Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun"

Transkriptio

1 Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun Sami Hokuni 12 Syyskuuta, / 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

2 Turun Yliopisto. Gradu tehty 2012 kevään ja kesän aikana. Ohjaaja: Janne Kaippio. Esitelmässä tiivistelmä gradun sisällöstä ja tuloksista. 2/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

3 Mitä neuroverkot ovat? Työkalu, jolla voidaan mallintaa aineistossa olevia yhteyksiä(data Mining). Koostuu neuroneista ja niiden välisistä yhteyksistä. Lähtökohtana ihmisaivojen toiminnan mallintaminen tietokoneilla. Perustuu verkon opettamiseen havaintoja(esim. asiakkaita) käyttäen. Useita erilaisia malleja, joista käsitellään MLP verkkoa ja itseorganisoivia verkkoja. 3/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

4 Mihin neuroverkkoja voidaan käyttää? Ennustusten tekemiseen (esim. sairastuuko ihminen johonkin tautiin). Havaintojen luokitteluun (esim. asiakkaiden jakaminen eri ryhmiin). Puheen ja hahmontunnistus. Prosessien tarkkailemiseen(esim. paperikoneen toiminnan optimointi). 4/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

5 Mitä neuronit ovat? Neuronit ovat neuroverkkojen rakennuspalikoita Neuronit voivat olla kytkettyinä toisiinsa, ja kytkennöillä on oma painokerroin(vrt. graafin solmut ja kaaret). Lisäksi jokaisella neuronilla on oma kynnysarvo, joka toimii vakion tavoin(aivan kuin esim. regressiomallia sovitettaessa). 5/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

6 Neuronin toiminnalla on kolme vaihetta: 1. Ota vastaan arvot kaikilta tulevilta kytkennöiltä. 2. Summaa nämä arvot ja laske jonkin funktion arvo tälle summalle. 3. Lähetä funktion arvo eteenpäin muille neuroneille. x 1 x 2 w 1 j w 2 j f y j w n j xn w 0 j 1 6/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

7 x1 w1 wk w3 x2 w2 w4 7/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

8 x1 w1 wk w3 x2 w2 w4 x1*w1+x2*w2+wk 8/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

9 x1 w1 wk w3 w2 w4 x2 y=f(x1*w1+x2*w2+wk) 9/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

10 Edellisen kuvan funktiota f kutsutaan neuronin aktivointifunktioksi. Eniten käytettyjä aktivointifunktioita ovat logistinen funktio ja hyperbolinen tangentti f (x) = e x f (x) = tanh(x) = ex e x e x + e x. 10/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

11 x1 w1 wk w3 x2 w2 y*w3 w4 11/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

12 x1 w1 wk w3 x2 w2 y*w4 w4 12/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

13 MLP verkko Yleisesti käytetty neuroverkkomuoto Saa syötteenä yksittäisen havainnon, joka kulkee verkon läpi. Kun havainto on kulkenut koko verkon läpi, sille annetaan tulos. Tavoitteena on saada verkon antama tulos mahdollisimman lähelle oikeaksi tiedettyä tulosta. 13/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

14 MLP verkko koostuu kolmesta osasta 1. Sisääntulokerros eli se kohta, josta havainto syötetään verkkoon(tekijät). 2. Yksi tai useampi piilokerros. 3. Ulostulokerros eli se kohta, jossa havainnolle annetaan tulos(vasteet). Kaikki kytkennät ovat eteenpäin suunnattuja 14/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

15 Asiakkaan ikä Sattuiko vahinko Auton ikä 15/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

16 Asiakkaan ikä Sattuiko vahinko Auton ikä 16/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

17 Asiakkaan ikä Sattuiko vahinko Auton ikä 17/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

18 Asiakkaan ikä Sattuiko vahinko Auton ikä 18/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

19 Asiakkaan ikä Sattuiko vahinko Auton ikä 19/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

20 Jotta MLP verkkoa voidaan opettaa, havainnoille on oltava tiedossa niiden oikeat tulokset. Verkon antamat tulokset ovat lähellä oikeita tuloksia vain, kun painokertoimien arvot ovat sopivat. Sopivien painokertoimien etsimistä kutsutaan verkon opetukseksi. 20/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

21 Eräs menetelmä verkon opettamiselle on Backpropagation algoritmi, jolla on seuraavat vaiheet. 1. Alusta painokertoimille (yleensä pienet) satunnaisluvut. 2. Aja verkon läpi yksi tai useampi havainto, ja laske ulostuloarvon ja oikean arvon ero. 3. Laske ulostulokerroksen kytkennöille uudet painokertoimet. 4. Laske piilokerrosten kytkennöille uudet painokertoimet. Jonkin piilokerroksen painokertoimien laskemisessa tarvitaan tietoja siitä, millaisia muutoksia sitä seuraavalle kerrokselle tehtiin. 5. Lopeta, kun havaintojen ulostuloarvon ja oikean arvon ero on tarpeeksi pieni. Havainnot menevät verkossa sisääntulokerrokselta ulostulokerrokselle, kun taas painokertoimia muuttava signaali menee ulostulokerrokselta sisääntulokerrokselle. 21/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

22 22/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

23 23/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

24 24/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

25 25/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

26 26/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

27 (oikea arvo - verkon antama arvo) 27/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

28 28/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

29 29/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

30 30/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

31 Miten opetetun neuroverkon tuloksia voidaan yleistää? Verkon opetusvaiheessa käytetään yleensä kolmea eri dataa. 1. Opetusaineistoa käytetään laskemaan painokertoimille arvoja. On mukana opetuksessa. 2. Testausaineiston avulla kokeillaan, voidaanko opetus lopettaa. Tarkoituksena on jo opetusvaiheessa selvittää, kuinka hyvin verkko toimii opetusaineiston ulkopuolisille datoille. On mukana opetuksessa. 3. Validointiaineistoa käytetään vasta opetuksen loputtua. Myös sen tarkoituksena on testata, miten hyvin verkon tulokset toimivat opetuksen ulkopuolisille havainnoille. Ei ole mukana opetuksessa. 31/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

32 Tavoitteena oli tehdä verkko, jolle syötetään asiakkaan tiedot ja joka näiden perusteella arvioi, pysyykö hän asiakkaana. Opetuksessa käytettiin Lähitapiolan asiakaspoistumasta kertovaa dataa. Jokaisesta asiakkaasta tiedettiin, poistuiko hän vai ei. Kaksi piilokerrosta, joista molemmilla oli 15 neuronia. Aktivointifunktiona käytettiin piilokerroksilla hyperbolista tangenttia ja ulostulokerroksella logistista funktiota. 32/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

33 Verkon antama tulos Poistui Ei poistunut Oikea tulos Poistunut Ei poistunut % niistä asiakkaista, jotka verkko arvioi poistuvan, myös oikeasti poistuivat. 33/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

34 Itseorganisoituvat verkot. Joskus havaintojen oikeita tuloksia ei tiedetä. Neuronien rakenne ja opetusmenetelmät ovat erilaisia kuin MLP verkoissa. Soveltuu hyvin havaintoaineiston ryhmittelyyn. Jos havainnot ovat aineistossa lähellä toisiaan, ovat ne myös itseorganisoituvassa verkossa lähellä toisiaan. 34/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

35 Itseorganisoituva verkko on yleensä kaksiulotteinen ruudukko, jossa neuronit ovat. Esimerkiksi ruudukossa on 100 neuronia. Jokaisella neuronilla on yhtä monta painokerrointa kuin opetusaineiston havainnoilla on muuttujia. Opetus perustuu neuronien väliseen kilpailuun. 35/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

36 Jokaiselle havainnolle lasketaan sen etäisyys kaikista neuroneista, ja voittajaneuroni on se, jolla etäisyys on pienin. Jos havainnolla on muuttujat (x 1,, x n ) ja neuronilla painokertoimet (w 1,, w n ), voidaan etäisyys määritellä n (x i w i ) 2. i=1 Kun voittajaneuroni on selvinnyt, muutetaan sen naapurustoon kuuluvia neuroneja. Naapurustolla tarkoitetaan sitä, kuinka lähellä ruudukossa jokin neuroni on voittajaneuronia. Yleensä naapurusto on opetuksen alussa suuri, ja sitä pienennetään opetuksen edetessä. Useimmiten neuronin painokertoimia muutetaan sitä enemmän, mitä lähempänä neuroni on voittajaneuronia. 36/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

37 Havainto 1 Havainto 2 37/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

38 Havainto 1 Havainto 2 38/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

39 Havainto 1 Havainto 2 39/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

40 Havainto 1 Havainto 2 40/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

41 Havainto 1 Havainto 2 41/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

42 Havainto 1 Havainto 2 42/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

43 Havainto 1 Havainto 2 43/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

44 Havainto 1 Havainto 2 44/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

45 Havainto 1 Havainto 2 45/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

46 Opetetun verkon painokertoimista ei voida suoraan tulkita mitään, vaan verkkoa täytyy visualisoida. U matriisin tekeminen on yksi vaihtoehto tähän. Siinä jokaiselle neuronille lasketaan sen painokertoimien etäisyydet naapurineuroneihin. Ryhmiä erottelevissa kohdissa nämä etäisyydet ovat suuria. 46/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

47 47/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

48 Sovelluksen tavoitteena oli jakaa asiakkaita eri ryhmiin. Käytetty data oli Lähitapiolan asiakaspoistuma aineisto. Tietoa siitä, oliko asiakas poistunut, ei käytetty opetuksessa. 48/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

49 49/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

50 50/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

51 51/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

52 U matriisista nähtiin seitsemän ryhmää, jotka pystyttiin (melko) selkeästi tunnistamaan. Näissä ryhmissä olleet asiakkaat erosivat toisistaan iän perusteella. Vastaavia eroja oli myös muiden muuttujien kohdalla. 52/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

53 Neuroverkkojen vahvuudet Pystyy teoriassa löytämään minkä tahansa muuttujien välisen yhteyden(epälineaarisenkin). Käytettävältä datalta ei vaadita oletuksia esim. muuttujien jakaumista. Opetetun neuroverkon soveltaminen uusille datoille on nopeaa. Luokitteleven itseorganisoivan verkon kohdalla ei ryhmien lukumäärää tarvitse tietää etukäteen. 53/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

54 Neuroverkkojen heikkoudet Painokertoimista ei pystytä suoraan päättelemään esim. muuttujien merkitsevyyttä. Neuroverkoille on runsaasti eri ominaisuuksia, joille sopivat arvot selviävät vain yrityksen ja erehdyksen kautta. Yleensä neuroverkkoa tarvitsee opettaa useita kertoja. Dataa tarvitaan yleensä runsaasti, erityisesti kun muuttujia on paljon. 54/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

55 Neuroverkkojen heikkoudet Painokertoimista ei pystytä suoraan päättelemään esim. muuttujien merkitsevyyttä. Neuroverkoille on runsaasti eri ominaisuuksia, joille sopivat arvot selviävät vain yrityksen ja erehdyksen kautta. Yleensä neuroverkkoa tarvitsee opettaa useita kertoja. Dataa tarvitaan yleensä runsaasti, erityisesti kun muuttujia on paljon. Kiitos. 55/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

56 Neuroverkkojen heikkoudet Painokertoimista ei pystytä suoraan päättelemään esim. muuttujien merkitsevyyttä. Neuroverkoille on runsaasti eri ominaisuuksia, joille sopivat arvot selviävät vain yrityksen ja erehdyksen kautta. Yleensä neuroverkkoa tarvitsee opettaa useita kertoja. Dataa tarvitaan yleensä runsaasti, erityisesti kun muuttujia on paljon. Kiitos. Kysymyksiä? 56/ 54 Sami Hokuni Neuroverkkojen soveltaminen vakuutusdatojen luokitteluun

Kognitiivinen mallintaminen. Nelli Salminen

Kognitiivinen mallintaminen. Nelli Salminen Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus 24.11. Nelli Salminen nelli.salminen@tkk.fi Tällä kerralla ohjelmassa vielä perseptronista ja backpropagationista kilpaileva oppiminen, Kohosen verkko oppimissääntöjen

Lisätiedot

Tällä kerralla ohjelmassa. Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus Kertausta: Perseptronin oppimissääntö

Tällä kerralla ohjelmassa. Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus Kertausta: Perseptronin oppimissääntö Tällä kerralla ohjelmassa Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus 19.2. Nelli Salminen nelli.salminen@helsinki.fi D433 vielä perseptronista ja backpropagationista kilpaileva oppiminen, Kohosen verkko

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS NEUROVERKOT TURINGIN KONE (TAI TAVALLINEN OHJELMOINTI) VAIN YKSI LASKENNAN MALLI ELÄINTEN HERMOSTOSSA LASKENTA ERILAISTA: - RINNAKKAISUUS - STOKASTISUUS (SATUNNAISUUS) - MASSIIVINEN

Lisätiedot

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1 1.1 Funktion optimointiin perustuvat klusterointialgoritmit Klusteroinnin onnistumista mittaavan funktion J optimointiin perustuvissa klusterointialgoritmeissä

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS NEUROVERKOT TURINGIN KONE (TAI TAVALLINEN OHJELMOINTI) VAIN YKSI LASKENNAN MALLI ELÄINTEN HERMOSTOSSA LASKENTA ERILAISTA: - RINNAKKAISUUS - STOKASTISUUS (SATUNNAISUUS) - MASSIIVINEN

Lisätiedot

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1 1.1 Funktion optimointiin perustuvat klusterointialgoritmit Klusteroinnin onnistumista mittaavan funktion J optimointiin perustuvissa klusterointialgoritmeissä

Lisätiedot

Tänään ohjelmassa. Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus laskarit. Ensi kerralla (11.3.)

Tänään ohjelmassa. Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus laskarit. Ensi kerralla (11.3.) Tänään ohjelmassa Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus 26.2. Nelli Salminen nelli.salminen@helsinki.fi D433 autoassosiaatio, attraktorin käsite esimerkkitapaus: kolme eri tapaa mallintaa kategorista

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS NEUROVERKOT TURINGIN KONE (TAI TAVALLINEN OHJELMOINTI) VAIN YKSI LASKENNAN MALLI ELÄINTEN HERMOSTOSSA LASKENTA ERILAISTA: - RINNAKKAISUUS - STOKASTISUUS (SATUNNAISUUS) - MASSIIVINEN

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus, luento 1

Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus, luento 1 Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus, luento 1 Nelli Salminen nelli.salminen@helsinki.fi D433 Neuraalimallinnuksen osuus neljä luentokertaa, muutokset alla olevaan suunnitelmaan todennäköisiä

Lisätiedot

1. NEUROVERKKOMENETELMÄT

1. NEUROVERKKOMENETELMÄT 1. NEUROVERKKOMENETELMÄT Ihmisten ja eläinten loistava hahmontunnistuskyky perustuu lukuisiin yksinkertaisiin aivosoluihin ja niiden välisiin kytkentöihin. Mm. edellisen innoittamana on kehitelty laskennallisia

Lisätiedot

ImageRecognition toteutus

ImageRecognition toteutus ImageRecognition toteutus Simo Korkolainen 27 kesäkuuta 2016 Projektin tarkoituksena on tehdä ohjelma, joka opettaa neuroverkon tunnistamaan kuvia backpropagation-algoritmin avulla Neuroverkon opetuksessa

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen. Nelli Salminen

Kognitiivinen mallintaminen. Nelli Salminen Kognitiivinen mallintaminen Neuraalimallinnus 1.12. Nelli Salminen nelli.salminen@tkk.fi Tänään ohjelmassa autoassosiaatio, Hopfieldin verkko attraktorin käsite ajan esittäminen hermoverkoissa esimerkkitapaus:

Lisätiedot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot

Logistinen regressio, separoivat hypertasot Logistinen regressio, separoivat hypertasot Topi Sikanen Logistinen regressio Aineisto jakautunut K luokkaan K=2 tärkeä erikoistapaus Halutaan mallintaa luokkien vedonlyöntikertoimia (odds) havaintojen

Lisätiedot

Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla

Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla Verkon värittämistä hajautetuilla algoritmeilla 5 12 30 19 72 34 Jukka Suomela 15 77 18 4 9. tammikuuta 2012 19 2 68 Verkko 2 Verkko solmu 3 Verkko solmu kaari 4 Hajautettu järjestelmä solmu (tietokone)

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 I Johdanto Sisältö 1. Algoritmeista ja tietorakenteista 2. Algoritmien analyysistä 811312A TRA, Johdanto 2 I.1. Algoritmeista ja tietorakenteista I.1.1. Algoritmien

Lisätiedot

Backpropagation-algoritmi

Backpropagation-algoritmi Backpropagation-algoritmi Hyvin yleisesti käytetty Backpropagation (BP) -algoritmi on verkon halutun ja todellisen vasteen eroa kuvastavan kustannusfunktion minimointiin perustuva menetelmä. Siinä MLP-verkon

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

Ongelma(t): Miten digitaalista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida? Miten monimutkaista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida?

Ongelma(t): Miten digitaalista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida? Miten monimutkaista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida? Ongelma(t): Miten digitaalista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida? Miten monimutkaista tietoa voidaan toisintaa ja visualisoida? 2 Tieto on koodattu aikaisempaa yleisemmin digitaaliseen muotoon,

Lisätiedot

Kaksiluokkainen tapaus, lineaarinen päätöspinta, lineaarisesti erottuvat luokat

Kaksiluokkainen tapaus, lineaarinen päätöspinta, lineaarisesti erottuvat luokat 1 Tukivektoriluokittelija Tukivektorikoneeseen (support vector machine) perustuva luoikittelija on tilastollisen koneoppimisen teoriaan perustuva lineaarinen luokittelija. Perusajatus on sovittaa kahden

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Liikehavaintojen estimointi langattomissa lähiverkoissa. Diplomityöseminaari Jukka Ahola

Liikehavaintojen estimointi langattomissa lähiverkoissa. Diplomityöseminaari Jukka Ahola Liikehavaintojen estimointi langattomissa lähiverkoissa Diplomityöseminaari Jukka Ahola ESITYKSEN SISÄLTÖ Työn tausta Tavoitteen asettelu Johdanto Liikehavaintojen jakaminen langattomassa mesh-verkossa

Lisätiedot

Neuroverkoilla luokittelu ja tapausten keinotekoinen lisääminen aineistoon. Lassi Autio

Neuroverkoilla luokittelu ja tapausten keinotekoinen lisääminen aineistoon. Lassi Autio Neuroverkoilla luokittelu a tapausten keinotekoinen lisääminen aineistoon Lassi Autio Tampereen yliopisto Tietoenkäsittelytieteiden laitos Tietoenkäsittelyoppi Pro gradu -tutkielma Elokuu 2003 i Tampereen

Lisätiedot

MLP-hermoverkko ja sen soveltaminen kuvien luokitteluun

MLP-hermoverkko ja sen soveltaminen kuvien luokitteluun MLP-hermoverkko ja sen soveltaminen kuvien luokitteluun Konenäkö -kurssin 2008 vierailuluento Tietotekniikan laitos Jyväskylän yliopisto Konenäkö -kurssi, 25.9. ja 30.9.2008 Sisältö 1 Hermoverkon perusidea

Lisätiedot

SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND

SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND 98 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND WORKING PAPERS ISSN 0781-4410 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS The Actuarial Society of Finland 98 Tähtinen, Sami Neuroverkkolaskenta ja sen soveltaminen

Lisätiedot

Diskriminanttianalyysi I

Diskriminanttianalyysi I Diskriminanttianalyysi I 12.4-12.5 Aira Hast 24.11.2010 Sisältö LDA:n kertaus LDA:n yleistäminen FDA FDA:n ja muiden menetelmien vertaaminen Estimaattien laskeminen Johdanto Lineaarinen diskriminanttianalyysi

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

ALGORITMIT & OPPIMINEN

ALGORITMIT & OPPIMINEN ALGORITMIT & OPPIMINEN Mitä voidaan automatisoida? Mikko Koivisto Avoimet aineistot tulevat Tekijä: Lauri Vanhala yhdistä, kuvita, selitä, ennusta! Tekijä: Logica Mitä voidaan automatisoida? Algoritmi

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

SSL syysseminaari 29.10.2013 Juha Hyssälä

SSL syysseminaari 29.10.2013 Juha Hyssälä SSL syysseminaari 29.10.2013 Juha Hyssälä Lääketieteellisessä tutkimuksessa on perinteisesti käytetty elinaika-analyysissä Coxin suhteellisen vaaran mallia ja/tai tämän johdannaisia. Kyseinen malli kuitenkin

Lisätiedot

KOHTI TIETOISIA ROBOTTEJA

KOHTI TIETOISIA ROBOTTEJA SESKOn kevätseminaari 2017 KOHTI TIETOISIA ROBOTTEJA Dr. Pentti O A Haikonen Adjunct Professor Department of Philosophy University of Illinois at Springfield pentti.haikonen@pp.inet.fi ESITYKSEN PÄÄAIHEET

Lisätiedot

DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi

DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi Historiaa Bayesin kaavan hyödyntäminen BN-ohjelmistoja ollut ennenkin Tanskalaisten Hugin

Lisätiedot

TEEMU ROOS (KALVOT MUOKATTU PATRIK HOYERIN LUENTOMATERIAALISTA)

TEEMU ROOS (KALVOT MUOKATTU PATRIK HOYERIN LUENTOMATERIAALISTA) JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS (KALVOT MUOKATTU PATRIK HOYERIN LUENTOMATERIAALISTA) KONEOPPIMISEN LAJIT OHJATTU OPPIMINEN: - ESIMERKIT OVAT PAREJA (X, Y), TAVOITTEENA ON OPPIA ENNUSTAMAAN Y ANNETTUNA X.

Lisätiedot

GA & robot path planning. Janne Haapsaari AUTO Geneettiset algoritmit

GA & robot path planning. Janne Haapsaari AUTO Geneettiset algoritmit GA & robot path planning Janne Haapsaari AUTO3070 - Geneettiset algoritmit GA robotiikassa Sovelluksia liikkeen optimoinnissa: * eri vapausasteisten robottien liikeratojen optimointi * autonomisten robottien

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Mitä on algebra? Algebra on aritmetiikan yleistys. Algebrassa siirrytään operoimaan lukujen sijaan niiden ominaisuuksilla.

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vastusten kytkennät Energialähteiden muunnokset sarjaankytkentä rinnankytkentä kolmio-tähti-muunnos jännitteenjako virranjako Käydään läpi vastusten keskinäisten kytkentöjen erilaiset

Lisätiedot

Älykäs datan tuonti kuljetusongelman optimoinnissa. Antoine Kalmbach

Älykäs datan tuonti kuljetusongelman optimoinnissa. Antoine Kalmbach Älykäs datan tuonti kuljetusongelman optimoinnissa Antoine Kalmbach ane@iki.fi Sisällys Taustaa Kuljetusongelma Datan tuominen vaikeaa Teoriaa Tiedostojen väliset linkit Mikä sarake on mikäkin? Ratkaisutoteutus

Lisätiedot

Uolevin reitti. Kuvaus. Syöte (stdin) Tuloste (stdout) Esimerkki 1. Esimerkki 2

Uolevin reitti. Kuvaus. Syöte (stdin) Tuloste (stdout) Esimerkki 1. Esimerkki 2 Uolevin reitti Kuvaus Uolevi on ruudukon vasemmassa ylänurkassa ja haluaisi päästä oikeaan alanurkkaan. Uolevi voi liikkua joka askeleella ruudun verran vasemmalle, oikealle, ylöspäin tai alaspäin. Lisäksi

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki

Lisätiedot

Etsintä verkosta (Searching from the Web) T Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen

Etsintä verkosta (Searching from the Web) T Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen Etsintä verkosta (Searching from the Web) T-61.2010 Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen 12.12.2007 Webin lyhyt historia http://info.cern.ch/proposal.html http://browser.arachne.cz/screen/

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Tässä luvussa käsitellään optimaalisten piirteiden valintaa, luokittelijan optimointia ja luokittelijan suorituskyvyn arviointia.

Tässä luvussa käsitellään optimaalisten piirteiden valintaa, luokittelijan optimointia ja luokittelijan suorituskyvyn arviointia. 1 Luokittelijan suorituskyvyn optimointi Tässä luvussa käsitellään optimaalisten piirteiden valintaa, luokittelijan optimointia ja luokittelijan suorituskyvyn arviointia. A. Piirteen valinnan menetelmiä

Lisätiedot

Liite A: Kyselylomake

Liite A: Kyselylomake 1/4 2/4 3/4 4/4 Liite B: Kyselyyn liitetty viesti 1/1 Hei, olen Saija Vuorialho Helsingin yliopiston Fysikaalisten tieteiden laitokselta. Teen Pro gradu tutkielmaani fysiikan historian käytöstä lukion

Lisätiedot

Kiinnostuspohjainen topologian hallinta järjestämättömissä vertaisverkoissa

Kiinnostuspohjainen topologian hallinta järjestämättömissä vertaisverkoissa Kiinnostuspohjainen topologian hallinta järjestämättömissä vertaisverkoissa Lektio 20.12.2012, Annemari Soranto Tietotekniikan laitos annemari.k.soranto@jyu.fi 1 Agenda Vertaisverkon määritelmä Haku vertaisverkossa

Lisätiedot

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla?

Kysymys: Voidaanko graafi piirtää tasoon niin, että sen viivat eivät risteä muualla kuin pisteiden kohdalla? 7.7. Tasograafit Graafi voidaan piirtää mielivaltaisen monella tavalla. Graafin ominaisuudet voivat näkyä selkeästi jossain piirtämistavoissa, mutta ei toisessa. Eräs tärkeä graafiryhmä, pintagraafit,

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn

Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Mitä on konvoluutio? Tutustu kuvankäsittelyyn Tieteenpäivät 2015, Työohje Sami Varjo Johdanto Digitaalinen signaalienkäsittely on tullut osaksi arkipäiväämme niin, ettemme yleensä edes huomaa sen olemassa

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 2013 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Mittalaitteiden staattiset ominaisuudet Mittalaitteita kuvaavat tunnusluvut voidaan jakaa kahteen luokkaan Staattisiin

Lisätiedot

Muutama ajatus vahinkovakuutustuotteiden hinnoittelusta SAY-Kuukausikokous 12.9.2012. Janne Kaippio

Muutama ajatus vahinkovakuutustuotteiden hinnoittelusta SAY-Kuukausikokous 12.9.2012. Janne Kaippio Muutama ajatus vahinkovakuutustuotteiden hinnoittelusta SAY-Kuukausikokous 12.9.2012 Janne Kaippio Mikä ihmeen LähiTapiola? Keskinäinen vahinkovakuutusyhtiö: 19 itsenäistä alueyhtiötä + keskusyhtiö (keskusyhtiöllä

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Paikkatiedon opetus ja sähköiset ylioppilaskirjoitukset

Paikkatiedon opetus ja sähköiset ylioppilaskirjoitukset Paikkatiedon opetus ja sähköiset ylioppilaskirjoitukset Paikkatietomarkkinat: Paikkatietoikkuna opetuksessa 4.11.2014 Sanna Mäki Maantieteen ja geologian laitos Esityksen aiheita Paikkatieto-osaaminen

Lisätiedot

Avoin paikkatieto tutkimuksessa ja opetuksessa

Avoin paikkatieto tutkimuksessa ja opetuksessa ProGIS ry kevätseminaari 19.4.2012 Avoin paikkatieto tutkimuksessa ja opetuksessa Geotieteiden ja maantieteen laitos, Helsingin ylopisto tuuli.toivonen@helsinki.fi Suomessa lukioita ~ 450 Geoinformatiikkaa

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Koodaamme uutta todellisuutta FM Maarit Savolainen https://blog.edu.turku.fi/matikkaajakoodausta/

Koodaamme uutta todellisuutta FM Maarit Savolainen https://blog.edu.turku.fi/matikkaajakoodausta/ Koodaamme uutta todellisuutta FM Maarit Savolainen 19.1.2017 https://blog.edu.turku.fi/matikkaajakoodausta/ Mitä on koodaaminen? Koodaus on puhetta tietokoneille. Koodaus on käskyjen antamista tietokoneelle.

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9

Lisätiedot

Matemaatikkona vakuutusyhtiössä. Sari Ropponen Suomen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 27.10.2014 Kumpulan kampus

Matemaatikkona vakuutusyhtiössä. Sari Ropponen Suomen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 27.10.2014 Kumpulan kampus Matemaatikkona vakuutusyhtiössä Sari Ropponen Suomen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 27.10.2014 Kumpulan kampus Miksi vakuutusmatemaatikoilla on töitä Vakuutusyhtiölaki (2008/521) 6. luku Vakuutusyhtiössä

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 811 Tietorakenteet (kevät 9) Harjoitus 11, ratkaisuja (Topi Musto) 1. Bellmanin-Fordin algoritmin alustusvaiheen jälkeen aloitussolmussa on arvo ja muissa solmuissa on arvo ääretön. Kunkin solmun arvo

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 2-3 Vääntömomentti Oletus: Voimat tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakselia vastaan. Oven kääntämiseen tarvitaan eri suuruinen voima

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Ongelma(t): Miten mikro-ohjelmoitavaa tietokonetta voisi ohjelmoida kirjoittamatta binääristä (mikro)koodia? Voisiko samalla algoritmin esitystavalla

Ongelma(t): Miten mikro-ohjelmoitavaa tietokonetta voisi ohjelmoida kirjoittamatta binääristä (mikro)koodia? Voisiko samalla algoritmin esitystavalla Ongelma(t): Miten mikro-ohjelmoitavaa tietokonetta voisi ohjelmoida kirjoittamatta binääristä (mikro)koodia? Voisiko samalla algoritmin esitystavalla ohjelmoida useita komponenteiltaan ja rakenteeltaan

Lisätiedot

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI

1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI Ohjaamattomassa oppimisessa on tavoitteena muodostaa hahmoista ryhmiä, klustereita, joiden sisällä hahmot ovat jossain mielessä samankaltaisia ja joiden välillä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Kytkentäkentät, luento 2 - Kolmiportaiset kentät

Kytkentäkentät, luento 2 - Kolmiportaiset kentät Kytkentäkentät, luento - Kolmiportaiset kentät Kolmiportaiset kytkentäkentät - esitystapoja ja esimerkkejä Kytkentäkenttien vertailuperusteet ƒ Estottomuus, looginen syvyys, ajokyky Closin -verkko Paull

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Lukemisvaikeuden arvioinnista kuntoutukseen. HYVÄ ALKU- messut Jyväskylä, Elisa Poskiparta, Turun yliopisto, Oppimistutkimuksen keskus

Lukemisvaikeuden arvioinnista kuntoutukseen. HYVÄ ALKU- messut Jyväskylä, Elisa Poskiparta, Turun yliopisto, Oppimistutkimuksen keskus Lukemisvaikeuden arvioinnista kuntoutukseen HYVÄ ALKU- messut Jyväskylä, 2.- 3.9. 2004 Elisa Poskiparta, Turun yliopisto, Oppimistutkimuksen keskus Tapa tunnistaa sanoja vaihtelee lukutaidon kehittymisen

Lisätiedot

Kaksintaistelun approksimatiivinen mallintaminen (valmiin työn esittely)

Kaksintaistelun approksimatiivinen mallintaminen (valmiin työn esittely) Kaksintaistelun approksimatiivinen mallintaminen (valmiin työn esittely) Juho Roponen 10.06.2013 Ohjaaja: Esa Lappi Valvoja: Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

Monitavoiteoptimointi

Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa

Lisätiedot

Lajittelumenetelmät ilmakehän kaukokartoituksen laadun tarkkailussa (valmiin työn esittely)

Lajittelumenetelmät ilmakehän kaukokartoituksen laadun tarkkailussa (valmiin työn esittely) Lajittelumenetelmät ilmakehän kaukokartoituksen laadun tarkkailussa (valmiin työn esittely) Viivi Halla-aho 30.9.2013 Ohjaaja: Dos. Johanna Tamminen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

S: siirtää listan ensimmäisen luvun viimeiseksi V: vaihtaa keskenään listan kaksi ensimmäistä lukua

S: siirtää listan ensimmäisen luvun viimeiseksi V: vaihtaa keskenään listan kaksi ensimmäistä lukua A Lista Sinulle on annettu lista, joka sisältää kokonaisluvut 1, 2,, n jossakin järjestyksessä. Tehtäväsi on järjestää luvut pienimmästä suurimpaan käyttäen seuraavia operaatioita: S: siirtää listan ensimmäisen

Lisätiedot

T 61.3030 Neuraalilaskennan perusteet

T 61.3030 Neuraalilaskennan perusteet T 61.3030 Neuraalilaskennan perusteet Harjoitustyö time series prediction 31.5.2007 Heikki Hyyti 60451P EST hhyyti@cc.hut.fi Yleistä Harjoitustehtävässä piti Matlabin Neural Network Toolbox:n avulla luoda

Lisätiedot

Puumenetelmät. Topi Sikanen. S ysteemianalyysin. Laboratorio Aalto-yliopiston teknillinen korkeakoulu

Puumenetelmät. Topi Sikanen. S ysteemianalyysin. Laboratorio Aalto-yliopiston teknillinen korkeakoulu Puumenetelmät Topi Sikanen Puumenetelmät Periaate: Hajota ja hallitse Jaetaan havaintoavaruus alueisiin. Sovitetaan kuhunkin alueeseen yksinkertainen malli (esim. vakio) Tarkastellaan kolmea mallia Luokittelu-

Lisätiedot

Esimerkkejä vaativuusluokista

Esimerkkejä vaativuusluokista Esimerkkejä vaativuusluokista Seuraaville kalvoille on poimittu joitain esimerkkejä havainnollistamaan algoritmien aikavaativuusluokkia. Esimerkit on valittu melko mielivaltaisesti laitoksella tehtävään

Lisätiedot

TOIMINNALLISTA MATEMATIIKKAA OPETTAJILLE HANKE

TOIMINNALLISTA MATEMATIIKKAA OPETTAJILLE HANKE TOIMINNALLISTA MATEMATIIKKAA OPETTAJILLE HANKE Toiminnallista matematiikkaa opettajille hanke Lapin yliopiston kasvatustieteiden tiedekunnan Opetus ja kasvatusalan täydennyskoulutusyksikkö järjestää opetustoimen

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot

Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Satunnaisalgoritmit Topi Paavilainen Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 1 Johdanto Satunnaisalgoritmit ovat algoritmeja, joiden

Lisätiedot

Rinnakkaistietokoneet luento S

Rinnakkaistietokoneet luento S Rinnakkaistietokoneet luento 4 521475S Rinnakkaiset ei-numeeriset algoritmit: transitiivisulkeuma (transitive closure) Oletetaan suunnattu graafi G = (V,E) ja halutaan tietää onko olemassa kahta pistettä

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

STEP 1 Tilaa ajattelulle

STEP 1 Tilaa ajattelulle Työkalu, jonka avulla opettaja voi suunnitella ja toteuttaa systemaattista ajattelutaitojen opettamista STEP 1 Tilaa ajattelulle Susan Granlund Euran Kirkonkylän koulu ja Kirsi Urmson Rauman normaalikoulu

Lisätiedot

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,

Olkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko, Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot