Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta"
  • Ella Aro
  • 5 kuukautta sitten
  • Katselukertoja:

Transkriptio

1 Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015

2 Viikko 2: Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta 1 Regressiodiagnostiikka 2 Regressiomallin valinta

3 Sisältö 1 Regressiodiagnostiikka 2 Regressiomallin valinta

4 Regressiodiagnostiikka Regressioanalyysin peruskysymykset: Kuvaako malli selitettävän muuttujan ja selittäjien välistä riippuvuutta oikein 1 sisällöllisesti 2 tilastollisesti? Malli on tilastollisesti sopiva, jos estimointitulokset sopivat yhteen oletusten kanssa. Oletusten tarkastamista sanotaan regressiodiagnostiikaksi. Regressiodiagnostiikan menetelmiä: tilastografiikka diagnostiset tunnusluvut diagnostiset testit

5 Regressiomallin valinta Mallin määrittely tarkoittaa seuraavien valintojen tekemistä: 1 Selitettävän muuttujan ja selittäjien valinta. 2 Mallin rakenneosan funktionaalisen muodon ja parametroinnin valinta. 3 Selitettävän muuttujan ja selittäjien funktionaalisen muodon valinta. 4 Jäännöstermejä koskevien oletusten valinta. Huom Kohdat (1)-(3) liittyvät regressiomallin rakenneosan määrittelyytn ja kohta (4) liittyy regressiomallin jäännöstermin määrittelyyn. Mitkään näistä eivät ole riippumattomia toisistaan.

6 Rakennosan määrittelyvirheet (i) Käytetään lineaarista mallia, vaikka selitettävän muuttujan riippuvuus selittäjistä ei ole lineaarista. (ii) Mallissa on liikaa tai liian vähän selittäjiä. (iii) Mallin selittäjien funktionaalinen muoto on väärä. (iv) Oletetaan virheellisesti, että regressiokertoimet ovat vakioita. Huom Rakenneosan määrittelyssä tehdyt karkeat virheet havaitaan usein estimoidun mallin havaituista jäännöksistä.

7 Sopiiko lineaarinen malli kuvan aineistoon? y x

8 Jäännöstermien määrittelyvirheet (i) Oletetaan virheellisesti homoskedastisuus tai korreloimattomuus. (ii) Oletetaan virheellisesti normaalijakautuneisuus. Huom Jäännöstermien määrittelyssä tehdyt karkeat virheet havaitaan usein estimoidun mallin havaituista jäännöksistä.

9 Yleisen lineaarisen mallin diagnostinen tarkastus Onko poikkeavia havaintoja? Ovatko regressiokertoimet vakioita? Ovatko selittäjät lineaarisesti riippumattomia? Ovatko jäännöstermit homoskedastisia ja korreloimattomia (mahdollisesti normaalijakautuneita)? Huom Jos aineisto on suuri, voi olla järkevää sovittaa malli vain osaan aineistosta ja testata jäljelle jäävällä aineistolla mallin ennustuskykyä.

10 Regressiografiikka: Pistediagrammi Sovitteiden ŷ ja havaittujen y arvojen muodostamien pisteparien hajontakuvio. Pisteparvessa lievää kaarevuutta. y y^

11 Regressiografiikka: Pistediagrammi Pistediagrammi osoittaa poikkeavat havainnot. y y^

12 Regressiografiikka: Pistediagrammi Regressiomalli on sitä parempi mitä tasaisemmin pisteet ympäröivät suoraa, jonka kulmakerroin on 1. Pienikin kaarevuus hajontakuviossa viittaa rakenneosan väärään valintaan. Poikkeavat havainnot ovat tyypillisesti kaukana yllä mainitusta suorasta.

13 Regressiografiikka: Jäännösdiagrammi Sovitteiden ŷ tai selittäjän x j ja jäännösten e muodostamien pisteparien hajontakuvio. Kaarevuus on selvä. e x

14 Regressiografiikka: Jäännösdiagrammi Poikkeavat havainnot erottuvat selkeästi. e x

15 Regressiografiikka: Jäännösdiagrammi Oikein määritellyssä mallissa pisteet muodostavat suurin piirtein tasaleveän pisteparven vaaka-akselin ympärille. Poikkeavat havainnot näkyvät kaukana akselista. Pisteparven kaarevuus viittaa rakenneosan väärään valintaan. Jos pisteparvi ei ole suunnilleen tasaleveä joka puolella, niin jäännöstermi saattaa olla heteroskedastinen tai rakenneosa väärin määritetty.

16 Poikkeavat havainnot Poikkeavalla havainnolla tarkoitetaan havaintoa, joka eroaa jossakin mielessä merkitsevästi muista havainnoista. Tilastollisen analyysin kannalta havaintoa voidaan pitää poikkeavana, jos se vaikuttaa voimakkaasti tilastollisen analyysin tuloksiin: Jos havainnon poistaminen muuttaa olennaisesti tilastollisen analyysin tuloksia, havainto on poikkeava Poikkeavia havaintoja ei saa poistaa ilman voimakkaita kontekstin tuntemukseen pohjautuvia perusteluja. Regressioanalyysissa poikkeavat havainnot saattavat aiheuttaa seuraavia vaikeuksia: Mallin valinta vaikeutuu Mallin estimointi hankaloituu Mallia koskeva tilastollinen päättely saattaa vääristyä

17 Poikkeavien havaintojen tunnistaminen: Cookin etäisyys Havaintoon y i liittyvä Cookin etäisyys on C i = n l=1 (ŷl ŷ i l )2 (k + 1)s 2, missä (ŷ 1,..., ŷ n ): Sovitteet kun mallin estimoinnissa käytetty kaikkia havaintoja. (ŷ i 1,..., ŷ i n): Sovitteet kun mallin estimoinnissa on käytetty kaikkia muita havaintoja paitsi havaintoa i. 8 Jos havaintoa i vastaava Cookin etäisyys D i > n 2(k+1) tai on selvästi muiden havaintojen Cookin etäisyyttä suurempi, havainto kannattaa ottaa erikoistarkasteluun.

18 Cookin etäisyys y x C y

19 Cookin etäisyys y x C y

20 Miten käsitellä poikkeavia havaintoja? Jos poikkeavat havainnot ovat selvästi virheellisiä, esim. ihmisen pituudeksi on saatu 17.8m, niin ne on poistettava aineistosta tai ne on korjattava. Entä jos poikkeavat havainnot eivät ole virheellisiä? Vaihtoehtoja: 1 Kysytään asiantuntijalta mistä poikkeavat havainnot voisivat johtua. 2 Käytetään mallia, joka ottaa huomioon aineiston jakautumisen erilaisiin osiin. 3 Käytetään jotakin robustia estimointimenetelmää eli menetelmää, joka ei ole herkkä poikkeaville havainnoille. Yleispätevää toimintaohjetta ei voida antaa, mutta havaintoja ei saa poistaa ilman voimakkaita perusteluja. Mikäli havaintojen poistaminen on perusteltua ja poikkeavat havainnot poistetaan, niin ne tulee joka tapauksessa raportoida ja analysoida yksityiskohtaisesti.

21 Vakioparametrisuusoletuksen testaaminen Jos on syytä epäillä, että aineiston eri osiin sopisi eri lineaariset mallit, niin vakioparametrisuutta on syytä testata. Jos esimerkiksi tarkastellaan ruokavalion vaikutusta ihmisten verenpaineeseen, niin voi olla syytä selvittää ovatko vaikutukset naisilla ja miehillä keskimäärin samanlaiset. Testauksen tarkoituksena on selvittää, ovatko lineaarisen mallin parametrit samat aineiston kahdelle eri osajoukolle. Nollahypoteesi H 0 : parametrit ovat samat tarkasteltaville aineiston osille. Vaihtoehtoinen hypoteesi H 1 : aineiston eri osissa parametrit eivät ole samat. Testaamisen voi tehdä vertailemalla koko aineistoon sovitetun mallin ja aineiston eri osiin sovitettujen mallien jäännösneliosummia (SSE).

22 Vakioparametrisuusoletuksen testaaminen Nollahypoteesia: aineiston osien 1 ja 2 avulla estimoidut parametrit ovat yhtä suuret voidaan testata permutaatiotestillä: 1 Oletetaan, että havainnot (x i, y i ) i=1,...,n on jaettu osiin: 1 Osa 1: (x i, y i ) i=1,...,h (h kpl, h k + 1) 2 Osa 2: (x i, y i ) i=h+1,...,n (n h kpl) 2 Lasketaan koko aineiston avulla estimoidun mallin jäännösneliösumma SSE. 3 Sovitetaan malli osiin 1 ja 2 erikseen, jolloin saadaan jäännösneliösummat SSE 1 ja SSE 2. 4 Lasketaan testisuure ( ) n 2(k + 1) Ch = k + 1 SSE (SSE 1 + SSE 2 ), (SSE 1 + SSE 2 ) missä k on selittävien muuttujien lukumäärä, eli x i = (x i1,..., x ik ).

23 Vakioparametrisuusoletuksen testaaminen 6 Lasketaan testisuureen empiirisen jakauman kvantiilit: 1 Permutoidaan otoksen osat 1 ja 2, eli käydään yksitellen läpi kaikki kokoa h olevat osajoukot (ja niihin liittyvät komplementtijoukot), jolloin saadaan ( n h) otosparia. 2 Lasketaan jokaiselle permutoimalla saadulle joukkoparille arvo Ch p = n 2(k 1) SSE (SSE p1 + SSE p2 ) k + 1 (SSE p1 + SSE p2 ) missä SSE p1 ja SSE p2 ovat permutaatiolla p = 1,..., m, m = ( n h) saatujen aineiston osien 1 ja 2 jäännösneliösummat. 3 Järjestetään arvot Ch p pienimmästä suurimpaan, jolloin saadaan empiirisen jakauman kaikki kvantiilit. 7 Verrataan alkuperäistä arvoa Ch empiirisen jakauman (1 α) kvantiillin Ch (1 α) m. 1 Jos Ch > Ch (1 α) m, niin nollahypoteesi, jonka mukaan parametrit ovat vakioita, hylätään merkitsevyystasolla α.

24 Vakioparametrisuusoletuksen testaaminen, kun ɛ N ( 0, σ 2) : Chow-testi Jos oletetaan, että jäännökset ovat N ( 0, σ 2) -jakautuneita, niin vakioparametrisuutta ei tarvitse tarkastella permutoimalla, vaan edellä käytetty testisuure Ch = ( n 2(k + 1) ) k + 1 SSE (SSE 1 + SSE 2 ). (SSE 1 + SSE 2 ) noudattaa F-jakaumaa vapausastein k + 1 ja n 2(k + 1). Siten tässä tapauksessa vakioparametrisuutta voidaan testata kuten edellä, mutta kohta (5) voidaan ohittaa, sillä F (k + 1, n 2(k + 1))-jakauman kvantiilit ovat suoraan saatavilla. R-komento q-kvantiilille: qf(q,k+1,n-2*(k+1)).

25 Vakioparametrisuusoletuksen testaaminen Huom Permutaatiotestissä kaikkien ( n k) permutaation laskeminen on yleensä mahdotonta. Valitsemalla m permutaatiota satunnaisesti antaa kohtuullisen tarkkoja tuloksia, mutta m on syytä valita suureksi (esim ) jos mahdollista. Entä jos testi osoittaa, että parametrit eivät ole samat eri osissa? Jaetaan aineisto osiin ja analysoidaan niitä erikseen. Käytetään (epälineaarista) mallia, joka sallii parametrien muuttumisen.

26 Multikollineaarisuus Sanotaan, että mallin selittäjät ovat multikollineaarisia jos matriisi X on täysiasteinen (r(x) = k + 1), mutta sen sarakkeet ovat kuitenkin melkein lineaarisesti riippuvia. Hankaloittaa mallin estimointia ja siitä tehtävää tilastollista päättelyä. Voimakas multikollineaarisuus saattaa hankaloittaa myös mallin valintaa. Multikollineaarisuus on suhteellinen ominaisuus, joten voidaan puhua multikollineaarisuuden asteesta. Jos multikollineaarisuudesta on haittaa, niin siihen voidaan pyrkiä vaikuttamaan esimerkiksi seuraavin keinoin: Mallista poistetaan mahdolliset turhat selittäjät. Selittäjiin sovelletaan sopivia muunnoksia.

27 Esimerkki: sementin rakenne ja lämpötila i x i1 x i2 x i3 x i4 y i Taulukko : Selittäjät x 1, x 2, x 3, x 4 ovat neljän eri kemikaalin painoprosentit sementistä valmistetuissa klinkkeriessä, kun kehityslämpötila on y. (A.C. Davison, 2003)

28 Esimerkki: sementin rakenne ja lämpötila Matriisin X = [1 x 1 x 2 x 3 x 4 ] sarakkeet ovat lähes lineaarisesti riippuvia, sillä x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = =

29 Multikollineaarisuus: Varianssin inflaatiotekijä PNS-estimaattorin b j varianssi voidaan lausua muodossa: var(b j ) = 1 1 R 2 j σ 2 n i=1 ( xij x j ) 2 missä σ 2 = var ɛ ja Rj 2 on selitysaste lineaarisesta regressiomallista, jossa selitettävänä muuttujana on alkuperäisen mallin selittäjä x j selittäjinä ovat muut alkuperäisen mallin selittäjät Kaavassa esiintyvää tekijää VIF j = 1 1 R 2 j, j = 1, 2,..., k kutsutaan selittäjää x j vastaavaksi varianssin inflaatio-tekijäksi.

30 Multikollineaarisuus: Varianssin inflaatiotekijä var(b j ) = VIF j σ 2 n i=1 ( xij x j ) 2, VIF j = 1 1 R 2 j Estimaattorin b j varianssi on sitä suurempi, mitä suurempi on VIF j. Jos Rj 2 = 0 ja VIF j = 1 kaikille j = 1,..., k, niin selittäjät x 1, x 2,..., x k ovat ortogonaalisia (tämä on ideaalitilanne, johon pyritään jos selittäjien arvot voidaan valita). Jos Rj 2 = 1 ja VIF j = jollekin j = 1,..., k, niin selittäjä x j voidaan esittää muiden selittäjien x 1, x 2,..., x j 1, x j+1,..., x k lineaarikombinaationa. Jos VIF j > 10 jollekin j = 1,..., k, niin multikollineaarisuudesta saattaa olla haittaa.,

31 Multikollineaarisuutta voidaan tutkia myös tarkastelemalla muuttujien x 1,..., x k havaituista arvoista muodostettujen matriisien ominaisarvoja (ja ominaisvektoreita) Matriisia Z Z R k k missä Z R n k on selittäjien x 1,..., x k havaittujen arvojen muodostama matriisi Selittäjien x 1,..., x k havaittu momenttimatriisi A R k k Selittäjien x 1,..., x k havaittu kovarianssimatriisi S R k k Selittäjien x 1,..., x k havaittu korrelaatiomatriisi R R k k Matriisin multikollineaarisuuden mittarina voidaan käyttää matriisin kuntoisuuslukua eli suurimman ja pienimmän ominaisarvon suhdetta: jos luku on suuri, niin matriisi on multikollineaarinen.

32 Heteroskedastisuus Kun lineaarisen mallin jäännöstermit ɛ i ovat heteroskedastisia, PNS-estimaattorit ovat harhattomia, mutta ne eivät enää ole parhaita lineaaristen ja harhattomien estimaattoreiden joukossa. Lisäksi jäännösvarianssin tavanomainen estimaattori on harhainen. Jos esim. jäännösvarianssi yliarvioidaan, niin Regressiokertoimien PNS-estimaattoreiden varianssit tulevat tarpeettoman suuriksi Regressiokertoimien luottamusväleistä tulee tarpeettoman leveitä. Regressiokertoimia koskevista testisuureiden arvoista tulee tarpeettoman pieniä. Jäännöstermien heteroskedastisuus nähdään usein jo residuaalidiagrammeista (edellä)

33 Yksinkertainen testi homoskedastisuudellle Määrätään selitysaste R 2 a apuregressiosta e 2 i = α 0 + α 1 ŷ i + δ i. Nollahypoteesi H 0 : Homoskedastisuusoletus pätee, eli Testisuure: nr 2 a. H 0 : nr 2 a = 0. Jos testisuureen arvo poikkeaa selvästi nollasta, niin nollahypoteesi hylätään, eikä homoskedastisuutta voida olettaa.

34 Whiten testi homoskedastisuudelle Voimakkaampi kuin edellä käsitelty yksinkertainen testi. Perustuu selitysasteeseen R 2 a apuregressiosta, jossa selitettävänä muuttujana käytetään residuaalien neliöitä selittäjinä käytetään alkuperäisen mallin selittäjiä sekä niiden neliöitä ja ristituloja. Jos homoskedastisuusoletus pätee, niin nr 2 a 0, joten testin nollahypoteesi on H 0 : nr 2 a = 0. Suuret testisuureen nr 2 a arvot (verrattuna apuregressiossa estimoitavien parametrien lukumäärään) johtavat nollahypoteesin H 0 hylkäämiseen. Huom Testin voi suorittaa permutaatiotestillä ja bootstrapilla, mutta jos jäännökset ovat normaalijakautuneita, niin testisuure nr 2 a noudattaa χ 2 (p)-jakaumaa, missä p on apuregression muuttujiin liittyvien parametrien määrä.

35 Esimerkki Oletetaan, että alkuperäinen malli on Silloin apuregressio on y i = β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 + ɛ i e 2 i = γ 0 + γ 1 x i1 + γ 2 x i2 + γ 3 x 2 i1 + γ 4x 2 i2 + γ 5x i1 x i2 + δ i

36 Mallin jäännökset ovat heteroskedastisia mitä sitten? Tehdään mallin selitettävään muuttujaan sopiva stabiloiva muunnos. Mallinnetaan heteroskedastisuus käyttäen yleistettyä PNS-menetelmää. Käytetään jotain muuta soveltuvaa menetelmää (kts kirjallisuus).

37 Jakaumaoletusten tarkastaminen Jos halutaan olettaa, että satunnaismuuttuuja noudattaa jotakin parametristä jakaumaa, niin oletuksen sopivuus on syytä tarkastaa. 1 Visualisoidaan histogrammin avulla. 2 Tarkastellaan ( ) järjestyslukukuvaajaa, eli pistepareja E[Zi ], e i, missä jäännökset e1,..., e n on järjestetty pienimmästä suurimpaan ja Z 1,..., Z n on järjestetty otos vertailtavana olevasta jakaumasta. Kuvaaja vertaa havaittuja kvantiileja verrokkijakauman kvantiileihin, joten mikäli havainnot noudattavat verrokkijakaumaa, niin järjestyslukukuvaajan pisteet ovat suunnilleen samalla suoralla. 3 Käytetään jotakin testiä, esimerkiksi Kolmogorv-Smirnov. (Kurssi MS-A0501, Viikko 6 kalvot.) R-komentoja: hist(e), qqplot(z,e), qqnorm(e), ks.test(e, "jakauma", parametrit...)

38 Ennustuskyvyn testaaminen Oletetaan, että on käytettävissä havainnot (x i1,..., x ik, y i ), i = 1,..., n + h. Estimoidaan lineaarinen regressiomalli havainnoista i = 1,..., n PNS-estimaatti b. Ennustetaan sovitetulla mallilla arvoja y n+1,..., y n+h : ŷ i = x ib, i = n + 1,..., n + h, missä x i = (1, x i1,..., x ik ). Ennustevirheiden u i = y i ŷ i tunnusluvut: E[u i ] = 0 var(u i ) = σ 2 ( 1 + x i ( X X ) 1 x i ) cov(u) = σ 2( I + X h (X X ) 1 X ), missä X h = [x n+1,..., x n+h ].

39 Ennustuskyvyn testaaminen Nollahypoteesi H 0 : β 1 = β 2, σ 2 1 = σ2 2. β 1 on estimoitu havaintojen 1,..., n avulla. β 2 on estimoitu havaintojen n + 1,..., n + h avulla. Testisuure on χ 2 = n+h i=n+1 u 2 i s 2, jonka suuret arvot (suhteessa otoksen 2 kokoon) johtavat nollahypoteesin hylkäämiseen. (Samankaltainen kuin vakioparametrisuuden testaus.) Testi voidaan suorittaa permutaatiotestillä (ja bootstrapilla) ja jos jäännökset ovat normaalijakautuneita, niin testisuure noudattaa χ 2 -jakaumaa vapausastein h.

40 Sisältö 1 Regressiodiagnostiikka 2 Regressiomallin valinta

41 Regressiomallin valinta Lineaaristen regressiomallien estimointia, testausta ja ennustamista koskevat tulokset edellyttävät, että mallin rakenneosa on oikein määritetty. Virheet saattavat johtaa virheellisiin johtopäätöksiin selitettävän muuttujan ja selittäjien välisestä riippuvuudesta. Kun regressiomallin rakenneosalle etsitään oikeaa määrittelyä, keskeisenä ongelmana on löytää malliin oikeat selittäjät. Selittäjien valintaa regressiomallin kutsutaan tavallisesti mallin valinnaksi, vaikka oikeastaan kaikkea mikä liittyy mallin rakenneosan ja jäännöstermin määritykseen voidaan pitää mallin valintana.

42 Oikeiden selittäjien merkitys Jos mallissa on turhia selittäjiä, PNS-estimaattorit ovat (yleensä) tehottomia ja regressiokertoimien varianssit ovat tarpeettoman suuria. Jos mallista puuttuu selittäjiä, PNS-estimaattorit ovat (yleensä) harhaisia Harhaisuus on paljon vakavampi ongelma kuin tehottomuus. Hyvän regressiomallin jäännösneliösumma on pieni (eli selitysaste on korkea) ja kaikki selittäjät ovat tilastollisesti merkitseviä. Mutta: Minkä tahansa selittäjän lisääminen malliin pienentää (tai ei ainakaan kasvata) jäännösneliösummaa Minkä tahansa selittäjän poistaminen tai lisääminen saattaa muuttaa muiden selittäjien tilastollista merkitsevyyttä Oikeiden selittäjien löytäminen regressiomalliin voi olla vaikeaa.

43 Puuttuvien selittäjien ongelma Olkoon oikea malli y = X 1 β 1 + X 2 β 2 + ɛ, mutta estimoimme vektorin b 1 väärästä mallista y = X 1 β 1 + ɛ. Silloin Osa selittäjistä puuttuu, joten väärän mallin (2) jäännöstermi on muotoa: δ = X 2 β 2 + ɛ. Estimaattori b 1 on b 1 = β 1 + ( X 1 X 1) 1X 1 X 2 β 2 + ( X 1 X 1) 1X 1 ɛ, joka on harhaton vain jos β 2 = 0 tai X 1 X 2β 2 = 0.

44 Mallinvalintatestien idea Pyritään valitsemaan malliin kaikki tilastollisesti merkitsevät selittäjät käyttäen jotakin testausstrategiaa Esim Askellus alaspäin -strategia Selittäjän x j tilastollista merkitsevyyttä testataan käyttämällä nollahypoteesina H 0 : β j = 0 Selittäjien lisääminen/poistaminen ei ole ongelmatonta Selittäjän tilastolliseen merkitsevyyteen vaikuttaa yleensä se, mitä muita selittäjiä mallissa on testaushetkellä. Testien suoritusjärjestys saattaa vaikuttaa siihen, mikä malli tulee valituksi, esim: Merkitsevän selittäjän lisääminen muuttaa mallissa olevan merkitsevän selittäjän ei-merkitseväksi ei-merkitsevän selittäjän poistaminen muuttaa aikaisemmin ei-merkitsevänä poistetun selittäjäkandidaatin merkitseväksi. Eri strategiat johtavat usein eri malleihin.

45 Mallinvalintastrategiat: Askellus taaksepäin 1 Otetaan lähtömalliin mukaan kaikki selittäjäkandidaatit. 2 Valitaan testissä käytettävä merkitsevyystaso α p. 3 Estimoidaan malli niillä selittäjillä, jotka ovat mallissa mukana. 4 Testataan merkitsevyystasoa α p käyttäen kaikkien mallissa mukana olevien selittäjien tilastollista merkitsevyyttä. 5 Jos kaikki mallissa olevat selittäjät ovat tilastollisesti merkitseviä, malli on valmis. 6 Poistetaan mallin ei-merkitsevistä selittäjistä se, jota vastaava p-arvo on suurin (se selittäjä, joka on vähiten merkitsevä). 7 Palataan vaiheeseen (3). Huom Mallin estimointi uudelleen (3) on välttämätön joka askeleessa, koska estimointitulokset yleensä muuttuvat joka askeleessa.

46 Mallinvalintakriteereiden idea Hyvän mallin jäännösneliösumma on pieni (eli selitysaste korkea) Jäännösneliösumma SSE pienenee (tai ei ainakaan kasva), kun malliin lisätään mikä tahansa muuttuja selittäjäksi. Siten SSE:n minimointi (tai R 2 :n maksimointi) johtaa aina kaikkien tarjolla olevien selittäjien valintaan Mallinvalintakriteereissä jäännösneliösummaan liitetään sakkofunktio, jonka arvo riippuu estimoitavien regressio-kertoimien lukumäärästä. Sakkofunktio kasvattaa kriteerifunktion arvoa, elleivät malliin lisätyt selittäjät pienennä jäännösneliösummaa tarpeeksi paljon. Principle of parsimony: Kahdesta erilaisesta, mutta yhtä hyvästä selityksestä tosiasioille yksinkertaisempaa on pidettävä parempana

47 Mallinvalintakriteerit: Yleinen muoto Olkoon y = Xβ p + ɛ lineaarinen regressiomalli. 1 p = k + 1 on estimoitavien parametrien lukumäärä. 2 PNS-estimaattori b p = ( X X ) 1 X y. 3 Jäännösneliösumma: SSE p = ( ) ( ) y Xb p y Xbp 4 Jäännösneliösumman suurimman uskottavuuden estimaattori ˆσ 2 p = SSE p /n. Monet mallinvalintakriteerit voidaan esittää muodossa joka pyritään minimoimaan. C(p, ˆσ 2 p),

48 Mallinvalintakriteereitä Korjattu selitysaste: R p 2 = 1 n 1 SSE p n p SST, SST = (n 1)s2 y. Hyvän mallin korjattu selitysaste on mahdollisimman suuri. Mallowsin C p mallinvalintakriteeri: C p = SSE p s 2 q + 2p n, s 2 q = SSE q n q, missä SSE q on jäännösneliösumma mallista, jossa on kaikki q käytettävissä olevaa selittäjää mukana.

49 Regressiomallin linearisointi Jos selitettävän muuttujan y tilastollinen riippuvuus selittäjistä on epälineaarinen, riippuvuuden analysointi vaatii yleensä epälineaarisen regressiomallin rakentamista. Joskus voidaan kuitenkin linearisoida selitettävän muuttujan ja selittäjien sopivilla muunnoksilla siten, että muunnosten avulla saatu malli toteuttaa yleisen lineaarisen mallin standardioletukset. Rajoitumme tässä linearisoivien muunnosten käytön kuvaamiseen yhden selittäjän tapauksessa

50 Regressiomallin linearisointi Epälineaarinen tilastollinen riippuvuus voidaan linearisoida, jos on olemassa bijektiiviset kuvaukset f ja g niin, että muunnetuille havaintoarvoille f (x i ), g(y i ), i = 1,..., n pätee f (y i ) = β 0 + β 1 g(x i ) + ɛ i, i = 1,..., n jossa jäännöstermit ɛ i toteuttavat yleisen lineaarisen mallin standardioletukset. Tähän muunnettuun malliin voidaan soveltaa tavanomaisia lineaarisen mallin estimointi- ja testaustekniikoita. Linearisoiven muunnosten f ja g etsiminen: taustateorian avulla (esim. fysiikka, taloustiede,...) Tilastografiikka, tunnnetut muunnokset

51 Linearisoivien muunnosten etsiminen Muuttujien y ja x tilastollisen riippuvuuden epälineaarisuus näkyy siinä, että pistediagrammin (x i, y i ), i = 1,..., n pistepilvi on käyrä. Jos funktiot f ja g onnistuvat linearisoimaan epälineaarisen tilastollisen riippuvuuden, käyryyttä ei näy piste- ja residuaalidiagrammeissa: ( g(xi ), f (y i ) ), i = 1,..., n ) (ˆf (yi ), e i, i = 1,..., n ( ) g(xi ), e i, i = 1,..., n.

52 Linearisoivien muunnosten etsiminen g(x) f (y) x 1/x log x y y = β 0 + β 1 x y = β 0 + β 1 /x y = β 0 + β 1 log x 1/y 1/y = β 0 + β 1 x 1/y = β 0 + β 1 /x 1/y = β 0 + β 1 log x log y log y = β 0 + β 1 x log y = β 0 + β 1 /x log y = β 0 + β 1 log x g(x) f (y) x 1/x log x y y = β 0 + β 1 x y = β 0 + β 1 /x y = β 0 + β 1 log(x) 1 1/y y = ) y = β 1 (x+ β 0 β 0 β y = ( 1 ) β 2 β 0 x+ β 1 1 β β 1 log x+ β 0 0 β 1 log y y = e β 0e β 1x y = e β 0e β 1/x y = e β 0x β 1

53 Ensi viikolla: 1 Stationaariset stokastiset prosessit 1 Määritelmä 2 Autokorrelaatiofunktio 3 Osittaisautokorrelaatiofunktio 4 Viive- ja differenssioperaattorit 5 Integroituvuus eli differenssistationaarisuus 6 Spektri 2 ARMA-mallit 1 Puhtaasti stokastinen prosessi 2 Erilaiset SARMA mallit

54 Luentokalvot pohjautuvat osittain Mellinin ja Liesiön aiempien vuosien kalvoihin.

Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta

Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta Regressiodiagnostiikka ja regressiomallin valinta MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Regressiomallin valinta Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit Mallinvalintakriteerit Epälineaaristen riippuvuuksien

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiomallin valinta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiomallin valinta TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiomallin valinta >> Regressiomallin valinta: Johdanto Mallinvalintatestit

Lisätiedot

Kertaus. MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä

Kertaus. MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: Yleinen lineaarinen malli 1 Määritelmä

Lisätiedot

Yleinen lineaarinen malli

Yleinen lineaarinen malli MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 1: 1 Määritelmä ja standardioletukset 2

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Regressiodiagnostiikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Regressiodiagnostiikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Regressiodiagnostiikka >> Yleinen lineaarinen malli ja regressiodiagnostiikka

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 2007 10. luento: Regressiomallin (selittäjien) valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin erusteet, kevät 007 Regressiomallin (selittäjien valinta Kai Virtanen 1 Regressiomallin selittäjien valinnasta Mallista uuttuu selittäjiä => harhaiset regressiokertoimien

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1

Johdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1 Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n

Lisätiedot

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa

Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen mallin soveltamisessa TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Erityiskysymyksiä yleisen lineaarisen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi. Yleinen lineaarinen malli. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Yleinen lineaarinen malli TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yleinen lineaarinen malli >> Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli

Lisätiedot

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että

Lisätiedot

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1

Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi

Lisätiedot

Yleistetyistä lineaarisista malleista

Yleistetyistä lineaarisista malleista Yleistetyistä lineaarisista malleista Tilastotiede käytännön tutkimuksessa -kurssi, kesä 2001 Reijo Sund Klassinen lineaarinen malli y = Xb + e eli E(Y) = m, jossa m = Xb Satunnaiskomponentti: Y:n komponentit

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Tilastollisen analyysin perusteet Luento 7: Lineaarinen regressio Sisältö Regressioanalyysissä tavoitteena on tutkia yhden tai useamman selittävän muuttujan vaikutusta selitettävään muuttujaan. Sen avulla

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

2. Tietokoneharjoitukset

2. Tietokoneharjoitukset 2. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 2.1 Jatkoa kotitehtävälle. a) Piirrä aineistosta pistediagrammi (KULUTUS, SAIRAST) ja siihen estimoitu regressiosuora. KULUTUS on selitettävä muuttuja. b) Määrää estimoidusta

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin

Lisätiedot

Korrelaatiokertoinen määrittely 165

Korrelaatiokertoinen määrittely 165 kertoinen määrittely 165 Olkoot X ja Y välimatka- tai suhdeasteikollisia satunnaismuuttujia. Havaintoaineistona on n:n suuruisesta otoksesta mitatut muuttuja-arvoparit (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1

Vastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

1. REGRESSIOMALLIN SYSTEMAATTISEN OSAN MUOTO

1. REGRESSIOMALLIN SYSTEMAATTISEN OSAN MUOTO Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Regressiodiagnostiikka Cooken etäisyys, Funktionaalinen muoto, Diagnostinen grafiikka, Diagnostiset testit, Heteroskedastisuus,

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Painotettu PNS-menetelmä. Avainsanat:

Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Painotettu PNS-menetelmä. Avainsanat: Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Mallin valinta Painotettu PNS-menetelmä Alaspäin askellus, Askellus, Askeltava valikointi, Diagnostinen grafiikka, Diagnostiset

Lisätiedot

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia

1. Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 5 RATKAISUEHDOTUKSET 232215 1 Tutkitaan tavallista kahden selittäjän regressiomallia Y i = β + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + u i (a) Kirjoita regressiomalli muodossa

Lisätiedot

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n =

xi = yi = 586 Korrelaatiokerroin r: SS xy = x i y i ( x i ) ( y i )/n = SS xx = x 2 i ( x i ) 2 /n = 1. Tutkitaan paperin ominaispainon X(kg/dm 3 ) ja puhkaisulujuuden Y (m 2 ) välistä korrelaatiota. Tiettyä laatua olevasta paperierästä on otettu satunnaisesti 10 arkkia ja määritetty jokaisesta arkista

Lisätiedot

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset

1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept

Lisätiedot

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET

TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 4 1 RATKAISUEHDOTUKSET 16..015 1. a Poliisivoimien suuruuden lisäksi piirikuntien rikostilastoihin vaikuttaa monet muutkin tekijät. Esimerkiksi asukkaiden keskimääräinen

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Lineaarinen regressiomalli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Minimin löytäminen

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾

edellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾ ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Vastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,

Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 2016 Laskuharjoitus 5, Kotitehtävien palautus laskuharjoitusten

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Harha mallin arvioinnissa

Harha mallin arvioinnissa Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 5 Tilastollisten hypoteesien testaaminen Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu

Lisätiedot

MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 2. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävä: 3,4

MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 2. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävä: 3,4 MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 2. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävä: 3,4 Tehtävä 2.1. Jatkoa tietokonetehtävälle 1.2: (a) Piirrä aineistosta pisteparvikuvaaja (KULUTUS, SAIRAST) ja siihen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)

Keskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Suurimman uskottavuuden menetelmä

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Suurimman uskottavuuden menetelmä Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Suurimman uskottavuuden menetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Suurimman uskottavuuden menetelmä >> Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä Tarkentuvuus Asymptoottinen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus Kokeellisen tutkimuksen keskeinen tehtävä on selvittää mitattavien muuttujien välisiä

Lisätiedot

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) 805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH

8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH 8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

ARMA mallien ominaisuudet ja rakentaminen

ARMA mallien ominaisuudet ja rakentaminen MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Viikko 4: 1 ARMA-mallien ominaisuudet 1 Stationaaristen

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1

Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Odotusarvojen erotuksen testi, hajonnat σ 1 σ 2 tuntemattomia Oletetaan jälleen, että X ja Y ovat normaalijakautuneita.

Lisätiedot

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016)

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016) 805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016) Tavoitteet (teoria): Hahmottaa aikasarjan klassiset komponentit ideaalisessa tilanteessa. Ymmärtää viivekuvauksen vaikutus trendiin. ARCH-prosessin

Lisätiedot

4. Tietokoneharjoitukset

4. Tietokoneharjoitukset 4. Tietokoneharjoitukset Demotehtävät 4.1 Tarkastellaan seuraavia aikasarjoja. Tiedosto (.txt) Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus INTEL Intel_Close Intelin osakekurssi Pörssipäivä n = 20 Intel_Volume

Lisätiedot

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut

10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut 10. laskuharjoituskierros, vko 14, ratkaisut D1. Eräässä kokeessa verrattiin kahta sademäärän mittaukseen käytettävää laitetta. Kummallakin laitteella mitattiin sademäärät 10 sadepäivän aikana. Mittaustulokset

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät. β versio. Tilastolliset menetelmät. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio

Tilastolliset menetelmät. β versio. Tilastolliset menetelmät. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio β versio Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät

Tilastolliset menetelmät Tilastolliset menetelmät Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot tilastollisista menetelmistä ja niiden soveltamisesta. Tämä on monisteen

Lisätiedot

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI

USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen

Lisätiedot