Mikrotalousteoria 2, 2008, osa IV

Transkriptio

1 Sisältö Mikrotalousteoria 2, 2008, osa IV 1 Hyvinvoinnin taloustiedettä 2 2 Pareto-kriteeri 2 3 Kaldorin kompensaatiokriteeri 2 4 Peliteoriasta 3 5 Peliteoreettisen analyysin vaiheet 3 6 Staattiset pelit täydellisen informaation vallitessa 4 7 Pelin ratkaiseminen 5 8 Nash -tasapainon mielekkyys 7 9 Nash -tasapainon ja adsie:n välinen yhteys 8 10 Peliteorian taloustieteellisiä sovelluksia Pelin Nash -tasapainon tulkinta Cournot in mallin graafinen ratkaisu Bertrandin duopolimalli Bertrandin mallin graafinen ratkaisu Sekastrategioiden mielekkyydestä Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioilla Dynaamiset pelit täydellisen informaation vallitessa Stackelbergin duopolimalli Dynaamiset epätäydellisen informaation pelit Pankkien talletuspako-ongelma

2 20 Staattiset epätäydellisen informaation pelit Dynaamiset Bayesilaiset pelit 26 1 Hyvinvoinnin taloustiedettä Hyvinvoinnin taloustieteessä tutkitaan markkinamekanismin tuottaman resurssien allokaatiota tasa-arvon ja tulonjaon näkökulmasta. Jotta yhteiskunnan hyvinvoinnin tasoa voitaisiin vertailla eri tilanteissa, täytyy hyvinvoinnin muutoksia kyetä mittaamaan jollakin tavalla. 2 Pareto-kriteeri Oletukset: 1) Jokainen yksilö määrittää itse hyvinvointinsa tason siten, että hän kykenee sanomaan paraneeko, huononeeko vai pysyykö hänen hyvinvointinsa ennallaan tietyn yhteiskunnallisen muutoksen seurauksena. 2) Yhteiskunnan resurssien allokaatio (tulo-, varallisuus- ja työllisyysjakauma) tilanteessa A on parempi kuin tilanteessa B, jos vähintään yksi yksilö pitää tilannetta A parempana kuin B, eikä kukaan pidä B:tä parempana kuin A. Yllä esitetty vertailuperuste 2) ei salli eri yksilöiden välisiä hyvinvointeja vertailtavan. Jos jokin yhteiskunnallinen muutos lisää joidenkin yksilöiden hyvinvointia ja vähentää toisten, Pareto -kriteerin perusteella ei voida sanoa, lisääkö vai vähentääkö muutos yhteiskunnan hyvinvointia. Ongelma: Yksilö voi arvostaa eri asioita kuin yhteiskunta. Esimerkiksi poliisien lisääminen heikentää varkaiden asemaa, joten Pareto -kriteerin perusteella ei voida päätellä, lisääkö rikosten selvittämisaste yhteiskunnan hyvinvointia. Merkitään mikroperusteisesti muodostettua yhteiskunnan hyvinvointifunktiota seuraavasti W W = F (u 1, u 2,..., u n ), > 0 i = 1,..., n. u i missä u i on yksilön i hyötyfunktio ja yhteiskunnassa on n yksilöä. Määritellään yhteiskunnan hyvinvoinnin Pareto-parannus seuraavasti: u i > 0 jollekin 1 i n ja u j 0, j i. 3 Kaldorin kompensaatiokriteeri Kaldorin mukaan yhteiskunnan hyvinvointi lisääntyy jonkin muutoksen seurauksena, jos muutoksesta hyötyvät kykenevät kompensoimaan niille jotka 2

3 kärsivät siten, että kärsivät hyväksyvät kompensaation. Kaldorin periaatteen mukaisesti kompensaatiota ei tarvitse käytännössä edes suorittaa; riittää että hyötyvät yksilöt periaatteessa kykenisivät kompensaation suorittamaan. Jos kompensaatio todella suoritettaisiin, kyseessä olisi Pareto-parannus. 4 Peliteoriasta Peliteoria on kehitetty sellaisten tilanteiden analysointiin, jossa kaksi tai useampia aktiivisia päätöksentekijöitä tekevät valiontoja siten, että eri pelaajien valinnat vaikuttavat toisten pelaajien hyvinvointiin (pelin lopputulokseen, tulemaan). Esim. Ammattiliiton ja työantajien palkkaneuvottelu, hallituspuolueiden neuvottelu hallitusohjelmasta, kartelliyritysten neuvottelu tuotantokiintiöistä jne. Peliteorian avulla voidaan myös analysoida tilanteita, joissa pelaajat eivät aidosti neuvottele asioista vaan tekevät toisistaan tietämättä valintoja, jotka vaikuttavat muiden pelaajien hyvinvointiin. Esim. Kaikki kilpailutilanteet, joukkue- ja yksilöpelit kuten shakki ja muut lautapelit, urheilukilpailut jne. Yhteistä pelitilanteille on, että pelaajilla on useita (vähintään kaksi) vaihtoehtoisia strategioita (valintoja), joilla he voivat vaikuttaa pelin lopputulokseen. Shakin pelaajalla siirrot, kartelliyrityksillä hyväksyä tai hylätä ehdotettu tuotantokiintiö jne. 5 Peliteoreettisen analyysin vaiheet Määritellään 1) pelaajat, 2) pelaajien kaikki mahdolliset strategiat sekä 3) peliolosuhteet. Peliolosuhteilla tarkoitetaan sitä, onko kyseessä staattinen vai dynaaminen peli, ja minkälaista informaatiota pelaajilla on toisten pelaajien valinnoista ja pelin tulemista omissa valintatilanteissaan (siirtovuoroissaan). Informaation laatu jaetaan yleensä kahteen kategoriaan: täydellinen ja epätäydellinen informaatio. Pelien luokittelu: Staattiset pelit; pelataan vain kerran Täydellisen informaation pelit Normaalimuotoiset pelit Epätäydellisen informaation pelit Bayesilaiset pelit 3

4 Dynaamiset pelit; pelitilanne toistuu useita kertoja (mahd. äärettömän monta) Jatkuva-aikaiset pelit Diskreettiaikaiset pelit Täyd. informaatio Epätäyd. inf. Täyd. inf. Epätäyd. inf. Pelin informaation sanotaan olevan täydellistä (complete information), kun pelaajilla on tieto muiden pelaajien mahdollisista strategioista ja pelin tulemista (lopputuloksista) kaikissa mahdollisissa tilanteissa. Dynaamisten pelien yhteydessä täydellisen informaation osalta voidaan edellisten lisäksi asettaa vielä seuraava vaatimus: siirtoa tekevällä pelaajalla on tieto muiden pelaajien aiemmista siirroista. Erona edelliseen pelin informaatiota nimitetään tällöin (perfect information). 6 Staattiset pelit täydellisen informaation vallitessa Oletukset: 1) Jokainen pelaaja tietää muiden pelaajien kaikki mahdolliset strategiat sekä pelin lopputulokset eli tulemat kaikissa mahdollisissa tilanteissa; ainoastaan sitä ei tiedetä, minkä valinnan kukin pelaaja tekee peliä pelattaessa kussakin tilanteessa. 2) Pelaajat tekevät valintansa toistensa valinnoista tietämättä, ja he perustavat valintansa oletuksiinsa muiden pelaajien valinnoista. Tarkastellaan esimerkkinä vangin ongelmaa (dilemmaa): Kaksi tietystä rikoksesta epäiltyä on pidätettynä. Poliisilla ei ole varmoja todisteita kummankaan syyllisyydestä, ellei jompi kumpi tunnusta. Epäiltyjä pidetään eri selleissä siten, etteivät he voi keskustella keskenään, ja heille selitetään tilanne. Jos kumpikaan ei tunnusta, molemmat saavat yhden kuukauden tuomion (esimerkiksi luvattomasta liikkumisesta yksityisalueella). Jos molemmat tunnustavat, molemmat saavat puolen vuoden tuomion. Jos toinen tunnustaa heidän yhteisen syyllisyytensä ja toinen ei, tunnustaja välttyy tuomiolta ja toinen saa yhdeksän kuukauden tuomion: puoli vuotta rikoksesta ja kolme kuukautta poliisin työn vaikeuttamisesta. Vangin ongelma voidaan kuvata seuraavana kaksoismatriisina (kaksi numeroa jokaisessa matriisin osoitteessa ) pelaaja 2 K T pelaaja 1 K 1, 1 9, 0 T 0, 9 6, 6 4

5 missä strategiat on nimetty kirjaimilla, K kiellä ja T tunnusta, ja pelin tulemat on esitetty pelimatriisissa. Pelaaja 1 pelaa riveillä ja hänen tulemansa eri tilanteissa ovat matriisin lohkojen ensimmäiset numerot, ja lohkojen toiset numerot ovat pelaajan 2 tulemat (pelaa sarakkeilla). Mitä suurempi numero on, sitä korkeampaa hyödyn tasoa se kuvaa (tässä tapauksessa tuomion pituutta kuukausina). Pelaajat pelaavat toistensa ratkaisuista tietämättä ja molemmilla on kaksi strategiaa. Määritelmä: Normaalimuotoinen peli koostuu n:n pelaajan (n 2) strategiajoukoista S 1,..., S n ja pelaajien tulemajoukoista u 1,..., u n, missä S i = { s i1,..., s ik } on pelaajan i kaikkien mahdollisten strategioiden joukko (k kpl) ja u i = { u i1,..., u ip } on pelaajan i kaikkien mahdollisten tulemien joukko (p kpl, missä p riippuu muiden pelaajien strategioiden lukumääristä). Normaalimuotoisessa pelissä oletetaan lisäksi, että 1) kaikki pelaajat tietävät muut pelaajat ja heidän mahdolliset strategiansa, 2) kaikki pelaajat tietävät kaikkien pelaajien mahdolliset pelin tulemat, 3) jokainen pelaaja tekee valintansa toisten valinnoista tietämättä ja 4) pelin lopputulos määräytyy pelaajien valintojen perusteella yksikäsitteisesti. Normaalimuotoinen peli voidaan kuvata seuraavana mahdollisten strategioiden ja tulemien joukkona missä G viittaa peliin (game). G = { S 1, S 2,..., S n ; u 1, u 2,..., u n }, 7 Pelin ratkaiseminen 1) Aidosti dominoitujen strategioiden iteratiivinen eliminointi (adsie) Tarkastellaan edellä esitettyä vangin ongelmaa. Oletetaan vangin 1 pelaavan K:ta. Vertaamalla ylärivin tulemia vangin 2 kannattaa pelata strategiaa T. Jos 1 pelaa T :tä, vertaamalla kahta alarivin tulemaa havaitaan, että 2:n kannattaa pelata T :tä. Vangin 2 kannattaa siis aina pelata T :tä. Koska peli on symmetrinen, sama pätee myös vangille 1. Strategia T dominoi siten aidosti strategiaa K molemmilla pelaajilla. Määritelmä: Olkoon peli normaalimuotoinen ja muotoa (6). Kahdesta pelaajan i strategiasta s ij, s ik S i, s ij dominoi aidosti s ik :ta, jos u i (s ij ) > u i (s ik ) kaikilla muiden pelaajien mahdollisilla strategioilla S 1,..., S i 1, S i+1,..., S n. Määritelmä: Rationaalinen pelaaja ei koskaan pelaa sellaista strategiaa, jota jokin toinen strategia aidosti dominoi. 5

6 Vangin ongelmassa rationaalinen pelaaja pelaa siis strategiaa T, sillä se dominoi aidosti K:ta. Jos pelaajat ovat rationaalisia ja lisäksi tietävät toistensa olevan rationaalisia, tällä perusteella voimme ennustaa pelin ratkaisuksi strategiavektoria (T, T ), missä vektorin ensimmäinen alkio on pelaajan 1 strategia. Pelin tulema on tällöin vektori (u 1, u 2 ) = ( 6, 6). Tarkastellaan seuraavaksi, voidaanko pelaajien rationaalisuusoletuksen perusteella ratkaista muitakin pelitilanteita kuin yllä kuvattu. Olkoon meillä peli pelaaja 2 vasen keski oikea pelaaja 1 ylös 1, 0 1, 2 0, 1 alas 0, 3 0, 1 2, 0 Pelaajalla 1 on kaksi strategiaa ja pelaajalla 2 kolme. Pelaajalla 1 kumpikaan strategia ei aidosti dominoi toista; sen sijaan 2:lla keski dominoi aidosti strategiaa oikea. Jos 2 on rationaalinen, hän ei koskaan pelaa strategiaa oikea. Jos 1 tietää 2:n olevan rationaalinen, 1 voi eliminoida 2:lta strategian oikea. Tällöin pelimatriisi supistuu muotoon pelaaja 2 vasen keski pelaaja 1 ylös 1, 0 1, 2 alas 0, 3 0, 1 Nyt pelaajalla 1 strategia ylös dominoi aidosti strategiaa alas. Jos pelaaja 2 tietää pelaajan 1 olevan rationaalinen (ja tietää lisäksi pelaajan 1 tietävän itsensä olevan rationaalinen), 2 voi eliminoida 1:ltä strategian alas. Tällöin pelimatriisi tulee muotoon pelaaja 2 vasen keski pelaaja 1 ylös 1, 0 1, 2 Nyt pelaajalla 2 keski dominoi aidosti strategiaa vasen, joten 1 voi tietämällä, että 2 on rationaalinen, 2:n tietävän 1:n olevan rationaalinen ja 1:n tietävän 2:n tietävän 1:n olevan rationaalinen eliminoida 2:lta strategian vasen. Pelin ratkaisuksi saadaan siten strategiavektori (ylös, keski) ja pelin tulemaksi tulee vektori (1, 2). Adsie perustuu pelaajien rationaalisuusoletukseen sekä täydelliseen informaatioon. Näissä oletuksissa on 2 heikkoutta: 1) jokainen iteraatioaskel vaatii lisäoletuksen muiden pelaajien informaatiosta. Jos tätä informaatiopletusten kasaantumista halutaan välttää, voidaan olettaa olevan yleisesti tunnettua, että pelin pelaajat ovat rationaalisia. 2) Toinen heikkous Adsie:ssa on, että sen tuottama ratkaisu on usein karkeata luokkaa. 6

7 Esim. Olkoon meillä seuraava peli pelaaja 2 L C R pelaaja 1 T 0, 4 4, 0 5, 3 M 4, 0 0, 4 5, 3 B 3, 5 3, 5 6, 6 Tässä pelissä ei ole aidosti dominoituja strategioita jotka voitaisiin eliminoida, joten Adsie:lla ei saada peliä ratkaistua. Seuraavaksi esittelemme pelin Nash -tasapaino käsitteen, jonka avulla y.o. peli saadaan ratkaistua. Nash -tasapaino pelin ratkaisuperiaatteena on yleisempi kuin adsie. Näin siksi, että jos pelin ratkaisu etsitään Nash -tasapainon avulla on se myös aina adsie -periaatteen mukainen ratkaisu. Sen sijaan päinvastainen väite ei päde. 2) Pelien ratkaiseminen Nash -tasapainon avulla Määritelmä: Srategiavektori (s 1,..., s n ) on n:n pelaajan normaalimuotoisen pelin G = { S 1,..., S n ; u 1,..., u n } Nash -tasapaino, jos jokaisella pelaajalla i, i = 1,..., n, s i on hänen paras vastastrategiansa peliteorian määrittämille muiden pelaajien kyseisen tilanteen strategioille, (s 1,..., s i 1, s i+1,..., s n ). Toisin sanoen u i (s 1,..., s i,..., s n ) u i (s 1,..., s i,..., s n ), missä s i on pelaajan i mikä tahansa muu strategia kuin s i. Tällöin s i voidaan myös ilmaista seuraavan optimointiongelman ratkaisuna max u i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1,..., s n ); s i S i kyseessä on siis pelaajan i tuleman maksimointi oletuksella, että muut pelaajat pelaavat peliteorian tarjoaman ratkaisun mukaista strategiaa. Koska yllä oleva ehto pätee jokaiselle pelaajalle i = 1,..., n, jokainen pelaaja pelaa Nash -tasapainotilanteessa parasta vastastrategiaansa muiden pelaajien peliteorian mukaista strategiaa vastaan. Nash -tasapainotilanteessa kukaan pelaajista ei ole halukas muuttamaan strategiaansa, mistä nimitys tasapaino seuraa. 8 Nash -tasapainon mielekkyys Oletetaan, että peliteoria tarjoaa normaalimuotoisen pelin ratkaisuksi strategiavektoria (s 1,..., s n ). Jos tämä ei ole Nash -tasapaino, on olemassa pelaaja i, 1 i n siten, että s i ei ole hänen paras vastastrategiansa tilanteessa 7

8 (s 1,..., s i 1, s i+1,..., s n ). Ts. löytyy strategia s i siten, että u i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1,..., s n ) > u i (s 1,..., s i 1, s i, s i+1,..., s n ). Jos siis peliteoria tarjoaa jotakin strategiavektoria pelin ratkaisuksi siten, että ratkaisu ei ole Nash -tasapaino, ainakin yhdellä pelaajalla (yllä pelaaja i) on halu poiketa peliteorian esittämästä ratkaisusta. Tällaisessa tilanteessa pelin pelaaminen käytännössä osoittaa teorian ehdottaman ratkaisun virheelliseksi. Nash -tasapainon voidaan ajatella toteutuvan joko pelaajien riittävän pitkän pelitilanteen mietiskelyn kautta, tai pelitilanteen toistuessa käytännössä riittävän monta kertaa siten, että pelaajat pyrkivät pelitilanteissa parantamaan aiempaa tulemaansa. Käytännössä pelitilanteita ratkaistaan usein simuloimalla pelitilannetta numeerisesti siten, että rakennetaan pelaajille jokin parannusalgoritmi ja pelataan peliä useita kertoja tarkastellen, konvergoituuko peli johonkin tiettyyn ratkaisuun. Ratkaistaan muutamia pelitilanteita Nash -tasapainon avulla. Kömpelöin ratkaisutapa on käydä läpi jokainen mahdollinen strategiayhdistelmä jokaisella pelaajalla ja tutkia, ovatko ne Nash -tasapainoja. Kahden pelaajan tilanteessa tämä tehdään seuraavasti: määritellään toisen pelaajan paras vastastrategia jokaiselle tarkasteltavan pelaajan strategialle. Kun löydetään strategiapari, jossa molemmat ovat pelaajien parhaat vastastrategiat toisilleen, kyseessä on Nash -tasapaino. Ratkaistaan edellä esitelty peli Nash -tasapainon avulla (luennolla). pelaaja 2 L C R pelaaja 1 T 0, 4 4, 0 5, 3 M 4, 0 0, 4 5, 3 B 3, 5 3, 5 6, 6 Harj. Ratkaise Vangin ongelma sekä edellä esitelty peli Nash -tasapainon avulla. 9 Nash -tasapainon ja adsie:n välinen yhteys Toistaiseksi käsitellyissä peleissä on ollut vain yksi Nash -tasapaino. Edellä käsitellyissä peleissä Nash -tasapainot (T, T ) ja (ylös,keski) ovat ainoat strategiaparit, jotka jäävät jäljelle, kun aidosti dominoidut strategiat eliminoidaan iteratiivisesti. Tämä tulos voidaan yleistää: Jos n:n pelaajan normaalimuotoisessa pelissä adsie tuottaa ratkaisuksi vain yhden strategiavektorin, 8

9 on se myös Nash -tasapaino. Edellä havaitsimme, että pelillä saattaa olla Nash -tasapaino, jota adsie:lla ei löydetä. Adsie jättää jäljelle pelin Nash -tasapainot ja mahdollisesti myös muita strategiavektoreita. Nash -tasapaino on siten vahvempi pelin ratkaisuperiaate kuin adsie. Nash -tasapainon avulla voidaan ratkaista jokainen peli, joka voidaan ratkaista adsie:llakin siten, että ratkaisut ovat samat. Tämän lisäksi Nash:illa saadaan ratkaistua myös sellaisia pelejä, joita adsie:lla ei voida ratkaista. John Nash osoitti ( Equilibrium Points in n -Person Games, 1950), että jokaisessa äärellisessä pelissä (pelaajien lukumäärä ja strategiajoukot äärellisiä) on vähintään yksi Nash -tasapaino. Nash -tasapaino voi tosin vaatia sekastrategioiden (mixed strategies) käyttöä, eli että pelaaja pelaa puhtaita strategioitaan jonkin todennäköisyysjakauman mukaisesti. Esim. Vanki pelaa strategioitaan seuraavasti: T todennäköisyydellä p ja K todennäköisyydellä 1 p, missä 0 p 1. Käytännössä voidaan ajatella, että hänellä on esimerkiksi kymmenen kortin pakka, joissa 3:ssa lukee T ja seitsemässä K, ja hän nostaa kortin sekoitetusta pakasta ja pelaa sen mukaisesti. Erisuuri korttipakka ja toinen korttien suhdeluku tuottaa toisen todennäköisyysjakauman. Esim. Sukupuolten välinen taistelu. Mies ja nainen yrittävät sopia illanvietosta. Heidän on valittava oopperan ja jalkapallo-ottelun välillä. Molemmat haluavat mielummin viettää illan toistensa seurassa kuin yksinään, mutta nainen preferoi oopperaa ja mies jalkapalloa. Oletetaan pelimatriisi seuraavaksi mies ooppera jalkapallo nainen ooppera 2, 1 0, 0 jalkapallo 0, 0 1, 2 Pelin tulemat ovat joko mielihyvätasoja tai rahamääräisiä suureita. Jälkimmäisessä tapauksessa voidaan ajatella että tulemat ilmaisevat, minkä arvoisina pelaajat pitävät kutakin tilannetta. Jos siis nainen menee yksin oopperaan tai jalkapallo-otteluun, hän pitää tilannetta nollan arvoisena, samoin mies. Kun peliteoria tarjoaa pelin ratkaisuksi yksikäsitteistä strategiavektoria, se on aina Nash -tasapaino. Tässä pelissä on kuitenkin kaksi Nash -tasapainoa; (ooppera, ooppera) ja (jalkapallo, jalkapallo). Tällaisessa tilanteessa peliteoria ei kykene ennustamaan pelin ratkaisua. Myöhemmin osoitamme lisäksi, että sekastrategioiden käyttö tuo peliin myös kolmannen Nash -tasapainon. Tällöin tarkastelemme myös pelin ratkaisemista tilanteessa, jossa pelaajilla on informaatiota toistensa pelaaman sekastrategian todennäköisyysjakaumasta. 9

10 10 Peliteorian taloustieteellisiä sovelluksia Cournot in duopolimalli Cournotin (1838) artikkeli on yksi peliteorian klassikkoja, joka paljon ennen Nashia ennakoi Nash -tasapainokäsitettä samankaltaisella käsitteellä. Nykymuotoisen peliteorian katsotaan saaneen alkunsa luvulla John Von Neumannin ja Oskar Morgernsternin tutkimuksista, joissa määriteltiin teorian peruskäsitteet (Von Neumann and Morgenstern: Theory of Games and Economic Behaviour, Third Edition (1953)). Palataan nyt Cournot in malliin (johon olen lisännyt mittayksiköt). Olkoot q 1, q 2 (kpl/kk) kahden yrityksen tuotantonopeudet samaa homogeenista lopputuotetta. Olkoon tarkasteltavan hyödykkeen markkinakysyntärelaatio muotoa p = p 0 zq, missä p (eur/kpl) on hyödykkeen yksikköhinta, q = q 1 + q 2 on toimialan yhteenlaskettu tuotantonopeus ja p 0 (eur/kpl) ja z ((eur kk)/kpl 2 ) ovat positiivisia dimensionaalisia vakioita. Merkitään yritysten kuukausittaisia tuotantokustannuksia seuraavasti C i = cq i, i = 1, 2, missä yritysten rajakustannukset (=yksikkökustannukset) c (eur/kpl) ovat yhtä suuret, 0 < c < p 0. Yritysten oletetaan päättävän tuotantonopeuksistaan toisistaan tietämättä. Muodostetaan tilanteesta normaalimuotoinen peli. 1) Pelaajat ovat yritykset, jotka tuntevat sekä toisensa että toimialan menekkifunktion. 2) Pelistrategiat ovat yritysten tuotantonopeudet, S i = {q i 0 q i < }, i = 1, 2, eli mikä tahansa positiivinen tuotantonopeus on yritysten valittavissa. Koska p 0 vastaa tilannetta q 1 + q 2 p 0 /z, kumpikaan yritys ei kuitenkaan halua tuottaa suuremmalla tuotantonopeudella kuin p 0 /z ettei lopputuotteen hinta menisi negatiiviseksi. 3) Pelin tulemat ovat yritysten kuukausittaiset voitot, Π 1 = pq 1 cq 1 = [p 0 z(q 1 + q 2 ) c]q 1, Π 2 = pq 2 cq 2 = [p 0 z(q 1 + q 2 ) c]q 2. Pelin Nash -tasapaino on strategiavektori (q 1 N, q 2 N ) jolle pätee Π 1 (q 1 N, q 2 N ) Π 1 (q 1, q 2 N ), Π 2 (q 1 N, q 2 N ) Π 2 (q 1 N, q 2 ) jokaisella mahdollisella strategialla q 1, q 2. Toisin sanoen yrityksellä 1 pätee max q 1 Π 1 = q 1 [p 0 z(q 1 + q 2 ) c] ja vastaava pätee yrityksellä 2. Ensimmäisen kertaluvun ehdot yritysten optimointiongelmista tuottavat Π 1 = 0 q 1 = p 0 c zq 2 q 1 2z Π 2 = 0 q 2 = p 0 c zq 1. q 2 2z 10

11 Tämän yhtälöryhmän ratkaisu on q 1 N = q 2 N = p 0 c 3z ja Nash -tasapainossa toimialan tuotantonopeus ja lopputuotteen hinta ovat q N = q 1 N + q 2 N = 2(p 0 c) 3z ja p N = p 0 z 2(p 0 c) 3z = p 0 + 2c Pelin Nash -tasapainon tulkinta Kumpikin yritys haluaisi olla monopoliasemassa, jolloin niiden optimointiongelma olisi (tarkastellaan yritystä 1 olettamalla, että q 2 = 0) Tämän ratkaisu on max q 1 Π 1 = q 1 [p 0 zq 1 ] cq 1. Π 1 = 0 q M 1 = p 0 c q 1 2z ja p M = p 0 zq M 1 = p 0 + c. 2 Monopoliyrityksen maksimaalinen voitto olisi Π M 1 = q M 1 [p 0 zq M 1 ] cq M 1 = (p 0 c) 2. 4z Nash -tasapainotilanteessa yrityksen 1 voitto on ( ) ( Π 1 (q N 1, q N p0 c 2 ) = p 0 z 2(p ) 0 c) c = (p 0 c) 2 3z 3z 9z joten Π M 1 > Π 1 (q N 1, q N 2 ). Tarkastellaan vielä tilannetta, jossa yritysten yhteenlaskettu tuotantonopeus vastaa monopoliyrityksen optimaalista tuotantonopeutta, eli yritykset tuottavat yhdessä siten, että toimialan voitto maksimoituu. Nyt q M/2 1 = q M/2 2 = (p 0 c)/4z ja ( ) ( ( ) Π 1 (q M/2 1, q M/2 p0 c p0 c 2 ) = p 0 z 4z 2z ) c = (p 0 c) 2. 8z Toimialan voiton maksimoiva yrityksen 1 tuotantonopeus on siis pienempi kuin yrityksen 1 tuotantonopeus Nash -tasapainotilanteessa ja Π 1 M > Π 1 (q 1 M/2, q 2 M/2 ) > Π 1 (q 1 N, q 2 N ). Tämä voidaan selittää seuraavasti: q 1 M/2 11

12 ei ole yrityksen 1 paras vastastrategia yrityksen 2 strategialle q M/2 2, sillä asettamalla q 2 = q M/2 2 yrityksen 1 optimiehtoon, saadaan Π 1 = 0 q 1 = p ( 0 c z p0 ) c 4z = 3(p 0 c). q 1 2z 8z Yrityksen 1 kannattaa siis tuottaa suuremmalla tuotantonopeudella kuin toimialan voiton maksimoiva tuotantonopeus q M/2 1 olisi (3/8 > 2/8 = 1/4), jos yritys 2 tuottaa puolella tuotantonopeudella toimialan voiton maksimoivasta. Syy tähän on se, että lopputuotteen hinta on tällöin riittävän korkea p M = (p 0 + c)/2 > p N jotta tuotantonopeuden lisääminen kannattaa. Koska sama pätee molemmille yrityksille, molemmilla on halu lisätä tuotantonopeuttaan tilanteessa, jossa ne yhteenlaskettuna tuottavat toimialan voiton maksimoivalla tuotantonopeudella. Tästä syystä Nash -tasapainossa, jossa yritykset eivät tiedä toistensa tuotantopäätöksistä, toimialan yhteenlaskettu tuotantonopeus on yksittäistä monopoliyritystä suurempi. Tarkastellaan vielä yrityksen 1 voittoa seuraavissa tilanteissa ja osoitetaan, että Π 1 (q N 1, q M/2 2 ) > Π 1 (q M/2 1, q N 2 ). Nyt q 1 N + q 2 M/2 = p 0 c 3z + p 0 c 4z = 7 12 ( ) p0 c z ja Π 1 (q 1 N, q 2 M/2 ) = Π 1 (q 1 M/2, q 2 N ) = ( ) ( p0 c p 0 z 7 ( ) ) p0 c c = 5 (p 0 c) 2, 3z 12 z 36 z ( ) ( p0 c p 0 z 7 ( ) ) p0 c c = 5 (p 0 c) 2. 4z 12 z 48 z 12 Cournot in mallin graafinen ratkaisu Muodostetaan yrityksille optimaaliset reaktiofunktiot mitä tahansa toisen yrityksen strategiaa vastaan. q 1 N := R 1 (q 2 ) = p 0 c zq 2 2z q 2 N := R 2 (q 1 ) = p 0 c zq 1 2z ; q 2 p 0 c, z ; q 1 p 0 c. z Yhtälöryhmä kuvautuu kahdeksi laskevaksi suoraksi koordinaatistoon (q 1, q 2 ), ja sen ratkaisu (Nash -tasapaino) löytyy reaktiofunktioiden leikkauspisteestä. 12

13 13 Bertrandin duopolimalli Bertrandin duopolimalli ( Theorie Mathematique de la Richesse Sociale, 1883) on toinen peliteorian klassikko. Hän oletti, että kaksi yritystä pitävät strategiamuuttujinaan lopputuotteittensa yksikköhintoja eivätkä tuotantonopeuksiaan (Cournot). Tämä tekee näistä malleista erilaisia, vaikka molempien pelien tasapainotilanteet vastaavat Nash -tasapainoa. Yritysten lopputuotteet oletetaan epätäydellisiksi substituuteiksi, mistä syystä hyödykkeiden hintaero ei johda kalliimman hyödykkeen menekin täydelliseen romahtamiseen. Oletetaan kuluttajien käyttäytyvän seuraavasti: q 1 (p 1, p 2 ) = a bp 1 + ep 2, q 2 (p 1, p 2 ) = a bp 2 + ep 1, missä q 1, q 2 (kpl/kk) ovat yritysten 1 ja 2 kuukausittaiset menekit (= kuluttajien kulutusnopeudet), p 1, p 2 (eur/kpl) ovat hyödykkeiden yksikköhinnat ja a, b, e ovat positiivisia dimensionaalisia vakioita joiden mittayksiköt ovat (kpl/kk), (kpl 2 /(eur kk)) ja (kpl 2 /(eur kk)). Koska e > 0, hyödykkeet ovat substituutteja. Yritysten kustannusfunktiot ovat samat kuin Cournot in mallissa: C i = cq i, i = 1, 2. Muodostetaan tilanteesta normaalimuotoinen peli: 1) Pelaajat ovat yritykset, 2) yritysten strategiat ovat hinnat {p i 0 p i < } ja 3) yritysten tulemat ovat niiden kuukausittaiset voitot Π 1 = q 1 (p 1, p 2 )[p 1 c] = [a bp 1 + ep 2 ][p 1 c], Π 2 = q 2 (p 1, p 2 )[p 2 c] = [a bp 2 + ep 1 ][p 2 c]. Pelin Nash -tasapaino on strategiavektori (p 1 N, p 2 N ) joka toteuttaa ehdot max Π 1 (p 1, p 2 ) p 1 = [a bp 1 + ep 2 ][p 1 c], max Π 2 (p 1, p 2 ) p 2 = [a bp 2 + ep 1 ][p 2 c]. Maksimoinnin ensimmäisen kertaluvun ehdoista saamme yhtälöryhmän Π 1 = 0 p 1 = a + ep 2 + bc p 1 2b Π 2 = 0 p 2 = a + ep 1 + bc. p 2 2b Tämän yhtälöryhmän ratkaisu on pelin Nash -tasapaino, p 1 N = p 2 N = a + bc 2b e. 13

14 Harj. Tarkista ratkaisun mittayksikkö! Yrityksen 1 voitto Nash -tasapainossa on Π 1 (p N 1, p N 2 ) = ( ( ) ( )) ( ) a + bc a + bc a + bc a b + e 2b e 2b e 2b e c = b(a + ce bc)2. (2b e) 2 Harj. Tarkista ratkaisun mittayksikkö! 14 Bertrandin mallin graafinen ratkaisu Yritysten reaktiofunktiot p 1 := R 1 (p 2 ) = a + ep 2 + bc 2b ja p 2 := R 2 (p 1 ) = a + ep 1 + bc 2b ovat nousevia suoria koordinaatistossa (p 1, p 2 ) ja niiden leikkauspiste on pelin Nash -tasapaino. 15 Sekastrategioiden mielekkyydestä Tarkastellaan esimerkkinä sellaista peliä, jossa 2 pelaajaa päättävät asettavatko he yhden markan pöytään numero- vai leijonapuoli ylöspäin ( matching pennies eli mp). Molemmat tekevät päätöksensä toisen päätöksestä tietämättä. Jos rahat osoittautuvat olevan sama puoli ylöspäin, pelaaja 2 saa molemmat rahat. Jos rahat ovat eripäin, pelaaja 1 saa molemmat rahat. Pelimatriisi on seuraava. pelaaja 2 numero leijona pelaaja 1 numero 1, +1 +1, 1 leijona +1, 1 1, +1 Pelissä ei ole puhtailla strategioilla pelattuna Nash -tasapainoa. Jos pelattu strategiavektori on (numero, leijona) tai (leijona, numero), pelaaja 2 haluaa muuttaa strategiaansa ja jos strategiavektori on (numero, numero) tai (leijona, leijona), pelaaja 1 haluaa muuttaa strategiaansa. Pelaajat pyrkivät arvaamaan toisen pelaajan strategian ja valitsevat omansa sillä perusteella. Yllä kuvatun pelin kanssa samantyyppisiä pelejä ovat erilaiset pokeri- ja muut korttipelit, kaksinkamppailut, sukupuolten välinen taistelu jne. Pokerissa bluffaaminen silloin tällöin liittyy siihen, että vaikeutetaan vastapelaaja(ie)n kykyä arvata omat kortit. Jos pelaaja ei koskaan bluffaa, muut 14

15 tietävät hänellä olevan hyvät kortit hänen nokittaessaan; toisaalta usein bluffaavan pelaajan korttien arvaaminen on myös helpompaa kuin satunnaisesti bluffaavan. Yleisesti ottaen mp :n tyyppisissä peleissä pelaajan kannattaa salata oma strategiavalintansa muilta pelaajilta mahdollisimman hyvin, kun taas sukupuolten välisessä taistelussa pelaajan kannattaa ilmaista strategiansa vastapelaajalle mahdollisimman hyvin. Esim. Mp:ssä pelaajan 1 sekastrategia on todennäköisyysjakauma (p, 1 p), 0 p 1, missä p on todennäköisyys, että 1 pelaa strategiaa numero ja 1 p on leijonan pelaamisen todennäköisyys. Sekastrategia p = 1 (1 p = 0) on tällöin puhdas strategia numero ja vastaavasti sekastrategia p = 0 (1 p = 1) vastaa puhdasta strategiaa leijona. Esim. Aiemmin tarkastelimme pelaajan valintaa pelissä, jossa hänellä oli strategiat vasen, keski, oikea. Yksi mahdollinen sekastrategia olisi tällöin todennäköisyysjakauma (q, p, 1 q p), 0 q 1, 0 p 1 ja 0 p+q 1, missä q on strategian vasen, p strategian keski ja 1 q p strategian oikea todennäköisyys. Yleisesti ottaen, tietyn pelaajan n:stä puhtaasta strategiasta voidaan muodostaa sekastrategia seuraavasti: p i on strategian i pelaamistodennäköisyys ja n i=1 p i = 1. Sekastrategioiden käytön yksi etu on se, että kaikki puhtaat strategiat saadaan yhden sekastrategian erikoistapauksina. Tarkastelu on tällöin yleisempää ja merkinnällisesti yksinkertaisempaa. Tarkastellaan sekastrategioiden käytön sallimisen vaikutusta pelin ratkaisemiseen muutaman esimerkin avulla. Esim. Tarkastellaan yllä esitettyä peliä mp pelaajan 1 näkökulmasta ja oletetaan hänen pelaavan sekastrategiaa (p, 1 p) aiemman esimerkin mukaisesti. Merkitään odotusarvo-operaattoria E:llä ja esitetään pelaajan 1 tuleman odotusarvot olettamalla, että pelaaja 2 pelaa jompaa kumpaa strategiaansa N tai L, E(jos 2 pelaa strategiaa N) = 1 p + 1 (1 p) = 1 2p, E(jos 2 pelaa strategiaa L) = 1 p 1 (1 p) = 2p 1. Asettamalla yllä olevat odotusarvot yhtäsuuriksi, saamme 1 2p = 2p 1 p = 1 2. Jos siis pelaaja 1 pelaa sekastrategiaansa todennäköisyyksillä (p, 1 p) = (1/2, 1/2), hänelle on odotusarvomielessä yhdentekevää, kumpaa strategiaa pelaaja 2 pelaa. Tällä tavalla pelaaja 1 voi suojata itsensä pelaajan 2 strategioita vastaan; sama pätee pelaajalla 2. Kummankin pelaajan kannattaa 15

16 siten pelata sekastrategiaa (p, 1 p) = (1/2, 1/2), sillä kaikki muut strategiat paljastuessaan antavat vastapelaajalle mahdollisuuden hyödyntää sitä informaatiota. Saimme siis sekastrategioiden avulla ratkaistua pelin sellaiseen muotoon, josta kumpikaan pelaaja ei ole halukas poikkeamaan (pelin Nash -tasapaino). Esim. Oletetaan seuraava peli. pelaaja 2 L R pelaaja 1 T 3, 0, M 0, 3, B 1, 1, Pelaajan 2 tulemia ei ole huomioitu pelimatriisissa, koska tarkastelemme vain pelaajan 1 pelaamista. Jos sekastrategioita ei sallita, pelaajalla 1 strategia B on aidosti dominoitu yhdessä strategioiden T ja M taholta, mutta kumpikaan niistä yksin ei aidosti dominoi B:tä. Tällaisessa tilanteessa sekastrategia K, jossa pelaaja 1 pelaa strategiaa T todennäköisyydellä 1/2 ja strategiaa M todennäköisyydellä 1/2 dominoi aidosti strategiaa B odotusarvomielessä. O- soitetaan tämä seuraavasti. Ajatellaan että pelaaja 1 olettaa 2:n pelaavan strategiaa L todennäköisyydellä p, 0 p 1 ja strategiaa R todennäköisyydellä (1 p). Lasketaan strategian B tuleman odotusarvo pelaajalle 1, E(B) = 1 p + 1 (1 p) = 1. Jos pelaaja 1 olettaa 2:n pelaavan strategiaa L todennäköisyydellä p, 0 p 1, sekastrategian K tuleman odotusarvo pelaajalle 1 saadaan vastaavasti E(K) = 1 2 E(T ) E(M) = 1 [3 p + 0 (1 p)] [0 p + 3 (1 p)] = 3 2 p (1 p) = 3 2. Havaitsemme siis, että riippumatta siitä millä todennäköisyydellä pelaaja 2 pelaa omia strategioitaan, pelaajalla 1 sekastrategia K dominoi aidosti puhdasta strategiaa B odotusarvomielessä. Sekastrategioiden käytön salliminen saattaa siten auttaa pelin ratkaisemista siten, että pelistä löydetään aidosti dominoituja strategioita. Esim. Tämä esimerkki osoittaa, että jokin puhdas strategia voi olla pelaajan paras vastastrategia toisen pelaajan sekastrategialle siitä huolimatta, että ko. puhdas strategia ei ole pelaajan paras vastastrategia mitään toisen 16

17 pelaajan puhdasta strategiaa vastaan. Oletetaan seuraava peli pelaaja 2 L R pelaaja 1 T 3, 0, M 0, 3, B 2, 2, ja tarkastellaan sitä pelaajan 1 näkökulmasta. Jos 2 valitsee L:n, 1:n kannattaa valita T ; jos 2 valitsee R:n, 1:n kannattaa valita M. B ei siis ole 1:n paras vastastrategia mitään 2:n puhdasta strategiaa vastaan. Oletetaan nyt 2:n pelaavan strategiaa L todennäköisyydellä q ja strategiaa R todennäköisyydellä 1 q. Pelaajan 1 tulemien odotusarvot eri strategioilla ovat tällöin E(T ) = 3 q + 0 (1 q) = 3q, E(M) = 0 q + 3 (1 q) = 3(1 q), E(B) = 2 q + 2 (1 q) = 2. Tarkistetaan vielä, millä q:n arvoilla B on pelaajan 1 paras vastastrategia yllä kuvatulle 2:n sekastrategialle. E(B) > E(T ) 2 > 3q q < 2 3 E(B) > E(M) 2 > 3(1 q) q > 1 3. Puhdas strategia B on siten 1:n paras vastastrategia 2:n yllä kuvattua sekastrategiaa vastaan, jos 1/3 < q < 2/3. Yllä johdettu tulos voidaan tulkita seuraavasti: B on 1:n paras vastastrategia 2:n sekastrategiaa vastaan, jos pelaaja 1 uskoo 2:n pelaavan strategiaa L todennäköisyyksillä 1/3 < q < 2/3. Tämä esimerkki osoittaa sen, että pelaajien sekastrategiat voidaan tulkita vastapelaajien uskomuksiksi heidän puhtaiden strategioidensa pelaamistodennäköisyyksistä. Tämän tulkinnan sekastrategioille antoi Harsanyi vuonna 1973 ja se osoittaa, miten pelaajien uskomukset muiden pelaajien strategioiden pelaamistodennäköisyyksistä vaikuttavat heidän valintoihinsa. 16 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioilla Olkoon q todennäköisyys, jolla nainen pelaa strategiaa ooppera ja 1 q todennäköisyys, jolla nainen pelaa strategiaa jalkapallo. Miehen pelaamistodennäköisyydet ovat vastaavasti: ooppera r ja jalkapallo 1 r. Miehen 17

18 tulemien odotusarvot ovat tällöin E( o ) = 1 q + 0 (1 q) = q, E( j ) = 0 q + 2 (1 q) = 2(1 q). Miehellä puhdas strategia o vastaa tilannetta r=1 ja se on paras vastastrategia naisen sekastrategialle, jos E( o ) > E( j ), eli q > 2(1 q) 3q > 2 q > 2 3. Jos q < 2/3, puhdas strategia j (joka vastaa tilannetta r = 0) on miehen paras vastastrategia naisen sekastrategialle. Jos q = 2/3, mikä tahansa r:n arvo 0 r 1 on miehen paras vastastrategia naisen sekastrategialle, sillä tällöin yllä olevan yhtälöryhmän mukaan miehellä pätee E( o ) = E( j ) r:stä riippumatta. Odotusarvomielessä on tällöin sama, millä todennäköisyyksillä mies strategioitaan pelaa, sillä molempien odotusarvot ovat samat, joten jokaisella niistä muodostetulla sekastrategialla on sama odotusarvo. Vastaava päättely voidaan suorittaa naisen kohdalla. Naisen puhtaiden strategioiden tulemien odotusarvot ovat E( o ) = 2 r + 0 (1 r) = 2r, E( j ) = 0 r + 1 (1 r) = 1 r. Naisen paras vastastrategia miehen sekastrategialle on o (joka vastaa tilannetta q = 1), jos 2r > (1 r) 3r > 1 r > 1 3. Vastaavasti j (joka vastaa tilannetta q = 0) on naisen paras vastastrategia miehen sekastrategialle, kun r < 1/3. Jos r = 1/3, tällöin naisella pätee E( o ) = E( j ), eli on sama millä todennäköisyyksillä 0 q 1 nainen strategioitaan pelaa. Todennäköisyyksillä (q, r) = (2/3, 1/3) muodostettu sekastrategiapari on siten yksi pelin Nash -tasapaino, joka voidaan esittää pelaajien reaktiofunktioiden leikkauspisteenä. Pelaajien reaktiofunktiot koordinaatistossa (q, r) leikkaavat toisensa kolmessa pisteessä (q, r) = (0, 0), (q, r) = (1, 1) ja (q, r) = (2/3, 1/3), jotka kaikki ovat pelin Nash -tasapainoja. Nash - tasapainot (0, 0) ja (1, 1) on muodostettu puhtaista strategioista ja (2/3, 1/3) sekastrategioista. Jos mies uskoo naisen pelaavan strategiaa o todennäköisyydellä q < 2/3, miehen paras strategia on j (r = 0). Jos mies uskoo että q > 2/3, 18

19 miehen paras strategia on o (r = 1). Jos nainen uskoo miehen pelaavan strategiaa o todennäköisyydellä r < 1/3, naisen paras strategia on j (q = 0). Jos nainen uskoo että r > 1/3, naisen paras strategia on o (q = 1). Siis uskomuksia (q < 2/3, r < 1/3) vastaa Nash -tasapaino ( j, j ), uskomuksia (q > 2/3, r > 1/3) vastaa Nash -tasapaino ( o, o ) ja uskomusten (q = 2/3, r = 1/3) tilanteessa, mikä tahansa strategia on yhtä hyvä. 17 Dynaamiset pelit täydellisen informaation vallitessa Dynaamisten pelien yksi piirre, jota ei ole staattisissa peleissä, on pelaajien uhkausten uskottavuus. Olennaista on, että pelaajien tarvitsee ottaa huomioon vain uskottavat uhkaukset. Esim. Henkilö vaatii toiselta euroa uhaten räjäyttää heidät molemmat, ellei vaatimukseen suostuta. Tämä uhkaus ei ole uskottava (jos uhkaaja on rationaalinen pelaaja), sillä uhkauksen toteuttaminen tuottaa harmia myös uhkaajalle. Dynaamisten pelien ratkaisuperiaate on taaksepäin induktointi (backwards induction), jossa pelin viimeisestä siirrosta (päätöksestä) edetään ensimmäiseen siirtoon. Taaksepäin induktoinnin mielekkyys perustuu siihen, että pelin ensimmäistä valintaa tekevän pelaajan tulee ottaa huomioon valinnassaan pelin kaikki mahdolliset lopputulokset (tulemat). Ratkaisuperiaate perustuu: 1) kaikkien pelaajien rationaalisuuteen, 2) oletukseen, että kaikki pelaajat tietävät muiden pelaajien olevan rationaalisia, sekä 3) pelaajien informaatioon pelin tulemista ja valintamahdollisuuksista eri valintatilanteissa. Muutamia käsitteitä Ekstensiivisessä (laajennetussa) pelissä määritellään 1) pelaajat, 2) pelaajien siirtovuorot ja -mahdollisuudet, 3) pelaajien informaatio eri siirtotilanteissa ja pelaajien tulemat (tai tulemien odotusarvot) siirtojen jälkeen. Ekstensiivisessä pelissä pelaajan yksi strategia on yksi täydellinen päätösketju, jossa määritellään tietty siirto jokaista pelaajan siirtomahdollisuutta kohti. Pelaajan informaatiojoukko on joukko päätöksentekosolmuja, joissa: 1) pelaajalla on siirtovuoro ja 2) kun peli on edennyt tietyn informaatiojoukon johonkin solmukohtaan, siirtävä pelaaja ei tiedä, mihin informaatiojoukon solmukohdista peli on edennyt. Alipelillä (subgame) tarkoitetaan jonkin pelin ekstensiivistä osapeliä siten, että edetään jostakin pelin yksisolmuisesta siirtotilanteesta, joka ei ole 19

20 pelin aloitussiirto, pelin loppuun siten, että näin syntyvän osapelin informaatiojoukot eivät leikkaa pelin alkuosan solmukohtia. Esim. Tarkastellaan luennolla muutamia ekstensiivisiä pelejä, jotka voidaan esittää puumuodossa. 18 Stackelbergin duopolimalli Stackelberg (1934) esitti dynaamisen mallin kahden yrityksen kilpailutilanteesta, jossa yritykset tuottavat keskenään kilpailevia tuotteita ja toinen yritys toimii johtajana ja toinen seuraajana. Muodostetaan tilanteesta ekstensiivinen peli. 1) Pelaajat ovat yritykset. 2) Pelistrategiat ovat yritysten tuotantonopeudet. 3) Pelin tulemat ovat yritysten voitot Π i (q 1, q 2 ) = q i [p(q) c] = q i [p 0 z(q 1 + q 2 ) c], i = 1, 2, missä q = q 1 + q 2 on toimialan yhteenlaskettu tuotantonopeus, p on markkinoilla määräytyvä yritysten lopputuotteiden yksikköhinta, p(q) = p 0 zq on toimialan menekkifunktio, c on yritysten rajakustannukset (=yksikkökustannukset) ja p 0, z, p 0 > c ovat positiivisia dimensionaalisia vakioita. Molempien yritysten oletetaan tuntevan toimialan menekkifunktion. Pelin kulku on seuraava. 1) Yritys 1 aloittaa pelin valitsemalla tuotantonopeutensa q ) Yritys 2 havaitsee q 1 :n ja valitsee oman tuotantonopeutensa q 2, mihin siirtoon peli päättyy. Ratkaistaan peli taaksepäin induktoimalla. Johdetaan ensin yrityksen 2 optimaalinen reaktiofunktio R 2 (q 1 ) yrityksen 1 strategialle q 1. Yrityksen 2 optimointiongelma on max q 2 Π 2 (q 1, q 2 ) = q 2 [p 0 z(q 1 + q 2 ) c]. Ensimmäisen kertaluvun ehto maksimille on Π 2 = 0 R 2 (q 1 ) := q 2 = p 0 zq 1 c q 2 2z kun q 1 (p 0 c)/z, jolloin q 2 0. Tämä sama yhtälö esiintyi Cournot in duopolimallissa sillä erolla, että nyt q 1 on yrityksen 2 havaitsema yrityksen 1 todellinen tuotantonopeus, kun se Cournot lla oli mikä tahansa yrityksen 1 positiivinen tuotantonopeus. Koska yritys 1 voi myös ratkaista yrityksen 2 optimointiongelman, voi se omaa tuotantopäätöstään tehdessään ennakoida yrityksen 2 reaktion. Yri- 20

21 tyksen 1 päätöksentekotilanne tulee siten muotoon max Π 1 (q 1, R 2 (q 1 )) = q 1 [p 0 z(q 1 + R 2 (q 1 )) c] q 1 ( )) p0 zq 1 c = q 1 (p 0 zq 1 c z = q 1 2z 2 (p 0 zq 1 c). Tämän maksimointiongelman ensimmäisen kertaluvun ehto on Π 1 = 0 R 1 (R 2 (q 1 )) := q 1 = p 0 c. q 1 2z Yrityksen 1 tuotantonopeus on nyt määrätty, joten yrityksen 2 strategia on R 2 (q 1 ) := q 2 = p 0 c 1 ( ) p0 c = p 0 c. 2z 2 2z 4z Pelin ratkaisutilanteessa yritys 1 tuottaa siis suuremmalla tuotantonopeudella kuin yritys 2 ja toimialan yhteenlaskettu tuotantonopeus on q = q 1 + q 2 = 3(p 0 c). 4z Toimialan yhteenlaskettu tuotantonopeus on suurempi kuin Cournot in mallin Nash -tasapainotilanteessa (3/4 > 2/3) ja markkinahinta on nyt alempi. Jos yritys 1 olisi valinnut tuotantonopeudekseen Cournot in mallin Nash - tasapainotilanteen mukaisen tuotantonopeuden, yrityksen 2 paras vastastrategia olisi ollut Cournot in tasapainotilannetta vastaava. Yritys 1 päättää kuitenkin Stackelbergin kilpailutilanteessa tuottaa Cournot in mallin tasapainotilannetta suuremmalla tuotantonopeudella, josta se saa suuremman voiton. Vaikka koko toimialan voitto pienenee tämän seurauksena, yrityksen 1 voitto kasvaa ja yritys 2 kärsii tästä. Pelin ratkaisutilanteessa yritysten voitot ovat Π 1 (q 1, q 2 ) = (p 0 c) 2 > (p 0 c) 2 = Π 2 (q 1, q 2 ), 8z 16z joten toimialan yhteenlaskettu voitto on pienempi kuin Cournot in mallissa Π(Cournot) = 2(p 0 c) 2 > 3(p 0 c) 2 = Π(Stackelberg). 9z 16z Stackelbergin malli osoittaa, miten yrityksen 2 tieto yrityksen 1 tuotantonopeudesta Cournot in peliin verrattuna on haitallista yritykselle 2. Tämä johtuu siitä, että yritys 1 tietää yrityksen 2 tietävän oman tuotantonopeutensa, mitä tietoa yritys 1 voi hyödyntää pelissä. Yksittäisen henkilön päätöksenteossa lisäinformaatio parantaa aina päätöksentekijän tilannetta. Sen sijaan, jos usean pelaajan pelissä jonkin pelaajan lisäinformaatio tulee muiden pelaajien tietoon, siitä voi olla haittaa kyseiselle pelaajalle, sillä se voi helpottaa hänen siirtonsa arvattavuutta. 21

22 19 Dynaamiset epätäydellisen informaation pelit Kuten aiemminkin tarkastelemissamme täydellisen informaation dynaamisissa peleissä oletamme edelleen, että peli etenee erilaisten päätöstilanteiden sarjana, joissa päätöksiä tekevät pelaajat tuntevan pelin historian eli pelaajien aiemmat siirrot. Erona aiempiin peleihin sallimme nyt, että usea pelaaja tekee samanaikaisesti valintoja pelin tietyssä solmukohdassa. Tämä päätösten samanaikaisuus tekee pelin informaatiosta epätäydellisen. Määritelmä: (Selten 1965) Dynaamisen pelin Nash -tasapaino on alipelitäydellinen (subgame perfect), jos tasapainon mukaiset pelaajien strategiat muodostavat Nash -tasapainon jokaisessa pelin alipelissä. Tarkastellaan esimerkkinä seuraavanlaista neljän pelaajan peliä, jossa 1. vaiheessa pelaajat 1 ja 2 valitsevat samanaikaisesti siirtonsa a 1, a 2 sallituista siirroista. Vaiheessa 2. pelaajat 3 ja 4 havaitsevat pelaajien 1 ja 2 siirrot, tekevät omat sallitut siirtonsa a 3, a 4 ja peli päättyy tähän. Tällöin tiedetään pelin tulemat jokaiselle pelaajalle u i (a 1, a 2, a 3, a 4 ), i = 1,..., 4. Tämäntyyppiset pelit ratkaistaan taaksepäin induktoimalla. Pelaajien 3 ja 4 ratkaisut ovat muotoa a 3 (a 1, a 2 ) ja a 4 (a 1, a 2 ). Koska pelaajat 1 ja 2 voivat ennakoida pelaajien 3 ja 4 siirrot, pelaajien 1 ja 2 siirrot voidaan esittää seuraavasti a 1 (a 3, a 4 ), a 2 (a 3, a 4 ), joka on pelin alipelitäydellinen Nash -tasapaino. Olennaista pelissä on, että pelaajat 1 ja 2 eivät reagoi pelaajien 3 ja 4 sellaisiin strategioihin, jotka eivät olisi rationaalisia valintoja pelin toisessa vaiheessa. Esimerkkinä tällaisesta pelistä tarkastelemme seuraavaa peliä Pankkien talletuspako-ongelma Kaksi tallettajaa tallettaa pankkiin D euroa. Pankki lainaa rahat yhteen pitkän aikavälin projektiin. Jos tallettajat nostavat rahat kesken projektin, pankin on muutettava investointiprojektinsa rahaksi, josta kertyy rahaa 2r euroa, D > r > D/2. Jos projekti voidaan rahoittaa valmiiksi asti, projekti maksaa pankille takaisin 2R euroa, R > D. Tallettajat voivat nostaa talletuksensa pankista kahdessa vaiheessa: joko kesken projektin tai sen loputtua. Diskonttausta ei huomioida pelissä. Pelin vaiheet ovat: 1) Tallettajat tallettavat rahat. 2a) Molemmat tallettajat nostavat rahansa, jolloin molemmat saavat r euroa ja peli päättyy, 2b) toinen tallettaja nostaa rahansa saaden D euroa ja toinen ei nosta rahojaan saaden 2r D euroa ja peli päättyy, 2c) kumpikaan pelaajista ei nosta rahojaan, jolloin peli siirtyy vaiheeseen 3. 3a) Molemmat tallettajat nostavat 22

23 rahansa projektin päättyessä saaden R euroa ja peli päättyy, 3b) toinen pelaaja nostaa rahansa saaden 2R D euroa ja toinen saa D euroa ja peli päättyy, 3c) kumpikaan ei nosta rahojaan, jolloin pankki tulouttaa pelaajille R euroa kummallekin. Esitetään pelin päätösvaiheet kahtena normaalimuotoisena pelinä. Vaihe 2: Vaihe 3: pelaaja 2 nosta älä nosta pelaaja 1 nosta r, r D, 2r-D älä nosta 2r-D, D siirto vaiheeseen 2 pelaaja 2 nosta älä nosta pelaaja 1 nosta R, R 2R-D, D älä nosta D, 2R-D R, R Ratkaistaan peli taaksepäin induktoimalla. Koska R > D niin 2R D > R, joten vaiheen 3 Nash -tasapaino on (nosta, nosta), jonka tulema on (R, R). Koska pelissä ei ole diskonttausta, vaiheen 3 ratkaisu voidaan siirtää vaiheen 2 pelitilanteeseen, joka tulee tällöin muotoon pelaaja 2 nosta älä nosta pelaaja 1 nosta r, r D, 2r-D älä nosta 2r-D, D R, R Koska D > r niin r > 2r D, joten pelillä on kaksi alipelitäydellistä Nash -tasapainoa: 1) molemmat nostavat talletuksensa toisessa vaiheessa ja peli päättyy tulemaan (r, r), ja 2) pelaajat eivät nosta talletuksiaan toisessa vaiheessa mutta nostavat kolmannessa, jolloin peli päättyy tulemaan (R, R). Pelin tulos voidaan tulkita seuraavasti: jos tallettaja 1 uskoo, että tallettaja 2 aikoo nostaa rahansa ennen projektion valmistumista, hänenkin kannattaa tehdä niin; päinvastaisella uskomuksella hänen kannattaa olla nostamatta. Pelin lopputulos (kumpi Nash -tasapaino saavutetaan) riippuu siis pelaajien uskomuksista toisen pelaajan valinnoista. Talletuspaon estämiseksi pankkien olisi siten syytä pitää huolta vakavaraisuudestaan. 20 Staattiset epätäydellisen informaation pelit Määritelmä: Normaalimuotoisessa n:n pelaajan staattisessa Bayesilaisessa 23

24 pelissä määritellään pelaajien valinta-avaruudet A 1,..., A n, pelaajien tyyppiavaruudet T 1,..., T n, pelaajien uskomukset p 1,..., p n sekä pelaajien tulemafunktiot u 1,..., u n. Pelaaja i tuntee itse tyyppinsä t i T i, joka määrittelee pelaajan tulemafunktion u i (a 1,..., a n ; t i ) (esimerkiksi riskin karttaja tai ottaja, korkean tai alhaisen teknologian yritys, rehellinen tai huijari jne.). Pelaajan i uskomukset p i (t i t i ) kuvaavat pelaajan i epävarmuutta muiden n 1 pelaajan tyypeistä t i = (t 1,..., t i 1, t i+1,..., t n ). Peli voidaan esittää seuraavassa yleisessä muodossa G = {A 1,..., A n ; T 1,..., T n, ; p 1,..., p n ; u 1,..., u n }. Määritelmä: Staattisessa Bayesilaisessa pelissä G = {A 1,..., A n ; T 1,..., T n, ; p 1,..., p n ; u 1,..., u n }, strategiavektori (s 1,..., s n ) on pelin Bayesilainen Nash -tasapaino, jos jokaisella pelaajalla i ja jokaisella pelaajan i tyypillä t i T i strategia s i ratkaisee seuraavan optimointiongelman max a i A i u ( s 1 (t 1 ),..., s i 1 (t i 1 ), a i, s i+1 (t i+1 ) ),..., s n (t n ); t i pi (t i t i ), t i T i missä p i (t i t i ) on pelaajan i todennäköisyysjakauma (uskomusjakauma) yli muiden pelaajien kaikkien mahdollisten tyyppien ehdolla, että pelaaja i itse tietää oman tyyppinsä. Tasapainotilanteessa kukaan pelaajista ei halua muuttaa strategiaansa missään pelin valintatilanteessa. Esimerkki. Täydennetään sukupuolten välistä taistelua epävarmuudella siitä, mikä on vastapelaajan arvostus eri tilanteille. mies ooppera jalkapallo nainen ooppera 2+t n, 1 0, 0 jalkapallo 0, 0 1, 2+t m Pelissä naisen todellinen arvostus tilanteelle ( o, o ) on 2 + t n, jonka nainen itse tietää, samoin miehen arvostus tilanteelle ( j, j ) on 2 + t m, jonka mies itse tietää. Vastapelaajat eivät tiedä suureita t n, t m, jotka on satunnaispoimintoja tasajakaumasta [0, x] (esimerkiksi satunnainen päänsärky ym.). Pelaajien valinta-avaruudet ovat A i = {ooppera, jalkapallo}, i = 1, 2, pelaajien tyyppiavaruudet ovat T n = T m = [0, x], pelaajien uskomukset ovat p n (t m ) = p m (t n ) = 1/x jokaisella [0 t k x], k = m, n (mitä suurempi t k, sitä suurempi arvostus ko. tilanteelle). 24

25 Muodostetaan tilanteessa puhtaista strategioista Bayesilainen Nash -tasapaino, missä mies pelaa strategiaa j jos t m ylittää tietyn kriittisen arvon H, ja pelaa muutoin strategiaa o. Vastaavasti nainen pelaa strategiaa o jos t n ylittää tietyn kriittisen arvon K, ja pelaa muutoin j :tä. Tasapainotilanteessa mies pelaa strategiaa j todennäköisyydellä (x H)/x = 1 H/x (ja o :ta todennäköisyydellä H/x), ja nainen pelaa strategiaa o todennäköisyydellä (x K)/x = 1 K/x (ja j :tä todennäköisyydellä K/x). Ratkaistaan nyt ne H:n ja K:n arvot, joilla pelin ratkaisu on Nash -tasapaino. Yllä kuvatuilla naisen strategioiden pelaamistodennäköisyyksillä miehen strategioiden odotusarvot ovat ( E( o ) = 1 K ) 1 + K x x 0 = 1 K x, ( E( j ) = 1 K ) 0 + K x x (2 + t m) = K(2 + t m). x Strategia j on optimaalinen, kun E( j ) > E( o ) t m > x K 3 = H. Vastaavasti naisen strategioiden odotusarvot yllä esitetyillä miehen pelaamistodennäköisyyksillä ovat E( o ) = H ( x (2 + t n) + 1 H ) 0 = H(2 + t n), x x E( j ) = H ( x H ) 1 = 1 H x x. Strategia o on optimaalinen, kun E( o ) > E( j ) t n > x H 3 = K. Yhtälöryhmän (20) ja (20) ratkaisu on H = K ja H 2 + 3H x = 0, jolla on ratkaisut H 1 = x, H 2 = x ; 2 2 näistä jälkimmäinen hylätään sen negatiivisuuden takia. Todennäköisyydet, että mies pelaa strategiaa j ja nainen pelaa strategiaa o, ovat siten molemmat x H = x K = x x x 2x jonka raja-arvo on 2/3 kun x 0 (tämä saadaan L Hospitalin menetelmällä; raja-arvotilanne on muotoa 0/0 ). Pelin ratkaisu lähestyy siten sekastrategioista muodostettua täydellisen informaation Nash -tasapainoa pelaajien tyyppien epävarmuuden lähestyessä nollaa. 25

26 21 Dynaamiset Bayesilaiset pelit Oletetaan seuraava ekstensiivinen peli esitettynä puumuodossa: Pelin normaalimuotoinen esitys on seuraava. pelaaja 2 L R pelaaja 1 L 2, 1 0, 0 M 0, 2 0, 1 R 1, 3 1, 3 Normaalimuotoisen pelin puhtaiden strategioiden joukossa on kaksi Nash - tasapainoa: (L, L ) ja (R, R ). Tarkasteltaessa ovatko nämä pelin ratkaisut alipelitäydellisiä ekstensiivisessä pelissä havaitaan, että pelaajan 2 valintatilanteen informaatiojoukko ei ole yksisolmuinen, joten pelissä ei ole alipelejä. Koko ekstensiivisen pelin Nash -tasapaino on siten myös alipelitäydellinen. Koska normaalimuotoisen pelin Nash -tasapaino (R, R ) perustuu epäuskottavaan uhkaukseen (2:n kannattaa molemmissa tilanteissa valita L ), pelaajan 1 ei tarvitse välittää siitä ja pelata sen takia R:ää, vaan pelaaja 1 voi pelata L:ää. Pelin ratkaisu on siten (L, L ). Vaatimus epäuskottavien uhkausten unohtamisesta auttaa meitä ratkaisemaan tämän ekstensiivisen pelin yksikäsitteisesti. Lisävaatimus 1: Jokaisessa informaatiojoukossa siirtävällä pelaajalla on oltava uskomus siitä, missä informaatiojoukon valintasolmussa hän on pelin edettyä kyseiseen informaatiojoukkoon. Usean solmun informaatiojoukossa pelaajan uskomus on todennäköisyysjakauma yli informaatiojoukon solmukohtien. Lisävaatimus 2: Pelaajien uskomukset huomioonottaen pelaajien siirtojen on oltava rationaalisia läpi koko pelin. 26

27 Yllä esitetyssä pelissä lisävaatimus 1 tarkoittaa sitä, että kun peli etenee pelaajan 2 valintatilanteeseen, pelaajalla 2 on oltava uskomus siitä, kumpaan valintasolmuun peli on edennyt. Tämä uskomus voidaan esittää todennäköisyysjakaumana (p, 1 p), missä p on strategian L todennäköisyys ja 1 p strategian M todennäköisyys. Pelaajan 2 uskomukset huomioonottaen hänen strategioidensa odotusarvot ovat E(R ) = p 0 + (1 p) 1 = 1 p, E(L ) = p 1 + (1 p) 2 = 2 p. Koska 2 p > 1 p jokaisella p:n arvolla, lisävaatimus 2 yllä estää pelaajaa 2 pelaamasta strategiaa R. Tämä on toinen tapa eliminoida ekstensiivisestä pelistä normaalimuotoisen pelin Nash -tasapaino (R, R ). Määritelmä: Jos ekstensiivisessä pelissä on jokin tasapainoratkaisu, tietyn informaatiojoukon sanotaan sijaitsevan ratkaisupolulla, jos sillä on positiivinen todennäköisyys sisältyä pelin ratkaisuun kun peliä pelataan tasapainostrategioiden mukaisesti. Päinvastaisessa tapauksessa informaatiojoukko ei sijaitse ratkaisupolulla. Pelin tasapaino voi olla Nash, alipelitäydellinen, Bayesilainen tai täydellinen Bayesilainen. Lisävaatimus 3: Tasapainopolulla sijaitsevassa informaatiojoukossa pelaajien uskomukset muodostetaan Bayesin periaatteella pelaajien tasapainostrategioiden mukaisesti. Esim. Viimeksi esitetyssä pelissä alipelitäydellinen Nash -tasapaino edellyttää että p = 1, sillä pelaajan 1 tasapainostrategian tunteva pelaaja 2 voi arvata pelaajan 1 valinneen L:n. Lisävaatimus 4: Informaatiojoukoissa, jotka eivät sijaitse tasapainopolulla, uskomukset muodostetaan Bayesin periaatteella pelaajien tasapainostrategioiden mukaisesti aina kun se on mahdollista. Määritelmä: Ekstensiivisen pelin täydellinen Bayesilainen tasapaino koostuu pelaajien strategioista ja uskomuksista, jotka toteuttavat lisävaatimukset 1-4. Olennaista tässä pelin ratkaisun määritelmässä on se, että tasapainotilanne ei ainoastaan määrittele jokaisen pelaajan pelin ratkaisun tuottavaa tasapainostrategiaa, vaan lisäksi jokaisen pelaajan uskomuksen jokaisessa informaatiojoukossaan siitä, missä valintasolmussa hän on. Tasapainotilanteessa pelaajilta vaaditaan, että he tekevät rationaalisia valintoja ja että nämä valinnat perustuvat rationaalisesti muodostettuihin uskomuksiin. Esim. Oletetaan seuraava ekstensiivinen kolmen pelaajan peli. Pelissä on yksi alipeli, joka alkaa pelaajan 2 valintatilanteesta. Alipelin yksikäsitteinen 27