805324A (805679S) Aikasarja-analyysi (Syksy 2016) Sari Lasanen

Transkriptio

1 805324A (805679S) Aikasarja-analyysi (Syksy 2016) Sari Lasanen

2 1. Kurssin tiedot Osaamistavoitteet: Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija tuntee aikasarja-analyysin peruskäsitteet (mm. trendi, kausivaihtelu, syklisyys, autokovarianssi) sekä perusmenetelmät osaa mallintaa erilaisia aikasarjoja ja arvioida malleja kriittisesti hallitsee aikasarjojen tilastollisen ennustamisen alkeet kykenee käytännön laskentaan tilastollisten ohjelmistojen avulla omaa aikasarja-analyysin osalta valmiudet toimia datatieteen tehtävissä Kirjallisuus: Chatfield, C. The Analysis of Time Series, an Introduction. Chapman and Hall (2004) Shumway, R.H. and Stoffer, D.S. Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples. Springer (2011) Hamilton, J.D. Time series analysis. Princeton University Press (1994) Kurssin kotisivut: noppa.oulu.fi i

3 Luennoitsija: Sari Lasanen, huone MA332, Luennot Harjoitukset MA TO KE Tentti (24 pistettä) Yliopistotentti tehtävää a 6 pistettä: Määritelmät. Käsitteet. Todennäköisyyslaskenta. Harjoitustyö (24 pistettä). Joka harjoituksessa on harjoitustyöosio. Läsnäolopakkoa harjoituksissa ei ole. Yhteispisteet (max 48) Kurssiarvosana (1-5) 0-23 Hylätty ii

4 2. Johdanto Aikasarja syntyy, kun muuttujan arvoja kerätään peräkkäisillä ajanhetkillä. Lämpötila C Vuosi Kuva 2.1: Kuukauden keskilämpötila Nottingham Castlessa (R: nottem) Yllä olevasta kuvaajasta nähdään, että esimerkiksi tammikuun keskilämpötila vaihtelee vuodesta toiseen. Kun data sisältää epäsäännölistä ajallista vaihtelua, siirrytään datan tarkastelussa usein tilastollisiin menetelmiin, joissa dataa kuvaillaan säännöllisten mallien lisäksi myös satunnaismallien avulla. Aikasarja-analyysi käsittää aikasarjojen mallittamisen sekä tilastollisen päättelyn menetelmiä. 2.1 Aikasarja Tarkastellaan muuttujaa, jonka arvoa ajanhetkellä t merkitään X t. sano- Olkoon t k lukujono, jonka alkioille pätee t k < t k+1 kaikilla k. Lukujonoa X tk taan aikasarjaksi. Aikasarja on tasavälinen, jos t k+1 t k = t k +1 t k jokaisella k k. Tasavälisen aikasarjan aika-asteikko on mahdollista skaalata niin, että t 1 = 1, t 2 = 2, t 3 = 3,... Tällöin on luontevaa käyttää aikasarjasta merkintää X t, missä t = 1, 2, 3,... (2.1.1) Käytetään jatkossa teorian tarkastelussa merkintää (2.1.1)! Miten pitkä aika on eri havaintojen välillä? Onko ajalla t nyt yksikköä, kuten vuosi, kuukausi tai minuutti? Mitä ajattelet tästä? 1

5 Kuva 2.2: Esimerkki tasavälisistä ja epätasavälisistä ajanhetkistä. Huomautus Aikasarja voi olla kerätty esim. vuosittain, kuukausittain, päivittäin, tunneittain...,.. mikrosekunneittain. Muita kirjallisuudessa esiintyviä merkintätapoja: X k, x tk, X(k). Parametrin t ei aina tarvitse edustaa aikaa, vaan se voi olla esimerkiksi myös etäisyys. Soveltavassa kirjallisuudessa voi joskus kohdata aikasarjan, missä aikaparametri on jatkuva eli sallitaan kaikki t > 0. Tällaiset yhden muuttujan satunnaisfunktiot määritellään matematiikassa stokastisina prosesseina. Esimerkki 2.1. Tarkastellaan aikasarjaa X t = t + häiriö, missä eri t:n arvoilla olevat häiriötermit ovat keskenään riippumattomia U(0, 1) jakautuneita satunnaismuuttujia. Kun t = 2, niin X 2 = häiriö. Lisää kuvaan 2.3 suora y = x. Mikä on muutujan y arvo, kun x saa arvon 2 1 2? Mainitse jokin arvo, jota aikasarjan piste X 3, ei voi saada (todennäköisyydellä 1). Mikä on aikasarjan X t havaintojen aikaväli? Onko ajalle t annettu yksikköä? Time changes everything except something within us which is always surprised by change. Thomas Hardy 2

6 Taulukko 2.1: Esimerkki aikasarjasta X t t t Häiriö Aikasarja X t X t Aika t Kuva 2.3: Aikasarja X t = t + häiriö 2.2 Esimerkkejä aikasarjoista Aikasarjoja kerätään esimerkiksi taloudessa (esim. pörssikurssit, valuuttakurssit), luonnonilmiöissä ja -vaihteluissa (esim. ilmastodata, sää, kalakannat), kaupallisessa toiminnassa (tuotteen kysyntä, raaka-aineen hinta), yhteiskunnassa (esim. työllisyys, rikollisuustilastot), terveysalalla (potilaan verenpaine, syöpärekisterit), liikenteestä (ruuhkaisuus, onnettomuustilastot), digitaalisissa mittauksissa (sensoriin liitetyt dataloggerit). Aikasarja-analyysin tavoitteita: Eksploratiivinen analyysi (aikasarjan oleellisten piirteiden löytäminen ) Selittävät tekijät (kausivaihtelu,riippuvuuus toisesta aikasarjasta) Ennustaminen Without data you re just another person with an opinion. W. Edwards Deming 3

7 Esimerkki 2.2. Liikenneonnettomuuksissa menehtyneiden ajoneuvon kuljettajien kuukausittainen lukumäärä Iso-Britanniassa (R: UKDriverDeaths) Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Lukumäärä X tk Aika t k Harvey, A. C. and Durbin, J. (1986) The effects of seat belt legislation on British road casualties: A case study in structural time series modelling. Journal of the Royal Statistical Society series B, 149, Wikipedia lainaus: In the UK, a requirement for anchorage points was introduced in 1965, followed by the requirement in 1968 to fit three-point belts in the front outboard positions on all new cars and all existing cars back to Successive UK Governments proposed, but failed to deliver, seat belt legislation throughout the 1970s. Front seat belts were compulsory equipment on all new cars registered in the UK from 1972, although it did not become compulsory for them to be worn until Rear seat belts were compulsory equipment from However, it has never been a legal requirement for cars registered before those dates to be fitted with seat belts. Vähentääkö turvavyölainsäädäntö autoilijoiden tieliikennekuolemia?...kuinka paljon? Esimerkki 2.3. Biologinen data kerätään usein aikasarjana. Data-analyysillä voidaan tehdä mm. lääketieteellisesti merkittäviä havaintoja kerätyistä aikasarjoista. Biologista dataa edustavat mm. puun vuosittainen kasvu ja potilaan päivittäinen verenpaine. Alla on kahden majavan kehon lämpö eri vuorokauden aikoina. 4

8 Taulukko 2.2: Majava 1 aikasarjan alku k = 1,..., 10 Aika t k 08:40 08:50 09:00 09:10 09:20 09:30 09:40 09:50 10:00 10:10 Aikasarja X tk Taulukko 2.3: Majava 2, aikasarjan alku k = 1,..., 10 Aika s k 09:30 09:40 09:50 10:00 10:10 10:20 10:30 10:40 10:50 11:00 Aikasarja Y sk lämpö Majava 1 Majava tunnit Majavan 1 ja Majavan 2 aikasarjoja on merkitty eri symboleilla: aikaa t k ja s k sekä aikasarjoja vastaavasti X k ja Y k. 1 Kunkin majavan data on tasavälisesti kerätty: t k t k 1 = s k s k 1 = 10 min jokaisella k = 1, 2, 3,... Majavaa 1 on seurattu kaummin kuin Majavaa 2: Majavan 1 data alkaa ajanhetkellä t 1 = 8 : 40 ja Majavan 2 data alkaa ajanhetkellä s 1 = 9 : Vältä vaikeudet: Varmista biologisen datan yhteydessä datan keruun eettisyys! Noudata aina datan käsittelyyn ja säilytykseen liittyvää ohjeistusta! (Luottamuksellisuus, yksityisyyden suoja) We are drowning in information and starving for knowledge. Rutherford D. Roger 1 Mitä muita oleellisesti erilaisia merkintätapoja voisi olla usealle aikasarjalle? 2 Voisiko tästä olla haittaa? 5

9 Esimerkki 2.4. Aikasarjoja kerätään paljon taloustieteessä: datan avulla pyritään ymmärtämään mm. markkinoiden käytöstä sekä esim.liiketaloudessa kehittämään hyödykkeiden tuotantoa kulutuksen mukaan. Kuva 2.4: Päivittäinen pörssi-indeksi (DAX) Frankfurtin pörssin sulkeutumisaikaan (R:EuStockMarkets). DAX Aika (Vuosina) Kuvaaja on epäsäännöllinen. Epäsäännöllisyyttä pyritään aikasarja-analyysissä mallintamaan satunnaisuuden avulla. The statistician cannot evade the responsibility for understanding the process he applies or recommends.- Sir Ronald A. Fisher Esimerkki 2.5. Tähtitiede on aikasarjojen suurtuottaja. Nasan arkistoissa odottaa EDELLEEN ensimmäinen aurinkokunnan ulkopuolinen eksokuu löytäjäänsä! Dataa löytyy täältä: Exoplanet archive Esimerkki 2.6. Bisnesanalytiikka. Google. Big data. 6

10 3. Aikasarjamalleja 3.1 Stokastiset prosessit Aikasarjojen mallitus perustuu stokastisiin prosesseihin. Määritelmä 3.1. Olkoon (Ω, Σ, P ) todennäköisyysavaruus. Olkoon I Z. Sanotaan, että kuvaus I Ω (t, ω) X t (ω) R on (diskreetti) stokastinen prosessi X t, jos kuvaus ω X t (ω) on satunnaismuuttuja jokaisella t I. Diskreetti stokastinen prosessi on erityisesti kokoelma samalla todennäköisyysavaruudella määriteltyjä satunnaismuuttujia. Indeksit t I ovat ajanhetkiä. Indeksijoukko I on tavallisesti joko N, jolloin stokastinen prosessi on tai Z, jolloin stokastinen prosessi on X 1, X 2, X 3,......, X 3, X 2, X 1, X 0, X 1, X 2, X 3,... Tärkeä esimerkki stokastisista prosesseista on valkoinen kohina. Määritelmä 3.2. Stokastista prosessia ε t sanotaan valkoiseksi kohinaksi, jos ε t ja ε s ovat tilastollisesti riippumattomia 1 kaikilla t s, E[ε t ] = 0 ja E[ε 2 t ] = σ 2 jokaisella t, missä σ > 0. Stokastisen prosessin ja satunnaisvektorien välinen suurin ero on, että stokastinen prosessi koostuu äärettömän monesta satunnaismuuttujasta. Esimerkki 3.1. Olkoon ε t Gaussinen valkoinen kohina, jolle ε t N0, 1) jokaisella t. Lasketaan todennnäköisyys sille, että ɛ t [ 1, 1] jokaisella t. Käytetään hyväksi eri komponenttien riippumattomuutta: P ( { 1 ɛ t 1}) = P ({ 1 ɛ 1 1} { 1 ɛ t 1}) t=1 Näin jatkamalla voidaan näyttää, että P ( { 1 ɛ t 1}) = t=1 t=2 = P ({ 1 ɛ 1 1})P ( { 1 ɛ t 1}) P ( 1 ɛ t 1) = t=1 t=2 ( 1 2π 1 1 Usein vaaditaan, että ε t ja ε s ovat pelkästään korreloimattomia 1 exp( 1 2 x2 )dx) = 0 7

11 Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Valkoinen kohina ε t Aika t Voimme tehdä saman laskun myös yleiselle välille [ a, a], missä 0 < a <. Todennäköisyys sille, että Gaussisen valkoisen kohinan komponentit ovat yhtäaikaa rajoitettuja on siis nolla. Toisin sanoen P (sup t ɛ t < a) = 0. Valkoinen kohina on myös tässä mielessä hyvin epäsäännöllistä. Huomautus Stokastiselle prosessille ei voi kirjoittaa yhteistodennäköisyystiheysfunktiota samaaan tapaan kuin satunnaisvektoreille. Sen sijaan äärellisulotteisten reunajakaumien F Xt1,...,X tk tiheysfunktiot ovat määriteltävissä. Stokastisten prosessien olemassaolo voidaan näyttää äärellisulotteisten reunajakaumien avulla. Tämän havaitsi ensimmäisenä Kolmogorov, jonka mukaan tulos on nimetty. (Tulosta ei esitetä tällä kurssilla) Määritelmä 3.3. Olkoon X t, t I, stokastinen prosessi. Sanotaan, että µ t on stokastisen prosessin X t odotusarvo, jos µ t = E[X t ] jokaisella t I. Sanotaan, että C : I I R on stokastisen prosessin kovarianssifunktio, jos C(t, s) = E[(X t µ t )(X s µ s )] jokaisella t, s I. Sanotaan, että Γ t on stokasisen prosessin X t jokaisella t, t τ I. Γ t (τ) = C(t, t τ) autokovarianssifunktio, jos Esimerkki 3.2. Olkoon ε t valkoinen kohina, jolle ε t N(0, σ 2 ) jokaisella t = 1, 2, 3,.... Olkoon X t = 2 + t 2 + 3ε t. Laske prosessin X t odotusarvo ja kovarianssifunktio, mikäli mahdollista. 8