Kvanttistatistiikka 1
|
|
- Elli Salonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kvattistatistiikka 1 Kevät 2018 Lueoitsija Aleksi Vuorie (aleksi.vuorie@helsiki.fi, A322) Laskuharjoitusassist. Pyry Wahlma (pyry.wahlma@helsiki.fi, C311) Yleistä Lueot ma ja ti salissa A315; laskarit pe D106 Kurssikirjaa Arpoe & Hokoe, Statistie fysiikka; lisäksi prujut ettii aia luetoja ee Kurssi kotisivulta prujut, laskarit, ajakohtaista tietoa, je. Laskareita yhteesä 6 kpl. Ilmestyvät ettii suutaisi ja palautetaa suljettuu laatikkoo 2. kerrokse laskarihuoeessa reilua viikkoa myöhemmi ma klo 14 meessä. Käydää läpi torstai laskaritilaisuudessa. Laskarit eivät pakollisia mutta erittäi suositeltavia. Niissä meää myös luetomateriaali ulkopuolelle, ja tämä tulee olemaa osa koealuetta. Lueto- ja laskaritauko pääsiäise ympärillä ; lisäksi ei luetoja vappuaattoa ja -päivää ma ja ti 1.5. Viimeie lueto ti ja viimeiset laskarit pe 4.5. Loppukoe ti 8.5. klo Detaljit myöhemmi kurssi kotisivuilla. Suoritus: loppukoe 75% ja laskarit 25% 1 Tämä luetomoiste o kehittyyt vuosie varrella useide kurssi lueoitsijoide toimesta; erityisesti Ismo Napari ja Jooas Merikato ovat kirjoittaeet siitä suure osa. 1
2 Mitä kvattistatistiikka pitää sisällää? Statistise mekaiika jatkokurssi, jossa käytetää Kvattimekaiikka I: (ja pieeltä osi II:) koeistoa statististe eli moe hiukkase systeemie kvatti-ilmiöide tutkimisee Kaksi tärkeää ja kurssilla usei toistuvaa peruskysymystä: o Millä tavoi kvattimekaaisia efektejä tulee käsitellä isoissa (moe hiukkase) systeemeissä? Erityisesti: mitkä ovat klassise faasiavaruude, esembleje, je. vastieet, ja mite meetelmät toisaalta poikkeavat peruskvattimekaiika koeistosta? o Missä kulkee kvattimekaaiste ja klassiste systeemie rajapita, ts. milloi kvatti-imiöt o otettava (isoissaki systeemeissä) huomioo ja milloi klassie raja kelpaa? Kurssia ilmiölähtöisempi kui Statistie mekaiikka: SM: pieeä ogelmaa eitriviaalie esimerkkisysteemie vähäie määrä; tällä kurssilla ei samaa haastetta. Pohjatiedot: Statistie mekaiikka ja Kvatti I sekä äide kurssie (matemaattiset) esitiedot oleaisia: erityisesti kvattimekaiika perusformalismi sekä klassiste esembleje tutemus tärkeää. Puuttuvia taustatietoja mahdollista kerrata kurssi aikaa. Joki verra laskeallisesti haastavampi/työläämpi kui Statistie mekaiikka, mutta materiaalia ei silti 5 op: kurssiksi kohtuuttomasti. Ilmoittakaa jos/ku joki epäselvää tai vaikeaa! Kurssi alustava sisällys Viikot 1-2: kvattimekaiika kertausta, moihiukkassysteemit kvattimekaiikassa, kvattimekaaie esembleteoria Viikot 3-4: yhteys termodyamiikkaa, vapaa spisysteemi, kaksiatomie kvattimekaaie ideaalikaasu, bosoi- ja fermioistatistiikat Viikot 5-6: bosoi- ja fermioisysteemie käsittely statistisessa mekaiikassa, esimerkkejä molemmista 2
3 3 TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH ) Mikrotilat (kertausta Kvattimekaiika kurssilta) Kvattimekaiikassa yhde hiukkase systeemi täydellise kuvaukse ataa sitä vastaava tilavektori Ψ, joka o (yhde hiukkase) Hilberti avaruutee H kuuluva vektori. Hilberti avaruus o lieaarie, ts. kahde se vektori kompleksikertoimie summa kuuluu avaruutee. H:ssa o myös määritelty sisätulo a b, joka toteuttaa yleiset skalaaritulo aksioomat. Fysikaaliset tilat voidaa aia ormittaa ykköseksi, ja tästä lähtie oletammeki, että kvattitiloille Ψ Ψ Ψ 2 = 1. Observaabeleita (havaittavia suureita) vastaavat kvattimekaiikassa lieaariset hermiittiset operaattorit Â, jotka Schrödigeri kuvassa oletetaa ajasta riippumattomiksi. Observaabeli mahdollisia havaittavia arvoja ovat Â: omiaisarvot, jotka yhdessä vastaavie (ajasta riippumattomie) omiaistiloje kera saadaa selville omiaisarvoyhtälöstä  = A, joka ratkaisut o tässä yksikertaisuude vuoksi oletettu diskreetiksi. Kaikki alla johdettavat tulokset voidaa kuiteki helposti yleistää tapauksee, jossa hermiittise operaattori  omiaisspektri (eli omiaisarvot ja -tilat) o jatkuva. Tällöi kaikki summat tiloje yli korvataa yksikertaisesti itegraaleilla. Operaattori oletetusta hermiittisyydestä seuraa, että se omiaisarvot ovat reaalisia ja omiaisvektorit muodostavat Hilberti avaruude täydellise ortoormittuva kaa. Voidaa siis olettaa, että omiaistilat toteuttavat relaatio m = δ m, mikä lisäksi ykkösoperaattori voidaa kirjoittaa muodossa 1 =. Observaabeli  odotusarvo kvattitilassa Ψ saadaa äi kirjoitettua muotoo  = Ψ Â Ψ = Ψ m m Â Ψ = A Ψ 2, m,
4 jossa tulkitsemme site, että tekijät Ψ 2 atavat todeäköisyyde sille, että tarkasteltavalle observaabelille saadaa mittauksessa diskreetti arvo A. Usei o kätevää kirjoittaa myös tilavektorit kompoettiesitykseä sopiva hermiittise operaattori ortoormitetussa kaassa Ψ = Ψ, missä olemme käyttäeet yllä johdettua yksikköoperaattori muotoa. Koordiaattikaassa x vastaavat kertoimet ovat tuttuja aaltofuktioita x Ψ = Ψ(x, t), joide itseisarvoje eliö kertoo todeäköisyyde löytää hiukkae koordiaattiavaruude pisteestä x ajahetkellä t. (Huomaa, että aikariippuvuus tulee tähä tila Ψ aikariippuvuudesta.) Hyvi oleaisia relaatioita ovat x p = h 3/2 e ix p /ħ, x x = δ(x x ), p p = δ(p p ) jotka tarjoavat mahdollisuude siirtyä koordiaatti- ja impulssikatoje välillä. Tällaie kaa muutos o esimerkki uitaarise operaaattori idusoimasta muuoksesta jossa siirrymme kaasta toisee. Operaattori jälki Tr  määritellää sitä vastaava matriisi diagoaalielemettie summaa, Tr  = Â, joka o kuiteki selvästi kaasta riippumato suure. Se toteuttaa lisäksi ormaalit matriisilaskea jälje relaatiot, kute syklisyyde. Määrittelemällä yt systeemi ormitettua tilaa Ψ vastaava s. projektio-operaattori ρ Ψ Ψ Ψ, ähdää helposti, että observaabeleide odotusarvot o lausuttavissa muodossa  = Tr ρ Ψ ja kahde eri tila välise sisätulo ormi eliö puolestaa muodossa Ψ Φ 2 = Tr ρ Ψρ Φ. Kute tulemme myöhemmi moee kertaa toteamaa, jälje laskemie kvattimekaiikassa o ii 1- kui moihiukkassysteemie tapauksessa hyvi tarkkaa aalogie itegroiille klassisessa faasiavaruudessa. Tiloje ajallise kehitykse määrää Schrödigeri yhtälö 4
5 iħ Ψ(t) = Ĥ Ψ(t), t missä Ĥ o Hamiltoi operaattori ja joka formaali ratkaisu o Ψ(t) = exp ( iĥ t) Ψ(0). ħ Ns. eergiaesityksessä tilat esitetää Ĥ: omiaistiloje kaassa, jossa pätee omiaisarvoyhtälö Ĥ = E, missä E ovat systeemi omiaiseergiat ja tilat määritelmällisesti ajasta riippumattomia. Schrödigeri yhtälöstä saamme helposti yleise tila Ψ(t) aikakehitykseksi johtue relaatiosta Ψ(t) = Ψ(t) = exp ( ie t) Ψ(0) ħ Ψ(t) = exp ( iĥ ħ t) Ψ(0) = exp ( ie t) Ψ(0). ħ Moihiukkassysteemit ja Focki avaruus Moihiukkassysteemi mahdolliset tilat kuuluvat kvattimekaiikassa N: hiukkase Hilberti avaruutee, joka o muodoltaa N: yksihiukkasavaruude suora tulo H (N) = H 1 H 1 H 1 H 1. Jos H 1 : katavektoreita o umeroituva määrä, voidaa iistä muodostaa H (N) : kata suora tulo avulla, ja mielivaltaie tila Ψ esittää muodossa Ψ = l 1 l N l 1,, l N Ψ, l 1 l N 5
6 missä kuki ideksi l 1 käy läpi kaikki systeemi yksihiukkastilat ja käytämme otaatiota jossa l 1 l N l 1,, l N. Todelliset kvattimekaaiset systeemit eivät kuitekaa miehitä koko avaruutta H (N), vaa aioastaa aliavaruude, joka o täysi symmetrie (bosoit) tai atisymmetrie (fermioit) kahde hiukkase vaihdossa, koska bosoit oudattavat s. Bose-Eisteii statistiikkaa ja fermioit Fermi-Diraci statistiikkaa. Oikeat N: hiukkase systeemi katafuktiot saadaaki ottamalla 1-hiukkastiloje suorista tuloista s. Slateri (ati)determiatteja. Käytäössä moihiukkaskvattimekaiikka formuloidaa kätevimmi Focki avaruudessa ja käyttämällä hyväksi hiukkaste luomis- ja tuhoamisoperaattoreita. Focki avaruus o kaikkie N: hiukkase (ati)symmetrisoituje Hilberti avaruuksie suora summa F = H (0) H (1) PH (N), jossa H (0) = C (eli kompleksilukuje joukko) ja P projektio-operaattori symmetrisee (bosoit) tai atisymmetrisee (fermioit) Hilberti moihiukkasavaruutee. Focki avaruude alkiot voidaa yt esittää koordiaattiesityksessä vektoria Φ = (z, Ψ 1 (ξ 1 ), Ψ 2 (ξ 1, ξ 2 ),, Ψ N (ξ 1,, ξ N ) ), jossa z o puhdas kompleksiluku, Ψ k täysi (ati)symmetrie k: muuttuja fuktio ja ξ i = (x i, s i ), missä s i o hiukkase i spi. Kyseise avaruude ykkösee ormitetut katavektorit voidaa puolestaa esittää muodossa (N) (0,0,, Ψ 1 N (ξ 1,, ξ N ), 0,0, ) (N) missä ideksit i käyvät läpi kaikki 1-hiukkastilat, ja ormitetut katafuktiot Ψ {} ovat lausuttavissa yksihiukkaskatafuktioide Ψ i (ξ) ξ i avulla muodossa (N) 1 (ξ 1,, ξ N ) = N! 1! 2! ε P Ψ 1 [P(ξ 1 )] Ψ N [P(ξ N )]. P{ξ i } Ψ {} Tässä summaus suoritetaa kaikkie N: hiukkae permutaatioide yli (yht. N! kpl), ja i o puolestaa kvattitila i miehitysluku. Se kertoo, kuika mota 6
7 (N) kyseistä kvattitilaa vastaavaa yksihiukkasaaltofuktiota katafuktio Ψ {} termeissä o, ts. kuika mota kertaa i esiityy ideksijoukossa {}. Käytäössä i o siis tilassa i olevie hiukkaste lukumäärä kyseisessä moihiukkastilassa. Yo. summassa fuktio ε P riippuu hiukkaste statistiikasta ja o bosoeilla ε P = 1 fermioeilla { ε P = +1 parillisella permutaatioilla ε P = 1 parittomalla permutaatioilla. Katafuktio ormitustekijä itegraali 1 N! 1! 2! o puolestaa helppo perustella laskemalla dx 1 dx N ε P P{ξ i } Ψ 1 [P(ξ 1 )] Ψ N [P(ξ N )] ε P = N! 1! 2! P {ξ i } Ψ 1 [P (ξ 1 )] Ψ N [P (ξ N )] missä o otettu huomioo se, että jokaista P: permutaatiota (N! kpl) kohti o täsmällee 1! 2! kpl P : permutaatiota, joille yo. itegraali ataa tulokse 1, muille 0. Näissä siis permutoidaa vai tiety kvattitila l aaltofuktioide ξ i - koordiaatteja. Huomaa, että ε P : merkitys häviää tässä tarkastelussa (miksi?). Esimerkki: Tarkastetaa yllä käytetty moihiukkasaaltofuktio ormitus kahde hiukkase tapauksessa 1) Kaksi bosoia: Ψ ij (1,2) = Φ i (1)Φ j (2) + Φ i (2)Φ j (1), jossa Φ i viittaa oikei ormitettuu tila i aaltofuktioo ja 1/2 puolestaa hiukkasee - oikeasti siis Φ i (1) = Φ i (ξ 1 ), je. Nyt saadaa kaksihiukkasaaltofuktio eliöksi Ψ ij Ψ ij = Φ i (1)Φ j (2)Φ i (1)Φ j (2) + Φ i (1)Φ j (2)Φ i (2)Φ j (1) +Φ i (2)Φ j (1)Φ i (1)Φ j (2) + Φ i (2)Φ j (1)Φ i (2)Φ j (1), jolloi läpikäytävää o kaksi eri mahdollisuutta: i) Hiukkaset ovat eri tiloissa (i j): Fuktioide Φ i ortoormaalisuude vuoksi 2. ja 3. termi yllä häviävät itegroitaessa, ja saamme Ψ Ψ = 2. Tässä tapauksessa o toisaalta N = 2, 1 = 1, 2 = 1, jote aiempi ormituskaava (N! 1! 2!) 1/2 = 1/ 2 ataa selvästi oikea tulokse. 7
8 ii) Hiukkaset ovat samassa tilassa (i = j): Nyt kaikista yo. kaava termeistä tulee kotribuutio itegroitaessa, ja Ψ Ψ = 4. Koska N = 2, 1 = 2 ja 2 = 0, ii (N! 1! 2!) 1/2 = 1 = 1, eli ormituskaava toimii jällee ) Kaksi fermioia: Ψ 12 (1,2) = Φ 1 (1)Φ 2 (2) Φ 1 (2)Φ 2 (1), eli hiukkasilla o parito permutaatio. Nyt hiukkaste o oltava eri tiloissa (kute tässä oki idikoitu), ja ormitustekijä o (N! 1! 2!) 1/2 = 1/ 2, mikä selvästi o jällee oikea tulos (lasku vastaa täysi bosoie i) tapausta yllä). Yllä määriteltyjä katafuktioita Ψ (N) {} (ξ 1,, ξ N ) vastaavia tiloja o helpoita merkitä symbolilla { i }, jossa i vastaa kvattitila i miehityslukua. Tällöi voidaa määritellä yleistetyt luomis- ja tuhoamisoperaattorit a i ja a i, jotka lisäävät kvattitilaa (vähetävät tilasta) i yhde hiukkase. Bosoiset operaattorit toteuttavat silloi tutut kommutaatio- ja fermioiset atikommutaatiorelaatiot. Lyhyellä laskulla saadaa tällöi se ylläoleva tarkastelu kassa yhtäpitävä tulos, että kahta fermioia ei voi laittaa samaa kvattitilaa, ts. kuki tila miehitusluvut ovat joko 0 tai 1. Tätä säätöä kutsutaa Pauli kieltosääöksi. Maiittakoo vielä lopuksi, että vuorovaikuttamattoma moihiukkasjärjestelmä Hamiltoi fuktio o helpoita lausua määrittelemällä esi tuttu miehityslukuoperaattori i = a i a i, joka laskee tilassa i olevie hiukkaste lukumäärä, ja kirjoittamalla se avulla H = ε l l, missä ε l vastaa tila l yksihiukkaseergiaa. Focki avaruude katatilassa { i } Hamiltoi fuktio (eli eergia) omiaisarvo o tällöi yksikertaisesti l E = ε l l, missä l o operaattori l omiaisarvo ja kertoo vastaava tila miehitysluvu. Tällöi kostruktiossa o erityisesti huomattavaa, että systeemi hiukkaste l 8
9 kokoaismäärää ei tarvitse eksplisiittisesti spesifioida, mikä oki Focki avaruudessa toimimise hyödyllie piirre. Makrotilat ja tiheysoperaattori Aiva kute klassisessa mekaiikassa, myös kvattimekaiikassa esemble määritellää joukkoa mikrotiloja, jotka vastaavat samaa, yleesä termodyaamiste suureide avulla määriteltyä makrotilaa. Palaamme tuoempaa useisii esimerkkitapauksii varsiki tasapaioesembleistä; e määritellää tyypillisesti hyvi aalogisesti klassiste vastieittesa kassa. Puhtaassa tilassa systeemi tila tuetaa maksimaalisella tarkkuudella, ts. sitä kuvaa joki vektori Ψ N: hiukkase (ati)symmetrisoidussa Hilberti avaruudessa. Tämä o kuiteki varsiki makroskooppiste systeemie tapauksessa äärimmäise harviaie tilae; yleesä systeemi oki s. sekatilassa, jossa hiukkaste lukumäärääkää ei usei tarkkaa tiedetä. Sekatila määritellää joukkoa mahdollisia (ykkösee ormitettuja) kvattitiloja Ψ, joissa systeemimme o todeäköisyyksillä p. Mielivaltaise operaattori  esemblekeskiarvo lasketaa silloi odotusarvoa  = p Ψ Â Ψ = p Ψ m m  Ψ,m, = Ψ p Ψ m m Â,m, ϱ m m  = Tr(ϱ Â), m, missä summat m: ja : yli käyvät läpi relevati avaruude (Focki avaruude tai N: hiukkase (ati)symmetrisoidu Hilberti avaruude) joki täydellise kaa kaikki kvattitilat. Olemme määritelleet tässä tiheysoperaattori 9
10 ϱ = p Ψ Ψ, jota usei käytetää sekatila määritelmää. Tässä summa käy läpi systeemissä esiityvät kvattitilat ja selvästi vaaditaa, että p = 1 (huomaa kuiteki, että tiloje Ψ ei vaadita muodostava täydellistä kataa tai oleva edes ortogoaalisia keskeää). Tiheysoperaattori o suora kvattimekaaie vastie klassisesta statistisesta fysiikasta tutulle faasiavaruude tiheysjakaumalle. Puhtaassa tilassa ϱ = Ψ Ψ, mistä selvästi seuraa relaatio ϱ 2 = ϱ ; (helpoksi) harjoitustehtäväksi jätetää se äyttämie, että implikaatio toimii myös toisee suutaa, ts. ϱ 2 = ϱ pätee vai puhtaille tiloille. Tiheysoperaattori tärkeimpiä omiaisuuksia ovat: 1. Automaattie ormitus: Tr ϱ = ϱ = p Ψ Ψ, = p Ψ Ψ = p = 1 2. Hermittiivisyys: ϱ = ( p Ψ Ψ ) = p Ψ Ψ = ϱ. 3. Positiivisuus: mielivaltaiselle tilalle Φ Φ ϱ Φ = p Φ Ψ Ψ Φ = p Φ Ψ 2 0., Tiheysoperaattori aikakehitys saadaa puolestaa suoraa Schrödigeri yhtälöstä: iħ t ϱ = iħ t p Ψ Ψ = iħ p ( t Ψ ) Ψ + p Ψ ( t Ψ ) 10
11 = p Ĥ Ψ Ψ p Ψ Ψ Ĥ = [Ĥ, ϱ ] iħ ϱ = [Ĥ, ϱ ]. t Tämä o vo Neumai yhtälö, joka vastaa klassise mekaiika Liouville yhtälöä. Se pätee systeemeille, jotka eivät vuorovaikuta ympäristösä kassa, ts. joissa Ĥ ei riipu mahdollisista ulkoisista koordiaateista. O mielekiitoista huomata, kuika paljo kivuttomampaa liikeyhtälö johto oli kvattimekaaisessa tapauksessa kui Liouville yhtälö johto klassisessa faasiavaruudessa. Statioaarisessa tilassa o selvästi oltava ϱ = 0 eli [Ĥ, ϱ ] = 0. Aiva kute t klassise mekaiika tapauksessa aiemmi, tämä o mahdollista, jos tiheysoperaattori riippuu vai säilyvistä (Ĥ: kassa kommutoivista) suureista. Huom 1 Statioaarise tila ehdosta [Ĥ, ϱ ] = 0 seuraa suoraa mielekiitoie tulos eergia omiaistiloille: Ĥ = E ; Ĥ β = E β β [Ĥ, ϱ ] = 0 E ϱ β = E β ϱ β ϱ β = 0 ellei E = E β, eli ϱ o diagoaalie eergiakaassa. Kyseessä o luoollisestiki vai erikoistapaus siitä yleisestä tuloksesta, että jos kaksi operaattoria kommutoivat keskeää, iille voidaa valita yhteiset omiaistilat. Mielivaltaisessa kaassa ϱ : ei kuitekaa tarvitse olla diagoaalie, mutta elemettie fysikaalie merkitys (todeäköisyystulkita) o kuiteki selkei diagoaalisessa tapauksessa. Huom 2 Statistiselle eli Gibbsi etropialle (ei itsestääselvästi sama kui termodyaamie etropia) voidaa määritellä suora kvattimekaaie vastie S = Tr ϱ l ϱ. Koska tiheysoperaattori o hermiittie, o olemassa täydellie ortoormaali kata k jossa 11
12 ϱ = p k k k k ja edellee k p k = 1. Tässä kaassa tilastollie etropia saa selvästi muodo S = p k l p k, joka o positiividefiiitti ja häviää (miimoituu) puhtaassa tilassa. k Tilatiheys Tutkitaa jällee yksikertaisuude vuoksi systeemiä, jolla o diskreetti eergiaspektri, ja määritellää tilakertymäfuktio J(E) = θ(e E ). Se selvästiki kertoo tiloje lukumäärä, joide eergialle E pätee E E. Tilatiheys ω(e) määritellää yt derivaattaa ω(e) = dj(e) de = δ(e E ), jolloi kombiaatio ω(e)de kertoo eergiavälillä (E, E + de) olevie tiloje lukumääärä. Kaasta riippumattomasti voidaa selvästi kirjoittaa ja J(E) = Tr θ(e Ĥ) ω(e) = Tr δ(e Ĥ). Tilatiheys voidaa ajatella kvattimekaiika vastieea klassise faasiavaruude eergiapia tilavuudelle Σ E. Termodyaamisella rajalla (iso N, V), jossa tiloje spektristä tulee jatkuva, se saa tyypillisesti deltafuktioesitystä sileämmä muodo (ks. esimerkit alla). 12
13 Huom 1 Tähä meessä olemme löytäeet seuraavat vastaavuudet klassise ja kvattimekaaise moihiukkasformalismi välille: ϱ = p Tr ~ dγ [, ]~{, } ω(e)~σ E Ψ Ψ ~ρ class Vastaavatyyppisiä aalogioita tulee myöhemmi vastaa lisääki, ja e o hyvä pitää mielessä verrattaessa kvattimekaaiste systeemie käsittelyä klassisii. Esimerkki 1: Yhde vapaa hiukkase tilatiheys Tarkastellaa vapaata hiukkasta, joka Hamiltoi fuktio o H = p 2 /2m. Ku hiukkae o suljettu laatikkoo V = L 3, ovat ormitetut eergia omiaisfuktiot tuetusti missä k = 2π L ( x, y, z ) ja p 2 = ħ 2 k 2. Tilakertymäfuktioksi saadaa yt Ψ k (r ) = 1 V eik r J(E) = g θ (E ħ2 k 2 2m ) jatkumo gv (2π) 3 d3 k θ (E ħ2 k 2 2m ) x, y, z = gv (2π) 3 4π 1 (2mE) 3/2 3 (ħ) 3 = 4π 3 gv (2mE)3/2 h 3 missä g o esim. spiistä johtuva mahdollie degeeraatiotekijä ja jossa otettua jatkumorajaa tullaa käyttämää vielä usei. Tilatiheys saadaa tästä suoraa muodossa ω 1 (E) = dj(e) de gv = 2π h 3 (2m)3/2 E 1/2 C 1 VE 1/2, C 1 = 2πg( 2m h 2 )3/2. 13
14 Esimerkki 2: N: vapaa hiukkase tilatiheys. Nyt H = ħ2 2 N k i i=1 ja edellee 2m J(E) = g N θ (E ħ2k i ) 2m x, y, z i=1 x, y, z N 2 g N V N (2π) 3N d 3 k 1 d 3 k N θ (E ħ2 2 N k i i=1 ). 2m Itegraali vastaa selvästi 2mE/ħ -säteise 3N-ulotteise pallo tilavuutta, joka yleie kaava o tuetusti V d = πd/2 r d Γ ( d ) Tästä saadaa ottamalla huomioo N: idettise hiukkase permutaatiosymmetriasta klassisesti tuleva N! ja edellee J N (E) = g N V N π 3N/2 ( 2mE 3N ħ ) (2π) 3N Γ ( 3N 2 ω N (E) = dj N(E) de + 1) N! = 3N gnvn π 2 (2mE) 3N/2 h 3N Γ ( 3N + 1) N! 2 = gn V N 3N π 2 (2m) 3N/2 E 3N 2 1 N! h 3N Γ ( 3N 2 ) = (C 2V) N E 3N 2 1 N! Γ ( 3N, jossa C 2 = g(2πm)3/2 2 ) h 3. O hyvä huomata, että tässä johdettu tulos o oikea aioastaa klassisella rajalla, jossa yksikää kvattitila ei ole moikertaisesti miehitetty. Oikeisii bose- ja fermikaasuje kvattistatistiikkoihi palaamme myöhemmi. 14
Kvanttistatistiikka 1
Kvattistatistiikka 1 Kevät 2017 Lueoitsija Aleksi Vuorie (aleksi.vuorie@helsiki.fi, A322) Laskuharjoitusassistetti: Eemeli Aala (eemeli.aala@helsiki.fi, A313) Yleistä Lueot ma 14-16 ja ti 12-14 salissa
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotKlassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys
Klassise fysiika ja kvattimekaiika yhteys Scrödigeri yhtälö ei statioäärisistä tiloista muodostuvie aaltopakettie aikakäyttäytymie oudattaa Newtoi lakeja. Newtoi mekaiikka voidaa johtaa Schrödigeri yhtälöstä.
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
Lisätiedotdx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotAineaaltodynamiikka. Aikariippuva Schrödingerin yhtälö. Stationääriset tilat. Ei-stationääriset tilat
Aieaaltodyamiikka Aikariiuva Scrödigeri ytälö Aieaaltoketä aikariiuvuude määrää ytälö Aieaaltokettie riiuvuus ajasta aikariiuva Scrödigeri ytälö Statioääriset ja ei-statioääriset tilat Aaltoaketit Kvattimekaiika
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotEhdollinen todennäköisyys
Ehdollie todeäköisyys Kerrataa muutama todeäköisyyslaskea laskusäätö. Tapahtuma E komplemettitapahtuma E o "E ei tapahdu". Koska todeäköisyyksie summa o 1, P ( E = 1 P (E. Joskus o helpompi laskea komplemettitapahtuma
Lisätiedotν = S Fysiikka III (ES) Tentti Ratkaisut
S-45 Fysiikka III (ES) etti 8500 Ratkaisut Ideaalikaasu suorittaa oheise kua esittämä kiertoprosessi abca Pisteessä a lämpötila o 0 K a) Kuika mota moolia kaasua o? b) Määritä kaasu lämpötila pisteissä
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LisätiedotLaaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005
7303045 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää
LisätiedotMarkov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos 1B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lieaarie ohjelmoiti 20.9.2007 Lueto 2 Lieaarialgebraa ja geometriaa (kirja.5, 2.) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / Lieaarialgebraa Notaatiota Kääteismatriisi
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Lisätiedot5.3 Matriisin kääntäminen adjungaatilla
Vaasa yliopisto julkaisuja 08 Sec:MatIvAdj 53 Matriisi käätämie adjugaatilla Määritelmä 3 -matriisi A adjugaatti o -matriisi adj(a) (α i j ), missä α i j ( ) i+ j det(a ji ) (, joka o siis alkioo a ji
Lisätiedot2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi
SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
Lisätiedottilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien
Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys
LisätiedotHEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN
S-08-0 OPTIIKKA /6 HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN Laboratoriotyö S-08-0 OPTIIKKA /6 Sisällysluettelo Teoria... 3 Työ suoritus... 4. Kokoaisheijastus... 4. Brewsteri kulma... 5 3 Mittauspöytäkirja... 6 S-08-0
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
Lisätiedot1. Oletetaan, että protonin ja elektronin välinen vetovoima on verrannollinen suureeseen r eikä etäisyyden neliön käänteisarvoon
S-.6 Fysiikka IV (Sf) Tetti 6.5.5 I välikokee alue. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoima o verraollie suureesee r ( F kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F k/ r ). Käytä kulmaliikemäärä
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
Lisätiedotj = I A = 108 A m 2. (1) u kg m m 3, (2) v =
764A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 6 Kevät 28. Tehtävä: Aiemmi olemme laskeeet kupari johtavuuselektroie tiheydeksi 8.5 28 m. Kuparijohdossa, joka poikkipita-ala o mm 2, kulkee A: virta. Arvioi Drude
Lisätiedot9.7 Matriisinormit. Vaasan yliopiston julkaisuja 225. Ei siis lainkaan ongelmia defektiivisyydestä.
Vaasa yliopisto julkaisuja 225 U = 0.1213-0.9359-0.3307-0.1005-0.3430 0.9339 0.9875 0.0801 0.1357 S = V = >> 4.5221 0 0 0 2.2793 0 0 0 1.1642 0.0537-0.8212-0.5681 0.4414-0.4908 0.7512 0.8957 0.2911-0.3361
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
LisätiedotKompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
LisätiedotMarkov-ketjun hetkittäinen käyttäytyminen
Matematiika ja systeemiaalyysi laitos B Markov-ketju hetkittäie käyttäytymie Tämä harjoitukse tavoitteea o oppia muodostamaa Markov-malleja satuaisilmiöille, piirtämää tiettyä siirtymämatriisia vastaava
Lisätiedot:n perustilaan energiasta. e) Elektronien ja ytimien välinen vuorovaikutusenergia H 2
S-11446 Fysiikka IV (Sf), II Välikoe 15 1 H vetyioi perustila eergia (ytimie välimatka 1,6 Å) verrattua systeemii, jossa perustilassa oleva vetyatomi ja H -ioi ovat äärettömä kaukaa toisistaa o,65 ev Laske
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotEsimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)
10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotBM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8
(b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotLuento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi Määritelmä Tarkasteltava
LisätiedotJatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen
Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti
LisätiedotSeuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi
Laaja matematiikka 5 Kevät 200 2. Itegraali omiaisuuksia Seuraavat peruslauseet -8 voidaa helposti todistaa itegraali määritelmästä. Itegroimisjoukko oletetaa rajoitetuksi Jordamitalliseksi joukoksi. Lause
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
Lisätiedotja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:
10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)
LisätiedotPaulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I 1 Joukko-oppi ja logiikka Iduktioperiaate G. Gripeberg 2 Relaatiot ja fuktiot Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 3 Kombiatoriikka ym. G. Gripeberg
Lisätiedotλ x = 0,100 nm, Eγ = 0,662 MeV, θ = 90. λ λ+ λ missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.
S-114.46 Fysiikka V (Sf) Tetti 16.5.00 välikokee alue 1. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoia o verraollie suureesee r ( F =- kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F =-k / r ). Käytä kulaliikeäärä
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
Lisätiedotxe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotTILASTOT: johdantoa ja käsitteitä
TILASTOT: johdatoa ja käsitteitä TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Tilastotietee tehtävää o esittää ja tulkita tutkimuskohteesee liittyvää havaitoaieistoa eli tilastoaieistoa. Tutkitaa valittua joukkoa ja se
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 12. maaliskuuta 2015 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu
81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotEräs matematiikassa paljon hyödynnetty summa on ns. luonnollisten lukujen neliöiden summa n.
POHDIN projekti Neliöide summa Lukujoo : esimmäise jäsee summa kirjoitetaa tavallisesti muotoo S ai i 1. Aritmeettisesta lukujoosta ja geometrisesta lukujoosta muodostetut summat voidaa johtaa varsi helposti.
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Ylemmän puoliavaruuden analyyttiset funktiot ja Hardyn avaruus
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekuta/Osasto Fakultet/Sektio Faculty Matemaattis-luootieteellie Laitos Istitutio Departmet Matematiika ja tilastotietee laitos Tekijä
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotMatriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ,, x1 x. Matriiseihin perehtyminen voidaan perustella useilla järkisyillä.
Vaasa yliopisto julkaisuja 71 4 MATRIISIT JA MATRIISILASKUT Ch:Matrix Sec:MatLaskut 4.1 Matriisi ja matriisilaskut Matriisi o suorakulmaie lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: 2 0.4 8 0 a b,, x1 x
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
Lisätiedotn = = RT S Tentti
S-5 Tetti 500 a) Kuika suuri o molekyylie traslaatioliikkee kieettie eergia kuutiometrissä ilmaa jos ilma lämpötila o 00 K ja paie 0 bar? b) Mikä o kieettise eergia kokoaismäärä ku myös muut liikelajit
LisätiedotRekursioyhtälön ratkaisu ja anisogamia
Rekursioyhtälö ratkaisu ja aisogamia Eeva Vilkkumaa.0.2008 Rekursioyhtälö ratkaisu (Liite I) Edellie esitelmä: +/m -koiraide (p) ja -aaraide (P) osuus populaatiossa kehittyy rekursiivisesti: p P + + a
Lisätiedot5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat
2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
Lisätiedot