Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos."

Noora Kouki
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 TIE303 Formaalit menetelmät, kevät 2005 Logiikan kertausta Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 1/17

2 Luento2Luentomoniste Luvut 5 ja 6 (ss.49 67) TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 2/17

3 Sisältö lauselogiikan syntaksi ja semantiikka ensimmäisen kertaluvun logiikan syntaksi ja semantiikka päättelyjärjestelmistä TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 3/17

4 Lauselogiikan syntaksi 1 Lauselogiikassa tarkastellaan väitelauseiden mahdollisia (sovelluksesta riippumattomia) muotoja. Mielivaltaista väitelausetta edustaa lausemuuttuja X, Y, Z,.... Väitelauseita voidaan muodostaa toisista väitelauseista konnektiivien avulla: konjunktio, ja disjunktio, tai implikaatio, jos-niin ekvivalenssi, jos ja vain jos Peircen nuoli, ei-tai Shefferin viiva, ei-ja poissulkeva tai negaatio, ei käänteinen implikaatio, vain jos Lisäksi kaksi lausevakiota: ja. TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 4/17

5 Lauselogiikan syntaksi 2 Formaali määritelmä matemaatikon tarkkuudella : Lauselogiikan kaavojen joukko on pienin joukko, jolle pätee seuraavaa: Kaikki lausemuuttujat ovat lauselogiikan kaavoja. Kaikki lausevakiot ovat lauselogiikan kaavoja. Jos p on lauselogiikan kaava, niin p on lauselogiikan kaava. Jos p ja q ovat lauselogiikan kaavoja, niin p q, p q, p q, p q, p q, p q, p q ja p q ovat lauselogiikan kaavoja. Kaavat ovat väitelauseiden edustajia. Lausemuuttujat ja lausevakiot ovat atomikaavoja, muut molekyylikaavoja. TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 5/17

6 Lauselogiikan semantiikka Jokaisella kaavalla on totuusarvo, joka on joko tosi tai epätosi (ns. poissuljetun kolmannen laki) Millään kaavalla ei ole kahta eri totuusarvoa (ns. ristiriidan laki) Molekyylikaavan totuusarvo riippuu pelkästään alikaavojensa totuusarvoista (ns. totuusfunktioiden laki) Totuustaulut: p q p p q p q p q p q p q p q p q p q TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 6/17

7 Ensimmäisen kertaluvun logiikka FOL = First-Order Logic, ensimmäisen kertaluvun logiikka Kuten lauselogiikassa, FOL:ssa kaavat edustavat väitelauseita. FOL:ssa tulee uusi ilmaisutyyppi, termit, jotka edustavat yksilöitä. FOL:n atomikaavat ilmaisevat yksilöiden välisiä suhteita. TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 7/17

8 Ensimmäisen kertaluvun aakkosto Kiinnitetään aluksi numeroituvasti äärettömät yksilömuuttujien ja lausemuuttujien erilliset joukot. Kolmikko (P, F, a) on ensimmäisen kertaluvun aakkosto, jos P ja F ovat numeroituvia, erillisiä joukkoja, joiden alkiot eivät ole yksilömuuttujia saati lausemuuttujia, ja a on funktio joukosta P F luonnollisille luvuille ja kaikilla p P pätee a(p) > 0. Joukon P alkioita sanotaan predikaattisymboleiksi ja joukon F alkoita sanotaan funktiosymboleiksi. Niitä joukon F alkoita f, joille a(f) = 0 pätee, sanotaan myös vakiosymboleiksi. Lukua a(s), missä s P F, sanotaan symbolin s ariteetiksi. Kukin ensimmäisen kertaluvun aakkosto määrittelee ensimmäisen kertaluvun kielen seuraavissa kalvoissa esitettävällä tavalla. Huomaa: ensimmäisen kertaluvun logiikka on siis kieliperhe, ei yksi kieli kuten lauselogiikan tapauksessa. TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 8/17

9 Ensimmäisen kertaluvun termit Olkoon (P, F, a) ensimmäisen kertaluvun aakkosto. Tällöin pienin joukko, jolle seuraavat ehdot pätevät, on ensimmäisen kertaluvun termien joukko: 1. Jokainen yksilömuuttuja kuuluu tähän joukkoon. [muuttujatermit] 2. Jos f on funktiosymboli ja n on sen ariteetti ja jos t 1,..., t n kuuluvat tähän joukkoon, niin f(t 1,..., t n ) kuuluu tähän joukkoon. [funktiotermit; tapauksessa n = 0 vakiotermit] TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 9/17

10 Ensimmäisen kertaluvun kaavat Olkoon (P, F, a) ensimmäisen kertaluvun aakkosto. Tällöin pienin joukko, jolle seuraavat ehdot pätevät, on ensimmäisen kertaluvun kaavojen joukko: 1. Jokainen lausemuuttuja kuuluu tähän joukkoon. [muuttujakaavat] 2. Jos p on predikaattisymboli ja n on sen ariteetti ja jos t 1,..., t n kuuluvat tähän joukkoon, niin p(t 1,..., t n ) kuuluu tähän joukkoon. [predikaattitermit] 3. Jos p kuuluu tähän joukkoon, niin myös p kuuluu tähän joukkoon. 4. Jos p ja q kuuluvat tähän joukkoon, niin p q, p q, p q, p q, p q, p q, p q ja p q kuuluvat tähän joukkoon. 5. Jos p kuuluu tähän joukkoon ja x on yksilömuuttuja, niin ( x)p ja ( x)p kuuluvat tähän joukkoon. TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 10/17

11 Vapaat ja sidotut muuttujat Yksilömuuttuja esiintyy vapaana kaavassa, jos se ylipäätään esiintyy kaavassa ja ainakin yksi esiintymä ei ole sellaisen kvanttorin sisällä, jossa kyseinen muuttuja toimii kvanttorimuuttujana. Kvanttori sitoo muuttujansa. Formaalimmin: Olkoon ensimmäisen kertaluvun aakkosto kiinnitetty. Yksilömuuttuja esiintyy termissä vapaana, jos kyseinen termi on muuttujatermi ja kyseinen muuttuja on kyseisen termin muuttuja, tai jos kyseinen termi on funktiotermi ja kyseinen muuttuja esiintyy vapaana jossain kyseisen termin alitermissä. Yksilömuuttuja esiintyy kaavassa vapaana, jos kyseinen kaava ei ole kvanttorikaava ja kyseinen yksilömuuttuja esiintyy jossain kyseisen kaavan välittömässä alikaavassa tai välittömässä alitermissä vapaana, tai jos kyseinen termi on kvanttorikaava ja kyseinen muuttuja esiintyy kyseisen kaavan välittömässä alikaavassa eikä kyseinen muuttuja ole kvanttorin muuttuja. TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 11/17

12 Korvaukset Vapaa (yksilö)muuttuja voidaan (ja joskus pitää) korvata toisella yksilömuuttujalla vapaasti. Tämä ei muuta kaavan tai termin merkitystä sinänsä miksikään. Merkintä e[x/t] tarkoittaa, että kaavassa tai termissä e korvataan kaikki x:n vapaat esiintymät termillä t. Kuitenkin jos korvaus johtaisi vapaan muuttujan sidontaan, niin sidottu muuttuja nimetään ensiksi uudelleen. Esimerkiksi: p(x, f(c))[x/f(c)] on p(f(c), f(c)) p(x, y) q(f(x), y)[x/g(f(x)))] on p(g(f(x)), y) q(f(g(f(x))), y) (( x)p(x))[x/y] on ( x)p(x) (( y)p(x))[x/y] on ( z)p(y) TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 12/17

13 Ensimmäisen kertaluvun struktuurit Olkoon (P, F, a) ensimmäisen kertaluvun aakkosto. Kaksikko (U, m), missä U on epätyhjä joukko ja m on kuvaus { f F a(f) = n }:ltä funktioiden U n :ltä U:lle joukolle jokaiselle n sekä kuvaus { p P a(p) = n }:ltä joukon U n osajoukoille jokaiselle n, on ensimmäisen kertaluvun struktuuri. Joukkoa U sanotaan universumiksi, sen alkioita yksilöiksi ja funktiota m tulkintafunktioksi. Käytännössä struktuuri nimeää yksilöt sekä niiden väliset kuvaukset ja suhteet sekä määrää, miten nämä suhtautuvat funktio- ja relaatiosymboleihin. Struktuuri määrää, mikä on näiden symboleiden semantiikka, kuten seuraavalla kalvolla nähdään. TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 13/17

14 Ensimmäisen kertaluvun kielen semantiikka Olkoot ensimmäisen kertaluvun aakkosto ja struktuuri annetut. Termin merkitys annetaan siten, että jos jokaiselle termissä vapaana esiintyvälle yksilömuuttujalle on nimetty jokin yksilö, jota se edustaa, niin termin merkitys on jokin yksilö. Muuttujatermin merkitys on termin muuttujan yksilö. Termin f(t 1,..., t n ) merkitys saadaan kaavasta m(f)( t 1,..., t n ), missä t i on termin t i merkitys. Kaavan merkitys, joka on totuusarvo, kun vapaiden muuttujien yksilöt on annettu, rakennetaan niin kuin voisi olettaa ei-kvanttori-tapauksissa. Kaavan ( x)p totuusarvo on tosi, jos on olemassa joku yksilö siten, että p:n totuusarvo on tosi, kun x:n yksilöksi on nimetty tuo yksilö. Kaavan ( x)p totuusarvo on tosi, jos p:n totuusarvo on tosi riippumatta siitä, mikä yksilö on nimetty x:n yksilöksi. TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 14/17

15 Päättely Seuraus (engl. sequent) on kahden kaavajoukon muodostama pari. Kumpi tahansa joukko voi olla tyhjä. Seuraus jossa ensimmäiseen joukkoon kuuluvat P ja Q ja toiseen joukkoon kuuluvat P Q ja P Q, kirjoitetaan P, Q P Q, P Q. Epämuodollisesti: seuraus P 1,..., P n Q 1,..., Q m pitää paikkaansa jos kaava (P 1 P n ) (Q 1 Q m ) on tosi. Päätelmä (engl. inference) on seurausten jono, jossa kukin seuraus, ensimmäistä lukuunottamatta, on saatu sitä edeltävistä yhtä päättelysääntöä käyttämällä. TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 15/17

16 Päättelysäännöt 1 Aksiooma Γ 1 A, A pitää paikkansa. Vasen heikennys Jos Γ pitää paikkansa niin Γ, A pitää paikkansa. Oikea heikennys Jos Γ pitää paikkansa niin Γ, A pitää paikkansa. -vasen Jos Γ, A pitää paikkansa niin Γ, A pitää paikkaansa. -oikea Jos Γ, A pitää paikkansa niin Γ, A pitää paikkaansa. TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 16/17

17 Seuraava luento: maanantaina 7.2. klo 10 samassa salissa (Ag Beeta). TIE303 Formaalit mentetelmät, p. 17/17

Samankaltaiset tiedostot

LAUSELOGIIKKA (1) Sanalliset ilmaisut ovat usein epätarkkoja. On ilmaisuja, joista voidaan sanoa, että ne ovat tosia tai epätosia, mutta eivät molempia. Ilmaisuja, joihin voidaan liittää totuusarvoja (tosi,