METRISTEN STRUKTUURIEN SCOTTIN LAUSEET
|
|
- Emilia Mattila
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 PRO GRADU METRISTEN STRUKTUURIEN SCOTTIN LAUSEET Joni Puljujärvi 22. toukokuuta 2019
2 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta Fakultet Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen Osasto Avdelning Department Matematiikan ja tilastotieteen osasto Tekijä Författare Author Joni Puljujärvi Työn nimi Arbetets titel Title Metristen struktuurien Scottin lauseet Oppiaine Läroämne Subject Matematiikka Työn laji Arbetets art Level Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages Pro gradu -tutkielma Toukokuu s. Tiivistelmä Referat Abstract Työssä esitellään kaksi erilaista ensimmäisen kertaluvun logiikan laajennosta infinitaarinen logiikka L ω1 ω sekä jatkuva-arvoinen logiikka ja todistetaan näitä yhdistävä tulos, joka on klassisen malliteorian perustuloksen yleistys metrisille struktuureille. Ensimmäisessä luvussa käydään läpi perusteita infinitaarisesta logiikasta L κω, joka sallii syntaksissaan äärettömän pitkät konjunktiot ja disjunktiot, sekä esitellään pintapuolisesti teoriaa, joka johtaa klassiseen Scottin isomorfialauseeseen. Scottin isomorfialause sanoo, että numeroituvan aakkoston numeroituva struktuuri on karakterisoitavissa isomorfiaa vaille logiikan L ω1 ω lauseella. Tätä lausetta kutsutaan struktuurin Scottin lauseeksi. Toisessa luvussa perehdytään metristen struktuurien sekä jatkuva-arvoisen logiikan perusteoriaan. Metrinen struktuuri on metriseen avaruuteen puhtaan joukon sijaan perustuva struktuuri, joka käsitteenä sieppaa paljon klassista struktuuria paremmin esimerkiksi monet analyysissä esiintyvät rakenteet. Näissä struktuureissa predikaatit ovat relaatioiden sijaan tasaisesti jatkuvia ja rajoitettuja funktioita struktuurin n-jonoilta reaaliluvuille. Jatkuva-arvoinen logiikka on metristen struktuurien tutkimiseen soveltuva logiikka, jossa kaavat ovat tasaisesti jatkuvia ja rajoitettuja reaaliarvoisia funktioita. Konnektiiveina toimivat jatkuvat funktiot, kvanttoreina infimum ja supremum, ja atomikaavojen virkaa toimittavat pisteiden välinen etäisyys sekä predikaatit. Kolmannessa luvussa esitellään jatkuva-arvoinen versio logiikasta L ω1 ω sekä metristen struktuurien niin kutsutut edestakaisetäisyydet, jotka ovat jatkuva-arvoinen analogia dynaamisille Ehrenfeuchtin Fraïssén peleille. Edestakaisetäisyyksien teoriaa kehitetään riittävän pitkälle, jotta voidaan konstruoida metriset versiot struktuurien Scottin lauseista. Lopuksi todistetaan, että nämä lauseet todella karakterisoivat struktuurin isomorfiaa vaille, mikä ei metrisessä tapauksessa ole yhtä ilmeistä perusmääritelmistä kuin klassisessa tapauksessa vaan vaatii lisätyötä. Avainsanat Nyckelord Keywords Infinitaarinen logiikka, metrinen malliteoria, Scottin lause, edestakaisetäisyys Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited Elektroninen opinnäytearkisto E-thesis Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information
3 Sisältö 0 Johdanto 3 1 Infinitaarinen logiikka Syntaksi ja semantiikka Edestakaisekvivalenssit Scottin lauseet Metriset struktuurit ja jatkuva-arvoinen logiikka Jatkuvuus, tasainen jatkuvuus ja jatkuvuusmodulit Metriset struktuurit ja aakkostot Jatkuva-arvoinen logiikka Syntaksi Semantiikka Totuusarvot ja L-ehdot Metrinen Scott-analyysi Jatkuva-arvoinen infinitaarinen logiikka Edestakaisetäisyydet ja Scottin korkeus Scottin lauseet Universaali heikko moduli
4 0 Johdanto Monet hyödylliset matemaattiset struktuurit ovat osoittautuneet mahdottomiksi aksiomatisoida ensimmäisen kertaluvun logiikassa, minkä vuoksi erikoisemmat logiikat, jotka yleensä ovat ensimmäisen kertaluvun logiikan laajennoksia, ovat nostaneet päätään. Joillain näistä logiikoista on jopa takataskussaan useita ensimmäisen kertaluvun logiikan hyödyllisiä pikku jekkuja kuten jokin versio kompaktisuuslauseesta tai jonkinlainen Löwenheimin Skolemin lause. Ensimmäisen kertaluvun logiikkaa vahvempien logiikoiden joukossa kelluu aidon luokan kokoinen kasa infinitaarisia kieliä, joista osa on ollut malliteoreetikoiden käytössä jo ennen 60-lukua. Alfred Tarski esitteli vuonna 1958 muun muassa) logiikan L κω ks. [Tar58]), joka laajentaa ensimmäisen kertaluvun logiikkaa äärettömän pituisilla konjunktioilla ja disjunktioilla joiden pituuden yläraja on kardinaali κ). Tällaisista logiikoista kaikista parhaimmin käyttäytyvä on L ω1 ω, jossa konjunktioiden ja disjunktioiden täytyy pysyä numeroituvina. Ehkäpä yksi tärkeimmistä infinitaarisen logiikan tuloksista on niin kutsuttu Scottin isomorfialause, jonka Dana Scott esitti artikkelissaan vuonna 1963 ks. [Sco65]). Lause sanoo, että numeroituvan aakkoston numeroituva struktuuri on äärellisesti aksiomatisoitavissa logiikassa L ω1 ω, toisin sanoen löytyy logiikan L ω1 ω lause, joka karakterisoi annetun numeroituvan struktuurin isomorfiaa vaille. Tätä lausetta kutsutaan struktuurin Scottin lauseeksi. Täysin toiseen suuntaan ensimmäisen kertaluvun logiikkaa laajentaa niin kutsuttu jatkuva-arvoinen logiikka, joka kävi jo 60-luvulla pyörähtämässä koe-esiintymisessä Changin ja Keislerin ohjaamaan näytelmään ks. [CK66]). Se pyrki mukaan liian yleisessä ja siten vähemmän hyödyllisessä muodossa eikä siksi saanut roolia. Nykymuodossaan jatkuvaarvoista logiikkaa on ruvettu tutkimaan vasta vuosituhannen vaihteessa. I. Ben Yaacov ja C. W. Henson, muiden muassa, ovatkin ottaneet asiakseen todistaa hirmuisen vuoren jatkuva-arvoisia versioita klassisista malliteorian tuloksista ks. [BBHU08]), minkä onnistuminen puhuu jatkuvaarvoisen logiikan jykevyyden puolesta. Jatkuva-arvoinen logiikka sopii luonnostaan niin kutsuttujen metristen struktuurien tutkimiseen. Metriset struktuurit ovat rajoitettuja metrisiä avaruuksia, joissa on rakenteena nimettyjä alkioita, funktioita struktuurin universumilta itselleen sekä funktioita struktuurin universumilta reaalilukujen joukkoon. Useat esimerkiksi analyysissä tai geometriassa esiintyvät rakenteet, kuten Hilbertin avaruudet tai äärellisviritteisten ryhmien asymptoottiset kartiot, on luonnollisempi tulkita metrisiksi kuin 3
5 Johdanto klassisiksi struktuureiksi. Toisaalta klassiset struktuurit on helppo tulkita diskreeteiksi metrisiksi struktuureiksi. Jatkuva-arvoisessa logiikassa totuusarvot ovat joukon {0, 1} sijaan välillä [0, 1] tai jollain muulla kompaktilla reaalilukuvälillä). Sen konnektiiveja ovat jatkuvat reaalimuuttujien reaaliarvoiset funktiot ja kvanttoreita infimum ja supremum. Kaavojen tulkinnat metrisissä struktuureissa ovat tasaisesti jatkuvia funktioita struktuurin universumilta totuusarvojen avaruuteen. Jatkuva-arvoiselle logiikalle on mahdollista määritellä infinitaarisia laajennoksia jatkuva-arvoisia versioita klassisille logiikoille L κω. Tässä pro gradu -tutkielmassa määrittelemme jatkuva-arvoisen infinitaarisen logiikan L ω1 ω ja todistamme jatkuva-arvoisen version Scottin isomorfialauseesta. Jatkuva-arvoinen versio sanoo, että numeroituvan aakkoston separoituvat struktuurit voidaan isomorfiaa vaille karakterisoida yhdellä ainoalla jatkuva-arvoisen L ω1 ω:n lauseella. Tätä varten joudumme kehittämään klassisessa teoriassa tärkeää roolia näytteleville dynaamisille Ehrenfeuchtin Fraïssén peleille jatkuva-arvoisen analogian, jota kutsumme edestakaisetäisyyksiksi. Tämä kaikki perustuu Ben Yaacovin, Douchan, Niesin ja Tsankovin tuloksiin artikkelissa [BDNT17]. 4
6 1 Infinitaarinen logiikka Annamme tässä luvussa lyhyen esittelyn klassiselle infinitaariselle logiikalle L κω sekä numeroituvien struktuurien Scottin lauseille vertailukohdaksi luvun 3 tuloksille. Todistuksia ei esitetä, mutta ne löytyvät esimerkiksi kirjasta [Vä11]. 1.1 Syntaksi ja semantiikka Olkoon κ säännöllinen kardinaali. Infinitaarinen logiikka L κω on sellainen ensimmäisen kertaluvun logiikan laajennos, jossa sallitaan äärettömät konjunktiot ja disjunktiot, jotka ovat pituudeltaan lyhyempiä kuin κ. Haluamme, että jokaisessa kaavassa on silti vain äärellisen monta muuttujasymbolia, jotta kaava on aina mahdollista muuttaa lauseeksi kvantifioimalla kaikki vapaat muuttujat. Määritellään ensin infinitaarisen logiikan syntaksi täsmällisesti. Määritelmät antavat ensimmäisen kertaluvun logiikan syntaksin, jos κ = ω. Määritelmä 1.1. Olkoon L aakkosto. L-termit määritellään seuraavasti: i) Jos i < ω, niin muuttujasymboli v i on L-termi. Termin v i vapaiden muuttujien joukko on freev i ) = {v i }. ii) Jos c L on vakiosymboli, niin c on L-termi. Termin c vapaiden muuttujien joukko on freec) =. iii) Jos t 0,..., t n 1 ovat L-termejä ja f L on n-paikkainen muuttujasymboli, niin f t 0,..., t n 1 ) on L-termi. Termin vapaiden muuttujien joukko on free f t 0,..., t n 1 )) = i<n freet i ). Merkitsemme kaikkien muuttujien joukkoa Var := {v i i < ω}. Määritelmä 1.2. Olkoon L aakkosto. Logiikan L κω L-kaavat ja niiden vapaat muuttujat määritellään seuraavasti: i) Jos R L on n-paikkainen relaatiosymboli ja t 0,..., t n 1 L-termejä, niin atomikaavat Rt 0,..., t n 1 ) ja t 0 = t 1 ovat L-kaavoja, ja freert 0,..., t n 1 )) = freet i ), sekä freet 0 = t 1 ) = freet 0 ) freet 1 ). ii) Jos φ on L-kaava, niin φ on L-kaava ja free φ) = freeφ). i<n 5
7 Infinitaarinen logiikka iii) Jos φ on L-kaava ja i < ω, niin v i φ on L-kaava ja free v i φ) = freeφ) \ {v i }. iv) Jos Φ on joukko L-kaavoja, Φ < κ, ja on olemassa n < ω, jolle pätee freeφ) {v i i < n} kaikilla φ Φ, niin Φ on L-kaava ja free Φ) = φ Φ freeφ). Huomautettakoon, että jokaisella L-kaavalla φ joukko freeφ) on äärellinen. L-kaava φ on lause, jos freeφ) =. Kuten malliteoriassa on tapana, jos x = x 0,..., x n 1 Var n ja φ on L-kaava, kirjoitamme φx 0,..., x n 1 ) tai φ x)), mikäli freeφ) {x 0,..., x n 1 }, ja vastaavasti L-termille t kirjoitamme tx 0,..., x n 1 ), jos freet) {x 0,..., x n 1 }. Mikäli Φ = {φ i i I} jollekin indeksijoukolle I, merkitsemme konjunktiota Φ usein i I φ i. L-kaavojen määritelmässä otimme virallisiksi konnektiiveiksi negaation ja < κ-)konjunktion sekä kvanttoriksi eksistenssikvanttorin, mutta määrittelemme tavalliseen tapaan lyhennysmerkinnöiksi v i φ := v i φ, Φ := φ, φ Φ φ ψ := {φ, ψ}, φ ψ := {φ, ψ}, φ ψ := φ ψ) sekä φ ψ := φ ψ) ψ φ). Määritelmä 1.3. Olkoon φ L-kaava. Kaavan φ kvanttoriaste on sellainen ordinaali qrφ), että i) jos φ on atomikaava, niin qrφ) = 0, ii) jos φ = ψ, niin qrφ) = qrψ), iii) jos φ = Ψ kaavajoukolle Ψ, niin qrφ) = sup ψ Ψ qrψ), ja iv) jos φ = vk ψ, niin qrφ) = qrψ) + 1. Sanomme, että φ on kvanttorivapaa, jos qrφ) = 0. Suoraviivainen induktio paljastaa, että kaavan kvanttoriaste on aina pienempi kuin κ: atomikaavojen kvanttoriaste on 0 < κ, ja jos kaavan φ kvanttoriaste on α < κ, niin kaavan v i φ kvanttoriaste on α + 1 < κ, ja jos Φ on kardinaalia κ 6
8 Syntaksi ja semantiikka pienempi joukko kaavoja, joista kunkin kvanttoriaste on pienempi kuin κ, niin qr Φ) = sup φ Φ qrφ) < κ, sillä κ on säännöllinen. Määritellään sitten semantiikka täsmällisesti. Jos κ = ω, saadaan ensimmäisen kertaluvun logiikan semantiikka. L-termien tulkinta eri riipu kardinaalista κ, ja se on täysin sama kuin ensimmäisen kertaluvun logiikassa. Määritelmä 1.4. Olkoon t x) L-termi, x = x 0,..., x n 1 Var n, ja olkoon A L-struktuuri. Termin t tulkinta struktuurissa A on funktio t A : doma) n doma), joka määritellään seuraavasti: i) Jos t = x i jollekin i < n, niin t A ā) = a i kaikilla ā doma) n. ii) Jos t = c jollekin vakiosymbolille c L, niin t A ā) = c A kaikilla ā doma) n. iii) Jos t = f t 0 x),..., t m 1 x)) jollekin funktiosymbolille f L ja termien t 0,..., t m 1 tulkinnat on jo määritelty, niin t A ā) = f A t A 0 ā),..., t A m 1 ā) ) kaikilla ā doma) n. Määritelmä 1.5. Olkoon A L-struktuuri, ā doma) n ja φ x) L-kaava, missä x = x 0,..., x n 1 ) Var n. i) Jos φ on t 0 x) = t 1 x) L-termeille t 0 ja t 1, niin A = φā), jos ja vain jos t A 0 ā) = ta 1 ā). ii) Jos φ = Rt 0 x),..., t n 1 x)) L-termeille t 0,..., t n 1, niin A = φā), jos ja vain jos t A 0 ā),..., ta n 1 ā)) RA. iii) Jos φ = ψ x), niin A = φā), jos ja vain jos A = ψā). iv) Jos φ = v i ψ x, v i ), niin A = φā), jos ja vain jos löytyy b dom A, jolle A = ψā, b). v) Jos φ = i I ψ i x), I < κ, niin A = φā), jos ja vain jos A = ψ i ā) jokaisella i I. Määritelmä 1.6. Olkoot A ja B L-struktuureja. Sanomme, että A ja B ovat elementaarisesti ekvivalentit kvanttoriasteeseen α saakka, mikäli kaikilla L-lauseilla φ, joilla qrφ) α, pätee Tällöin kirjoitamme A α B. A = φ B = φ. 7
9 Infinitaarinen logiikka 1.2 Edestakaisekvivalenssit Struktuurien samankaltaisuutta voidaan tutkia Ehrenfeuchtin Fraïssén pelin erilaisilla muunnelmilla. Perinteinen EF-peli, jonka pituus on ω, karakterisoi struktuurien elementaarisen ekvivalenssin logiikassa L ω, jossa sallitaan mielivaltaisen kardinaalin pituiset konjunktiot. Dynaamisella versiolla perinteisestä EF-pelistä voidaan karakterisoida elementaarinen ekvivalenssi kvanttoriasteeseen α asti. Kaikkien aakkoston L struktuurien luokkaan voidaan määritellä ekvivalenssirelaatioita, jotka mittaavat näiden dynaamisten pelien karakterisoimaa samankaltaisuutta. Menemättä peliteoreettisiin aspekteihin on helpointa määritellä nämä ekvivalenssirelaatiot edestakaisjonojen avulla. Jos A ja B ovat struktuureja, merkitsemme kaikkien osittaisten isomorfismien A B joukkoa PartA, B). Merkitsemme myös kaikkien ordinaalien luokkaa On. Määritelmä 1.7. Olkoon α On ja n < ω. Määrittelemme ekvivalenssirelaation E α,n kaikkien parien A, ā luokkaan, missä A on L-struktuuri ja ā doma) n, seuraavasti: A, ā E α,n B, b, jos ja vain jos on olemassa jono P β, jolle pätee β α i) = P α P 0 PartA, B), ii) a i dom f ) ja f a i ) = b i kaikilla i < n ja f P α, iii) kaikilla β < α jokainen f P β+1 laajenee eteenpäin joukkoon P β eli jokaiselle a A on olemassa b B, joille löytyy sellainen g P β, että g f ja a, b g, ja iv) kaikilla β < α jokainen f P β+1 laajenee taaksepäin joukkoon P β eli jokaiselle b B on olemassa a A, joille löytyy sellainen g P β, että g f ja a, b g. Jos A, E α,0 B,, kirjoitamme A E α B. Mikäli A E α B kaikilla α On, kirjoitamme A E B. Lause 1.8. Kaikilla L-struktuureilla A ja B pätee Todistus. Ks. [Vä11], Theorem A E α B A α B. Määritelmä 1.9. Struktuurin A Scottin korkeus, SHA), on pienin sellainen ordinaali α, että kaikilla n < ω ja ā, b doma) n pätee A, ā E α,n A, b = A, ā Eα+1,n A, b. 8
10 Scottin lauseet Lemma Jos A ja B ovat numeroituvia, niin Todistus. Ks. [Vä11], Theorem Scottin lauseet A E B A = B. Tunnetusti minkä tahansa äärellisen aakkoston äärellisen struktuurin voi karakterisoida yhdellä ainoalla ensimmäisen kertaluvun logiikan lauseella vain eksistenssikvantifioimalla struktuurin alkioiden määrän verran muuttujia, ilmaisemalla, että jokainen struktuurin alkio on yksi näistä ja luettelemalla kunkin relaation sisällön, kunkin funktion arvot ja kunkin vakion identiteetin. Sama onnistuu numeroituvan aakkoston numeroituville struktuureille logiikassa L ω1 ω. Tällaista lausetta kutsutaan Scottin lauseeksi. Infinitaaristen kielten semantiikasta on oleellista huomata, että äärettömillä junktioilla voidaan sanoa samanlaisia asioita kuin kvanttoreiden avulla. Huomautettakoon, että alla määriteltävät kaavat todella ovat L ω1 ω-kaavoja, sillä kaikkien junktioiden indeksijoukot ovat numeroituvia. Määritelmä Olkoon L numeroituva aakkosto, A numeroituva L- struktuuri, n < ω, x = v 0,..., v n 1, ā doma) n ja α < ω 1. Määritellään kaava σ α,n A,ā x) rekursiolla ordinaalin α suhteen. Jos α = 0, niin σ α,n A,ā = {φ x) φ on atomikaava tai sellaisen negaatio ja A = φā)}, toisin sanoen σ 0,n A,ā on konjunktio jonon ā atomityypistä tyhjällä parametrijoukolla. Jos α = β + 1 jollekin ordinaalille β, niin ) ) σ α,n A,ā = v n σ β,n+1 A,āb v n σ β,n+1 A,āb. b A Jos α on rajaordinaali, niin σ α,n A,ā = β<α σ β,n A,ā. Yllä määritellyt kaavat määrittelevät struktuurin A n-jonojen sekä minkä tahansa muun struktuurin B n-jonojen välille eräänlaisia ekvivalensseja. Jos B = σ 0,n A,ā b), niin jonot ā ja b toteuttavat täsmälleen samat atomikaavat, toisin sanoen kaava vastaa osittaista isomorfismia a i b i. 9 b A
11 Infinitaarinen logiikka Jos σ β,n A,ā on määritellyt β-ekvivalenssin ja B = σβ+1,n A,ā b), niin jonot ā ja b ovat β-ekvivalentit ja niitä voi lisäksi pidentää vielä yhdellä alkiolla ja ne pysyvät yhä β-ekvivalentteina. Ensimmäinen konjunkti ilmaisee sen, että jos jonoa ā pidennetään, löytyy pidennys myös muuttujajonolle x, jolloin myös tämän tulkinnalle b löytyy jatke. Toinen konjunkti sanoo, että jokaiselle muuttujajonon x pidennykselle eli jokaiselle jonon b pidennykselle) löytyy jokin jonon ā pidennys. β + 1-ekvivalenssi siis kuvailee edestakaista β-ekvivalenssin laajennusta n-jonoilta n + 1-jonoille. Kun nämä kaksi seikkaa laittaa yhteen, näkee, että β + 1-ekvivalenssi on itse asiassa osittaisten isomorfismien edestakaislaajenemisominaisuus pituudesta β pituuteen β + 1, mistä saadaankin seuraava lemma. Lemma Kaikilla numeroituvilla L-struktuureilla A ja B, ja jokaisella α On ja n < ω sekä ā A n ja b B n pätee B = σ α,n A,ā b) A, ā E α,n B, b. Todistus. Ks. [Vä11], Proposition Määritelmä Numeroituvan aakkoston L numeroituvan struktuurin A Scottin lause σ A on L ω1 ω-lause σ SHA),0 A, n<ω ā A n x 0... x n 1 σ SHA),n A,ā ) σ SHA)+1,n A,ā. Lause Olkoon L numeroituva aakkosto ja A numeroituva L- struktuuri. Tällöin kaikilla numeroituvilla L-struktuureilla B pätee B = σ A B E A. Todistus. Ks. [Vä11], Proposition Korollaari 1.15 Scottin isomorfialause). Olkoon L numeroituva aakkosto ja A numeroituva L-struktuuri. Tällöin kaikilla numeroituvilla L-struktuureilla B pätee B = σ A B = A. Todistus. Scottin isomorfialause saadaan laittamalla yhteen tulokset 1.14 ja
12 2 Metriset struktuurit ja jatkuva-arvoinen logiikka Tässä luvussa esittelemme metriset aakkostot ja struktuurit sekä niiden tutkimiseen käytetyn jatkuva-arvoisen logiikan perusteet siinä määrin, missä tarvitsemme niitä luvussa 3. Hyvin perusteellisen käsittelyn aiheesta antaa [BBHU08], johon tämän luvun materiaali suurimmaksi osaksi perustuu. 2.1 Jatkuvuus, tasainen jatkuvuus ja jatkuvuusmodulit Tässä alaluvussa kertaamme ja esittelemme jatkuvuuteen ja tasaiseen jatkuvuuteen liittyviä määritelmiä ja tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin. Osa määritelmistä perustuu artikkeliin [BDNT17]. Määritelmä 2.1. Olkoot M, d ja M, d metrisiä avaruuksia ja f funktio M M. Funktio : [0, ] [0, ] on funktion f jatkuvuusmoduli, jos kaikilla x, y M pätee 0) = 0 ja on jatkuva nollassa. d f x), f y)) dx, y)), 2.1.1) Jatkuvuusmoduli on funktio, joka jollain tapaa mittaa funktion f tasaista jatkuvuutta. Funktio f on tasaisesti jatkuva, jos jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0, jolle kaikilla x, y M pätee dx, y) < δ = d f x), f y)) ε ) Näyttäisi siltä, että jatkuvuusmodulin olemassaolo on paljon vahvempi väite kuin tasainen jatkuvuus, mutta osoittautuu, että ne ovat yhtäpitävät. Lemma 2.2. Metristen avaruuksien välinen funktio on tasaisesti jatkuva, jos ja vain jos sillä on jatkuvuusmoduli. Todistus. Olkoon f kuten edellä. Oletetaan ensin, että funktiolla f on jatkuvuusmoduli. Olkoon ε > 0. Haluamme osoittaa, että on olemassa δ > 0, jolla 2.1.2) pätee kaikilla x, y M. Koska on jatkuva nollassa, löytyy sellainen δ > 0, että millä tahansa r > 0, jolla r < δ, pätee r) ε. Siten jos dx, y) < δ, pätee d f x), f y)) dx, y)) ε. Oletetaan sitten, että f on tasaisesti jatkuva. Määritellään ehdolla t) = sup { d f x), f y)) x, y M, dx, y) t }. 11
13 Metriset struktuurit ja jatkuva-arvoinen logiikka Jos x, y M, niin dx, y)) = sup { d f x ), f y ) x, y M, dx, y ) dx, y) } d f x), f y)), joten 2.1.1) pätee. Lisäksi 0) = sup { d f x), f y)) x, y M, dx, y) 0 } = sup { d f x), f x)) x M } = sup {0} = 0. Täytyy vielä osoittaa, että on jatkuva nollassa. Oletetaan sitä vastoin, että funktion raja-arvo nollassa ei ole nolla. Koska selvästikin on kasvava funktio, jonka raja-arvo nollassa ei ole nolla, täytyy olla olemassa ε > 0, jolle r) > ε kaikilla r > 0. Koska f on oletuksen mukaan tasaisesti jatkuva, löytyy kuitenkin δ > 0, jolle kaikilla x, y M, joilla dx, y) < δ, pätee d f x), f y)) ε. Olkoon r 0, δ). Tällöin kaikilla niillä x, y M, joilla dx, y) r, pätee myös dx, y) < δ ja siten d f x), f y)) ε. Siten r) = sup { d f x), f y)) x, y M, dx, y) r } ε, mikä on ristiriita. Siis funktion täytyy olla jatkuva nollassa. Jos on funktion f jatkuvuusmoduli, sanomme myös, että f noudattaa modulia. Jos maaliavaruus M on rajoitettu, modulin arvot voidaan rajoittaa jollekin äärellismittaiselle välille, sillä d f x), f y)) d M ) kaikilla x, y M. Lisäksi osoittautuu, että jatkuvuusmodulista voidaan yleisyyttä menettämättä olettaa monenlaisia pieniä yksityiskohtia, kuten seuraava lemma osoittaa. Lemma 2.3. Olkoot M ja M rajoitettuja metrisiä avaruuksia ja f : M M tasaisesti jatkuva. Tällöin funktiolla f on jatkuvuusmoduli, joka on kasvava, jatkuva ja subadditiivinen. 1 Todistus. Olkoon funktion f jokin jatkuvuusmoduli. Koska avaruus M ja siten myös funktio f on rajoitettu, voidaan olettaa, että myös on rajoitettu. Määrittelemme nyt uuden modulin, jolla on kaikki halutut ominaisuudet. Asetetaan t) = inf {at + b a, b [0, ), s) as + b kaikilla s [0, ]}. 1 Funktio g on subadditiivinen, jos gx + y) gx) + gy) kaikilla x ja y. 12
14 Jatkuvuus, tasainen jatkuvuus ja jatkuvuusmodulit Osoitamme, että on funktion f jatkuvuusmoduli. Määritelmänsä perusteella se on aina modulin yläpuolella ja siten toteuttaa ehdon 2.1.1). Todistaaksemme, että 0) = 0, riittää näyttää, että jokaiselle b 0 löytyy a 0, jolle s) as + b kaikilla s [0, ), sillä tällöin pätee 0) a 0 + b = b kaikilla b 0, joten 0) = 0. Huomataan, että voidaan valita a = sup t>0 t) b)/t, sillä as + b = s sup t>0 t) b t + b s s) b s + b = s) kaikilla s [0, ). On vielä näytettävä, että on jatkuva nollassa. Olkoon ε > 0. Koska on rajoitettu, löytyy K > 0, jolle t) K kaikilla t. Voidaan olettaa, että ε < 2K. Koska on jatkuva nollassa, löytyy δ > 0, jolle kaikilla t < δ pätee t) ε/2. Olkoon b = ε/2 ja a = K ε/2)/δ. Nyt kaikilla t [0, ) pätee t) at + b: mikäli t < δ, niin at + b = at + ε/2 ε/2 t), ja jos t δ, pätee at + b = K ε/2 δ t + ε 2 K ε/2 δ + ε δ 2 = K ε 2 + ε 2 = K t). Siten a ja b ovat sellaiset, että t) at + b kaikilla t. Olkoon δ = δε/2k ε). Nyt δ on sellainen, että kaikilla t < δ pätee t) at + b = K ε/2 t + ε δ 2 < K ε/2 δ + ε δ 2 = 2K ε 2δ = ε 2 + ε 2 = ε, δε 2K ε + ε 2 mikä osoittaa jatkuvuuden nollassa. Osoitamme sitten, että on kasvava. Oletetaan, että s t. Osoitamme epäyhtälön s) t) käyttämällä seuraavaa hyödyllistä faktaa, joka on totta kaikissa tiheissä lineaarijärjestyksissä: x y, jos ja vain jos kaikilla z pätee y < z = x z. Käytämme tätä yhtäpitävyyttä epäyhtälöiden todistamiseen useaan kertaan myös myöhemmissä todistuksissa. Oletetaan siis, että t) < ε, ja 13
15 Metriset struktuurit ja jatkuva-arvoinen logiikka pyritään osoittamaan, että s) ε. Nyt funktion määritelmän nojalla löytyy a ja b, joilla at + b < ε ja r) ar + b kaikilla r [0, ]. Siten, koska funktio x ax + b on kasvava, pätee as + b < ε, jolloin myös s) as + b < ε. Osoitamme seuraavaksi, että funktio on konkaavi, toisin sanoen kaikilla t [0, 1] ja s, r [0, ) pätee 1 t)s + tr) 1 t) s) + t r). Käytämme jälleen samaa epäyhtälöntodistustekniikkaa. Olkoon siis 0 t 1, ja oletetaan, että 1 t)s + tr) < ε. Nyt löytyy jälleen sopivat a ja b, joilla a1 t)s + tr) + b < ε. Nyt a1 t)s + tr) + b = a1 t)s + atr + b = a1 t)s + atr t t)b = a1 t)s + atr + 1 t)b + tb = 1 t)as + b) + tar + b). Siten 1 t)as + b) + tar + b) < ε, joten näiden infimumina yli sopivien a ja b myös 1 t) s) + t r) ε. Konkaaviudesta seuraa funktion subadditiivisuus: huomataan aluksi, että jos 0 t 1, niin ts) = 1 t) 0 + ts) 1 t) 0) + t s) = t s). Siten kaikilla s, t [0, ) olettaen, että ainakin toinen on nollasta poikkeava) pätee s + t) = s + t s + t s + t) = ) ss + t) s + t = s) + t), s s + t s + t) + ) + ts + t) s + t t s + t s + t) siis on subadditiivinen. Jatkuvuus seuraa siitä, että on itse asiassa tasaisesti jatkuva, sillä se on oma jatkuvuusmodulinsa: subadditiivisuuden ja kasvavuuden nojalla kaikilla s < t pätee t) s) = t) s) Tämä viimeistelee todistuksen. = t s + s) s) t s) + s) s) = t s) = t s ). 14
16 Jatkuvuus, tasainen jatkuvuus ja jatkuvuusmodulit Lemma 2.4. Jos rajoitettu funktio f : M M R noudattaa jatkuvuusmodulia, niin funktiot g, h : M R, gx) = sup y M f x, y) ja hx) = inf y M f x, y), ovat rajoitettuja ja noudattavat modulia. Todistus. Käytämme avaruuden M M metriikkana kuvausta e 1 x, y, x, y ) = dx, x ) + dy, y ). Olkoot x, x M. Nyt dgx), gx )) = gx) gx ). Symmetrian nojalla voidaan olettaa, että gx) gx ). Tällöin supremumin ominaisuuksien perusteella jokaiselle ε > 0 löytyy y M, jolle dgx), gx )) = gx) gx ) = sup y M f x, y ) sup y M f x, y ) ε + f x, y) sup y M f x, y ) ε + f x, y) f x, y) ε + f x, y) f x, y) = ε + d f x, y), f x, y)) ε + e 1 x, y, x, y )) = ε + dx, x ) + dy, y)) = ε + dx, x )). Tällöin dgx), gx )) dx, x )), mikä oli todistettava. Funktio h käsitellään samalla tavalla. Myöhemmin, kun tutkimme jatkuva-arvoisen logiikan kaavoja, on hyödyllistä ottaa käyttöön hieman erilainen jatkuvuusmodulin käsite. Avaruuden i<n M i funktioille voidaan moduli määritellä kuvaukseksi, joka katsoo komponenteittaisia etäisyyksiä dm i, m i ) sen sijaan, että se katsoisi jonojen etäisyyttä d m 0,..., m n 1, m 0,..., n 1 m ). Paikkaluvun kasvattaminen ei merkittävästi muuta yllä olevia todistuksia, joten voimme vaatia n-paikkaisilta moduleilta kasvavuutta, jatkuvuutta ja subadditiivisuutta. Sanomme, että funktio f : M [, ] on alaspäin puolijatkuva, jos jokaiselle pisteelle a M pätee lim inf x a f x) f a). Funktio f on ylöspäin puolijatkuva, jos jokaiselle a M pätee lim sup x a f x) f a). Määritelmä 2.5. Olkoon n < ω. Funktio : [0, ) n [0, ) on n- paikkainen moduli, jos se on i) kasvava, ii) subadditiivinen, 15
17 Metriset struktuurit ja jatkuva-arvoinen logiikka iii) nolla argumentilla 0 i<n ja iv) jatkuva. Funktio Ω : [0, ) ω [0, ] on heikko moduli, jos se toteuttaa yllä olevat ehdot i) iii), sekä on v) alaspäin puolijatkuva ja vi) jatkuva jokaisessa komponentissa erikseen. Sanomme, että avaruuden M n-paikkainen funktio f noudattaa n- paikkaista modulia, jos d f x 0,..., x n 1 ), f y 0,..., y n 1 )) dx 0, y 0 ),..., dx n 1, y n 1 )) kaikilla x 0,..., x n 1, y 0,..., y n 1 M. Heikko moduli on työkalu, jonka avulla voimme määritellä erään sopivan palasen infinitaarisesta jatkuva-arvoisesta logiikasta. Heikon modulin Ω typistys pituuteen n on funktio Ω n : [0, ) n [0, ], jolle Ω n δ 0,..., δ n 1 ) = Ωδ 0,..., δ n 1, 0, 0,... ). Heikkoja moduleita ei käytetä suoraan vaan pelkästään typistysten muodossa. Oikeastaan heikko moduli on siis vain uniformi tapa kerätä yhteen n-paikkainen moduli jokaista n < ω kohti: jokainen typistys on moduli, ja toisaalta typistykset määräävät heikon modulin täysin, mikä onkin lemman 2.7 sisältö. Kyseisen lemman todistus hoituu helpoiten käyttämällä toisenlaista alas- ja ylöspäin puolijatkuvuuden karakterisointia. Lemma 2.6. Funktio f : M [, ] on alaspäin puolijatkuva, jos ja vain jos {a M f a) > t} on avoin joukko kaikilla t R. Funktio f on ylöspäin puolijatkuva, jos ja vain jos {a M f a) < t} on avoin joukko kaikilla t R. Todistus. Osoitamme väitteen alaspäin puolijatkuvuudelle. Ylöspäin puolijatkuvuus hoituu samalla tavalla. Oletetaan ensin, että {x M f x) > t} on avoin kaikilla t R, ja kiinnitetään a M. Osoittaaksemme, että lim inf x a f x) := sup r>0 inf 0<dx,a)<r riittää näyttää, että kaikilla t R löytyy r > 0, jolle f x) f a), f a) > t = inf f x) t. 0<dx,a)<r 16
18 Jatkuvuus, tasainen jatkuvuus ja jatkuvuusmodulit Olkoon siis t R ja f a) > t. Nyt, koska U := {x M f x) > t} on avoin ja a U, löytyy r > 0, jolle Ba, r) U. Siten kaikilla x Ba, r) pätee f x) > t, joten inf 0<dx,a)<r f x) t. Tämä todistaa väitteen. Oletetaan sitten, että lim inf x a f x) f a) kaikilla a M, ja kiinnitetään t R. Olkoon a U := {x M f x) > t}. Koska nyt f a) > t ja lim inf x a f x) f a), löytyy r > 0, jolle inf 0<dx,a)<r f x) > t. Tämä tarkoittaa, että kaikilla x M, joilla dx, a) < r, pätee f x) > t. Siispä Ba, r) U. Täten U on avoin, mikä todistaa väitteen. Lemma 2.7. Olkoon Ω heikko moduli. Tällöin Ω n on n-paikkainen moduli, ja Ωδ) = sup Ω n δ0),..., δn 1)) n<ω kaikilla δ [0, ) ω. Todistus. Osoitetaan ensin, että Ω n on n-paikkainen moduli. Koska määritelmän 2.5 kohdat i) iii) sekä alaspäin puolijatkuvuus ovat selvästi typistyksille periytyviä ominaisuuksia, riittää näyttää, että Ω n on ylöspäin puolijatkuva, koska tällöin lim sup x δ Ω n x) Ω n δ) lim inf Ω n x), x δ eli lim x δ Ω n x) = Ω n δ), kaikilla δ 0, ] n, joten Ω n on jatkuva. Olkoon t R ja δ sellainen, että Ω n δ) < t. Koska Ω n on jatkuva jokaisessa koordinaatissa edelleen, löytyy luvulle δ 0 kuulaympäristö Bδ 0, r 0 ), jolle Ω n x, δ 1,..., δ n 1 ) < t kaikilla x Bδ 0, r 0 ). Edelleen löytyy r 1 niin, että kaikilla x Bδ 1, r 1 ) pätee Ω n δ 0 + r 0 /2, x, δ 2,..., δ n 1 ) < t. Näin jatkamalla löydämme luvut r 0,..., r n 1, joille Ω n δ 0 + r 0 /2,..., δ n 1 + r n 1 /2) < t. Koska Ω n on kasvava, voimme päätellä, että avoin joukko U = i<n Bδ i, r i /2) on pisteen δ ympäristö, jolle kaikilla x U pätee Ω n x) < t, joten δ U { x 0, ] n Ω n x) < t }. Siis { x 0, ] n Ω n x) < t } on avoin. Osoitamme sitten, että Ωδ) = sup n<ω Ω n δ0),..., δn 1)) kaikilla δ [0, ) ω. Koska Ω on kasvava, pätee kaikilla n < ω. Siten myös Ωδ) = Ωδ0), δ1),... ) Ωδ0),..., δn 1), 0, 0,... ) = Ω n δ0),..., δn 1)) Ωδ) sup Ω n δ0),..., δn 1)). n<ω 17
19 Metriset struktuurit ja jatkuva-arvoinen logiikka Toisaalta, koska Ω on alaspäin puolijatkuva, pätee Ωδ) lim inf x δ Ωx) = sup r>0 Nyt jokaiselle r > 0 löytyy n r < ω niin, että inf 0<dx,δ)<r Ωx). 0 < dδ, δ0),..., δn r 1), 0, 0,... ) < r, sillä avaruuden [0, ) ω topologialla on kanta, joka muodostuu joukoista i<ω U i, joissa vain äärellisen monella i pätee U i = 0, ]. Siten sup r>0 inf 0<dx,δ)<r Ωx) sup Ωδ0),..., δn r 1), 0, 0,... ) r>0 = sup Ω nr δ0),..., δn r 1)) r>0 sup Ω n δ0),..., δn 1)). n<ω Siispä Ωδ) sup Ω n δ0),..., δn 1)). n<ω Määritelmä 2.8. Sanomme, että heikko moduli Ω on kasvava siirtojen suhteen, jos jokaisella kasvavalla jonolla i j j<ω ωω pätee Ωδ) Ωδ ) kaikilla δ [0, ) ω, missä δ i j ) = δj), ja δ k) = 0, jos k / { i j j < ω }. Kasvavuus siirtojen suhteen on ominaisuus, jota heikolta modulilta vaaditaan vain yhdessä todistuksessa, nimittäin lauseen Onneksemme luvussa 3.4 määriteltävä universaali heikko moduli täyttää tämänkin vaatimuksen. Toteamme tämän alaluvun lopuksi vielä tärkeän huomion jatkuvista funktioista, nimittäin sen, että jatkuvien funktioiden K R, K R n kompakti, avaruus on separoituva. Lause 2.9 Weierstrass). Olkoon K R n kompakti. Tällöin on olemassa numeroituva joukko F jatkuvia funktioita K R, joille pätee seuraava: kaikilla jatkuvilla funktioilla f : K R ja ε > 0 löytyy g F, jolle f x) gx) < ε kaikilla x K. Todistus. Ks. [Rud76], Theorem 7.26 ja sitä seuraavat tulokset. 18
20 Metriset struktuurit ja aakkostot 2.2 Metriset struktuurit ja aakkostot Haluamme määritellä metrisen struktuurin käsitteen samaan tapaan kuin tavallinen struktuuri määritellään klassisessa logiikassa mutta ottamalla struktuurin universumiksi metrisen avaruuden pelkän puhtaan joukon sijaan. Tätä varten tarvitsemme klassisia predikaatteja ja funktioita vastaavat metriset käsitteet. Olkoon M, d täydellinen, rajoitettu metrinen avaruus. Avaruuden M n-paikkainen predikaatti on mikä tahansa tasaisesti jatkuva funktio M n I, missä I on jokin kompakti reaalilukuväli. Avaruuden M n-paikkainen funktio on mikä tahansa tasaisesti jatkuva funktio M n M. Metrinen struktuuri on mikä tahansa tällainen täydellinen rajoitettu metrinen avaruus varustettuna predikaateilla, funktioilla ja nimetyillä alkioilla vakioilla). Metrinen aakkosto, kuten klassinen aakkostokin, on joukko predikaatti-, funktio- ja vakiosymboleita. Koska metristen struktuurien predikaatit ja funktiot ovat tasaisesti jatkuvia, aakkoston täytyy myös mainita, mitä jatkuvuusmodulia kunkin symbolin tulkinnan kuuluu noudattaa. Predikaattisymboleista tulee lisäksi eritellä, minkä reaalilukuvälin sisällä predikaatin arvot pysyvät. Aakkoston täytyy myös spesifioida maksimiläpimitta struktuureilleen. Määritelmä Metrinen aakkosto L on joukko predikaatti-, funktio- ja vakiosymboleita. Jokaiseen aakkostoon liittyvät funktiot #: L ω \ {0}, joka kuvaa jokaisen predikaatti- ja funktiosymbolin s sen paikkaluvulle #s), P I P, joka kuvaa jokaisen predikaattisymbolin P jollekin kompaktille välille I P R, ja s s, joka kuvaa jokaisen predikaatti- ja funktiosymbolin s jollekin #s)-paikkaiselle modulille s : [0, ) #s) [0, ), sekä positiivinen reaaliluku D L, joka toimii ylärajana aakkoston struktuurien läpimitalle. Huomautettakoon, että aakkoston määritelmän mukaan tyhjä aakkosto aakkosto, jossa ei ole yhtään symbolia määrää tyhjyydestään huolimatta silti struktuuriensa maksimiläpimitan D L. Tässä mielessä tyhjä aakkosto ei ole yksikäsitteinen. Määritelmä Olkoon L metrinen aakkosto. L-struktuuri A on jono A, d, Tul, missä A, d on rajoitettu, täydellinen metrinen avaruus, da) D L, ja Tul on funktio, jolle pätee domtul) = L sekä 19
21 Metriset struktuurit ja jatkuva-arvoinen logiikka jos P L on predikaattisymboli, niin P A := TulP) on tasaisesti jatkuva funktio A #P) I P, joka noudattaa jatkuvuusmodulia P, jos f L on funktiosymboli, niin f A := Tul f ) on tasaisesti jatkuva funktio A # f ) A, joka noudattaa jatkuvuusmodulia f, ja jos c L on vakiosymboli, niin c A := Tulc) A. Joukko A on struktuurin A universumi, ja merkitsemme sitä doma). Jos a on struktuurin A alkio, kirjoitamme usein vain yksinkertaisesti a A sen sijaan, että kirjoittaisimme a doma). Vastaavasti jos f on funktio doma) domb), kirjoitamme f : A B. Esimerkki. Seuraavat ovat esimerkkejä metrisistä struktuureista. i) Jokainen rajoitettu täydellinen metrinen avaruus on erään) tyhjän aakkoston struktuuri. Metriset avaruudet vastaavat puhtaita joukkoja klassisessa ensimmäisen kertaluvun logiikassa. ii) Normaali ensimmäisen kertaluvun struktuuri voidaan ajatella myös diskreettinä metrisenä struktuurina. Ks. luku iii) Rajoittamattomat metriset avaruudet voidaan koodata monisorttisina struktuureina, missä sortit ovat kuulia Ba, n), 0 < n < ω, jollekin kiinnitetylle pisteelle a. Tällöin aakkostossa on jokaiselle sortille oma metriikka, nimittäin predikaatit d n, jotka tulkitaan struktuurissa olemaan d n x, y) = min {n, dx, y)}. Viralliseksi metriikaksi voidaan ottaa d 1. iv) Kun osaamme koodata rajoittamattomia avaruuksia, voimme käsitellä esimerkiksi Banachin avaruuksia metrisinä struktuureina: normi voidaan lisätä predikaattina kullekin sortille erikseen), ja jokaista skalaaria c kohti funktio x cx. Nollavektori voidaan lisätä vakioksi aakkostoon, ja mukavuussyistä sortit voidaan keskittää nollan ympärille. v) Hilbertin avaruudet voidaan käsitellä samoin kuin Banachin avaruudet. Sisätulon voi ottaa kaksipaikkaiseksi predikaatiksi aakkostoon. vi) Rajoitettu mitta-avaruus Ω, F, µ, missä F on joukon Ω sigmaalgebra ja µ tämän mitta, voidaan ajatella metrisenä struktuurina seuraavasti: struktuurin universumiksi otetaan joukko F, josta nollamittaiset joukot on samastettu keskenään, ja määritellään 20
22 Jatkuva-arvoinen logiikka da, B) = µa B), missä on symmetrinen erotus. Struktuuriin lisätään funktioina operaatiot, ja A A c, ja mitta µ lisätään predikaattina. Tyhjä joukko ja koko avaruus voidaan lisätä vakioiksi. Moni struktuureihin liittyvä käsite yleistyy luonnollisella tavalla metriseen kontekstiin. Esimerkiksi isomorfismin määritelmä on muutoin käytännössä sama kuin klassisessa tapauksessa, mutta yhtälöiden säilyttämisen sijaan isomorfismin vaaditaan säilyttävän etäisyydet. Määritelmä Olkoot A ja B L-struktuureja. Funktio π : A B on isomorfismi, jos i) se on bijektio, ii) se on isometria eli kaikilla a, a A pätee dπa), πa )) = da, a ), iii) jos c L on vakiosymboli, niin πc A ) = c B, iv) jos f L on n-paikkainen funktiosymboli ja a 0,..., a n 1 A, niin π f A a 0,..., a n 1 )) = f B πa 0 ),..., πa n 1 )), sekä v) jos P L on n-paikkainen predikaattisymboli ja a 0,..., a n 1 A, niin P A a 0,..., a n 1 ) = P B πa 0 ),..., πa n 1 )). Jos struktuurien A ja B välille löytyy isomorfismi, sanomme, että struktuurit ovat isomorfisia ja kirjoitamme A = B. 2.3 Jatkuva-arvoinen logiikka Tarvitsemme nyt uudenlaisen logiikan, jolla voimme puhua metrisistä struktuureista, sillä klassinen ensimmäisen kertaluvun logiikka sopii metristen struktuurien kuvailuun hieman huonosti. Tähän tarkoitukseen sopii kuitenkin niin kutsuttu jatkuva-arvoinen ensimmäisen kertaluvun) logiikka. Esimerkiksi Hilbertin avaruudet eivät ole klassisessa ensimmäisen kertaluvun logiikassa aksiomatisoitavissa ja niiden teorialla on hyvin huonosti käyttäytyviä malleja, kun taas jatkuva-arvoisessa logiikassa Hilbertin avaruudet voidaan aksiomatisoida ks. [BBHU08], luku 15) Syntaksi Jatkuva-arvoisen logiikan loogiset symbolit ovat muuttujasymbolit: kiinnitetään ääretön yleensä numeroituva), joukko muuttujasymboleita Var = {v i i < ω}; 21
23 Metriset struktuurit ja jatkuva-arvoinen logiikka metriikkasymboli d; jokaista jatkuvaa funktiota u : R n R kohti n-paikkainen konnektiivisymboli; sekä kvanttorit sup ja inf. Kuten klassisessa logiikassa yleensä käytetään symbolia = tarkoittamaan sekä syntaksin identiteettisymbolia että semantiikan todellista identiteettirelaatiota, viittaamme symbolilla d sekä metrisen struktuurin metriikkaan että logiikan symboliin vaikkakin saatamme joskus kirjoittaa selkeyden vuoksi d A viitatessamme struktuurin A metriikkaan. Käytämme myös samaa symbolia konnektiivista sekä sen tulkinnasta. Samoin sup ja inf voivat tarkoittaa sekä syntaksin kvanttoreita että semantiikan supremumeja ja infimumeja. Sekaannuksen vaaraa ei ole. Yleisiä konnektiiveja ovat esimerkiksi kaksipaikkaiset hilaoperaatiot infimum engl. meet) ja supremum engl. join), joille x y := x, y) = min {x, y} ja 2.3.1) x y := x, y) = max {x, y}. Jokainen reaaliluku r R voidaan ajatella vakiofunktiona ja siten n- paikkaisena konnektiivina mille tahansa n < ω. Toisaalta r voidaan ajatella myös yksipaikkaisena konnektiivina x rx. Muita yleisiä konnektiiveja ovat + ja, tai, mikäli totuusarvojen joukko on rajoitettu esimerkiksi välille [0, 1], pistemiinus sekä itseisarvo x x. x. y := max {0, x y}, Määritelmä Olkoon L metrinen aakkosto. L-termien joukko määritellään seuraavasti: i) Jokainen muuttujasymboli v i on L-termi. ii) Jokainen vakiosymboli c L on L-termi. iii) Jos t 0,..., t n 1 ovat L-termejä ja f L on n-paikkainen funktiosymboli, niin f t 0,..., t n 1 ) on L-termi. Termit ovat siis syntaktisesti täysin samat kuin klassisessa logiikassa. Määritelmä Olkoon L metrinen aakkosto. L-atomikaavat määritellään seuraavasti: 22
24 Jatkuva-arvoinen logiikka i) Jos t 0 ja t 1 ovat L-termejä, niin dt 0, t 1 ) on L-atomikaava. ii) Jos R L on n-paikkainen relaatiosymboli ja t 0,..., t n 1 ovat L- termejä, niin Rt 0,..., t n 1 ) on L-atomikaava. Määritelmä Olkoon L metrinen aakkosto. L-kaavat määritellään seuraavasti: i) L-atomikaavat ovat L-kaavoja. ii) Jos φ 0,..., φ n 1 ovat L-kaavoja ja u on jatkuva funktio R n R, niin uφ 0,..., φ n 1 ) on L-kaava. iii) Jos φ on L-kaava ja v i Var, niin sup vi φ ja inf vi φ ovat L-kaavoja. Peruskäsitteet, kuten kaavan vapaat muuttujat ja lauseet, määritellään täysin samoin kuin ensimmäisen kertaluvun logiikassa kvanttoreina toimivat inf ja sup) Semantiikka Koska termit jatkuva-arvoisessa logiikassa ovat täysin samat kuin klassisessakin logiikassa, myös termin tulkinta struktuureissa määritellään samoin kuin klassisessa tapauksessa ks. määritelmä 1.4). Ainoa ero klassisten ja metristen termien välillä on se, että metrinen aakkosto antaa funktiosymboleille jatkuvuusmodulit, joita näiden tulkintojen vaaditaan noudattavan, jolloin jokaiselle termille määräytyy jokin jatkuvuusmoduli ks. lemma 2.17), kun taas klassinen aakkosto ei tee moisia vaatimuksia. Määritellään nyt jatkuva-arvoisen logiikan kaavojen tulkinta metrisissä struktuureissa. Määritelmä Olkoon L metrinen aakkosto, A L-struktuuri ja φx 0,..., x n 1 ) L-kaava. Kaavan φ tulkinta struktuurissa A on funktio φ A : M n R, joka määritellään seuraavasti: i) Jos φ = dt 0, t 1 ) L-termeille t 0 x 0,..., x n 1 ) ja t 1 x 0,..., x n 1 ), niin ) φ A a 0,..., a n 1 ) = d t A 0 a 0,..., a n 1 ), t A 1 a 0,..., a n 1 ) kaikilla a 0,..., a n 1 doma). ii) Jos φ = Pt 0,..., t m 1 ) jollekin m-paikkaiselle predikaattisymbolille P L ja termeille t 0 x 0,..., x n 1 ),..., t m 1 x 0,..., x n 1 ), niin ) φ A a 0,..., a n 1 ) = P A t A 0 a 0,..., a n 1 ),..., t A m 1 a 0,..., a n 1 ) kaikilla a 0,..., a n 1 doma). 23
25 Metriset struktuurit ja jatkuva-arvoinen logiikka iii) Jos φ = uψ 0,..., ψ m 1 ) jollekin funktiolle u : R m R ja L-kaavoille ψ 0 x 0,..., x n 1 ),..., ψ m 1 x 0,..., x n 1 ), niin ) φ A a 0,..., a n 1 ) = u ψ0 A a 0,..., a n 1 ),..., ψm 1 A a 0,..., a n 1 ) kaikilla a 0,..., a n 1 doma). iv) Jos φ = sup vi ψv i, x 0,..., x n 1 ) jollekin L-kaavalle ψ ja muuttujalle v i, niin { } φ A a 0,..., a n 1 ) = sup ψ A b, a 0,..., a n 1 ) b doma) kaikilla a 0,..., a n 1 doma). v) Jos φ = inf vi ψv i, x 0,..., x n 1 ) jollekin L-kaavalle ψ ja muuttujalle v i, niin { } φ A a 0,..., a n 1 ) = inf ψ A b, a 0,..., a n 1 ) b doma) kaikilla a 0,..., a n 1 doma). Funktion φ A arvoja kutsutaan kaavan φ totuusarvoiksi tai lyhyesti kaavan arvoiksi). Määritelmän kahdesta viimeisestä kohdasta huomautettakoon, että täytyy vielä todistaa, että kvanttoreita sisältävän kaavan totuus on hyvin määritelty eli supremumit ja infimumit ovat todella olemassa). Myös ensimmäisen kertaluvun logiikan kaavojen tulkinnan struktuurissa M voisi määritellä funktioina M n {0, 1} totuuden käsitteen muuttumatta. Tärkeää jatkuva-arvoisen logiikan kannalta on, että kaavojen tulkinnat ovat itse asiassa tasaisesti jatkuvia ja rajoitettuja. Lemma Olkoon t x) L-termi, x = x 0,..., x n 1 Var n. Tällöin on olemassa n-paikkainen moduli t, jota t A noudattaa kaikilla L- struktuureilla A. Todistus. Todistus etenee induktiolla termin rakenteen suhteen. Jos t = x i jollekin i < n, niin t A noudattaa modulia pr i, sillä dt A ā), t A b)) = da i, b i ) = pr i dai, b i ) i<n ). Jos t = c jollekin vakiosymbolille c L, niin selvästi t A noudattaa vakiofunktiota 0. 24
26 Jatkuva-arvoinen logiikka Jos t = f t 0,..., t n 1 ) m-paikkaiselle funktiosymbolille f L sekä termeille t 0,..., t m 1, jotka noudattavat moduleita ti, niin t noudattaa modulia δ f t0 δ),..., tm 1 δ)). Nimittäin jos ā, b doma) n, niin dt A ā), t A b)) = d f A t A 0 ā),..., t A m 1 ā)), f A t A 0 b),..., t A m 1 b))) sillä f on modulina kasvava. f dt A 0 ā), t A 0 b)),..., dt A m 1 ā), ta m 1 b))) f t0 da i, b i ) i<n ),..., tm 1 da i, b i ) i<n )), Lemma Olkoon φx 0,..., x n 1 ) L-atomikaava. Tällöin on olemassa sellainen kompakti reaalilukuväli I φ sekä n-paikkainen jatkuvuusmoduli φ, että φ A noudattaa modulia φ ja ranφ A ) I φ kaikilla L-struktuureilla A. Todistus. i) Jos φ = Pt 0,..., t n 1 ) predikaattisymbolille P L ja termeille t 0 x),..., t n 1 x), niin koska predikaatin P A arvot ovat jokaisessa struktuurissa A kompaktilla välillä I P, voidaan valita I φ = I P. Koska P A noudattaa modulia P ja lemman 2.17 nojalla termit t i moduleita ti, noudattaa kaava φ modulia δ P t0 δ),..., tn 1 δ)) tämän voi perustella täsmälleen samalla argumentilla kuin Lemman 2.17 funktiosymbolitodistuksessa). ii) Jos φ = dt 0, t 1 ) termeille t 0 ja t 1, niin koska da) D L jokaisella L-struktuurilla A, voidaan valita I φ = [0, D L ]. Koska metriikka d, olipa A mikä tahansa L-struktuuri, on 1-Lipschitz avaruudessa A 2, e 1, missä e1 x, y, x, y ) = dx, x ) + dy, y ), niin d noudattaa modulia x, y x + y. Siten funktioksi φ voidaan valita δ t0 δ) + t1 δ). Lause Olkoon φx 0,..., x n 1 ) L-kaava. Tällöin on olemassa sellainen kompakti reaalilukuväli I φ sekä n-paikkainen jatkuvuusmoduli φ, että φ A noudattaa modulia φ ja ranφ A ) I φ kaikilla L-struktuureilla A. Todistus. Todistus etenee induktiolla kaavan φ rakenteen suhteen. i) Jos φ on atomikaava, niin väite seuraa lemmasta
27 Metriset struktuurit ja jatkuva-arvoinen logiikka ii) Jos φ = uψ 0,..., ψ m 1 ) joillekin kaavoille ψ 0,..., ψ m 1 ja jatkuvalle funktiolle u : R m R, niin koska induktio-oletuksen nojalla kaavat ψ i saavat arvonsa kompakteilla väleillä I ψi ja kompaktin yhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on kompakti ja yhtenäinen, voidaan valita I φ = u[i ψ0 I ψm 1 ] joka on kompaktina ja yhtenäisenä reaalilukujen osajoukkona kompakti väli). Koska induktio-oletuksen nojalla kaavat ψ i noudattavat moduleita ψi ja u on jatkuvana funktiona tasaisesti jatkuva kompaktissa joukossa I ψ0 I ψm 1 eli noudattaa siellä jotakin modulia u, niin φ noudattaa modulia δ u ψ0 δ),..., ψm 1 δ)). iii) Jos φ = sup vi ψv i, x), niin koska induktio-oletuksen nojalla funktion ψ A arvot ovat kompaktilla välillä I ψ, myös sup { ψ A b, ā) b doma) } I ψ kaikilla ā doma) n. Koska ψ noudattaa n + 1-paikkaista modulia ψ, voimme huomata, että φ noudattaa modulia δ ψ 0, δ): olkoot ā, b doma) n. Etäisyys dφ A ā), φ A b)) on kaavojen arvojen erotus jomminkummin päin. Tapaukset ovat symmetriset, joten voidaan olettaa, että dφ A ā), φ A b)) = φ A ā) φ A b). Olkoon ε > 0. Nyt supremumin ominaisuuksien perusteella löytyy c A, jolle φ A ā) φ A b) = sup c A Koska ε oli mielivaltainen, pätee mikä oli todistettava. ψ A c, ā) sup ψ A c, b) c A ε + ψ A c, ā) sup ψ A c, b) c A ε + ψ A c, ā) ψ A c, b) ε + ψ A c, ā) ψ A c, b) ε + ψ dc, c), da 0, b 0 ),..., da n 1, b n 1 )) = ε + ψ 0, da i, b i ) i<n ). φ A ā) φ A b) ψ 0, da i, b i ) i<n ), iv) Jos φ = inf vi ψv i, x), sen arvot ovat jälleen välillä I ψ ja se noudattaa modulia δ ψ 0, δ). Todistus on samanlainen kuin supremumin tapauksessa. 26
28 Jatkuva-arvoinen logiikka Lauseesta 2.19 seuraa, että jatkuva-arvoisen logiikan semantiikka on hyvin määritelty. Katsellessa L-kaavan määritelmää, saattaa helposti herätä huoli kaavojen lukumäärästä jatkuvia funktioita R n R kun on kontinuumin verran ja jokainen niistä sallitaan konnektiiviksi. Osoittautuu kuitenkin, että numeroituva määrä 2 konnektiiveja riittää muodostamaan sellaisen fragmentin jatkuva-arvoisesta logiikasta, jonka kaavoilla pystyy approksimoimaan mielivaltaista kaavaa mielivaltaisen tarkasti. Lause Olkoon L aakkosto, κ ääretön kardinaali ja L κ. Tällöin on olemassa joukko F L-kaavoja, F κ, jolle seuraava väite pätee: jokaiselle L-kaavalle φ x) ja ε > 0 löytyy ψ x) F, joille jokaisessa L- struktuurissa A pätee φ A ā) ψ A ā) < ε kaikilla ā A n. Todistus. Yleisyyttä menettämättä voidaan olettaa, että predikaattien arvoväli on [0, 1]. 3 Olkoon { u n i i < ω } tiheä joukko jatkuvia funktioita [0, 1] n [0, 1] kullakin n; toisin sanoen jokaiselle u : [0, 1] n [0, 1] ja ε > 0 löytyy i < ω, jolle ut0,..., t n 1 ) u n i t 0,..., t n 1 ) < ε kaikilla t 0,..., t n 1 [0, 1]. Nämä ovat olemassa lauseen 2.9 nojalla. Määrittelemme kaavajoukon F seuraavasti: i) Jos φ on atomikaava, niin φ F. ii) Jos φ 0,..., φ n 1 F ja i < ω, niin u n i φ 0,..., φ n 1 ) F. iii) Jos φ F, niin sup vk φ, inf vk φ F. Selvästi F = ℵ 0 L ℵ 0 κ = κ. Osoitamme, että joukolla F on haluttu approksimointiominaisuus. Olkoon φ x) L-kaava. Todistamme induktiolla kaavan φ rakenteen suhteen, että jokaiselle ε > 0 löytyy ψ x) F, jolle φ A ā) ψ A ā) < ε kaikissa struktuureissa kaikilla jonoilla ā. Jos φ on atominen, väite on selvä. Jos φ = inf vk θv k, x) ja ε > 0, niin induktio-oletuksen nojalla löytyy θ v k, x) F, jolle 2 Itse asiassa jopa äärellinen määrä riittäisi, mutta emme paneudu tähän enempää, sillä kaavajoukoista tulee joka tapauksessa äärettömiä. 3 Jos näin ei ole, voimme tehdä vastaavan konstruktion jokaiselle L:n äärelliselle osajoukolle erikseen ja ottaa näistä yhdisteen. Koska κ <ω = κ, hajauttaminen ei riko vaatimusta fragmentin koolle. 27
29 Metriset struktuurit ja jatkuva-arvoinen logiikka θ A b, ā) θ ) A b, ā) < ε/2 kaikissa struktuureissa kaikilla jonoilla. Valitaan ψ x) = inf vk θ. Kiinnitetään struktuuri A ja jono ā A n. Symmetrian nojalla voimme olettaa, että φ A ā) ψ A ā). Nyt infimumin ominaisuuksien perusteella löytyy c A, jolle φ A ā) ψ A ā) = φ A ā) ψ A ā) = inf b A θa b, ā) inf θ ) A b, ā) b A inf b A θa b, ā) + ε 2 θ ) A c, ā) θ A c, ā) + ε 2 θ ) A c, ā) θ A c, ā) θ ) A c, ā) + ε 2 < ε 2 + ε 2 = ε. Tapaus φ = sup vk θv k, x) on samanlainen. Jos φ = uθ 0,..., θ n 1 ) ja ε > 0, niin olkoon i < ω sellainen, että u u n i < ε/2. Tästä seuraa, että kaikilla t 0,..., t n 1 [0, 1] pätee ut 0,..., t n 1 ) < ui nt 0,..., t n 1 ) + ε/2. Koska ui n on tasaisesti jatkuva, niin löytyy δ > 0, jolle kaikilla t 0,..., t n 1, t 0,..., t n 1 [0, 1] pätee t j t j < δ kaikilla j < m = u n i t 0,..., t n 1 ) ui nt 0,..., t n 1 ) < ε 2. Induktio-oletuksen perusteella löytyy kaavat θ j F, j < n, joille pätee θ A i ā) θ i )A ā) < δ kaikissa struktuureissa kaikilla jonoilla. Valitsemme nyt ψ = ui nθ 0,..., θ n 1 ). Kiinnitetään struktuuri A ja jono ā An. Jälleen voidaan olettaa, että φ A ā) ψ A ā). Nyt φ A ā) ψ A ā) = φ A ā) ψ A ā) = uθ A 0 ā),..., θ A n 1 ā)) un i θ 0) A ā),..., θ n 1 )A ā)) < ui nθa 0 ā),..., θn 1 A ā)) + ε 2 ui nθ 0) A ā),..., θ n 1 )A ā)) ui nθa 0 ā),..., θn 1 A ā)) ui nθ 0) A ā),..., θ n 1 )A ā)) + ε 2 < ε 2 + ε 2 = ε. 28
30 Jatkuva-arvoinen logiikka Jos X on topologinen avaruus, niin sen tiheysluku on densityx) := min { A : A on tiheä avaruudessa X}, toisin sanoen pienin tiheän joukon mahtavuus avaruudessa X. Lause 2.20 kertoo, että jos varustamme L-kaavojen joukon kaavojen loogisella etäisyydellä dφ, ψ) = sup φ A ā) ψ A ā), A,ā joka on selvästi pseudometriikka, saadun topologisen avaruuden tiheysluku on L + ℵ 0. Erityisesti, jos L on numeroituva, kaavojen avaruus on separoituva Totuusarvot ja L-ehdot Klassisessa propositiologiikassa on usein tapana merkitä totuusarvoa luvuilla 0 ja 1. Tosien lauseiden totuusarvo on 1 ja epätosien 0. Tämän voi yleistää ensimmäisen kertaluvun logiikkaan sekä sen laajennoksiin) määrittelemällä kaavan arvo funktioksi, joka kuvaa annetun jonon struktuurin alkioita totuusarvojoukolle {0, 1}. Siis jos φ x) on kaava ja A struktuuri, niin kaavan φ totuusfunktio struktuurissa A on funktio φ A : A n {0, 1}, jolle φ A ā) = 1, jos ja vain jos A = φā) Tarskin totuusmääritelmän mielessä. Yleistämällä totuusarvojen joukko kaksiosta {0, 1} väliksi [0, 1] saadaan jatkuva-arvoinen vastine kaavan tulkinnalle. Nopeasti kuitenkin huomataan seuraava seikka. Metriikan on tarkoitus olla jatkuva-arvoinen vastine klassisen logiikan yhtäsuuruudelle. Kuitenkin kaksi alkiota a ja b ovat samat, jos da, b) = 0 eli jos dv 0, v 1 )) A a, b) = 0. Jos taas dv 0, v 1 )) A a, b) = 1, alkiot a ja b ovat mitä suurimmassa määrin eri otuksia. Totuusarvot 0 ja 1 näyttävät siis metriikan tapauksessa vaihtavan paikkaa niin, että 0 on tosi. Helpompaa kuin yrittää jollain keinotekoisella tavalla kääntää totuusarvot oikein päin on hyväksyä se, että kaava on niin totta kuin se mitenkään voi silloin, kun sen arvo on nolla. Tästä syystä sup toimittaa universaali- ja inf eksistenssikvanttorin virkaa vaikka todellisuudessa inf on pikemminkin melkein on olemassa -kvanttori, kuten pian nähdään. Toinen muutos, joka seuraa siitä, että nolla on täysin tosi totuusarvo, on se, että disjunktion roolia toimittava funktio sekä konjunktion roolia toimittava funktio vaihtavat roolejaan. Klassisessa propositiologiikassa voidaan määritellä konjunktion totuusfunktioksi minimi ja disjunktion totuusfunktioksi maksimi, jolloin nämä vastaavat täysin hilanotaa- 29
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Mari Herranen. Ultratulo
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mari Herranen Ultratulo Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Marraskuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HERRANEN, MARI: Ultratulo Pro
Täydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Insinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan
Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
Joukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
Ehrenfeucht-Fraïssé-pelistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Hanna Sulonen Ehrenfeucht-Fraïssé-pelistä Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka 2012 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SULONEN, HANNA: Ehrenfeucht-Fraïssé-pelistä
Metristen struktuurien malliteoria
Metristen struktuurien malliteoria Toni-Petri Tiilikainen Syksy 2012. Pro gradu -tutkielma. Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. 1 Johdanto Kaikki tulokset ja käsitteet tässä paperissa
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Äärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lokaalisuus ja määriteltävyys
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heini Lehtipuu Lokaalisuus ja määriteltävyys Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta LEHTIPUU,
1.1. Määritelmä. a) Termit ovat merkkijonoja, jotka muodostuvat induktiivisesti. k 1
Tähän mennessä aakkoston rooli on jäänyt mallin käsitteessä hivenen irralliseksi seikaksi, sillä symboleita on käytetty lähinnä mallin rakenneosien (funktioiden, relaatioiden ja vakioiden) indeksoimiseen.
=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Kompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Kalle
missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
Määritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
Epästandardit reaaliluvut
Kandidaatintutkielma Epästandardit reaaliluvut Janne Korhonen 11. tammikuuta 2007 Sisältö 1 Reaalilukujen epästandardimalli 5 1.1 Kompaktisuuslause........................ 5 1.2 Epästandardimallin olemassaolo.................
Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
Rekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia
14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Lebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}?
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan II, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Mitkä muuttujat esiintyvät vapaina kaavassa x 2 ( x 0 R 0 (x 1, x 2 ) ( x 3 R 0 (x 3, x 0
= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
Luonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Topologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala
Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan
SAT-ongelman rajoitetut muodot
SAT-ongelman rajoitetut muodot olemme juuri osoittaneet että SAT on NP-täydellinen perusidea on nyt osoittaa joukolle kiinnostavia ongelmia A NP että SAT p m A, jolloin kyseiset A myös ovat NP-täydellisiä
Loogiset konnektiivit
Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi
Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Piia Nieminen Ehrenfeuchtin ja Fraïssén peli Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Marraskuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
Luku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin.
Luku 5 Löwenheimin ja Skolemin lause, kompaktisuuslause Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Löwenheimin ja Skolemin lause Sanomme, että kaavajoukko
Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Analyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
Äärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
Äärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 7 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 Olkoot G ja H äärellisiä verkkoja, joilla kummallakin on l yhtenäistä komponenttia Olkoot G i, i {0,,l 1}, verkon G ja H i,
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
Ratkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoot A, B ja C propositiolauseita. Näytä, että A (B C) (A B) (A C). Ratkaisu: Yksi tapa
d ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Laskutoimitusten operaattorinormeista
Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti
1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
Tietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään
b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Joukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
PRO GRADU -TUTKIELMA. Satu Vahtera. 0 1 lait äärellisissä malleissa
PRO GRADU -TUTKIELMA Satu Vahtera 0 1 lait äärellisissä malleissa TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 2012 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö VAHTERA,
Seuraus 4.2 Kaavajoukko Φ on ristiriidaton jos ja vain jos on olemassa kaava ϕ, jolla Φ ϕ.
Luku 4 Täydellisyyslause Ristiriidattomuus ja toteutuvuus Määritelmä 4.1Olkoon Φ L S kaavajoukko. (a) Φ on ristiriidaton eli konsistentti, Con(Φ), jos ei ole olemassa kaavaa ϕ, jolla Φ ϕ ja Φ ϕ. (b) Φ
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
Reaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
Pro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA. Karoliina Ljungberg
Pro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA Karoliina Ljungberg 16.04.2009 Ohjaajat: Ari Venäläinen, Jouni Räisänen
Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:
Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä