARVIOIMAAN OPPILAAN MATEMATIIKAN OSAAMISTA? MILLAISIA LASKUSTRATEGIOITA YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUIHIN LÖYTYI?...53 JOHTOPÄÄTÖKSET...58

4 8.1 MATEMATIIKAN SUULLINEN KIELENTÄMINEN ERITYISOPETUKSESSA MATEMATIIKAN SUULLISEN KIELENTÄMISEN HYÖTY MATEMATIIKAN OPPIMISVAIKEUKSISTA KÄRSIVÄLLE OPPILAALLE MATEMATIIKAN SUULLISEN KIELENTÄMISEN HYÖTY MUILLE OPPILAILLE OPPILAAN MATEMATIIKAN SUULLISEN KIELENTÄMISEN HYÖTY OPETTAJALLE YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKUSTRATEGIAT POHDINTA...64 LÄHTEET LIITTEET

5 1 JOHDANTO Matematiikan oppiminen tuottaa välillä vaikeuksia suurimmalle osalle oppilaista. Osa kamppailee prosenttilaskujen kanssa ja osa trigonometrian kanssa. Matemaattisista oppimisvaikeuksista voidaan kuitenkin puhua vasta, kun oppilaalla on ongelmia peruslaskutaitojen kanssa. Peruslaskutaitoja opitaan varhaislapsuudessa erilaisissa arkitilanteissa. Monelle lapselle esimerkiksi ostoksien laskeminen on hyvin tuttua jo kouluun tullessa. Koulussa matematiikan oppiminen viedään kuitenkin usein abstraktille tasolle, jolloin lapsen omat matematiikan selviytymistaidot korvautuvat mekaanisilla laskutaidoilla. Matematiikan opettaminen on myös hyvin opettajajohtoista. Jokaiselle on varmasti piirtynyt mieleen kuva tyypillisestä matematiikan tunnista: aluksi opettaja opettaa päivän aiheen, jonka jälkeen oppilaat tekevät hiljaa kirjan tehtäviä omaan tahtiin. Minun matematiikan tuntini olivat ainakin tällaisia peruskoulussa. Opettajankoulutuksen matematiikan tunneilla olen kuitenkin oppinut, että tuntien ei tarvitse olla sellaisia. Hämeenlinnan opettajakoululaitoksen matematiikan didaktiikan lehtori Jorma Joutsenlahti on opettanut opiskelijoilleen matematiikan kielentämisen merkityksen matematiikan opetuksessa. Matematiikan suullisen kielentämisen avulla keskustelu tuodaan osaksi matematiikan tuntia, jonka avulla oppilas voi jäsentää matemaattista ajatteluaan. Matematiikan kielentämisen avulla opettaja voi myös saada arvokasta tietoa oppilaan matematiikan osaamisesta. (Joutsenlahti 2003.) Perusopetuksen opetussuunnitelmassakin on kiinnitetty huomiota oppilaan kykyyn perustella ratkaisuja suullisesti ja kirjallisesti (Opetushallitus 2004). Keväällä 2009 minulle tarjoutui mahdollisuus osallistua Sanan lasku -tutkimusprojektiin. Sanan lasku -projekti on matematiikan didaktiikan lehtori Jorma Joutsenlahden ja äidinkielen ja kirjallisuuden didaktiikan lehtori Pirjo Kuljun aloittama tutkimusprojekti, jonka tavoitteena on tarkastella, mitä annettavaa matematiikalla sekä äidinkielellä ja kirjallisuudella on toisilleen. Projekti on poikkitieteellinen tutkimusprojekti, jonka tarkoituksena on tutkia matemaattisen ajattelun kielentämistä sekä muun muassa äidinkielen kielioppisisältöjen opiskelua ongelmaratkaisun ja erityisesti vielä oppilaan strategisen kompetenssin näkökulmasta. Tavoitteena on löytää uudenlaisia opiskelu- ja opetusmetodeja matematiikan ja äidinkielen tunneille. 5

6 (Joutsenlahti & Kulju 2010, 77, 163.) Projekti aloitettiin ensin kandidaatintutkimuksilla vuonna 2009, jonka jälkeen osa oppilaista jatkoi tutkimuksien parissa vielä pro gradu -tutkimuksilla. Minua kiinnosti enemmän matematiikan tutkiminen ja lopulta päädyin tutkimaan matematiikan kielentämistä erityisopetuksen näkökulmasta. Erityisopetus on tällä hetkellä ollut paljon esillä Suomessa, koska erityisopetus on lisääntynyt paljon viime vuosien aikana. Vuonna 2010 Perusopetuksen opetussuunnitelmanperusteisiin tuli muutoksia ja täydennyksiä juuri erityisopetuksen osalta. Nykyään erityisopetus jaetaan yleiseen tukeen, tehostettuun tukeen ja erityiseen tukeen. Oppimisen ja koulunkäynnin vaikeuksien asteesta riippuu, minkälaista tukea oppilas saa. Tärkeintä on varhainen puuttuminen ongelmiin, jotta ongelmat eivät kasaantuisi. (Opetushallitus 2010.) Vuonna 2010 ilmestyi myös Opetushallituksen tutkimus Miten matematiikan taidot kehittyvät? (Niemi & Metsämuuronen 2010), joten matematiikan oppimisvaikeudetkin ovat olleen viime aikoina paljon esillä. Tutkimuksessa selvisi muun muassa, että kaikki heikosti matematiikassa suoriutuvat oppilaat eivät saa tarvitsemaansa tukea oppimiseen ja opettajat taas kokevat tarvitsevansa täydennyskoulusta matematiikan oppimisvaikeuksista ja erilaisista opetusmenetelmistä. Täten tutkimus matematiikan kielentämisestä erityisopetuksen näkökulmasta on hyvin ajankohtainen. Tutkin aihetta ensin kandidaatintutkielmassani keväällä Siinä tarkasteltiin miten erityisoppilaan matemaattinen ajattelu jäsentyy matematiikan kielentämisen avulla ja mitkä harjoitusmuodot tuovat parhaiten esille matemaattista ajattelua kielentämisen avulla. Aineistostani selvisi, että oppilaan matemaattinen ajattelu jäsentyi matematiikan suullisen kielentämisen avulla ja toimintamateriaalin avulla sai parhaiten esille oppilaan matemaattista ajattelua. Päätin jo kandidaatintutkielmaa tehdessä, että haluan laajentaa tutkimukseni pro gradu - tutkielmaksi. Sanan lasku -ryhmä jatkoi myös vielä pro gradu -tutkielmien parissa. Tässä tutkielmassani selvitän matematiikan suullisen kielentämisen hyötyjä oppilaille ja opettajalle osaaikaisessa matematiikan erityisopetuksessa. Tutkin myös millaisia erilaisia laskustrategioita matematiikan suullisen kielentämisen avulla oppilaat löysivät. Keräsin aineistoni kuuden viikon aikana ensimmäisen, toisen ja neljännen luokan osa-aikaisessa matematiikan erityisopetuksessa käyviltä oppilailta. Opetin tunnit yhdessä erityisopettajan kanssa. Oppituntien aiheena oli kaikilla luokka-asteilla yhteen- ja vähennyslaskutaitojen vahvistaminen. Tunneilla käytiin paljon keskustelua ja oppilaiden matemaattista ajattelua yritettiin saada juuri matematiikan suullisen kielentämisen avulla esille mahdollisimman paljon. Esittelen tutkimuksessani, mitä matemaattinen osaaminen, matematiikan kielentäminen ja matemaattiset oppimisvaikeudet ovat. Esittelen myös aiheeseen liittyviä tutkimuksia, joissa on erityisesti käsitelty matematiikan suullisen kielentämisen ja matemaattisten oppimisvaikeuksien 6

7 yhteyttä (esim. Houssart 2004; Higgins 2003). Yritän tutkielmassani ensin luoda kokonaiskuvan aiheeseen liittyvästä kirjallisuudesta, ja tutkimuksista, jonka jälkeen vertaan olemassa olevia tutkimuksia oman tutkimukseni tutkimustuloksiin. Tutkimustuloksiani olen havainnollistanut aineistosta kerätyillä keskustelupätkillä. 7

8 2 MATEMAATTINEN OSAAMINEN Vuosien varrella laskutaidon osaamisen ja matematiikan ymmärtämisen merkitykset ovat vaihdelleen paljon ja molemmat ajatukset ovat olleet valloillaan eri aikoina luvulla kehittyi uuden matematiikan liike, jonka mukaan hyvään matematiikan osaamiseen tarvittiin sekä matemaattista ymmärtämistä, että laskutaitoa. Tämän jälkeen palattiin taas takaisin pelkän laskemisen pariin, joka piti osata nopeasti ja tehokkaasti luvulla puhuttiin matemaattisen vallan kehittymisestä (development of mathematical power ), joka sisälsi päättelykykyä, matemaattisten ongelmien ratkaisua, matemaattisten ajatusten yhdistämistä sekä matematiikasta puhumista muiden kanssa. (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, ) Tutkimukseni aikana opetuksen tarkoituksena oli juuri keskittyä matematiikan ymmärtämiseen. Tämän vuoksi kaikkien luokka-asteiden kanssa palattiin aivan alkuun peruslaskutaitojen harjoitteluun matematiikan suullisen kielentämisen avulla. Adding It Up -kirjan tekijät Kilpatrick, Swafford ja Findell (2001) ovat kehittäneet oman näkemyksen siitä, mitkä tekijät ovat heidän mielestään tarpeellisia, jotta matematiikkaa voi oppia hyvin. Heidän mukaan matemaattinen osaaminen (mathematical proficiency) koostuu viidestä piirteestä: 1) käsitteellinen ymmärtäminen (conceptual understanding), 2) proseduraalinen sujuvuus (procedural fluency), 3) strateginen kompetenssi (strategic competence), 4) mukautuva päättely (adaptive reasoning) ja 5) yritteliäisyys (productive disposition). Nämä viisi piirrettä ovat lomittaisia ja toisistaan riippuvaisia matemaattisen osaamisen kehityksessä. Matemaattinen pätevyys ei ole yksiulotteinen ominaisuus, eikä sitä voi saavuttaa keskittymällä vain yhteen tai kahteen piirteeseen. Näiden osaamisalueiden saavuttaminen edesauttaa selviytymään arkisista matemaattisista haasteista ja antaa pohjan myöhemmälle ylemmän tason matematiikan oppimiselle. (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, 116.) Oman opetukseni aikana keskityimme erityisesti käsitteelliseen ymmärtämiseen, proseduraaliseen sujuvuuteen sekä strategiseen kompetenssiin. Mukautuva päättely kulki kaikissa edeltävissä osaamisen piirteissä koko ajan mukana. Yritteliäisyys taas oli oppilaan omaa kehittymistä ja täten yritteliäisyys riippui sitä, miten muut osa-alueet kehittyivät ja miten oppilaan käsitys itsestä matematiikan osaajana muuttui. 8

9 Tutkimukset ja teoria kognitiivisessa tieteessä antavat yleistä tukea ideoille, jotka edistävät edellä mainittuja viittä piirrettä. Mentaaliset representaatiot ovat olleet tärkeässä roolissa. Miten oppijat esittävät ja kokoavat tietoa on avainasemassa siinä voivatko oppijat ymmärtää tietoa syvällisesti ja soveltaa sitä ongelmaratkaisuun. Oppimisessa ymmärtäminen on paljon tehokkaampaa kuin ulkoa opettelu, koska ymmärtäminen parantaa muistamista, edesauttaa sujuvuutta ja helpottaa aihepiiriin liittyvän materiaalin oppimista. Ymmärtäminen vaatii, että oppija yhdistää tietoa ja tämä yhdistetty tieto taas vaikuttaa siihen osaako oppija käyttää tietoa tehokkaasti ratkaistessaan ongelmia. Ongelmanratkaisu tutkimukset ovat myös osoittaneet mukautuvan asiantuntevuuden ja metakognition tärkeyden. Metakognitio on tietoa yksilön omasta ajattelusta ja taidosta ohjata omaa ymmärtämistään ja ongelmaratkaisukäytäntöjään. Nämä ideat edistävät strategista pätevyyttä ja mukautuvaa päättelyä. Oppimiseen vaikuttavat myös motivaatio ja taipumus yritteliäisyyteen. (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, ) Koska erilaiset matemaattiset taidot ovat yhteyksissä toisiinsa, jokaista kykyä on harjoiteltava paljon, jotta muutkin taidot kehittyvät. Opettajilla on haaste huolehtia, että oppilaat kehittävät jokaista kykyä. Matemaattinen osaaminen kehittyy ajan myötä, jokaisen uuden taidon myötä lisää. Pätevyyden saavuttaminen vaatii matematiikan parissa työskentelyä, ongelmien ratkomista, päättelykyvyn lisäämistä, ymmärtämisen kehittämistä ja uuden tiedon rakentamista jo opitun tiedon avulla. Matemaattiseen osaamisen tulisi kaikkien pyrkiä eikä vain hyvin matematiikassa pärjäävien. (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, ) 2.1 Käsitteellinen ymmärtäminen Käsitteellinen ymmärtäminen on matemaattisten käsitteiden, menetelmien sekä näiden suhteiden ymmärtämistä. Oppilaat, jotka hallitsevat käsitteellisen ymmärtämisen, tietävät enemmän kuin vain yksittäisiä faktoja ja menetelmiä. He ymmärtävät miksi jokin matemaattinen idea on tärkeä ja he tietävät mihin sitä voi soveltaa. Nämä oppilaat osaavat järjestää ajatuksensa ja osaavat yhdistää uutta ja jo opittua asiaa yhteen. Jos oppilas ymmärtää opitun asian, hän yleensä myös osaa käyttää sitä oikein sekä palauttaa asian mieleen vuosienkin päästä. Opettajat usein seuraavat oppilaiden käsitteellistä ymmärtämistä pyytämällä selittämään syy-seurausyhteyksiä, mutta oppilaat eivät aina kykene kielentämään ymmärtämistään vaikka he ymmärtävätkin. Tärkeä käsitteellisen ymmärtämisen merkki on osata käyttää matemaattisia käytäntöjä monella eri tavalla ja tietää, miten erilaiset toiminnot voivat olla hyödyllisiä erilaisissa tilanteissa. Koska usein matemaattisiin 9

10 ongelmiin on useita eri ratkaisumenetelmiä, oppilaat voivat keskustella näistä erilaisista ratkaisutavoista. Oppilaat voivat myös keskustella näiden ratkaisumenetelmien eduista ja siitä, miten niitä voi yhdistää, jotta päästäisiin samoihin tuloksiin. Ulkoa opeteltu menetelmä ei takaa ymmärtämistä. Sisäistetty tieto auttaa luomaan yhteyksiä ja rakentamaan uutta tietoa jo opitun tiedon päälle, jonka avulla voidaan ratkaista uusia ennestään vieraita ongelmia. Kun oppilas esimerkiksi ymmärtää, miten yksinumeroisia lukuja lasketaan yhteen, hän voi myös osata soveltaa tätä ymmärrystä kaksinumeroisiin lukuihin. Käsitteellinen ymmärtäminen usein johtaa siihen, että oppilaiden ei tarvitse tehdä niin paljon työtä uuden matemaattisen aiheen oppimiseen, koska he pystyvät näkemään yhtäläisyyksiä uuden ja jo aiemmin opitun aiheen välillä. Ymmärtäminen myös vähentää virheitä, koska usein oppilas voi huomata tuloksestaan, että se on aivan liian suuri tai pieni verratessaan tulosta siihen, mitä piti laskea eli oppilaat osaavat arvioida, kuinka paljon tuloksen suurin piirtein pitäisi olla. (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, ) Opetukseni aikana keskityttiin aluksi käsitteelliseen ymmärtämiseen. Kymmenjärjestelmää kerrattiin kymmenjärjestelmävälineiden avulla. Tarkoituksena oli luoda oppilaille konkreettinen käsitys siitä, mitä mitäkin luku oikeasti tarkoittaa. Laskuja laskiessa oppilaita ohjattiin myös puhumaan oikeilla käsiteillä, kuten esimerkiksi yhteenlaskuja laskiessa puhuttiin ykkösistä, kymmenistä ja sadoista. Tällä luotiin kuva siitä, että esimerkiksi allekkain laskuissa emme laske vain yksittäisiä lukuja yhteen vaan kyse on ykkösistä, kymmenistä, sadoista ja jopa tuhansista. Kaikilla eri ryhmieni oppilailla oli vaikeuksia matematiikan oppimisen kanssa. Neljäsluokkalaisilla oli jo kasaantuneita ongelmia matematiikassa, joten tarkoituksena oli lisätä juuri peruslaskutaitojen ymmärrystä, jotta myös vaikeammat matematiikan osa-alueet lähtisivät sujumaan paremmin. 2.2 Proseduraalinen sujuvuus Proseduraalinen sujuvuus on kyky käyttää erilaisia laskutoimituksia joustavasti, täsmällisesti, tehokkaasti ja oikein. Lukujen paikkajärjestelmien ja rationaalisten lukujen käsitteellinen ymmärtäminen ei onnistu ilman proseduraalista sujuvuutta. Ymmärtämisen avulla oppilas myös oppii huomamaan, että tietyllä laskutoimituksella voi ratkaista useita erilaisia laskuja. Sujuvuus myös tukee yhteneväisyyksien analysointia ja eri laskutoimituksien erojen havaitsemista. Laskutoimituksiin kuuluvat kirjallisesti ratkaistut laskut sekä päässälaskut, laskimilla ja tietokoneilla lasketut laskut sekä eri toimintavälineillä lasketetut laskut. Oppilaiden tulee osata peruslaskutaito kokonaisluvuilla sekä ymmärtää lukupaikkajärjestelmä kymmenjärjestelmässä. 10

11 Sujuvuuteen liittyy myös kyky arvioida laskun lopputulos, koska arviointikykyä tarvitaan jokapäiväisessä elämässä. Kun oppilas ymmärtää laskutoimituksen, hän harvoin tekee virheitä laskutoimituksen kriittisissä kohdissa. Jos laskutoimitus opitaan väärin, oppilaan on vaikea ymmärtää laskuprosessia enää jälkeenpäin, vaikka laskutoimitus sujuisikin myöhemmin mekaanisesti oikein. Uuden oppiminen on hankalaa, jos oppilas ei ymmärrä yhdistää jo aiemmin opittua tietoa uuden oppimiseen. Tämä voi johtaa siihen, että oppilas ajattelee, että jokaiseen laskuun tarvitaan erilainen laskutoimitus. Ymmärtämättömyys voi johtaa myös siihen, että oppilas pitää koulua ja koulun ulkopuolella olevaa elämää erillisinä yksikköinä, jolloin oppilas käyttää eri matemaattisia strategioita koulun ulkopuolella kuin koulussa. Jos oppilas ei näe näiden kahden maailman yhteyttä, hän ei myöskään osaa käyttää koulussa oppimaansa ratkaistessaan arkielämän ongelmia. (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, ) Koska oppilaiden lukupaikkajärjestelmä, tulee osata opetukseni peruslaskutaito aikana tarkasteltiin kokonaisluvuilla lukukäsitettä sekä ja ymmärtää harjoiteltiin peruslaskutaitojen yhteen- ja vähennyslaskuja ahkerasti erilaisten tehtävien avulla. Oppilaat tekivät mekaanisia laskuja ja harjoittelivat yhteen- ja vähennyslaskutaitoja sekä tunneilla että kotona. Tarkoituksena oli lisätä oppilaiden rutiinia laskemiseen. Kun oppilaat laskivat laskuja, minä kiersin oppilaiden luona ja pyysin heitä kielentämään ratkaisujaan matemaattisia käsitteitä käyttäen. Tavoitteena oli lisätä oppilaan omaa ymmärtämistä, kun hän puhui ääneen omaa ratkaisupolkuansa. Näin myös oppilaiden mahdolliset ajatusvirheet tulivat esille, jolloin niitä pystyttiin korjaamaan. 2.3 Strateginen kompetenssi Strateginen kompetenssi on kyky soveltaa, esittää ja ratkaista matemaattisia ongelmia. Koulussa oppilas saa eteensä tietynlaisia ongelmia, joita harjoitellaan ratkaisemaan. Koulun ulkopuolisessa elämässä oppilas joutuu soveltamaan oppimaansa ja muotoilemaan ratkaisutapojaan tilanteisiin sopiviksi. Oppilaat voivat täten tarvita kokemusta ja harjoitusta sekä soveltamisesta että ongelmaratkaisusta myös koulussa. Tehokkaat ongelmaratkaisijat osaavat luoda mentaalisen kuva ongelmasta, havaita matemaattisia yhteyksiä sekä löytää oikean metodin ongelman ratkaisemiseen. Strateginen kompetenssi vaatii joustavuutta, koska usein soveltavat tehtävät vaativat laskurutiineista poikkeamista. Laskurutiineista poikkeaminen vaatii ymmärtämistä sekä laskutoimituksien sujuvuutta. Oppilaat kehittävät laskutoimituksien sujuvuutta, kun he käyttävät strategista pätevyyttä. Oppilaat myös oppivat, että haastavien matemaattisten ongelmien ratkaisu vaatii laskutoimituksien 11

12 sujuvuutta ja ongelmaratkaisukokemus auttaa oppilaita uusien käsitteiden ja taitojen oppimisessa. (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, ) Yritin erityisopettajan kanssa luoda oppilaille erilaisia strategioita, joilla he selviytyvät yhteen- ja vähennyslaskuista. Keskustelimme myös oppilaiden kanssa ja pyysin heitä kertomaan omia strategioitaan. Näin saatiin myös luotua uusia strategioita esimerkiksi yhteenlaskuun, joita sitten harjoiteltiin koko luokan voimin. 2.4 Mukautuva päättely Mukautuvaan päättelyyn kuuluvat kyky loogiseen ajatteluun, reflektioon, perustelemiseen sekä oman kannan puolustamiseen. Siihen kuuluvat myös kyky löytää yhteyksiä käsitteiden ja tilanteiden välillä. Järkeily on täten paikkansapitävää, koska eri vaihtoehdot on otettu huomioon ja ratkaisulle löytyy perustelut. Mukautuva päättely on matematiikan oleellisin osa, jonka avulla löydetään yhteyksiä eri faktojen, toimenpiteiden, käsitteiden ja metodien välille. Matematiikassa deduktiivisen ajattelun avulla voidaan ratkaista väittelyitä ja erimielisyyksiä. Vastaukset ovat oikeita, koska ne noudattavat jo hyväksyttyjä oletuksia sekä etenevät loogisessa järjestyksessä. Matematiikassa oppilaiden täytyykin oppia perustelemaan omat erimielisyydet tarkistamalla päteekö heidän järkeilynsä. Päättelykyky sisältää myös vaistonvaraista ja induktiivista päättelykykyä, joka perustuu kaavoihin, yhdenmukaisuuksiin sekä kielikuviin, jotka toimivat hypoteesien ja ongelmaratkaisumenetelmien lähteinä sekä apuna oppimiseen. Monet tutkijat ovat päätyneet siihen, että alle 12-vuotiaiden mukautuva päättely on hyvin rajallista, mutta jo 4-5-vuotiaat osaavat kuitenkin kertoa, miten he ratkaisuun pääsevät. 4-5-vuotiaat osoittavat todisteita koodaamisesta ja päättelystä sekä ovat vastahakoisia vastaehdotuksille. Oman ajattelun kertomisen harjoituksien avulla, lapset voivat kuitenkin esittää sivistynyttä ajattelukykyä. Oppilaat kykenevät päättelemään asioita, kun heillä on riittävä tietopohja, tehtävä on ymmärrettävä ja motivoiva sekä tehtävän sisältö on tuttu ja mukava. (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, ) oppiminen Yksi mukautuvan päättelyn osoitus on oman työnsä perustelu. Perustelemisen voi alkaa jo alemmilla luokilla esimerkiksi antamalla oppilaille tarpeeksi mahdollisuuksia puhua käsiteistä ja toimenpiteistä, joita he käyttävät. Oppilaita voi pyytää kertomaan oma perustelunsa koko luokalle siten, että jokainen ymmärtää. Oppilaiden täytyy kyetä perustelemaan ideansa, jotta heidän oma ajatuksensa selkiintyy, päättelykyky hioutuu ja käsitteellinen ymmärtäminen kehittyy. Oppilaiden täytyy harjoitella uusia käsiteitä ja toimenpiteitä 12

13 useita kertoja käyttäen hyväkseen jo aiemmin opittuja tietoja ja taitoja. (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, ) Mukautuva päättely on muiden kykyjen kanssa tekemisissä varsinkin ongelmaratkaisutilanteissa. Mukautuvaa päättelyä tarvitaan, kun perustellaan ehdotetun strategian oikeellisuutta. Käsitteellinen ymmärtäminen luo metaforia ja kuvauksia, jotka voivat toimia mukautuvan päättelykyvyn lähteinä. Usein ratkaisuun pääsy myös tarvitsee proseduraalista sujuvuutta. Strategista kompetenssia taas tarvitaan ratkaisuun pääsyssä sekä vaihtoehtoisten suunnitelmien tekemisessä. (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, ) Päättelykykyä yritettiin saada näkyviin keskustelemalla oppilaiden kanssa, kun he ratkoivat tehtäviä. Oppilaat pääsivät selittämään opettajalle, parille tai koko ryhmälle, miten he ratkaisivat ongelman. Mekaanisten laskujen lisäksi lisä- ja kotitehtävinä oli myös sanallisia tehtäviä, joissa joutui soveltamaan mekaanista laskutaitoa. Kaikkien luokka-asteiden kanssa palattiin myös miettimään lukujen hajotelmia. Oppilaat saivat yhdessä parin kanssa keksiä esimerkiksi luvun kuusi kaikki eri hajotelmat. 2.5 Yritteliäisyys Yritteliäisyyteen liittyy taipumus nähdä matematiikka järkevänä, hyödyllisenä ja kannattavana. Tuotteliaisuuteen liittyy myös usko siihen, että jatkuva työskentely matematiikan parissa tuo tulosta ja kyky nähdä itsensä tehokkaana oppijana. Jotta oppilaat voivat kehittää käsitteellistä ymmärtämistä, proseduraalista sujuvuutta, strategista kompetenssia sekä mukautuvaa päättelyä, heidän täytyy uskoa, että matematiikka on ymmärrettävää ja sitä voi oppia ja hyödyntää. Yritteliäisyys paranee, kun muut matemaattiset kyvyt paranevat ja tuotteliaisuus taas parantaa jokaista kykyä. On tärkeää, että matematiikan opiskelu alkuopetuksessa on tasoltaan hyvää koska, jos oppilas ei luota omiin taitoihinsa tai ei koe matematiikkaa oleellisena aineena, oppimisesta tulee mahdotonta ja se on usein pelkkää ulkoa opettelua. Tutkijat ovat myös huomanneet, että stereotyyppinen uhka varjostaa matematiikkaa eli pärjääminen matematiikassa riippuu etnisestä taustasta ja sukupuolesta. Tämä uhka voi aiheuttaa paineita pärjätä hyvin matematiikassa juuri niille oppilaille, jotka pärjäävät matematiikassa, mutta kuuluvat stereotyyppisesti huonosti matematiikkaa osaavien ryhmään. Tämä paine voi olla niin suuri, että matematiikan oppiminen kärsii. Viisaalla oppimisympäristöllä tätä painetta voi kuitenkin vähentää korostamalla positiivia opettaja-oppilassuhteita ja antamalla kaikille haastavampia tehtäviä 13

14 ratkottaviksi. Oppilaat, jotka ovat kehittyneet yritteliäisyyden alueella, ovat varmoja tiedoistaan ja kyvyistään. Heillä matematiikka on järkevää ja älyllistä toimintaa ja he uskovat, että tarpeeksi suurella panoksella ja kokemuksella, he voivat oppia. Matemaattiseen geeniin uskominen vähentää yritteliäisyyttä. (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001, ) Oppilaiden kanssa ei juuri puhuttu heidän omista ajatuksistaan matematiikkaa kohtaan, mutta oppilaan asenteet tulivat kyllä usein ilmi varsinkin silloin, kun tehtävä tuntui epämukavalta. Yritteliäisyys näkyi aktiivisuutena sekä ryhmäkeskusteluissa että tehtävien parissa. Kotitehtäviä palauteltiin välillä laiskasti. Yritteliäisyyttä yritettiin parantaa sillä, että oppilaat huomaisivat, että matematiikka on ymmärrettävää, kun sen eteen tekee työtä. Oppilaille yritettiin myös korostaa, miksi peruslaskutaitojen ymmärtäminen ja osaaminen on tärkeätä. Motivaatiota pyrittiin myös lisäämään erilaisilla työskentelymuodoilla. Mekaanisten laskujen ja keskustelun lisäksi tunneillani oli parityöskentelyä, pistetyöskentelyä, tietokonepelejä sekä muita pelejä. Pienessä ryhmässä työskentelyn etuna oli myös se, että kaikkien ääni saatiin kuuluviin. Oman strategian opettaminen muulle ryhmälle saattaa lisätä motivaatiota ja uskoa omiin taitoihinsa. 2.6 Matemaattisten taitojen kehitys Lapsi tutustuu matematiikan maailman jo varhain ja jo pienellä lapsella on kyky ymmärtää lukumäärien eroja ja lukujonon luetteleminen tulee tutuksi. Matemaattiset taidot voidaan jakaa neljään taitoryppääseen: laskemisen taitoon, aritmeettiseen perustaitoon, matemaattisten suhteiden ymmärtämiseen ja lukumääräisyydentajuun. (Lukimat.) Laskemisen taitoihin kuuluvat lukujonon luettelemisen ja lukumäärän laskemisen taito sekä numerosymbolien hallinta. Lukujonon luettelemisen taidolla tarkoitetaan lukujen luettelemista eteenpäin ja taaksepäin tai hyppäyksittäin esimerkiksi luettelemalla joka toinen. Lukujonon luettelemisen taitoon kuuluu myös lukujonon luettelemisen aloittaminen, jostain muusta luvusta kuin ykkösestä, joka nopeuttaa lukumäärien laskemista. Lukujonon luettelemisen taito oikeassa järjestyksessä täytyy hallita ennen lukumäärän laskemisen taitoa. Lukumäärän laskemisen taitoon kuuluvat myös taito hahmottaa, että yhteen lukusanaan liittyy vain yksi esine ja yksi osoitus esinettä kohtaan. Keskenään erilaisia esineitä voi myös laskea ja ne voidaan laskea missä järjestyksessä tahansa, kunhan jokainen lasketaan vain kerran. Oppilaan täytyy hahmottaa, että lukumääriä laskiessa viimeiskeksi lueteltu lukusana kertoo esineiden tai asioiden kokonaislukumäärän. Numerosymbolien hallinnassa lapsi osaa yhdistää lukusanan (kuusi) sitä 14

15 vastaavaan symboliin (6) ja sen vielä esimerkiksi johonkin konkreettiseen esinemäärään. (Lukimat.) Aritmeettisiin perustaitoihin kuuluvat peruslaskutaitoihin kuuluvat yhteen- ja vähennyslaskutaidot sekä kerto- ja jakolaskutaidot. Laskeminen aloitetaan pienillä luvuilla ja esineiden avulla. Taitojen kehittyessä siirrytään isompiin lukualueisiin ja abstrakteihin kokonaisuuksiin. Myös ulkomuisti ja päässälaskutaito kehittyvät. Itse keksimien tai opetettujen matemaattisten yhtälöiden käyttäminen osoittaa hyvin kehittynyttä strategioiden vaihetta. Laskustrategioiden käyttö onnistuneesti yhteen- ja vähennyslaskuissa myös lisää muistitietoa usein toistuvista laskuista. Lapsi usein oppii käyttämään muistissaan olevia yhdistelmiä ongelmaratkaisustrategianaan noin yhdeksään ikävuoteen mennessä. Aritmeettisiin periaatteisiin yhteen- ja vähennyslaskuissa kuuluvat myös ymmärrys siitä, että kokonaisuudet muodostuvat pienemmistä osista (lukujen hajotelmat), yhteenlaskuissa toimii vaihdannaislaki (a+b = b+a), yhteenlasku voidaan hajottaa uudelleen osiin ja laskea osat yhteen uudella tavalla ((a+b)+c = a + (b+c)) sekä yhteen- ja vähennyslasku ovat toisilleen käänteiset eli ne kumoavat toisensa (4+2-2=4). (Lukimat.) Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen on kykyä ymmärtää erilaisia suhteita, jotka sisältyvät matematiikan tehtäviin ja kysymyksiin. Matemaattisia suhdetaitoja ovat matemaattisloogiset periaatteet, kymmenjärjestelmän ja paikka-arvon ymmärtäminen sekä matemaattisten symbolien hallinta. Matemaattis-loogisiin periaatteisiin kuuluvat muun muassa sarjoittaminen (suuruusjärjestys ja lukujonot), taito vertailla, taito luokitella sekä yksi yhteen- suhde. Kymmenjärjestelmän ja paikka-arvon ymmärtämisessä oppilas ymmärtää, että luvun todellinen arvo riippuu siitä, millä paikalla se on luvussa eli onko se ykkösten, kymmenten, satojen vai tuhansien paikalla. Lukumäärien symbolien lisäksi oppilaan täytyy oppia käyttämään myös muita matemaattisia symboleja kuten yhtä suuruusmerkkiä. (Lukimat.) Lukumäärien hahmottaminen ilman laskemista on lukumääräisyyden tajua. Lukumäärien erottaminen toisistaan on helpompaa, jos lukumäärien ero on suuri. Lukumääräisyyden tajua pidetään kykynä, jonka varaan kielellinen matemaattinen taito rakentuu ja se kehittyy nopeasti varhaislapsuuden aikana. Missään vaiheessa tämä taito ei kuitenkaan muutu täysin tarkaksi, koska tarkan määrän hahmottaminen vaatii aina laskemista. (Lukimat.) Oppitunneillani harjoiteltiin kaikkia edellä mainittuja taitoja eri luokka-asteiden kanssa. Ensimmäisen luokan oppilaiden kanssa keskityttiin enemmän lukujonon luettelemiseen ja lukumäärien hahmottamiseen, kun taas toisen ja neljännen luokan oppilaiden kanssa kymmenjärjestelmään, paikka-arvoon sekä yhteen- ja vähennyslaskujen sujumiseen. 15

16 2.7 Yhteen- ja vähennyslaskujen päässälaskustrategiat Peruslaskutaitojen harjoittelu aloitetaan lukualueella Ensin aloitetaan laskemalla yksinumeroisia lukuja, jonka jälkeen siirrytään kaksinumeroisiin lukuihin. Ensimmäisen neljän kouluvuoden aikana lukualue laajenee tuhanteen, jossa harjoitellaan yhteen- ja vähennyslaskuja päässälaskumuodossa ja allekkain. Jotta moninumeroisilla luvuilla laskeminen sujuu, täytyy hallita yksinumeroisilla luvuilla laskeminen, lukujonotaidot sekä luvun paikka-arvo ja kymmenjärjestelmä. Tavoitteena on, että oppilas oppii yhdistämään taitoja ja strategioita, joita hän voi valita joustavasti tilanteen mukaan. Moninumeroisilla luvuilla laskiessa täytyy myös osata laskuvaiheet ja laskemisjärjestys. päässälaskumuodossa tai Moninumeroisia allekkain. (Lukimat.) lukuja Keskityn voidaan laskea seuraavaksi vierekkäin kuvailemaan päässälaskumuotoa, koska oppitunneillani opeteltiin vain päässälaskumuodossa olevia laskuja. Päässälaskumuodon käytöllä oli tavoitteena juuri lukujen paikka-arvojen ja kymmenjärjestelmän ymmärtäminen. Moninumeroisten yhteen- ja vähennyslaskujen strategialähtökohtana on usein laskun muuttaminen helpompaan muotoon esimerkiksi pyöristämällä jokin laskun luku esimerkiksi tasakymmeneksi. Niilo Mäki Instituutin Lukimat internetsivuilla on esitetty Lemairen ja Calliesen (2009) päässälaskustrategia, jossa lasku pilkotaan kokonaan tai osittain. Laskun pilkkomisessa voidaan pilkkoa kaikki esimerkiksi kymmenet ja ykköset ja yhdistetään sitten tulokset yksiköittäin lopuksi (46+28 = ja 6+8 à 60+14=74). Laskussa voidaan myös pilkkoa vain toinen tekijä, jonka jälkeen eri yksiköt lisätään pilkottuun tekijään vaiheittain (46+28 à ). (Lukimat.) Päässälaskustrategioiden valintoihin vaikuttavat laskun vaikeusaste ja laskijan strategioiden hallintataito. Taitava laskija osaa mukauttaa strategian laskun vaatimusten mukaan ja löytää itselleen sopivimman strategian. Heikompi laskija taas yleensä opettelee yhden strategian ja käyttää sitä hyväkseen eri tilanteissa. (Lukimat.) Oppitunneilla oli tarkoituksena juuri löytää jokaiselle oppilaalle se oma yhteen- ja vähennyslaskustrategia, jota hän voi soveltaa tarpeen mukaan eri tilanteisiin. 16

17 3 MATEMATIIKAN KIELENTÄMINEN 3.1 Matemaattinen ajattelu Jorma Joutsenlahti (2005, 103) määrittelee matemaattisen ajattelun seuraavalla tavalla: Opiskelijan matemaattinen ajattelu on hänen metakognitioidensa ohjaamaa matemaattisten tietojen (proseduraalista, konseptuaalista, strategiatietoa) prosessointia, jossa yksilö organisoi uudelleen tietoverkkoaan. Fuson, Kalchman ja Bransford (2005) esittelevät artikkelissaan National Research Councilin raportissa esitetyt viisi osa-aluetta, jotka muodostavat matemaattisen pätevyyden. Proseduraalinen tieto ohjaa oppilasta suoriutumaan laskutoimituksista ja konseptuaalinen tieto ohjaat oppilasta ymmärtämään matemaattisia käsitteitä. Strategiatieto taas ohjaa oppilasta muotoilemaan, esittämään ja ratkaisemaan matemaattisia ongelmia. Raportissa on tämän lisäksi vielä esitetty mukautuva päättelykyky, joka ohjaa oppilasta loogiseen ajatteluun, reflektioon, ja perusteluun sekä tuotteliaisuus, joka ohjaa oppilasta näkemään matematiikan järkevänä ja hyödyllisenä aineena ja ohjaa myös tehokkuuteen. (Fuson, Kalchman & Bransford 2005, 218.) Matemaattisten käsitteiden ymmärtäminen ja ongelmaratkaisuprosessista suoriutuminen ovat ajattelun päämääriä. Käsitteiden ymmärtämiseen vaikuttavat oppilaan aiemmat tiedot, jotka taas vaikuttavat myös oppilaan ajatteluun. (Joutsenlahti 2005, ) Erilaisia ajattelun muotoja ovat analoginen, hypoteettinen ja sarjallinen ajattelu, joita tarvitaan myös matematiikan oppimisessa. Analogisessa ajattelussa haetaan ratkaisu ongelmaan analogian eli verrannon kautta eli analogiassa on sääntö, jota noudattamalla voidaan ratkaista vastaava ongelma. Sarjallisessa ajattelussa yhdistämme toisiinsa kuuluvia asioita jatkumoiksi. Ajattelun pohjana on, että tietyt asiat täytyy tehdä tietyssä järjestyksessä, jotta päästään lopputulokseen. Hypoteettinen ajattelu taas on jos niin ajattelua. (Juvonen-Nihtinen, Lappalainen & Nevalainen 2004, ) Tutkimukseni opetustunneilla tehdään harjoituksia, joissa oppilas joutuu käyttämään analogista ja sarjallista ajattelua. Analogista ajattelua joutuu käyttämään esimerkiksi yhteenlaskuissa. Oppilas oppii muun muassa säännön, että kymmenet ja ykköset lasketaan erikseen yhteen. Hän soveltaa tätä tietoa, kun hän ratkaisee vastaavanlaisen 17

18 yhteenlaskun. Samassa yhteenlaskussa oppilas käyttää myös sarjallista ajattelua, koska hän tekee tietyt asiat tietyssä järjestyksessä, jotta hän pääsee lopputulokseen. Hypoteettista ajattelua ei suoranaisesti tutkimuksen tehtävissä ole, mutta se ei tarkoita, että oppilaat eivät ajattele tehtäviä tehdessään hypoteettisesti. Varsinkin soveltavia tehtäviä tehdessä ajattelutapoja voi olla monia. 3.2 Mitä matematiikan kielentäminen on? Joutsenlahti (2003) on tutkinut matematiikan näkökulmasta matemaattisen ajattelun ja kielen yhteyttä. Kieli on tärkeä osa oppilaan kognitiivista kehitysprosessia. Kielen avulla oppilas jäsentää ajatteluaan ja välittää sitä muille, joten kieltä ja ajattelua ei voida erottaa toisistaan. Matematiikassa kieli usein mielletään symbolikieleksi ja luonnollisen kielen käyttö jää hyvin vähäiseksi. Luonnollisen kielen käyttö matematiikan tunneilla auttaa oppilasta jäsentämään matemaattista ajatteluaan. Luonnollisella kielellä tarkoitetaan yleensä oppilaan omaa äidinkieltä. (Joutsenlahti 2003.) Olof Magnen (2004) mukaan arkipäivän puhe tarjoaa varaston sanoja, kielioppia, syntaksia ja semantiikkaa, joita myös käytetään matematiikan tunneilla. Eri kielialueiden harjoittaminen kehittää matematiikan lukuymmärrystä ja oppilaan käyttämä kieli toimii tukena oppilaan ajattelu- ja oppimisprosessissa. On tärkeätä, että vaikka alkuun oppilas käyttää niin sanottua matematiikan slangia (plus ja miinus), niin oppilas ohjataan käyttämään oikeita matemaattisia käsitteittä ja että käsitteille annetaan tarkoitus. Ajatteluprosessiaan kuvatessa oppilas tulee tietoiseksi omasta ajattelustaan ja hänelle syntyy tieto siitä, mitä hän tietää eli metakognitio (Juvonen-Nihtinen, Lappalainen & Nevalainen 2004, ). Uusia käsitteitä oppiessa, oppilaan opiskelun lähtökohtana on oppilaiden olemassa olevat tiedot ja taidot. Matemaattisen käsitteen kielentäminen on myös osa oppilaan käsitteen konstruointiprosessia. Oppilaan ajatellessa käsitteen sisältöä ääneen hän joutuu reflektoimaan ja jäsentämään matemaattista ajatteluaan. (Joutsenlahti 2003.) Matematiikassa on kolme kieltä. Fuson (1992) on tehnyt kolmiomallin, jossa hän jakaa matematiikan kolme kieltä matemaattisiin symboleihin ja lukuihin, puhuttuun kieleen ja toiminnallistettavissa olevaan ilmentymään tai mielikuvaan. Taitava oppilas osaa käyttää näitä eri kieliä samanaikaisesti samassa ongelmassa tai kääntää ongelman kielestä toiseen. Oppilaiden on muun muassa tärkeä osata, miten matematiikan symbolikieli muutetaan puhuttuun kieleen ja toisin päin. (Puura, Ollila & Räsänen 2004, ) Matematiikan kielentäminen voi olla suullista tai kirjallista. Suullisessa kielentämisessä oppilas kertoo omin sanoin, mitä hän ajattelee opettajalle tai koko luokalle. Kirjallisessa 18

19 kielentämisessä oppilas kielentää ajatteluaan esimerkiksi vihkoonsa matematiikan tehtäviä tehdessä. Vihkoon kirjoitetaan matemaattisen symbolikielen lisäksi esimerkiksi työvaiheet näkyviin luonnollisella kielellä. (Joutsenlahti 2003.) Kirjallisessa kielentämisessä luonnollisen kielen lisäksi ajatukset voidaan ilmaista myös diagrammeina tai piirroksina (Morgan 2001, ). Tutkimuksessani keskityn kuvailemaan ja havainnollistamaan matematiikan suullista kielentämistä. 3.3 Matematiikan suullinen kielentäminen luokkahuoneessa Kielen avulla oppilas perustelee ja reflektoi käsityksiään sekä jäsentää ajatteluaan ja välittää sitä muille. Hän yrittää saada itsensä ja muut vakuuttuneiksi oman ajattelunsa oikeellisuudesta. Kielen avulla oppilas voi myös ilmaista tunteitaan, asenteitaan ja uskomuksiaan, jotka kaikki vaikuttavat keskeisesti matematiikan opiskeluun. (Joutsenlahti 2003.) Matematiikan kielentämisen yhtenä etuna on saada tietää, mitä oppilas ajattelee. Kun oppilas kertoo opettajalle vastauksen matematiikan ongelmaan, opettaja pyytää oppilasta kertomaan, miten hän pääsi ratkaisuun. Kun oppilas kuvailee ja perustelee vastaustaan, opettaja saa tietää, mitä oppilas ajattelee. Äänen ajatteleminen auttaa opettajaa huomaamaan mahdolliset ajatteluketjun epäjohdonmukaisuudet (Juvonen-Nihtinen, Lappalainen & Nevalainen 2004, 147). Täten opettajan on hyvä kysyä perusteluita sekä oikeisiin että vääriin vastauksiin (Rowland 1995, 57 58). Vääriin vastauksiin on myös hyvä pyytää perustelut, koska tällöin opettaja saa selville, missä ajatusvirhe tapahtuu, jolloin virhekäsitykset voidaan korjata. Oppilaan kielentäessä omaa ajatteluaan luokalle, muut oppilaat voivat samalla peilata, verrata ja muovata omaa matemaattista ajatteluaan. (Joutsenlahti 2003.) Kun yksi oppilas on selittänyt ratkaisun ongelmaan, opettaja voi vielä kysyä luokalta, että ratkaisiko joku muu ongelman toisella tavalla. Erilaisia ratkaisutapoja tulee yleensä monta erilaista, jolloin saadaan monta erilaista ratkaisumallia esille, joita oppilaat voivat reflektoida omaan ajatteluunsa. Opettajan on myös hyvä antaa oppilaille tilaisuus kuvata omaa toimintaa ja ajattelua mahdollisimman erilaisissa tilanteissa, koska tällöin oppilas joutuu käymään läpi erilaisia ajatteluprosesseja ja miettimään sopivia käsitteitä asioille. Näin oppilas oppii käymään myös suunnitelmiaan läpi mielessään. (Juvonen-Nihtinen, Lappalainen & Nevalainen 2004, 148.) Kahden vuosikymmenen aikana National Council of Teachers of Mathematics on kehottanut opettajia korostamaan sekä kirjallista että suullista kommunikaatiota osana matematiikan opetusta ja oppimista. Oppilaat saavat apua oman matemaattisen ajattelun kehittymiseen, kun he kuulevat, miten luokkakaverit ajattelevat. Ajatusten kertominen ääneen selkeyttää oppilaan omaa ajattelua. 19

20 Opettajat voivat myös huomata oppilaan väärinkäsityksen helpommin, kun ajatukset puhutaan ääneen. Luokkahuone keskustelulla pyritään keskusteluun jossa oppilaat voivat selkeyttää omaa ajatustaan ja oppia muiden puheista. Usein keskustelu luokassa sisältää vain opettajajohtoista opetusta, asian toistamista oppilaan puhumana opettajan pyynnöstä sekä opettajan jo ennalta tiedettyihin kysymyksiin vastaamista. Edellä mainitut ovat tietysti myös tärkeitä opettajan työkaluja, mutta ne rajoittavat keskustelua. (Chapin, O Connor & Canavan Anderson 2009, 5.) Jotta matematiikasta puhumisesta olisi hyötyä, keskustelun täytyy olla laadukasta ja merkityksellistä. Tunneilla puhuminen voi tukea ja edistää oppilaan matematiikan oppimista sekä suoraan että välillisesti. Keskustelun avulla oppilas voi saada ideoita, strategioita, toimintatapoja sekä tietoa. Keskustelun avulla luodaan myös sosiaalinen ympäristö, joka rohkaisee oppimaan sekä opettaa oppilaita pitämään muiden jakamia ajatuksia ja arvailuja tasavertaisina. Yhteinen kunnioitus toisia kohtaan syntyy, kun odotukset kunnioittavaa ja sivistynyttä keskustelua kohtaan ovat opettajan säätelemien normien mukaiset. Molemmat, sekä suora että välillinen oppiminen, ovat tärkeitä. Ilman suoraa oppimista, matematiikan oppiminen ei edisty keskustelun avulla ja ilman välillistä oppimista syntyy huono keskusteluympäristö, jossa kaikki eivät uskalla kertoa omia ajatuksiaan ääneen. (Chapin, O Connor & Canavan Anderson 2009, 6-7.) Opettajan luennoinnin jälkeen oppilas voi ajatella, että hän ymmärtää, mistä opettaja puhui. Kun oppilasta pyydetään kertomaan opettajan opettama asia omin sanoin, hän ei välttämättä kykenekään kertomaan opetettua aihetta omin sanoin. Tällöin ymmärtäminen ei välttämättä olekaan ollut tarpeeksi syvällistä, jolloin ideaa ei voi kertoa omin sanoin. Jos opettaja ei pyydä oppilaita kertomaan ajatuksiaan omin sanoin, oppilas ja opettaja eivät välttämättä saa tietää, että oppilaan ymmärrys onkin puutteellista, pinnallista tai passiivista. Jotta puutteelliselta, pinnalliselta tai passiiviselta ymmärtämiseltä vältytään, opettaja voi sisällyttää keskustelua oppitunteihinsa. Opettaja voi siis pyytää oppilaita keskustelemaan matemaattisista käsitteistä, laskutoimituksista sekä ongelmaratkaisusta, jolloin oppilaat oppivat ymmärtämään syvällisemmin ja selkeämmin. Keskustelu auttaa myös opettajaa huomaamaan, mitä oppilaat ovat ymmärtäneet ja mitä he eivät ole ymmärtäneet. (Chapin, O Connor & Canavan Anderson 2009, 7.) Puhuminen voi myös edistää päättelykykyä. Pienryhmäkeskustelut tai keskustelu koko luokan kanssa voi olla hyvin tärkeä osa oppilaan loogisen ajattelun kehittymistä, koska loogisen ajattelun perusosa-alueet voidaan tehokkaasti opettaa keskustelun avulla. Opettaja voi esimerkiksi kysyä oppilaan väitteeseen todisteita. Tätä väitettä voidaan purkaa ja miettiä ryhmissä. Oppilaat kuulevat muiden perusteluja ja osallistuvat keskusteluun, kun he ovat valmiita. Täten oppilaat oppivat pikkuhiljaa tekemään ja perustelemaan väitteitä. Kun oppilaita pyydetään käsittelemään opetettua aihetta uudestaan, oppilaat saavat lisäaikaa miettiä opetettua aihetta syvällisemmin. Koska ihminen 20

21 oppii havainnoimalla, kuuntelemalla sekä tekemällä, keskustelun avulla oppilaat saavat enemmän havainnoimista, kuuntelemista sekä mahdollisuuksia osallistua matemaattiseen ajatteluun. Puhuminen harjoittaa myös oppilaan oman ajatteluprosessin reflektointia. Keskustelusta on oppilaille myös hyötyä tulevaisuudessa, kun he mahdollisesti oppivat ilmaisemaan ajatuksiaan ja ideoitaan selkeämmin. (Chapin, O Connor & Canavan Anderson 2009, 7-10.) 3.4 Matematiikan kielentäminen käytännössä Kaikkein tärkeintä on, että opettaja luo luokkaan muiden ajatuksia kunnioittavan ilmapiirin, jotta keskustelua voidaan käydä tunnilla. Jokaisen oppilaan on kuunneltava, mitä muut puhuvat sekä jokaisella oppilaalla on mahdollisuus osallistua keskusteluun jossain vaiheessa. (Chapin, O Connor & Canavan Anderson 2009, 12.) Aina ei oppilaan selityksestä saa selvää kuvaa siitä, mitä hän tarkoittaa kielentäessään matemaattista vastaustaan. Koska matemaattisen ajattelun kehitys kuuluu kaikille, opettajan täytyy pyytää myös niitä oppilaita ilmaisemaan ajatuksiaan, jotka eivät välttämättä osaa pukea ajatuksiaan selvästi sanoiksi. Syvällinen ajattelu ja tehokas järkeily eivät välttämättä korreloi selkeän verbaalisen ilmaisun kanssa. Täten seuraavilla viidellä toimenpiteellä voidaan auttaa saamaan selvempi kuva oppilaan ajattelusta: 1.) Uudelleen ilmaiseminen, 2.) Toistaminen, 3.) Täydentäminen, 4.) Lisääminen, 5.) Ajan antaminen. Näiden toimenpiteiden avulla oppilas voi itse jatkaa oman ajattelunsa selventämistä ja muut oppilaat voivat saada paremman käsityksen toisen oppilaan ajatuksista. Nämä viisi toimenpidettä ovat myös tehokkaita matemaattisen ajattelun ja oppimisen edistämisessä sekä tavoitteiden saavuttamisessa. (Chapin, O Connor & Canavan Anderson 2009, ) Uudelleen ilmaiseminen Uudelleen ilmaisussa opettaja yrittää toistaa osan tai kaiken, mitä oppilas kertoi omin sanoin ja pyytää tämän jälkeen oppilasta kertomaan, että ymmärsikö opettaja oikein, mitä oppilas yritti luokalle kertoa. Kysymällä oppilaalta, että tätäkö hän tarkoitti, opettaja saa kuvan siitä, onko oppilas itse ymmärtänyt esimerkiksi jonkin matemaattisen käsitteen. Näin opettaja huomaa myös, jos oppilas on ymmärtänyt väärin, jolloin väärinkäsitys voidaan korjata. Opettajan uudelleen ilmaisemisen tai kysymisen avulla voidaan saada paljon lisää tietoa oppilaan ajattelusta. (Chapin, 21

22 O Connor & Canavan Anderson 2009, ) Oppitunneillani käytettiin paljon uudelleen ilmaisemista hyödyksi. Varsinkin opettajan ja oppilaan välisessä keskustelussa oppilaan sanojen toistamisella tai lisäkysymyksillä yritettiin saada selville, mitä oppilas oikeasti ajatteli. Usein uudelleen ilmaiseminen antoi oppilaalle aikaa jäsentää ajatustaan ja lisäkysymykset rohkaisivat kertomaan lisää. Uudelleen ilmaiseminen on myös hyvä toimenpide silloin, kun opettaja itse ymmärtää, mitä oppilas kertoo, mutta ei ole varma ymmärsivätkö luokan muut oppilaat. Uudelleen ilmaisemisen avulla saadaan siis toisen ajatus koko luokalle ymmärrettäväksi, kun he kuulevat ajatuksen vielä uudestaan. Uudelleen ilmaiseminen antaa kaikille oppilaille lisäaikaa saada kiinni muiden ajatuksista ja kehittää omaa matemaattista ajatteluaan. (Chapin, O Connor & Canavan Anderson 2009, ) Toistaminen Toistamisessa opettaja pyytää oppilasta toistamaan toisen oppilaan järkeilyä omin sanoin. Edellisessä toimenpiteessä opettaja sanoin asian toisin, kun taas toistamisessa oppilas toistaa tai kertoo edellisen oppilaan ajatuksen omin sanoin. Toistamisen avulla muut oppilaat saavat toisen tulkinnan oppilaan selityksestä ja enemmän aikaa prosessoida ensimmäisen oppilaan ajatusta. Näin he voivat päästä paremmin kiinni keskustelusta ja voivat paremmin ymmärtää idean. Täten oppilaiden osallistumisen tavoite saadaan saavutettua. (Chapin, O Connor & Canavan Anderson 2009, 15.) Tämä toimenpide auttaa etenkin niitä oppilaita, jotka puhuvat äidinkielenään, jotain muuta kieltä kuin valtaosa muusta luokasta. Toistamisen avulla voidaan myös tarkistaa, että muut oppilaat ovat kuulleet, mitä oppilas on luokalle kertonut. Kuuleminen ja seuraaminen ovat tärkeitä, jotta jokaisella oppilaalla on mahdollisuus osallistua keskusteluun. Toistamisen avulla selkeytetään oppilaan ajatusta ja annetaan oppilaalle käsitys, että hänen ehdotuksensa otetaan vakavasti. Ajan kanssa, kun oppilas huomaa, että hänen ajatuksiaan kuunnellaan, hän yrittää tehdä ajatuksensa ymmärrettävimmiksi. (Chapin, O Connor & Canavan Anderson 2009, 15.) Toistamista oppitunneilla käytettiin uusia strategioita opetellessa. Toisen oppilaan strategiaa harjoitellessa, oppilaat saivat toistaa toisen jakamia ajatuksia omin sanoin. 22