Fermentoinnin toteutustavat 1. Panosfermentointi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Fermentoinnin toteutustavat 1. Panosfermentointi"

Transkriptio

1 Fermentoinnin toteutustavat 1. Panosfermentointi jokaista panosta varten tuotetaan oma siirroste (engl. inoculum; monikko inocula) siirrostelinjassa (inoculum train) varsinainen tuotantoreaktori (fermentori) valmistellaan panosta varten, siirrostetaan, solut kasvavat ja tuottavat tuotteen, fermentointi lopetetaan, tuote otetaan talteen (talteenottoprosessi eli jälkikäsittelyprosessi; DSP: downstream processing) fermentointipanoksen aikana fermentoriin ei lisätä (merkittäviä määriä) ravinteita eikä fermentorista oteta pois prosessilientä (= kasvuliuosta = fermentation broth) tuotettua solumassaa hyödynnetään vain kussakin panoksessa Missä kasvuvaiheessa kannattaa siirrostaa pienemmästä isompaan fermentoriin? 1

2 .Panosfermentointi yksinkertainen toteutus; sopii sekä prim. että sek. metaboliiteille pienin riski kontaminaatioille ja tuotantokannan muutoksille (esim. muutokset geenitasolla eli kannan degeneraatio, palautuminen tai plasmidilukumäärän pieneneminen vähäisiä) tuotettua solumassaa hyödynnetään huonosti tuotantoon liittyy paljon luppoaikaa (downtime): panoksen valmistelu, sterilointi, lag-vaihe, fermentorin tyhjennys panoksen jälkeen ja pesu panosfermentoinnissa ei solut tai prosessi ehdi olla steadystate tilassa juuri lainkaan useat panosprosessit on muutettu fed-batch toteutukseen Kaasujen syöttö ja poisto (aerobiset kasvatukset) ei muuta batch-luokitusta panosfermentointi sopii edelleen hyvin, kun prosessi sietää huonosti fed-batchissä syötettävien komponenttien paikallisia pitoisuuseroja (epähomogeenisuus) Miksi tämä korostuu fed-batchissä? 2

3 puolipanoskasvatus Fermentoinnin toteutustavat 2. Fed-batch -fermentointi sopii kaikentyyppisille tuotteille, erityisesti sek. metaboliiteille hyödyntää solumassaa hieman paremmin kuin panosfermentointi syötön avulla voidaan järjestää joidenkin muuttujien suhteen steadystate (= quasi-steady-state); usein tavoitteena välttää ns. overflowmetabolia tai solujen helposti käyttämän hiililähteen (carbon- eli C- source) aiheuttama kataboliittirepressio (ccr: carbon catabolite repression) sovelluksia runsaasti: entsyymien tuotto, antibioottien tuotto, indusoitu proteiinien heterologinen tuotto, aminohappojen tuotto, leivinhiivan tuotto 3

4 4

5 Fed-batch -fermentointi Aloitetaan panoksena Kun kasvu on edennyt haluttuun vaiheeseen, aloitetaan jonkin komponentin syöttö (korkeassa pitoisuudessa) fermentoriin Syöttö lopetetaan viimeistään fermentorin täytyttyä. Seuraavaksi fermentointi lopetetaan ja aloitetaan jälkikäsittelyprosessi. Ja sitten taas uusi fed-batch kasvatus samaan tyyliin Hiivafermentointi rehuvalmisteessa: Heterologisesti (vierasperäinen) fytaasientsyymin tuotto Bacillus subtilisbakteerilla panossyöttöprosessina. Panosvaihe kestää noin viisi tuntia minkä jälkeen alkaa syöttövaihe (vaiheet eivät erotu kuvassa). Fytaasin tuotto saadaan aikaan indusoimalla ja indusorina toimii fosfaatin loppuminen, mikä käynnistää fytaasientsyymin tuoton. 5

6 Fermentoinnin toteutus 3. Jatkuva fermentointi Fermentori valmistellaan ja siirrostetaan Jatkuva fermentointi aloitetaan panosfermentointina Kun esim. substraattikonsentraatio on laskenut, prosessiin aletaan syöttää ravinneliuosta ja vastaavasti otetaan fermentorista pois valmista kasvuliuosta Prosessia voi jatkaa periaatteessa loputtomasti; käytännössä viikkoja kuukausia vuosia Prosessi pyritään pitämään tasapainotilassa (steady-state) F in F out Tavallisin toteutus: kemostaatti, jossa F in = F out eli V = vakio V 6

7 jatkuva fermentointi sopii prim. metaboliiteille, parhaiten itse solumassan tuotolle ongelma prim. metaboliiteillakin: kun tuotteen muodostus vähentää solumassan saantoa substraatista, jatkuva fermentointi usein johtaa alhaiseen solupitoisuuteen, mikä taas alentaa volumetrista tuottavuutta Esim. biomassan volumetrinen tuottavuus (Q X ) = spesifinen kasvunopeus (r X ) tuotepitoisuus (X) pitkäkestoisena herkkä kontaminaatioille ja kannan muutoksille vähiten luppoaikaa; parantaa volumetristä tuottonopeutta (g L -1 h -1 ) jatkuva fermentointi, jossa on jatkuva ravinteiden syöttö ja samalla tilavuusvirtauksella kasvuliuoksen poisto fermentorista (kemostaatti) laittaa muuttujat steady-state tilaan (muuttujan arvo ei ole ajan funktio) sovelluksia: esim. SCP:n tuotto (SCP: single cell protein), jätevesien puhdistus muita harvemmin käytettyjä: turbidostaatti (sameus vakio), ph-staatti (ph vakio), A-stat (accelerostat) (laimennusnopeutta lisätään vakionopeudella), D-stat (D=vakio, mutta jonkin komponentin pitoisuutta muutetaan vakionopeudella) 7

8 Muita toteutustapoja Jatkuva fermentointi solujen (osittaisella) palautuksella: solujen erotus (=konsentrointi) poistovirrasta esim. kalvo-suodatuksella, laskeuttamalla tai keskipakoerotuksella (cell recycle) [lohkokaaviona kirjassa s. 115] Jatkuva fermentointi, jossa solut pidätetään fermentorissa (cell retention): esim. siivilän avulla (isot partikkelit), solujen flokkuloinnin avulla tai immobilisoimalla solut kiinteän kantajamateriaaliin Useampivaiheinen jatkuva (eri fermentoreissa erilaiset olosuhteet, esim. tilavuudet voivat poiketa toisistaan) Toistettu panos: panoksen loputtua jätetään pieni osa kasvuliuoksesta siirrosteeksi seuraavaan panokseen 8

9 Kasvun ja toteutusten matemaattisia kuvauksia (malleja) Yleisimmin käytetty kasvumalli: Monod n malli perustuen ajatukseen kasvua rajoittavasta substraatista (pitoisuus kasvuliuoksessa = S) Spesifinen kasvunopeus: dx µ = ( ) t 1 X ( t) X, S, P ovat prosessin tilasuureita Monod n yhtälö: µ = µ max S S + K S Panoskasvatus: dx = µ X X: solupitoisuus [esim. g L -1 ] Y XS : solusaanto S:stä [esim. g g -1 ] ds µ X = + m m S : ylläpitokerroin [esim. g g -1 h -1 ] S X YXS Y PX : kasvuun liittyvä tuotesaanto dp µ X m P : tuottoon liittyvä ylläpitokerroin = + mp X Y K S : kyllästysvakio [mg L -1 tai mm] PX 9

10 Matemaattisia malleja Yksinkertaisimmat mallit perustuvat ainetaseisiin (kokonaisainetase, komponentin ainetase, alkuainetase); voidaan käyttää myös energiataseita Solujen kasvuun liittyvä erityismenetelmä on elektronitase eli pelkistystase, jossa tarkastellaan summareaktioita solujen aineenvaihdunnassa. Aineenvaihduntaa voidaan myös mallittaa aineen ja alkuaineiden häviämättömyyden lakiin perustuen (kts. kirja s. 89) (nämäkin siis tasemalleja), kun metaboliareitit tunnetaan, (kts. metaboliareitit esim. ja 10

11 Bioprosessien mallinnus Mekanistiset ja empiiriset mallit Staattiset ja dynaamiset mallit Bioprosessi on monimutkainen kokonaisuus, jota usein yksinkertaistetaan mallinnuksen yhteydessä Yksinkertaistusten määrää voidaan kuvata solupopulaatioiden ja rakenteen huomioimisen kannalta tyypillisellä nelikentällä (kuva) 11

12 Jatkuva fermentointi Kemostaatissa laimennusnopeus (D) määrää spesifisen kasvunopeuden Kemostaatti on hyvä tutkimusmenetelmä, jossa prosessi ja solut ovat tasapainotilassa (S-S) => voidaan tutkia prosessin ja solujen käyttäytymistä eri tasapainotiloissa Miksi panoskasvatus ei ole tasapainotilassa? dv = F 0 + V in dx F out = 0 ; F = F = F (kemostaatti) = F X in out Solumassatase: d( V X ) Fin X in + = Fout X d( V X ) X in = 0; X out = X ; out V µ X = V dx + = F X X dv µ = = V F V = dx D Jokaisen prosessiin tehdyn muutoksen jälkeen on odotettava uuden tasapainotilan syntymistä; yleensä tämä aika = 5 x viipymäaika = 5 x (1/D) µ = dx 1 X S-S: steady-state = tasapainotila: muuttujien arvot f(t) 12

13 Jatkuva fermentointi Tilasuureet X ja S kemostaatissa Monod n yhtälön avulla: Solumassan tuottonopeus (merkitään Q X ) µ m Sout KS D µ = D D = Sout = K + S µ D S out m KS D X = YXS ( Sin Sout ) X = YXS ( Sin ) µ D KS D QX = D X = D YXS ( Sin ) µ D m m Miten on ratkaistu solumassan tuoton kannalta optimaalinen laimennosnopeus D opt kun oikea vastaus on: KS D opt = µ m (1 ) K + S S in 13

14 Jatkuva fermentointi 14

15 Jatkuva fermentointi solujen palautuksella Kemostaatissa D < µ max, muuten solut huuhtoutuvat ulos fermentorista Toimittaessa lähellä D = µ max on systeemi haavoittuva, koska häiriöt voivat johtaa uloshuuhtoutumiseen Tuotteen volumetrista tuottonopeutta voidaan parantaa palauttamalla osa ulosvirtauksen soluista takaisin fermentoriin solujen konsentroinnin jälkeen* Tyypillinen esimerkki: aktiivilieteprosessi jäteveden puhdistuksessa Mitä ongelmia voit kuvitella liittyvän solujen palautukseen? Kahoot!? 15

16 Perfuusioreaktori biomassan ulkoisella palautuksella Figure Copyright 2012, Elsevier Inc. All rights Reserved.

17 Perfuusioreaktori biomassan sisäisellä palautuksella Figure Copyright 2012, Elsevier Inc. All rights Reserved.

18 Bioprosessitekniikka - Solu tuotantolaitoksena 18

19 Jatkuva fermentointi solujen palautuksella (1+r)F F, S F Ilmastusallas (1+r)F V x dx/=µxv X, S Selkeytys (1-w)F X E, S E Ainetaseet: X:n suhteen/ilmastusallas: µxv + rfx R = (1+r)FX (1) X:n suhteen/koko prosessi: 0 + µxv = (1-w)FX E + wfx R (2) Oletetaan että ylite on puhdasta vettä eli: X E = 0 (1) : µxv + rfx = ( 1+ r)fx R rf, X R, S R F F X µxv = (1 + r) FX rfx R µ = (1 + r) r V V X F XR XR µ = (1 + r r ) µ = D [1 + (1 ) r] V X X F D = = nimellinen laimennusnopeus V R (2) : wf, X R, S R µxv = 0 + wfx R <=> kaikki muodostunut solumassa poistuu ylijäämälietteenä X R 19

20 Fed-batch Usein syöttö on solujen hiililähdettä (esim. glukoosi) hyvin korkeassa pitoisuudessa ja pyrkimyksenä on pitää ko. komponentin pitoisuus fermentorissa lähellä 0 g/l Kaksi tyypillistä tapausta: 1) syöttönopeus on vakio 2) µ on vakio; Mitä on tällöin puolestaan: 1) µ =? 2) F =? 1) V 0 = alkutilavuus fermentorissa F = syöttönopeus X total = solumassan kokonaismäärä (g); X=biomassan pitoisuus (g/l) fermentorissa 2) dx total dv V ( ) Xtotal ( ) X total dx Vt () = V0 + Ft X= = 2 V V dx dv F d(1 / V ) 1 dv = µ X ja = F ja D= huom! = total total V 2 V dx dx F F = ( µ D) X = 0 µ = D D= = V V + F t µ = D V V 0 dv V = µ F = µ V t 0 F V = µ ln kun V V F = µ V e 0 0 dv = µ t µ t = F dv V = V e 0 = µ V µt 0 t t µt 0 µt e e µt µ 0 0 V = F = µ V e = µ V = V ( e 1) feed kts. sivu 801 µ pienenee kasvatuksen edetessä, sillä tilavuus V kasvaa ja siten suhde F/V pienenee 20

21 Hyvin perinteinen käymisprosessi teekkarikylässä: 21

Fermentoinnin toteutustavat Panosfermentointi

Fermentoinnin toteutustavat Panosfermentointi Fermentoinnin toteutustavat Panosfermentointi jokaista panosta varten tuotetaan oma siirroste (engl. inoculum; monikko inocula) siirrostelinjassa (inoculum train) varsinainen tuotantoreaktori (fermentori)

Lisätiedot

Toteutustavat - sovelluksia

Toteutustavat - sovelluksia Toteutustavat - sovelluksia Panosfermentointi yksinkertainen toteutus; sopii sekä prim. että sek. metaboliiteille pienin riski kontaminaatioille ja tuotantokannan muutoksille (esim. muutokset geenitasolla

Lisätiedot

Solu tuotantolaitoksena Cell factory

Solu tuotantolaitoksena Cell factory olu tuotantolaitoksena Cell factory Bioteknisiä prosesseja, joissa biokatalyyttinä toimivat solut kutsutaan fermentoinniksi/fermentaatioksi/fermentointi-prosesseiksi Mitä sana fermentaatio alun perin tarkoittaa?

Lisätiedot

Solu tuotantolaitoksena Cell factory

Solu tuotantolaitoksena Cell factory Solu tuotantolaitoksena Cell factory Bioteknisiä prosesseja, joissa biokatalyyttinä toimivat solut kutsutaan fermentoinniksi / fermentaatioksi / fermentointiprosesseiksi Tuotteena voi olla solumassa itse

Lisätiedot

BIOREAKTORIT CHEM C2310 Bioprosessitekniikka Tero Eerikäinen

BIOREAKTORIT CHEM C2310 Bioprosessitekniikka Tero Eerikäinen BIOREAKTORIT CHEM C2310 Bioprosessitekniikka Tero Eerikäinen 21.3.2017 Bioprosessin kehitystyö Bioreaktorit Reaktorin tyyppi: sekoitussäiliö, ilmastuksella ohjattu ilman mekaanista sekoittamista, tulppavirta,

Lisätiedot

Solu tuotantolaitoksena Cell factory

Solu tuotantolaitoksena Cell factory Solu tuotantolaitoksena Cell factory Bioteknisiä prosesseja, joissa biokatalyyttinä toimivat solut kutsutaan fermentoinniksi / fermentaatioksi / fermentointiprosesseiksi Tuotteena voi olla solumassa itse

Lisätiedot

PROSESSITEKNIIKAN PERUSTA 2011 Bioprosessitekniikan mahdollisuudet. Biotekniikan määritelmä

PROSESSITEKNIIKAN PERUSTA 2011 Bioprosessitekniikan mahdollisuudet. Biotekniikan määritelmä Biotekniikan määritelmä Biotekniikka yhdistää luonnontieteitä ja insinööritieteitä tavalla, joka mahdollistaa elävien organismien, solujen ja niiden osien ja molekyylien sekä molekyylianalogien hyödyntämisen

Lisätiedot

BIOREAKTORIT CHEM C2310 Bioprosessitekniikka Tero Eerikäinen

BIOREAKTORIT CHEM C2310 Bioprosessitekniikka Tero Eerikäinen BIOREAKTORIT CHEM C2310 Bioprosessitekniikka Tero Eerikäinen Bioreaktorit Reaktorin tyyppi: sekoitussäiliö, ilmastuksella ohjattu ilman mekaanista sekoittamista, tulppavirta, kiinteän olomuodon Reaktorin

Lisätiedot

BIOprosessitekniikka - Johdanto

BIOprosessitekniikka - Johdanto Bioprosessitekniikka BIOprosessitekniikka - Johdanto Tero Eerikäinen 1979 TKK Kemia 1980-1981 Laivasto 1986 DI 1989 TkL 1993 TkT 1991-1992 Detmold Saksa; tutkija 1989-1998 TKK laboratorioinsinööri 1998-2003

Lisätiedot

BIOprosessitekniikka - Johdanto

BIOprosessitekniikka - Johdanto Bioprosessitekniikka BIOprosessitekniikka - Johdanto Tero Eerikäinen 1979 TKK Kemia 1980-1981 Laivasto 1986 DI 1989 TkL 1993 TkT 1991-1992 Detmold Saksa; tutkija 1989-1998 TKK laboratorioinsinööri 1998-2003

Lisätiedot

Substraatin gradientin vaikutus leivinhiivan panossyöttöprosessissa

Substraatin gradientin vaikutus leivinhiivan panossyöttöprosessissa Valtteri Walta Substraatin gradientin vaikutus leivinhiivan panossyöttöprosessissa Metropolia Ammattikorkeakoulu Insinööri (AMK) Bio- ja elintarviketekniikka Insinöörityö 26.5.2014 Tiivistelmä Tekijä Otsikko

Lisätiedot

ja piirrä sitä vastaavat kaksi käyrää ja tarkista ratkaisusi kuvastasi.

ja piirrä sitä vastaavat kaksi käyrää ja tarkista ratkaisusi kuvastasi. Harjoituksia yhtälöryhmistä ja matriiseista 1. Ratkaise yhtälöpari (F 1 ja F 2 ovat tuntemattomia) cos( ) F 1 + cos( ) F 2 = 0 sin( ) F 1 + sin( ) F 2 = -1730, kun = -50 ja = -145. 2. Ratkaise yhtälöpari

Lisätiedot

Tekniikan tohtori Tero Eerikäinen Tekniikan tohtori Ilkka Malinen

Tekniikan tohtori Tero Eerikäinen Tekniikan tohtori Ilkka Malinen Kemian tekniikan korkeakoulu Kemian tekniikan koulutusohjelma Johanna Pennanen FERMENTOINNIN KINEETTINEN MALLI Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomiinsinöörin tutkintoa varten

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

Entsyymit ja niiden tuotanto. Niklas von Weymarn, VTT Erikoistutkija ja tiiminvetäjä

Entsyymit ja niiden tuotanto. Niklas von Weymarn, VTT Erikoistutkija ja tiiminvetäjä Entsyymit ja niiden tuotanto Niklas von Weymarn, VTT Erikoistutkija ja tiiminvetäjä Mitä ovat entsyymit? Entsyymit ovat proteiineja (eli valkuaisaineita), jotka vauhdittavat (katalysoivat) kemiallisia

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää.

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. .. Markkinakysyntä ja joustot a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. Markkinoiden kysyntäkäyrä saadaan laskemalla

Lisätiedot

CHEM-C2310 Bioprosessitekniikka kevät BIOprosessitekniikka - Johdanto

CHEM-C2310 Bioprosessitekniikka kevät BIOprosessitekniikka - Johdanto CHEM-C2310 Bioprosessitekniikka kevät 2018 BIOprosessitekniikka - Johdanto Tero Eerikäinen 1979 TKK Kemia 1980-1981 Laivasto 1986 DI 1989 TkL 1993 TkT 1991-1992 Detmold Saksa; tutkija 1989-1998 TKK laboratorioinsinööri

Lisätiedot

CHEM-C2310 Bioprosessitekniikka kevät BIOprosessitekniikka - Johdanto

CHEM-C2310 Bioprosessitekniikka kevät BIOprosessitekniikka - Johdanto CHEM-C2310 Bioprosessitekniikka kevät 2019 BIOprosessitekniikka - Johdanto BIOprosessitekniikka - Johdanto Tero Eerikäinen 1979 TKK Kemia 1980-1981 Laivasto 1986 DI 1989 TkL 1993 TkT 1991-1992 Detmold

Lisätiedot

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset

Lisätiedot

ehdolla y = f(x1, X2)

ehdolla y = f(x1, X2) 3.3. Kustannusten minimointi * Voiton maksimointi: panosten määrän sopeuttaminen -----> tuotanto * Kustannusten minimointi: tiett tuotannon taso -----> etsitään optimaalisin panoskombinaatio tuottamaan

Lisätiedot

BIOKATALYYSIN MAHDOLLISUUDET

BIOKATALYYSIN MAHDOLLISUUDET PROSESSI- JA YMPÄRISTÖTEKNIIKAN PERUSTA 2013 BIOKATALYYSIN MAHDOLLISUUDET Sanna Taskila Bioprosessitekniikka / Kemiallinen prosessitekniikka 12.12.2013 Biotekniikan määritelmä Biotekniikka yhdistää luonnontieteitä

Lisätiedot

Tutkimuspalvelun onnistuneeseen suoritukseen vaaditaan alla mainittuja asioita:

Tutkimuspalvelun onnistuneeseen suoritukseen vaaditaan alla mainittuja asioita: TARJOUSPYYNTÖ TOHOLAMMIN BIOJALOSTAMON KOEVAIHE 3, laboratorio-osa 1. Koevaiheen 3 laboratorio-osan sisältötavoite Päätavoitteena on testata ja löytää paras maitohappobakteeri nurmikuiduista saatujen sokerien

Lisätiedot

Bioteollisuuden yksikköoperaatiot: jälkikäsittely

Bioteollisuuden yksikköoperaatiot: jälkikäsittely Bioteollisuuden yksikköoperaatiot: jälkikäsittely 18.4.2017 1 Jälkikäsittelyn päävaiheet Solujen erotus tai niiden talteenotto kasvatusliuoksesta Talteen otettujen solujen hajotus (jos solunsisäinen tuote)

Lisätiedot

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin

Lisätiedot

Bioteollisuuden yksikköoperaatiot: Jälkikäsittely

Bioteollisuuden yksikköoperaatiot: Jälkikäsittely Bioteollisuuden yksikköoperaatiot: Jälkikäsittely 17.4.2018 1 Jälkikäsittelyn päävaiheet Solujen erotus tai niiden talteenotto kasvatusliuoksesta Talteen otettujen solujen hajotus (jos solunsisäinen tuote)

Lisätiedot

= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa

= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 8, ratkaisut syyslukukausi 2014 1. 1 kg nestemäistä vettä muuttuu höyryksi lämpötilassa T 100 373,15 K ja paineessa P 1 atm 101325 Pa. Veden tiheys ρ 958 kg/m 3 ja moolimassa

Lisätiedot

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u

Lisätiedot

Liike pyörivällä maapallolla

Liike pyörivällä maapallolla Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

2. Uusiutuvat luonnonvarat: Kalastuksen taloustiede

2. Uusiutuvat luonnonvarat: Kalastuksen taloustiede YLE5 / YET-09 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi. Uusiutuvat luonnonvarat: alastuksen taloustiede Marko Lindroos & Maija Holma Uusiutuvat luonnonvarat alastuksen taloustiede: Luentoteemat.1 Johdanto.

Lisätiedot

FLUPA I, syksy 2009 RIKASTUS. Tehtävä 1.

FLUPA I, syksy 2009 RIKASTUS. Tehtävä 1. FLUP I, syksy 29 RIKSTUS Tehtävä 1. Lyijymalmia rikastetaan 1 t/h vaahdottamalla käyttäen 43 g reagenssia (ksantaattia) malmitonnia kohti. Syötteen, jätteen ja rikasteen kiintoaineiden mineraalikoostumukset

Lisätiedot

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian

Lisätiedot

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y = BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI

Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

LHSf5-1* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden lämpötilakerroin on 2 γ = ( ) RV V b T 2 RTV 2 a V b. m m ( ) m m. = 1.

LHSf5-1* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden lämpötilakerroin on 2 γ = ( ) RV V b T 2 RTV 2 a V b. m m ( ) m m. = 1. S-445 FSIIKK III (ES) Syksy 004, LH 5 Ratkaisut LHSf5-* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden läötilakerroin on R ( b ) R a b Huoaa, että läötilakerroin on annettu oolisen tilavuuden = / ν avulla

Lisätiedot

Jos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.

Jos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0. Mat-.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 1 1. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien profiilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

* Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja valintoja ohjaava periaate.

* Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja valintoja ohjaava periaate. KANSANTALOUSTIETEEN PERUSTEET Yrityksen teoria (Economics luvut 13-14) 14) KTT Petri Kuosmanen Optimointiperiaate a) Yksilöt pyrkivät maksimoimaan hyötynsä. * Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

9. Tila-avaruusmallit

9. Tila-avaruusmallit 9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos

Lisätiedot

Luku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia

Luku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait

Lisätiedot

ENTSYYMIKATA- LYYSIN PERUSTEET (dos. Tuomas Haltia)

ENTSYYMIKATA- LYYSIN PERUSTEET (dos. Tuomas Haltia) ENTSYYMIKATA- LYYSIN PERUSTEET (dos. Tuomas Haltia) Elämän edellytykset: Solun täytyy pystyä (a) replikoitumaan (B) katalysoimaan tarvitsemiaan reaktioita tehokkaasti ja selektiivisesti eli sillä on oltava

Lisätiedot

Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011

Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon termodynamiikkaa 1 DEE-5400 Risto Mikkonen ermodynamiikan ensimmäinen pääsääntö aseraja Ympäristö asetila Q W Suljettuun systeemiin tuotu lämpö + systeemiin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä

Lisätiedot

y + 4y = 0 (1) λ = 0

y + 4y = 0 (1) λ = 0 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen

Lisätiedot

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A

I I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ..07 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.

Lisätiedot

Aseptiikka. Lähes kaikki teolliset fermentoinnit ovat aseptisia ja perustuvat puhdasviljelmiin (= eivät ole sekapopulaatioita)

Aseptiikka. Lähes kaikki teolliset fermentoinnit ovat aseptisia ja perustuvat puhdasviljelmiin (= eivät ole sekapopulaatioita) Aseptiikka Lähes kaikki teolliset fermentoinnit ovat aseptisia ja perustuvat puhdasviljelmiin (= eivät ole sekapopulaatioita) Aseptiikka = 1) Fermentorin ja prosessin aseptinen suunnittelu 2) Sterilointi

Lisätiedot

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät. Kem-9.47 Prosessiautomaation perusteet Tentti.4. Tehtävä. Vaihtoehtotehtävät. Oikea vastaus +,5p, väärä vastaus -,5p ja ei vastausta p Maksimi +5,p ja minimi p TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

YLE 5 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi Kalastuksen taloustiede

YLE 5 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi Kalastuksen taloustiede YLE 5 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi alastuksen taloustiede Marko Lindroos Luentoteemat I Johdanto II SchäferGordon malli III Säätely IV ansainväliset kalastussopimukset SchäferGordon malli Gordon

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

Vakioitu toimintaohje KeBPr-5205 ja 5206 Pellicon Maxi -suodatuslaite

Vakioitu toimintaohje KeBPr-5205 ja 5206 Pellicon Maxi -suodatuslaite Bioprosessitekniikan laboratorio 1/7 Vakioitu toimintaohje KeBPr-505 ja 506 Pellicon Maxi -suodatuslaite Dokumenttinro.: 1048 Versio: pvm: 9.11.01 Laatijat: Tarkastaja: Tarkastaja: Tero Eerikäinen, Heidi

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-5400 Risto Mikkonen 1.1.014 g:n määrittäminen olttokennon toiminta perustuu Gibbsin vapaan energian muutokseen. ( G = TS) Ideaalitapauksessa

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot

BIOLOGINEN FOSFORIN- JA TYPENPOISTO

BIOLOGINEN FOSFORIN- JA TYPENPOISTO BIOLOGINEN FOSFORIN- JA TYPENPOISTO ORIMATTILA Vääräkosken jätevedenpuhdistamo VÄÄRÄKOSKEN PUHDISTAMO Puhdistamon allastilavuuksia: tulevan veden tasausallas V= 300 m 3 sakokaivolieteallas V= 50 m 3 ilmastusallas

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion muutosnopeutta Toinen derivaatta f x = D f x kuvaa muutosnopeuden

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) 4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen

Lisätiedot

1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki

1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Enso Ikonen, Oulun yliopisto, systeemitekniikan laboratorio 2/23 Säätöjärjestelmien suunnittelu 23 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Tehtävänä on suunnitella säätö prosessille ( ) = = ( +)( 2 + )

Lisätiedot

1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS

1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS 1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS Tilastollisissa hahmontunnistusmenetelmissä piirteitä tarkastellaan tilastollisina muuttujina Luokittelussa käytetään hyväksi seuraavia tietoja: luokkien a priori tn:iä,

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Panosprosessien integroitu hallinta

Panosprosessien integroitu hallinta Panosprosessien integroitu hallinta Jari Hämäläinen VTT Tuotteet ja tuotanto jari.hamalainen@vtt.fi Panosprosessien integroitu hallinta - PINHA 1.10.1999-31.1.2003 Kehitettiin uusia simulointiin ja optimointiin

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

VLT 6000 HVAC vakiopaineen säädössä ja paine-erosäädössä. (MBS 3000, 0-10V)

VLT 6000 HVAC vakiopaineen säädössä ja paine-erosäädössä. (MBS 3000, 0-10V) VLT 6000 HVAC vakiopaineen säädössä ja paine-erosäädössä. (MBS 3000, 0-10V) 1 VLT 6000 HVAC Sovellusesimerkki 1 - Vakiopaineen säätö vedenjakelujärjestelmässä Vesilaitoksen vedenkysyntä vaihtelee runsaasti

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G: 7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

PULLEAT JA VALTAVAT VAAHTOKARKIT

PULLEAT JA VALTAVAT VAAHTOKARKIT sivu 1/6 PULLEAT JA VALTAVAT VAAHTOKARKIT LUOKKA-ASTE/KURSSI Soveltuu ala-asteelle, mutta myös yläkouluun syvemmällä teoriataustalla. ARVIOTU AIKA n. 1 tunti TAUSTA Ilma on kaasua. Se on yksi kolmesta

Lisätiedot

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

Luku 19 Voiton maksimointi

Luku 19 Voiton maksimointi Kevät 00 Luku 9 Voiton maksimointi Edellisessä luvussa tarkastelimme yrityksen teknologisia rajoitteita ja niiden vaikutusta tuotantoon. Tuotannon syntymistä tuotannontekijöistä katsottiin niin samatuotoskäyrien

Lisätiedot

Luku 13 KAASUSEOKSET

Luku 13 KAASUSEOKSET Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2010 Luku 13 KAASUSEOKSET Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction

Lisätiedot

4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet

4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet 4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten partikkelisysteemiin liittyvän suuren säilyminen esitetään tarkastelualueen taseena ja miten massan

Lisätiedot

Polar Pharma Oy Kyttäläntie 8 A 00390 Helsinki. puh. 09 8493 630 info@polarpharma.fi www.polarpharma.fi

Polar Pharma Oy Kyttäläntie 8 A 00390 Helsinki. puh. 09 8493 630 info@polarpharma.fi www.polarpharma.fi Polar Pharma Oy Kyttäläntie 8 A 00390 Helsinki puh. 09 8493 630 info@polarpharma.fi www.polarpharma.fi Suomen vanhin urheilujuoma, joka kehitettiin 80-luvulla. Alun perin Suomen suurimman virvoitusjuomien

Lisätiedot

Mustasotilaskärpäsen toukkien kasvatus Sahalahden sivuvirroissa. BioKierto projekti Sanna Taskila, Oulun yliopisto

Mustasotilaskärpäsen toukkien kasvatus Sahalahden sivuvirroissa. BioKierto projekti Sanna Taskila, Oulun yliopisto Mustasotilaskärpäsen toukkien kasvatus Sahalahden sivuvirroissa BioKierto projekti Sanna Taskila, 21.12.2018 Yleistä Kuva. Mustasotilaskärpäsen toukkia (vasen) ja aikuisia yksilöitä (oikea). (Kuva: Ari

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä

Talousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä Talousmatematiikan perusteet: Luento 16 Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä Integraalin käsite Tarkastellaan auton nopeusmittarilukemaa v(t) ajan t funktiona aikavälillä klo 12.00-17.00

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot