Inertiaalikehykset ja aika-avaruus (2005)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Inertiaalikehykset ja aika-avaruus (2005)"

Transkriptio

1 1 Inertiaalikehykset ja aika-avaruus (2005) Keskustelijat Tuomo Suntola Paul Talvio Heikki Sipilä Jyrki Tyrkkö Jouko Seppänen Heikki Mäntylä Ari Lehto Tarja Kallio- Tamminen Heikki Mäntylän raportti Lyhyt yhteenveto ja muutamia ajatuksia fysiikan nobelisti (2004) professori David Grossin luennosta : The Future of Physis: 25 questions that might guide physis in the broadest sense, over the next 25 years. Hyvät luonnonfilosofit, Monella ei ollut tilaisuutta käydä kuulemassa täpötäydessä salissa fysiikan nobelisti, prof. David Grossin esitelmää. Siksi lähetän oheisessa liitteessä lyhyen yhteenvedon, joka perustuu muistikuviini, muutamiin hätäisesti tehtyihin muistiinpanoihini sekä omaan ymmärrykseeni/väärinymmärrykseeni. Kaiken kaikkiaan mielenkiintoinen ja sivistävä tilaisuus. En taaskaan malta pitää suutani kiinni koska esitelmä oli tietysti stimuloiva ja kaikilla LFS:n jäsenillä ei ollut tilaisuutta käydä esitelmää kuulemassa. Kirjaan tähän ne 25 kysymystä, jotka prof. Gross kävi läpi. Muutamia kommentoin lyhyesti ottaen tietysti riskin, että olen ymmärtänyt aivan väärin tai en ollenkaan. Heti aluksi esitelmöitsijä totesi (fyysikoksi) yllättävän nöyrästi: The more we know the more there are new questions! ja The most important produt of knowledge is ignorane. Sitten hän hän kuvasi fysiikan saavutuksia 25 vuoden aikana. Totesi mm., että 25 vuotta sitten we didn t know tai had not yet been disovered, mutta now we know tai now we understand. KYSYMYKSET: 1. How did the Universe begin? Alkuräjähdyksen hän tietenkin nimesi syntyhetkeksi ja totesi kuten ortodoksisen fyysikon kuuluukin: inflationary theory has proven very suessful, mutta myönsi, että jotain

2 2 selittämätöntä koko teoriassa ja nimenomaan alkuhetkissä vielä on. Maybe there is something we are missing in our thinking 2. Dark matter, 25 %? Tästä hän totesi mm: We know it s there, but we do not know its quality as we know for instane quarks Tiivistettynä: pimeä aine on fiktiivisempi fiktio kuin. hiukkas- fiktiot. 3. Dark energy, 75%? Dark energy is the ause for the aeleration of the expansion of the universe It should be alled dark pressure... we don t know what it is we only know its effets...a big mystery for the string theory.. Mielestäni kävi hyvin selväksi, että kyseessä on fiktiivisin kaikista fiktioista tukemaan nykyistä teoriaa. 4. How stars and planets form? Some of the reently obtained data is puzzling and not yet understood. 5. General Relativity? Is still valid.... but we don t know the validity in all sales...in strong gravity et. 6. Quantum Mehanis Is quantum mehanis the ultimate desription of nature? Syy kysymykseen lienee suhteellisuusteorian ja kvanttimekaniikan yhteensopivuuden ongelmat. 7. Mysteries of the Standard Model? There are mysteries unexplained. The masses and mixing of the quarks and leptons 8. QCD? Will be proved one day 9. String Theory? Tuntui pitävän sitä lupaavana, mutta kyseli samalla: what is String Theory? Dimensioiden lukumäärä vaihtelee muutamasta varsin moniin. Lisäksi totesi, että se on threat to elementarity & loality. 10. What is spae- time? Tämä oli kummallinen kysymys nobelistilta enkä oikein ymmärtänytkään mihin hän tähtäsi. Olikohan se varovaista suhteellisuusteorian kritiikkiä. Hän totesi mm....spae and time may be doomed ja Can we imagine that time is emergent? Mielenkiintoinen kysymys ajan emergenssistä! 11. Is physis environmental siene? Tästä eteenpäin alkoi luennoitsija lisätä vauhtia ja kalvot vilahtelivat seinällä varsin nopeasti. Aika alkoi ilmeisesti loppua olihan hän puhunut jo yli tunnin.

3 3 12. Aihe vilahti ohi 13. New states of Matter? 14. Complexity? Tietokoneet tuoneet uuden mahdollisuuden käsitellä ja ymmärtää tätä. Kompleksisten systeemien kaoottisuus yllättänyt ja tuo ongelmia. 15. Quantum Computers? Epäili, että kulunee ainakin 25 vuotta ennenkuin käytössä laajemmin 16. Appliations? Mainitsi mm. että suprajohtavuus huoneen lämpötilassa saattaa olla tuleva keksintö 17. Theoretial Biology? Can theoretial physis help? do we need new mathematis? 18. Genomis Voisiko evoluutiosta ja geeniteknologiasta saada kvantitatiivisen ja ennustavan? quantitative and preditive. 19. Consiousness?.. is selforganization resposible for memory and onsiousness? Can we reate a mahine onsiousness? 20. Computational physis? Yllättävä, varmaan huumoriksi tarkoitettu kysymys: When will omputers beome reative theoretial physiists? 21. Balkanization???? 22. Redutionism? Esitelmöitsijä tuntui olevan epävarma eikä ainakaan julistautunut Enqvistiläiseksi.... keep an open mind 23. The Role of Theory? We should let a hundred flowers to blossom Tämä oli ilahduttava ja rohkaiseva kannanotto. 24. Dangers? Näyttää että traditional models beoming unreliable? What new approahes shall be taken? 25. Will Physis be important in 25 years? Ymmärsin, että esitelmöitsijän mielestä fysiikan merkittävä rooli jatkuu ja vahvistuu. Pääasia, että hän kuitenkin esitti tämän retorisen kysymyksen.

4 4 Kuten näkyy mahdutti esitelmöitsijä kahteen tuntiin valtavasti asiaa muttei tietenkään mitään radikaalia uutta. Keskimäärin hän tuntui olevan tyytyväinen ja jopa ylpeä fysiikan saavutuksista viimeisten 25 vuoden aikana. Asenne oli sama kuin muillakin (ehkä kuitenkin vähän keskimääräistä nöyrempi): Ennen luultiin, että... nyt tiedetään ja ymmärretään, että... Jäin miettimään: Mitähän tulevaisuuden nobel- fyysikko sanoo 25 vuoden kuluttua nykytiedoistamme. Heikki Mäntylä Paul Talvio Hei DU- klubilaiset Tieteen päivät lähestyvät lopullisen totuuden ilmestymisen 100- vuotisjuhlan merkeissä. Kai epäilevät Tuomaatkin sentään saavat osallistua. Keskustelua ei kuitenkaan kannata yrittää. Keskustelkaamme kuitenkin keskenämme. Tuore Nobelisti David Gross piti esitelmän HY:n Exatiumissa (Heikki Mäntylä jo lähettikin siitä yhteenvedon) Hän kaavaili fysiikan mahdollista kehitystä seuraavan 25 vuoden aikana. Hän heitti esiin myös kysymyksen Is spae- time doomed? Kysymykset oli lainattu kahdelta tunnetulta fyysikolta (en ehtinyt kirjoittaa nimiä ylös, voisikohan Gross in diat saada jostakin?). Gross ei myöskään pitänyt uskottavana, että aika voisi olla paikan määräämä eli kuten hän sanoi paikan emergentti ominaisuus. Tuntui, että hänellä olisi ollut paljon muutakin sanottavaa tästä asiasta.. Einstein määrittelee paikan ajaksi paikkaa mahdollisimman lähellä olevan kellon lukeman. Y- akselilla olevat kellot näyttävät havaitsijan aikaa (proper time) ja sen kanssa synkronoidut muualla koordinaatistossa olevat kellot paikallista aikaa (oordinate time). Tässä ei ole mitään mystiikkaa. Aika on näin operationaalisesti määritelty, sidottu selvään fysikaaliseen prosessiin, sykronointiin. Mitään itse paikasta emergoituvaa aikaa ei tarvita. Oheisessa kirjoituksessani tarkastelen aika- paikka teorian yhtäpitävyyttä havaintojen kanssa. Tulos on vähintään hämmentävä. Esityksen voi tiivistää yhteen kysymykseen: Kumpi kuva, 1 vai 2, vastaa todellisuutta? Liitteenä on kaksi paperia. Toinen on lyhyt ja rajoittuu vain ECI- kehysen sisällä tehtyihin havaintoihin. Sen jokainen jaksanee lukea. Toinen on pitkä juttu, joka sisältää sekä edellisen, että sijoittaa ECI- kehyksen koko universumin viitekehykseen. Se soittaa myös miten luovasti suhteellisuusteoriaa nykyisin joudutaan soveltamaan. Terv. Paul

5 5 Talvion liitteet: LIITE 1 Onko aika paikkariippuvaista? Valon Doppler- ilmiö johdetaan kaikissa tuntemissani fysiikan kirjoissa siten, että havaitsijan koordinaatisto on lepokoordinaatisto (galileinen) ja valonlähde liikkuu. Tähtien valossa ilmenevän vuodenaika- Dopplerin ja aberraation tapauksessa ei tähden ja Maan välinen suhteellinen liike kuitenkaan voi ilmetä reaaliajassa valon pitkän kulkuajan takia. Ilmiö selitetäänkin ajan paikkariippuvuudella Maan koordinaatistossa eli samanaikaisuuden suhteellisuudella. Selitys on seuraava: Jos tunnemme valon suunnan ja aallonpituuden (aaltovektorin) koordinaatistossa A, niin pystymme Lorentz- muunnoksen avulla laskemaan valon ominaisuudet A:n suhteen liikkuvassa koordinaatistossa B. Vuodenaika- Dopplerin tapauksessa tunnemme valon aallonpituuden Aurinkokeskeisessä pyörimättömässä koordinaatistossa SSB (Sun System Baryetered frame). Se on vuoden aikana mittaamamme keskiarvo tai hetkellinen arvo silloin, kun Maa liikkuu kohtisuoraan kyseisestä tähdestä tulevaan valonsäteeseen nähden. Olettakaamme nyt, että Maakeskeisen pyörimättömän koordinaatiston ECI (Earth Centered Inertial frame) ja SSB- koordinaatistojen x- akselit osoittavat suoraan tähteen päin. Olettakaamme edelleen, että Maa liikkuu suoraan tähteä päin eli x- akselien suuntaan nopeudella v. Tässä tapauksessa Lorentz- muunnos on seuraava: xe = γ(xs vt) te = γ(ts vx/ 2 ) (1) (2) Olkoon yhden jakson aika SSB:ssä TS ja aallonpituus λs ja vastaavat suureet ECI:ssä TE ja λe. Tällöin tietysti: λs = TS λe = TE (3) (4) Tarkastelemme nyt tapahtumaa, jossa kummassakin koordinaatistossa aaltorintaman havaitaan siirtyvän yhden aallonpituuden verran, eli x = λs. Huomioimalla yhtälön (2) saamme: TE = λe = γ(ts - vλs/ 2 ) = γ(ts - vλs/) = γλs(1 - v/) (5) γ = 1/ (1 v 2 / 2 ) joten sen vaikutus on hyvin pieni. Saamme havaintoja vastaavan tuloksen (kts. kuitenkin huomautus 1), joka siis perustuu siihen, että ECI:ssä aika on paikkariippuvaista. Tämä merkitsee sitä, että samanaikaisuus on suhteellista. Sen pitäisi ilmetä kelloihin synkronoitaessa jäävänä erantona (lok bias). Ottakaamme esimerkiksi GPS-

6 6 kello, joka on kolmen Maan säteen päässä (20.000km) Maan pinnasta suoraan Maan rataliikkeen menosuunnassa. GPS- kellot synkronoidaan Maakellosta. Kun synkronointi suoritetaan suhteellisuusteorian määritelmän mukaan edestakaisella radiosignaalilla, niin GPS- satelliitin kelloon pitäisi jäädä jättämä vx/ 2 = 6770ns Maakelloon nähden. Jos vastaavasti suunta kelloon on kohtisuorassa Maan ratanopeuteen nähden, niin mitään kelloerantoa ei pitäisi jäädä. Lisäksi GPS- järjestelmässä kaikki liikkuu, joten x ja v muuttuisivat koko ajan ja synkronointi ei pitäisi paikkaansa hetkeäkään. Synkronointi ei myöskään koskaan olisi oikein yhteenkään paikkansa kysyjään nähden. Jos aika tällä tavalla olisi paikkariippuvaista, niin koko GPS- järjestelmää ei olisi voitu rakentaa. Onnellinen tosiasia onkin, että kelloihin ei koskaan jää mitään erantoa. Ajan paikkariippuvuutta havainnollistetaan usein kuvalla, jossa koordinaatisto on peitetty kelloilla, kuva 1. Havaitsijan katsotaan olevan y- akselilla. Hänen aikaansa kutsutaan varsinaiseksi ajaksi (proper time) ja muiden kellojen aikaa koordinaatiston ajaksi (oordinate time). Oikealla olevat kellot ovat sitä enemmän jäljessä mitä kauempana ne ovat ja vasemmalla olevat kellot vastaavasti edellä. Kuten aikaisemmin todettiin GPS- mittaukset kuitenkin osoittavat, että ECI- kehyksessä proper time = oordinate time. Havaintoja vastaava ajan jakaantuma on siis kuvan 2 mukainen. y T0 + xv/ 2 T0 T0 - xv/ 2 C A B x Kuva 1. Ajan jakaantuma ECI- kehyksessä Lorentz- muunnoksen mukaan

7 7 y T0 T0 T0 C A B x Kuva 2. Ajan jakaantuma ECI- kehyksessä havaintojen mukaan Mikään havainto ei siis tue ajan paikkatermin xv/ 2 olemassaoloa ECI- kehyksessä. Vuodenaika- Dopplerin ja aberraation (jota en tässä nyt esittänyt) selityksissä ajan paikkariippuvuus on teorian vaatima oletus, ei havaintotermi. Kumpi siis on totta, kuva 1 vai 2? Huomautus 1: Selitys rikkoo suhteellisuusteorian perusperiaatetta eli suhteellisuusperiaatetta vastaan. Soveltaaksemme Lorentz- muunnosta meillä on oltava yksi koordinaatisto, joka ei ole Lorentz- muunnettu. Se on galileinen koordinaatisto, jossa x = x, y = y, z = z ja t = t. Siinä paikkakoordinaatit ovat kartesiolaisia ja aika on riippumaton paikasta (Coordinate time = proper time). Tälle koordinaatistolle ei oleteta mitään nopeutta eli v yhtälöissä (1) ja (2) on nolla. Suhteellisuusteorian mukaan havaitsijan omat havainnot selittyvät juuri siten, että hänen koordinaatistonsa (referene frame) on tämä peruskoordinaatisto. Koordinaatistojen samanarvoisuus tarkoittaa sitä, että kuka tahansa inertiaalihavaitsija voi tämän oletuksen tehdä. Talvion LIITE 2 Onko ajan paikkariippuvuus todellinen? Is spae-time doomed?

8 8 Tämä kirjoitus yrittää perustella seuraavaa ajatuskulkua: 1. Vuodenaika- Doppleria ei voi selittää tähden liikkeellä Maan koordinaatistossa. Valon pitkän kulkuajan takia ei reaaliaikainen vuorovaikutus ole mahdollinen. 2. Ilmiö on selitettävä Maan omalla liikkeellä Aurinkokunnassa. (Ilmiössä esiintyvä nopeus on nimenomaan Maan liike Aurinkokunnassa.) 3. Olettamalla aurinkokeskeinen pyörimätön koordinaatisto (SSB) galileiseksi ja muuntamalla siinä oleva isotrooppinen valo Lorentz- muunnoksella maakeskeiseen pyörimättömään koordinaatistoon (ECI) saadaan havaintoa vastaava tulos. 4. Lorentz- muunnos kuitenkin edellyttää, että aika on ECI- koordinaatistossa paikkariippuvainen termillä γxv/ 2. Tämä seuraa suoraan Lorentz- muunnoksen teoreettisista perusteista. (Huomaa, että muunnoskaava johdetaan olettaen, että valon yksisuuntainen fysikaalinen nopeus ei ole liikkuvassa koordinaatistossa isotrooppinen, vaan ± v.) 5. Kellojen synkronoinnissa edestakaisella valosignaalilla ajan paikkariippuvuus realisoituu. Kelloihin jää ns. kelloeranto (lok bias), eli juuri tuo xv/ 2 6. Jos ECI- kehyksessä oleva havaitsija nyt mittaa näin synkronoiduilla kelloilla valon yksisuuntaisen nopeuden, niin hän saa aina vakioarvon. Hän ei kuitenkaan voi tietää johtuuko tulos kelloerannosta vai valon nopeuden fysikaalisesta isotrooppisuudesta. 7. Atomikellot, digitaalisten radioviestien lähettäminen ja kumulatiivisten laskimien käyttö tekevät nyt mahdolliseksi tarkistaa kellojen samanhetkiset lukemat myös kaukana toisistaan olevista kelloista. 8. GPS- järjestelmässä käytetty tekniikka paljastaa, että ECI- koordinaatistossa ei kelloihin synkronoinnissa jää mitään erantoa. Tästä voidaan päätellä, että valon nopeus on ECI- koordinaatistossa oikeasti, eli fysikaalisesti isotrooppinen. Monet tarkat mittaukset ovat tämän vahvistaneet. 9. Valoa koskevat mittaustulokset ECI- koordinaatistossa, mukaan lukien vuodenaika- Doppler, eivät siis synny Lorentz- muunnoksen vaikutuksesta. ECI on galileinen koordinaatisto. (Sen sijaan maakeskeinen pyörivä koordinaatisto ei ole valon nopeuden suhteen isotrooppinen, vaan kelloihin jää eranto.) 10. Tarkat radiosignaalien kulkuaikamittaukset kaukana Maasta olevilla avaruusluotaimilla osoittavat, että valon fysikaalinen nopeus on isotrooppinen myös SSB-koordinaatistossa.

9 9 11. Näyttää siis siltä, että ECI on kooltaan rajallinen galileinen koordinaatisto ja se liikkuu isomman galileisen koordinaatiston, SSB:n, sisällä. 12. Tämä selittää yksinkertaisesti sekä vuodenaika- Dopplerin että tähtien valon aberraation. 13. Taustasäteilyn Dopplerilmiön perusteella on yleisesti hyväksytty, että Taustasäteilyn suhteen isotrooppinen koordinaatisto on avaruuden todellinen lepokoordinaatisto, eli se, jonka suhteen kaikki muut ovat liikkeessä. 14. Tällöin kysymys siitä, kumpi kahdesta kappaleesta liikkuu nopeammin, tulee yksikäsitteiseksi. Myös atomikellojen tikitystaajuuksien porrastus paljastaa saman asian. 15. Edellä olevasta seuraa, että avaruus muodostuu sisäkkäisistä valon nopeuden istrooppisuuskehyksistä yhteneväisesti gravitaatiokenttien kanssa. Inertiaalikoordinaatistoa ilman keskustassa olevaa massakeskittymää ei ole havaittu. 16. Maa liikkuu Auringon kehyksessä, Aurinko Linnunradan kehyksessä, Linnurata galaksiryhmän kehyksessä, galaksiryhmä ehkä vielä suuremman galaksiryhmän kehyksessä jne. kunnes tullaan taustasäteilyn koordinaatistoon. (Huom: Liikkeet eivät ole suoraviivaisia, vaan ympyräliikkeitä, joten Sagna- efektinkin pitäisi tuottaa valon nopeuden anisotropia. Näinkään ei siis tapahdu.) 17. Lorentz- muunnokselle ei näyttäisi jäävän mitään roolia näiden ilmiöiden selittäjänä. Perusteluja edellä kuvatulle ajatuskululle. Valon Doppler- ilmiö johdetaan kaikissa tuntemissani fysiikan kirjoissa siten, että havaitsijan koordinaatisto on lepokoordinaatisto (galileinen) ja valonlähde liikkuu. Tähtien valossa ilmenevän vuodenaika- Dopplerin ja aberraation tapauksessa ei tähden ja Maan välinen suhteellinen liike kuitenkaan voi ilmetä reaaliajassa valon pitkän kulkuajan takia. Ilmiö selitetäänkin ajan paikkariippuvuudella Maan koordinaatistossa eli samanaikaisuuden suhteellisuudella. Selitys on seuraava: Jos tunnemme valon suunnan ja aallonpituuden (aaltovektorin) koordinaatistossa A, niin pystymme Lorentz- muunnoksen avulla laskemaan valon ominaisuudet A:n suhteen liikkuvassa koordinaatistossa B. Vuodenaika- Dopplerin tapauksessa tunnemme valon aallonpituuden Aurinkokeskeisessä pyörimättömässä koordinaatistossa SSB (Sun System

10 10 Baryetered frame). Se on vuoden aikana mittaamamme keskiarvo tai hetkellinen arvo silloin, kun Maa liikkuu kohtisuoraan kyseisestä tähdestä tulevaan valonsäteeseen nähden. Olettakaamme nyt, että Maakeskeisen pyörimättömän koordinaatiston ECI (Earth Centered Inertial frame) ja SSB- koordinaatistojen x- akselit osoittavat suoraan tähteen päin. Olettakaamme edelleen, että Maa liikkuu suoraan tähteä päin eli x- akselien suuntaan nopeudella v. Tässä tapauksessa Lorentz- muunnos on seuraava: xe = γ(xs vt) te = γ(ts vx/ 2 ) (1) (2) Olkoon yhden jakson aika SSB:ssä TS ja aallonpituus λs ja vastaavat suureet ECI:ssä TE ja λe. Tällöin tietysti: λs = TS λe = TE (3) (4) Tarkastelemme nyt tapahtumaa, jossa kummassakin koordinaatistossa aaltorintaman havaitaan siirtyvän yhden aallonpituuden verran, eli x = λs. Huomioimalla yhtälön (2) saamme: TE = λe = γ(ts - vλs/ 2 ) = γ(ts - vλs/) = γλs(1 - v/) (5) Saamme siis havaintoja vastaavan tuloksen (γ:n vaikutus on vakio ja hyvin pieni). Olemme kuitenkin rikkoneet suhteellisuusteorian perusperiaatetta eli suhteellisuusperiaatetta vastaan. Soveltaaksemme Lorentz- muunnosta meillä on oltava yksi koordinaatisto, joka ei ole Lorentz- muunnettu. Se on galileinen koordinaatisto, jossa x = x, y = y, z = z ja t = t. Siinä paikkakoordinaatit ovat kartesiolaisia ja aika on riippumaton paikasta (oordinate time = proper time). Tälle koordinaatistolle ei oleteta mitään nopeutta eli v yhtälöissä (1) ja (2) on nolla. Suhteellisuusteorian mukaan havaitsijan omat havainnot selittyvät juuri siten, että hänen koordinaatistonsa (referene frame) on tämä peruskoordinaatisto. Koordinaatistojen samanarvoisuus tarkoittaa sitä, että kuka tahansa inertiaalihavaitsija voi tämän oletuksen tehdä. Kosmologiassa ei tästä periaatteesta kuitenkaan pidetä kiinni. Tätä ristiriitaa on perusteellisesti selvittänyt Raimo Lehti artikkeleissaan viite 1 ja 2 sekä edelleen kirjassaan viite 3 s Samaan suhteellisuusteorian rikkomiseen joutuu turvautumaan myös alan guru Martin Rees (yhdessä ystävänsä Stephen Hawking in kanssa kirjassaan viite 4, s. 154) selittäessään taustasäteilyn dopplerilmiötä Maan liikkeellä säteilyn läpi. Hän tietää hyvin, että hän on tässä selityksen velkaa. Niinpä hän panee sulkuihin ja alaviitteeksi seuraavaa: (Tämä erikoisasemassa oleva koordinaatisto on täysin yhteensopiva Einsteinin suhteellisuusteorian kanssa: teoria sanoo, että paikallinen fysiikka kaikissa vapaasti putoavissa avaruusaluksissa on samanlaista, ei että näkymä ulos ikkunasta on niissä kaikissa sama) Lisäksi alaviitteessä s. 294 hän jatkaa: Vain tuossa koordinaatistossa näkisimme hyvin

11 11 kaukaisen maailmankaikkeuden laajenevan isotrooppisesti meistä poispäin. Kuka tahansa muu havaitsija näkisi pienempiä punasiirtymiä suunnassa, jota kohti hän liikkuu, mutta suurempia vastakkaisessa suunnassa. Puhtaan teorian ja kosmologian ristiriita on hiljaisesti hyväksytty tiedepiireissä, ehkä siksi, että ristiriita on todella syvä. Tieteellä ei ole mitään keinoa selittää, mikä synnyttää paikalliset koordinaatistot ja kuinka suuria ne ovat. (Huom. Emme nyt tarkastele gravitaation, vaan ainoastaan liikkeen vaikutusta.) Lehti lopettaa artikkelinsa, (viite 1): Niinpä fyysikko tuntuu hyväksyvän paikan yleisten teorioiden perspektiivistä ja tähtitieteilijä meidän ainutlaatuisen kosmoksemme rakenteen perspektiivistä. Näkemyksien eroa ei ole kovinkaan selvästi tuotu yleisesti näkyviin. Ehkäpä syynä on ollut vastenmielisyys nostaa pöydälle suhteellisuusteorian kaltaiseen erinomaiseen teoriaan sisältyviä ristiriidan poikasia. Paikkaa koskevien näkemysten kohdalla fyysikot ja tähtitieteilijät tuntuvat käyttäytyvän kuin kaksi mullahien koulukuntaa, joiden oppineet kumartavat kohti eri suunnassa sijaitsevaa Mekkaa. Ehkä tästä on paras vaieta, jotta mullahien hurskaiden kuulijoiden joukossa ei syttyisi minkäänlaista epäuskon kipinää. Lehti on ottanut rohkeasti kantaa taustasäteilykoordinaatiston etuoikeutettuun asemaan, mutta viittaa hyvin varovaisesti mahdolliseen lokaalien koordinaatistojen eriarvoisuuteen. Kirjan viimeisen kappaleen loppu (viite 3, s. 500) kuluu: ---onko kuitenkin löydettävissä ilmiöitä, joiden perusteella jotakin inertiaalista lokaliteettia voisi pitää paremmin lepotilassa olevana kuin muita. Jos systeemin vertaus ulotetaan koskemaan lokaliteetin ulkopuolista maailmaa, tällaisia perusteluja löytyy. 29 Ja alaviite 29 kuuluu (s. 503): Ks. LEHTI 2000e ja 2000h (samat kuin tämän jutun viitteet 1 ja 2). Havaintotarkkuuden kasvu (mm. atomikellot) on saanut aikaan, että tällaisia ilmiöitä mahdollisesti löytyy lokaalisestikin. Palatkaamme nyt vuodenaika- Doppleriin. Kosmologian mukainen alussa kuvattu selitys perustuu siihen, että Aurinkokeskeinen pyörimätön koordinaatisto (SSB) on valittu galileiseksi eli erikoisasemassa olevaksi koordinaatistoksi ja Maan havaitsija hyväksyy olevansa Lorentz- muunnetussa koordinaatistossa (ECI). Saamme havaintoja vastaavan tuloksen, mutta se perustuu siihen, että ECI:ssä aika on paikkariippuvaista. Tämä merkitsee sitä, että samanaikaisuus on suhteellista. Sen pitäisi ilmetä kelloihin synkronoitaessa jäävänä erantona (lok bias). Ottakaamme esimerkiksi GPS- kello, joka on kolmen Maan säteen päässä (20.000km) Maan pinnasta suoraan Maan rataliikkeen menosuunnassa. GPS- kellot synkronoidaan Maakellosta. Kun synkronointi suoritetaan suhteellisuusteorian määritelmän mukaan edestakaisella radiosignaalilla, niin GPS- satelliitin kelloon pitäisi jäädä jättämä vx/ 2 = 6770ns Maakelloon nähden. Jos vastaavasti suunta kelloon on kohtisuorassa Maan ratanopeuteen nähden, niin mitään kelloerantoa ei pitäisi jäädä. Lisäksi GPS- järjestelmässä kaikki liikkuu, joten x ja v muuttuisivat koko ajan ja synkronointi ei pitäisi paikkaansa hetkeäkään. Synkronointi ei myöskään koskaan olisi oikein yhteenkään paikkansa kysyjään nähden. Jos aika tällä tavalla olisi paikkariippuvaista, niin koko GPS- järjestelmää ei olisi voitu rakentaa. Onnellinen tosiasia onkin, että kelloihin ei koskaan jää mitään erantoa.

12 12 Paikkatermi xv/ 2 syntyy Lorentz- muunnoksen matemaattisessa johtamisprosessissa siksi, että levossa oleva havaitsija näkee liikkuvan koordinaatiston liikkuvan hänen havaitsemaansa valoon nähden suhteellisella nopeudella v eli valon nopeuden olevan liikkuvaan havaitsijaan nähden anisotrooppinen (vektorisummana + v). Hän kehittää Lorentz- muunnoksen siksi, että selittyisi, miksi liikkuvan koordinaatiston mukana oleva havaitsija ei huomaa v:n vaikutusta, vaan väittää saavansa valon nopeuden mittaustulokseksi suunnasta riippumatta vakion. Tällöin levossa oleva havaitsija uskoo, että havaitsijan kello hidastuu kertoimella 1/γ = (1 v 2 / 2 ) ja että liikkuva metrinmitta kutistuu samalla kertoimella. Nämä tuottavat nopeudesta riippumattoman kulkuajan edestakaiselle valolle. Tämä ei kuitenkaan riitä yksisuuntaisen valon nopeuden vakioimiseksi. Siksi levossa oleva havaitsija määrää liikkuvalle havaitsijalle miten hänen on yksisuuntaisen valon nopeus mitattava. Hän määrää, että ensin on kello synkronoitava jakamalla edestakainen kulkuaika kahdella ja oletettava, että tämä kulkuaika on todellinen kulkuaika kumpaankin suuntaan. Koska se ei kuitenkaan vastaa fysikaalista todellisuutta, niin kelloihin jää tuo aikaisemmin mainittu ero xv/ 2. Tämä ero aiheuttaa valon kulkuajan mittausarvoon juuri sellaisen korjauksen, että oman koordinaatiston nopeuden vaikutus häviää. Ajan paikkariippuvuutta havainnollistetaan usein kuvalla, jossa koordinaatisto on peitetty kelloilla, kuva 1. Havaitsijan katsotaan olevan y- akselilla. Hänen aikaansa kutsutaan varsinaiseksi ajaksi (proper time) ja muiden kellojen aikaa koordinaatiston ajaksi (oordinate time). Oikealla olevat kellot ovat sitä enemmän jäljessä mitä kauempana ne ovat ja vasemmalla olevat kellot vastaavasti edellä. (Siksi GPS- aikaakin kusutaan relativisti oordinate time.) Kuten aikaisemmin todettiin GPS- mittaukset kuitenkin osoittavat, että ECI- kehyksessä proper time = oordinate time. Havaintoja vastaava ajan jakaantuma on siis kuvan 2 mukainen.

13 13 y T0 + xv/ 2 T0 T0 - xv/ 2 C A B x Kuva 1. Ajan jakaantuma ECI- kehyksessä Lorentz- muunnoksen mukaan y T0 T0 T0 C A B x Kuva 2. Ajan jakaantuma ECI- kehyksessä havaintojen mukaan GPS- järjestelmä perustuu siihen, että valon kulkuaika mitataan GPS- kellon ja paikkansa kysyjän kellon lukeman erotuksena. Paikkansa kysyjän ei kuitenkaan tarvitse ensin synkronoida GPS- kelloa (miljoonat yrittäisivätkin tehdä sitä yhtaikaa). GPS- kello ei ota mitään signaalia vastaa kysyjiltä. Kaikki 24 satelliittia saavat informaatiota vain viideltä eri puolilla Maapalloa sijaitsevalta Maa- asemalta. Maa- asemat pitävät yllä täsmälleen samaa

14 14 aikalukemaa eli GPS- aikaa osoittavia kelloja. Ne asettavat jokaisen satelliitin kellon GPS- aikaan huomioimalla valon kulkuajan Maa- aseman ja satelliitin välillä. Radiosignaalin nopeutena käytetään samaa arvoa kaikille satelliitille. Kulkuaika lasketaan todellisen eli suunnitun etäisyyden ja valon vakionopeuden mukaan. Tällä tavalla myös kaikki satelliittien kellot näyttävät samaa GPS- aikaa. Synkronointi on aina täsmälleen oikea eli ilman kelloerantoa xv/ 2. Järjestelmä synkronoi myös paikkansa kysyjän kellon. Ei ole epäilystäkään siitä kumman kuvan, 1 vai 2, mukaan luonto toimii. Jos radiosignaalin lähtöhetkeksi merkittäisi kuvan 1 kellon aika, niin virhe paikannuksessa olisi jopa 2km. Kuvaa 2 käytettäessä jokamiehen n. 100e maksavalla laitteellakin virhe on <10m ja vähän paremmalla laitteella <5m. Virhe ei kuitenkaan johdu kelloista, sillä niiden stabilisuus on parempi kuin yhden suhde 10 12, vaan ionosfääristä. Ns. differentiaali- eli D- GPS:ssä käytetään apuna kiinteää maa- asemaa ionosfäärivirheen korjaamiseksi ja paikannustarkkuus on parempi kuin 0.5m. Erinäisten menossa olevien parannusohjelmien jälkeen tavoite on päästä hämmästyttävään 1 2mm:n tarkkuuteen. Mikään havainto ei siis tue ajan paikkatermin xv/ 2 olemassaoloa ECI- kehyksessä. Sen sijaan valon yhdensuuntaisen nopeuden mittaukset osoittavat vuoren varmasti, että ECI- kehys on valon nopeuden fysikaalinen isotrooppisuuskehys. Valon yksisuuntaiselle nopeudelle saadut vakioarvot eivät synny Lorentz- muunnoksen tuloksena, vaan ECI- kehys on galileinen koordinaatisto. Luonnonlait toimivat siinä tuntemallamme tavalla ilman koordinaatistosuureiden manipulointia. ECI- kehyksessä liikkuviin objekteihin nähden valon nopeus ei ole isotrooppinen. Näin on asia myös Maan pyörimisliikkeen tapauksessa. Valon nopeus poikkeaa Maan pinnalla olevaan havaitsijaan nähden Maan kehänopeuden verran. Tällöin syntyy todella kelloihin synkronointieranto, joka vastaa termiä xv/ 2, jossa v nyt on Maan kuoren kehänopeus signaalin suunnassa (esim. San Franison ja New Yorkin välillä eranto on 14ns). Tämän anisotrooppisuuden osoitti Mihelson- Gale koe jo Relativistit vaikenivat sen kuitenkin kuoliaaksi, sillä olihan se ristiriidassa silloisen melkein ainoan suhteellisuusteoriaa selkeästi tukevan kokeen Mihelson- Morley:n kokeen kanssa. Sama Mihelson oli isäntänä molemmissa kokeissa, eikä hän koskaan uskonutkaan suhteellisuusteoriaan. Tämä 1907 Nobelilla palkittu fyysikko joutuikin vanhalla iällään kirkonkiroukseen. (Lähellä massaa olevissa pienen mittakaavan koordinaatistoissa, kuten MM- kokessa, valon nopeus saattaa kuitenkin olla isotrooppinen, mutta se ei vaikuta tähän tarkasteluun.) Nyttemmin valon nopeuden anisotrooppisuus Maan pinnalla on jo osoitettu lukuisin kokein. GPS- järjestelmässä tämä vaatii tekemään ns. Sagna- korjauksen joka kerta kun kysyjän paikka lasketaan. ECI- kehyksen vaikutusalue on kooltaan rajallinen. Tämän tiedämme avaruusluotaimien radioliikenteestä tehdyistä havainnoista. Avaruusluotaimista kauimmaiset (Pioneer 10) ovat olleet radioyhteydessä Maahan vielä 100 AU:n päästä. Luotaimia navigoidaan äärimmäisen tarkasti.

15 15 Tuo navigointi on niin uskomattoman tarkkaa, että NEAR- luotain pystyttiin ohjaamaan 300milj. km:n päässä, halkaisijaltaan vain 30km olevan EROS- asteroidin pinnalle. (Tätä on verrattu tehtävään ohjata molekyyli 300m: päässä olevan hiuksen kärjelle.) Tuo navigointi perustuu siihen, että radiosignaalien kulkunopeus on fysikaalisesti isotrooppinen Aurinkokeskeisessä koordinaatistossa (SSB). Meillä on siis nyt varmat havainnot lähiavaruudestamme kahdesta sellaisesta toistensa suhteen liikkuvasta koordinaatistosta, joissa valon nopeus on fysikaalisesti isotrooppinen ja vastaavasti aika ei ole paikkariippuvainen. (Lisäksi taustasäteilyn koordinaatisto on tällainen.) Havaintojen mukainen eli todellinen tilanne on siis kuvan 3 kaltainen. Kuva 4 esittää vastaavaa teoreettista tilannetta. Siinä Maan havainnot on selitetty Lorentz- muuntamalla ne Aurinko- kehyksen arvoista. Edellä olevan perusteella voidaan väittää, että maailmamme on seuraavanlainen: 1. Massakeskittymät luovat ympärilleen rajatun kehyksen, jossa valon nopeus on fysikaalisesti isotrooppinen. 2. Kehyksen koko riippuu massakeskittymän koosta ja lienee päällekkäinen gravitaatiokehyksen kanssa. 3. Valon nopeuden isotrooppisuuskehykset ovat sisäkkäin gravitaatiokehysten tapaan. 4. Valo kulkee avaruudessa kehyksestä kehykseen ja sovittaa nopeutensa aina voimakkaimman paikalliskehyksen mukaiseksi. Tällaisessa maailmassa vuodenaika- Doppler helposti: Valon lähtöpiste sijaitsee sekä ECI- kehksen että SSB- kehyksen ulkopuolella. Tähden liike, avaruuden venyminen valon kulkuaikana ja Aurinkokunnan liike ovat muokanneet valolle aallonpituuden, joka sillä lopulta on SSB- kehyksessä. Merkitsemme sitä λs. Aaltojonon nopeus SSB- kehyksessä on. Jono tunkeutuu ECI- kehykseen ja omaksuu myös siinä vakionopeuden. Kun tulevan valon nopeus on ja ECI- kehyksen nopeus sitä vastaa on v, niin ECI- kehykseen tunkeutuu sekunnissa v + pituinen pätkä aaltojonoa. Se levittyy ECI- kehyksessä matkalle. Koska aaltojen lukumäärä säilyy, niin aallonpituus ECI- kehyksessä muodostuu siis seuraavaksi: /λe = ( + v)/λs = /λs + v/λs v = (λs - λe)/λe = Δλ/λE (6) (7) Tulemme siis täsmälleen havaintoja vastaavaan tulokseen. Tulokseksi eri tähtien suhteen tehdyissä mittauksissa saadaan aina tuo tuttu 30km/s. Tähtien omat liikkeet eivät vaikuta tähän tulokseen mitään niin kuin ne eivät vaikuta aberraatioonkaan (jota en nyt kuitenkaan tässä kirjoituksessa lähde selittämään). Ilmiön syy on kokonaan paikallinen eli ECI- kehyksen liike SSB- kehyksen homgenisoimassa säteilymeressä.

16 16 Voimmeko vapautua ajan paikkariippuvuuden käytöstä, jos tarkastelemme valoa fotonina aallon sijasta? Fotonin energia on h/λ. Fotonin energian vaihtelukin siis edellyttää aallonpituuden vaihtelun selittämistä eikä meillä ole siihen muita keinoja kuin mitä jo on käsitelty. Martin Rees in kanta, että kaikki avaruuden oliot liikkuvat suhteessa taustasäteilyn koordinaatistoon, on vallankumouksellinen. Juuri avaruuden oman lepotilan määrittelemisen mahdottomuudella Einstein perusteli suhteellisuusteorian tarpeellisuutta. Yhteinen lepotila poistaa suhteellisen liikkeen välttämättömyyden ilmiöiden selittäjänä kerta kaikkiaan. Porrastuvathan kaikki liikkeet avaruudessa myös keskenään sen mukaan mikä on niiden liike yhteisessä lepokoordinaatistossa. Myös suhteellisuusteorian kulmakivi, Lorentz- muunnoksen symmetria poistuu. Toistensa suhteen liikkuvat A ja B eivät voi enää kumpikin väittää, että minä olen levossa ja että sinä liikut. Molemmat eivät voi väittää, että sinun kellosi käy hitaammin kuin minun. Kaksosten paradoksia ei ole. Atomikellot osoittavat yksikäsitteisesti kumpi liikkuu nopeammin. GPS- satelliitin suurempi nopeus maakelloon nähden pienentää satelliitin kellon taajuutta Maan pinnalla olevaan kelloon nähden. Mikään koordinaatiston vaihto ei tätä eroa käännä. Kaikki Maan pinnalla ja satelliiteissa olevat kellot hidastuvat yhtenäisesti kaukaisen pulsarin taajuuteen nähden Maan syöksyessä periheliin, eli pulsarin taajuuden havaitaan kasvavan. Pulsarin suhteellisen nopeuden kasvamisen pitäisi päinvastoin hidastaa pulsarista havaittavaa taajuutta. Myös SSB- kehyksessä olevan lepokellon taajuus on aina suurempi kuin ECI- kehyksen lepokellon. (Voidaan laskea luotaimen kelloista.) Samanaikaisuuden absoluuttisuuteen ei vaikuta se, että atomikellojen tikitystaajuudet muuttuvat gravitaation ja liikkeen vaikutuksesta. Einsteinin mukaan aika jossakin pisteessä on siinä pisteessä olevan kellon lukema (= operationaalinen määritelmä) Aika ei kuitenkaan ole seurausta meidän kelloiksi määrittelemistämme laitteista. Se ei ilmeisestikään ole paikkariippuvaista vaan on sama kaikkialla universumissa (kosminen aika). Raimo Lehden loppupäätelmä viitteessä 2 onkin: Aika on kosmisen mikroaaltotaustasäteilyn Kelvin-lämpötilan käänteisarvo. Avaruus siis itse määrittelee ajan. Tikitystaajuuden muutokset, kellodilaation, insinöörit voivat helposti poistaa korjauskertoimilla. Sen sijaan jos aika olisi paikkariippuvaista, niin suurinta osaa avaruustekniikan järjestelmistä ei olisi mahdollista rakentaa tai niistä tulisi mahdottoman monimutkaisia ja kalliita. GPS:n valtava siviilikäyttö olisi mahdotonta (nyt 30 milj. käyttäjää, lisää joka kuukausi). Meillä näyttää siis olevan kolme eri tavalla suhteellisuusteoriaa luovasti soveltavaa ryhmää; fyysikot, kosmologit ja insinöörit. Kaikki näyttävät tulevan autuaaksi omalla uskollaan ( kumartamalla omia mullahejaan ). Insinöörien tieto on sikäli varmalla pohjalla, että sovellukset ainakin toimivat. (Einstein ei nähnyt elinaikanaan esim. yhdenkään kellojen synkronointitapahtuman realisoituvan. Kaikki puheet kelloilla mittaamisesta olivat pelkkiä ajatuskokeita. Mitähän hän sanoisi nykytilanteesta?) Edellä oleva asettaa vahvasti kyseenalaiseksi ajan paikkariippuvuuden ja siten Lorentz- muunnoksen oikeana luonnon kuvaajana. Jos Lorentz- muunnos kaatuu, niin sekä suppea että yleinen suhteellisuusteoria ovat mennyttä. Lisävahvistusta puolesta ja vastaan haetaan edelleen suurella rahalla avaruustekniikan avulla.

17 17 Jokin vähemmän ideologinen fysiikan teoria (vaikkapa kvanttimekaniikka) olisi jo antanut periksi. Kaatumista viivyttää tietysti myös se, että ei ole mitään panna tilalle. Is spae-time doomed? David Gross:in esitelmästä päätellen tiedemaailman edustajakin uskaltaa jo kysyä tämän kysymyksen. ECI ECI- kehyksen raja 30km/ s Maan rata SSB 300km/s Kuva 3. Havaintojen mukaan valon nopeus on kummassakin koordinaatistossa niiden liiketilasta riippumaton fysikaalinen vakio ja sama kaikille havaitsijoille (myös ulos katsoville). Kelloihin ei jää synkronointierantoa, aika on paikasta riippumaton. ECI- koordinaatisto on rajallisen kokoinen ja SSB- koordinaatiston sisällä. Myös SSB- koordinaatisto on ilmeisesti rajallisen kokoinen ja Linnunradan koordinaatiston sisällä.

18 18 +v ECI +v - v - v v = 30km/s Maan rata SSB 0km/s Kuva 4. Lorentz- muunnoksen mukaan SSB- havaitsija katsoo olevansa levossa ja päättelee ECI- kehyksessä valon olevan suuntariippuvaista. Kelloihin jää synkronointieranto ±vx/ 2. Tämä vastaa Lorentz- muunnoksen antamaa ajan paikkariippuvuutta. Molempien koordinaatistojen koko on ääretön. Viitteet: 1. Raimo Lehti: Paikka suhteellisuusteoriassa ja kosmologiassa, Tieteessä tapahtuu, 2000, Raimo Lehti: Aika suhteellisuusteoriassa ja kosmologiassa. Artikkeli kirjassa AIKA, ISBN , Gaudeamus Kirja, Yliopistopaino Helsinki A. Einstein: Erityisestä ja yleisestä suhteellisuusteoriasta. Suomentanut ja kommentoinut Raimo Lehti. Ursan julkaisuja 90 (ISSN ), ISBN X, Gummerus 2003.

19 19 4. Martin Rees: Ennen alkua oma maailmankaikkeutemme ja muut, Ursan julkaisu 75, ISBN Tuomo Suntola Hei kaikille, Pääosin Paulin huomioihin suhteellisuusteorian ongelmista on helppo yhtyä. Kiinnittäisin kuitenkin huomiota seuraaviin väittämiin: 11. Näyttää siis siltä, että ECI on kooltaan rajallinen galileinen koordinaatisto ja se liikkuu isomman galileisen koordinaatiston, SSB:n, sisällä. 15. Edellä olevasta seuraa, että avaruus muodostuu sisäkkäisistä valon nopeuden istrooppisuuskehyksistä yhteneväisesti gravitaatiokenttien kanssa. Inertiaalikoordinaatistoa ilman keskustassa olevaa massakeskittymää ei ole havaittu. (11): Näihin kehysten määrittelyihin en voi täysin yhtyä. Massakehysten mukana liikkuvat paikalliskehykset eivät toimi geometrisesti rajattujen lavettien tavoin, jotka sieppaisivat ohi kiitävän säteilyn mukaansa (ymmärsinkö oikein Paulin ajatuksen?). Jos näin olisi, kaukoavaruuden optinen kuva häiriintyisi vakavasti. (15): Kyllä monia massakeskuksista vapaita inertiaalikoordinaatistoja (energiakehyksiä) tunnetaan. Esimerkiksi itä- länsisuunnassa olevan hiukkaskiihdyttimen lepotila on liikkeessä maan pyörimisen mukana ECI- kehyksessä. Vastaavasti sentrifugissa pyörivän värähtelijän taajuus määräytyy sentrifugin kehänopeudesta ilman, että siihen summautuisi maapallon pyörimisliikkeen nopeus. Sen sijaan kun värähtelijä on vapaasti ECI- kehyksessä liikkuvassa lentokoneessa, sen taajuuden määrää nopeus, johon summautuu lentokoneen maanopeus ja maan pyörimisnopeus (=kokonaisnopeus ECI- kehyksessä). Havaintojen mukainen käyttäytyminen toteutuu nähdäkseni poikkeuksetta DU:n ennusteissa, joita on käsitelty varsin yksityiskohtaisesti sekä sähkömagneettisen säteilyn että kellotaajuuksien tapauksissa uudessa DU- kirjassa (Theoretial Basis of the Dynami Universe). Ennusteet eivät valitettavasti hoidu aivan rautalangasta. Oleellista niissä on kokonaisenergian säilyminen sisäkkäisten energiakehysten järjestelmän kautta, mikä toteutuu sekä sähkömagneettisen säteilyn että massaobjektien tapauksissa. Uuden DU- kirjan elokuun painoksesta kevyesti kielitarkistettu ja editoitu versio ilmestyi joulukuussa sekä suomeksi että englanniksi. Olen lisännyt elokuu versioon lyhyen kappaleen avaruuden laajenemisen vaikutuksesta valon kulkuaikaan kaukaisista kohteista (kappale The effet of the expansion of spae luvussa 7.3.1), joka teille ohessa pdf- liitteenä. Uuden kirjan sivumäärä lisääntyi kahdella, joten se on nyt 292 sivua englanninkielisessä versiossa. Kirjaesittely löytyy nyt myös kotisivuiltani ja

20 20 Terveisin, Tuomo Liite: Tuomo Suntola Theoretial Basis of the Dynami Universe Propagation of light from stellar objets The effet of the expansion of spae In the Dynami Universe, the veloity of light slows down with the expansion of spae. Light observed from distant objets has propagated at a veloity higher than the veloity of light at the time of arrival. Beause the veloity of light follows the veloity of spae in the diretion of the 4- radius, the optial distane (the distane the light travels) of an objet is equal to the inrease of the 4- radius during the light travel time [see equation (6.2.1:7)]. The length of the R4 radius of spae as a funtion of time from the singularity is given in equation (3.3.3:7) whih an be solved for t as t = 2 1 R3 2 (7.3.1:1) 3 GM" 4 The time required for R4 to grow from value R4(0) to its present value R4 is (7.3.1:2) where 0 is the veloity of light at radius R4. Substitution of equation (6.2.1:11) for the ratio R4(0)/R4 in equation (7.3.1:2) gives the light propagation time from an objet at R4(0) to the observer at R4 in terms of the redshift as 2 1 ( ) 2 R32 R4(0) 32 T= R32 R32 = GM" 4 4(0) 3 GM" R 4 2R R4(0) 32 = R 0 4 2R T= 4 1 = 1 (7.3.1:3) 30 (1+z)32 3H0 (1+z)32 where the use of Hubble onstant H0 is based on equation (6.2.1:21). For low redshifts (z <<1), equation (7.3.1:3) an be developed into form (7.3.1:4) where the term (1+z)3/2 in the numerator is approximated with the first order term of a serial expansion. Appliation of the veloity of light at the time of observation to the optial distane D of the objet [see equation z 1 T= 2 (1+z) = 1 z H0 (1+z) 3H0 (1+z) H0 (1+z) (6.2.1:7)] produes an apparent propagation time D R4 R4(0) R R4(0) T'== =4 1 R (7.3.1:5) 0 1+z H0 (1+z) By ombining equations (7.3.1:4) and (7.3.1:5), the real propagation time T an be expressed in terms of the apparent propagation time as T T' = D =D1 D= T'1 D (7.3.1:6) (1+z) 0 (1+z) 0 R4 R4 whih applies for z << 1. In the last two forms of equation (6.2.1:16), the redshift is expressed in terms of the optial distane and the 4- radius R4 [see equation (6.2.1:16)]. Based on equation (7.3.1:6), we an define an effetive propagation veloity of light (the average veloity of light) based on the loal veloity of light at the time of the observation eff (1+ z) (7.3.1:7)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

SUHTEELLISUUSTEORIAN TEOREETTISIA KUMMAJAISIA

SUHTEELLISUUSTEORIAN TEOREETTISIA KUMMAJAISIA MUSTAT AUKOT FAQ Kuinka gravitaatio pääsee ulos tapahtumahorisontista? Schwarzschildin ratkaisu on staattinen. Tähti on kaareuttanut avaruuden jo ennen romahtamistaan mustaksi aukoksi. Ulkopuolinen havaitsija

Lisätiedot

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1

Leptonit. - elektroni - myoni - tauhiukkanen - kolme erilaista neutriinoa. - neutriinojen varaus on 0 ja muiden leptonien varaus on -1 Mistä aine koostuu? - kaikki aine koostuu atomeista - atomit koostuvat elektroneista, protoneista ja neutroneista - neutronit ja protonit koostuvat pienistä hiukkasista, kvarkeista Alkeishiukkaset - hiukkasten

Lisätiedot

anna minun kertoa let me tell you

anna minun kertoa let me tell you anna minun kertoa let me tell you anna minun kertoa I OSA 1. Anna minun kertoa sinulle mitä oli. Tiedän että osaan. Kykenen siihen. Teen nyt niin. Minulla on oikeus. Sanani voivat olla puutteellisia mutta

Lisätiedot

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.

Copyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden

Lisätiedot

Aine ja maailmankaikkeus. Kari Enqvist Helsingin yliopisto ja Fysiikan tutkimuslaitos

Aine ja maailmankaikkeus. Kari Enqvist Helsingin yliopisto ja Fysiikan tutkimuslaitos Aine ja maailmankaikkeus Kari Enqvist Helsingin yliopisto ja Fysiikan tutkimuslaitos Lahden yliopistokeskus 29.9.2011 1900-luku tiedon uskomaton vuosisata -mikä on aineen olemus -miksi on erilaisia aineita

Lisätiedot

Kosmos = maailmankaikkeus

Kosmos = maailmankaikkeus Kosmos = maailmankaikkeus Synty: Big Bang, alkuräjähdys 13 820 000 000 v sitten Koostumus: - Pimeä energia 3/4 - Pimeä aine ¼ - Näkyvä aine 1/20: - vetyä ¾, heliumia ¼, pari prosenttia muita alkuaineita

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian vajavuudesta

Suhteellisuusteorian vajavuudesta Suhteellisuusteorian vajavuudesta Isa-Av ain Totuuden talosta House of Truth http://www.houseoftruth.education Sisältö 1 Newtonin lait 2 2 Supermassiiviset mustat aukot 2 3 Suhteellisuusteorian perusta

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää

Lisätiedot

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN

Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Tarinaa tähtitieteen tiimoilta FYSIIKAN JA KEMIAN PERUSTEET JA PEDAGOGIIKKA 2014 KARI SORMUNEN Oppilaiden ennakkokäsityksiä avaruuteen liittyen Aurinko kiertää Maata Vuodenaikojen vaihtelu johtuu siitä,

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Maailmankaikkeuden kriittinen tiheys

Maailmankaikkeuden kriittinen tiheys Maailmankaikkeuden kriittinen tiheys Tarkastellaan maailmankaikkeuden pientä pallomaista laajenevaa osaa, joka sisältää laajenemisliikkeessä olevia galakseja. Olkoon pallon säde R, massa M ja maailmankaikkeuden

Lisätiedot

PARADIGMOJEN VERTAILUPERUSTEET. Avril Styrman Luonnonfilosofian seura

PARADIGMOJEN VERTAILUPERUSTEET. Avril Styrman Luonnonfilosofian seura PARADIGMOJEN VERTAILUPERUSTEET Avril Styrman Luonnonfilosofian seura 17.2.2015 KokonaisHede Koostuu paradigmoista Tieteen edistystä voidaan siten tarkastella prosessina missä paradigmat kehinyvät ja vaihtuvat

Lisätiedot

Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä?

Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä? Syntyikö maa luomalla vai räjähtämällä? Tätä kirjoittaessani nousi mieleeni eräs tuntemani insinööri T. Palosaari. Hän oli aikansa lahjakkuus. Hän oli todellinen nörtti. Hän teki heti tietokoneiden tultua

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

http://www.space.com/23595-ancient-mars-oceans-nasa-video.html

http://www.space.com/23595-ancient-mars-oceans-nasa-video.html http://www.space.com/23595-ancient-mars-oceans-nasa-video.html Mars-planeetan olosuhteiden kehitys Heikki Sipilä 17.02.2015 /LFS Mitä mallit kertovat asiasta Mitä voimme päätellä havainnoista Mikä mahtaa

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Pimeän energian metsästys satelliittihavainnoin

Pimeän energian metsästys satelliittihavainnoin Pimeän energian metsästys satelliittihavainnoin Avaruusrekka, Kumpulan pysäkki 04.10.2012 Peter Johansson Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta / Peter Johansson/ Avaruusrekka 04.10.2012 13/08/14

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

PIMEÄ ENERGIA mysteeri vai kangastus? Kari Enqvist Helsingin yliopisto ja Fysiikan tutkimuslaitos

PIMEÄ ENERGIA mysteeri vai kangastus? Kari Enqvist Helsingin yliopisto ja Fysiikan tutkimuslaitos PIMEÄ ENERGIA mysteeri vai kangastus? Kari Enqvist Helsingin yliopisto ja Fysiikan tutkimuslaitos 1917: Einstein sovelsi yleistä suhteellisuusteoriaa koko maailmankaikkeuteen Linnunradan eli maailmankaikkeuden

Lisätiedot

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!!

FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! FYSIIKKA (FY91): 9. KURSSI: Kertauskurssi KOE 30.01.2014 VASTAA KUUTEEN (6) TEHTÄVÄÄN!! 1. Vastaa, ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin. Perustelua ei tarvitse kirjoittaa. a) Atomi ei voi lähettää

Lisätiedot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.

Lisätiedot

Sisällysluettelo. Alkusanat 11. A lbert E insteinin kirjoituksia

Sisällysluettelo. Alkusanat 11. A lbert E insteinin kirjoituksia Sisällysluettelo Alkusanat 11 A lbert E insteinin kirjoituksia Erityisestä ja yleisestä su hteellisuusteoriasta Alkusanat 21 I Erityisestä suhteellisuusteoriasta 23 1 Geometristen lauseiden fysikaalinen

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Teoreettisen fysiikan tulevaisuuden näkymiä

Teoreettisen fysiikan tulevaisuuden näkymiä Teoreettisen fysiikan tulevaisuuden näkymiä Tämä on teoreettisen fysiikan professori Erkki Thunebergin virkaanastujaisesitelmä, jonka hän piti Oulun yliopistossa 8.11.2001. Esitys on omistettu professori

Lisätiedot

Moderni fysiikka. Syyslukukausi 2008 Jukka Maalampi

Moderni fysiikka. Syyslukukausi 2008 Jukka Maalampi Moderni fysiikka Syyslukukausi 008 Jukka Maalampi 1 1. Suhteellisuus Galilein suhteellisuuus Fysiikan lakien suhteellisuus Suppea suhteellisuusteoria Samanaikaisuuden suhteellisuus Ajan dilaatio Pituuden

Lisätiedot

2r s b VALON TAIPUMINEN. 1 r. osittaisdifferentiaaliyhtälö. = 2 suppea suht.teoria. valo putoaa tähteen + avaruus kaareutunut.

2r s b VALON TAIPUMINEN. 1 r. osittaisdifferentiaaliyhtälö. = 2 suppea suht.teoria. valo putoaa tähteen + avaruus kaareutunut. MUSTAT AUKOT FAQ Miten gravitaatio pääsee ulos tapahtumahorisontista? massa ei sylje gravitaatiota kuin tennispalloja. Tähti on käyristänyt avaruuden jo ennen romahtamistaan mustaksi aukoksi, eikä tätä

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

SMG-4500 Tuulivoima. Toisen luennon aihepiirit VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT TUULET

SMG-4500 Tuulivoima. Toisen luennon aihepiirit VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT TUULET SMG-4500 Tuulivoima Toisen luennon aihepiirit Tuuli luonnonilmiönä: Ilmavirtoihin vaikuttavien voimien yhteisvaikutuksista syntyvät tuulet Globaalit ilmavirtaukset 1 VOIMIEN YHTEISVAIKUTUKSISTA SYNTYVÄT

Lisätiedot

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT Työn tavoitteita tutustua kattavasti DataStudio -ohjelmiston käyttöön syventää kinematiikan kuvaajien (paikka, nopeus, kiihtyvyys) hallintaa oppia yhdistämään kinematiikan

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi

Lisätiedot

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.

1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. 1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Kaksosparadoksi (2006)

Kaksosparadoksi (2006) 1 Kaksosparadoksi (2006) Keskustelijat Urho Ketvel Kaarle Kurki- Suonio Heikki Mäntylä Heikki Sipilä Paul Talvio Jyrki Tyrkkö 1.5.2006 Heikki Mäntylä Hyvät luonnonfilosofit, En tiedä onko Vappuna sopivaa

Lisätiedot

Luonnonfilosofian seura. Mitä havainnot ja mallit viestittävät todellisuudesta?

Luonnonfilosofian seura. Mitä havainnot ja mallit viestittävät todellisuudesta? Mitä havainnot ja mallit viestittävät todellisuudesta? Ari Lehto, Heikki Sipilä ja Tuomo Suntola 1 PhysicsWeb Summaries 20.7.2007: Pimeän energian tutkimusryhmät voittivat kosmologiapalkinnon (July 17,

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

1.4. VIRIAALITEOREEMA

1.4. VIRIAALITEOREEMA 1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen

Lisätiedot

Absoluu'nen samanaikaisuus vs. Suhteellisuusperiaate

Absoluu'nen samanaikaisuus vs. Suhteellisuusperiaate Absoluu'nen samanaikaisuus vs. Suhteellisuusperiaate Avril Styrman Luonnonfilosofian seura 12.5.2015 Tausta Ole?amalla absoluu'nen samanaikaisuus saavutetaan selkeä aikakäsitys, mitä tekee monet muut asiat

Lisätiedot

Luento 15: Ääniaallot, osa 2

Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 4: Entropia Maanantai 21.11. ja tiistai 22.11. Ideaalikaasun isoterminen laajeneminen Kaasuun tuodaan määrä Q lämpöä......

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys

Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä määritetään putoamiskiihtyvyys kolmella eri tavalla. Ennakko-oletuksena mietitään, pitäisikö jollain tavoista

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho

Luento 10: Työ, energia ja teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin

Lisätiedot

Havaitsevan tähtitieteen pk1 luento 12, Astrometria. Kalvot: Jyri Näränen, Mikael Granvik & Veli-Matti Pelkonen

Havaitsevan tähtitieteen pk1 luento 12, Astrometria. Kalvot: Jyri Näränen, Mikael Granvik & Veli-Matti Pelkonen Havaitsevan tähtitieteen pk1 luento 12, Astrometria Kalvot: Jyri Näränen, Mikael Granvik & Veli-Matti Pelkonen 12. Astrometria 1. 2. 3. 4. 5. Astrometria Meridiaanikone Suhteellinen astrometria Katalogit

Lisätiedot

Maan ja avaruuden välillä ei ole selkeää rajaa

Maan ja avaruuden välillä ei ole selkeää rajaa Avaruus Mikä avaruus on? Pääosin tyhjiön muodostama osa maailmankaikkeutta Maan ilmakehän ulkopuolella. Avaruuden massa on pääosin pimeässä aineessa, tähdissä ja planeetoissa. Avaruus alkaa Kármánin rajasta

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012

Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa

Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Integrointialgoritmit molekyylidynamiikassa Markus Ovaska 28.11.2008 Esitelmän kulku MD-simulaatiot yleisesti Integrointialgoritmit: mitä integroidaan ja miten? Esimerkkejä eri algoritmeista Hyvän algoritmin

Lisätiedot

Results on the new polydrug use questions in the Finnish TDI data

Results on the new polydrug use questions in the Finnish TDI data Results on the new polydrug use questions in the Finnish TDI data Multi-drug use, polydrug use and problematic polydrug use Martta Forsell, Finnish Focal Point 28/09/2015 Martta Forsell 1 28/09/2015 Esityksen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO Humanististen tieteiden kandidaatin tutkinto / Filosofian maisterin tutkinto

VAASAN YLIOPISTO Humanististen tieteiden kandidaatin tutkinto / Filosofian maisterin tutkinto VAASAN YLIOPISTO Humanististen tieteiden kandidaatin tutkinto / Filosofian maisterin tutkinto Tämän viestinnän, nykysuomen ja englannin kandidaattiohjelman valintakokeen avulla Arvioidaan viestintävalmiuksia,

Lisätiedot

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4) 76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Cover letter and responses to reviewers

Cover letter and responses to reviewers Cover letter and responses to reviewers David E. Laaksonen, MD, PhD, MPH Department of Medicine Kuopio University Hospital Kuopio, Finland Luennon sisältö Peer review Vinkit vastineiden kirjoittamista

Lisätiedot

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

CERN-matka

CERN-matka CERN-matka 2016-2017 UUTTA FYSIIKKAA Janne Tapiovaara Rauman Lyseon lukio http://imglulz.com/wp-content/uploads/2015/02/keep-calm-and-let-it-go.jpg FYSIIKKA ON KOKEELLINEN LUONNONTIEDE, JOKA PYRKII SELITTÄMÄÄN

Lisätiedot

Aikamatkustus. Emma Beckingham ja Enni Pakarinen

Aikamatkustus. Emma Beckingham ja Enni Pakarinen Aikamatkustus Emma Beckingham ja Enni Pakarinen Aikamatkustuksen teoria Aikamatkustus on useita vuosisatoja kiinnostanut ihmiskuntaa. Nykyihminen useimmiten pitää aikamatkustusta vain kuvitteellisena konseptina,

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

Jupiterin magnetosfääri. Pasi Pekonen 26. Tammikuuta 2009

Jupiterin magnetosfääri. Pasi Pekonen 26. Tammikuuta 2009 Jupiterin magnetosfääri Pasi Pekonen 26. Tammikuuta 2009 Johdanto Magnetosfääri on planeetan magneettikentän luoma onkalo aurinkotuuleen. Magnetosfäärissä plasman liikettä hallitsee planeetan magneettikenttä.

Lisätiedot

7A.2 Ylihienosilppouma

7A.2 Ylihienosilppouma 7A.2 Ylihienosilppouma Vetyatomin perustilan kentän fotoni on λ 0 = 91,12670537 nm, jonka taajuus on f o = 3,289841949. 10 15 1/s. Tämä spektriviiva on kaksoisviiva, joiden ero on taajuuksina mitattuna

Lisätiedot

Tiede ja usko KIRKKO JA KAUPUNKI 27.2.1980

Tiede ja usko KIRKKO JA KAUPUNKI 27.2.1980 Tiede ja usko Jokaisen kristityn samoin kuin jokaisen tiedemiehenkin velvollisuus on katsoa totuuteen ja pysyä siinä, julistaa professori Kaarle Kurki-Suonio. Tieteen ja uskon rajankäynti on ollut kahden

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39

Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 H3t1, Exercise 3.1. H3t2, Exercise 3.2. H3t3, Exercise 3.3. H3t4, Exercise 3.4. H3t5 (Exercise 3.1.) 1 3.1. Find the (a) standard form, (b) slack form of the

Lisätiedot

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008

Lisätiedot

53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010

53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010 53714 Klassinen mekaniikka syyslukukausi 2010 Luennot: Luennoitsija: Kurssin kotisivu: ma & to 10-12 (E204) Rami Vainio, Rami.Vainio@helsinki.fi http://theory.physics.helsinki.fi/~klmek/ Harjoitukset:

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ

VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ 56 VIII LISÄTIETOA 8.1. HAVAINTOVIRHEISTÄ Hyvällä havaitsijalla keskimääräinen virhe tähdenlennon kirkkauden arvioimisessa on noin 0.4 magnitudia silloin, kun meteori näkyy havaitsijan näkökentän keskellä.

Lisätiedot

Suhteellisuusteoriasta, laskuista ja yksiköistä kvantti- ja hiukkasfysiikassa. Tapio Hansson

Suhteellisuusteoriasta, laskuista ja yksiköistä kvantti- ja hiukkasfysiikassa. Tapio Hansson Suhteellisuusteoriasta, laskuista ja yksiköistä kvantti- ja hiukkasfysiikassa Tapio Hansson Laskentoa SI-järjestelmä soveltuu hieman huonosti kvantti- ja hiukaksfysiikkaan. Sen perusyksiköiden mittakaava

Lisätiedot