Morfologia-kurssin luentomateriaaleja

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Morfologia-kurssin luentomateriaaleja"

Transkriptio

1 Morfologia-kurssin luentomateriaaleja Juho H arme 1. marraskuuta 2016 Sis alt o 1 Luento 16: Aspekti kieliopillisena kategoriana Perusmerkitykset Joitakin erityismerkityksi a Toistoon liittyv at erityismerkitykset Perfektiivisen aspektin muita erityismerkityksi a Imperfektiivisen aspektin erityismerkityksi a

2 1 Luento 16: Aspekti kieliopillisena kategoriana 2 ˆ Takaisin sivun yl alaitaan ˆ Lataa PDF ˆ Tutki luentokalvoja ˆ Tutki tuntiteht avi a Edellisen luennon lopussa esiteltiin ajatus aspektuaalisten merkitysten jakamisesta perus- ja erityismerkityksiin (îáùèå è àñòíûå âèäîâûå çíà åíèÿ). Perusmerkityksill a tarkoitetaan sellaista imperfektiivisen tai perfektiivisen aspektin k aytt o a, jossa kummallekin aspektille tyypilliset ominaisuudet tulevat kaikkein selvimmin esiin (Nikunlassi 2002: 178). Toisin sanoen perusmerkityksiss a aspekti k aytt aytyy odotetulla, ik a an kuin s a ann onmukaisimmalla mahdollisella tavalla. 1.1 Perusmerkitykset Imperfektiivisen aspektin perusmerkityksen a pidet a an niin kutsuttua konkreettis-prosessuaalista merkityst a (êîíêðåòíî-ïðîöåññíîå çíà åíèå). Konkreettis-prosessuaalinen merkitys (jatkossa lyhyemmin KPM) viittaa nimens a mukaisesti tapauksiin, jossa imperfektiivist a aspektia k aytet a an viittaamaan yhteen konkreettiseen tapahtumaan, jota kuitenkin kuvataan ei sis aisesti rajattuna vaan avoimena, prosessuaalisena. Pohdi esimerkin 1 j alkimm aist a lausetta: (1) Êîãäà ìàìà ïðèøëà äîìîé, ÿ èãðàë íà ôîðòåïèàíî (2) Ñèæó äîìà íà êóõíå è çàíèìàþñü êèòàéñêèì. (3) Îí äóìàë, äóìàë, äóìàë, è óâñòâîâàë, òî ãîëîâà ó íåãî ðàçäóâàåòñÿ òî íî âîçäóøíûé øàð. Esimerkin 1 j alkimm aisess a lauseessa on selv asti n aht aviss a, ett a 1. Kyseess a on yksitt ainen tapahtuma 2. Tapahtumalle ei ole asetettu rajoja, vaan se on avoin (ajattele edell a esitetty a vertausta usvasta) 3. Tapahtumaa voitaisiin siis kuvata prosessiksi, joskaan ei t ass a tapauksessa prosessiksi siin a mieless a, ett a kyseess a olisi toiminto, jota ei ole saatu valmiiksi. Oleellisempi ajatus on prosessuaalinen vastakohtana rajatulle. Vastaavasti my os esimerkeiss a 2 ja 3 kuvataan yksitt aisi a ja konkreettisia tapahtumia, mutta esitet a an ne ilman sis aist a rajaa tai ajatusta toiminnan totaalisuudesta. Jos KPM-merkityksen toimintoja esitt a a samassa lauseessa useita, on tuloksena useita samanaikaisia prosesseja: (4) Ìîëîäàÿ æåíùèíà ñèäåëà ó îêíà âàãîíà è èòàëà (5) Îíà ñèäåëà è äóìàëà è â ãîëîâó åé ïðèõîäèëà... òîëüêî ïóñòîòà (6) ß ïëàêàëà è îáíèìàëà äî êó. 2

3 Perfektiivisell a aspektilla perusmerkitykseksi kutsutaan konkreettis-faktista merkityst a (êîíêðåòíî-ôàêòè åñêîå çíà åíèå). Samoin kuin imperfektiivisell a aspektilla, t ass akin on siis kyse yhdest a konkreettisesta toiminnasta. Siin a miss a imperfektiivinen aspekti esitt a a toiminnan rajaamattomana, esiintyy se perfektiivisell a aspektilla kuitenkin rajattuna, kokonaisena faktana, jonka tapahtumisesta (alkuineen ja loppuineen) kerrotaan. Tarkastellaan esimerkkej a: (7) Îí ïîâòîðèë ìíå ñâîé âîïðîñ. Esimerkist a 7 voidaan todeta, ett a lause on hyvin selke a ja helposti tulkittavissa. Konkreettis-faktiselle merkitykselle (jatkossa lyhyemmin KFM) onkin tyypillist a, ettei sen ilmenemiseen tarvita sen laajempaa kontekstia, vaan se on yleens a melko yksitulkintainen. Esimerkiss a 7 k ay hyvin selv aksi, ett a kyseess a on yksi konkreettinen, rajattu tapahtuma jonka keskelle ei hyp at a, vaan jonka tapahtuminen esitet a an kokonaisena faktana. (8) Áóõãàëòåð ñäåëàë â ó åòå çàïèñü. (9) Ïåðåøëþ ññûëêó íà ýòó ñòàòüþ çíàêîìûì ó èòåëÿì. (10) ß çàïîëç ïîä äèâàí, ëåã íè êîì, âûíóë íîæ èç êàðìàíà è ïðîðåçàë â ñèòöå äûðêó, òîá óäîáíî áûëî ïîäñìàòðèâàòü. Erityisen havainnollinen on esimerkki 10, joka on per aisin Charles Dickensin salapoliisitarinasta (Òðè ðàññêàçà î ñûùèêàõ). Verbeill a çàïîëçòè (`ry omi a'), ëå ü (íè êîì) `menn a maaten (mahalleen)', âûíóòü (ottaa esille) ja ïðîðåçàòü (`leikata') kuvataan kaikilla selke asti kokonaisia, rajattuja, yksitt aisi a toimintoja tapahtuneita faktoja. Huomaa, ett a kun KFM-merkityksen toimintoja on lauseessa monta, ne eiv at tapahdu samanaikaisesti (vrt. esim. 4) vaan per akk aisesti. 1.2 Joitakin erityismerkityksi a Perusmerkitysten lis aksi voidaan erotella tutkijasta riippuen enemm an tai v ahemm an suuri joukko imperfektiivisen ja perfektiivisen aspektin erityismerkityksi a. Siin a miss a perusmerkitykset ilmenev at ilman erityist a kontekstia ja ovat suoraviivaisia tulkittavia, tarkoitetaan erityismerkityksill a melko spesifej a tilanteita, tiettyj a ymp arist oj a, joissa imperfektiivinen tai perfektiivinen aspekti tuo esiin tietyn puolen toiminnasta. Erityismerkitysten voi ajatella olevan johdettuja perusmerkityksest a: perfektiiviseen aspektiin liittyy edelleen toiminnan rajattuus ja kokonaisuus. N aiss a tilanteissa kuitenkin k aytt o voi etenkin kielenoppijan kannalta olla jossain m a arin ennalta arvaamattomampaa. Erityismerkityksist a kannattaa muistaa, ett a ne ovat usein jollain tavalla v arittyneit a lauseita, ja saman asian pystyisi sanomaan neutraalimmin perusmerkityksi a k aytt am all a Toistoon liittyv at erityismerkitykset Aloitetaan erityismerkitysten tarkastelu joukosta merkityksi a, jotka kaikki kuvaavat jollain tavalla toistoa. Ehk a hieman yll att aen n ait a merkityksi a on sek a imprefktiivisell a ett a perfektiivisell a aspektilla. 3

4 Imperfektiivisell a aspektilla voidaan erottaa kaksi toistoon liittyv a a erityismerkityst a: rajoittamattoman ja rajoitetun toiston merkitykset (íåîãðàíè åííî-êðàòíîå / îãðàíè åííîêðàòíîå çíà åíèå). Tutkitaan kumpaakin esimerkkien kautta. Rajoittamaton toisto on hyvin tavallinen merkitys. Siin a tapahtumaa ei sijoiteta mihink a an konkreettiseen aikaan vaan kuvataan se toistuvana, eik a ilmaista tarkkaan, kuinka paljon toistoja on: (11) ß àñòî ïîêóïàþ íà ðûíêå îâîùè. (12) Â Ôèíëÿíäèè âñåãäà èãðàþò â õîêêåé. (13) Ñàéò ïîñòîÿííî ïîïîëíÿåòñÿ íîâûìè ìàòåðèàëàìè Kuten nimest a voi p a atell a, rajoitetun toiston merkityksess a nimenomaan kerrotaan, kuinka monta kertaa jokin toistuva tai toistunut toiminto tapahtuu tai on tapahtunut. T am a merkitys on edellist a huomattavasti harvinaisempi ja tulee kysymykseen vain melko rajatuissa konteksteissa. Oleellista on, ett a toistokertojen v alinen aika j a a h am ar an peittoon ja voi olla pitk akin, kuten erityisesti esimerkiss a 14: (14) ß òðè ðàçà ïîñòóïàë â óíèâåðñèòåò (15) Ìíå ýòî íàäîåëî. Òðè ðàçà ïîäîãðåâàëà òåáå ñóï. Etenkin esimerkki 15 on kuitenkin hyvin l ahell a sit a toistoon liittyv a a eristyismerkityst a, joka kuuluu perfektiiviselle aspektille. T at a merkityst a kutsutaan summatiiviseksi (ñóììàðíîå çíà åíèå) ja aivan kuten rajoitetun toiston merkitys, se kuvaa tapahtumia, jotka ovat toistuneet tarkkaan m a aritellyn m a ar an kertoja. Oleellinen ero kuitenkin on siin a, ett a perfektiivinen aspekti joka, kuten muistat, on aspekteista se kantaaottavampi osapuoli ei j at a samanlaista tulkinnanvaraa sille, voisiko tapahtumien v alinen aika olla jollain tapaa ep am a ar ainen tai mahdollisesti pitk akin. Pohdi seuraavia esimerkkej a: (16) Îí íåñêîëüêî ðàç ïåðå èòàë çàïèñêó (17) Â åðà ÿ ïÿòü ðàç ïðî èòàë ìàòåðèàë äëÿ ýêçàìåíà. (18) Îí íåñêîëüêî ðàç ïåðåñïðîñèë : ¾Òî íî? íî óæå íå íà óõî, ñëûøàëè è äðóãèå. (19) Ìèìî ìåíÿ 15 ðàç ïðîøåë çàìå àòåëüíûé Âàñÿ Ãåðåëëî, è â ïÿòíàäöàòûé ðàç ñêàçàë: Âñå, íå ìîãó áîëüøå, óõîæó äîìîé. Joskus summatiivisen ja rajoitetun toiston merkityseroja on vaikea erottaa tai niit a ei k ayt ann oss a ole, mutta vertaa esimerkki a 16 seuraavaan imperfektiivisen aspektin esimerkkiin, ja pohdi, miss a eron voisi havaita: (20) ß ïåðå èòûâàë ýòîò ðîìàí íåñêîëüêî ðàç Perfektiivisen aspektin muita erityismerkityksi a Tutustutaan viel a kahteen perfektiivisen aspektin erityismerkitykseen: perfektin merkitykseen (çíà åíèå ïåðôåêòà) ja potentiaaliseen merkitykseen (). 4

5 Perfektin erityismerkitys liittyy perinteiseen ajatukseen tuloksen voimassaolosta ja siit a, ett a juuri t at a perfektiivinen aspekti painottaa. Jos nimitt ain on tilanne, jossa puhuja kertoo jostakin sellaisesta toiminnasta, jonka tulos on puhetilanteessa jotenkin n akyv a tai l asn a, perfektiivinen aspekti on usein looginen valinta. Nikunlassi (2002: 179) esitt a a t ah an liittyen seuraavan esimerkin: (21) Îí ïîõóäåë è ïîñòàðåë Esimerkiss a 21 puheen kohteena olevasta henkil ost a on n aht aviss a muutos, joka on puhehetkell a voimassa. Suomessakin t allainen voimassaolo tulisi ilmaistuksi perfektin aikamuodolla: H an on laihtunut ja vanhentunut. Vertaa lausetta vastaavaan imperfektiiviseen lausueeseen (îí õóäåë è ñòàðåë), jolloin kyseess a olisi konkreettis-prosessuaalinen merkitys: katsottaisiin menneisyyteen kohti itse laihtumistapahtumaan sen sijaan, ett a ihmetelt aisiin tapahtuman tulosta nykyhetkess a. Olga Rassudova (1984) antaa lis aksi seuraavan esimerkin: (22) Âû ìîæåòå âçÿòü àíêåòó. ß åå óæå çàïîëíèë. Esimerkiss a 22 puhuja on juuri t aytt anyt lomakkeen (perfektiivinen çàïîëíèë). Perfektiivinen aspekti ilmaisee tuloksen olevan puhehetkell a l asn a ja relevantti. Siirryt a an nyt miettim a an potentiaalista merkityst a. Ajattele seuraavia esimerkkilauseita: (23) Ñàøå ìîæíî äîâåðÿòü. Îí âñåãäà ïîìîæåò äðóãó. (24) Ïî ëèöó íå ïîéìåøü, ñêîëüêî åé ëåò (25) Êóïèë íîâûé çàìîê, òåïåðü íèêòî íå ïðîëåçåò â êâàðòèðó. (26) Òîëüêî ñêàæåøü åìó îí íåìåäëåííî ïðèåäåò. Potentiaalisessa merkityksess a voidaan ajatella, ett a puhuja antaa siina arvionsa 1. Tekij an kyvyst a tai kyvytt omyydest a suorittaa jokin teht av a 2. Tekij an taipumuksesta toimia tietyll a tavalla Esimerkiss a 23 puhuja katsoo lauseen tekij all a (Ñàøà) olevan tietty taipumus toimia: h an on aina valmis auttamaan. Voisi ajatella, ett a valitsipa mink a tahansa kerran kaikista mahdollisista kerroista, joina ikin a pyyd at Sa salta apua, niin aina voit olla varma, ett a h an auttaa. Vastaavasti esimerkiss a (???) voidaan kuvitella mik a tahansa sanomiskerta: joka kerta pyynn on kohde varmuudella tulee. Esimerkeiss a 24 ja 25 puolestaan annetaan arvio tekij an kyvyst a p a atell a henkil on ik a tai murtautua asuntoon Imperfektiivisen aspektin erityismerkityksi a Imperfektiivisen aspektin osalta keskityt a an tarkastelemaan yleisesti toteavaa merkityst a (îáîáù¼ííî-ôàêòè åñêîå çíà åíèå) sek a pysyv a a ominaisuutta tai tilaa korostavaa erityismerkityst a (çíà åíèå ). Perinteinen esimerkki yleisesti toteavasta erityismerkityksest a on seuraava: 5

6 (27) Òû èòàë Ïðåñòóïëåíèå è íàêàçàíèå? Yleisesti toteava merkitys tuo esiin imperfektiivisen aspektin neutraaliuden tai kantaaottamattomuuden. Sit a k aytet a an, kun halutaan selvitt a a tai ilmaista, onko jokin toiminta ylip a at a an tapahtunut. Toisin kuin usein imperfektiivisen aspektin osalla, huomio vied a an siis pois toiminnasta sin a ans a ja kiinnostus kohdistuu vain siihen, oliko toimintaa vai ei. Siin a miss a perfektiivinen aspekti olisi v arikk a ampi ja esimerkiksi edell a esitetyiss a Dickensin salapoliisitarinoissa tyypillinen kerronnallinen verbimuoto, on yleisesti toteava merkitys p ainvastoin nimens a mukaisesti vain kuivan toteava. N ain ollen esimerkiss a 27 puhujaa kiinostaa, ilman mit a an ennakko-odotuksia, onko kuulija koskaan lukenut Rikosta ja rangaistusta. Vertaa t at a esimerkkiin 28: (28) Òû ïðî èòàë Ïðåñòóïëåíèå è íàêàçàíèå? Lause 28 ottaa edellist a enemm an kantaa toimintaan. On mahdollista, ett a keskustelun osapuolet A ja B ovat aiemmin sopineet, ett a B:n pit a a lukea Rikos ja rangaistus. Nyt koittaa totuuden hetki ja A kysyy: Oletko lukenut, niin kuin sovittiin? Tai toisaalta voi olla, ett a B kertoi edellisen a iltana lukevansa juuri Rikosta ja Rangaistusta ja nyt A:ta kiinnostaa, tuliko kirja luettua loppuun. Yht a kaikki, se, onko lukemista koskaan tapahtunut, ei ole ep ailyksen alla: oletetaan, ett a lukemista joko on tapahtunut tai olisi pit anyt tapahtua. Esimerkiss a 27 puolestaan t ah an ei oteta kantaa. Ajattele vastaavasti esimerkki a 29: (29) ß çíàþ, òî Õàííà ïîñòóïàëà â ìàãèñòåðñêóþ ïðîãðàììó ïî ïåðåâîäîâåäåíèþ â Òàìïåðñêîì óíèâåðñèòåòå Esimerkiss a 29 ollaan, samalla tavalla kuin esimerkiss a 27, neutraaleja suhteessa suoritettuun toimintaan. Esimerkiss a 29 puhuja ei tied a, p a asik o Hanna sis a an tai onko h an kenties yritt anyt p a asy a useampaan kertaan vai ainoastaan kerran. Perfektiivisen aspektin verbi olisi aivan eri tason kannanotto kaikkiin n aihin kysymyksiin. Yleisesti toteava merkitys voidaan jakaa moniin alamerkityksiin. Erityisen huomionarvoinen alamerkitys on ajatus toiminnan mit at oitymisest a (àííóëèðîâàííîñòü äåéñòâèÿ). N aiss a tapauksissa yleisesti toteava merkitys ja edell a k asitelty perfektin merkitys muodostavat ik a an kuin parin, jossa perfektiivinen aspekti merkitsee jonkin tuloksen voimassaoloa, imperfektiivinen mit at oitymist a. T ah an liittyv at seuraavat esimerkit: (30) Ïî åìó â àóäèòîðèè òàê õîëîäíî? Âû íå îòêðûâàëè îêíî? (31) Ïàïà â åðà ïðèåçæàë. Esimerkiss a 30 kysyj a ep ailee, ett a vaikka ikkuna on puhehetkell a kiinni, se on ehk a avattu h anen poissa ollessaan ja sitten taas suljettu (avaaminen on mit at oity). Vastaavasti is a on esimerkiss a 31 tullut ja edelleen l ahtenyt (tuleminen mit at oity). Perfektiivisen aspektin tapauksessa korostuisi toiminnan tuloksen voimassaolo: ikkuna olisi auki (îòêðûëè) ja is a viel a talossa (ïðèåõàë). 6

7 Yleisesti toteavan merkityksen lis aksi tarkastellaan viel a laajempaa ryp ast a eri merkityksi a, jotka liittyv at imperfektiiviseen aspektiin. Nikunlassi (2002: 182) k aytt a a t ass a yhteydess a nimityst a tilan, ominaisuuden tai suhteen merkitys (çíà åíèå ñîñòîÿíèÿ, ñâîéñòâà, èëè îòíîøåíèÿ). Ajatus on, ett a jos kuvataan jonkin asian, esineen tai ihmisen pysyv a a ominaisuudetta tai t am anhetkist a tilaa, k aytet a an tavallisesti imperfektiivist a aspektia. Ajattele esimerkki a 32: (32) Ðåêà òå åò åðåç ãîðîä. Virtaaminen on joen pysyv a ominaisuus kyse ei ole toistosta tai yksitt aisest a konkriittesta tapauksesta, vaan jatkuvasta tilasta. A.V. Bondarko k aytt a a vastaavista tapauksista nimityst a potentiaalis-laadullinen merkitys (ïîòåíöèàëüíî-êà åñòâåííîå çíà åíèå). Kyse voi kuitenkin olla my os pienemm an mittakaavan ominaisuuksista tai tiloista kuten seuraavissa: (33) Òû èãðàåøü íà ãèòàðå? (34) Ìèøà áîëååò ãðèïïîì. (35) Îíà íà ñàìîì äåëå ñ èòàåò, òî ñîëíöå - ýòî î åíü ñòàðàÿ çâåçäà Tilasta, ominaisuudesta ja suhteesta on siis kyse my os, kun kerrotaan jonkun olevan sairaana tai tietty a mielt a jostakin asiasta (mielipide n ahd a an ominaisuutena). Nikunlassi, Ahti Johdatus Ven aj an Kieleen Ja Sen Tutkimukseen. Helsinki: Finn Lectura. Rassudova, O.P Aspectual Usage in Modern Russian. Moskova: Russky Yazyk. 7

Morfologia-kurssin luentomateriaaleja

Morfologia-kurssin luentomateriaaleja Morfologia-kurssin luentomateriaaleja Juho H arme 20. lokakuuta 2016 Sis alt o 1 Luento 15: Aika ja aspekti kieliopillisina kategorioina 2 1.1 Aikamuodot ven aj ass a............................. 2 1.2

Lisätiedot

Morfologia-kurssin luentomateriaaleja

Morfologia-kurssin luentomateriaaleja Morfologia-kurssin luentomateriaaleja Juho H arme 31. elokuuta 2016 Sis alt o 1 Luento 1: Mik a ihmeen morfologia? 2 1.1 Mit a ovat sanaluokat?............................. 2 1.1.1 Itsen aiset sanaluokat..........................

Lisätiedot

Morfologia-kurssin luentomateriaaleja

Morfologia-kurssin luentomateriaaleja Morfologia-kurssin luentomateriaaleja Juho H arme 31. elokuuta 2016 Sis alt o 1 Luento 2: morfeemityypeist a ja sanaluokista 2 1.1 Morfeemien alalajeista tarkemmin....................... 2 1.1.1 Juurimorfeemit.............................

Lisätiedot

Morfologia-kurssin luentomateriaaleja

Morfologia-kurssin luentomateriaaleja Morfologia-kurssin luentomateriaaleja Juho H arme 2. marraskuuta 2016 Sis alt o 1 Luento 17: Aspekti kieliopillisena kategoriana 3 2 1.1 Aspektin valinnasta menneess a ajassa.................... 2 1.1.1

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a

Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a Matematiikan olympiavalmennus: Diofantoksen yht al oit a Heikki M antysaari 25. helmikuuta 2007 V ah an teoriaa Diofantoksen yht al o: tuntemattomia enemm an kuin yht al oit a. Lukiossa esim. 4x + 8y =

Lisätiedot

Opettaja näyttelee muutamien esineiden ja kuvien avulla hyvin yksinkertaisen näytelmän ja saa opiskelijat osallistumaan

Opettaja näyttelee muutamien esineiden ja kuvien avulla hyvin yksinkertaisen näytelmän ja saa opiskelijat osallistumaan Opettaja näyttelee muutamien esineiden ja kuvien avulla hyvin yksinkertaisen näytelmän ja saa opiskelijat osallistumaan siihen. Opettaja tuo ensimmäiselle tunnille sanomalehden, aikakauslehden, kirjeen

Lisätiedot

3 *ä;r ä:e 5ä ä{ :i. c oo) S g+;!qg *r; Er ; l[$ E ;;iä F:ä ä :E ä: a bo. =. * gäf$iery g! Eä. a is äg*!=."fl: ä; E!, \ ins:" qgg ;._ EE üg.

3 *ä;r ä:e 5ä ä{ :i. c oo) S g+;!qg *r; Er ; l[$ E ;;iä F:ä ä :E ä: a bo. =. * gäf$iery g! Eä. a is äg*!=.fl: ä; E!, \ ins: qgg ;._ EE üg. t AJ 1., t4 t4 \J : h J \) (.) \ ( J r ) tḡr (u (1) m * t *h& r( t{ L.C g :LA( g9; p ö m. gr iop ö O t : U 0J (U.p JJ! ä; >

Lisätiedot

to ki zrenija obu enija studentov-inostrancev vidam glagola russkogo jazyka (Imperfektiivisen aspektin yleisesti nimeävä ja resultatiivis-faktinen

to ki zrenija obu enija studentov-inostrancev vidam glagola russkogo jazyka (Imperfektiivisen aspektin yleisesti nimeävä ja resultatiivis-faktinen - Obobš enno-fakti eskoe i edini nofakti eskoe zna enie nesoveršennogo vida s to ki zrenija obu enija studentov-inostrancev vidam glagola russkogo jazyka (Imperfektiivisen aspektin yleisesti nimeävä ja

Lisätiedot

ää*r: rfrtlqäe'räs rr[; äsüä FäF r."f F'*üe ;=v* tr, $rr;gt :r1 älfese li ä; äepö* l4:e x1;'.äö l--g! li r: ; ;;*; ssü ntirs E,pä ;;qi?

ää*r: rfrtlqäe'räs rr[; äsüä FäF r.f F'*üe ;=v* tr, $rr;gt :r1 älfese li ä; äepö* l4:e x1;'.äö l--g! li r: ; ;;*; ssü ntirs E,pä ;;qi? j X \: c : 1:8" : Z : : ) ) c 1 T [ b[ ]4 ) < c 1 ü ]T G \\ e p > : [ : e L [? p 2 9 Z S: c? [:? " : e :: [ : >9 Y :[ p e ß < 1 9 1 \ c 4 > ) 1 :91$ :e h b 1 6 " ö:p:?e S9e R ü e $ :1 ee \ eö 4:e 1ö X

Lisätiedot

AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi. Kevät 2008

AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi. Kevät 2008 AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi Kevät 2008 Kurssin tavoitteet Konferenssisimulaatio Harjoitella tieteellisen tekstin / raportin kirjoittamista Harjoitella tiedon etsimistä ja viittaamista

Lisätiedot

Eväspussi. Onko lähipiirissä esiintynyt hitautta tai vaikeutta lukemaan ja kirjoittamaan oppimisessa? Millaista?

Eväspussi. Onko lähipiirissä esiintynyt hitautta tai vaikeutta lukemaan ja kirjoittamaan oppimisessa? Millaista? Liite Pienten Kielireppuun. Eväspussi Oman äidinkielen vahva hallinta tukee kaikkea oppimista. Tämän vuoksi keskustelemme kielten kehityksestä aina varhaiskasvatuskeskustelun yhteydessä. Kopio Kielirepusta

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Luku 1 Johdatus yhtälöihin

Luku 1 Johdatus yhtälöihin Luku 1 Johdatus yhtälöihin 1.1 Mikä on yhtälö? Tunnin rakenne: - Yhtälön rakenne ja tunnistaminen (tehtävä 1) ja yhtälön ja lausekkeen vertailua (n. 10min) - Yhtälö väitteenä Jokeri 3 (n. 30 min) - Tunnin

Lisätiedot

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø

Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ غ ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Syyskuu Jo vuodesta Julkaisijat: Lions Club Lavia ry. ja Lavian Yrittäjät ry.

Syyskuu Jo vuodesta Julkaisijat: Lions Club Lavia ry. ja Lavian Yrittäjät ry. LAVIAN TIEDOTUSLEHTI Syyskuu 2017 Jo vuodesta 2014 Julkaisijat: Lions Club Lavia ry. ja Lavian Yrittäjät ry. +/?8/ "//6AB;/< 9=;37A/ /BA=C/

Lisätiedot

Alkukartoitus Opiskeluvalmiudet

Alkukartoitus Opiskeluvalmiudet Alkukartoitus Opiskeluvalmiudet Päivämäärä.. Oppilaitos.. Nimi.. Tehtävä 1 Millainen kielenoppija sinä olet? Merkitse rastilla (x) lauseet, jotka kertovat sinun tyylistäsi oppia ja käyttää kieltä. 1. Muistan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja

Lisätiedot

SUMERI 2. HY ma 10-12,

SUMERI 2. HY ma 10-12, SUMERI 2 HY ma 10-12, 3.9. 11.12.2017 Päivityksiä Kolmannen persoonan omistusliitteet tulisi lukea a-né hänen (ennen a-ni) bé sen, niiden (ennen bi) Evidenssiä: Omistusliitettä {be} ei koskaan kirjoiteta

Lisätiedot

INFRARED RADIATORS FI EN RU. Infrapunalaitteen käyttö- ja asennusohje. Instructions for installation and use of Infrared Radiator

INFRARED RADIATORS FI EN RU. Infrapunalaitteen käyttö- ja asennusohje. Instructions for installation and use of Infrared Radiator INFRARED RADIATORS FI EN RU Infrapunalaitteen käyttö- ja asennusohje Instructions for installation and use of Infrared Radiator Èíñòðóêöèè ïî ìîíòàæó è ýêñïëóàòàöèè èíôðàêðàñíûx èçëó àòåëåé 04112005 IR-C36

Lisätiedot

Ruma merkitys. Tommi Nieminen. XLII Kielitieteen päivät. Kielitieteen epäilyttävin välttämätön käsite. tommi.nieminen@uef.fi. Itä-Suomen yliopisto ...

Ruma merkitys. Tommi Nieminen. XLII Kielitieteen päivät. Kielitieteen epäilyttävin välttämätön käsite. tommi.nieminen@uef.fi. Itä-Suomen yliopisto ... Ruma merkitys Kielitieteen epäilyttävin välttämätön käsite Tommi Nieminen tomminieminen@ueffi Itä-Suomen yliopisto XLII Kielitieteen päivät 21 23 toukokuuta 2015, Vaasa Merkitys, subst lingvistisen merkityksen

Lisätiedot

JULKISEN HALLINNON DIGITAALISEN TURVALLISUUDEN JOHTORYHMÄN SIHTEERISTÖN (VAHTI-sihteeristö) JA ASIANTUNTIJAJAOSTON ASETTAMINEN

JULKISEN HALLINNON DIGITAALISEN TURVALLISUUDEN JOHTORYHMÄN SIHTEERISTÖN (VAHTI-sihteeristö) JA ASIANTUNTIJAJAOSTON ASETTAMINEN Asettamispäätös ÊÓñîïëëñððòðïòððòðïñîðïê Ö«µ ÝÌó± ± ïòíòîðïé Ö«µ ²»² JULKISEN HALLINNON DIGITAALISEN TURVALLISUUDEN JOHTORYHMÄN SIHTEERISTÖN (VAHTI-sihteeristö) JA ASIANTUNTIJAJAOSTON ASETTAMINEN Ê ±ª

Lisätiedot

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø

À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆÈ¹ØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº

Lisätiedot

Eo C)sl. oarl. d to E= J. o-= o cy) =uo. f,e. ic v. .o6. .9o. äji. :ir. ijo 96. {c o o. ';i _o. :fe. C=?i. t-l +) (- c rt, u0 C.

Eo C)sl. oarl. d to E= J. o-= o cy) =uo. f,e. ic v. .o6. .9o. äji. :ir. ijo 96. {c o o. ';i _o. :fe. C=?i. t-l +) (- c rt, u0 C. C C C)l A\ d Y) L P C v J J rl, ( 0 C.6 +) ( j 96.9 :r : C (Db]? d '; _ äj r, { . 3 k l: d d 6 60QOO:ddO 96.l ä.c p _ : 6 äp l P C..86 p r5 r!l (, ō J. J rl r O 6!6 (5 ) ä dl r l { ::: :: :: 6e g r : ;

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Lataa Kultainen pääsylippu - Lance Fortnow. Lataa

Lataa Kultainen pääsylippu - Lance Fortnow. Lataa Lataa Kultainen pääsylippu - Lance Fortnow Lataa Kirjailija: Lance Fortnow ISBN: 9789525697698 Sivumäärä: 186 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 37.13 Mb P ja NP -ongelma on tietojenkäsittelytieteen tärkein

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA

YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA 2018-2020 TOIMIALA 50 YHDYSKUNTAPALVELUT P A L V E L U 5 0 0 T E K N I S E N J A Y M P Ä R I S T Ö T O I M E N H A L L I N T O J A M A A S

Lisätiedot

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet.

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. 1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. Differentiaalilaskennassa on aika tavallinen tilanne päästä tutkimaan SULJETUL- LA VÄLILLÄ JATKUVAA FUNKTIOTA. Oletuksena on tällöin funktion

Lisätiedot

ää!ääää ääälrirtiiti

ää!ääää ääälrirtiiti v giiäiääiääi EiääliI ä äilliiääi;fiiääiiäiilii lääiieffi iääi!:;ääti ää!ääää ääälrirtiiti v A oo 5: t.l \J o "-! a ) i < \ J O 11 F z tiie;t; E!.ääEäE ii ze }E ieee:::eee etiä!ä! äerie;icfe giä:lä :iffiti

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki)

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Unix-komennolla grep hahmo [ tiedosto ] voidaan etsia hahmon esiintymia tiedostosta (tai syotevirrasta): $ grep Kisaveikot SM-tulokset.txt $ ps aux

Lisätiedot

ENNAKOINTIKAMARIFOORUMI Jonna Heliskoski CEO, PhD candidate

ENNAKOINTIKAMARIFOORUMI Jonna Heliskoski CEO, PhD candidate ENNAKOINTIKAMARIFOORUMI 27.9.2018 Jonna Heliskoski CEO, PhD candidate Kuva: unplash.com VAIKUTTAVUUSAJATTELUN VIITEKEHYS Vaikutusketju (The iooi method by Bertelsmann Stiftung) Vaikuttavuus (impact) (input)

Lisätiedot

10 Matriisit ja yhtälöryhmät

10 Matriisit ja yhtälöryhmät 10 Matriisit ja yhtälöryhmät Tässä luvussa esitellään uusi tapa kirjoittaa lineaarinen yhtälöryhmä matriisien avulla käyttäen hyväksi matriisikertolaskua sekä sarakevektoreita Pilkotaan sitä varten yhtälöryhmän

Lisätiedot

SQL-perusteet, SELECT-, INSERT-, CREATE-lauseet

SQL-perusteet, SELECT-, INSERT-, CREATE-lauseet SQL-perusteet, SELECT-, INSERT-, CREATE-lauseet A271117, Tietokannat Teemu Saarelainen teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Leon Atkinson: core MySQL Ari Hovi: SQL-opas TTY:n tietokantojen perusteet-kurssin

Lisätiedot

Lataa Ikääntyneen ihmisen terveysongelmat ja niiden arviointi. Lataa

Lataa Ikääntyneen ihmisen terveysongelmat ja niiden arviointi. Lataa Lataa Ikääntyneen ihmisen terveysongelmat ja niiden arviointi Lataa ISBN: 9789512954070 Sivumäärä: 91 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 24.51 Mb Julkaisussa tarkastellaan ikääntyneiden ihmisten terveysongelmia

Lisätiedot

':(l,i l) 'iac: (å ;) (x 2v + z- o. I o, * 4z:20. 12, +8y 3z: l0. Thlousmatematiikan perusteet, onus ro 0 opettaja: Matti Laaksonen.

':(l,i l) 'iac: (å ;) (x 2v + z- o. I o, * 4z:20. 12, +8y 3z: l0. Thlousmatematiikan perusteet, onus ro 0 opettaja: Matti Laaksonen. Vaasan kesäyps, kesä 2013 Thusmaemakan perusee, nus r 0 peaja: Ma aaksnen 2. väke, (a 31.8.2013 Rakase 3 ehävää. Kun käsee ehävän, nn käsee sen kakk aakhda. Kkeessa saa a mukana askn (myös graanen ja auukkkrja

Lisätiedot

Exactumista Paradisumiksi - saako opettaminen olla kivaa? Juha Oikkonen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Opettajien akatemia

Exactumista Paradisumiksi - saako opettaminen olla kivaa? Juha Oikkonen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Opettajien akatemia Exactumista Paradisumiksi - saako opettaminen olla kivaa? Juha Oikkonen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Opettajien akatemia 04/03/15 1 Paradisum? 04/03/15 2 Matka ja näkymiä 1989 alkaen: Matikkakeskusteluja

Lisätiedot

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S< 1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

Päätöksenteko kuulokojekuntoutuksessa. Johanna Ruusuvuori & Minna Laaksoº *Tampereen yliopisto º Helsingin yliopisto

Päätöksenteko kuulokojekuntoutuksessa. Johanna Ruusuvuori & Minna Laaksoº *Tampereen yliopisto º Helsingin yliopisto Päätöksenteko kuulokojekuntoutuksessa Johanna Ruusuvuori & Minna Laaksoº *Tampereen yliopisto º Helsingin yliopisto. Tutkimuskysymykset Miten päätös kuulokojekuntoutuksen aloituksesta tehdään? Miten ammattilaiset

Lisätiedot

Visuaalinen ilme (luonnos)

Visuaalinen ilme (luonnos) Työterveys Helsinki Visuaalinen ilme (luonnos) 24.11.2015 1 Työterveys Helsingin ilmeessä sovelletaan Helsingin kaupungille luotuja visuaalisen ilmeen elementtejä uudella kuosilla, tunnuksella ja väripaletilla

Lisätiedot

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä

Salausmenetelmät LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) 3. Kongruenssit. à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.4 Kongruenssien laskusääntöjä Seuraavassa lauseessa saamme kongruensseille mukavia laskusääntöjä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet

Lisätiedot

PS. Jos vastaanotit Sinulle kuulumattoman viestin, pyydän ilmoittamaan siitä viipymättä allekirjoittaneelle ja tuhoamaan viestin, kiitos.

PS. Jos vastaanotit Sinulle kuulumattoman viestin, pyydän ilmoittamaan siitä viipymättä allekirjoittaneelle ja tuhoamaan viestin, kiitos. Teamware Office' Posti Saapunut posti : Olavi Heikkisen lausunto Lähettäjä : Karjalainen Mikko Vastaanottaja : Leinonen Raija Lähetetty: 18.1.2013 10:29 He i! Korjasin nyt tämän spostiliitteenä olevaan

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Johdatus rakenteisiin dokumentteihin

Johdatus rakenteisiin dokumentteihin -RKGDWXVUDNHQWHLVLLQGRNXPHQWWHLKLQ 5DNHQWHLQHQGRNXPHQWWL= rakenteellinen dokumentti dokumentti, jossa erotetaan toisistaan dokumentin 1)VLVlOW, 2) UDNHQQHja 3) XONRDVX(tai esitystapa) jotakin systemaattista

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

1 Pöytäkirja Avaa haku

1 Pöytäkirja Avaa haku D yn as t y t i et o pa l ve l u Sivu 1 / 9 Poistuminen ( Toimielimet 1 Jätelautakunta 1 Pöytäkirja 17.12.2013 Avaa haku 1 Jätelautakunta Pöytäkirja 17.12.2013 Pykälä 15 Edellinen asia 1Seuraava asia M

Lisätiedot

Systemointiosamäärä. Nimi: ********************************************************************************

Systemointiosamäärä. Nimi: ******************************************************************************** Systemointiosamäärä SQ Nimi: ******************************************************************************** Lue jokainen väite huolellisesti ja arvioi, miten voimakkaasti olet tai eri sen kanssa. 1.

Lisätiedot

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept

Lisätiedot

SUUNTA. tueksi. kirjoittamaasi kriittisesti. Näin syntyy looginen suhde kunkin suunnitelman osan välille. Suunta

SUUNTA. tueksi. kirjoittamaasi kriittisesti. Näin syntyy looginen suhde kunkin suunnitelman osan välille. Suunta SUUNTA työkalu toiminnan suunnittelun u ja suunnitelman arvioinnin tueksi Tämä on SUUNTA-työkalun käyttöön opastava diaesitys Mikäli haluat, voit täyttää tähän pohjaan oman suunnitelmasi ja tallentaa esityksen

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

KIELENOPPIJOITA TIEDONHANKINTA KESKIÖSSÄ KUUNTELEMALLA OPPIJA (AUDITIIVINEN) KIELEN KÄYTTÖ, VUOROVAIKUTUS NÄKEMÄLLÄ

KIELENOPPIJOITA TIEDONHANKINTA KESKIÖSSÄ KUUNTELEMALLA OPPIJA (AUDITIIVINEN) KIELEN KÄYTTÖ, VUOROVAIKUTUS NÄKEMÄLLÄ KIELENOPPIJOITA KIELEN KÄYTTÖ, VUOROVAIKUTUS TIEDONHANKINTA KESKIÖSSÄ KUUNTELEMALLA OPPIJA (AUDITIIVINEN) TEKEMÄLLÄ OPPIJA (KINESTEETTINEN) LUOVA KIELENKÄYTTÄJÄ HOLISTINEN OPPIJA (KOKONAISUUDET TÄRKEITÄ)

Lisätiedot

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E

Lisätiedot

AIKAMUODOT. Perfekti

AIKAMUODOT. Perfekti AIKAMUODOT Perfekti ???! YLEISPERFEKTI Puhumme menneisyydestä YLEISESTI, mutta emme tiedä tarkasti, milloin se tapahtui Tiesitkö, että Marja on asunut Turussa? Minä olen käynyt usein Kemissä. Naapurit

Lisätiedot

WebOodin opinto-opas ja ilmoittautuminen

WebOodin opinto-opas ja ilmoittautuminen Aloitus Homma alkaa osoitteesta www.helsinki.fi/weboodi. Jos et omista yliopiston atk-tunnuksia, voit hypätä kohdan 1. yli. Voit huoletta tutustua WebOodin saloihin ilman tunnuksiakin. WebOodin opinto-opas

Lisätiedot

äi ä I i ilääiiii: i!

äi ä I i ilääiiii: i! H q;) ri - tr H i : L v ^-1ö c/ tr V AN S n : d : F r i ;*v.1.i-,:xt rh Y l-s i \r 6 = tä Nl z - H A z : l l :, ä c iiiii;iäätäiliiiiä*i :n + E. < E t.! äa* -si ;9:-d ;,1, o

Lisätiedot

Oppilas keskustelee ryhmässä ja tuo esille mielipiteitään. Oppilas osallistuu luokan ja koulun ilmaisuesityksiin. Oppilas harjoittelee

Oppilas keskustelee ryhmässä ja tuo esille mielipiteitään. Oppilas osallistuu luokan ja koulun ilmaisuesityksiin. Oppilas harjoittelee AI 6. lk Arvioitavat tavoitteet Vuorovaikutustilanteissa toimiminen (T1, T2, T3, T4) Tekstien tulkitseminen (T5, T6, T7, T8) Hyväksytty (5) Välttävä (6-7) Oppilas saa arvosanan 6, Oppilas saa arvosanan

Lisätiedot

Suomen kielen perfektin semanttiset tyypit. venäjänkielisen käännöskorpuksen pohjalta

Suomen kielen perfektin semanttiset tyypit. venäjänkielisen käännöskorpuksen pohjalta Suomen kielen perfektin semanttiset tyypit venäjänkielisen käännöskorpuksen pohjalta Natalia Kachelina Tampereen yliopisto Kieli-, käännös- ja kirjallisuustieteiden yksikkö Suomen kieli Pro gradu-tutkielma

Lisätiedot

Lataa Yhteiskunnallinen lääketutkimus. Lataa

Lataa Yhteiskunnallinen lääketutkimus. Lataa Lataa Yhteiskunnallinen lääketutkimus Lataa ISBN: 9789515707581 Sivumäärä: 253 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 29.96 Mb Sosiaalifarmasia on tutkimusala, jossa sovelletaan yhteiskuntatieteellisiä tutkimusmenetelmiä.

Lisätiedot

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (

el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln ( ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ

Lisätiedot

Kul Aircraft Structural Design (4 cr) Assignment 3 EVALUATION - Arviointi

Kul Aircraft Structural Design (4 cr) Assignment 3 EVALUATION - Arviointi Kul-34.4300 Aircraft Structural Design (4 cr) Assignment 3 EVALUATION - Arviointi 2016 Page 2 Harjoitustyön 3 opiskelijaorganisaation Autorating Harjoitustyön 3 opiskelijaorganisaation raportin arviointi

Lisätiedot

Millainen maailmani pitäisi olla?

Millainen maailmani pitäisi olla? Millainen maailmani pitäisi olla? Luomme itsellemme huomaamattamme paineita keräämällä mieleen asioita joiden pitäisi olla toisin kuin ne ovat. Tällä aiheutamme itsellemme paitsi tyytymättömyyttä mutta

Lisätiedot

SÄRKÄNNIEMEN ASEMAKAAVA Viitesuunnitelmaluonnos ARKKITEHDIT MY

SÄRKÄNNIEMEN ASEMAKAAVA Viitesuunnitelmaluonnos ARKKITEHDIT MY SÄRKÄNNIEMEN ASEMAKAAA iiteuuitelmaluoo 15.11.218 ARKKITEHDIT MY ASUINKORTTELI Auot 95 kem² Opikelija-a. 715 kem² Liikela 1 kem² Laitopyäköi 1kr.1 ap ONKINIEMEN TRIKOOTEHDAS JA ASUINKORTTELI eruparaettavaa

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

äiäää?l älägcläälii äisrä lää äää

äiäää?l älägcläälii äisrä lää äää E m vf z ln7 r vr ll n U d \r .Tl vr r E0.Tl : N. ' 6 J n n 5 EF g m : ' ".E q ' v { m i. 'n 9. E!. G r'.n ff ge re E'l n,. q (f,,r L : n 6 :. G N. +.:, lrf s 'T ^ x vr L : @ : L 5 T g G H liäiiiiii$ä1läl

Lisätiedot

Kilpailutyö. Innostu Itämeren ruokavaliosta reseptikilpailu

Kilpailutyö. Innostu Itämeren ruokavaliosta reseptikilpailu Kilpailutyö Innostu Itämeren ruokavaliosta reseptikilpailu Salla Hautaviita & Eetu Koskinen Satakunnan koulutuskuntayhtymä Ulvila 29.5.2012 Sisällys Saatteeksi... 3 Menu... 4 Perustelut... 5 Ravintosisältö...

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet 1. Kysy Asiakkaalta: Tunnista elämästäsi jokin toistuva malli, jota et ole onnistunut muuttamaan tai jokin ei-haluttu käyttäytymismalli tai tunne, tai joku epämiellyttävä

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

subjektin ellipsi: kahdesta samasta subjektista jälkimmäistä ei toisteta

subjektin ellipsi: kahdesta samasta subjektista jälkimmäistä ei toisteta Subjekti Kun subjektia ei olekaan Pronominin poisjättö lauseessa ei ole ilmisubjektia, mutta verbin ykkösargumentti on silti yksitulkintainen voidaan ajatella, että subjektina oleva pronomini on jätetty

Lisätiedot

Morfologia-kurssin luentomateriaaleja

Morfologia-kurssin luentomateriaaleja Morfologia-kurssin luentomateriaaleja Juho H arme 15. marraskuuta 2016 Sis alt o 1 Luento 19: Tapaluokka kieliopillisena kategoriana 2 2 1.1 Imperatiivi funktionaalisen morfologian kannalta..............

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

KESKUSTELUNANALYYSI. Anssi Peräkylä Kvalitatiiviset menetelmät 04.11.2009

KESKUSTELUNANALYYSI. Anssi Peräkylä Kvalitatiiviset menetelmät 04.11.2009 KESKUSTELUNANALYYSI Anssi Peräkylä Kvalitatiiviset menetelmät 04.11.2009 Esitelmän rakenne KESKUSTELUNANALYYTTINEN TAPA LUKEA VUOROVAIKUTUSTA ESIMERKKI: KUNINGAS ROLLO KESKUSTELUNANALYYSIN PERUSOLETTAMUKSET

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Kuvitettu YVA- opas 2018

Kuvitettu YVA- opas 2018 Kuvitettu YVA- opas 2018 Oppaan sisältö I Perusasiat YVA-menettelystä s. 4 II Vähän täsmennystä tekijöistä ja osallistumisesta s. 8 III YVA-menettelyn sisällöt s. 13 IV Arvioinnin tulokset ja kuinka niihin

Lisätiedot

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä

Lisätiedot

w%i rf* meccanoindex.co.uk

w%i rf* meccanoindex.co.uk &, w% r* lr,ryd* kro g ; - C +gä!! r -. ä.;'! dg+s Zt t0, y < 9 -! 8 tü;r" lun.'-y; ',ä lrl;!tä u l - 9 9! - ä 6 ^ 9 b - q - cz * ; *'a! a = ;6 f

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Todennäköisyyslaskennan käsitteitä Satunnaisuus ja deterministisyys Deterministisessä ilmiössä alkutila määrää lopputilan yksikäsitteisesti. Satunnaisilmiö puolestaan arpoo - yhdestä alkutilasta voi päätyä

Lisätiedot

Aluevarausmerkinnät: T/kem Maakuntakaava

Aluevarausmerkinnät: T/kem Maakuntakaava kk mk mv se jl ma ge pv nat luo un kp me va sv rr rr A AA C P TP T TT T/kem V R RA RM L LM LL LS E ET EN EJ EO EK EP S SL SM SR M MT MU MY W c ca km at p t t/ kem mo vt/kt/st vt/kt st yt tv /k /v ab/12

Lisätiedot

ANNIKKI INVENTOINTI IKKUNAKORTTI 08.09.2010. toimenpideehdotus rakenneosa huone muoto puiteprofiili heloitus muuta.

ANNIKKI INVENTOINTI IKKUNAKORTTI 08.09.2010. toimenpideehdotus rakenneosa huone muoto puiteprofiili heloitus muuta. IKKUNAKORTTI ikkuna huone toimenpideehdotus rakenneosa huone muoto puiteprofiili heloitus muuta A varasto pohjoinen Ikkunamalli 1 FA101 paikkauksia in ja ikkunanpuitteisiin ikkuna peitossa, jää suihkun

Lisätiedot

FCG Planeko Oy HELSINGIN KAUPUNKI MUNKKINIEMEN KÄYTTÄJÄKYSELY. Yhteenveto ja johtopäätökset 0100-D1194

FCG Planeko Oy HELSINGIN KAUPUNKI MUNKKINIEMEN KÄYTTÄJÄKYSELY. Yhteenveto ja johtopäätökset 0100-D1194 FCG P Oy HELSINGIN AUPUNI UNINIEEN ÄYÄJÄYSELY Yhv hääö -D9..9 FCG P Oy Yhv hääö () SISÄLLYSLUEELO YLEISÄ... YSELY.... V d.... Y d h....3 Ad v.... Ad äyö.... Lh.... Eöyy v... LIIEE (CD)...... yyyh v...

Lisätiedot

STEP 1 Tilaa ajattelulle

STEP 1 Tilaa ajattelulle Työkalu, jonka avulla opettaja voi suunnitella ja toteuttaa systemaattista ajattelutaitojen opettamista STEP 1 Tilaa ajattelulle Susan Granlund Euran Kirkonkylän koulu ja Kirsi Urmson Rauman normaalikoulu

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý

ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot