Fermentoinnin toteutustavat 1. Panosfermentointi
|
|
- Seppo Aho
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Fermentoinnin toteutustavat 1. Panosfermentointi jokaista panosta varten tuotetaan oma siirroste (engl. inoculum; monikko inocula) siirrostelinjassa (inoculum train) varsinainen tuotantoreaktori (fermentori) valmistellaan panosta varten, siirrostetaan, solut kasvavat ja tuottavat tuotteen, fermentointi lopetetaan, tuote otetaan talteen (talteenottoprosessi eli jälkikäsittelyprosessi; DSP: downstream processing) fermentointipanoksen aikana fermentoriin ei lisätä (merkittäviä määriä) ravinteita eikä fermentorista oteta pois prosessilientä (= kasvuliuosta = fermentation broth) tuotettua solumassaa hyödynnetään vain kussakin panoksessa Missä kasvuvaiheessa kannattaa siirrostaa pienemmästä isompaan fermentoriin? 1
2 .Panosfermentointi yksinkertainen toteutus; sopii sekä prim. että sek. metaboliiteille pienin riski kontaminaatioille ja tuotantokannan muutoksille (esim. muutokset geenitasolla eli kannan degeneraatio, palautuminen tai plasmidilukumäärän pieneneminen vähäisiä) tuotettua solumassaa hyödynnetään huonosti tuotantoon liittyy paljon luppoaikaa (downtime): panoksen valmistelu, sterilointi, lag-vaihe, fermentorin tyhjennys panoksen jälkeen ja pesu panosfermentoinnissa ei solut tai prosessi ehdi olla steadystate tilassa juuri lainkaan useat panosprosessit on muutettu fed-batch toteutukseen Kaasujen syöttö ja poisto (aerobiset kasvatukset) ei muuta batch-luokitusta panosfermentointi sopii edelleen hyvin, kun prosessi sietää huonosti fed-batchissä syötettävien komponenttien paikallisia pitoisuuseroja (epähomogeenisuus) Miksi tämä korostuu fed-batchissä? 2
3 puolipanoskasvatus Fermentoinnin toteutustavat 2. Fed-batch -fermentointi sopii kaikentyyppisille tuotteille, erityisesti sek. metaboliiteille hyödyntää solumassaa hieman paremmin kuin panosfermentointi syötön avulla voidaan järjestää joidenkin muuttujien suhteen steadystate (= quasi-steady-state); usein tavoitteena välttää ns. overflowmetabolia tai solujen helposti käyttämän hiililähteen (carbon- eli C- source) aiheuttama kataboliittirepressio (ccr: carbon catabolite repression) sovelluksia runsaasti: entsyymien tuotto, antibioottien tuotto, indusoitu proteiinien heterologinen tuotto, aminohappojen tuotto, leivinhiivan tuotto 3
4 4
5 Fed-batch -fermentointi Aloitetaan panoksena Kun kasvu on edennyt haluttuun vaiheeseen, aloitetaan jonkin komponentin syöttö (korkeassa pitoisuudessa) fermentoriin Syöttö lopetetaan viimeistään fermentorin täytyttyä. Seuraavaksi fermentointi lopetetaan ja aloitetaan jälkikäsittelyprosessi. Ja sitten taas uusi fed-batch kasvatus samaan tyyliin Hiivafermentointi rehuvalmisteessa: Heterologisesti (vierasperäinen) fytaasientsyymin tuotto Bacillus subtilisbakteerilla panossyöttöprosessina. Panosvaihe kestää noin viisi tuntia minkä jälkeen alkaa syöttövaihe (vaiheet eivät erotu kuvassa). Fytaasin tuotto saadaan aikaan indusoimalla ja indusorina toimii fosfaatin loppuminen, mikä käynnistää fytaasientsyymin tuoton. 5
6 Fermentoinnin toteutus 3. Jatkuva fermentointi Fermentori valmistellaan ja siirrostetaan Jatkuva fermentointi aloitetaan panosfermentointina Kun esim. substraattikonsentraatio on laskenut, prosessiin aletaan syöttää ravinneliuosta ja vastaavasti otetaan fermentorista pois valmista kasvuliuosta Prosessia voi jatkaa periaatteessa loputtomasti; käytännössä viikkoja kuukausia vuosia Prosessi pyritään pitämään tasapainotilassa (steady-state) F in F out Tavallisin toteutus: kemostaatti, jossa F in = F out eli V = vakio V 6
7 jatkuva fermentointi sopii prim. metaboliiteille, parhaiten itse solumassan tuotolle ongelma prim. metaboliiteillakin: kun tuotteen muodostus vähentää solumassan saantoa substraatista, jatkuva fermentointi usein johtaa alhaiseen solupitoisuuteen, mikä taas alentaa volumetrista tuottavuutta Esim. biomassan volumetrinen tuottavuus (Q X ) = spesifinen kasvunopeus (r X ) tuotepitoisuus (X) pitkäkestoisena herkkä kontaminaatioille ja kannan muutoksille vähiten luppoaikaa; parantaa volumetristä tuottonopeutta (g L -1 h -1 ) jatkuva fermentointi, jossa on jatkuva ravinteiden syöttö ja samalla tilavuusvirtauksella kasvuliuoksen poisto fermentorista (kemostaatti) laittaa muuttujat steady-state tilaan (muuttujan arvo ei ole ajan funktio) sovelluksia: esim. SCP:n tuotto (SCP: single cell protein), jätevesien puhdistus muita harvemmin käytettyjä: turbidostaatti (sameus vakio), ph-staatti (ph vakio), A-stat (accelerostat) (laimennusnopeutta lisätään vakionopeudella), D-stat (D=vakio, mutta jonkin komponentin pitoisuutta muutetaan vakionopeudella) 7
8 Muita toteutustapoja Jatkuva fermentointi solujen (osittaisella) palautuksella: solujen erotus (=konsentrointi) poistovirrasta esim. kalvo-suodatuksella, laskeuttamalla tai keskipakoerotuksella (cell recycle) [lohkokaaviona kirjassa s. 115] Jatkuva fermentointi, jossa solut pidätetään fermentorissa (cell retention): esim. siivilän avulla (isot partikkelit), solujen flokkuloinnin avulla tai immobilisoimalla solut kiinteän kantajamateriaaliin Useampivaiheinen jatkuva (eri fermentoreissa erilaiset olosuhteet, esim. tilavuudet voivat poiketa toisistaan) Toistettu panos: panoksen loputtua jätetään pieni osa kasvuliuoksesta siirrosteeksi seuraavaan panokseen 8
9 Kasvun ja toteutusten matemaattisia kuvauksia (malleja) Yleisimmin käytetty kasvumalli: Monod n malli perustuen ajatukseen kasvua rajoittavasta substraatista (pitoisuus kasvuliuoksessa = S) Spesifinen kasvunopeus: dx µ = ( ) t 1 X ( t) X, S, P ovat prosessin tilasuureita Monod n yhtälö: µ = µ max S S + K S Panoskasvatus: dx = µ X X: solupitoisuus [esim. g L -1 ] Y XS : solusaanto S:stä [esim. g g -1 ] ds µ X = + m m S : ylläpitokerroin [esim. g g -1 h -1 ] S X YXS Y PX : kasvuun liittyvä tuotesaanto dp µ X m P : tuottoon liittyvä ylläpitokerroin = + mp X Y K S : kyllästysvakio [mg L -1 tai mm] PX 9
10 Matemaattisia malleja Yksinkertaisimmat mallit perustuvat ainetaseisiin (kokonaisainetase, komponentin ainetase, alkuainetase); voidaan käyttää myös energiataseita Solujen kasvuun liittyvä erityismenetelmä on elektronitase eli pelkistystase, jossa tarkastellaan summareaktioita solujen aineenvaihdunnassa. Aineenvaihduntaa voidaan myös mallittaa aineen ja alkuaineiden häviämättömyyden lakiin perustuen (kts. kirja s. 89) (nämäkin siis tasemalleja), kun metaboliareitit tunnetaan, (kts. metaboliareitit esim. ja 10
11 Bioprosessien mallinnus Mekanistiset ja empiiriset mallit Staattiset ja dynaamiset mallit Bioprosessi on monimutkainen kokonaisuus, jota usein yksinkertaistetaan mallinnuksen yhteydessä Yksinkertaistusten määrää voidaan kuvata solupopulaatioiden ja rakenteen huomioimisen kannalta tyypillisellä nelikentällä (kuva) 11
12 Jatkuva fermentointi Kemostaatissa laimennusnopeus (D) määrää spesifisen kasvunopeuden Kemostaatti on hyvä tutkimusmenetelmä, jossa prosessi ja solut ovat tasapainotilassa (S-S) => voidaan tutkia prosessin ja solujen käyttäytymistä eri tasapainotiloissa Miksi panoskasvatus ei ole tasapainotilassa? dv = F 0 + V in dx F out = 0 ; F = F = F (kemostaatti) = F X in out Solumassatase: d( V X ) Fin X in + = Fout X d( V X ) X in = 0; X out = X ; out V µ X = V dx + = F X X dv µ = = V F V = dx D Jokaisen prosessiin tehdyn muutoksen jälkeen on odotettava uuden tasapainotilan syntymistä; yleensä tämä aika = 5 x viipymäaika = 5 x (1/D) µ = dx 1 X S-S: steady-state = tasapainotila: muuttujien arvot f(t) 12
13 Jatkuva fermentointi Tilasuureet X ja S kemostaatissa Monod n yhtälön avulla: Solumassan tuottonopeus (merkitään Q X ) µ m Sout KS D µ = D D = Sout = K + S µ D S out m KS D X = YXS ( Sin Sout ) X = YXS ( Sin ) µ D KS D QX = D X = D YXS ( Sin ) µ D m m Miten on ratkaistu solumassan tuoton kannalta optimaalinen laimennosnopeus D opt kun oikea vastaus on: KS D opt = µ m (1 ) K + S S in 13
14 Jatkuva fermentointi 14
15 Jatkuva fermentointi solujen palautuksella Kemostaatissa D < µ max, muuten solut huuhtoutuvat ulos fermentorista Toimittaessa lähellä D = µ max on systeemi haavoittuva, koska häiriöt voivat johtaa uloshuuhtoutumiseen Tuotteen volumetrista tuottonopeutta voidaan parantaa palauttamalla osa ulosvirtauksen soluista takaisin fermentoriin solujen konsentroinnin jälkeen* Tyypillinen esimerkki: aktiivilieteprosessi jäteveden puhdistuksessa Mitä ongelmia voit kuvitella liittyvän solujen palautukseen? Kahoot!? 15
16 Perfuusioreaktori biomassan ulkoisella palautuksella Figure Copyright 2012, Elsevier Inc. All rights Reserved.
17 Perfuusioreaktori biomassan sisäisellä palautuksella Figure Copyright 2012, Elsevier Inc. All rights Reserved.
18 Bioprosessitekniikka - Solu tuotantolaitoksena 18
19 Jatkuva fermentointi solujen palautuksella (1+r)F F, S F Ilmastusallas (1+r)F V x dx/=µxv X, S Selkeytys (1-w)F X E, S E Ainetaseet: X:n suhteen/ilmastusallas: µxv + rfx R = (1+r)FX (1) X:n suhteen/koko prosessi: 0 + µxv = (1-w)FX E + wfx R (2) Oletetaan että ylite on puhdasta vettä eli: X E = 0 (1) : µxv + rfx = ( 1+ r)fx R rf, X R, S R F F X µxv = (1 + r) FX rfx R µ = (1 + r) r V V X F XR XR µ = (1 + r r ) µ = D [1 + (1 ) r] V X X F D = = nimellinen laimennusnopeus V R (2) : wf, X R, S R µxv = 0 + wfx R <=> kaikki muodostunut solumassa poistuu ylijäämälietteenä X R 19
20 Fed-batch Usein syöttö on solujen hiililähdettä (esim. glukoosi) hyvin korkeassa pitoisuudessa ja pyrkimyksenä on pitää ko. komponentin pitoisuus fermentorissa lähellä 0 g/l Kaksi tyypillistä tapausta: 1) syöttönopeus on vakio 2) µ on vakio; Mitä on tällöin puolestaan: 1) µ =? 2) F =? 1) V 0 = alkutilavuus fermentorissa F = syöttönopeus X total = solumassan kokonaismäärä (g); X=biomassan pitoisuus (g/l) fermentorissa 2) dx total dv V ( ) Xtotal ( ) X total dx Vt () = V0 + Ft X= = 2 V V dx dv F d(1 / V ) 1 dv = µ X ja = F ja D= huom! = total total V 2 V dx dx F F = ( µ D) X = 0 µ = D D= = V V + F t µ = D V V 0 dv V = µ F = µ V t 0 F V = µ ln kun V V F = µ V e 0 0 dv = µ t µ t = F dv V = V e 0 = µ V µt 0 t t µt 0 µt e e µt µ 0 0 V = F = µ V e = µ V = V ( e 1) feed kts. sivu 801 µ pienenee kasvatuksen edetessä, sillä tilavuus V kasvaa ja siten suhde F/V pienenee 20
21 Hyvin perinteinen käymisprosessi teekkarikylässä: 21
Fermentoinnin toteutustavat Panosfermentointi
Fermentoinnin toteutustavat Panosfermentointi jokaista panosta varten tuotetaan oma siirroste (engl. inoculum; monikko inocula) siirrostelinjassa (inoculum train) varsinainen tuotantoreaktori (fermentori)
LisätiedotToteutustavat - sovelluksia
Toteutustavat - sovelluksia Panosfermentointi yksinkertainen toteutus; sopii sekä prim. että sek. metaboliiteille pienin riski kontaminaatioille ja tuotantokannan muutoksille (esim. muutokset geenitasolla
LisätiedotSolu tuotantolaitoksena Cell factory
olu tuotantolaitoksena Cell factory Bioteknisiä prosesseja, joissa biokatalyyttinä toimivat solut kutsutaan fermentoinniksi/fermentaatioksi/fermentointi-prosesseiksi Mitä sana fermentaatio alun perin tarkoittaa?
LisätiedotSolu tuotantolaitoksena Cell factory
Solu tuotantolaitoksena Cell factory Bioteknisiä prosesseja, joissa biokatalyyttinä toimivat solut kutsutaan fermentoinniksi / fermentaatioksi / fermentointiprosesseiksi Tuotteena voi olla solumassa itse
LisätiedotBIOREAKTORIT CHEM C2310 Bioprosessitekniikka Tero Eerikäinen
BIOREAKTORIT CHEM C2310 Bioprosessitekniikka Tero Eerikäinen 21.3.2017 Bioprosessin kehitystyö Bioreaktorit Reaktorin tyyppi: sekoitussäiliö, ilmastuksella ohjattu ilman mekaanista sekoittamista, tulppavirta,
LisätiedotSolu tuotantolaitoksena Cell factory
Solu tuotantolaitoksena Cell factory Bioteknisiä prosesseja, joissa biokatalyyttinä toimivat solut kutsutaan fermentoinniksi / fermentaatioksi / fermentointiprosesseiksi Tuotteena voi olla solumassa itse
LisätiedotPROSESSITEKNIIKAN PERUSTA 2011 Bioprosessitekniikan mahdollisuudet. Biotekniikan määritelmä
Biotekniikan määritelmä Biotekniikka yhdistää luonnontieteitä ja insinööritieteitä tavalla, joka mahdollistaa elävien organismien, solujen ja niiden osien ja molekyylien sekä molekyylianalogien hyödyntämisen
LisätiedotBIOREAKTORIT CHEM C2310 Bioprosessitekniikka Tero Eerikäinen
BIOREAKTORIT CHEM C2310 Bioprosessitekniikka Tero Eerikäinen Bioreaktorit Reaktorin tyyppi: sekoitussäiliö, ilmastuksella ohjattu ilman mekaanista sekoittamista, tulppavirta, kiinteän olomuodon Reaktorin
LisätiedotBIOprosessitekniikka - Johdanto
Bioprosessitekniikka BIOprosessitekniikka - Johdanto Tero Eerikäinen 1979 TKK Kemia 1980-1981 Laivasto 1986 DI 1989 TkL 1993 TkT 1991-1992 Detmold Saksa; tutkija 1989-1998 TKK laboratorioinsinööri 1998-2003
LisätiedotBIOprosessitekniikka - Johdanto
Bioprosessitekniikka BIOprosessitekniikka - Johdanto Tero Eerikäinen 1979 TKK Kemia 1980-1981 Laivasto 1986 DI 1989 TkL 1993 TkT 1991-1992 Detmold Saksa; tutkija 1989-1998 TKK laboratorioinsinööri 1998-2003
LisätiedotSubstraatin gradientin vaikutus leivinhiivan panossyöttöprosessissa
Valtteri Walta Substraatin gradientin vaikutus leivinhiivan panossyöttöprosessissa Metropolia Ammattikorkeakoulu Insinööri (AMK) Bio- ja elintarviketekniikka Insinöörityö 26.5.2014 Tiivistelmä Tekijä Otsikko
Lisätiedotja piirrä sitä vastaavat kaksi käyrää ja tarkista ratkaisusi kuvastasi.
Harjoituksia yhtälöryhmistä ja matriiseista 1. Ratkaise yhtälöpari (F 1 ja F 2 ovat tuntemattomia) cos( ) F 1 + cos( ) F 2 = 0 sin( ) F 1 + sin( ) F 2 = -1730, kun = -50 ja = -145. 2. Ratkaise yhtälöpari
LisätiedotTekniikan tohtori Tero Eerikäinen Tekniikan tohtori Ilkka Malinen
Kemian tekniikan korkeakoulu Kemian tekniikan koulutusohjelma Johanna Pennanen FERMENTOINNIN KINEETTINEN MALLI Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomiinsinöörin tutkintoa varten
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
LisätiedotEntsyymit ja niiden tuotanto. Niklas von Weymarn, VTT Erikoistutkija ja tiiminvetäjä
Entsyymit ja niiden tuotanto Niklas von Weymarn, VTT Erikoistutkija ja tiiminvetäjä Mitä ovat entsyymit? Entsyymit ovat proteiineja (eli valkuaisaineita), jotka vauhdittavat (katalysoivat) kemiallisia
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedota) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää.
.. Markkinakysyntä ja joustot a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää. Markkinoiden kysyntäkäyrä saadaan laskemalla
LisätiedotCHEM-C2310 Bioprosessitekniikka kevät BIOprosessitekniikka - Johdanto
CHEM-C2310 Bioprosessitekniikka kevät 2018 BIOprosessitekniikka - Johdanto Tero Eerikäinen 1979 TKK Kemia 1980-1981 Laivasto 1986 DI 1989 TkL 1993 TkT 1991-1992 Detmold Saksa; tutkija 1989-1998 TKK laboratorioinsinööri
LisätiedotCHEM-C2310 Bioprosessitekniikka kevät BIOprosessitekniikka - Johdanto
CHEM-C2310 Bioprosessitekniikka kevät 2019 BIOprosessitekniikka - Johdanto BIOprosessitekniikka - Johdanto Tero Eerikäinen 1979 TKK Kemia 1980-1981 Laivasto 1986 DI 1989 TkL 1993 TkT 1991-1992 Detmold
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
Lisätiedotehdolla y = f(x1, X2)
3.3. Kustannusten minimointi * Voiton maksimointi: panosten määrän sopeuttaminen -----> tuotanto * Kustannusten minimointi: tiett tuotannon taso -----> etsitään optimaalisin panoskombinaatio tuottamaan
LisätiedotBIOKATALYYSIN MAHDOLLISUUDET
PROSESSI- JA YMPÄRISTÖTEKNIIKAN PERUSTA 2013 BIOKATALYYSIN MAHDOLLISUUDET Sanna Taskila Bioprosessitekniikka / Kemiallinen prosessitekniikka 12.12.2013 Biotekniikan määritelmä Biotekniikka yhdistää luonnontieteitä
LisätiedotTutkimuspalvelun onnistuneeseen suoritukseen vaaditaan alla mainittuja asioita:
TARJOUSPYYNTÖ TOHOLAMMIN BIOJALOSTAMON KOEVAIHE 3, laboratorio-osa 1. Koevaiheen 3 laboratorio-osan sisältötavoite Päätavoitteena on testata ja löytää paras maitohappobakteeri nurmikuiduista saatujen sokerien
LisätiedotBioteollisuuden yksikköoperaatiot: jälkikäsittely
Bioteollisuuden yksikköoperaatiot: jälkikäsittely 18.4.2017 1 Jälkikäsittelyn päävaiheet Solujen erotus tai niiden talteenotto kasvatusliuoksesta Talteen otettujen solujen hajotus (jos solunsisäinen tuote)
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotBioteollisuuden yksikköoperaatiot: Jälkikäsittely
Bioteollisuuden yksikköoperaatiot: Jälkikäsittely 17.4.2018 1 Jälkikäsittelyn päävaiheet Solujen erotus tai niiden talteenotto kasvatusliuoksesta Talteen otettujen solujen hajotus (jos solunsisäinen tuote)
Lisätiedot= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 8, ratkaisut syyslukukausi 2014 1. 1 kg nestemäistä vettä muuttuu höyryksi lämpötilassa T 100 373,15 K ja paineessa P 1 atm 101325 Pa. Veden tiheys ρ 958 kg/m 3 ja moolimassa
LisätiedotDiskreettiaikainen dynaaminen optimointi
Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u
LisätiedotLiike pyörivällä maapallolla
Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotTässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen
KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen
Lisätiedot2. Uusiutuvat luonnonvarat: Kalastuksen taloustiede
YLE5 / YET-09 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi. Uusiutuvat luonnonvarat: alastuksen taloustiede Marko Lindroos & Maija Holma Uusiutuvat luonnonvarat alastuksen taloustiede: Luentoteemat.1 Johdanto.
LisätiedotFLUPA I, syksy 2009 RIKASTUS. Tehtävä 1.
FLUP I, syksy 29 RIKSTUS Tehtävä 1. Lyijymalmia rikastetaan 1 t/h vaahdottamalla käyttäen 43 g reagenssia (ksantaattia) malmitonnia kohti. Syötteen, jätteen ja rikasteen kiintoaineiden mineraalikoostumukset
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
Lisätiedot2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotLuku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI
Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2011 Luku 4 SULJETTUJEN SYSTEEMIEN ENERGIA- ANALYYSI Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotLHSf5-1* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden lämpötilakerroin on 2 γ = ( ) RV V b T 2 RTV 2 a V b. m m ( ) m m. = 1.
S-445 FSIIKK III (ES) Syksy 004, LH 5 Ratkaisut LHSf5-* Osoita, että van der Waalsin kaasun tilavuuden läötilakerroin on R ( b ) R a b Huoaa, että läötilakerroin on annettu oolisen tilavuuden = / ν avulla
LisätiedotJos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.
Mat-.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 1 1. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien profiilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Lisätiedot* Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja valintoja ohjaava periaate.
KANSANTALOUSTIETEEN PERUSTEET Yrityksen teoria (Economics luvut 13-14) 14) KTT Petri Kuosmanen Optimointiperiaate a) Yksilöt pyrkivät maksimoimaan hyötynsä. * Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
Lisätiedot9. Tila-avaruusmallit
9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos
LisätiedotLuku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia
Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait
LisätiedotENTSYYMIKATA- LYYSIN PERUSTEET (dos. Tuomas Haltia)
ENTSYYMIKATA- LYYSIN PERUSTEET (dos. Tuomas Haltia) Elämän edellytykset: Solun täytyy pystyä (a) replikoitumaan (B) katalysoimaan tarvitsemiaan reaktioita tehokkaasti ja selektiivisesti eli sillä on oltava
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
Lisätiedotvetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen
DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon termodynamiikkaa 1 DEE-5400 Risto Mikkonen ermodynamiikan ensimmäinen pääsääntö aseraja Ympäristö asetila Q W Suljettuun systeemiin tuotu lämpö + systeemiin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA!
ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto TERVETULOA! Luento 14.9.2015 / T. Paloposki / v. 03 Tämän päivän ohjelma: Aineen tilan kuvaaminen pt-piirroksella ja muilla piirroksilla, faasimuutokset Käsitteitä
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotI I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A
II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ..07 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.
LisätiedotAseptiikka. Lähes kaikki teolliset fermentoinnit ovat aseptisia ja perustuvat puhdasviljelmiin (= eivät ole sekapopulaatioita)
Aseptiikka Lähes kaikki teolliset fermentoinnit ovat aseptisia ja perustuvat puhdasviljelmiin (= eivät ole sekapopulaatioita) Aseptiikka = 1) Fermentorin ja prosessin aseptinen suunnittelu 2) Sterilointi
LisätiedotTehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.
Kem-9.47 Prosessiautomaation perusteet Tentti.4. Tehtävä. Vaihtoehtotehtävät. Oikea vastaus +,5p, väärä vastaus -,5p ja ei vastausta p Maksimi +5,p ja minimi p TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotYLE 5 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi Kalastuksen taloustiede
YLE 5 Luonnonvarataloustieteen jatkokurssi alastuksen taloustiede Marko Lindroos Luentoteemat I Johdanto II SchäferGordon malli III Säätely IV ansainväliset kalastussopimukset SchäferGordon malli Gordon
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotVakioitu toimintaohje KeBPr-5205 ja 5206 Pellicon Maxi -suodatuslaite
Bioprosessitekniikan laboratorio 1/7 Vakioitu toimintaohje KeBPr-505 ja 506 Pellicon Maxi -suodatuslaite Dokumenttinro.: 1048 Versio: pvm: 9.11.01 Laatijat: Tarkastaja: Tarkastaja: Tero Eerikäinen, Heidi
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
Lisätiedotvetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen
DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-5400 Risto Mikkonen 1.1.014 g:n määrittäminen olttokennon toiminta perustuu Gibbsin vapaan energian muutokseen. ( G = TS) Ideaalitapauksessa
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotBIOLOGINEN FOSFORIN- JA TYPENPOISTO
BIOLOGINEN FOSFORIN- JA TYPENPOISTO ORIMATTILA Vääräkosken jätevedenpuhdistamo VÄÄRÄKOSKEN PUHDISTAMO Puhdistamon allastilavuuksia: tulevan veden tasausallas V= 300 m 3 sakokaivolieteallas V= 50 m 3 ilmastusallas
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion muutosnopeutta Toinen derivaatta f x = D f x kuvaa muutosnopeuden
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
Lisätiedot4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)
4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5) Opimme tässä ja seuraavissa luennoissa että markkinat ovat hyvä tapa koordinoida taloudellista toimintaa (mikä on yksi taloustieteen
Lisätiedot1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki
Enso Ikonen, Oulun yliopisto, systeemitekniikan laboratorio 2/23 Säätöjärjestelmien suunnittelu 23 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Tehtävänä on suunnitella säätö prosessille ( ) = = ( +)( 2 + )
Lisätiedot1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS
1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS Tilastollisissa hahmontunnistusmenetelmissä piirteitä tarkastellaan tilastollisina muuttujina Luokittelussa käytetään hyväksi seuraavia tietoja: luokkien a priori tn:iä,
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotPanosprosessien integroitu hallinta
Panosprosessien integroitu hallinta Jari Hämäläinen VTT Tuotteet ja tuotanto jari.hamalainen@vtt.fi Panosprosessien integroitu hallinta - PINHA 1.10.1999-31.1.2003 Kehitettiin uusia simulointiin ja optimointiin
LisätiedotRatkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy
Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotVLT 6000 HVAC vakiopaineen säädössä ja paine-erosäädössä. (MBS 3000, 0-10V)
VLT 6000 HVAC vakiopaineen säädössä ja paine-erosäädössä. (MBS 3000, 0-10V) 1 VLT 6000 HVAC Sovellusesimerkki 1 - Vakiopaineen säätö vedenjakelujärjestelmässä Vesilaitoksen vedenkysyntä vaihtelee runsaasti
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
LisätiedotProbabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto
Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita
Lisätiedot(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:
7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
LisätiedotPULLEAT JA VALTAVAT VAAHTOKARKIT
sivu 1/6 PULLEAT JA VALTAVAT VAAHTOKARKIT LUOKKA-ASTE/KURSSI Soveltuu ala-asteelle, mutta myös yläkouluun syvemmällä teoriataustalla. ARVIOTU AIKA n. 1 tunti TAUSTA Ilma on kaasua. Se on yksi kolmesta
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotLuku 19 Voiton maksimointi
Kevät 00 Luku 9 Voiton maksimointi Edellisessä luvussa tarkastelimme yrityksen teknologisia rajoitteita ja niiden vaikutusta tuotantoon. Tuotannon syntymistä tuotannontekijöistä katsottiin niin samatuotoskäyrien
LisätiedotLuku 13 KAASUSEOKSET
Thermodynamics: An Engineering Approach, 7 th Edition Yunus A. Cengel, Michael A. Boles McGraw-Hill, 2010 Luku 13 KAASUSEOKSET Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction
Lisätiedot4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen. KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet
4. Kontrollitilavuusajattelu ja massan säilyminen KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet Päivän anti Miten partikkelisysteemiin liittyvän suuren säilyminen esitetään tarkastelualueen taseena ja miten massan
LisätiedotPolar Pharma Oy Kyttäläntie 8 A 00390 Helsinki. puh. 09 8493 630 info@polarpharma.fi www.polarpharma.fi
Polar Pharma Oy Kyttäläntie 8 A 00390 Helsinki puh. 09 8493 630 info@polarpharma.fi www.polarpharma.fi Suomen vanhin urheilujuoma, joka kehitettiin 80-luvulla. Alun perin Suomen suurimman virvoitusjuomien
LisätiedotMustasotilaskärpäsen toukkien kasvatus Sahalahden sivuvirroissa. BioKierto projekti Sanna Taskila, Oulun yliopisto
Mustasotilaskärpäsen toukkien kasvatus Sahalahden sivuvirroissa BioKierto projekti Sanna Taskila, 21.12.2018 Yleistä Kuva. Mustasotilaskärpäsen toukkia (vasen) ja aikuisia yksilöitä (oikea). (Kuva: Ari
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 16 Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä Integraalin käsite Tarkastellaan auton nopeusmittarilukemaa v(t) ajan t funktiona aikavälillä klo 12.00-17.00
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedot