Seuraus 4.2 Kaavajoukko Φ on ristiriidaton jos ja vain jos on olemassa kaava ϕ, jolla Φ ϕ.
|
|
- Olivia Niemelä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 4 Täydellisyyslause Ristiriidattomuus ja toteutuvuus Määritelmä 4.1Olkoon Φ L S kaavajoukko. (a) Φ on ristiriidaton eli konsistentti, Con(Φ), jos ei ole olemassa kaavaa ϕ, jolla Φ ϕ ja Φ ϕ. (b) Φ on ristiriitainen eli inkonsistentti, Inc(Φ), jos se ei ole ristiriidaton. Apulause 4.1 Olkoon Φ L S kaavajoukko. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (1) Φ on ristiriitainen (2) Φ ϕ pätee jokaisella kaavalla ϕ. Todistus. Jos ehto (2) pätee, niin Φ ϕ ja Φ ϕ millä hyvänsä kaavalla ϕ, joten Φ on ristiriitainen. Oletetaan sitten, että Φ on ristiriitainen. Olkoon ϕ kaava. On olemassa kaava ψ, jolla Φ ψ ja Φ ψ, joten on olemassa johdettavat sekventit Γ ψ ja ψ s.e. Set(Γ), Set( ) Φ. Soveltamalla sääntöä (Ant) näihin sekventteihin saadaan johdettua sekventit Γ ψ ja Γ ψ. Soveltamalla edelleen sääntöä (Ctr ) saadaan johdettua sekventti Γ ϕ. KoskaSet(Γ )= Set(Γ) Set( ) Φ, nähdään, että Φ ϕ. Seuraus 4.2 Kaavajoukko Φ on ristiriidaton jos ja vain jos on olemassa kaava ϕ, jolla Φ ϕ. Kaikki sekventit Γ ϕ ovat äärellisiä. Jos siis Φ ϕ, niin on olemassa äärellinen Φ 0 Φ, jolla Φ 0 ϕ. Käyttämällä tätä havaintoa, on helppo todistaa seuraava tulos: Apulause 4.3 Kaavajoukko Φ on ristiriidaton jos ja vain jos jokainen sen äärellinen osajoukko Φ 0 on ristiriidaton. Todistus. Oletetaan ensin, että Φ 0 on ristiriitainen jollain (äärellisellä) Φ 0 Φ. Tällöin Φ 0 ϕ ja Φ 0 ϕ jollain kaavalla ϕ. Siis on olemassa johdettavat sekventit Γ ϕ ja ϕ s.e. Set(Γ), Set( ) Φ 0. Mutta tällöin myös Set(Γ), Set( ) Φ, joten Φ ϕ ja Φ ϕ. 30
2 Oletetaan sitten, että Φ on ristiriitainen, eli Φ ϕ ja Φ ϕ jollain kaavalla ϕ. Edelläolevan havainnon mukaan tällöin on olemassa äärelliset joukot Φ 1, Φ 2 Φ s.e. Φ 1 ϕ ja Φ 2 ϕ. Siispä Φ 0 =Φ 1 Φ 2 on joukon Φ äärellinen osajoukko, jolla Φ 0 ϕ ja Φ 0 ϕ. Määritelmä 4.2Kaavajoukko Φ on toteutuva, Sat(Φ), jos on olemassa tulkinta I, jolla I =Φ. Apulause 4.4 Jos Sat(Φ), niin Con(Φ). Todistus. Oletetaan, että Φ on toteutuva, eli on olemassa tulkinta I, jolla I = Φ. Tehdään sitten vastaoletus: Φ on ristiriitainen. Siis on olemassa kaava ϕ s.e. Φ ϕ ja Φ ϕ. Nyt Korrektisuuslauseen 3.1 perusteella Φ = ϕ ja Φ = ϕ, joten I = ϕ ja I = ϕ. Tämä on mahdotonta, joten vastaoletus ei voi olla tosi. Siispä Φ on ristiriidaton. Apulause 4.5 Olkoon Φ kaavajoukko ja ϕ kaava. Tällöin: (a) Φ ϕ jos ja vain jos Inc(Φ { ϕ}). (b) Φ ϕ jos ja vain jos Inc(Φ {ϕ}). (c) Jos Con(Φ), niin joko Con(Φ {ϕ}) tai Con(Φ { ϕ}). Todistus. (a) Oletetaan ensin, että Φ ϕ. Selvästi tällöin myös Φ { ϕ} ϕ, ja toisaalta käyttämällä sääntöä (Assm) nähdään, että Φ { ϕ} ϕ. Siispä Φ { ϕ} on ristiriitainen. Oletetaan sitten, että Φ { ϕ} on ristiriitainen. Tällöin Apulauseen 4.1 nojalla Φ { ϕ} ϕ, eli on olemassa johdettava sekventti Γ ϕ s.e. Set(Γ) Φ { ϕ}. Jos Set(Γ) Φ, seuraa väite Φ ϕ välittömästi. Muussa tapauksessa voidaan olettaa, että Γ on muotoa Γ ϕ (tarpeen vaatiessa jonon Γ kaavojen järjestystä voidaan muuttaa säännöllä (Ant)). Toisaalta sääntöä (Assm) soveltamalla saadaan sekventti Γ ϕ ϕ. Kun näihin kahteen sekventtiin sovelletaan vielä sääntöä (Ctr), saadaan johdettua Γ ϕ. Siispä Φ ϕ. (b) Todistus on samankaltainen kuin kohdassa (a). (c) Oletetaan, ettäφ {ϕ} ja Φ { ϕ} ovat ristiriitaisia. Tällöin kohtien (b) ja (a) perusteella Φ ϕ ja Φ ϕ, jotenmyös Φ on ristiriitainen. Apulause 4.6 Olkoot Φ i, i N, kaavajoukkoja s.e. Φ 0 Φ 1 Φ 2, ja olkoon Ψ= i N Φ i. Jos Con(Φ i ) jokaisella i N, niin myös Con(Ψ). Todistus. Oletetaan, että Φ i on ristiriidaton jokaisella i N, ja tehdään vastaoletus: Ψ on ristiriitainen. Apulauseen 4.3 nojalla on olemassa äärellinen Ψ 0 Ψ, joka on ristiriitainen. Olkoon Ψ 0 = {ψ 1,...,ψ n }.KoskaΨ 0 Ψ= i N Φ i,onjokaisella j {1,...,n} olemassa i j N s.e. ψ j Φ ij. Olkoon m =max{i 1,...,i n }. Nyt ψ j Φ ij Φ m jokaisella j {1,...,n}, jotenψ Φ m. Mutta tällöin Φ m on ristiriitainen vastoin oletusta. 31
3 Henkin-konstruktio Päätavoitteena tässä luvussa on todistaa predikaattilogiikan Täydellisyyslause: Jokaisella kaavajoukolla Φ ja kaavalla ϕ pätee: jos Φ = ϕ, niin Φ ϕ. Todistamme tätä varten seuraavan tuloksen: Jokaisella kaavajoukolla Φ pätee: jos Con(Φ), niin Sat(Φ). Täydellisyyslause on tämän tuloksen välitön seuraus: Jos Φ ϕ, niin Apulauseen 4.5(a) perusteella pätee Con(Φ { ϕ}). Siis Sat(Φ { ϕ}), joten on olemassa tulkinta I, jolla I =Φ { ϕ}. Nyt on siis voimassa I =ΦjaI = ϕ, mikä osoittaa, että Φ = ϕ. Tavoitteena on siis rakentaa tulkinta I =(A,β), jolla I = Φ, kun Φ L S on annettu ristiriidaton kaavajoukko. Henkin-konstruktiossa malli A muodostetaan termeistä t T S. Tulkinta I pyritään muodostamaan niin, että jokaisella kaavalla ϕ L S on voimassa ehto ( ) I = ϕ Φ ϕ. Tällöin mallin alkioiksi ei voi kuitenkaan ottaa termejä t T S sellaisenaan, sillä yleensä on olemassa termit t = t s.e. Φ t t, jolloin ehto ( ) eipätisi kaavalla ϕ = t t. Tämä ongelma ratkaistaan määrittelemällä termien joukossa ekvivalenssirelaatio, ja tarkastelemalla sen ekvivalenssiluokkia termien sijasta. Määritellään t t Φ t t, kun t, t T S. Todistamme aluksi, että on todella ekvivalenssirelaatio, ja että se on yhteensopiva funktioiden ja relaatioiden kanssa. Apulause 4.7 (a) Relaatio on joukon T S ekvivalenssi. (b) Relaatio on yhteensopiva symbolijoukon S funktioiden kanssa: jos f S on n-paikkainen ja t 1 t 1,...,t n t n, niin ft 1...t n ft 1...t n. (c) Relaatio on yhteensopiva symbolijoukon S relaatioiden kanssa: jos R S on n-paikkainen ja t 1 t 1,...,t n t n, niin Φ Rt 1...t n Φ Rt 1...t n. Todistus. (a) Relaation refleksiivisyys seuraa identiteetin säännöstä (Ref): sen perusteella Φ t t kaikilla t T S. Symmetrisyys seuraa puolestaan sekventtikalkyylin johdetusta säännöstä (Sym): Γ t t Γ t t. Jos nimittäin t t, niin sekventti Γ t t voidaan johtaa jollain Γ, jolla Set(Γ) Φ. Soveltamalla sääntöjä (Assm) ja (Sym) saadaan Γ t t t t. Näistä saadaan edelleen ketjusäännöllä (Ch) Γ t t, jotent t. Relaation transitiivisuus todistetaan samalla tavalla käyttämällä johdettua identiteettisääntöä (Tran). 32
4 (b) Oletetaan, että t 1 t 1,...,t n t n.tällöin on olemassa kaavajonot Γ 1,...,Γ n, joilla Set(Γ i ) Φ ja sekventtikalkyylissä voidaan johtaa Γ i t i t i, kun i {1,...,n}. Olkoon Γ kaavajono, jolla Set(Γ) = 1 i n Set(Γ i). Käyttämällä edeltäjäsääntöä (Ant) näistä saadaan sekventit Γ t i t i, i {1,...,n}. Soveltamalla näihin edelleen johdettua sääntöä (Cong)(b) saadaan johdetuksi sekventti Γ ft 1...t n ft 1...t n. Siis ft 1...t n ft 1...t n. (c) Todistus on samankaltainen kuin kohdassa (b). (Harjoitustehtävä) Termin t T S ekvivalenssiluokka (ekvivalenssissa ) on joukko [t] := {t T S t t}. Jätämme jatkossa alaindeksin pois tästä merkinnästä, kun relaatio on asiayhteydestä selvä. Nyt voimme määritellä mihin hyvänsä kaavajoukoon Φ liittyvän tulkinnan, jonka alkioina ovat ekvivalenssiluokat [t], t T S : Määritelmä 4.3Olkoon Φ L S kaavajoukko. Tällöin I Φ = (A,β) on S- tulkinta, missä: (1) A = {[t] t T S } = T S / (2) c A =[c], kun c S on vakiosymboli (3) f A : A n A on funktio, jolla f A ([t 1 ],...,[t n ]) = [ft 1...t n ], kun f S on n-paikkainen funktiosymboli (4) ([t 1 ],...,[t n ]) R A Φ Rt 1...t n, kun R S on n-paikkainen relaatiosymboli (5) β(v i )=[v i ], kun i N Huomautus: Mallin A funktiot f A ovat hyvinmääriteltyjä Lemman 4.7(b) perusteella: funktion arvo f A ([t 1 ],...,[t n ]) ei riipu ekvivalenssiluokkien [t 1 ],...,[t n ] edustajien t 1,...,t n valinnasta. Samoin relaatiot R A ovat hyvinmääriteltyjä Lemman 4.7(c) perusteella. Apulause 4.8 (a) Kaikilla t T S pätee I Φ (t) =[t]. (b) Kaikilla atomikaavoilla ϕ L S pätee I Φ = ϕ Φ ϕ. (c) Kaikilla kaavoilla ϕ L S pätee (d) Kaikilla kaavoilla ϕ L S pätee I Φ = xϕ I Φ = ϕ[t/x] jollain t T S. I Φ = xϕ I Φ = ϕ[t/x] kaikilla t T S. Todistus. (a) Induktiolla termin t suhteen. Jos t = v i, i N, niin I Φ (t) =β(v i ), joka on määritelmän mukaan [v i ]. Jos t = c S, niin I Φ (t) =c A =[c]. Oletetaan sitten, että t = ft 1...t n ja väite pätee termeille t 1,...,t n.tällöin I Φ (t) = f A (I Φ (t 1 ),...,I Φ (t n )), joka on iduktio-oletuksen perusteella f A ([t 1 ],...,[t n ]) = [ft 1...t n ]. (b) Tapauksessa ϕ = t t päätellään seuraavasti: I Φ = ϕ joss I Φ (t) =I Φ (t ) joss [t] = [t ]josst t joss Φ ϕ. Tässä toinen ekvivalenssi saadaan (a)- kohdasta. 33
5 Jos taas ϕ = Rt 1...t n,päätellään: I Φ = ϕ joss (I Φ (t 1 ),...,I Φ (t n )) R A joss ([t 1 ],...,[t n ]) R A joss Φ ϕ. Toinen ekvivalenssi saadaan taas (a)-kohdasta. (c) Oletetaan ensin, että I Φ = xϕ. Tällöin on olemassa a A s.e. I Φ [a/x] = ϕ. Joukon A määritelmän nojalla on olemassa t T S, jolla a = [t], ja edelleen (a)-kohdan mukaan a = I Φ (t). Siis I Φ [I Φ (t)/x] = ϕ, joten Apulauseen 2.8(b) perusteella I Φ = ϕ[t/x]. Toisaalta jos I Φ = ϕ[t/x], niin Apulauseen 2.8(b) mukaan I Φ [I Φ (t)/x] = ϕ, joten I Φ = xϕ. (d) Todistetaan samaan tapaan kuin kohta (c). (Harjoitustehtävä) Tavoitteena ollut ehto ( ) pätee siis tulkinnalle I Φ kaikilla atomikaavoilla ϕ, mutta on helppo nähdä, että se ei välttämättä päde muilla kaavoilla. Esimerkiksi, jos Φ={ xrx}, niin ei ole olemassa termiä t T S, jolla Φ Rt, joteni Φ = xrx, vaikka Φ xrx. Samoin, jos Φ = {Rv 0 Rv 1 }, on helppo nähdä, ettäφ Rv 0 ja Φ Rv 1. Siis I Φ = Rv 0 ja I Φ = Rv 1,jotenI Φ = Rv 0 Rv 1, vaikka Φ Rv 0 Rv 1. Näiden ongelmien korjaamiseksi tarvitaan kaksi lisäehtoa kaavajoukolle Φ. Määritelmä 4.4(a) Kaavajoukko Φ L S on negaatiotäydellinen, jos kaikilla ϕ L S pätee Φ ϕ tai Φ ϕ. (b) Kaavajoukko Φ L S on Henkin-täydellinen, jos jokaisella muotoa xϕ olevalla S-kaavalla on olemassa termi t T S, jolla Φ ( xϕ ϕ[t/x]). Apulause 4.9 Olkoon Φ L S ristiriidaton, negaatiotäydellinen ja Henkin-täydellinen. Tällöin kaikilla kaavoilla ϕ, ψ L S pätee: (a) Φ ϕ Φ ϕ. (b) Φ (ϕ ψ) Φ ϕ tai Φ ψ. (c) Φ xϕ Φ ϕ[t/x] jollain t T S. Todistus. (a) Jos Φ ϕ, niin on oltava Φ ϕ, sillä muuten Φ olisi ristiriitainen. Jos taas Φ ϕ, niin ei voi olla Φ ϕ, sillä tällöin Φ ei olisi negaatiotäydellinen. (b) Oletetaan, että Φ (ϕ ψ). Jos Φ ϕ, niin (a)-kohdan perusteella Φ ϕ. Soveltamalla nyt aikaisemmin johdettua sääntöä (disjunktio ja negaatio) nähdään, että Φ ψ. Γ (ϕ ψ), Γ ϕ Γ ψ Oletetaan kääntäen, että Φ ϕ tai Φ ψ. Tällöin sääntöä ( S) käyttämällä saadaan välittömästi Φ (ϕ ψ). (c) Oletetaan, että Φ xϕ. Koska Φ on Henkin-täydellinen, on olemassa t T S, jolla Φ ( xϕ ϕ[t/x]). Soveltamalla nyt johdettua modus ponens sääntöä (MP) nähdään, että Φ ϕ[t/x]. Toisaalta jos Φ ϕ[t/x], niin soveltamalla sääntöä ( S) nähdään, että Φ xϕ. 34
6 Kaavan ϕ L S syvyys, dp(ϕ) N, määritellään rekursiolla seuraavasti: dp(ϕ) := 0, kun ϕ on atomikaava dp( ϕ) := dp(ϕ)+1 dp(ϕ ψ) := max{dp(ϕ), dp(ψ)} +1 dp( xϕ) := dp(ϕ)+1. Lause 4.10 (Henkinin lause) Olkoon Φ L S ristiriidaton, negaatiotäydellinen ja Henkin-täydellinen. Tällöin kaikilla kaavoilla ϕ L S pätee I Φ = ϕ Φ ϕ. Todistus. Todistamme väitteen induktiolla kaavan ϕ syvyyden dp(ϕ) suhteen. Jos dp(ϕ) = 0, on ϕ atomikaava, jolloin väite seuraa Apulauseesta 4.8(b). Oletetaan sitten, että dp(ϕ) = n>0 ja että väite pätee kaikilla kaavoilla η, joilla dp(η) <n.tällöin ϕ ei voi olla atomikaava, joten se on muotoa ψ, (ψ θ) tai xψ. Ensimmäisessä tapauksessa dp(ψ) = n 1 < n, joten voimme päätellä seuraavasti: I Φ = ϕ I Φ = ψ Φ ψ Φ ϕ, missä toinen ekvivalenssi seuraa induktio-oletuksesta, ja kolmas seuraa Apulauseesta 4.9(a). Toinen tapaus, ϕ =(ψ θ), todistetaan samaan tapaan käyttämällä Apulausetta 4.9(b). Oletetaan lopuksi, että ϕ = xψ. Tällöin Apulauseen 4.8(c) perusteella I Φ = ϕ joss I Φ = ψ[t/x] jollain termillä t T S. Nyt selvästi dp(ψ[t/x]) = dp(ψ) = n 1 <n, joten induktio-oletuksen perusteella I Φ = ψ[t/x] jossφ ψ[t/x]. Siis I Φ = ϕ joss Φ ψ[t/x] jollain t T S,jotenväite seuraa Apulauseesta 4.9(c). Seuraus 4.11 Jos kaavajoukko Φ L S on ristiriidaton, negaatiotäydellinen ja Henkin-täydellinen, niin I Φ =Φ. Erityisesti Φ on toteutuva. Täydellisyyslause: numeroituva tapaus Oletamme tässä luvussa, että S on numeroituva tai äärellinen symbolijoukko. Tällöin Apulauseen 1.2 nojalla myös kaavajoukko L S on numeroituva. Osoitamme aluksi, että jos kaavajoukko Φ L S on ristiriidaton, ja siinä esiintyy vain äärellinen määrä eri vapaita muuttujia, niin Φ on toteutuva. Tämä todistetaan seuraavan kahden apulauseen avulla. Käytämme ensimmäisessä apulauseessa merkintää Free(Φ):= {Free(ϕ) ϕ Φ}. Apulause 4.12 Oletetaan, että kaavajoukko Φ L S on ristiriidaton, ja Free(Φ) on äärellinen. Tällöin on olemassa ristiriidaton ja Henkin-täydellinen Ψ L S, jolla Φ Ψ. 35
7 Todistus. Koska L S on numeroituva, muotoa xϕ olevien S-kaavojen joukko voidaan esittää muodossa { x i ϕ i i N}. Määritellään kullakin i N kaavajoukko Ψ i, jolla Free(Ψ i )onäärellinen, muuttuja y i,sekäkaavaψ i rekursiolla seuraavasti: Ψ 0 := Φ y 0 on jonon v 0,v 1,v 2,... ensimmäinen muuttuja, jolla y 0 Free(Φ) ψ 0 := ( x 0 ϕ 0 ϕ 0 [y 0 /x 0 ]). Oletetaan että y i, ψ i ja Ψ i on määritelty, ja Free(Ψ i )onäärellinen. Tällöin asetetaan: Ψ i+1 := Ψ i {ψ i };tällöin Free(Ψ i+1 )=Free(Ψ i ) Free(ψ i )onäärellinen y i+1 on jonon v 0,v 1,v 2,... ensimmäinen muuttuja, jolla y i+1 Free(Ψ i+1 ) ψ i+1 := ( x i+1 ϕ i+1 ϕ i+1 [y i+1 /x i+1 ]). Määritellään lopuksi Ψ := i N Ψ i. Nyt Φ = Ψ 0 Ψ. On myös helppo nähdä, että Ψ on Henkin-täydellinen: jos θ = xϕ L S, niin on olemassa i N, jolla θ = x i ϕ i, ja siten Selvästi tällöin Ψ ( xϕ ϕ[y i /x]). ψ i =( xϕ ϕ[y i /x]) Ψ i+1 Ψ. Vielä pitää osoittaa, että Ψ on ristiriidaton. Apulauseen 4.6 perusteella tätä varten riittää todistaa, että Ψ i on ristiriidaton jokaisella i N. Tehdään tämä induktiolla luvun i suhteen. Ensinnäkin Ψ 0 = Φ on ristiriidaton oletuksen nojalla. Oletetaan sitten, että Ψ i on ristiriidaton, ja tehdään vastaoletus: Ψ i+1 on ristiriitainen. Tällöin millä hyvänsä S-lauseella θ on olemassa kaavajono Γ s.e. Set(Γ) Ψ i,jasekventti Γ ψ i θ on johdettavissa. Lähtemällä liikkeelle tästä sekventistä voimme päätellä uusia sekventtejä allaolevaan tapaan. Merkitsemme tässä yksinkertaisuuden vuoksi x := x i, y := y i ja ϕ := ϕ i. Huomaa myös, että ( xϕ ϕ[y/x]) on lyhennysmerkintä kaavalle ( xϕ ϕ[y/x]). (1) Γ ( xϕ ϕ[y/x]) θ Oletus (2) Γ xϕ xϕ (Assm) (3) Γ xϕ ( xϕ ϕ[y/x]) ( S) 2 (4) Γ xϕ θ (Ch) 1& 3 (5) Γ ϕ[y/x] ϕ[y/x] (Assm) (6) Γ ϕ[y/x] ( xϕ ϕ[y/x]) ( S) 5 (7) Γ ϕ[y/x] θ (Ch) 1& 6 (8) Γ xϕ θ ( A) 7 ( ) (9) Γ θ (PC) 4&8 ( ): Muuttujan y = y i valinnasta seuraa, että se ei esiinny vapaana jonon Γ kaavoissa; se ei myöskään ole vapaana kaavassa θ, koskaθ on lause. 36
8 Ylläolevan päättelyn nojalla Ψ i θ kaikilla S-lauseilla θ. Erityisesti Ψ i η ja Ψ i η, missä η on lause v 0 (v 0 v 0 ). Siis Ψ i on ristiriitainen, mikä on vastoin oletusta, joten vastaoletus ei pidä paikkaansa, eli Ψ i+1 on ristiriidaton. Apulause 4.13 Oletetaan, että kaavajoukko Ψ L S on ristiriidaton. Tällöin on olemassa ristiriidaton ja negaatiotäydellinen Θ L S, jolla Ψ Θ. Todistus. Koska L S on numeroituva, se voidaan esittää muodossa {ϕ i i N}. Määritellään kaavajoukot Θ i L S, i N rekursiolla seuraavasti: Θ 0 := Ψ Θ i {ϕ i }, Θ i+1 := Θ i, jos Θ i {ϕ i } on ristiriidaton muuten. Todistetaan induktiolla, että Θ i on ristiriidaton jokaisella i N. KoskaΘ 0 =Ψ, se on ristiriidaton oletuksen perusteella. Jos Θ i {ϕ i } on ristiriidaton, niin Θ i+1 on ristiriidaton suoraan määritelmän perusteella. Muussa tapauksessa Θ i+1 =Θ i, joka on ristiriidaton induktio-oletuksen perusteella. Määritellään sitten Θ := i N Θ i. Nyt Ψ = Θ 0 Θ, ja Θ on ristiriidaton Apulauseen 4.6 nojalla. Vielä pitää osoittaa, että Θ on negaatiotäydellinen. Olkoon siis ϕs-kaava. Tällöin on olemassa i N s.e. ϕ = ϕ i. Jos Θ i {ϕ i } on ristiriidaton, on määritelmän mukaan ϕ Θ i Θ, jolloin Θ ϕ. Muussa tapauksessa Θ i {ϕ} on ristiriitainen, jolloin Apulauseen 4.5(b) nojalla Θ i ϕ, ja siis myös Θ ϕ. Seuraus 4.14 Oletetaan, että Φ L S on ristiriidaton kaavajoukko, jolla Free(Φ) on äärellinen. Tällöin Φ on toteutuva. Todistus. Apulauseen 4.12 perusteella on olemassa ristiriidaton Henkin-täydellinen Ψ L S s.e. Φ Ψ. Edelleen Apulauseen 4.13 perusteella on olemassa ristiriidaton negaatiotäydellinen Θ L S s.e. Ψ Θ. On helppo todeta, että Θonmyös Henkin-täydellinen. Nyt Seurauksen 4.11 nojalla I Θ =Θ.Väite seuraa tästä, koska Φ Θ. Edellisessä tuloksessa on rajoittava oletus, että Free(Φ) onäärellinen. Se voidaan eliminoida käyttämällä muuttujasymbolien tilalla tuoreita vakiosymboleja: Laajennetaan ensin symbolijoukko S lisäämällä siihen ääretön joukko vakiosymboleja c i S, i N, jaasetetaans = S {c i i N}. Määritellään sitten jokaisella ϕ L S kaava ϕ L S seuraavasti: ϕ := ϕ[c 0...c n 1 /v 0...v n 1 ], missä n on pienin luku, jolla ϕ L n S. Selvästi ϕ on S -lause. Apulause 4.15 Olkoon Φ L S ristiriidaton kaavajoukko. Tällöin kaavajoukko Φ := {ϕ ϕ Φ} L S on myös ristiriidaton. Todistus. Riittää osoittaa, että jokainen äärellinen osajoukko Φ 0 Φ on ristiriidaton. Olkoon siis Φ 0 = {ϕ ϕ Φ 0 } jollain äärellisellä Φ 0 Φ. Koska Φ 0 on 37
9 äärellinen, on Free(Φ 0 )myös äärellinen, joten Seurauksen 4.12 nojalla on olemassa S-tulkinta I =(A,β) s.e. I =Φ 0.Määritellään nyt S -tulkinta I =(A,β ) asettamalla A = A, X A = X A jokaisella X S, c A i = β(v i ) jokaisella i N, ja β = β. Tällöin jokaisella kaavalla ϕ L n S pätee: I = ϕ I = ϕ[c 0...c n 1 /v 0...v n 1 ] I [c A 0...c A n 1/v 0...v n 1 ] = ϕ I [β(v 0 )...β(v n 1 )/v 0...v n 1 ] = ϕ I [β(v 0 )...β(v n 1 )/v 0...v n 1 ] = ϕ I = ϕ. Tässä toinen ekvivalenssi seuraa Apulauseesta 2.8(b), neljäs Apulauseesta 2.2(b), ja viimeinen siitä, että I[β(v 0 )...β(v n 1 )/v 0...v n 1 ]=I. Erityisesti nyt pätee I =Φ 0,jotenΦ 0 on ristiriidaton Apulauseen 4.4 perusteella. Nyt voimme todistaa Seurauksen 4.14 yleistyksen tapaukseen, jossa vapaiden muuttujien joukkoa Free(Φ) ei rajoiteta äärelliseksi. Lause 4.16 Olkoon S korkeintaan numeroituva symbolijoukko. Jos Φ L S ristiriidaton kaavajoukko, niin Φ on toteutuva. Todistus. Oletetaan, että Φ L S on ristiriidaton. Apulauseesta 4.15 seuraa, että tällöin myös kaavajoukko Φ = {ϕ ϕ Φ} on ristiriidaton. Koska selvästi Free(Φ )=, Seurauksen 4.14 perusteella on olemassa S -tulkinta I =(A,β ) s.e. I =Φ. Määritellään nyt S-tulkinta I =(A,β) asettamalla A = A, X A = X A jokaisella X S, jaβ(v i )=c A i jokaisella i N. Tällöin päättelemällä täsmälleen samalla tavalla kuin Apulauseen 4.15 todistuksessa nähdään, että kaikilla kaavoilla ϕ L S pätee I = ϕ joss I = ϕ. Siis erityisesti I =Φ. Täydellisyyslause: yleinen tapaus Luovumme nyt oletuksesta, että symbolijoukko S on korkeintaan numeroituva. Ylinumeroituvat symbolijoukot ovat mielekkäitä jahyödyllisiä, kun logiikkaa tarkastellaan joukko-opillisesta näkökulmasta. Esimerkiksi, jos tutkitaan reaalilukujen struktuuria, voidaan ottaa käyttöön oma vakiosymboli c r jokaista reaalilukua r R kohti. Tällöin ylinumeroituva lausejoukko { c r c s r, s R,r = s} on tosi annetussa mallissa A täsmälleen silloin, kun vakiosymbolien c A r tulkinnat ovat kaikki eri alkioita. Tavoitteena on todistaa Lause 4.16 ilman rajoitusta numeroituviin symbolijoukkoihin. Tarvitsemme tätä varten Apulauseita 4.12 ja 4.13 vastaavat yleistetyt tulokset. 38
10 Apulause 4.17 Olkoon Φ L S ristiriidaton kaavajoukko. Tällöin on olemassa symbolijoukko S, jolla S S, ja ristiriidaton ja Henkin-täydellinen Ψ L S, jolla Φ Ψ. Todistus. Liitetään kaikkiin kaavoihin ϕ L S vakiosymbolit c ϕ siten, että (1) c ϕ S, ja (2) c ϕ = c ψ, kun ϕ = ψ. Määritellään nyt symbolijoukko S ja kaavajoukko Φ L S (3) S := S {c xϕ xϕ L S }, ja (4) Φ := Φ {( xϕ ϕ[c xϕ /x]) xϕ L S }. seuraavasti: Osoitetaan aluksi, että Φ on ristiriidaton. Tätä varten riittää osoittaa, että jokainen äärellinen osajoukko Φ 0 Φ on toteutuva. Jokainen tällainen Φ 0 on muotoa Φ 0 {( x i ϕ i ϕ[c i /x i ]) i<n}, missä Φ 0 Φonäärellinen, ja c i on lyhennysmerkintä vakiosymbolille c xi ϕ i. Koska Φ on ristiriidaton, myös Φ 0 on ristiriidaton. Koska Φ 0 on äärellinen, on olemassa äärellinen S 0 S, jolla Φ 0 L S0. Lauseen 4.16 ehdot ovat siis voimassa, joten on olemassa S 0 -tulkinta I =(A,β) s.e. I =Φ 0. Valitaan kullakin i<n jokin alkio a i A, jolla I[a i /x i ] = ϕ i,joställainen alkio on olemassa; muuten alkio a i jätetään määrittelemättä. Määritellään nyt S 0 {c i i<n}-tulkinta I =(A,β ) seuraavasti: A = A, X A = X A jokaisella X S 0, c A i = a i kullakin i<n,jaβ = β. KoskaI on tulkinnan I redukti aakkostoon S 0 ja Φ 0 L S0,pätee I =Φ 0. Edelleen, jos I = x i ϕ i, niin samasta syystä I = x i ϕ i,joteni[a i /x i ] = ϕ i.tästä puolestaan seuraa, että I [c A i /x i ] = ϕ i, ja siten Apulauseen 2.8(b) nojalla I = ϕ[c i /x i ]. Siispä myös I =( x i ϕ i ϕ i [c i /x i ]) jokaisella i<n,joteni =Φ 0. Olemme nyt osoittaneet, että kaavajoukko Φ on ristiriidaton. Se ei kuitenkaan vielä (välttämättä) ole Henkin-täydellinen, sillä siinä ei vielä ole muotoa ( xϕ ϕ[c/x]) olevia kaavoja, kun ϕ L S \ L S.Tämä ongelma ratkaistaan toistamalla operaatiota S S,Φ Φ äärettömän monta kertaa. Määritellään siis nousevat jonot S i, i N, symbolijoukkoja ja Φ i L Si, i N, kaavajoukkoja rekursiolla seuraavasti: (5) S 0 := S ja Φ 0 := Φ; (6) S i+1 := (S i ) ja Φ i+1 := (Φ i ). Asetetaan lopuksi S := i N S i ja Ψ := i N Φ i. Nyt S = S 0 S ja Φ = Φ 0 Ψ. Lisäksi Ψ on Henkin-täydellinen: Jos xϕ L S, niin on olemassa i N, jolla xϕ L Si.Tällöin ( xϕ ϕ[c/x]) (Φ i ) = Φ i+1 Ψ, missä c = c xϕ. Erityisesti siis Ψ ( xϕ ϕ[c/x]). Todetaan vielä lopuksi, että Apulauseen 4.6 perusteella Ψ on ristiriidaton, sillä helpolla induktiolla nähdään, että Φ i on ristiriidaton jokaisella i N. Toisen aputuloksen todistamiseen tarvitaan Zornin lemmaa, joka on valintaaksiooman kanssa yhtäpitävä joukko-opillinen väite. 39
11 Zornin lemma voidaan muotoilla seuraavaan tapaan. Olkoon M = joukko. Joukko C P(M) onketju, jos kaikilla B,C Cpätee B C tai C B. Zornin lemma: Olkoon M = ja olkoon B P(M) epätyhjä joukko M:n osajoukkoja, joka on suljettu ketjujen yhdisteiden suhteen: Jos = C Bon ketju, niin C B. Tällöin joukko B sisältää maksimaalisen alkion B : ei ole olemassa joukkoa B B, jolla B B. Apulause 4.18 Olkoon Ψ L S ristiriidaton kaavajoukko. Tällöin on olemassa ristiriidaton ja negaatiotäydellinen Θ L S, jolla Ψ Θ. Todistus. Tarkastellaan Zornin lemmaa tapauksessa M := L S ja B := {Ξ L S Ψ Ξja Con(Ξ)}. Koska Ψ on ristiriidaton, on B=. Osoitetaan seuraavaksi, että B on suljettu ketjujen yhdisteiden suhteen. Olkoon siis C Bepätyhjä ketju, ja olkoon Ω := C.Tällöin Ξ Ω jokaisella Ξ C,jotenΨ Ω. Lisäksi jokaisella äärellisellä osajoukolla Ω 0 Ω on olemassa Ξ Cs.e. Ω 0 Ξ (Harjoitustehtävä). Siis kaikki joukon Ω äärelliset osajoukot ovat ristiriidattomia, joten myös Ω on ristiriidaton. Näin olemme päätelleet, että Ω B. Zornin lemman nojalla joukossa B on olemassa maksimaalinen alkio Θ. Koska Θ B,onΨ Θ ja Θ on ristiriidaton. Vielä pitää osoittaa, että Θ on negaatiotäydellinen. Oletetaan siis, että ϕ L S. Jos Θ ϕ, niin Apulauseen 4.5(a) nojalla Θ { ϕ} on ristiriidaton. Tällöin joukon Θ maksimaalisuuden nojalla Θ { ϕ} = Θ, eli ϕ Θ, mistä jo seuraakin, että Θ ϕ. Seuraus 4.19 Jos kaavajoukko Φ on ristiriidaton, niin Φ on toteutuva. Todistus. Oletetaan, ettäφ L S on ristiriidaton. Apulauseen 4.17 nojalla on olemassa symbolijoukko S ja ristiriidaton Henkin-täydellinen kaavajoukko Ψ L S s.e. S S ja Φ Ψ. Edelleen Apulauseen 4.18 nojalla on olemassa ristiriidaton negaatiotäydellinen kaavajoukko Θ L S s.e. Ψ Θ. Koska Ψ on Henkin-täydellinen joukko S -kaavoja, on Θ myös Henkin-täydellinen. Siis Seurauksen 4.11 perusteella on olemassa S -tulkinta I =(A,β) s.e. I =Θ.Tällöin I = Φ, missä I =(A,β)jaA on mallin A redukti symbolijoukkoon S. Muotoillaan vielä lopuksi täydellisyyslause sekä sekventtikalkyylin adekvaattisuuslause, joka saadaan yhdistämällä korrektisuuslause ja täydellisyyslause. Lause 4.20 (Täydellisyyslause) Olkoon Φ L S kaavajoukko ja ϕ L S kaava. Jos Φ = ϕ, niin Φ ϕ. Lause 4.21 (Adekvaattisuus) Olkoon Φ L S kaavajoukko ja ϕ L S kaava. (a) Φ = ϕ jos ja vain jos Φ ϕ. (b) Sat(Φ) jos ja vain jos Con(Φ). 40
Luonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotLuku 5. Löwenheimin ja Skolemin lause. kompaktisuuslause. Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin.
Luku 5 Löwenheimin ja Skolemin lause, kompaktisuuslause Tässä luvussa tutustumme tärkeimpiin täydellisyyslauseen (ja sen todistuksen) seurauksiin. Löwenheimin ja Skolemin lause Sanomme, että kaavajoukko
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Mari Herranen. Ultratulo
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mari Herranen Ultratulo Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Marraskuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HERRANEN, MARI: Ultratulo Pro
LisätiedotInsinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2018 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 3 1 of 23 Kertausta Määritelmä Predikaattilogiikan
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotLuku 7. Ratkeamattomuus ja epätäydellisyys. Predikaattilogiikan ratkeamattomuus
Luku 7 Ratkeamattomuus ja epätäydellisyys Predikaattilogiikan ratkeamattomuus Totesimme aikaisemmin Esimerkissä 6.7, että kaikkien validien S-lauseiden joukko VAL S on R-numeroituva. Osoitamme kohta, ettätämä
LisätiedotPredikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka
Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka February 4, 2013 Muistamme, että predikaattilogiikassa aakkosto L koostuu yksilövakioista c 0, c 1, c 2,... ja predikaattisymboleista P, R,... jne. Ekstensionaalisia
LisätiedotVaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: 1 (Alkuarvot) Ilmoitetaan funktion arvot
LisätiedotRekursio. Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on
Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä antamalla lauseke funktion arvolle f (n). Vaihtoehtoinen tapa määritellä funktioita f : N R on käyttää rekursiota: Rekursio Funktio f : N R määritellään yleensä
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotLokaalisuus ja määriteltävyys
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heini Lehtipuu Lokaalisuus ja määriteltävyys Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Toukokuu 2017 2 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta LEHTIPUU,
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotLogiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.
TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho antkaij@mit.jyu.fi Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, 2005-01-27 p. 1/17 Luento2Luentomoniste
LisätiedotRatkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus
Luku 6 Ratkeavuus ja efektiivinen numeroituvuus Proseduurit Olkoon A aakkosto. Proseduuri aakkoston A sanoille on mikä hyvänsä prosessi (algoritmi) P, jolle annetaan syötteeksi sana w A, ja joka etenee
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotVastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan
LisätiedotMiten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?
Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotEpästandardit reaaliluvut
Kandidaatintutkielma Epästandardit reaaliluvut Janne Korhonen 11. tammikuuta 2007 Sisältö 1 Reaalilukujen epästandardimalli 5 1.1 Kompaktisuuslause........................ 5 1.2 Epästandardimallin olemassaolo.................
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Lisätiedot1.1. Määritelmä. a) Termit ovat merkkijonoja, jotka muodostuvat induktiivisesti. k 1
Tähän mennessä aakkoston rooli on jäänyt mallin käsitteessä hivenen irralliseksi seikaksi, sillä symboleita on käytetty lähinnä mallin rakenneosien (funktioiden, relaatioiden ja vakioiden) indeksoimiseen.
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista: (a) {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 },
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Etsi lauseen (p 0 (p 1 p 0 )) p 1 kanssa loogisesti ekvivalentti lause joka on (a) disjunktiivisessa
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotTehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)
Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,
LisätiedotTehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)
Tehtävä 1 Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. {{p 0 }, {p 1 }, { p 0, p 2 }, {p 1, p 2, p 3 }, { p 2, p 3 }, {p 3 }}, b. {{ p 0, p 2 }, {p 0, p 1 }, {{ p 1, p 2 }, { p 2 }}, c. {{p
LisätiedotApprobatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.
Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotRatkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 2
Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan
LisätiedotInduktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa. väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,...
Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P(n) on totta kaikille n = 0,1,2,.... Tässä väite P(n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedotverkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari
Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
LisätiedotMatemaattinen logiikka
Matemaattinen logiikka Jouko Väänänen November 29, 2010 Contents 1 Johdanto 2 1.1 Merkintöjä............................. 2 2 Propositiologiikka 3 3 Struktuurit 13 4 Predikaattilogiikka 22 5 Kaavojen ominaisuuksia
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotEkvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotVieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.
Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa
LisätiedotPysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]
Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,
LisätiedotT Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet 2.3-3.4) 2 5.11.2005 1. Olkoon R kaksipaikkainen predikaattisymboli, jonka tulkintana on relaatio R A
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotEhrenfeucht-Fraïssé-pelistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Hanna Sulonen Ehrenfeucht-Fraïssé-pelistä Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka 2012 2 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö SULONEN, HANNA: Ehrenfeucht-Fraïssé-pelistä
Lisätiedot2017 = = = = = = 26 1
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
LisätiedotTotuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.
Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava}
LisätiedotLUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
LisätiedotTodistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan.
Todistusteoriaa Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan. Todistusteoriassa annetaan joukko aksioomia ja päättely- sääntöjä,
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotLisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi
Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Esimerkki a) Lauseen Kaikki johtajat ovat miehiä negaatio ei
LisätiedotLause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
Lisätiedotf 1 (b) kun b f(a) g(b) = a kun b B \ f(a). g(b) = g(b ). (2) b = b. = f(g(b )) iii) = b,
1.1 Olkoon f : A B injektio. Tällöin f : A f(a) on bijektio, joten on olemassa bijektiivinen käänteiskuvaus f 1 : f(a) A. Jos f(a) = B, niin tämä f 1 on haluttu surjektio. Voidaan siis olettaa, että f(a)
LisätiedotTaulumenetelmä modaalilogiikalle K
/ Kevät 2004 ML-6 1 Taulumenetelmä modaalilogiikalle On vaikeaa löytää Hilbert-tyylisiä todistuksia: Käytössä Modus Ponens -sääntö: jotta voidaan johtaa Q, täytyy johtaa P ja P Q. Mutta mikä on sopiva
Lisätiedotb) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla
LisätiedotKaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
LisätiedotTietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään
LisätiedotHieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).
Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotTehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2
Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella
LisätiedotTestaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin
Yhteydettömien kielioppien ja pinoautomaattien yhteys [Sipser s. 117 124] Todistamme, että yhteydettömien kielioppien tuottamat kielet ovat tasan samat kuin ne, jotka voidaan tunnistaa pinoautomaatilla.
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotNäin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto
Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
Lisätiedot6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä
6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 4 ratkaisut Tehtävä 1. Määritä suurin aste k, johon saakka kuvan verkot G ja G ovat osittaisesti isomorfisia: Ratkaisu 1. Huomataan aluksi, että G =4 G : Ehrenfeucht-Fraïssé
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tia Suurhasko. Hybridilogiikkaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tia Suurhasko Hybridilogiikkaa Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Kesäkuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedot