Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset
|
|
|
- Olavi Niemelä
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen
2 Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset 2
3 Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Sisällys 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut Lukujen vertailu Plussien ja miinusten sieventäminen Vastaluku Itseisarvo Näiden lisäksi koealueeseen tulee vielä yhteen-, vähennys-, kerto ja jakolaskut negatiivisilla luvuilla. 3
4 Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut Nollaa isompia lukuja kutsutaan positiivisiksi luvuiksi. Positiivisen luvun eteen ei yleensä merkitä mitään. Jos positiivisuutta halutaan erityisesti korostaa, voidaan luvun eteen lisätä +, esim. +3 = 3 Nollaa pienempiä lukuja kutsutaan negatiivisiksi luvuiksi. Negatiivisen luvun eteen merkitään miinusmerkki, esim. 3. Nolla ei ole positiivinen eikä negatiivinen. Esimerkki 1. a) 3 tarkoittaa lukua, joka on kolme numeroa pienempi kuin nolla. b) 3,1 on vielä 0,1 pienempi kuin 3. Esimerkki 2. Merkitään numeroiden avulla seuraavat sanalliset ilmaisut: a) Lämpötila kymmenen astetta celsiusta 10 C b) Lämpötila kymmenen astetta pakkasta (celsiusasteita edelleen) C c) Rahamäärä sata euroa 100 c) Rahamäärä, kun velkaa on sata euroa 0 Esimerkki 3. a) Sijoitetaan lukusuoralle luvut: b) Sijoita lukusuoralle luvut: 4,5 4,5,5,5 4,5 4,5 4
5 Tehtäviä Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Merkitse kirjaimet lukusuoralle luvun kohdalle. Mikä sana niistä muodostuu? a) A = 8 P = 12 T = 3 S = 5 I = 7 b) A = 8 I = 1 M = 13 O = 10 T = 6 c) J = 3 A = 11 I = 11 K = 8 O = 0 V = 14 L = N = 5 I = 8 Merkitse kirjaimet lukusuoralle luvun kohdalle Mikä sana niistä muodostuu? a) Z = 0,1 A = 1,1 F = 1,3 R = 1,2 E = 0,7 1,0 0 1,0 b) N = 0,1 I = 1,0 E = 1,3 U = 0,1 S = 1,6 T = 0,6 K = 0,7 1,0 0 1,0 c) I = 35 U =120 E = 120 I = 125 T = 90 R = 90 L = 140 H = 25 A = 15 T = Mitä lukusuoran pisteitä merkityt kirjaimet vastaavat a) A = B = C = D = E = F = G = A C G B E F D b) A = B = C = D = E = F = G = G B F E C A D 1,0 0 1,0 c) A = B = C = D = E = F = G = D E C B F A G 0 0 5
6 Kirjoita numeroilla lämpötilat (celsiusasteina): a) Kuusitoista astetta lämmintä b) Kolme astetta pakkasta c) Viisitoista astetta pakkasta d) Sata astetta lämmintä Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Kuinka korkealla merenpinnasta on Päijänteen syvin kohta? (vinkki selvitä Päijänteen korkeus merenpinnasta ja Päijänteen syvyys.) e) Nolla astetta f) Kolme ja puoli astetta pakkasta Kuinka korkealla merenpinnasta on Näsijärven syvin kohta? Kirjoita numeroilla paljonko rahaa on: a) Kuusisataa euroa b) Sata euroa velkaa c) Tuhatsata euroa velkaa Etsi tietoa Mauna Kea -tulivuoresta: a) Kuinka korkealle tulivuori yltää merenpinnan tasosta? d) Viisitoista euroa e) Kuusi euroa ja neljä senttiä velkaa b) Kuinka korkealla merenpinnan tasosta on tulivuoden juuri? f) Neljätoista senttiä Seuraavissa tehtävissä saat käyttää kännykkääsi. Kun olet tehtävät tehnyt, laita känny pois. Maapallolla korkeuksia verrataan merenpinnan tasoon. Etsi ja merkitse seuraavien maantieteellisten kohteiden korkeudet: a) Mount Everestin huippu b) Tampereen Näsijärven pinta c) Tampereen Pyhäjärven pinta d) Kuolleen meren pinta c) Kuinka korkea Mauna Kea on juurelta huipulle? (kilometreissä) Etsi tietoa, mikä on kuumin ja kylmin maapallolla mitattu lämpötila. Kuinka monta astetta kuumempaa kuumimmassa paikassa on kuin kylmimmässä? Kuumin: Kylmin: Erotus: e) Kaspianmeren pinta f) Mariaanien haudan matalin kohta 6
7 Vihkotehtäviä: Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset 7
8 2. Lukujen vertailu Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Lukujen vertailu käyttäen sanallisia ilmaisuja on työlästä ja vie kirjoitettuna paljon tilaa. Tästä syystä sanalliset tekstit korvataan usein vertailumerkeillä: Lukujen vertailumerkit: = Yhtäsuuri kuin > Suurempi kuin Suurempi tai yhtä suuri kuin < Pienempi kuin Pienempi tai yhtä suuri kuin Erisuuri kuin Esimerkki 1. Merkitse seuraavat sanalliset ilmaisut käyttäen vertailumerkkejä: a) 5 on suurempi kuin 3 5 > 3 b) 3 on pienempi kuin 5 3 < 5 c) 5 on suurempi kuin 5 5 > 5 d) 5 on suurempi tai yhtä suuri kuin e) 5 on suurempi tai yhtä suuri kuin Edellä merkitsimme sanalliset imaisut käyttäen vertailumerkkejä, mutta emme kiinnittäneet huomiota siihen, olivatko väitteet tosia vai epätosia. Tästä syystä pieni lisätehtävä: f) merkitse jokaisen vertailun perään joko Tosi (jos merkintä on totta) tai Epätosi (jos ei ole totta). Kun vertaillaan sekä positiivisia että negatiivisia lukuja, auttaa, kun ne sijoittaa ensin lukusuoralla: Esimerkki ,5 0 9,5 a) Merkitse yllä olevat numerot lukusuoralle. b) Kirjoita luvut suuruusjärjestykseen (lisää < -merkki aina niiden väliin). Vastaukset: a) 9,5 5, b) 12 < 5,5 < 5 < 0 < 3 < 9 < 9,5 Negatiivisten lukujen suuruusvertailu Mikä tahansa negatiivinen luku on aina pienempi kuin nolla tai mikä tahansa positiivinen luku. Negatiivinen luku on sitä pienempi, mitä suurempi miinuksen jälkeinen lukuosa on. Esimerkki 3. Muutamia negatiivisten lukujen suuruusvertailuja: a) 3 < 2 b) 100 < 200 c) 100 < 2 d) 3 > 5 8
9 Tehtäviä Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Merkitse luvut lukusuoralle. Kirjoita lisäksi luvut suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan (laita väliin < -merkki) Merkitse luvut lukusuoralle. Kirjoita lisäksi luvut suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan (laita väliin < -merkki) Merkitse luvut lukusuoralle. Kirjoita lisäksi luvut suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan (laita väliin < -merkki). 0,3 0,9 1,2 0,2 0,6 0,4 0,6 1,0 0 1,0 Järjestä luvut suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan (laita väliin < -merkki) 4 3 2,8 1, Järjestä luvut suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan (laita väliin < -merkki) 3,3 3,2 3,35 3,75 4 0,5 00 Järjestä luvut suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan (laita väliin < -merkki) ,
10 Merkitse sopiva vertailumerkki lukujen väliin (=, < tai >) a) 2 5 b) 3 3 c) 1 3 d) 3 2 e) 3 2 f) 6 1 Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Kirjoita sanallinen ilmaisu käyttäen numeroita ja vertailumerkkejä. a) Kuusi on suurempi kuin neljä. b) Miinus neljä on pienempi kuin miinus kaksi. Merkitse sopiva vertailumerkki lukujen väliin (=, < tai >) a) 3 2 b) 5 6 c) 2 4 d) 3 2 e) f) Merkitse sopiva vertailumerkki lukujen väliin (=, < tai >) a) 2,5 2,6 b) 3,2 3,3 c) 1,3 1,30 d) 3,4 2,4 e) 0,3 0,2 f) 6,22 6,2 Merkitse sopiva vertailumerkki lukujen väliin (=, < tai >) a) b) c) ,0 d) e) 3,2 32 f) c) Sata on suurempi kuin miinus sata. d) Neljä on yhtäsuuri kuin neljä. Kirjoita sanallinen ilmaisu käyttäen numeroita ja vertailumerkkejä. a) Kolme on suurempi tai yhtäsuuri kuin kaksi. b) Miinus kahdeksan on pienempi tai yhtäsuuri kuin miinus kolme. c) Miljoona on pienempi tai yhtä suuri kuin miljardi. d) Viisi on erisuuri kuin kuusi. Kahden luvun väliin sopii useampiakin vertailumerkkejä (=, <,, >, tai ). Luettele joka kohtaan ne vertailumerkit, jotka sopivat seuraavien lukujen väliin. a) 2 3 b) 2 2 c) d) e) 3 2 f) Luettele joka kohtaan ne vertailumerkit, jotka sopivat seuraavien lukujen väliin. a) 2,3 3,2 b) 2,4 2,5 c) 1,5 1,500 d) 32 32,0 e) 0,3 0,03 f) 0 32 Sopiko joku merkki lähes joka kohtaan? Keksitkö sille mitään käyttöä? 10
11 Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset 11
12 Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset 3. Plussien ja miinusten sieventäminen Vastaluku Negatiivisten lukujen laskuissa tulee monesti eteen tilanteita, joissa useampi laskumerkki pitää merkitä peräkkäin. Tällöin pitää käyttää sulkeita siten, että laskumerkkien väliin jää sulkumerkki. Sen jälkeen pitää sulkeet sieventää. Plussien ja miinusten sieventämisessä auttaa seuraava esimerkki Esimerkki 1. Miinus luvun edessä tarkoittaa lukua, joka on lukusuoralla yhtä kaukana nollasta, mutta toisella puolella. a) Kun luvun 5 eteen lisätään miinus, saadaan 5. Lukusuoralla se näyttää tältä: 5 5 b) Kun luvun 5 eteen lisätään miinus, saadaan ( 5). Lukusuoralla se näyttää tältä: Päädymme lopputulokseen: ( 5) = 5 Kaksi peräkkäistä miinusta kumoavat toisensa ja vastaus on positiivinen. c) Kun luvun ( 5) eteen lisätään miinus, saadaan ( ( 5)). Lukusuoralla se näyttää tältä: ( ( 5)) Päädymme lopputulokseen: ( ( 5)) = 5 Eli kolmannen miinuksen lisääminen muutti luvun taas negatiiviseksi. Edellä olevaa esimerkkiä voidaan jatkaa ikuisesti. Se havainnollistaa kuitenkin hyvin yleisen säännön miinusten määrän vaikutuksesta lopputuloksen merkkiin. ( 5) Useamman miinuksen / plussan sieventäminen Jos luvun edessä on parillinen (0, 2, 4, ) määrä miinuksia, on luku positiivinen. Jos luvun edessä on pariton (1, 3, 5, ) määrää miinuksia, on luku negatiivinen. Luvun edessä olevat plussat eivät vaikuta luvun positiivisuuteen tai negatiivisuuteen. 5 ( 5) Esimerkki 2. Sievennä a) +(+5) = 5 b) +( 5) = 5 c) (+5) = 5 d) ( 5) = 5 Esimerkki 3. Sievennä lausekkeet a) ( 2) = 2 b) ( ( 2)) = 2 c) ( ( ( 2))) = 2 d) ( ( ( ( 2)))) = 2 12
13 Vastaluku Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Kun ensin on opittu sieventämään plussia ja miinuksia, on vastaluku sen ensimmäinen sovellus. Vastaluvut ovat lukuja, jotka ovat yhtä kaukana nollasta, mutta vastakkaisilla puolilla. Esimerkki 4. Luvut 5 ja 5 ovat toistensa vastalukuja, koska molempien etäisyys nollasta on Vastaluvun merkitseminen tehdään lisäämällä luvun eteen miinus. Esimerkki 5. a) Luvun 5 vastaluku on 5. b) Luvun 5 vastaluku on ( 5) = +5 = 5 Esimerkki 6. Merkitse ja laske seuraavien lukujen vastaluvut: a) 4 b) 5 c) +13 a) 4 b) ( 5) = +5 = 5 (Välivaihe +5 ei ole välttämätön) c) (+13) = 13 13
14 Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Tehtäviä Merkitse ja laske a) Luvun 43 vastaluku Sievennä lausekkeet a) (+5) = b) ( 7) = c) +( 4,5) = d) +(+5) = b) Luvun +3,5 vastaluku Sievennä lausekkeet a) ( 3,6) = b) +( 9) = c) (+0,8) = d) (+2) = Sievennä lausekkeet a) +( 947) = b) ( 9,5) = c) (+0) = d) (+4,2) = Merkitse lukusuoralle luku ja sen vastaluku. a) 5 b) 6 c) 9 d) 2,5 Merkitse ja laske a) Luvun 3 vastaluku b) Luvun 3 vastaluku c) Luvun 6,8 vastaluku d) Luvun 476 vastaluku c) Luvun 128,43 vastaluku d) Luvun 0 vastaluku Sievennä lausekkeet a) ( ( 3)) = b) ( ( ( 9))) = c) ( ( ( ( 6)))) = d) ( ( ( ( ( 8))))) = Sievennä lausekkeet a) ( ( 3,2)) = b) +( ( (+12))) = c) ( (+( 56))) = d) +( ( ( ( 78)))) = Sievennä lausekkeet a) ( ( ( ( 5)))) = b) +( (+7)) = c) ( ( ( ( ( 100))))) = d) +( (+( (+( (+8)))))) = Laske a) 20 ( 5) = b) 20 + ( 5) = c) 20 (+5) = d) 20 + (+5) = Laske a) ( 13) + ( 5) = b) ( 13) ( 5) = 14
15 Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Seuraavat tehtävät ovat sanallisesti keinotekoisia. Niiden on kuitenkin tarkoitus kehittää hahmottamaan negatiivisten lukujen ja negaatioin olemusta. Varsinkin puhutussa kielessä tuplanegaatiot koetaan hyvin vaikeiksi, koska niissä pitää oikeasti ajatella. Kirjoita vihkoosi lyhyesti, mitä seuraavilla lauseilla tarkoitetaan. a) Älä istu! b) Älä ole istumatta! c) Ole istumatta! d) Ole olematta istumatta! e) Älä ole olematta istumatta! Kirjoita vihkoosi lyhyesti, mitä seuraavilla lauseilla tarkoitetaan. a) Ei saa olla katsomatta vasemmalle! b) Ei saa olla olematta ilman sateenvarjoa! c) Pitää kieltäytyä olemasta hatuton! d) Elefanttien syöttämättä jättäminen ei ole sallittua! 15
16 4. Itseisarvo Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Luvun itseisarvo on luvun etäisyys nollasta. Etäisyys on aina positiivinen luku, joten itseisarvon vastaus on aina positiivinen. Positiivisen luvun itseisarvo on luku itse. Negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku. Käytännössä luvun edestä otetaan vain miinus pois. Itseisarvo merkitään lisäämällä pystyviivat luvun molemmille puolille. Laskujärjestyksen kannalta itseisarvomerkit ovat kuten sulkeet: Niiden sisältö lasketaan ensin. Esimerkki 1. Merkitse ja laske seuraavien lukujen itseisarvo: a) 4 b) 5 c) +13 Vastaukset: a) 4 = 4 b) 5 = 5 c) +13 = 13 Esimerkki 2. Laske a) 5 2 b) c) 2 5 Vastaukset: a) 5 2 = 3 = 3 b) = 2 3 = 2 3 = 6 c) 2 5 = 3 = 3 Viimeisessä esimerkissä laskun 2 5 tulos on 3. Tämä palataan ihan omana aiheenaan. Esimerkki 3. Merkitse sanalliset ilmaisut lausekkeiksi ja laske. a) Lukujen 8 ja 6 itseisarvojen summa = = 14 b) Lukujen 8 ja 6 summan itseisarvo 8 + ( 6) = 8 6 = 2 = 2 Edellä olevan esimerkin tarkoitus on havainnollistaa sitä, miten sanojen järjestyksellä on väliä siihen, miten lasku merkitään, mikä vaikuttaa usein lopputulokseen. 16
17 Tehtävät Osa laskuista voi tuntua mahdottomilta. Mukana on 3 laskua, jotka opetetaan vasta kohta, mutta ne voi päätellä oikein ilman opetustakin. Merkitse ja laske a) luvun 3 itseisarvo b) luvun 2,7 itseisarvo c) luvun 15 itseisarvo Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Mikä luku tai luvut a) on itsensä vastaluku b) on itsensä itseisarvo Merkitse ja laske a) luvun 3 itseisarvon vastaluku Merkitse ja laske a) luvun 1,5 itseisarvo b) luvun 270 itseisarvo c) luvun 0,15 itseisarvo Laske a) 5 = b) 7 = c) 8 = d) 3 = Laske (merkitse välivaiheet, jos voit) a) 6 = b) 8 = c) 8 = d) 8 = Laske (merkitse välivaiheet) a) = b) 3 2 = c) 2,4 + 1,3 = d) 5 1,3 = b) luvun 2 itseisarvon vastaluku c) luvun 7 vastaluvun itseisarvo d) luvun 8 vastaluvun itseisarvo Merkitse ja laske a) Lukujen 3 ja 7 erotuksen itseisarvo b) Lukujen 3 ja 7 itseisarvojen erotus c) Lukujen 3 ja 7 erotuksen itseisarvo b) Lukujen 3 ja 7 itseisarvojen erotus Laske (merkitse välivaiheet) a) = b) 3 ( 2) = c) 4,8 + 1,3 = d) 5 1,3 = 17
18 Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Tästä jatkuu vielä negatiivisten lukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuilla. 18
Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut... 4 2. Lukujen vertailu... 8 3. Plussien
Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset
7.lk matematiikka Negatiiviset luvut ja laskutoimitukset Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 1. Negatiiviset ja positiiviset luvut sekä vertailut... 4 2. Lukujen vertailu... 8 3. Plussien
Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.
13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin
Matematiikan itsenäisiä tehtäviä
Matematiikan itsenäisiä tehtäviä Luvut ja niiden nimet suomeksi Laskutoimitusten nimiä suomeksi Perustehtävät Luvut ja niiden nimet suomeksi 1. Kirjoita luvut suomeksi. a) 155 sadat kymmenet ykköset b)
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Python-ohjelmointi Harjoitus 2
Python-ohjelmointi Harjoitus 2 TAVOITTEET Kerrataan tulostuskomento ja lukumuotoisen muuttujan muuttaminen merkkijonoksi. Opitaan jakojäännös eli modulus, vertailuoperaattorit, ehtorakenne jos, input-komento
Luvuilla laskeminen. 1. Laske. a) 2 5 b) 6 11 c) 4 + ( 4) d) 1 ( 7) Ratkaisu. a) 2 5 = 7 b) 6 11 = 5 c) 4 + ( 4) = 4 4 = 0 d) 1 ( 7) = = 6
Luvuilla laskeminen. Laske. 6 4 + ( 4) d) ( 7) = 7 6 = 4 + ( 4) = 4 4 = 0 d) ( 7) = + 7 = 6. Laske. ( 9) 7 ( 8) 8 : ( ) d) 4 : 6 ( 9) = 7 7 ( 8) = 6 8 : ( ) = 9 d) 4 : 6 = 7. Muunna 8 sekaluvuksi 6 sekaluvuksi
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
1 Numeroista lukuja 1.
1 1 Numeroista lukuja Mitä lukuyksikköä edustaa numero a) 4 luvussa 5 469 satoja b) 7 luvussa 35,271 sadasosia c) 1 luvussa 0,5281? kymmenestuhannesosia Kirjoita lukuyksiköiden mukaisena summalausekkeena.
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)
Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.
Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-
7.lk matematiikka. Muuttuja ja Lauseke
7.lk matematiikka Muuttuja ja Lauseke Janne Koponen Hatanpään koulu Syksy 2016 1. Muuttuja, termi ja lauseke Muuttuja on kirjain, jonka tilalle voidaan sijoittaa luku. Kirjainta käytetään laskuissa numeron
7.lk matematiikka. Muuttuja ja Lauseke
7.lk matematiikka Muuttuja ja Lauseke Janne Koponen Hatanpään koulu Syksy 2017 Tämä moniste löytyy myös koulumme nettisivuilta: http://koulut.tampere.fi/hatanpaa/matikka/monisteita/ Samalta sivulta löytyy
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista
2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista Tunnin rakenne: - Esimerkki (min) - Tehtävä -, jokerit tarvittaessa (2 min) - Loppukoonti ja ryhmäarviointi ( min) Tunnin tavoitteet: - Analysoidaan ja pohditaan valmiiksi
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun
Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen
5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö
5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme
1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Yhtälönratkaisu oppilaan materiaali
Yhtälönratkaisu oppilaan materiaali Nimi: Luokka: 1 1. Tosia ja epätosia väitteitä Alkupalat Kirjoita taulukkoon T, jos väite on tosi ja E, jos väite on epätosi. Väite 5 > 3 16 < 8 19 = 26 9 < 28 64 =
Laskentaa kirjaimilla
MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien
1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? =?
Tehtävät 1 1. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 summa? 2. Mikä on lukujen 10, 9, 8,..., 9, 10 tulo? 3. 16 125 250 =? 4. Kirjoita lausekkeeseen sulut siten, että tulos on nolla. 2 + 2 2 2 : 2 + 2 2 2
2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista
2.2 Muunnosten käyttöön tutustumista Esimerkki Tutki kuinka muunnosten avulla voi selvittää haastavan yhtälön ratkaisun. Vaakamalli Matemaattinen esitys Muunnos x x 7x 8 x + 7x + 8 = x Lx 8 7x 2 V8 8 8
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
KOKEITA KURSSI 1. 1. Pitemmдstд osasta sahaat pois 5. 3 b) Muunna murto- tai sekaluvuksi. d) 0,9 e) 1,3 f) 2,01
KOKEITA KURSSI kurssi (A). Laske. Kirjoita ainakin yksi vдlivaihe. 9 a) :. Merkitse ja laske. a) Lukujen ja tulosta vдhennetддn. Luvusta vдhennetддn lukujen ja erotus. Lukujen ja summan kolmasosa kerrotaan
Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta
Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt
Ensimmäisen ja toisen t nimittäjien poistaminen sieventäminen ensimmäisen identtinen yhtälö yhtälö verranto toisen asteen yhtälö korkeamman ristiin kertominen suhde täydellinen toisen ratkaisukaava vaillinainen
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
PUHUTAAN NUMEROILLA Murtoluvut Desimaaliluvut tai
PUHUTAAN NUMEROILLA Murtoluvut 1/2 yksi kahdesosaa (puoli) 2/3 kaksi kolmasosaa 3/4 kolme neljäsosaa 4/5 neljä viidesosaa 5/6 viisi kuudesosaa 6/7 kuusi seitsemäsosaa 7/8 seitsemän kahdeksasosaa 8/9 kahdeksan
Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila
7.lk matematiikka. Yhtälöt
7.lk matematiikka Yhtälöt Janne Koponen Hatanpään koulu Kevät 2017 Yhtälöt 1. Yhtälön määritelmä ja merkintäkäytänteitä Yhtälössä on kaksi lauseketta, jotka on merkitty yhtä suuriksi. Tähän merkitsemiseen
LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille. Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016
LUKUKORTIT Lukukorteista on moneksi Toiminnallista matematiikkaa 1.-6. luokille Riikka Lyytikäinen Liikkuva koulu Helsinki 2016 Lukujonot Tarvikkeet: siniset ja vihreät lukukortit Toteutus: yksin, pareittain,
7.lk matematiikka. Murtoluvut. Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen
7.lk matematiikka Hatanpään koulu Syksy 017 Janne Koponen Tässä monisteessa teoriaosuudet ovat kuvakaappauksia tekemistäni kurssin powerpoint-dioista. Diat löytyvät koulun kotisivuilta osoitteesta: http://koulut.tampere.fi/hatanpaa/matikka/monisteita/
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
KORJAUSMATIIKKA 3, MATERIAALI
1 SISÄLTÖ KORJAUSMATIIKKA, MATERIAALI 1) Potenssi ) Juuri ) Polynomit 4) Ensimmäisen asteen yleinen yhtälön ratkaisu 5) Yhtälöt ongelmaratkaisuissa (tehtävissä esitellään myös. asteen yhtälön ratkaisu)
Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.
3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä
Vastaukset. 2. Ottamalla kaapista 4 kenkää ja 3 sukkaa.
Vastaukset. -. Ottamalla kaapista kenkää ja sukkaa.. Asetetaan vaakaan kummallekin puolelle aluksi sormusta ja punnitaan. Kolmas kolmen ryhmä on vaa'an ulkopuolella. Rihkamasormus kuuluu punnittavista
LOGIIKKA johdantoa
LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt
Python-ohjelmointi Harjoitus 5
Python-ohjelmointi Harjoitus 5 TAVOITTEET Kerrataan silmukkarakenteen käyttäminen. Kerrataan jos-ehtorakenteen käyttäminen. Opitaan if else- ja if elif else-ehtorakenteet. Matematiikan sisällöt Tehtävät
3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
13. Loogiset operaatiot 13.1
13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.
A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ KAHDESTOISTA PAINOS
K. V Ä I S Ä L Ä A L G E B R A N O P P I - J A E S I M E R K K I K I R J A I KAHDESTOISTA PAINOS PORVOO HELSINKI WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖ Kouluhallituksen hyväksymä WERNER SÖDERSTRÖM OSAKEYHTIÖN KIRJAPAINOSSA
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)
sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
Ohjelmoinnin perusteet Y Python
Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
Talousmatematiikan perusteet, L2
Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset
Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset 2000-08-03T10:30/12:00 Huomaa, että joihinkin kysymyksiin on useampia oikeita vastauksia, joten nämä ovat todellakin vain mallivastaukset. 1 Logiikkaa
Java-kielen perusteita
Java-kielen perusteita valintalauseet 1 Johdantoa kontrollirakenteisiin Tähän saakka ohjelmissa on ollut vain peräkkäisyyttä eli lauseet on suoritettu peräkkäin yksi kerrallaan Tarvitsemme myös valintaa
b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
Luku 1 Johdatus yhtälöihin
Luku 1 Johdatus yhtälöihin 1.1 Mikä on yhtälö? Tunnin rakenne: - Yhtälön rakenne ja tunnistaminen (tehtävä 1) ja yhtälön ja lausekkeen vertailua (n. 10min) - Yhtälö väitteenä Jokeri 3 (n. 30 min) - Tunnin
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
7.lk matematiikka. Murtoluvut. Hatanpään koulu Syksy 2017 Janne Koponen
7.lk matematiikka Hatanpään koulu Syksy 017 Janne Koponen Tässä monisteessa teoriaosuudet ovat kuvakaappauksia tekemistäni kurssin powerpoint-dioista. Diat löytyvät koulun kotisivuilta osoitteesta: http://koulut.tampere.fi/hatanpaa/matikka/monisteita/
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
= 3 = 1. Induktioaskel. Induktio-oletus: Tehtävän summakaava pätee jollakin luonnollisella luvulla n 1. Induktioväite: n+1
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 4-810 1 Osoita induktiolla, että luku 15 jakaa luvun 4 n 1 aina, kun n Z + Todistus Tarkastellaan ensin väitettä
15 Yhtäsuuruuksia 1. Päättele x:llä merkityn punnuksen massa. a) x 4 kg. x 3 kg
1 15 Yhtäsuuruuksia Päättele :llä merkityn punnuksen massa. a) 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg b) 1 kg 5 kg 5 kg 4 kg 3 kg Kuinka monta ympyrää jälkimmäisen vaa an oikealle puolelle on laitettava, jotta
A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
Vastaoletuksen muodostaminen
Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset
Loogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
Pikapaketti logiikkaan
Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
C = P Q S = P Q + P Q = P Q. Laskutoimitukset binaariluvuilla P -- Q = P + (-Q) (-Q) P Q C in. C out
Digitaalitekniikan matematiikka Luku ivu (2).9.2 Fe C = Aseta Aseta i i = n i > i i i Ei i < i i i Ei i i = Ei i i = i i -- On On On C in > < = CI CO C out -- = + (-) (-) = + = C + Digitaalitekniikan matematiikka
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)
Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...
2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:
Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.
1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia. Piirrä suorat kuviin.
Peruskoulun matematiikkakilpailu 2015 2016 alkukilpailu 29.10.2015. Ratkaisut 1. Jaa blini kolmella suoralla a) neljään, b) viiteen, c) kuuteen ja d) seitsemään osaan. Osien ei tarvitse olla samanlaisia.