Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen. Stefan Emet

Transkriptio

1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen Stefan Emet Matematiikan ja tilastotieteen lts Turun yliopisto 24

2 Sisältö Johdanto. Todennäköisyys Peruskäsitteitä Kolmogorovin aksioomat Otanta ja kombinatoriikka Järjestetty otanta Järjestämätön otanta Ehdollinen todennäköisyys Riippumattomuus Satunnaismuuttujat 7 2. Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvia jakaumia Summat ja keskeinen raja-arvolause Tilastotiedettä 4 3. Odotusarvon ja varianssin estimointi Hypoteesitestauksesta Testauksen virheistä

3 Luku Johdanto. Todennäköisyys Todennäköisyys on tärkeä käsite tilastotieteessä ja luonnontieteissä. Usein halutaan esimerkiksi tietää, kuinka suuret ovat voitonmahdollisuudet, mitkä ovat eri puolueiden kannatusluvut, kuinka varma jokin mitattu tulos on jne. Todennäköisyyslaskennan avulla mallinnetaan ja arvioidaan kuinka suurella todennäköisyydellä jokin tietty tapaus tapahtuu. Määritelmä.. Kokeen eri tulokset ovat alkeistapauksia ω ja kaikkien alkeistapausten joukko on otosavaruus Ω. Esimerkki.. a) Mikäli yhtä noppaa heitetään kerran, otosavaruus on Ω = { ykkönen, kakkonen, kolmonen, nelonen, viitonen, kuutonen}. Tapaus A = silmäluku on suurempi kuin kaksi on A = { kolmonen, nelonen, viitonen, kuutonen}. Tapaus A siis tapahtuu jos saadaan vähintään kolmonen. b) Mikäli noppaa heitetään kaksi kertaa, otosavaruus on Ω = {(, ), (, 2),..., (6, 6)}. Alkeistapauksia on yhteensä 36 kappaletta. Tapaus A = silmälukujen summa on 8 on havainnollistettu alla olevan taulukon avulla, johon on kirjattu kahden heiton summa. Taulukko.: Kahden nopanheiton summa Taulukosta nähdään, että on 5 tapausta, jossa summa on 8. Todennäköisyys, että summa on 8, on klassisen määritelmän mukaan 5 =.389. Vastaavasti saadaan todennäköisyys, 36 että summa on pienempi kuin 8 on 2 =

4 Johdanto 2 Todennäköisyyslaskennassa tapauksen A todennäköisyyttä merkitään P (A) ja se voidaan määritellä eri tavoin riippuen tilanteesta. Matemaattisesti ajatellen se määritellään funktiona, joka antaa otosavaruuden alkioille arvon väliltä nollasta yhteen. Varman tapauksen todennäköisyys on ja mahdottoman tapauksen todennäköisyys on. Edellisessä esimerkissä voidaan olettaa, että nopalla on säännölliset sivut, jolloin kaikilla (kuudella) silmäluvuilla on sama todennäköisyys. Tämä on ns. klassinen määritelmä, jossa oletetaan, että kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todennäköisiä. Määritelmä.2 (Klassinen todennäköisyys). Oletetaan, että otosavaruudessa Ω on alkeistapauksia Ω kappaletta. Olettaen kaikkien alkeistapausten olevan yhtä todennäköisiä yksittäisen alkeistapauksen w i todennäköisyys on P (w i ) = Ω. Mikäli tapaus A sisältää A kappaletta alkeistapauksia, tapauksen A todennäköisyys on P (A) = A Ω. Esimerkki.2. Oletetaan, että hyvin sekoitetusta korttipakasta nostetaan yksi kortti. Merkitään tapaukset = kortin maa on pata ja K = kortti on kuningas. Tällöin P ( ) = 3 4 ja P (K) = Klassisessa määritelmässä oletetaan, että otosavaruus on numeroituva eli kaikille alkioille voidaan asettaa luku. Mikäli otosavaruus on esimerkiksi reaalilukujen väli tai alue tasossa, voidaan todennäköisyyttä laskea geometrian avulla. Esimerkki.3. Bussi kulkee 5 minuutin välein. Oletetaan, että Tauno saapuu bussipysäkille satunnaisena hetkenä. Millä todennäköisyydellä hän joutuu odottamaan korkeintaan 4 minuuttia? Merkitään Taunon saapumisaikaa X:llä, jolloin X [, 5]. Voidaan olettaa, että kaikki saapumisajat välillä [,5] ovat yhtä todennäköisiä, jolloin haettu todennäköisyys saadaan laskemalla suotuisan välin pituuden suhde koko janan pituuteen: P ( Taunon odotusaika korkeintaan 4 min. ) = P ( Tauno saapuu pysäkille viimeistään 4 min. ennen bussia ) = P (X [, 5]) = 4 5 =.267 Vastaavalla tavalla saadaan esimerkiksi todennäköisyys, että odotusaika on vähintään 6 minuuttia: P ( Taunon odotusaika vähintään 6 min. ) = P ( Tauno saapuu pysäkille vähintään 6 min. ennen bussia ) = P (X [, 9]) = 9 5 =.6

5 Johdanto 3 Esimerkki.4. Poika ja tyttö saapuvat kohtaamispaikalle toisistaan riippumatta satunnaisena hetkenä aikavälillä Poika odottaa tyttöä korkeintaan 2 min, ja tyttö odottaa poikaa korkeintaan 5 min. Kumpikin odottaa korkeintaan klo 9. saakka. Millä todennäköisyydellä poika ja tyttö tapaavat toisensa? Merkitään pojan ja tytön saapumisajat p:llä ja t:llä ja määritellään, että minuuteissa p [, 6] ja t [, 6]. Tapaaminen tapahtuu, jos poika saapuu paikalle enintään 2 minuuttia ennen tyttöä tai viimeistään 5 minuuttia tytön jälkeen: { t p + 2, p t + 5. Ehto tapaamiselle voidaan kirjoittaa t 2 p t+5 tai ekvivalenttisti p 5 t p+2. Alla olevaan kuvaan on merkitty suotuisa alue, jossa tapaaminen tapahtuu t p 5 t p+2 3 p 5 t p+2 p 5 t p p Kuva.: Tytön ja pojan mahdolliset saapumisajat. Todennäköisyys, että tyttö ja poika tapaavat saadaan pinta-alojen suhteiden avulla: P ( Tyttö ja poika tapaavat ) = P (t 2 p t + 5) = suotuisan alueen pinta-ala koko alueen pinta-ala = =.3576 Toinen tapa määritellä todennäköisyyttä on tarkastella kokeiden avulla, kuinka monta koetta onnistuu. Määritelmä.3 (Frekvenssitulkinta). Oletetaan, että koetta toistetaan n kertaa ja tapaus w i sattuu f i kertaa. Tällöin saadaan likiarvo tapauksen w i :n todennäköisyydelle P (w i ) f i n. Tällä tavalla saadaan kokeiden avulla empiirisesti havaintoja eri alkeistapausten suhteellisista frekvensseistä. Tämä on suurten lukujen lain seuraus.

6 Johdanto 4 Esimerkki.5. Lanttia heitettiin kertaa ja saatiin alla olevan taulukon mukaiset tulokset. Taulukosta nähdään, että klaavan suhteellinen frekvenssi vaihtelee.5 ympäri. Jatkamalla lantin heittämistä kyseinen vaihteluväli pienenee. Taulukko.2. Lantin heitto ja klaavojen lukumäärää. Heittojen lkm Klaavojen lkm Klaavan suhteellinen frekvenssi Kolmas tapa määritellä todennäköisyyttä on ns. subjektiivinen, jolloin henkilö tekee oman arvionsa todennäköisyydestä. Esimerkki.6. Oleta, että Matti sanoo menevänsä huomenna lenkille 5 prosentin todennäköisyydellä. Tätä voidaan pitää subjektiivisena arviona. Mikäli tiedetään, että Matti käy keskimäärin neljä kertaa viikossa lenkillä, saadaan likimääräinen arvo 4 7 todennäköisyydelle, että hän käy satunnaisena päivänä lenkillä..2 Peruskäsitteitä Todennäköisyyslaskennassa sovelletaan joukko-opin merkintöjä ja operaatioita. Joukkojen A ja B leikkaus merkitään A B. Tulkinta on, että A B tapahtuu, kun molemmat tapaukset A ja B tapahtuvat. Vastaavasti, unionin avulla merkitään A B, joka tapahtuu, kun ainakin toinen tapauksista A ja/tai B sattuu. Kahden joukon erotus merkitään A\ B tai A B ja se koostuu alkioista, jotka kuuluvat joukkoon A, mutta eivät kuulu joukkoon B. Tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota ja se merkitään symbolilla. Kaikki alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A kuuluvat sen komplementtiin A c. Näiden unioni muodostavat koko otosavaruuden, eli A A c = Ω ja A A c =. Joukon komplementti voidaan myös kirjoittaa otosavaruuden ja joukon erotuksena: A c = Ω A. Venn-diagrammin avulla voidaan helposti esitellä yllä mainittuja käsitteitä. Ω Ω A B A A B B (a) unioni A B (b) leikkaus A B Kuva.2: Venn-diagrammeja unionista ja leikkauksesta.

7 Johdanto 5 Esimerkki.7. Olkoon A Ω, eli A on otosavaruuden osajoukko. Tällöin pätee, että A A c = Ω, A Ω = A ja A Ω = Ω. Vastaavasti tyhjälle joukolle pätee A =, A = A ja = =. Selvästi tapaus A ja sen komplementti A c eivät voi tapahtua samaan aikaan, eli joko A tapahtuu tai sen komplementti tapahtuu. Tapaus A ja sen komplementti ovat ns. toisensa poissulkevia. Määritelmä.4. Tapaukset A ja B ovat toisensa poissulkevat, jos A B =. Yleisesti määritellään, että tapaukset A i, i =,..., n, ovat toisensa poissulkevat jos A i A j = kaikille i j. Esimerkki.8. Oletetaan, että hyvin sekoitetusta korttipakasta nostetaan yksi kortti. Merkitään tapaukset = kortin maa on hertta, K = kortti on kuningas ja A = kortti on ässä. Tällöin tapaukset K ja A ovat toisensa poissulkevat, mutta K ja A. Esimerkki.9. Eräässä kylässä on nuorta, joista 2 pelaa pesäpalloa, 6 harrastaa painia ja 4 hiihtää. Nuorista 8 pesäpalloilee ja painii, 5 pesäpalloilee ja hiihtää sekä 4 painii ja hiihtää. Kaikkia lajeja harrastaa 2 nuorta. Merkitse alla olevaan Venn-diagrammiin annetut osuudet. Päättele diagrammista, millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu henkilö a) ei harrasta mitään; b) pesäpalloilee, mutta ei paini eikä hiihdä? Pesäpallo Paini Hiihto Kuva.3: Kylän nuorten harrastukset.

8 Johdanto 6 Lause. Unionille ja leikkaukselle pätevät seuraavat distributiivilait: ( n ) A (B C) = (A B) (A C), A B i = n (A B i ). ( n ) A (B C) = (A B) (A C), A B i = n (A B i ). Lause 2. Komplementille pätee de Morganin kaavat: ( n ) c (A B) c = A c B c, A i = n A c i. ( n ) c (A B) c = A c B c, A i = n A c i. Esimerkki.. Tarkastellaan toisensa poissulkevat tapaukset A, B ja C, jolle P (A) =, P (B) = ja P (C) =. Tapaus, että ainakin yksi tapahtuu voidaan lausua A B C Edellisen lauseen avulla saadaan tapaus, ettei yksikään A, B tai C:stä tapahdu: (A c B c C c ) = (A B C) c.3 Kolmogorovin aksioomat Kolmogorovin aksioomat pidetään todennäköisyyslaskennan kivijalkana, johon kaikki peruslaskenta pohjautuu. Aksioomat esiteltiin Kolmogorovin teoksessa Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung vuonna 933. Aksiooma. P (A) jokaiselle tapaukselle A. Aksiooma 2. P (Ω) =. Aksiooma 3. Jos tapaukset A, A 2,... ovat toisena poisulkevat, niin P ( A i ) = P (A i ). Esimerkki.. Oletetaan, että heitetään yhtä noppaa kerran. Olkoon A i = nopanheiton tulos on i, i =,..., 6. Tapaukset A i ovat toisensa poissulkevat ja voidaan soveltaa Kolmogorovin kolmatta aksioomaa seuraavasti: P ( nopanheiton tulos on parillinen luku ) = P (A 2 A 4 A 6 ) = P (A 2 ) + P (A 4 ) + P (A 6 ) = = 2. Kolmogorovin aksioomien avulla voidaan todistaa muun muassa seuraavia laskusääntöjä. Lause 3. a) P ( ) =, b) P (A) = P (A C ), c) P (A), d) P (A B) =, jos A B =, e) Jos A B niin P (A) P (B), f) P (A B) = P (A) P (A B).

9 Johdanto 7 Esimerkki.2. Tarkastellaan tapaukset A ja B, jolle P (A) =.4, P (A B) =.3 ja P (A B) =.6. Lasketaan P (A B c ): P (A B c ) = P (A B) = P (A) P (A B) =.4.3 =. Tapauksen B todennäköisyys voidaan esimerkiksi laskea seuraavasti: P (B) = P (A B) P (A B) =.6. =.5 Lause 4. Oletetaan, että tapaukset A i ovat toisensa poissulkevat. Tällöin ( n ) a) P A i = n P (A i ). b) Mikäli n A i = Ω, n P (A i ) =. Mikäli tapaukset eivät ole toisensa poissulkevat unionin todenäköisyyttä voidaan laskea seuraavan lauseen avulla. Lause 5. a) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B), b) P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (B C) P (A C) + P (A B C). Esimerkki.3. Edellisessä esimerkissä, voidaan soveltaa lausetta: josta saadaan B:n todennäköisyys P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (B) = P (A B) P (A) + P (A B) = =.5 Esimerkki.4. Kalle ja Tanja ovat laskettelemassa. Todennäköisyys, että Tanja kaatuu on ja Kalle kaatuu 5 prosentin todennäköisyydellä. Molemmat menevät nurin 25 3 prosentin todennäköisyydellä. Lasketaan todennäköisyys, että molemmat pysyvät pystyssä. Määritellään tapaukset T = Tanja kaatuu ja K = Kalle kaatuu, jolloin oletuksen mukaan P (T ) =, P (K) = ja P (T K) =. Tapaus että molemmat pysyvät pystyssä on komplementti siihen että jompikumpi kaatuu. Haettu todennäköisyys saadaan seuraavasti: P (T c K c ) = P ((T K) c ) = P (T K) = (P (T ) + P (K) P (T K)) = ( + ) = 5. 2

10 Johdanto 8.4 Otanta ja kombinatoriikka Tilastotieteen avulla halutaan yleensä saada lisää ymmärrystä eri ilmiöistä. Usein tehdään koesarjoja ja/tai otantaa analysoiden saatua dataa. Otannan voi suorittaa monella eri tavalla ja kombinatoriikan avulla saadaan matemaattisesti selville eri kombinaatioiden lukumääriä, joita tarvitaan klassisen todennäköisyyden määritelmässä. Tarkastellaan tilannetta, jossa valitaan satunnaisesti k alkiota joukosta, jossa on esimerkiksi n alkiota, eli k n. Mikäli valittu alkio aina palautetaan joukkoon, otanta tehdään ns. palauttaen. Mikäli valitut alkiot ei palauteta alkuperäseen joukkoon, sanotaan että otanta tehdään palauttamatta. Otanta on järjestetty, jos alkioiden järjestyksellä on merkitystä, muutoin otanta on järjestämätön. Otannan valinnassa on siis ensin kaksi vaihtoehtoa valitaanko alkiot palauttaen/palauttamatta jonka jälkeen kumpaakin otosta voidaan tarkastella järjestettynä/järjestämättömänä. Kaikkiaan on siis neljä perustapaa suorittaa otannan. Tuloperiaate on yksi kombinatoriikan perustuloksista. Lause 6. Jos A i :ssä on n i vaihtoehtoa, i =,..., k, niin jono (A, A 2,..., A k ) voidaan valita n n 2 n k eri tavalla. Esimerkki.5. a) Korttipakassa on neljä maata ja 3 eriarvoista korttia/maa. Erilaisia kortteja pakassa on siis 4 3 = 52. b) Tanssiaisiin osallistuu 7 naista ja 9 miestä. Mikäli miehet tanssivat vain naisten kanssa ja naiset vain miesten kanssa erilaisia tanssipareja on edellisen lauseen mukaan 7 9 = 63 kappaletta. c) Ravintolan menussa on 3 erilaista keittoa, 5 alkuruokaa, 8 pääruokaa ja 4 jälkiruokaa. Erilaisia aterioita on = 48 kappaletta (mikäli ateriaan saa valita yhtä ruokalajia per ateria)..4. Järjestetty otanta Lause 7. Oletetaan, että valitaan k alkiota joukosta jossa on n alkiota. a) Mikäli alkiot valitaan palauttamatta voidaan muodostaa järjestetty joukko n (n ) (n k + ) eri tavalla. b) Mikäli alkiot valitaan palauttaen, on n k eri tapaa muodostaa järjestetty joukko. Esimerkki.6. a) Lottoarvonnan 7 palloa voivat mennä tulosputkeen = eri tavalla. Huom. lottotuloksia on paljon vähemmän, koska ei ole väliä, missä järjestyksessä ne menevät tulosputkeen. b) Korttipakkaa voidaan sekoittaa 52! eri tavalla. c) Jokerissa valitaan järjestyksesä 7 numeroa,..., 9 palauttaen. Erilaisia jokerin tuloksia on Järjestämätön otanta Lause 8. Mikäli valitaan palauttamatta ( ) k alkiota joukosta, jossa on n alkiota voidaan n järjestämätön otanta suorittaa = k n! eri tavalla. (n k)! k! Edellisessä lauseessa määritellään binomikerrointa, jota lausutaan n yli k:n ja tulkitaan että kuinka monella tavalla voidaan valita k kappaletta n:stä.

11 Johdanto 9 Esimerkki.7. a) Erilaisia lottotuloksia on lauseen 8 mukaan: ( ) 39 = 39! ! = = ! 7! 32! 7! Todennäköisyys, että saadaan 7 oikein lotossa, on siis / b) Lasketaan todennäköisyys, ( ) ( että ) saadaan 5 oikein lotossa. Suotuisia tapauksia on tulosäännön mukaan, koska valitaan viisi numeroa seitsemästä oikeista nume roista ja kaksi vääristä numeroista. Haettu todennäköisyys on siis: ( ) ( ) ! ! ( ) 2! 5! 2! 3! 2 2 = = = = Lause 9. Mikäli valitaan palauttaen ( k alkiota ) joukosta, jossa on n alkiota voidaan järjestämätön otanta suorittaa eri tavalla. n + k k Esimerkki.8. Oletetaan, että pöydällä on neljä korttia, yksi jokaista maata (hertta, pata, ruutu, risti). Nostetaan kahta korttia palauttaen. Erilaisia vaihtoehtoja on ( ) ( ) = = 5 4 3! = ! 2 = kappaletta. Vaihtoehdot tai ns. kombinaatiot ovat:,,,,,,,, ja. Todennäköisyys, että saadaan pari on siis 4 = 2 5. Alla olevassa taulukossa on yhteenveto eri vaihtoehtojen lukumääristä kun otannassa valitaan k alkiota n:stä joko palauttamatta tai palauttaen. Mikäli valittujen alkioiden järjestyksellä on merkitystä kyseessä on permutaatio ja mikäli järjestyksellä ei ole väliä, kyseessä on kombinaatio. Jonossa järjestyksellä on usein väliä, ja erilaisia jonoja tai permutaatioita on n!, jos jonossa on n alkiota (esim. korttipakkaa voidaan asettaa 52! eri tavalla). Taulukko.3: Valintojen lukumäärä otannassa. Palauttamatta Palauttaen n! Järjestetty n ( k (n k)! ) ( ) n n + k Järjestämätön k k

12 Johdanto.5 Ehdollinen todennäköisyys Seuraavaksi tarkastellaan tilannetta, jossa tiedetään etukäteen onko jokin tapaus sattunut ja tutkitaan, onko kyseisellä tiedolla vaikutusta toisen tapauksen todennäköisyyteen. Esimerkki.9. Oletetaan, että uurnassa on 2 mustaa palloa ja 3 punaista. Nostetaan palauttamatta kaksi palloa uurnasta. Määritellään tapaukset B = ensimmäinen pallo on musta ja A = toinen pallo on punainen. Mikäli tiedetään, että ensimmäinen pallo oli musta, uurnassa on jäljellä yksi musta pallo ja kolme punaista. Tästä voidaan päätellä, että todennäköisyys on 3/4 että toinen nostettu pallo on punainen. Esimerkissä yllä pystytään hyödyntämään tieto ensimmäisestä nostetusta pallosta, jolloin otosavaruus suppenee ja voidaan päätellä jäljellä olevista palloista, että mikä on toisen nostetun pallon värin todennäköisyys. Tätä kutsutaan ehdolliseksi todennäköisyydeksi ja määritellään seuraavaksi. Määritelmä.5. Oletetaan, että P (B) >. Tapauksen A:n ehdollinen todennäköisyys ehdolla B on P (A B) P (A B) = (.) P (B) Esimerkki.2. Edellisessä esimerkissä leikkauksen A B ja tapauksen B todennäköisyydet ovat P (A B) = P (. pallo musta ja 2. pallo punainen ) = 2 3 ja P (B) = Ehdollinen todennäköisyys, että toinen pallo on punainen ehdolla että ensimmäinen pallo on musta on tällöin: P (A B) = P (A B) P (B) = = = 3 4. Esimerkki.2. Kolikkoa heitetään kolmesti. Olkoon tapaukset A = ensimmäisellä heitolla saadaan kruunu, ja B = saadaan tarkalleen kaksi kruunua. Lasketaan ehdolliset todennäköisyydet P (A B) ja P (B A). Otosavaruudessa on seuraavat alkiot Ω = {(kr, kr, kr), (kr, kr, kl), (kr, kl, kr), (kl, kr, kr), (kr, kl, kl), (kl, kl, kr), (kl, kr, kl), (kl, kl, kl)}, eli Ω = 2 3 = 8. Suotuisat tapaukset ovat: A = {(kr, kr, kr), (kr, kl, kr), (kr, kr, kl), (kr, kl, kl)} ja B = {(kr, kr, kl), (kr, kl, kr), (kl, kr, kr)}. Ehdolliset todennäköisyydet voidaan nyt laskea kahdella tavalla. Tapa. Supistettu otosavaruus: P (A B) = P ( ensimmäinen heitto on kruunu kun tiedetään että saadaan tarkallen kaksi kruunua ) = 2, koska on kaksi suotuisaa tapausta 3 B:ssä. P (B A) = P ( saadaan tarkalleen kaksi kruunua kun tiedetään että ensimmäinen on kruunu ) = 2 = (on kaksi tällaista tapausta A:ssa). 4 2 Tapa 2. Määritelmä.5: P (A B) = P (A B) P (B) = Vastaavasti saadaan P (B A) = P (A B) P (A) = A B Ω A Ω A B Ω B Ω = A B B = 2 3. = A B A = 2 4 = 2. Jälkimmäisessä tavassa käytetään ehdollisen todennäköisyyden määritelmää.5 ja tarkastellaan koko otosavaruutta Ω. Ensimmäisessä tavassa haetaan todennäköisyyttä supistetussa otosavaruudessa, jossa on hyödynnetty annettu ehto.

13 Johdanto Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä saadaan seuraavaa lause: Lause. a) P (A B) = P (A B) P (B), jos P (B) >, b) P (A B) = P (B A) P (A), jos P (A) >. Lauseen voi myös yleistää usemmalle tapaukselle: Lause. Tapausten A, A 2,..., A n leikkaukselle pätee n P ( A i ) = P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 ) P (A n A A 2... A n ) mikäli kaikki ehdolliset todennäköisyydet ovat olemassa. Esimerkki.22. Oletetaan, että avainnipussa on n avainta, joista yksi sopii lukkoon. Kokeillaan avaimia vuorotellen kunnes sopiva löytyy. Olkoon tapaus, A i = i:s avain on väärä, i =,..., n. Lasketaan todennäköisyys, että vasta k:s avain on oikea. P ( vasta k:s avain on oikea ) = P (A A 2... A k A c k ) = P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 ) P (A k A... A k 2 )P (A c k A... A k ) = n n = n n 2 n (k ) n n (k 2) n (k ) jossa k = 2, 3,..., n. Mikäli kokeiltu avain palautetaan nippuun, eikä siis muisteta mitä avaimia on kokeiltu, saadaan jokaisella kokeilukerralla sama todennäköisyys n, että n avain sopii. Tällöin todennäköisyys, että vasta k:s avain on oikea on: P ( vasta k:s avain on oikea ) = P (A A 2... A k A c k ) = P (A )P (A 2 A )P (A 3 A A 2 ) P (A k A... A k 2 )P (A c k A... A k ) = n n = ( n n n n ) n k n n n, k = 2, 3,... Määritelmä.6. Tapaukset A, A 2,..., A n muodostavat otosavaruuden partition jos n A i :t ovat toisensa poissulkevat, A i = Ω ja P (A i ) >, i =,..., n. Edellisten määritelmien avulla voidaan johtaa kokonaistodennäköisyyslausetta. Lause 2 (Kokonaistodennäköisyys). Oletetaan, että A, A 2,..., A n muodostavat otosavaruuden partition. Tällöin Todistus: P (B) = n P (B A i )P (A i ) (.2) P (B) = P (B Ω) = P (B (A A 2... A n )) = P ((B A )... (B A n )) = P (B A ) + P (B A 2 ) P (B A n ) = P (B A )P (A ) P (B A n )P (A n ).

14 Johdanto 2 Esimerkki.23. Autokauppias hankkii tyhjään varastoonsa 6 autoa ruotsista, 5 autoa saksasta ja 4 autoa suomesta. Kauppias huomaa, että ruotsista hankituissa autoissa kahdessa on korjattavaa, saksasta hankituissa kolmessa on korjattavaa ja suomesta hankituissa kahdessa on korjattavaa. Asiakas sapuu kauppaan ja valitsee satunnaisesti yhden auton (ennenkuin kauppias on ehtinyt korjata niitä). Millä todennäköisyydellä valitussa autossa ei ole mitään korjattavaa? Merkitään K = autossa on korjattavaa, S = auto on ruotsista, D = auto on saksasta ja F = auto on suomesta. Tällöin P (S) = 6/5, P (D) = 5/5 ja P (F ) = 4/5, ja annetut ehdolliset todennäköisyydet P (K S) = 2/6 = /3, P (K D) = 3/5 sekä P (K F ) = 2/4 = /2. Kokonaistodennäköisyyslauseen avulla saadaan: P (K) = P (K S)P (S) + P (K D)P (D) + P (K F )P (F ) = = = Haettu todennäköisyys saadaan komplementin avulla: P (K c ) = P (K) = 7/5 = 8/5 =.53. Alla olevassa kuvassa on puukuvion avulla havainnollistettu kaikki vaihtoehdot. Kuvion avulla voidaan kätevästi laskea esimerkiksi kokonaistodennäköisyydet tapaukselle K summaamalla yhteen kaikki polut, jotka johtavat K-solmuihin. 3 K 6 5 S 2 3 K c Auto D F 3 5 K K c K K c Kuva.4: Puukuvio autoesimerkistä. Käänteiset ehdolliset todennäköisyydet saadaan Bayesin lauseen avulla. Lause 3 (Bayes). Mikäli A, A 2,..., A n muodostavat otosavaruuden partition ja P (B) >, niin A i :n ehdollinen todennäköisyys ehdolla B on: P (A k B) = P (B A k)p (A k ) P (B) = P (B A k)p (A k ) n P (B A i )P (A i ) (.3) jossa k =,..., n.

15 Johdanto 3 Esimerkki.24. Edellisessä autoesimerkissä voidaan soveltaa Bayesin lausetta ja laskea todennäköisyydet, että auto on kukin maasta, kun tiedetään, että siinä oli korjattavaa. Ehdollinen todennäköisyys, että auto on ruotsista kun tiedetään että siinä oli korjattavaa on: P (S K) = P (S K) P (K) = P (K S)P (S) P (K S)P (S)+P (K D)P (D)+P (K F )P (F ) P (K S)P (S) = = = 2 7. Vastaavalla tavalla saadaan P (D K) ja P (F K): P (D K) = P (F K) = P (K D)P (D) = P (K) 7 5 P (K F )P (F ) = P (K) 7 5 = 3 7, = 2 7. Tarkistuksena voidaan todeta, että todennäköisyyksien summa on : P (S K) + P (D K) + P (F K) = =. Esimerkki.25. Henkilöllä on tietty virus todennäköisyydellä p. Eräs testi näyttää virheellisen (negatiivisen) tuloksen todennäköisyydellä α, mikäli henkilöllä on virus. Terveelle henkilölle testi näyttää virheellisen (positiivisen) tuloksen todennäköisyydellä β. Merkitään tapaukset V = henkilöllä on virus ja P os = testi on positiivinen. Komplementit voidaan merkitä T = henkilö on terve ja N eg = testi on negatiivinen. Tapausten todennäköisyydet ovat P (V ) = p ja P (T ) = p. Ehdollinen todennäköisyys, että testi näyttää negatiivista, vaikka henkilöllä on virus on P (N eg V ) = α. Ehdollinen todennäköisyys, että testi antaa positiivisen tuloksen, vaikka henkilö on terve on P (P os T ) = β. Alla olevaan taulukkoon on listattu ehdolliset todennäköisyydet joista ilmenee testin eri virhemahdollisuudet. Taulukko.4: Testin virhemahdollisuudet. Testitulos Henkilö Pos Neg Virus α α Terve β β Tilastollisessa testauksessa tapausta, että testi antaa väärän tuloksen henkilön kantaessa virusta, kutsutaan I-tyypin erheeksi, tai α-erheeksi. Tapausta, että testi antaa väärän tuloksen henkilön ollessa terve, kutsutaan II-tyypin erheeksi, tai β-erheeksi. Testin merkitsevyystaso on α, ja testin voimakkuus on β. Testauksessa halutaan, että molemmat virheet ovat mahdollisimman pieniä. Tärkeänä pidetään usein, että β pysyy mahdollisimman pienenä, koska käytännössä saattaa tulla vääriä päätöksiä ja/tai ikäviä seuraamuksia mikäli testi näyttää positiivista terveelle henkilölle. Esimerkiksi leikataan tervettä potilasta, tuomitaan syytön jne.

16 Johdanto 4 Mikäli valitaan satunnaisesti testattava henkilö, eri mahdollisuudet ovat siis alla olevan kuvan mukaiset. α P os Henkilö p V T α Neg p P os β β Neg Kuva.5: Puukuvio virusesimerkistä. Kokonaistodennäköisyyslauseen avulla voidaan laskea todennäköisyydet, että testi näyttää positiivista/negatiivista: P (P os) = P (P os V )P (V ) + P (P os T )P (T ) = ( α) p + β ( p), P (Neg) = P (P os) = ( α) p β ( p) = α p + ( β) ( p). Bayesin lauseen avulla voidaan laskea todennäköisyys, että henkilöllä todella on virus kun testi näyttää positiivista: P (V P os) = P (P os V )P (V ) P (P os) = ( α) p ( α) p+β ( p) Vastaavasti voidaan laskea todennäköisyys, että ihmisellä on virus, vaikka testi näyttää negatiivista: P (V Neg) = P (Neg V )P (V ) P (Neg) = α p α p+( β) ( p) Sijoittamalla arvot α =.5, β =. ja p =. yllä oleviin kaavoihin saadaan laskettua todennäköisyydet, että satunnaisesti valitun henkilön testi näyttää positiivista: P (P os) = (.5). +. (.) =.9. Mikäli testi näyttää positiivista henkilöllä on virus todennäköisyydellä: P (V P os) = P (P os V ) P (V ) P (P os) = ( α) p P (P os) = =.5 Vastaavasti voidaan laskea todennäköisyys, että henkilöllä on virus vaikka testi näyttää negatiivista: P (V Neg) = P (Neg V ) P (V ) P (Neg) = α p P (P os) = =.5

17 Johdanto 5.6 Riippumattomuus Edellisessä jaksossa tarkasteltiin ehdollisia todennäköisyyksiä P (A B). Mikäli ehdolla B ei ole mitään vaikutusta A:n ehdolliseen todennäköisyyteen ja P (A B) = P (A), sanotaan, että tapaukset ovat riippumattomia. Yleisesti käytetään seuraavaa määritelmää. Määritelmä.7. Tapaukset A ja B ovat riippumattomia jos P (A B) = P (A) P (B). Tapausten riippumattomuutta voidaan merkitä A B. Esimerkki.26. Nostetaan yhtä korttia hyvin sekoitetusta pakasta. Olkoon tapaukset A = kortti on ässäkortti, B = kortti on kuvakortti ja = kortti on herttakortti. Lasketaan ensin ehdolliset todennäköisyydet P (A ) = 4 ja P (B ) =. Verrataan 3 3 näitä A:n ja B:n todennäköisyyksiin: P (A) = 4 = 6 ja P (B) = = 4. Huomataan, että P (A ) = P (A) ja P (B ) = P (B) joten A ja, ja B ja ovat pareittain riippumattomat. Määritelmän.7 avulla voidaan myös verifioida, että P (A ) = ja 52 P (A) P ( ) =, jolloin A ja ovat riippumattomia koska P (A ) = P (A) P ( ). 3 4 Vastaavasti nähdään, että P (B ) = P (B) P ( ). Huomataan, että tapaukset A ja B ovat toisensa poissulkevat, koska A B = (ässä ei ole kuvakortti). Toisin sanoen, tapaukset A ja B riippuvat toisistaan. Laskemalla saadaan P (A B) = P ( ) = ja P (A) P (B) = 4 jolloin P (A B) P (A) P (B). 3 3 Tapausten riippumattomuus ja tapausten toisensa poissulkevuus ovat eri asioita. Mikäli tapaukset ovat toisensa poissulkevat, ne ovat myös selvästi toisistaan riippuvaisia (jos toinen sattuu, niin toinen ei voi sattua). Tapausten riippumattomuudesta ei välttämättä voida päätellä, ovatko tapaukset toisensa poissulkevat. Esimerkki.27. Noppaa heitetään kaksi kertaa. Olkoon tapaukset A =. noppa on nelonen, B = silmälukujen summa on 7 ja C = silmälukujen summa on 6. Todennäköisyydet ovat P (A) =, P (B) = 6 5 ja P (C) =. Laskemalla nähdään, että P (A B) = = P (A) P (B), joten tapaukset A ja B ovat riippumattomat mutta eivät toisensa poissulkevat. Tapaukset A ja C eivät ole riippumattomia koska P (A C) = P (A) P (C) Riippumattomuus on tärkeä ominaisuus jota hyödynnetään todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä. Esimerkiksi koesarjoissa joissa toistetaan samaa koetta monta kertaa kokeiden tulokset ovat usein riippumattomia. Yleisesti pätee seuraava lause. Lause 4. Jos tapaukset A, A 2,..., A n ovat riippumattomat, niin P (A A 2... A n ) = P (A ) P (A 2 ) P (A n ) (.4) Esimerkki.28. a) Heitetään lanttia kertaa. Eri heittojen tulokset ovat riippumattomat ja voidaan helposti osoittaa, että on yhtä todennäköistä saada kymmenen klaavaa putkeen kuin, että joka toinen heitto on klaava. Olkoon tapaus K i = i:s heitto on klaava, i =, 2,...,. Tällöin P (K K 2... K ) = P (K ) P (K 2 ) P (K ) ) = = ( P (K K2 c... K) c = P (K ) P (K2) c P (K) c Määr..4: A ja B toisensa poissulkevat jos A B = = = ( )

18 Johdanto 6 b) Heitetään noppaa 6 kertaa. Todennäköisyys, että saadaan kaikki silmäluvut järjestyksessä,..., 6 on: P ( 6 i:nnen heiton silmäluku on i ) = 6 P ( i:nnen heiton silmäluku on i ) = 6 = = ( ). Esimerkki.29. FC Box:in palloilijat (Jonathan, Aaron ja Zlatan) potkaisevat ottelun rangaistuspotkukilpailussa kukin kerran. Oletetaan, että osumiset ovat riippumattomia. Pelaajien maalintekotodennäköisyydet ovat.6,.5 ja.7. Olkoon tapaukset, J = Jonathan tekee maalin, A = Aaron tekee maalin ja Z = Zlatan tekee maalin. Merkitään maalien lukumäärää M i :llä, siten, että tapaus M i = FC Box saa i maalia, i =,, 2, 3. Riippumattomuuden ja tapausten toisensa poissulkevuuden perusteella saadaan eri maalimäärien todennäköisyydet: P (M ) = P (J c A c Z c ) = P (J c ) P (A c ) P (Z c ) = =.6, P (M ) = P ((J A c Z c ) (J c A Z c ) (J c A c Z)) = P (J A c Z c ) + P (J c A Z c ) + P (J c A c Z) = P (J) P (A c ) P (Z c ) + P (J c ) P (A) P (Z c ) + P (J c ) P (A c ) P (Z) = =.29, P (M 2 ) = P ((J A Z c ) (J A c Z) (J c A Z)) = P (J A Z c ) + P (J A c Z) + P (J c A Z) = P (J) P (A) P (Z c ) + P (J) P (A c ) P (Z) + P (J c ) P (A) P (Z) = =.44, P (M 3 ) = P (J A Z) = P (J) P (A) P (Z) = =.2. Huomataan, että 3 i= pelaajan onnistumistodennäköisyys: P (M i ) =. Mikäli syntyy vain yksi maali, voidaan laskea kunkin P (J M ) = P (J M ) P (M = P (J Ac Z c ) ) P (M = ).29 =.3, P (A M ) = P (A M ) P (M = P (J c A Z c ) ) P (M = ).29 =.2, P (Z M ) = P (Z M ) P (M ) = P (J c A c Z) P (M ) = =.48. Olkoon tapaus V = FC Box voittaa ja oletetaan, että tilastojen valossa P (V M ) =, P (V M ) =.2, P (V M 2 ) =.3 ja P (V M 3 ) =.5. Todennäköisyys, että joukkue voittaa on siis 3 P (V ) = P (V M i ) P (M i ) = =.3 i= Mikäli voitto tulee, voidaan nyt laskea eri maalimäärien todennäköisyydet:, i =, P (M i V ) = P (V M i)p (M i ).97, i =, = P (V ).447, i = 2,.356, i = 3.

19 Luku 2 Satunnaismuuttujat Määritelmä 2.. Satunnaismuuttuja X on funktio X : Ω R, joka liittää jokaiseen otosavaruuden Ω alkioon reaaliluvun. Esimerkki 2.. Oleta, että Marko on järvellä onkimassa tunnin. Tunnin aikana saatujen kalojen lukumäärä voidaan merkitä X:llä, joka on myös kokonaisluku X =,, Saatujen kalojen lukumäärää X on ns. diskreetti satunnaismuuttuja. Saatujen kalojen yhteispaino merkitään Y :llä ja voidaan ajatella, että se on reaaliluku väliltä [, 5]. Saaliin paino Y on ns. jatkuva satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja voi olla diskreetti tai jatkuva. Usein diskreeteillä satunnaismuuttujilla mallinnetaan lukumääriä, kun taas jatkuvat satunnaismuuttujat tyypillisesti kertovat ajasta, painosta tai muista mitoista. Tarkastellaan seuraavaksi satunnaismuuttujiin liittyviä määritelmiä. 2. Diskreetit satunnaismuuttujat Määritelmä 2.2. Satunnaismuuttuja on diskreetti jos se voi saada vain ääreellisen tai numeroituvasti äärettömän määrän arvoja. Määritelmä 2.3. Oleta, että diskreetti satunnaismuuttuja X voi saada arvoja joukosta K. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio on p(k) = P (X = k), k K. Määritelmä 2.4. Satunnaismuuttujan X jakaumafunktio tai ns. kertymäfunktio on F (x) = P (X x), x R. Esimerkki 2.2. Heitetään noppaa kerran ja määritellään X = nopan silmäluku, eli X {, 2, 3, 4, 5, 6}. Todennäköisyysfunktio on p(k) = P (X = k) =, k =, 2,..., 6. 6 Jakaumafunktio F (x) on siis kumulatiivinen: F (x) =, x <, /6, x < 2, 2/6, 2 x < 3, 3/6, 3 x < 4, 4/6, 4 x < 5, 5/6, 5 x < 6,, 6 x. 5/6 4/6 3/6 2/6 /

20 Satunnaismuuttujat 8 Olettaen, että diskreetin satunnaismuuttujan X arvojoukko on K, todennäköisyysfunktiolla, p(k) = P (X = k), on seuraavat ominaisuudet: p(k), kun k K ja k K p(k) =. Diskreetin satunnaismuuttujan X jakaumafunktio saadaan summaamalla: F (x) = k x p(k) ja tälle pätee: lim F (x) =, lim F (x) = ja F (x) on ei-vähenevä. x x Määritelmä 2.5. Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo on jos summa suppenee itseisesti, eli E(X) = k K k p(k), k K k p(k) <. Esimerkki 2.3. Noppaesimerkissä 2.2 silmälukujen odotusarvo on E(X) = 6 i P (X = i) = 6 i 6 = 6 ( ) = 2 6 = 7 2. Esimerkki 2.4. Arpajaisiin myydään arpaa. Voittoja jaetaan siten, että on kpl Euron voittoa, 6 kpl 25 Euron voittoa, 3 kpl 5 Euron voittoa ja yksi Euron voitto. Olkoon X = satunnaisesti valitun arvan voitto, eli X {,, 25, 5, }. Satunnaismuuttujan X odotusarvo on määritelmän mukaan: E(X) = P (X = ) + P (X = ) + 25P (X = 25) + 5P (X = 5) + P (X = ) = = = 5. Satunnaisen arvan voiton odotusarvo on 5 Euroa, joka on myös arpojen minimihinta (jolla katetaan voittokulut). Diskreetin satunnaismuuttujan muunnos on myös satunnaismuuttuja, jolle voidaan laskea todennäköisyys-, jakaumafunktio ja odotusarvo. Lause 5. Olkoon muunnos Y = g(x), jossa g on mitallinen funktio ja X on diskreetti satunnaismuuttuja. Tällöin pätee a) E(Y ) = E(g(X)) = k K g(k) p(k), jos k K b) E(a + b X) = a + b E(X), a R, b R. g(k) p(k) <,