Metristen struktuurien malliteoria

Transkriptio

1 Metristen struktuurien malliteoria Toni-Petri Tiilikainen Syksy Pro gradu -tutkielma. Helsingin yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos.

2 1 Johdanto Kaikki tulokset ja käsitteet tässä paperissa ovat suurimmalta osin peräisin lähteestä [1] ellei toisin mainita. Moniarvologiikka on saanut alkunsa ja 1930-luvuilla jolloin puolalainen Jan Šukasiewicz esitteli ajatuksen logiikoista joilla on muitakin totuusarvoja kuin vain "tosi"ja "epätosi". Alunperin Šukasiewicz esitteli kolmiarvologiikan jolla oli totuusarvot "tosi"(true), "epätosi"(false) ja "tuntematon"(unknown). Myöhemmin mukaan on tullut ajatus moniarvologiikasta jolla on ääretön määrä totuusarvoja. Tässä tutkielmassa käsittelemämme "reaaliarvoinen logiikka"on juuri moniarvologiikka jolla on ääretön määrä totuusarvoja. Reaaliarvoisen propositiologiikan semantiikka eroaa normaalista ensimmäisen kertaluvun versiostaan siten, että pelkkien 0 ja 1 totuusarvojen sijasta sallimme kaikki reaaliarvot väliltä [0, 1]. Periaatteessa voisimme sallia minkä tahansa muunkin kompaktin reaalivälin, mutta koska väli [0, 1] on selvästi intuitiivisin valinta eikä logiikan rakenne oleellisesti myöskään muuttuisi, on vaikea nähdä miksi haluaisimme tehdä näin. On syytä ymmärtää, että laajentamalla totuusarvoja välille [0, 1] emme pyri esittämään todennäköisyyttä jolla väite on tosi, vaikka tämä vaikuttaisi jollain tavalla intuitiiviselta. Sen sijaan tarkoituksenamme on antaa formaali tapa kertoa kuinka totta jokin esitetty väite on. Eli esimerkiksi voimme antaa jonkinlaisen selityksen Sorites-paradoksille välttämällä täsmällisen määritelmän paradoksin hiekkakasalle ja sanomalla kuinka paljon hiekanjyvät muistuttavat hiekkakasaa. 2 Peruskäsitteitä ja tuloksia Käymme tässä luvussa alustavasti läpi muutamia yksinkertaisia käsitteitä ja tuloksia, jotka oletamme tunnetuiksi tulevaisuudessa. Sanomme, että metrinen avaruus (M, d) on rajoitettu jos on olemassa reaaliluku R, jolla d(x, y) R kaikilla x, y M. Avaruuden (M, d) läpimitta on pienin R jolla edellä mainittu pätee. Olkoon (M i, d i ) metrisiä avaruuksia, kun i = 1,..., n, ja M = M 1... M n. Tulevaisuudessa avaruuden M metriikkana käytetään aina maksimi metriikkaa eli, kun x = x 1,..., x n ja y = y 1,..., y n, niin d(x, y) = max{d i (x i, y i ) i = 1,..., n}. Määritelmä 2.1. Jos (M, d) ja (M, d ) ovat metrisiä avaruuksia ja f : M 1

3 M on mikä tahansa funktio. Sanomme, että : (0, 1] (0, 1] on jatkuvuusmoduli funktiolle f jos kaikilla ε (0, 1] ja kaikilla x, y M pätee d(x, y) < (ε) d (f(x), f(y)) ε. Sanomme, että f on tasaisesti jatkuva jos sillä on jatkuvuusmoduli. Määritelmä 2.2. Sanomme, että kokoelmalla F P(X) on äärellinen leikkaus ominaisuus tai lyhyesti ÄLO, jos A kaikilla äärellisillä A, joilla A F. Lause 2.1. Topologiselle avaruudelle X seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä i) X on kompakti. ii) Jos F on kokoelma X:n suljettuja joukkoja ja jos F :llä on ÄLO, niin F. Todistus. i) ii) Tehdään vastaoletus F = ja oletukset pätevät. De Morganin lakien nojalla ( F ) c = F c = X jolloin kompaktiudesta seuraa, että on olemassa X:n äärellinen avoin peite A c, missä A F. Tiedämme, että A c = ( A) c = X ja siis A =, josta tulee ristiriita koska oletuksen mukaan A kaikilla A. Tästä seuraa, että vastaoletus on väärin ja väite on tosi. ii) i) Jos F =, niin oletuksista seuraa, että on olemassa äärellinen A jolla A = ja A F. Tarkastelemalla komplementteja samankaltaisesti kuten edellä havaitsemme, että F c on X:n avoin peite ja A c on X:n äärellinen osapeite. Erityisesti siis X on kompakti. Määritelmä 2.3. Joukon I ultraltteri D on sellainen joukko I:n osajoukkoja, että (U1) / D. (U2) Jos A, B I, A B ja A D, niin B D. (U3) Jos A, B D, niin A B D. (U4) Jos A I, niin A D tai I \ A D. 2

4 Esitämme seuraavassa lauseessa muutamia hyvin yksinkertaisia ultraltterien ominaisuuksia. Lause 2.2. Seuraavat väitteet pätevät kaikille I:n ultralttereille D. i) Jos A I, niin A / D tai I \ A / D. ii) Jos A k D kaikilla k, niin A 1... A n D. iii) Jos A 1... A n D, niin A k D jollain k. iv) Olkoon F :llä ÄLO. Tällöin F on ultraltteri joss kaikilla A I pätee joko A F tai A c F. v) Jos A D ja B A niin B D. Todistus. i) Ilmeinen seuraus ehdoistasta U1 ja U3. ii) Seuraa helposti ehdosta U3. iii) Olkoon A = A 1... A n D eli A c = A c 1... A c n / D. Nyt kohdan ii) nojalla A c k / D jollain k. Eli ehdon U4 nojalla A k D. iv) " "Seuraa suoraan määritelmästä. " "Olkoon joukoilla F ÄLO ja kaikilla A I pätee joko A F tai A c F. (U1): Selvästi / F. (U2): Olkoon A, B I, A B ja A F. Nyt B F koska muutoin B c F, joka olisi ristiriidassa ÄLO:n kanssa. (U3): Olkoon A, B F. Jos A B / F, niin (A B) c F jolloin (A B) c A B =, joka on ristiriita ÄLO:n kanssa. (U4): Seuraa suoraan oletuksista. Eli siis F on ultraltteri. v) Seuraa suoraan ehdoista U3, U4 ja U1. 3 Metriset struktuurit ja aakkostot Olkoon (M, d) täydellinen ja rajoitettu metrinen avaruus. Voisimme rakentaa metriset struktuurit myös useamman metrisen avaruuden varaan, mutta tämä aiheuttaisi paljon merkinnällistä raskautta. Tulemme tästä huolimatta käyttämään viimeisessä luvussa Hilbertin avaruuksien esimerkissä metrisen struktuurin määritelmää, jossa on käytetty useita metrisiä avaruuksia. 3

5 Määritelmä 3.1. Metrinen struktuuri M, jonka perustana on (M, d), koostuu seuraavista: (1) Perheestä predikaatteja (R i i I), jotka ovat tasaisesti jatkuvia funktioita joukolta M n jollekin kompaktille reaalivälille. (2) Perheestä funktioita (F j j J), jotka ovat tasaisesti jatkuvia funktioita joukolta M n joukolle M. (3) Perheestä M:n alkioita (a k k K). Merkitsemme tällaista metristä struktuuria usein M = (M, R i, F j, a k i I, j J, k K). Mitkä tahansa indeksijoukoista I, J, K saavat olla tyhjiä. Tulemme yksinkertaisuuden nimissä käyttämään predikaattien arvojoukkona väliä [0, 1], mutta annamme määritelmän yleisemmässä muodossa korostaaksemme mahdollisuutta valita muutoin. Yhdistämme jokaiseen metriseen struktuuriin M aakkoston L. Määrittelemme tämän aakkoston seuraavasti. Jokaiseen M:n predikaattiin R assosioimme predikaattisymbolin P ja kokonaisluvun #(P ) joka on R:n paikkaluku; käytämme R:lle merkintää P M. Samoin jokaiselle funktiolle F assioimme funktiosymbolin f paikkaluvun #(f); käytämme F :lle merkintää f M. Lopuksi jokaiselle merkitsevälle M:n alkiolle a assosioimme vakiosymbolin c ja käytämme a:sta merkintää c M. Eli aakkosto L antaa joukkoja predikaatti-, funktio- ja vakiosymboleja, ja kertoo paikkaluvun predikaatti- ja funktiosymboleille aivan kuten ensimmäisen kertaluvun logiikassa. Tämän lisäksi metristen struktuurien aakkoston L on annettava jokaiselle predikaattisymbolille P rajoitettu suljettu väli reaalilukuja I P ja jatkuvuusmoduli P. Näiden tarkoitus on antaa arvojoukko ja jatkuvuusmoduli P M :lle. Samoin jokaiselle funktiosymbolille L:n täytyy antaa f, joka on jatkuvuusmoduli funktiolle f M. Viimeisenä L:n on annettava ei-negatiivinen reaaliluku D L, joka on metrisen avaruuden (M, d) läpimitta (useamman metrisen avaruuden tapauksessa jokaisella näistä on oma läpimittansa). Joskus merkitsemme M:stä saatavaa metriikkaa d samalla tavoin kuin ei-loogisia symboleja L:ssä, eli d M. Tästä eteenpäin yksinkertaistaaksemme merkintöjä oletamme, että D L = 1 kaikille predikaateille P. On syytä havaita, että tämä estää metriikan d M arvojen olevan välin [0, 1] ulkopuolelta ja siten emme joudu erikseen rajoittamaan käytettyä metriikkaa. 4

6 Määritelmä 3.2. Olkoon L-aakkosto ja olkoon M ja N L-struktuureja. Upotus on metrisen avaruuden isometria eli etäisyydet säilyttävä kuvaus T : (M, d M ) (N, d N ), joka kommutoi funktio- ja predikaattisymboleiden tulkinnoiden välillä seuraavalla tavalla: Jos f on n-paikkainen L:n funktiosymboli ja a 1,..., a n M, niin f N (T (a 1 ),..., T (a n )) = T (f M (a 1,..., a n )). Jos P on n-paikkainen L:n predikaattisymboli ja a 1,..., a n M, niin P N (T (a 1 ),..., T (a n )) = P M (a 1,..., a n ). Jos c on L:n vakiosymboli, niin c N = T (c M ). Sanomme surjektiivista upotusta isomorsmiksi. Jos on olemassa isomor- smi M:n ja N :n välillä, niin merkitsemme M = N ja sanomme, että M ja N ovat isomorset. M:n automorsmi on isomorsmi M:ltä itselleen. M on N :n alistruktuuri jota merkitsemme M N, jos M N ja inkluusiokuvaus M:ltä N:lle on upotus M:ltä N :lle. 4 Kaavat ja niiden tulkinnat Kiinnitetään aakkosto L edellisessä kappaleessa esitetyllä tavalla. Käydään alkuun läpi L:n symbolit. Ei-loogiset symbolit koostuvat L:n predikaatti-, funktio- ja vakiosymboleista. L:n loogiset symbolit ovat kaikki symbolit, jotka eivät kuulu ei-loogisiin. Loogisiksi symboleiksi luemme symbolin d, jota formaalisti käsitellään kuten 2-paikkaista predikaattisymbolia. Tämän lisäksi luemme loogisiksi symboleiksi numeroituvasti äärettömän joukon muuttujia V L, kaikki jatkuvat funktiot u : [0, 1] n [0, 1], joissa on äärellinen n 1 määrä muuttujia (nämä toimivat konnektiiveina), ja symbolit sup ja inf, jotka toimivat kvanttoreina. L:n kardinaali, jota merkitsemme card(l), on pienin ääretön kardinaali joka on suurempi tai yhtä kuin L:n ei-loogisten symbolien määrä. Määritelmä 4.1. L-termit muodostetaan induktiivisesti kuten ensimäisen kertaluvun logiikassakin. Jokainen muuttujasymboli ja vakiosymboli on L- termi. Jos f on n-paikkainen funktiosymboli ja t 1,..., t n ovat L-termejä, niin f(t 1,..., t n ) on L-termi. 5

7 Määritelmä 4.2. L-atomikaavat ovat joko muotoa P (t 1,..., t n ) olevia lausekkeita, missä P on n-paikkainen predikaatisymboli ja t 1,..., t n ovat L-termejä, tai d(t 1, t 2 ), missä t 1 ja t 2 ovat L-termejä. Formaalisti käsittelemme d:tä kuten 2-paikkaista predikaattisymbolia. Kaavat määrittelemme myös induktiivisesti. Konnektiiveina toimivat jatkuvat funktiot ja sup ja inf ovat formaalisti ensimmäisen kertaluvun logiikan kvanttorien asemassa. Määritelmä 4.3. L-kaavojen luokka on pienin mahdollinen luokka joka täyttää seuraavat ehdot: (1) Atomikaavat ovat L-kaavoja. (2) Jos u : [0, 1] n [0, 1] on jatkuva ja ϕ 1,..., ϕ n ovat L-kaavoja, niin u(ϕ 1,..., ϕ n ) on L-kaava. (3) Jos ϕ on L-kaava ja x on muuttuja, niin sup x ϕ ja inf x ϕ ovat L-kaavoja. Määritelmä 4.4. L-kaava on kvanttorivapaa jos se ei sisällä alikaavoja inf x eikä sup x. Muuttujan x esiintymä kaavassa on sidottu, jos se on muotoa sup x ϕ tai inf x ϕ olevan alikaavan alla. Muussa tapauksessa muuttujan esiintymä on vapaa. L-kaava on L-lause jos sillä ei ole yhtään vapaata muuttujaa. Esistruktuurit Tässä käyttämämme käsite pseudometriikka poikkeaa metriikasta siinä, että se sallii tilanteet d(x, y) = 0, kun x y. Ideatasolla pseudometriikasta saadaan metriikka yksinkertaisesti samaistamalla x y kun d(x, y) = 0. Kiinnitetään metrisen struktuurin aakkosto L ja olkoon (M 0, d 0 ) pseudometrinen avaruus, jonka läpimitta on D L. L-esistruktuuri M 0 on (M 0, d 0 ):a pohjana käyttävä struktuuri, joka koostuu seuraavista tiedoista: (1) Jokaiselle L:n (n-paikkaiselle) predikaattisymbolille P funktio P M 0 : M n 0 I P, jonka jatkuvuusmoduli on P. (2) Jokaiselle L:n (n-paikkaiselle) funktiosymbolille f funktio f M 0 : M n 0 M 0, jonka jatkuvuusmoduli on f. 6

8 (3) Jokaiselle L:n vakiosymbolille c alkio c M 0 M 0. Voimme myös muodostaa tekijäesistruktuurin, kun L-esistruktuuri M 0 on annettu. Olkoon (M, d) metrinen tekijäavaruus, jonka indusoi (M 0, d 0 ) kuvauksella π : M 0 M. Tällöin (1) Määritellään P M : M n I P asettamalla P M (π(x 1 ),..., π(x n )) = P M 0 (x 1,..., x n ) kaikilla x 1,..., x n M 0, jokaiselle L:n (n-paikkaiselle) predikaattisymbolille P. (2) Määritellään f M : M n M asettamalla f M (π(x 1 ),..., π(x n )) = π(f M 0 (x 1,..., x n )) kaikilla x 1,..., x n M 0, jokaiselle L:n (n-paikkaiselle) funktiosymbolille P. (3) Määritellään c M = π(c M 0 ) jokaiselle L:n vakiosymboleille c. Lyhyen tarkastelun jälkeen voidaan havaita, että tämä määrittelee L- esistruktuurin mahdollisesti ei-täydellisellä metrisellä avaruudella (M, d). Nyt voimme määritellä L-struktuurin N ottamalla täydellistymä M:stä. Tämän pohjana käytetään täydellistä metristä avaruutta (N, d), joka on täydellisymä avaruudesta (M, d). N :n muu rakenne määritellään seuraavalla luonnollisella tavalla (jonka mahdollistaa M:n predikaattien ja funktioiden tasainen jatkuvuus): (1) Määritellään jokaiselle L:n (n-paikkaiselle) predikaattisymbolille P funktio P N : N n I P olemaan se yksikäsitteinen kuvaus, joka laajentaa P M :ä ja on jatkuva. (2) Määritellään jokaiselle L:n (n-paikkaiselle) funktiosymbolille f funktio f N : N n N, joka laajentaa f M :ä ja on jatkuva. (3) Määritellään jokaiselle L:n vakiosymbolille c c N = c M. (N, d) läpimitta ja jatkuvuusmodulit ovat samat kuin (M 0, d 0 ):lla (perustelut tälle seuraavat metristen avaruuksien ja tasaisen jatkuvuuden peruskäsitteistä ja ne sivuutetaan, mutta löytyvät lähteestä [1] sivuilta 7-12). Toisin sanoen N on L-struktuuri. 7

9 Semantiikka Olkoon M L-esistruktuuri ja A M:n osajoukko. Merkinnällä L(A) tarkoitamme aakkoston L laajennusta vakiosymboleilla c(a) jokaisella a A. Samalla laajennamme M:n tulkintoja kanonisella tavalla asettamalla c(a) tulkinnaksi alkion a itsensä jokaisella a A. Annamme seuraavaksi määrittelmän metristen struktuurien semantiikalle. Olkoon t(x 1,..., x n ) L(M)-termi. Nyt, aivan kuten ensimmäisen kertaluvun logiikassa, tulkinta t:lle M:ssä on funktio t M : M n M. Määrittelemme arvon jokaiselle L(M)-lauseelle σ M:ssä. Tämä arvo on reaaliluku väliltä [0, 1] ja merkitsemme sitä σ M. Määritelmä on luonnollisesti induktiolla kaavoista. On huomattava, että määritelmässä kaikki termit ovat L(M)-termejä joissa ei ole yhtään muuttujia. Määritelmä 4.5. (1) (d(t 1, t 2 )) M = d M (t M 1, t M 2 ) mille tahansa t 1, t 2 ; (2) (P (t 1,..., t n )) M = P M (t M 1,..., t M n ) kaikille n-paikkaisille predikaattisymboleille P L ja kaikille t 1,..., t n ; (3) (u(σ 1,..., σ n )) M = u(σ M 1,..., σ M n ) kaikilla jatkuvilla u : [0, 1] n [0, 1] ja L(M)-lauseilla σ 1,..., σ n ; (4) (sup x ϕ(x)) M on supremum välillä [0, 1] joukosta {ϕ(a) M a M} millä tahansa L(M)-kaavalla ϕ(x); (5) (inf x ϕ(x)) M on inmum välillä [0, 1] joukosta {ϕ(a) M a M} millä tahansa L(M)-kaavalla ϕ(x). Määritelmä 4.6. Kun L(M)-kaava ϕ(x 1,..., x n ) on annettu merkitsemme ϕ M :lla funktiota joukolta M n joukolle [0, 1], jonka määrittelee Looginen ekvivalenssi ϕ M (a 1,..., a n ) = (ϕ(a 1,..., a n )) M. Määritelmä 4.7. Kaksi L-kaavaa ϕ(x 1,..., x n ) ja ψ(x 1,..., x n ) ovat loogisesti ekvivalentit jos ϕ M (a 1,..., a n ) = ψ M (a 1,..., a n ) kaikilla L-struktuureilla ja kaikilla a 1,..., a n M. 8

10 Vastaavasti kahden L-kaavan ϕ(x 1,..., x n ) ja ψ(x 1,..., x n ) välinen looginen etäisyys määritellään ottamalla supremum yli kaikkien a 1,..., a n M kaavasta ϕ M (a 1,..., a n ) ψ M (a 1,..., a n ) missä M on mikä tahansa L-struktuuri. Määritelmä 4.8. L-väite E on formaalin kielen lauseke, joka on muotoa ϕ = 0, missä ϕ on L-kaava. E on suljettu jos ϕ on lause. Jos x 1,..., x n ovat eri muuttujia, niin esittelemme L-väitteen muodossa E(x 1,..., x n ) ilmaistaksemme, että se on muotoa ϕ(x 1,..., x n ) = 0 (Toisin sanoen E:n vapaat muuttujat ovat x 1,..., x n joukossa). Jos E on L(M)-väite, ϕ(x 1,..., x n ) = 0 ja a 1,..., a n M, niin sanomme, että E on totta vakioilla a 1,..., a n M ja merkitsemme M = E[a 1,..., a n ] jos ϕ M (a 1,..., a n ) = 0. Määritelmä 4.9. Olkoon E i L-väite ϕ i (x 1,..., x n ) = 0, missä i = 1, 2. Sanomme, että E 1 ja E 2 ovat loogisesti ekvivalentteja jos kaikilla L-struktuureilla M ja kaikilla a 1,..., a n pätee M = E 1 [a 1,..., a n ] joss M = E 2 [a 1,..., a n ]. Huomautus On kätevää ottaa käyttöön lyhenne ϕ = ψ, jolla tarkoitamme väitettä ϕ ψ = 0, missä ϕ ja ψ ovat L-kaavoja. Nyt koska jokainen r [0, 1] on myös konnektiivi voimme käyttää väitteitä, jotka ovat muotoa ϕ = r. Samaten määrittelemme lyhenteet ϕ ψ ja ψ ϕ tarkoittamaan väitettä max(ϕ ψ, 0) = 0. Kuten edelle perusteltiin voimme nyt myös käyttää väitteitä ϕ r ja ϕ r. 5 Malliteoria Kiinnitetään aakkosto L metrisille struktuureille. Määritelmä 5.1. Aakkoston L teoria on joukko suljettuja L-väitteitä. Jos T on L:n teoria ja M on L-struktuuri, niin sanomme, että M on T :n malli 9

11 ja kirjoitamme M = T, jos M = E kaikilla L-väitteillä E T. Merkitsemme Mod L (T ) kaikkien T :n mallien L-struktuurien kokoelmaa. Jos L on asiayhteydestä selvä kirjoitamme lyhyesti M od(t ). Jos M on L-struktuuri, M:n teoria, jota merkitsemme Th(M), on suljettujen L-väitteiden joukko, jotka ovat totta M:ssä. Jos T on tällainen teoria niin kutsumme sitä täydelliseksi. Jos T on L-teoria ja E on suljettu L-väite niin sanomme, että E on T :n looginen seuraus ja merkitsemme T = E jos M = E kaikilla T :n malleilla M Määritelmä 5.2. Olkoon M ja N L-struktuureja. (1) Sanomme, että M ja N ovat elementaarisesti ekvivalentit, ja kirjoitamme M N, jos σ M = σ N kaikilla L-lauseilla σ. Vastaavasti tämä pätee, jos Th(M) = Th(N ). (2) Jos M N niin sanomme, että M on N :n elementaarinen alistruktuuri, ja kirjoitamme M N, jos ϕ M (a 1,..., a n ) = ϕ N (a 1,..., a n ) kun ϕ(x 1,..., x n ) on L-kaava ja a 1,..., a n M. Tällöin sanommme myös, että N on M:n elementaarinen laajennus. (3) Funktio F M:n osajoukolta N:lle on elementaarinen kuvaus M:ltä N :lle, jos ϕ M (a 1,..., a n ) = ϕ N (F (a 1 ),..., F (a n )), missä ϕ(x 1,..., x n ) on L-kaava ja a 1,..., a n ovat funktion F määrittelyjoukosta. (4) M:n elementaarinen upotus N :lle on elementaarinen kuvaus koko M:ltä N:lle. Lause 5.1. (Tarski-Vaught testi) Olkoon S mielivaltainen L-kaavojen joukko, joka on tiheä loogisen etäisyyden mielessä. Olkoon M, N L-struktuurit joilla M N. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) M N ; (2) Kaikilla S:n L-kaavoilla ϕ(x 1,..., x n, y) ja a 1,..., a n M, inf{ϕ N (a 1,..., a n, b) b N} = inf{ϕ N (a 1,..., a n, c) c M} 10

12 Todistus. Jos (1) pätee niin voimme päätellä (2):n kaikille L-kaavoille suoraan määritelmästä. Eli jos ϕ(x 1,..., x n, y) on mielivaltainen L-kaava ja a 1,..., a n A niin saamme (1):stä inf{ϕ N (a 1,..., a n, b) b N} = (inf y ϕ(a 1,..., a n, y)) N = (inf y ϕ(a 1,..., a n, y)) M = inf{ϕ M (a 1,..., a n, c) c M} = inf{ϕ N (a 1,..., a n, c) c M}. Toisen suunnan osoittamiseksi oletetaan (2) joukolle S, joka on tiheä L- kaavojen joukko loogisen etäisyyden mielessä. Todistetaan ensin, että (2) pätee kaikkien L-kaavojen joukolle. Olkoon ϕ(x 1,..., x n, y) mielivaltainen L- kaava. Kun ε > 0 on annettu, olkoon ψ(x 1,..., x n, y) S, joka approksimoi ϕ(x 1,..., x n, y) alle ε loogisella etäisyydellä. Olkoon a 1,..., a n M. Tällöin saamme inf{ϕ N (a 1,..., a n, b) b N} inf{ψ N (a 1,..., a n, b) b N} + ε = inf{ψ N (a 1,..., a n, c) c M} + ε inf{ϕ N (a 1,..., a n, c) c M} + 2ε Kun ε menee nollaan saamme tiedosta M N halutun yhtälön kaavalle ϕ(x 1,..., x n, y). Olettamalla, että (2) pätee kaikkien L-kaavojen joukolle. Nyt voimme todistaa ekvivalenssin ψ M (a 1,..., a n ) = ψ N (a 1,..., a n ) (kaikilla a 1,..., a n M) induktiolla ψ:n rakenteen suhteen käyttämällä (2):sta kattamaan tilanteet joissa ψ alkaa jommalla kummalla sup tai inf. 6 Ultratulot Tässä luvussa käytämme ensimmäisessä luvussa määriteltyjä topologisia käsitteitä, merkintöjä ja tuloksia ultralttereistä. Todistamme lisäksi muutamia tuloksia ultraltterien rajoista, joita tarvitsemme metristen struktuurien ultratulojen ja semantiikan yhdistämiseksi. 11

13 Määritelmä 6.1. Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon (x i ) i I perhe sen alkioita. Jos D on I:n ultraltteri ja x X niin sanomme, että x on D-raja perheelle (x i ) i I jos kaikilla x:n ympäristöillä U pätee {i I x i U} D. Tällöin merkitsemme lim i,d x i = x. Jos ultraltteri D on asiayhteydestä selvä saatamme kutsua D-rajaa lyhyesti rajaksi. Käytämme seuraavassa lemmassa merkintää cl({x i i J}) topologisen avaruuden X osajoukon täydellistymästä. Lemma 6.1. Olkoon X topologinen avaruus ja (x i ) i I perhe sen alkioita. Tällöin x on D-raja perheelle (x i ) i I joss x J D cl({x i i J}). Todistus. x J D cl({x i i J}) joss kaikilla J D ja kaikilla x:n ympäristöillä U x X pätee {x i i J} U x joss joukoilla D W x on ÄLO, missä W x = {i I x i U x }, joss kaikki x:n ympäristöt kuuluvat D:hen joss x on D-raja. Lause 6.2. X on Hausdor avaruus joss jokaisella X:n perheellä (x i ) i I ja jokaisella I:n ultraltterillä D on olemassa korkeintaan yksi D-raja perheelle (x i ) i I. Todistus. " "Olkoon x D-raja perheelle (x i ) i I ja y x. Koska X on Hausdor niin on olemassa avoimet joukot U, V siten, että x U, y V ja U V =. Nyt tiedämme, että {i I x i U} D, mutta koska U V = niin ultraltterin määritelmän nojalla {i I x i V } / D, muutoin nimittäin D. Tästä seuraa, että y ei voi olla D-raja perheelle (x i ) i I. " "Oletetaan, että ultraltterien rajat ovat yksikäsitteisiä ja alkioilla x, y X ei ole erillisiä ympäristöjä. Tällöin x:n ja y:n ympäristöjen yhdisteiden perheellä U x U y on äärellinen leikkaus ominaisuus, joten lauseen 2.2 kohdan iv) nojalla on olemassa ultraltteri D U x U y. Tämä tarkoittaa, että x ja y ovat molemmat D-rajoja. Voidaan päätellä, että x = y koska oletuksen nojalla rajat ovat yksikäsitteisiä. Tämä osoittaa, että X on Hausdor. Lause 6.3. X on kompakti avaruus joss jokaisella X:n perheellä (x i ) i I ja jokaisella I:n ultraltterillä D on olemassa vähintään yksi D-raja perheelle (x i ) i I. 12

14 Todistus. " "Tehdään vasta-oletus: ultraltterillä D ei ole rajaa perheelle (x i ) i I. Vasta-oletuksesta seuraa, että jokaisella x X on ympäristö W x = {i I x i U x } / D. X:n kompaktisuuden nojalla voimme valita näistä ympäristöistä koostuvan äärellisen osapeitteen W x1... W xn = X. Nyt kuitenkin lauseesta 2.2 kohdasta iii) seuraa, että W xk D, jollain k, mikä on ristiriita. Eli ultraltterillä D on vähintään yksi raja. " "Lopuksi osoitamme vielä, että X on kompakti, jos jokaisella X:n perheellä (x i ) i I ja jokaisella I:n ultraltterillä D on olemassa vähintään yksi D-raja perheelle (x i ) i I. Olkoon F perhe X:n suljettuja joukkoja joilla on äärellinen leikkaus ominaisuus. Lauseen 2.1 nojalla riittää näyttää, että F. Valitaan ultraltteri D F, jonka voimme tehdä lauseen 2.2 kohdan iv) nojalla. Nyt tiedosta D:llä on raja seuraa F I D cl({x i i I}) kuten vaadittiin. Lemma 6.4. Olkoon X ja X topologisia avaruuksia ja F : X X jatkuva funktio. Jokaiselle X:n perheelle (x i ) i I ja mille tahansa I:n ultraltterille D pätee lim x i = x lim F (x i ) = F (x) i,d i,d missä ultraltterien rajat ovat vastaavasti X:stä ja X :sta. Todistus. Olkoon U X F (x):n ympäristö. F :n jatkuvuudesta seuraa, että F 1 (U) on avoin ja sisältää x:n. Jos x on perheen (x i ) i I D-raja, niin on olemassa A D siten, että kaikilla i A pätee x i F 1 (U) ja siten F (x i ) U. Lemma 6.5. Olkoon X suljettu ja rajoitettu reaaliväli. Olkoon S mielivaltainen joukko ja (F i i I) perhe funktioita joukosta S välille X. Tällöin mille tahansa I:n ultraltterille D pätee sup(lim F i (x)) lim(sup F i (x)), x i,d i,d x ja inf (lim F i(x)) lim(inf F x i,d i,d i(x)), x missä x S. Lisäksi kaikilla ε > 0 on olemassa S:n perheet (x i ) i I ja (y i ) i I joille pätee lim F i (x i ) + ε lim(sup F i (x)), i,d i,d x 13

15 ja lim F i (y i ) ε lim(inf F i,d i,d i(x)). x Todistus. Olkoon r i = sup x F i (x) jokaisella i I ja olkoon r = lim i,d r i. Olkoon jokaisella ε > 0 sellainen A(ε) D jolle pätee r ε < r i < r + ε kaikilla i A(ε). Näytämme ensin, että sup x lim i,d F i (x) r. Jokaisella i A(ε) ja x S saamme F i (x) r i r + ε. Nyt (F i (x)) i I :n D-raja on r + ε. Kun ε lähestyy nollaa saadaan haluttu epäyhtälö. Toisen sup väitteen todistamiseksi kiinnitetään ε > 0 ja valitaan x i S jokaisella i I siten, että r i F i (x i ) + ε/2. Tällöin r F i (x i ) + ε kun i A(ε/2). Ottamalla D-raja saadaan haluttu epäyhtälö. Inf väitteet menevät oleellisesti samalla tavalla. Metristen avaruuksien ultratulot Olkoon ((M i, d i ) i I) perhe rajoitettuja metriisiä avaruuksia, joiden kaikkien läpimitta on korkeintaan R. Olkoon D ultraltteri I:ssä. Määritellään funktio d karteesiselta tulolta i I M i siten, että d(x, y) = lim i,d d i (x i, y i ), missä x = (x i ) i I ja y = (y i ) i I. On helppoa havaita, että d on pseudometriikka avaruudelle i I M i. Määritellään x D y tarkoittamaan d(x, y) = 0, kun x, y i I M i. Tällöin D on ekvivalenssirelaatio ja voimme määritellä ( M i ) D = ( M i )/ D. i I i I i I M i:n pseudometriikka d indusoi metriikan tässä tekijäavaruudessa ja käytetään merkintää d tälle metriikalle. Määritelmä 6.2. Kutsutaan indusoidulla metriikalla d varustettua avaruutta ( i I M i) D perheen ((M i, d i ) i I) D-ultratuloksi. Merkitsemme ekvivalenssiluokkaa (x i ) i I i I M i D :n suhteen ((x i ) i I ) D. 14

16 Jos (M i, d i ) = (M, d) kaikilla i I, niin kutsumme avaruutta ( i I M i) D avaruuden M ultrapotenssiksi ja käytämme siitä merkintää (M) D. Tässä tapauksessa T (x) = ((x i ) i I ) D määrittämä kuvaus T : M (M) D, missä x i = x kaikilla i I, on isometrinen upotus. Kutsumme tätä M:n diagonaaliseksi upotukseksi (M) D :hen. Tapauksessa, jossa D-ultrapotenssi on kompaktista metrisestä avaruudesta (M, d), diagonaalinen upotus M:ltä (M) D :lle on surjektio. Itse asiassa, jos (x i ) i I M I ja x on perheen (x i ) i I D-raja, niin on helppo näyttää, että ((x i ) i I ) D = T (x). Erityisesti suljetun rajoitetun välin ultrapotenssi voidaan identioida kanonisesti itsensä kanssa. Koska vaadimme, että struktuurien pohjana on täydellinen metrinen avaruus, on hyödyllistä todeta, että jokainen ultratulo tällaisista avaruuksista on myös täydellinen. Lause 6.6. Olkoon ((M i, d i ) i I) perhe täydellisiä ja rajoitetuja metrisiä avaruuksia, joiden läpimitta on korkeintaan R. Olkoon D ultraltteri I:lle ja olkoon (M, d) avaruuksien ((M i, d i ) i I) D-ultratulo. Tällöin metrinen avaruus (M, d) on täydellinen. Todistus. Riittää siis näyttää, että kaikilla Cauchyn jonoilla on raja-arvo. Olkoon (x k ) k 1 Cauchyn jono (M, d):ssä. Cauchyn jonojen luonteesta johtuen yleisyys ei kärsi, kun oletamme, että kaikilla k 1 pätee d(x k, x k+1 ) < 2 k. Olkoon, jokaisella k 1, x k edustettu perheellä (x k i ) i I. Olkoon, jokaisella m 1, A m kaikkien i I joukko joille pätee d i (x k i, x k+1 i ) < 2 k kaikilla k = 1,..., m. Nyt joukko (A m ) m 1 muodostaa suppenevan ketjun, jonka kaikki jäsenet ovat D:ssä. Määritelemme nyt perheen (y i ) i I, joka tulee edustamaan jonon (x k ) k 1 raja-arvoa (M, d):ssä. Jos i / A 1, niin valitsemme y i mielivaltaiseksi alkioksi M i :stä. Jos i A m \ A m+1 jollain m 1, niin asetamme y i = x m+1 i. Jos i A m pätee kaikilla m 1, niin (x m i ) m 1 on Cauchyn jono täydellisessä metrisessä avaruudessa (M i, d i ) ja valitsemme sen raja-arvoksi y i. On helppoa näyttää, että jokaisella m 1 ja i A m saamme d(x m i, y i ) 2 m+1. Nyt ((y i ) i I ) D raja-arvo ultratulon (M, d) jonossa (x k ) k 1. Funktioiden ultratulot Olkoon ((M i, d i ) i I) perhe rajoitettuja metrisiä avaruuksia, joiden kaikkien läpimitta on korkeintaan R. Olkoon f i : Mi n M i tasaisesti jatkuva 15

17 funktio jokaisella i I ja kiinteällä n 1. Olkoon myös yksittäinen funktio : (0, 1] (0, 1] jatkuvuusmoduli kaikille funktioille f i. I:n ultraltterille D määrittelemme funktion ( i I f i ) D : ( i I M i ) n D ( i I M i) D seuraavasti. Jos jokaisella k = 1,..., n pätee (x k i ) i I i I M i määrittelemme ( i I f i ) D (((x 1 i ) i I ) D,..., ((x n i ) i I ) D ) = ((f i (x 1 i,..., x n i )) i I ) D. (1) Lause 6.7. Lauseke (1) määrittelee tasaisesti jatkuvan funktion, jolla on jatkuvuusmodulina. Todistus. Merkintöjen yksinkertaistamiseksi oletetaan, että n = 1. Kiinnitetään ε > 0. Oletetaan, että ((x i ) i I ) D ja ((y i ) i I ) D välinen etäisyys ultratulossa ( i I M i) D on pienempi kuin (ε). Selvästi on olemassa A D siten, että kaikilla i A pätee d i (x i, y i ) < (ε). Koska on jatkuvuusmoduli kaikille f i, niin pätee d i(f i (x i ), f i (y i )) ε kaikilla i A. Tästä seuraa, että (f(x i ) i I ) D ja (f(y i ) i I ) D välinen etäisyys ultratulossa ( i I M i) D on enintään ε. Tämä osoittaa, että ( i I f i) D on hyvinmääritelty ja sillä on jatkuvuusmodulina. L-struktuurien ultratulot Määritelmä 6.3. L-struktuurien perheen (M i i I) D-ultratulo on L- struktuuri M, joka määritellään seuraavasti: Perustana oleva metrinen avaruus M:lle saadaan metristen avaruuksien M i ultratulosta M = ( i I M i ) D. Jokaiselle L:n predikaattisymbolille P, P :n tulkinta M:ssä saadaan funktioiden ultratulosta P M = ( P M i ) D i I jossa M n kuvautuu välille [0, 1]. Jokaiselle funktiosymbolille f L:ssä, f:n tulkinta M:ssä saadaan funktioiden ultratulosta f M = ( i I f M i ) D 16

18 jossa M n kuvautuu M:lle. Jokaiselle vakiosymbolille c L:ssä, c:n tulkinta M:ssä saadaan seuraavasti c M = ((c M i ) i I ) D. Käsittelemme nyt lyhyesti miksi L-struktuurien D-ultratulo on hyvinmääritelty. Koska on olemassa luku R, joka on suurempi kuin minkään M i :n metrisen avaruuden (M i, d i ) läpimitta, niin voimme muodostaa näiden D- ultratulon. Jokaisella funktiosymbolilla f L, on kaikilla funktioilla f M i jatkuvuusmoduli f. Tästä seuraa, että funktioiden perheen D-ultratulo on hyvinmääritelty. Sama pätee predikaattisymboleille P L. Lisäksi kaikkien funktioiden P M i arvojoukko on [0, 1], jonka D-ultratulo voidaan määritellä joukolla [0, 1] itsellään. Täten (P M i i I):n D-ultratulo voidaan ajatella [0, 1] arvoisena funktiona M:lle. Lause 6.8. Olkoon (M i i I) perhe L-struktuureja. Olkoon D mikä tahansa I:n ultraltteri ja olkoon M perheen (M i i I) D-ultratulo. Olkoon ϕ(x 1,..., x n ) L-kaava. Jos a k = ((a k i ) i I ) D ovat alkioita M:ssä, missä k = 1,..., n, niin ϕ M (a 1,..., a n ) = lim i,d ϕ M i (a 1 i,..., a n i ). Todistus. Helppolla induktiolla termien rakenteen suhteen nähdään, että t(a 1,..., a n ) = t M (a 1,..., a n ) = (t(a 1 i,..., a n i ) i I ) D Todistetaan väite induktiolla ϕ:n rakenteen suhteen: 1 ϕ on atomikaava. Jos ϕ(a 1,..., a n ) = d(t 1 (a 1,..., a n ), t 2 (a 1,..., a n )) niin suoraan määritelmän nojalla d(t 1 (a 1,..., a n ), t 2 (a 1,..., a n )) = d M ((t 1 (a 1 i,..., a n i ) i I ) D, (t 2 (a 1 i,..., a n i ) i I ) D ) = lim i,d d M i (t 1 (a 1 i,..., a n i ), t 2 (a 1 i,..., a n i )). Jos ϕ = P (t 1 (a 1,..., a n ),..., t m (a 1,..., a n )) niin välin [0, 1] kompaktisuuden nojalla P M (t 1 (a 1,..., a n ),..., t m (a 1,..., a n )) = ( i I P M i (t 1 (a 1,..., a n ),..., t m (a 1,..., a n )) D = lim i,d P M i (t 1 (a 1 i,..., a n i ),..., t m (a 1 i,..., a n i )). 17

19 2 ϕ = u(ϕ 1,..., ϕ n ), missä ϕ 1,..., ϕ n ovat L-kaavoja. u(ϕ 1,..., ϕ n ) on jatkuvien funktioiden yhdisteenä jatkuva. Nyt lemman 6.4 ja induktio-oletuksen nojalla u(ϕ 1 (a 1,..., a n ),..., ϕ n (a 1,..., a n )) = lim i,d u(ϕ 1 (a 1 i,..., a n i ),..., ϕ n (a 1 i,..., a n i )). 3 ϕ(a 1,..., a n ) = sup x ψ((x, a 1,..., a n )) tai ϕ = inf x ψ(x, a 1,..., a n ), missä ψ on L-kaava. Toditetamme tapauksen kun ϕ = sup x ψ, toinen tapaus menee samoin. Lemmasta 6.5 saadaan lim i,d (sup x ψ(x, a 1 i,..., a n i )) sup x (lim i,d ψ(x, a 1 i,..., a n i )), koska induktio-oletuksen nojalla sup x (lim i,d ψ(x, a 1 i,..., a n i )) = sup x ψ(x, a 1,..., a n ) niin riittää näyttää mielivaltaisella ε > 0, että lim i,d (sup x ψ(x, a 1 i,..., a n i )) sup x ψ(x, a 1,..., a n ) + ε Lemmasta 6.5 seuraa, että löytyy x i M i, i I, joilla lim i,d (sup x ψ(x, a 1 i,..., a n i ))) lim i,d ψ(x i, a 1 i,..., a n i ) + ε sup x ψ(x, a 1,..., a n ) + ε. Korollaari 6.9. Jos M on L-struktuuri, jonka pohjana on (M, d) ja T : M (M) D on diagonaalinen upotus, niin T on M:n elementaarinen upotus (M) D :lle Todistus. Suoraan lauseesta Kompaktisuus Lause 7.1. (Kompaktisuuslause.) Olkoon T L-teoria ja olkoon K luokka L- struktuureja. Olkoon T äärellisesti toteutuva K:ssa. Tällöin on olemassa K:n struktuurien ultratulo, joka on T :n malli. 18

20 Todistus. Olkoon Λ T :n äärellisten osajoukkojen perhe. Olkoon λ Λ ja merkitään λ = {E 1,..., E n }. Oletuksen mukaan on olemassa L-struktuuri M λ K siten, että M λ = E i kaikilla i 1,..., n. Jokaisella E T, olkoon S(E) kaikkien λ Λ joukko siten, että E λ. Nyt joukkojen {S(E) E T } kokoelmalla on äärellinen leikkaus ominaisuus. Täten on olemassa ultraltteri D Λ:sta, joka sisältää kyseisen joukkojen kokoelman. Olkoon M = ( λ Λ M λ ) D. Huomataan, että jos λ S(E) niin M λ = E. Lauseesta 6.8 seuraa, että M = E kaikilla E T. Toisin sanoen ultratulo M struktuureista K:ssa on T :n malli. Monissa sovelluksissa on hyödyllistä huomioida, että kompaktisuuslause toimii, vaikka toteutuvuus olisi heikennetty approksimoiduksi versioksi. Määritelmä 7.1. Mille tahansa L-väitteiden joukolle Σ, Σ + väitteiden ϕ 1/n joukko, missä ϕ = 0 kuuluu Σ:an ja n 1. on kaikkien Korollaari 7.2. Olkoon T L-teoria ja K L-struktuurien luokka. Oletetaan, että T + on äärellisesti toteutuva K:ssa. Tällöin on olemassa K:n struktuurien ultratulo, joka on T :n malli. Todistus. Seuraa suoraan lauseesta 7.1, sillä T :llä ja T + :lla on samat mallit. Seuraava tulos on komapktisuuslauseen versio kaavoille. Sallimme siinä mielivaltaisen perheen (x j j J) mahdollisesti vapaita muuttujia. Määritelmä 7.2. Olkoon T L-teoria ja Σ(x j j J) joukko L-väitteitä. Sanomme, että Σ on ristiriidaton T :ssä, jos kaikilla äärellisillä Σ osajoukoilla F on olemassa T :n malli M ja alkiot a M siten, että kaikilla väitteillä E F pätee M = E[a]. (Tässä a on äärellinen jono alkioita, jotka sopivat vapaiksi muuttujiksi F :n väitteissä.) 19

21 Korollaari 7.3. Olkoon T L-teoria ja Σ(x j j J) joukko L-väitteitä, ja oletetaan, että Σ + on ristiriidaton T :ssä. Tällöin on olemassa T :n malli M ja M:n alkiot (a j j J) siten, että M = E[a j j J] kaikilla L-väitteillä E Σ. Todistus. Olkoon (c j j J) uusia vakioita ja käytetään L({c j j J}):ää aakkoston laajennuksena L:lle. Sovelletaan Kompaktisuuslausetta suljettujen L({c j j J})-väitteitteiden joukkoon T Σ + (c j j J). Kuten todettu edellisessä tuloksessa kaikki mikä pätee Σ:lle pätee myös Σ + :lle. 8 Konnektiivit Esitelemme nyt, mitä rajoituksia joudumme tekemään pystyäksemme ilmaisemaan kaiken haluamamme äärellisellä määrällä konnektiiveja, sekä erään riittävän konnektiivien joukon. Todistamme kyseisten konnektiivien riittävyyden Stone-Weierstrass teoreemaa mukaillen. Kyseisen teoreeman tuntevat arvaavatkin varmasti, että rajoitukseksi joudumme asettamaan "Voimme aproksimoida mielivaltaisen läheltä konnektiivia f". Toisin sanoen emme pysty ilmaisemaan tarkasti jokaista konnektiivia, mutta pystymme pääsemään lähelle loogisen etäisyyden mielessä ollaksemme tyytyväisiä. Määritelmä 8.1. Konnektiivien kokoelma on jono F = (F n n 1) missä F n on joukko muotoa f : [0, 1] n [0, 1] olevia konnektiiveja. Sanomme, että F on suljettu jos seuraavat ehdot pätevät: (1) Jokaisella n, F n sisältää projektion π n j : [0, 1] n [0, 1] koordinaattiin j kaikilla j = 1,..., n. (2) Jokaisella n ja m, jos u F n ja v 1,..., v n F m, niin funktio w F m, kun w(t) = u(v 1 (t),..., v n (t)) missä w : [0, 1] m [0, 1] ja t [0, 1] m. Merkitsemme F:n pienintä suljettua konnektiivien kokoelmaa F. Selvyyden vuoksi käytämme joukon A normaalista topolisesta sulkeumasta merkintää cl(a). 20

22 Määritelmä 8.2. Kokoelma F on täysi, jos F on tiheä kaikkien konnektiivien kokoelmassa. Tarkemmin sanoen, jos kaikilla ε > 0 ja jokaisella n- paikkaisella konnektiivilla f on olemassa konnektiivi g F n jolle pätee f(t 1,..., t n ) g(t 1,..., t n ) ε kaikilla (t 1,..., t n ) [0, 1] n. Määritelmä 8.3. Määritellään 2-paikkainen funktio : [0, 1] [0, 1] [0, 1] seuraavasti: { (x y) jos x y; (x, y) = 0 muulloin. Tästä eteenpäin tulemme merkitsemään x y sen sijaan, että merkitsisimme (x, y). Määritelmä 8.4. Olkoon F 0 = (F n n 1) missä F 1 = {0, 1, x/2}, jossa 0 ja 1 ovat yhden muuttujan vakiofunktioita, F 2 = { }, ja kaikki F n, n 3 ovat tyhjiä. Lemma 8.1. Seuraavat konnektiivit kuuluvat kokoelman F 0 sulkeumaan: i) min(t 1, t 2 ), ii) max(t 1, t 2 ), iii) t 1 t 2, iv) min(t 1 + t 2, 1), v) kaikki m2 n [0, 1], missä m, n N. Todistus. i) min(t 1, t 2 ) = t 1 (t 1 t 2 ): 1 Jos t 1 t 2 niin t 1 (t 1 t 2 ) = t 1 0 = t 1 = min(t 1, t 2 ). 2 Jos t 1 > t 2 niin t 1 (t 1 t 2 ) = t 1 (t 1 t 2 ) = t 1 t 1 + t 2 = t 2 = min(t 1, t 2 ). ii) max(t 1, t 2 ) = 1 (min(1 t 1, 1 t 2 )): 1 Jos t 1 t 2 niin 1 (min(1 t 1, 1 t 2 )) = 1 (1 t 2 ) = t 2 = max(t 1, t 2 ). 2 Jos t 1 > t 2 niin 1 (min(1 t 1, 1 t 2 )) = 1 (1 t 1 ) = t 1 = max(t 1, t 2 ). iii) t 1 t 2 = max(t 1 t 2, t 2 t 1 ): 1 Jos t 1 t 2 niin max(t 1 t 2, t 2 t 1 ) = t 2 t 1 = t 1 t 2. 2 Jos t 1 > t 2 niin max(t 1 t 2, t 2 t 1 ) = t 1 t 2 = t 1 t 2. 21

23 iv) min(t 1 + t 2, 1) = 1 ((1 t 1 ) t 2 ): 1 Jos t 1 +t 2 1 niin 1 ((1 t 1 ) t 2 ) = 1 ((1 t 1 ) t 2 ) = 1 1+t 1 +t 2 = t 1 + t 2 = min(t 1 + t 2, 1). 2 Jos t 1 + t 2 > 1 niin 1 ((1 t 1 ) t 2 ) = 1 0 = min(t 1 + t 2, 1). v) 1 2 n... 2 n = 1 (2 n m)(2 n ) = 1 (1 m2 n ) = m2 n, missä 2 n saadaan yhdistämällä funktioita x/2 ja 1. Lemma 8.2. Kaikilla erillisillä x, y D, joukko {(g(x), g(y)) g F 1 } sisältää kaikki parit (a, b) D 2, kun D on kaikkien m2 n [0, 1] joukko. Todistus. Käymme läpi vain tilanteen x < y, jos y < x vaihdamme vain x:n ja y:n keskenään ja saamme muutoin täysin identtisen konstruktion. Tarkastellaan ensin tilannetta jossa a b. Valitaan m N niin, että a < m(y x) pätee. Määritellään g : [0, 1] [0, 1] seuraavasti: g(t) = max(a m(t x), b). Nyt g F 1, jolle pätee g(x) = a ja g(y) = b. Mikäli a < b, käytämme arvoja 1 a ja 1 b, a:n ja b:n paikalla g:ssä, minkä jälkeen käytämme funktiota 1 g(t). Lause 8.3. (ks. [1, s. 33] ja [4]) Konnektiivien kokoelma F 0 on täysi. Todistus. Riittää siis näyttää, että F 0 :n avulla voidaan aproksimoida mielivaltaisen tarkasti mitä tahansa funktiota joukossa {f : [0, 1] n [0, 1] f on jatkuva}. Todistamme tämän kahdessa osassa. Olkoon jälleen D kaikkien m2 k [0, 1] joukko. Ongelmaksi muodostuu, että emme kykene valitsemaan tarkkoja arvoja aproksimoivalle funktiollemme suoraan D:n ulkopuolelta. Voimme kuitenkin kiertää tämän ongelman käyttämällä hyväksi tietoa siitä, että D on tiheä välillä [0, 1]. Kiinnitetämme ensimmäisenä jatkuvan funktion f : [0, 1] n [0, 1] ja mielivaltaisen ε > 0. Väite 1. Kiinteälle x D n on olemassa funktio g x F 0 jolle pätee g x (x) f(x) < ε ja g x (t) > f(t) ε (t [0, 1] n ). Aloitamme väitteen todistuksen konstruoimalla jatkuvan kuvauksen h y F 0 millä tahansa kiinteällä y D n, jolle pätevät ehdot h y (x) f(x) < ε ja h y (y) f(y) < ε. 22

24 Aiomme rakentaa funktion h y funktion u F 1 ja projektiofunktion π n i avulla siten, että h y (z) = u(π n i (z)), kun z [0, 1] n. Joudumme siis vielä näyttämään, että haluamamme ehdot täyttävä u todella on olemassa. Lemman 8.2 nojalla voimme rakentaa funktion u niin, että u(c) = a ja u(d) = b, millä tahansa a, b, c, d D kunhan c d. Nyt D:n tiheyden nojalla voimme valita vakiot a ja b siten, että a f(x) < ε ja b f(y) < ε Rakennamme funktion h y äskeisen tiedon perusteella seuraavasti: Jos y x niin h y (z) = u y (π n i (z)) missä u y (x i ) = a, u y (y i ) = b ja projektiofunktio π n i on valittu sellaiseksi, että x i y i. Jos y = x niin h y (z) = a(π n i (z)), missä a : [0, 1] [0, 1] on vakiofunktio. Selvästi h y F 0 ja täyttää halutut ehdot. Nyt tiedämme h y :n jatkuvaksi joten on olemassa y:n avoin ympäristö U y, jossa se täyttää ehdon h y (t) > f(t) ε t U y. Koska D n on tiheä joukossa [0, 1] n muodostavat edellä esitetyllä tavalla valitut U yi :t joukon [0, 1] n peitteen, kun i N. Joukon [0, 1] n kompaktisuudesta taas seuraa, että on olemassa äärellinen määrä pisteitä y 1, y 2,..., y m D n jotka muodostavat peitteen: Asetetaan nyt [0, 1] n U y1 U y2... U ym. g x = max(h y1, h y2,..., h ym ). On selvää, että g x toteutaa väitteessä 1 vaaditut rajoitukset f:n suhteen. Näemme myös, että g x on jatkuva sillä jokainen h yi on jatkuva. Lisäksi g x F 0 koska se on saatu projektiolla ja kuvausten yhdistämisellä F 0 :sta. Ongelmaksi jää, että emme tiedä funktioista h yi ovatko ne funktion f ylä- vai alapuolella. Emme siis voi valita kaikille h yi yhteisesti minimi- tai maksimi-funktiota. Tämän takia joudummekin vielä osoittamaan seuraavan väitteen. Väite 2. Funktiolle f on olemassa funktio h F 0 jolle pätee h(x) f(x) < ε x [0, 1] n. Olkoon g x kuten yllä. Koska funktio g x on jatkuva niin tiedämme, että on olemassa x:n ympäristö V x siten, että g x (t) < f(t) + ε t V x. 23

25 Jälleen koska [0, 1] n on kompakti tiedämme, että on olemassa äärellinen määrä pisteitä x 1, x 2,..., x k joille pätee Määritellään h seuraavasti [0, 1] n V x1 V x2... V xk. h = min(g x1, g x2,..., g xk ). Saimme siis väitteistä 1 ja 2 tulokset h(x) > f(x) ε ja h(x) < f(x) + ε kun x [0, 1] n. Erityisesti siis h(x) f(x) < ε, kun x [0, 1] n, joka todistaa väitteen ja sen seurauksena myös lauseen. Korollaari 8.4. Määritellään funktio Fϕ n+1 : [0, 1] n+1 [0, 1] siten, että Fϕ n+1 (x) = v(ϕ), missä v on mielivaltainen totuusjakauma ja ϕ on L-lause jossa esiintyy vain propositiosymbooleja p 0,..., p n. Kaikilla jatkuvilla f : [0, 1] n+1 [0, 1] ja kaikilla ε > 0 löytyy lause ϕ jossa esiintyy vain propositiosymbooleja p 0,..., p n ja konnektiiveja, x/2, 0, 1 siten, että kaikilla x [0, 1] n+1 pätee Fϕ n+1 (x) f(x) < ε. Todistus. Edellisen lauseen nojalla riittää näyttää, että kaikilla n N ja kaikilla h F 0 löytyy ϕ jossa esiintyy vain p 0,..., p n,, x/2, 0, 1 ja Fϕ n+1 = h. Induktiolla h:n rakenteen suhteen: 1 : ϕ = p 0 p 1 2 x/2: ϕ = p 0 /2 3 0: ϕ = 0p 0 4 1: ϕ = 1p 0 5 π n i : p i 6 u(x) = v(w 0 (x),..., w m (x)): Induktio-oletuksen nojalla löytyy L-lause ϕ i, i m, jolla w i = Fϕ n+1 i ja ψ siten, että v = F m+1 ψ. Nyt ϕ = ψ(ϕ 0 /p 0,..., ϕ m /p m ). 24

26 9 Mallien konstruointi Jos Λ on lineaarisesti järjestetty joukko, niin L-struktuurien Λ-ketju on perhe L-struktuureja (M λ λ Λ), joilla M λ M η missä λ < η. Jos tämä pätee voimme määritellä yhdisteen (M λ λ Λ) L-esistruktuuriksi ilmeisellä tavalla. (Huomataan, että kaikkien funktiosymbolien tai predikaattisymbolien S kaikilla tulkinnoilla S M λ on sama jatkuvuusmoduli S, minkä seurauksena myös yhdisteellä (S M λ λ Λ) on jatkuvuusmodulina S.) Tällä yhdisteellä on perustana metrinen avaruus, mutta se ei välttämättä ole täydellinen. Täydentämällä yhdisteen saamme L-struktuurin jota kutsumme ketjujen yhdisteeksi ja merkitsemme λ Λ M λ. Määritelmä 9.1. Struktuurien ketjua (M λ λ Λ) sanotaan elementaariseksi ketjuksi jos M λ M η kaikilla λ < η. Lause 9.1. Jos (M λ M λ λ Λ M λ. λ Λ) on elementaarinen ketju ja λ Λ, niin Todistus. Käytetään Tarski-Vaught testiä (Lause 5.1). Määritelmä 9.2. Olkoon Γ(x 1,..., x n ) joukko L-väitteitä ja olkoon M L- struktuuri. Sanomme, että Γ(x 1,..., x n ) on toteutuva M:ssä jos on olemassa M:n alkiot a 1,..., a n, joilla M = [a 1,..., a n ]. Määritelmä 9.3. Olkoon M L-struktuuri ja κ ääretön kardinaali. Sanomme, että M on κ-saturoitu jos seuraava pätee: Kun A M kardinaali on < κ ja Γ(x 1,..., x n ) on joukko L(A)-väitteitä, jos kaikki Γ:n äärelliset osajoukot ovat toteutuvia (M, a) a A :ssa, niin koko joukko Γ on toteutuva (M, a) a A :ssa. Määritelmä 9.4. Olkoon M L-struktuuri ja olkoon N tämän elementaari laajennus. Sanomme, että N on M:n suurennus jos sillä on seuraava ominaisuus: Kun A M ja Γ(x 1,..., x n ) on joukko L(A)-väitteitä, jos jokainen äärellinen Γ:n osajoukko on toteutuva struktuurissa (M, a) a A, niin tällöin koko joukko Γ on toteutuva struktuurissa (N, a) a A. 25

27 Lemma 9.2. Jokaisella L-struktuurilla on suurennus. Todistus. Olkoon M L-struktuuri ja J joukko, jonka kardinaali on suurempi tai yhtä kuin card(l(m)). Olkoon I kokoelma J:n osajoukkoja ja olkoon D I:n ultraltteri, joka sisältää kaikki joukot S j = {i I j i} kun j J. Tällainen ultraltteri on olemassa sillä tällä joukkojen kokoelmalla on ÄLO. Olkoon N M:n D-ultratulo, joka on elementaarinen laajennus M:n diagonaalisen kuvauksen kautta. Näytämme nyt, että N on M:n suurennus. Olkoon A M ja Γ(x 1,..., x n ) joukko L(A)-väitteitä, jossa Γ:n jokainen äärellinen osajoukko on toteutuva (M, a) a A. Olkoon α : J Γ surjektio. Kun i = {j 1,..., j m } I, olkoon (a 1 i,..., a n i ) mikä tahansa n-jono M:ltä joka toteuttaa Γ:n äärellisen osajoukon {α(j 1 ),..., α(j m )} struktuurissa (M, a) a A. Kaikilla k = 1,..., n joukko a k = ((a k i ) i I ) D. Lause 6.8 näyttää helposti, että (a 1,..., a n ) toteuttaa Γ:n struktuurissa (N, a) a A. Lause 9.3. Olkoon M L-struktuuri. Jokaisella äärettömällä kardinaalilla κ, M:llä on κ-saturoitu elementaarinen laajennus. Todistus. Voimme olettaa, että κ on säännöllinen kasvattamalla κ:aa. Konstruoimme induktiolla elementaarisen ketjun (M α α < κ) siten, että M 0 = M ja kaikilla α < κ, M α+1 on M α :n suurennus. (Raja-ordinaaleilla otamme yhdisteitä.) Olkoon N ketjun (M α α < κ) yhdiste. Lauseen 9.1 nojalla M α N kaikilla α < κ; erityisesti M N. Väitämme, että N on κ- saturoitu. Olkoon A kardinaalia < κ oleva N :n osajoukko. Koska κ on säännöllinen on olemassa α < κ siten, että A on M α :n osajoukko. N :n alkiot, jotka tarvitaan määritelmään 9.3, löytyvät M α+1 :stä. Määritelmä 9.5. Olkoon M L-struktuuri ja κ ääretön kardinaali. Sanomme, että M on vahvasti κ-homogeeninen jos seuraava pätee: Jos L(C) on L:n laajennus vakioilla, missä card(c) < κ, ja f, g : C M ovat kuvauksia joilla niin (M, f(c)) c C (M, g(c)) c C (M, f(c)) c C = (M, g(c))c C. On huomioitavaa, että isomorsmi (M, f(c)) c C (M, g(c)) c C on M:n automorsmi, jossa f(c) g(c) kaikilla c C. 26

28 Lause 9.4. Olkoon M L-struktuuri. Jokaisella äärettömällä kardinaalilla κ, mallilla M on κ-saturoitu elementaarinen laajennus N siten, että jokainen malli varustettuna L:n aliaakkostolla, joka voidaan laajentaa struktuuriksi N, on vahvasti κ-homogeeninen. Todistus. Voimme olettaan, että κ on säännöllinen kasvattamalla κ:aa jos tarvitsee. Kun on annettu L-struktuuri M, konstruoimme elementaarisen ketjun (M α α < κ), jonka yhdisteellä on halutut ominaisuudet. Olkoon M 0 = M; kaikilla α < κ, olkoon M α+1 elementaarinen laajennus M α :lle, joka on τ α -saturoitu, missä τ α on kardinaalia isompi kuin card(l) ja isompi kuin M α :n kardinaali; ota yhdisteet rajaordinaaleissa. Olkoon N yhdiste ketjusta (M α α < κ). Saamme lauseesta 9.1 M N. Samanlainen argumentti kuten lauseessa 9.3 näyttää, että N on κ-saturoitu. N :n vahva κ-homogeenisuus seuraa induktiivisesta argumentista, minkä seuraaja-askel perustuu seuraavaan helposti todistettuun faktaan: Oletetaan M N ja N on τ-saturoitu, missä τ on kardinaali, jolla pätee τ > card(l) ja τ > card(m). Olkoon C joukko uusia vakioita, joilla card(c) < τ. Olkoon f, g : C M kuvauksia joilla (M, f(c)) c C (M, g(c)) c C. Tällöin on olemassa elementaarinen upotus T : M N siten, että kaikilla c C, T (f(c)) = g(c). Lopulta, oletetaan L on L:n aliaakkosto. Kaikilla α < κ, M α+1 supistettuna L :ään on myös τ α -saturoitu. Tämän seurauksena samanlainen argumentti kuten yllä N :lle näyttää, että N supistettuna L :ään on vahvasti κ-homogeeninen. Määritelmä 9.6. Olkoon T L:n täydellinen teoria ja κ ääretön kardinaaliluku. κ-monsterimalli teorialle T on κ-saturoitu ja vahvasti κ-homogeeninen T :n malli. Lauseen 9.4 nojalla jokaisella täydellisellä teorialla on κ-monsterimalli kaikilla äärettömillä kardinaaleilla κ. Saamme myös teorialle T mallin U, joka on sekä itse että kaikki sen pienennykset L:n aliaakkostoon κ-monsterimalleja. 10 Kvanttorien eliminointi Olkoon L aakkosto ja T L-teoria. Todistukset kvanttorien eliminoinnin osalta pohjautuvat suurelta osin kirjassa Analysis and Logic[3] oleviin. 27

29 Määritelmä L-kaava ϕ(x 1,..., x n ) on approksimoitava T :ssä kvanttorivapailla kaavoilla jos kaikilla ε > 0 on olemassa kvanttorivapaa L-kaava ψ(x 1,..., x n ) siten, että jokaisella M = T ja kaikilla a 1,..., a n M pätee ϕ M (a 1,..., a n ) ψ M (a 1,..., a n ) ε. Lause Olkoon ϕ(x 1,..., x n ) L-kaava. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä. (1) ϕ on approksimoitava T :ssä kvanttorivapailla kaavoilla. (2) Kun on annettu T :n mallit M ja N, alistruktuurit M 0 M ja N 0 N, isomorsmi Φ : M 0 N 0 ja alkiot a 1,..., a n M 0, tällöin pätee ϕ M (a 1,..., a n ) = ϕ N (Φ(a 1 ),..., Φ(a n )). Lisäksi implikaatiossa (2) (1) riittää olettaa (2) vain kun M 0 ja N 0 ovat äärellisesti generoituja. Todistus. Olkoon M monsterimalli T :lle, ϕ( x) L-kaava, missä x M n, ja olkoon lisäksi ε > 0. Riittää löytää kvanttorivapaa kaava ψ( x) siten, että kaikilla ā M n pätee ψ(ā) ϕ(ā) ε. Nyt olkoon ψ i ( x), missä i < ω, lista kaikista kvanttorivapaista kaavoista. Olkoon ā M n mielivaltainen ja merkitään r i = ψ i (ā). Valitaan kasvava ja vähenevä jono rationaalilukuja q i (ā) = (qm(a)) i m<ω ja p i (ā) = (p i m(a)) m<ω siten, että lim qm(ā) i = lim p i m(ā) = r i. Olkoon r(ā) = ϕ(ā) ja q(ā) < r(ā) < p(ā), missä q(ā), p(ā) Q siten, että r(ā) q(ā) < ε/4 ja p(ā) r(ā) < ε/4. Havaitaan, että kaikilla b M n, jos kaikilla i, m pätee M = qm(ā) i ψ i ( b) p i m(ā) niin M = q(ā) ϕ( b) p(ā). Nyt löytyy äärellinen I a ja l a, k N siten, että jos kaikilla i I a M = ql i a (ā) 1/k ψ i ( b) p i l a (ā) + 1/k niin M = q(ā) ϕ( b) p(ā). Olkoon ψ a = i I a ql i(ā) ψ i( x) p i l (ā). Nyt tyyppi { i I a (ψ i (x) ql i(a)) (ψ i(x) p i l (a)) a M} ei toteudu M:ssä, joten koska M on ω-saturoitu sillä on äärellinen osatyyppi, joka ei toteudu M:ssä. Eli on olemassa a i, i < N < ω siten, että kaikilla b M löytyy i < N, jolla M = ψ ai (b). Etsitään ψ i kaikilla i I siten, että kaikilla b M n, jos ψ i ( b) qm(ā) i 1/k tai ψ i ( b) p i m(ā) + i/k niin ψ i( b) = 0 ja jos qm(ā) i ψ i ( b) p i m(ā) q(ā) + p(ā) q(ā) + p(ā) niin ψ i ( b) = ja erityisesti aina ψ i ( b). Tällainen ψ i 2 2 löytyy koska tiedämme konnektiivien kokoelman täydeksi. 28

30 Valitaan ψ = sup i<n ψ i. Näytetään seuraavaksi, että ψ( b) ϕ( b) ε. 1 ψ( b) ϕ( b) ε/2 Valitaan i < N siten, että b B(a i, δ ai ). Tällöin q(ā i ) ϕ( b) p(ā i ) ja ψ i( b) = q(ā i) + p(ā i ), josta väite seuraa. 2 2 ψ( b) ϕ( b) + ε/2 Tehdään vastaoletus: löytyy i < N siten, että ψ i ( b) > ϕ( b) + ε/2. ψ( r) 0. Siis kaikilla j I ai qm i aj (ā j ) 1/k aj ψ a j i ( b) p i m aj (ā j ) + 1/k aj, josta seuraa q(ā i ) ϕ( b) p(ā i ) koska ψ i( b) q(ā i) + p(ā i ) ϕ( b) + ε/2. 2 Tämä on ristiriita ja siis väite on todistettu. Määritelmä L-teoria T sallii kvanttorien eliminoinnin jos kaikki L kaavat ovat approksimoitavia T :ssä kvanttorivapailla kaavoilla. Huomautus (1) Olkoon T L-teoria ja olkoon L(C) L:n laajennus vakioilla. Jos T sallii kvanttorien eliminoinnin L:ssä, niin T sallii kvanttorien eliminoinnin L(C):ssä. (2) Olkoon T T teorioita aakkostossa L. Jos T sallii kvanttorien eliminoinnin L:ssä, niin T sallii kvanttorien eliminoinnin L:ssä. Lemma Olkoon T L-teoria ja jokainen rajoitettu L-kaava, joka on muotoa inf x ϕ, missä ϕ on kvanttorivapaa, on approksimoitava T :ssä kvanttorivapailla kaavoilla. Tällöin T sallii kvanttorien eliminoinnin. Todistus. Näytetään, että jokainen kaava T :ssä sallii kvanttorien eliminoinnin. Tehdään tämä induktiolla kaavojen rakenteen suhteen. 1 ϕ on atomikaava. ϕ voidaan valita sellaisenaan. 29