Paksuhäntäisten todennäköisyysjakaumien vaikutuksista vakuutusmatemaattisiin malleihin

Transkriptio

1 Paksuhäntäisten todennäköisyysjakaumien vaikutuksista vakuutusmatemaattisiin malleihin Jaakko Lehtomaa Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Suomen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous

2 Esityksen Sisältö Määritelmät Motivaatio Diskonttausmalli Yhdistetty Malli Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Yhteenveto

3 Määritelmät Sisältö: Määritelmät Motivaatio Diskonttausmalli Yhdistetty Malli Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Yhteenveto

4 Määritelmät Määritelmä Reaaliarvoinen satunnaismuuttuja X on paksuhäntäinen tai noudattaa paksuhäntäistä jakaumaa, jos kaikilla s > 0 E(e sx ) = Tyypillisiä esimerkkejä: Pareto, Weibull ja lognormaalit jakaumat Intuitio: Häntäfunktio vähenee hitaammin kuin eksponettifunktio Jos satunnaismuuttuja ei ole paksuhäntäinen, niin se on kevythäntäinen

5 Määritelmät Vaihtoehtoinen Ekvivalentti Määritelmä Paksuhäntäisyys perustuu nimensä mukaisesti häntäfunktion F (x) := P(X > x) ominaisuuksiin Vaihtoehtoinen määritelmä: satunnaismuuttuja X on paksuhäntäinen täsmälleen silloin, kun lim inf x log P(X > x) x = 0.

6 Määritelmät Esimerkki (Weibull) Jos F(x) = e x α, missä x 0 ja α > 0, niin häntä on paksu, kun α (0, 1) ja häntä on kevyt, kun α 1 Perustelu: log P(X > x) x = x α x 0 α (0, 1)

7 Määritelmät Paksuhäntäisten Muuttujien Ilmeneminen, Esimerkki Paksuhäntäisiä satunnaismuuttujia muodostuu stokastisiin malleihin satunnaismuuttujien tulojen kautta. Olkoot X 1 ja X 2 riippumattomia ja samoin jakautuneita. X 1 Exp(1), eli F X1 (x) = e x, kun x 0. Nyt P(X 1 X 2 > x) P(X 1 > x) 2, joten log P(X 1 X 2 > x) x 2 log P(X 1 > x) x 0. Siis satunnaismuuttuja X 1 X 2 on paksuhäntäinen.

8 Motivaatio Sisältö: Määritelmät Motivaatio Diskonttausmalli Yhdistetty Malli Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Yhteenveto

9 Motivaatio Mihin Paksuhäntäisiä Muuttujia Tarvitaan? Paksuhäntäisillä satunnaismuuttujilla voidaan mallintaa stokastisia ilmiöitä Monet reaalimaailman ilmiöt vaikuttavat sisältävän paksuhäntäisiä osia Kevythäntäisellä muuttujalla X pätee joillakin C 1, C 2 > 0 P(X > x) C 1 e C 2x Eksponentiaalinen vähenemisvauhti vahinkojen hännälle vaikuttaa epäuskottavalta ainakin: Tietyssä palovakuutusdatassa Tulvapatojen vesimäärien mallinnuksessa Katastrofivakuutuksessa

10 Motivaatio Paksuhäntäisiä Ilmiöitä 1. Jäljellä oleva odotusaika ei välttämättä lyhene, vaikka on odotettu jo kauan: P(X > y + x X > x) = P(X > y + x) P(X > x) 1, x 2. Summa ja maksimi voivat olla suunnilleen yhtä vaarallisia (subexponentiaalisuus): P(max(X 1, X 2 ) > x) P(X 1 + X 2 > x) 1, x 3. Todennäköisin tapa, jolla summa ylittää suuren kiinteän tason on se, että tasan yksi summan jäsen yksin ylittää tason (yhden suuren hypyn periaate)

11 Motivaatio Esitelmän Tavoite Tarkastella kahden yleisen vakuutusmatemaattisen mallin asymptoottista käyttäytymistä, kun jotkut mallin osat ovat paksuhäntäisiä Tarkastelu tehdään momenttien tasolla Todistukset ohitetaan Keskitytään rajoittamattoman aikajänteen tarkasteluihin Tarkastella yleistä paksuhäntäisille satunnaismuuttujille tyypillistä ominaisuutta yksinkertaisimmassa mahdollisessa viitekehyksessä

12 Diskonttausmalli Sisältö: Määritelmät Motivaatio Diskonttausmalli Yhdistetty Malli Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Yhteenveto

13 Diskonttausmalli Klassinen Satunnaiskulkumalli Tarkastelee satunnaiskulun S n = B 1 + B B n todennäköisyyttä ylittää ennalta annettu taso U 0 > 0 Satunnaiskulku esittää tappiota ja U 0 (tai lyhyemmin x) alkuvarallisuutta (B i ) i=1 i.i.d.

14

15 Diskonttausmalli Vararikkotodennäköisyydet Klassisessa Mallissa Kiinnostuksen kohteina ovat vararikkotodennäköisyydet: P(Sk > x jollakin 1 k n) ja P(Sk > x jollakin k) Täsmällinen vararikkotodennäköisyyksien laskeminen on haastavaa Vararikkotodennäköisyydelle muodostetaan arvioita Luonnollisin oletuksin päädytään Cramérin-Lundbergin arvioihin

16 Diskonttausmalli Yleinen Vararikkomalli Tarkastellaan klassisen satunnaiskulkumallin sijasta yleisempää mallia Vuoden n kokonaistappio on muotoa Y n = B 1 + A 1 B 2 + A 1 A 2 B A 1... A n 1 B n Satunnaisesti painotettu versio satunnaiskulusta Palautuu satunnaiskulkumalliin valinnalla A i = 1 kaikilla i

17 Diskonttausmalli Yleisen Vararikkomallin Motivointi Alkupääoma U 0 > 0 ja vuoden n lopun pääoma U n Pääoman kehitys määräytyy rekursiivisesti: U n = (1 + r n )(U n 1 B n ), n = 1, 2,..., missä r n kuvaa tuottoa ja B n kokonaisvahinkomäärää. Prosessin (U n ) avulla voidaan määrätä vararikkohetki T : T U0 = inf{n : U n < 0}. Toisaalta, jos asetetaan A n = 1/(1 + r n ), niin oletuksella r n > 1 pätee T U0 = inf{n : Y n > U 0 }.

18 Diskonttausmalli Yleisen Vararikkomallin Tulkinta Vuosiin n = 1, 2, 3... liitetään satunnaismuuttujat: B n A n Y n Vuoden n kokonaisvahinkomäärä vakuutustoiminnasta Vuoteen n liittyvä finanssiriski Vuoteen n liittyvä kokonaistappio, Y 0 := 0, Y n = n i 1 B i A j i=1 j=1

19 Diskonttausmalli Siis: Esimerkiksi: Y n = n i 1 B i A j i=1 j=1 Y 1 = B 1 Y 2 = B 1 + A 1 B 2 Y 3 = B 1 + A 1 B 2 + A 1 A 2 B 3. Satunnaismuuttujien A i ja B i EI tarvitse olla riippumattomia

20 Diskonttausmalli Täsmälliset Oletukset I Jono ((A i, B i )) i=1 Koostuu i.i.d. vektoreista. II Jonon (A i ) i=1 jäsenet ovat aidosti positiivisia, eikä A i ole vakio 1. III Jonon (B i ) i=1 jäsenet ovat reaaliarvoisia ja P(B > 0) > 0. Oletukset II ja III ovat minimaaliset: Sijoitustoiminnassa voi menettää korkeintaan sijoittamansa määrän Jos A 1, niin tilanne palautuu klassiseen satunnaiskulkumalliin Jos B 0 melkein varmasti, niin vararikko on mahdoton

21 Diskonttausmalli Vararikkohetket Oletetaan, että x > 0 on kiinteä alkuvarallisuus Määritellään (rajoittamaton) vararikkohetki kaavalla τ(x) = inf{n N : Y n > x} Rajoitetun aikavälin vararikkohetki vastaavasti τ n (x) Määritellään suurimpia arvoja kuvaavat muuttujat Nyt Ȳ = sup k N {Y k } Ȳ n = sup 1 k n {Y k } {τ(x) < } = {Ȳ > x} ja {τ n(x) < } = {Ȳn > x}

22 Diskonttausmalli Vararikko Hännän Avulla Siis: P(Y k > x jollakin k) = P(τ(x) < ) = P(Ȳ > x) P(Y k > x jollakin 1 k n) = P(τ(x) n) = P(Ȳn > x) Seuraus: Vararikkotodennäköisyyksien arviointi voidaan palauttaa häntäfunktioiden P(Ȳ > x) ja P(Ȳn > x) tarkasteluun

23 Diskonttausmalli Vararikkotodennäköisyydestä Tavoitteena on selvittää miten vararikkotodennäköisyys muuttuu, kun alkuvarallisuus kasvaa Mitä vauhtia vararikon mahdollisuus pienenee alkupääoman kasvaessa? Monien paksuhäntäisten riskien tapauksessa oikea vähenemisvauhti vararikkotodennäköisyydelle on polynominen Kiinnostavat suureet ovat tällöin: lim inf x log P(Ȳ > x) log x ja lim sup x log P(Ȳ > x) log x

24 Diskonttausmalli Vararikkotodennäköisyydestä Jos lim sup x missä α (0, ), niin log P(Ȳ > x) log x = α, P(Ȳ > x) x α+ɛ jokaisella ɛ > 0, kun x on riittävän suuri Ylärajat tärkeimpiä vararikkoteoriassa Kysymys: Miten paras vauhti α voidaan saada selville? Vastaus: Momentti-indeksien avulla!

25 Diskonttausmalli Mikä On Momentti-indeksi? Olkoon X satunnaismuuttuja. Asetetaan I(X) := sup{s 0 : E((X + ) s ) < } Suure I(X) on satunnaismuuttujan X momentti-indeksi I(X) [0, ] Huomaa: Momentti-indeksi on aina määritelty Arvot 0 ja mahdollisia E((X + ) I(X) ) voi olla äärellinen tai ääretön Tulkinta: Pieni momentti-indeksi tarkoittaa korkeaa riskiä

26 Diskonttausmalli Tulos: Satunnaismuuttujan Ȳ momentti-indeksi on esitetyin oletuksin ja pienen teknisen lisäehdon vallitessa mahdollista laskea: I(Ȳ ) = min(i1 (A), I(B)), missä ja I 1 (A) = sup{s [0, ) : E(A s ) 1} I(B) = sup{s [0, ) : E((B + ) s ) < }.

27 Diskonttausmalli Johtopäätökset Diskonttausmallista 1. Momentti-indeksit riippuvat vain satunnaismuuttujien hännistä, joten koko jakaumaa ei tarvitse tietää 2. Momentti-indeksi I(B) ja Lundbergin eksponentti I 1 (A) määräävät suureen lim sup x log P(Ȳ > x) log x = I(Ȳ ) 3. Yleisin oletuksin: I(Ȳ ) = min(i1 (A), I(B)) 4. On löytetty paras vähenemisvauhti α diskonttausmallissa

28 Yhdistetty Malli Sisältö: Määritelmät Motivaatio Diskonttausmalli Yhdistetty Malli Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Yhteenveto

29 Yhdistetty Malli Yhdistetty Muuttuja (S n ) satunnaiskulku N kokonaislukuarvoinen satunnaismuuttuja S N = X 1 + X X N Millä tavalla S N voi saavuttaa suuria arvoja, eli mikä aiheuttaa suurvahingot yhdistetyssä mallissa?

30 Yhdistetty Malli Yhdistetyn muuttujan motivaatio Miten muuttujan S N jakauma riippuu lisäyksistä ja pysäytysmuuttujasta? Vastaako muuttujan S N häntä funktiota I E(N)P(X > x) vai funktiota II P(E(X)N > x)? Miten suuret kokonaisvahingot syntyvät? Muutamasta suuresta vahingosta Suuresta määrästä pieniä vahinkoja Tarkastellaan muuttujan S N asymptotiikkaa momenttien tasolla

31 Yhdistetty Malli Tavoite ja Oletukset Tavoitteena löytää paras α 0, jolla lopulta P(X 1 + X X N > x) x α Miten luku α riippuu muuttujista X ja N, kumpi dominoi? Oletukset: I Jonon (X i ) jäsenet riippumattomia ja samoin jakautuneita II Pysäytysmuuttuja N riippumaton jonosta (X i )

32 Yhdistetty Malli Pysäytetyn summan momentit Jos 1. S n, kun n 2. Ainakin toinen odotusarvoista E(X) tai E(N) on äärellinen, niin I(S N ) = min(i(x), I(N))

33 Yhdistetty Malli Johtopäätökset Yhdistetystä Mallista Tulkinta: Momenttien tarkkuudella muuttujan S N häntä määräytyy täysin sen perusteella, kumpi muuttujista X ja N on paksuhäntäisempi Tulos on tätä yleisempi, yleisin oletuksin satunnaismuuttujan S N häntä muistuttaa asymptoottisessa mielessä sen jakauman X tai N häntää, joka vähenee hitaammin, eli on paksumpi

34 Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Sisältö: Määritelmät Motivaatio Diskonttausmalli Yhdistetty Malli Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Yhteenveto

35 Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Yhden Suuren Hypyn Periaate Idea: Todennäköisin tapa, jolla summa on suuri on se, että vain yksi muuttuja on suuri ja muut pieniä Esiintyy subeksponentiaalisten muuttujien yhteydessä Määritellään ilmiön tutkimista varten satunnaismuuttujaperhe (Z d ) d>0 seuraavasti:

36 Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Prosessin Z d Määritelmä Olkoot X 1 ja X 2 positiivisia ja i.i.d. Asetetaan Z d := X 1 {X 1 + X 2 = d} d Tutkitaan muuttujan Z d käyttäytymistä rajalla d. Tulkinta: Z d kuvaa ensimmäisen muuttujan X 1 osuutta summasta X 1 + X 2, kun koko summan tiedetään olevan suuri luku d.

37 Kuva: Muuttujan X 1 {X 1 + X 2 = 8} tiheys, kun X 1 Weibull(a)

38 Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Konvergenssityypit I ja II Määritellään seuraavat konvergenssimahdollisuudet prosessille (Z d ): I) L(Z d ) 1 2 δ δ 1 ja II) L(Z d ) δ 1 2 L(Z d ) on muuttujan Z d jakauma δ x tarkoittaa pistemassaa pisteessä x {0, 1/2, 1}

39 Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Konvergenssityyppien Tulkinta Tyyppi I muistuttaa paksuhäntäistä käyttäytymistä: L(Zd ) 1 2 δ δ 1 Jos summa X 1 + X 2 on suuri, niin toinen muuttujista on suuri Tyyppi II vastaa kevythäntäistä käyttäytymistä: L(Zd ) δ 1 2 Molemmat muuttujista X1 ja X 2 tuottavat suunnilleen puolet summasta

40 Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Tavoite: Etsiä muuttujien X 1 ja X 2 tiheysfunktioon f perustuva ehto, josta käyttäytymistyypin voi määrätä Lähestymistapa: tutkitaan muuttujan Z d tiheyttä f Zd, jonka voi laskea tiheyden f perusteella Muuttujan Z d jakauma ei välttämättä suppene mihinkään Miten voidaan päätellä, että Z d suppenee johonkin? Miten voidaan päätellä rajajakauma?

41 Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Tulos: Oletus: X 1 :n tiheys f on kahdesti derivoituva ja lopulta vähenevä Jos ja ( ) d 2 L := lim sign log f (x) { 1, 1} x dx 2 lim d d f (dx) f (dx) f (d(1 x)) f (d(1 x)) =, niin Z d konvergoi joko tyypin I tai II mukaisesti. Jos L = 1, eli f on log-konveksi Tyyppi I Jos L = 1, eli f on log-konkaavi Tyyppi II

42 Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Tulkinta Pienen teknsisen lisäehdon vallitessa tiheysfunktion log-konkaavisuus tai log-konveksisuus määrää onko yhden suuren hypyn periaate voimassa vai ei Tiheysfunktion log-konkaavisuus/konveksisuus on vakuutusmatematiikassa tuttu vaatimus monissa yhteyksissä: f log-konkaavi IFR f log-konkaavi DFR

43 Yhden Suuren Hypyn Ilmiö Johtopäätökset Yhden suuren hypyn ilmiö on liitetty lähes yksinomaan subeksponentiaalisiin jakaumiin Kaikki paksuhäntäisiä Prosessi (Zd ) kuvaa yhden suuren hypyn periaatetta selvemmin (Z d ) tarjoaa konkreettisen alustan ilmiön tutkimukselle Tyypit I ja II liittyvät funktion log f konkaavisuuteen tai konveksisuuteen Ilmiö voi esiintyä myös paksuhäntäisten muuttujien luokan ulkopuolella

44 Yhteenveto Yhteenveto Tuloksista Edellä tarkasteltiin: Diskonttausmallia Yhdistettyä mallia I(Ȳ ) = min(i1 (A), I(B)) I(S N ) = min(i(x), I(N)) Yhden suuren hypyn periaatetta yleisesti Määräytyy tiheyden log-konkaavisuudesta tai log-konveksisuudesta pienen teknisen lisäehdon vallitessa

45 Yhteenveto Keskeiset Ajatukset Paksuhäntäisiä satunnaismuuttujia pidetään epäintuitiivisina ja hankalina Koska klassinen teoria on johdettu kevythäntäisille muuttujille ja intuitio perustuu tähän Todellisuudessa paksuhäntäiset muuttujat mahdollistavat monien sellaisten arkipäiväisten ilmiöiden matemaattisen mallintamisen, joita ei voi kuvata kevythäntäisillä muuttujilla Paksuhäntäisten satunnaismuuttujien matemaattinen käsittely on täysin mahdollista, mutta aiempia malleja täytyy miettiä uudelleen

46 Yhteenveto Kiitos Mielenkiinnosta! Esitys perustuu artikkeleihin: Lehtomaa, J., Asymptotic behaviour of ruin probabilities in a general discrete risk model using moment indices. J. Theoret. Probab. DOI: /s y. Lehtomaa, J., Limiting behaviour of constrained sums of two variables and the principle of a single big jump. Statist. Probab. Lett. 107, DOI: /j.spl Lehtomaa, J., Logarithmic asymptotics of tails of independently stopped random walks. Preprint.